范文一:逻辑联结词
逻辑联结词
经典例题:
例1 下列语句中不是命题的是
[ ]
A .台湾是中国的
B .两军相遇勇者胜
C .上海是中国最大的城市
D .连接A 、B 两点
例2 命题“方程x 2-4=0的解是x =±2”中,使用的逻辑联结词的情况是
[ ]
A .没有使用联结词
B .使用了逻辑联结词“或”
C .使用了逻辑联结词“且”
D .使用了逻辑联结词“非”
例3 命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形;④60是5或2的公倍数,其中复合命题有
[ ]
A .①③④ B .③④
C .③ D .①③
例4 命题“的值不超过3”看作非p 的形式,则p 为,看 作是“p 或q ”形式,p 为________,q 为________.
例5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:
(1)4既是8的约数,也是12的约数;
(2)张明是数学课代表或英语课代数;
(3)江苏省不是中国面积最大的省.
例6 以下判断正确 [ ]
A .若p 是真命题,则“p 且q ”一定是真命题
B .命题“p 且q ”是真命题,则命题p 一定是真命题
C .命题“p 且q ”是假命题时,命题p 一定是假命题
D .命题p 是假命题时,命题“p 且q ”不一定是假命题
例7 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题,那么
[ ]
A .命题p 不一定是假命题
B .命题q 一定是真命题
C .命题q 不一定是真命题
D .命题p 与命题q 的真值相同
例8 若p 、q 是两个简单命题,且“p 或q ”的否定是真命题,则必有
[ ]
A .p 真q 真 B .p 假q 假
C .p 真q 假 D .p 假q 真
点击思维
例9 有下列五个命题
(1)40能被3或5整除;
(2)不存在实数x ,使x 2+x +1x ;
(4)方程x 2-2x +3=0有两个不等的实根;
(5)不等式x 2-x +1
|x |+16.q :4+6≠10.
例13 如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么
[ ]
A .命题p 一定是假命题
B .命题q 一定是假命题
C .命题q 一定是真命题
D .命题q 是真命题或者假命题
例14 命题“非空集合A ∩B 中的元素既是A 中的元素也是B 中元素”是
________形式.命题“非空集合A ∪B 中的元素是A 的元素或是B 的元素”是________形式.
例15 分别指出下列各命题的形式及构
成它的简单命题,并指出复合命题的真假.
(1)8或6是30的约数;
(2)矩形的对角线垂直平分;
(3)方程x 2-2x +3=0没有实数根.
平 面
典型例题一
例1 三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的个数是( ).
A .1 B .2 C .3 D .1或3
典型例题二
例2 一条直线与三条平行直线都相交,求证这四条直线共面.
分析:先将已知和求证改写成符号语言.证明诸线共面,可先由其中的两条直线确定一个平面,然后证明其余的直线均在此平面内.也可先由其中两条确定一个平面α,另两条确定平面β,再证平面α,β重合.
已知:a //b //c ,l a =A ,l b =B ,l c =C .
求证:直线a ,b ,c ,l 共面.
典型例题三
例3 已知?ABC 在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R 三点,证明P ,Q ,R 三点在同一条直线上.
典型例题四
例4 如图所示,?ABC 与?A 1B 1C 1不在同一个平面内,如果三直线AA 1、BB 1、CC 1两两相交,证明:三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点.
典型例题五
(1)不共面的四点可以确定几个平面?
(2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定几个平面?
(3)共点的三条直线可以确定几个平面?
典型例题六
例6 A 、B 、C 为空间三点,经过这三点:
A .能确定一个平面 B .能确定无数个平面
C .能确定一个或无数个平面 D .能确定一个平面或不能确定平面
典型例题七
例7 判断题(答案正确的在括号内打“√”号,不正确的在括号内打“×”号).
(1)两条直线确定一个平面;( )
(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面;( )
(3)两两相交的三条直线不共面;( )
(4)不共面的四点中,任何三点不共线.( )
例8 如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 分别是棱AA 1、CC 1的中点,试画出过点D 1、E 、F 三点的截面.
典型例题九
例9 判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平行四边形是一个平面.
(2)任何一个平面图形都是一个平面.
(3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.
例10 按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图,如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、
(5)、(6)中的线段AB ,分别是两个平面的交线.
例11 (1)一个平面将空间分成几部分?
(2)两个平面将空间分成几部分?
(3)三个平面将空间分成几部分?画出图形,(要求:至少有两种情况有画法过程)
典型例题十二
例12 下图中表示两个相交平面,其中画法正确的是( ).
例13 观察下图,说明图形中的不同之处.
下面再给出两组图形如下图所示,请同学们予以辨识,指出它们有什么不同.
典型例题十四
例14 若点Q 在直线b 上,b 在平面β内,则Q 、b 、β之间的关系可记作(
A .Q ∈b ∈β B .Q ∈b ?β C .Q ?b ?β D .Q ?b ∈β
.
)
例15 用符号语言表示下列语句
(1)点A 在平面α内,但在平面β外;
(2)直线a 经过平面α外一点M ;
(3)直线a 在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线a .
典型例题十六
例16 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述,并用用图形语言予以表示.α β=l , A ∈l , AB ?α, AC ?β.
例17 如下图中?ABC ,若AB 、BC 在平面α内,判断AC 是否在平面α内.
典型例题十八
例18 如下图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为CC 1和AA 1上的中点,画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.
例19 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD (四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内.所组成的空间图形叫空间四边形.)各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点,
交于点P ,如下图,求证:点B 、D 、P 在同一条直线上.
且直线EF 和HG 证明:如图
逻辑联结词
例1 下列语句中不是命题的是
[ ]
A .台湾是中国的
B .两军相遇勇者胜
C .上海是中国最大的城市
D .连接A 、B 两点
分析 “D ”是描述性语句.
答 D .
例2 命题“方程x 2-4=0的解是x =±2”中,使用的逻辑联结词的情况是
[ ]
A .没有使用联结词
B .使用了逻辑联结词“或”
C .使用了逻辑联结词“且”
D .使用了逻辑联结词“非”
分析 注意到x =±2是x =2或x =-2.
答 选B .
例3 命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角
互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形;④60是5或2的公倍数,其中复合命题有
[ ]
A .①③④ B .③④
C .③ D .①③
分析 ②是简单命题,其余的均为复合命题.
解 选A .
例4 命题“的值不超过3”看作非p 的形式,则p 为,看
作是“p 或q ”形式,p 为________,q 为________.
分析 “不超过”用“≤”表示,其否定是“>”,“≤”可以看作为“3”、“”的否定不是“x ;
(4)方程x 2-2x +3=0有两个不等的实根;
(5)不等式x 2-x +1
|x |+16.q :4+6≠10.
分析 利用真值表.
解 (1)p或q :真;p 且q :真;非p :假.
(2)p或q :假;p 且q :假;非p :真.
说明:本题是要求先“造”命题,然后判定其真假.
例13 如果命题“p 或q ”是真命题,“非p ”是假命题,那么[ ]
A .命题p 一定是假命题
B .命题q 一定是假命题
C .命题q 一定是真命题
D .命题q 是真命题或者假命题
分析 利用真值表回推.
答 选D .说明:解题过程中注意发挥逆向思维的作用.
例14 命题“非空集合A ∩B 中的元素既是A 中的元素也是B 中元素”是
________形式.命题“非空集合A ∪B 中的元素是A 的元素或是B 的元素”是________形式.
分析 x ∈A ∩B 则x ∈A 且x ∈B ,填p 且q .
x ∈A ∪B 则x ∈A 或x ∈B .填p 或q .
答 填p 且q ;p 或q .
说明:本题是集合问题与命题概念的结合.
例15 分别指出下列各命题的形式及构
成它的简单命题,并指出复合命题的真假.
(1)8或6是30的约数;
(2)矩形的对角线垂直平分;
(3)方程x 2-2x +3=0没有实数根.
分析 分清形式结构,判断简单命题真假,利用真值表再判断原复合命题真假.
解 (1)p或q ,p :8是30的约数(假) ,q :6是30的约数(真) .“q 或q ”为真.
(2)p且q ,p :矩形的对角线互相垂直(假) ,q :矩形的对角线互相平分(真) .“p
且q ”为假.
(3)非p 、p :x 2-2x +3=0有实根(假) .非p 为真.
说明:将简易逻辑知识负载在其他知识之上
平 面
典型例题一
例1 三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的个数是( ).
A .1 B .2 C .3 D .1或3
分析:本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数,需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形,有如下图的三种情况(如图):
答案:D .
说明:本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形,应养成在三维空间考虑问题的习惯.
典型例题二
例2 一条直线与三条平行直线都相交,求证这四条直线共面.
分析:先将已知和求证改写成符号语言.证明诸线共面,可先由其中的两条直线确定一个平面,然后证明其余的直线均在此平面内.也可先由其中两条确定一个平面α,另两条确定平面β,再证平面α,β重合.
已知:a //b //c ,l a =A ,l b =B ,l c =C .
求证:直线a ,b ,c ,l 共面.
证明: ∵ a //b ,
∴ a ,b 确定一个平面α.
∵ l a =A ,l b =B ,
∴ A ∈α,B ∈α,故l ?α.
又 ∵ a //c , ∴ a ,c 确定一个平面β.
同理可证l ?β.
∴ α β=a ,且α β=l .
∵ 过两条相交直线a ,l 有且只有一个平面,故α与β重合
即直线a ,b ,c ,l 共面.
说明:本例是新教材第9页第9题的一个简单推广,还可推广到更一般的情形.本例证明既采用了归一法,同时又采用了同一法.这两种方法是证明线共面问题的常用方法.在证明c ?α时,也可以用如下反证法证明:
假设直线c ?α,则c 一定与α相交,此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行,这显然与a //c 矛盾.故c ?α.
典型例题三
例3 已知?ABC 在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P ,Q ,R 三点,证明P ,Q ,R 三点在同一条直线上.
分析:如图所示,欲证P ,Q ,R 三点共线,只须证P ,
Q ,R 在平面α和平面?ABC 的交线上,由P ,Q ,R 都是
两平面的公共点而得证.
证明:∵ AB α=P ,BC α=Q ,
∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线.
又 ∵ AC α=R ,
∴ R ∈α且R ∈平面ABC ,
∴ R ∈PQ ,
∴ P ,Q ,R 三点共线.
说明:证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点,由公理2,这些点都在这两平面的交线上.
典型例题四
例4 如图所示,?ABC 与?A 1B 1C 1不在同一个平面内,如果三直线AA 1、BB 1、CC 1两两相交,证明:三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点.
分析:证明三线共点的一般思路是:先证明两条直线交
于一点,再证明该点在第三条直线上即可.
证明:由推论2,可设BB 1与CC 1,CC 1与AA 1,AA 1
与BB 1分别确定平面α,β,γ.
取AA 1 BB 1=P ,则P ∈AA 1,P ∈BB 1.
又因α β=CC 1,则P ∈CC 1(公理2),
于是AA 1 BB 1 CC 1=P ,
故三直线AA 1、BB 1、CC 1共点.
说明:空间中证三线共点有如下两种方法:
(1)先确定两直线交于一点,再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点,第三条直线是这两个平面的交线,由公理2,该点在它们的交线上,从而得三线共点.
(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线,证明该交线与另两直线分别交于两点,再证这两点重合.从而得三线共点.
典型例题五
(1)不共面的四点可以确定几个平面?
(2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定几个平面?
(3)共点的三条直线可以确定几个平面?
分析:(1)可利用公里3判定。
(2)可利用公里3的推论3判定。
(3)需进行分类讨论判定。
解:(1)不共面的四点可以确定四个平面。
(2)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定3个平面。
(3)共点的三条直线可以确定1个或3个平面。
说明:判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件,要做到不重不漏。
平面的确定问题
主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。
典型例题六
例6 A 、B 、C 为空间三点,经过这三点:
A .能确定一个平面 B .能确定无数个平面
C .能确定一个或无数个平面 D .能确定一个平面或不能确定平面
分析:本题考查空间确定平面的方法,解题的主要依据是公理3及三个推论.
解:由于题设中所给的三点A 、B 、C 并没有指明这三点之间的位置关系,
所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”.
当A 、B 、C 三点共线时,经过这三点就不能确定平面,
当A 、B 、C 三点不共线时,经过这三点就可以确定一个平面,故选D .
说明:空间确定一平面的方法有多种,既可以根据不共线的三点来确定一个平面,又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面.
典型例题七
例7 判断题(答案正确的在括号内打“√”号,不正确的在括号内打“×”号).
(1)两条直线确定一个平面;( )
(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面;( )
(3)两两相交的三条直线不共面;( )
(4)不共面的四点中,任何三点不共线.( )
分析:(1)两条直线能否确定平面,应注意这两条直线的位置关系,不给出位置关系则要分情况讨论,才可得出结论.两条相交直线可确定一个平面,两条平行直线可确定一个平面,除此以外的任何两条直线不能确定平面;
(2)经过一点的两条直线可确定一个平面,三条直线不一定能确定平面;
(3)三条直线两两相交,若不共点时这三条直线必共面;
(4)如果有三点共线,则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内,即四点共面. 解:(1)× (2)× (3)× (4)√.
说明:由(3)题的分析过程可知:两两相交的三条直线有时共面有时不共面.那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢?
典型例题八
例8 如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 分别是棱AA 1、CC 1的中点,试画出过点D 1、E 、F 三点的截面.
分析:本题考查作多面体截面的能力,主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线.
解:连D 1F 并延长D 1F 与DC 的延长线交于点H ,连结D 1E 与DA 的延长线交于点G ,连结GH 与AB 、BC 两条棱交于点B ,连结BE 、BF ,则BED 1F 就是过点D 1、E 、F 三点的截面.
说明:本题亦可以证明点B 、E 、D 1、F 四点共面.若E 、F 不是棱A 1A 与C 1C 的中点,则作图过程中GH 不一定过点B ,所画的截面多边形可能是五边形.
典型例题九
例9 判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平行四边形是一个平面.
(2)任何一个平面图形都是一个平面.
(3)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.
解:(1)不正确.平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形,它是不能无限延伸的. 说明:在立体几何中,我们通常用平行四边形表示平面,但绝不是说平行四边形就是平面.
(2)不正确.平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小,它是不可能无限延展的.
说明:要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念.
(3)不正确.在空间图形中,我们一般是把能够看得见的线画成实线,把被平面遮住看不见的线画成虚线(无论是题中原有的,还是后引的辅助线).
在平面几何中,凡是后引的辅助线都画成虚线;在立体几何中却不然.有的在学习立体几何时,对此点没有认识,必将影响空间立体感的形成,削弱或阻断空间想象能力的培养.
典型例题十
例10 按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图,如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、
(5)、(6)中的线段AB ,分别是两个平面的交线.
解:由两个相交平面的画法:本题只须过线段的端点画出与交线AB 平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可如下图所示.
说明:(1)画好两个相交平面的图形,是画好一切立体图形的基础.
(2)画空间图形的过程,是培养我们空间想象能力的过程,一定要认真对待,决不可以掉以轻心.
典型例题十一
例11 (1)一个平面将空间分成几部分?
(2)两个平面将空间分成几部分?
(3)三个平面将空间分成几部分?画出图形,(要求:至少有两种情况有画法过程) 解:(1)一个平面将空间分成两部分.
(2)两个平面平行时,将空间分成三部分,两个平面相交时,将空间分成四部分.
(3)本小题情况比较复杂,须分类予以处理.
情况1:当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α//β//γ),将空
间分成四个部分,其图形如右图.
情况2:当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α//β,γ
与其相交),将空间分成六部分,其图形如下图.
画法是:
情况3:当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合(即α β=l 且α γ=l ) 将空间分成六部分,其图形如下图.
说明:本种情况给出两种图形,一种是将交线画成水平状态,一种是将交线画成竖直状态.
情况4:平面α、平面β、平面γ都相交且三条交线共点,但互不重合.(即α γ=l ,且γ与α、β都相交,三条交线共点).将空间分成八部分,其图形如下图.
画法是:
情况5:平面α、平面β、平面γ两两相交且三条交线平行(即α β=l ,γ与α、
β
都相交且三条交线平行).将空间分成七部分,其图形如下图.
说明:1.本小题(3),在解答过程中,采用了简单到复杂递进的处理方法,首先对两个平面在空间的位置分类讨论,再让第三个平面以不同情况介入,然后分类解决.
2.通过此题的解答,要学会处理问题的思维方法,注意逻辑思维能力的培养与提高.
3.本题是一个基础性很强的问题,无论是对立体图形的画法以及空间想象能力的形成都大有裨益.
典型例题十二
例12 下图中表示两个相交平面,其中画法正确的是( ).
解:对于A ,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,因此A 的画法不正确.
同样的道理,也可知B 、C 图形的画法不正确.
D 的图形画法正确.
∴应选D .
说明:对空间图形的准确辨识,是培养空间想象能力的重要组成部分,一定要注意这方面能力的锻炼.
典型例题十三
例13 观察下图,说明图形中的不同之处.
解:上面的图形都是由九条线段构成的图形、外形似乎相似.
仔细观察,由于图中的实、虚线的画法不同,则反映了不同的几何体.
A 图是一个簸箕形图形;B 图是体,是三棱柱;C 图也是体,也是三棱柱.
B 图如果看作是从三棱柱的正面观察,C 图则可看作是从三棱柱的后面观察.
说明:在立体几何中,一定要明确画图过程中哪条线画实线,哪条线画虚线.要记住:能够看得到的线一定画成实线,被挡住的看不到的线画成虚线.
下面再给出两组图形如下图所示,请同学们予以辨识,指出它们有什么不同.
典型例题十四
例14 若点Q 在直线b 上,b 在平面β内,则Q 、b 、β之间的关系可记作(
A .Q ∈b ∈β B .Q ∈b ?β C .Q ?b ?β D .Q ?b ∈β
解法1:(直接法)
∵点Q 在直线b 上,∴Q ∈b ,
∵直线b 在平面β内,∴b ?β,
∴Q ∈b ?β.
∴应选B .
解法2:(排除法)
∵点Q 与直线b 之间的关系是元素与集合之间的关系,
∴只能用符号“∈”或“?”表示,
∴C 、D 应予排除.
∵直线b 与平面β之间是集合与集合之间的关系,
∴只能用符号“?”或“?”表示,
∴A 应予以排除.
综上可知应选B .
说明:要能正确地使用点、直线、平面之间关系的符号语言.
. )
例15 用符号语言表示下列语句
(1)点A 在平面α内,但在平面β外;
(2)直线a 经过平面α外一点M ;
(3)直线a 在平面α内,又在平面β内,即平面α和β相交于直线a .
解:(1)A ∈α但A ?β.
(2)M ?α,M ∈a .
(3)a ?α且a ?β,即α β=a .
说明:符号语言比较简洁、严谨,可大大的缩短文字语言表达的长度,有利于推理、计算.
典型例题十六
例16 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述,并用用图形语言予以表示.α β=l , A ∈l , AB ?α, AC ?β.
分析:本题实质是数学三种语言——符号语言、文字语言、图形语言的互译. 解:文字语言叙述为:
点A 在平面α与平面β的交线l 上,AB 、AC 分别在α、β内.
图形语言表示为如图:
说明:文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来,我们教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述.
图形语言,易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系,在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.
各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便.有利于培养我们思维的广阔性.
例17 如下图中?ABC ,若AB 、BC 在平面α内,判断AC 是否在平面α内.
解:∵AB 在平面α内,
∴A 点一定在平面α内.
∵BC 在平面α内,
∴C 点一定在平面α内.
∴点A 、点C 都在平面α内.
∴直线AC 在平面内(公理1).
说明:公理1可以用来判断直线是否在平面内.
典型例题十八
例18 如下图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为CC 1和AA 1上的中点,画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.
分析:可根据公理2,如果两个平面有一个公共点,它们就有过这点的一条直线,也只有这一条直线;这条直线的位置还须借助于另一个条件来确定.
解:在平面AA 1D 1D 内,延长D 1F ,
∵D 1F 与DA 不平行,
因此D 1F 与DA 必相交于一点,设为P
则P ∈FD 1,P ∈DA .
又∵FD 1?平面BED 1F ,AD ?平面ABCD 内,
∴P ∈平面BED 1F ,P ∈平面ABCD .
又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点,
∴连结PB ,PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.
说明:公理2是两个平面相交的性质,它说明两个平面相交,交线是一条直线.要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形,如果有一个公共点,那么必定有无数多个公共点,且这些点恰好组成一条直线.同时要注意,找到两个平面的一个公共点,交线的具体位置还无法判定,只有找到两个公共点,才确定这两个平面的交线.这是做几何体截面时确定交线经常用到的方法.
典型例题十九
例19 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD (四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内.所组成的空间图形叫空间四边形.)各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点,且直线EF 和HG 交于点P ,如下图,求证:点B 、D 、P 在同一条直线上.
证明:如图
∵直线EF 直线HG =P ,
∴P ∈直线EF ,而EF ?平面ABD ,
∴P ∈平面ABD .
同理,P ∈平面CBD ,即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点.显然,点B 、D 也是平面ABD 和平面CBD 的公共点,由公理2知,点B 、D 、P 都在平面ABD 和平面CBD 的交线上,即点B 、D 、P 在同一条直线上.
说明:证明三点共线通常采用如下方法:
方法1是首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理2知,这些点都在交线上.
方法2是选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点在其上.
范文二:逻辑联结词教案
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逻辑联结词教案
?什么叫命题? 先看下列语句: ? 12>5;? 3是12的约数;? 是整数. 我们知道,?、?是真的,?是假的. 再看下列语句: ? 这是一棵大树;? 3是12的约数吗?? x>5. 逻辑联结词
[教学目的]
?了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成,会判断复合命题的真假;
?理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
[重点难点]
重点:判断复合命题真假的方法;
难点:对“或”的含义的理解.
[教学设想]
1.教法 2.学法 3.课时
[教学过程]
逻辑联结词与复合命题
[教学目的]
理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成.
[教学过程]
一、复习引入
?什么叫命题?
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先看下列语句:
? 12>5;? 3是12的约数;? 是整数.
我们知道,?、?是真的,?是假的.
再看下列语句:
? 这是一棵大树;? 3是12的约数吗?? x>5.
对于?,由于“大树”没有界定,就不能判断其真假;对于?,它不涉及真假;对于?,由于x是未知数,也不能判断它是否成立.
一般地,可以判断真假的语句就叫做命题;语句是真的,就叫真命题,语句是假的,就叫假命题.
例如,语句?、?、?都是命题,其中?、?是真命题,?是假命题.
不能判断真假的语句不是命题.
例如,语句?、?、?都不是命题.
说明:?初中教材中命题的定义是:判断一件事情的句子叫做命题;这里的定义是:可以判断真假的语句叫做命题.说法不同,实质是一样的.
?注意不是所有的语句都是命题,语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,即能不能判断其是否成立.不能判断真假的语句,就不是命题.
?与命题相关的概念是开语句.例如,x0的解集是{x|x3};
“且”我们也学过,像不等式x2-x-6 -2,且x<3};>3};>
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“非”是否定的意思,“非整数”是对命题“是整数”进行否定而得出的新命题.
“或”、“且”、“非”这些词就叫做逻辑联结词.
? 简单命题与复合命题
像上述?、?、?这样的命题,是不含逻辑联结词的命题,称为简单命题;像上述?、?、?这样的命题,它们是由简单命题与逻辑联结词构成的命题,称为复合命题.
? 复合命题的构成形式
我们常用小写的拉丁字母p,q,r,s,…来表示命题,由上述复合命题?、?、?可知,复合命题的构成形式分别是:
p或q; p且q;非p.
非p也叫做命题p的否定.
“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如,“x A或x B”,是指x可能属于A但不属于B,x也可能不属于A但属于B,x还可能既属于A又属于B;又如在“p真或q真”中,可能只有p真,也可能只有q真,还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如,“x A且x B”,是指x属于A,同时x也属于B.
“非p”是指p的否定,即不是p.例如,p是“x A”,则“非p”表示x不是集合A的元素.
例分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题:
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? 24既是8的倍数,也是6的被数;
? 李强是篮球运动员或跳高运动员;
? 平行线不相交.
解:? 这个命题是p且q的形式,其中p:24是8的倍数,q:24是6的倍数.
? 这个命题是p或q的形式,其中p:李强是篮球运动员,q:李强是跳高运动员.
? 这个命题是非p的形式,其中p:平行线相交.
练习:课本
答案:? ? p或q:5是15或20的约数;p且q:5是15的约数且是20的约数;非p:5不是15的约数.
? p或q:矩形的对角线相等或互相平分;p且q:矩形的对角线相等且互相平分;非p:矩形的对角线不相等.
? ? p且q;? p或q;? 非p;? p或q.
三、小 结
本节在复习命题概念的基础上,主要学习了逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,以及由简单命题和上述三个逻辑联结词构成的复合命题的形式.
四、布置作业
复习:复习课本内容,巩固有关概念.
书面:课本
答案:1.?p或q:方程x2+x-1=0的两根符号或绝对值不
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同;
p且q:方程x2+x-1=0的两根符号不同且绝对值不同;
非p:方程x2+x-1=0的两根符号相同.
?p或q:三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边;
p且q:三角形两边之和大于第三边且两边之差小于第三边;
非p:三角形两边之和不大于第三边.
2.?这个命题是p且q的形式,其中p:12是48的约数,q:12是36的约数.
?这个命题是非p的形式,其中p:方程x2+1=0有实根.
?这个命题是p或q的形式,其中p:10是5的倍数,q:15是5的倍数.
?这个命题是p且q的形式,其中p:有两个角为450的三角形是等腰三角形,q:有两个角为450的三角形是直角三角形.
思考题:试举出日常生活中与“或”、“且”有关的例子.
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范文三:基本逻辑联结词
基本逻辑联结词
【使用说明及学法指导】
1. 先精读一遍教材P10—P17,用红色笔进行勾画;再针对预习自学二次阅读并回答;
2. 若预习完可对合作探究部分认真审题,做不完的正课时再做,对于选作部分BC 层可以不做; 3. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 【学习目标】
1. 了解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义,能对含有一个量词的命题进行否定。 2. 自主学习,合作交流,探究用符号表示“或”“且”“非”的命题。 3. 激情投入、高效学习,培养良好的数学思维品质。
【预习自测】
1. 若p 是真命题,q 是假命题,则p ∧q , p ∨q , ?p 的真假是?
2. 判断下列命题的真假
(1)?m ∈R , m ≥m ; (2)?x ∈R , x 2
≤0;
(3)集合A 是集合A B 或是集合A B 的子集
3. 写出命题的否定形式,并判断真假
(1)一切分数都是有理数 (2)?x ∈R , x 2
+x =x +2;
二、合作、探究、展示:
例1.分别写出下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”新命题,并判断其真假。
(1)P :角平分线上的点到角的两边的距离不相等;q :线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。 (2)P :2∈{2,3, 4}; q :{矩形}?{菱形}
={正方形}。 (3)P :菱形的对角线相等;q :凡是偶数都是4的倍数。
拓展:1. 若命题p :x ∈A B , 则?p 是( )
A. x ?A 或x ?B B. x ?A 且x ?B C. x ∈A B D. x ?A B 拓展2. 下列命题(1)?x ∈R , x 2
+1>0 (2)?x ∈R , x +
1x
<2 (3)“菱形的对角线互相垂直”的否定是“存在一个菱形的对角线不互相垂直”="" 其中真命题的个数是(="">2>
A.0 B.1 C.2 D.3
例2. 已知a>0且a ≠1,设命题p:函数y =lo g a (x +1) 在(0, +∞) 内单调递减,命题q:曲线
y =x 2+(2a -3) x +1与x 轴交于不同的两点,若命题p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,试求实数a
的取值范围
(BC 选作)已知p :x 2
+mx +1=0有两个不等的负根,q :4x 2
+4(m -2) x +1=0无实根,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求m 的取值范围
【课堂小结】
1. 知识方面 2. 数学思想方法
范文四:逻辑联结词
课 题:1.6 逻辑联结词(2)
教学目的:
1. 加深对或且非的含义的理解;
2. 能利用真值表,判断含有复合命题的真假;
3. 培养抽象逻辑思维能力,培养归纳推理的思维能力
教学重点:判断复合命题真假的方法
教学难点:对p 或q 复合命题真假判断的方法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
这一节的重点是逻辑联结词或、且、非. 学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词或、且、非与充要条件的有关内容是十分必要的.
这一节的难点是对一些代数命题真假的判断. 初中阶段,学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉,并且,相关的技能和能力,主要还是通过几何课的学习获得的,初中代数侧重的是运算的技能和能力,因此,像对代数命题的证明,学生还需要有一个逐步熟悉的过程.
教学过程:
一、复习引入:
1. 什么叫做命题?(可以判断真假的语句叫命题 正确的叫真命题,错误的叫假命题 )
2. 逻辑联结词是什么?(或的符号是、且的符号是、非的符号是┑,这些词叫做逻辑联结词)
含义是?p 或q 是指p,q 中的任何一个或两者. 例如,x A或x B,是指x 可能属于A 但不属于B(这里的但等价于且) ,x 也可能不属于A 但属于B ,x 还可能既属于A 又属于B(即x A?B);又如在p 真或q 真中,可能只有p 真,也可能只有q 真,还可能p,q 都为真.
p 且q 是指p,q 中的两者. 例如,x A 且x B ,是指x 属于A ,同时x 也属于B(即x A
B).
非p 是指p 的否定,即不是p. 例如,p 是x A ,则非p 表示x 不是集合A 的元素(即x ).
3. 什么叫做简单命题和复合命题?(不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词或、且、非构成的命题是复合命题 )
4. 复合命题的构成形式是什么?
p 或q(记作pq ); p且q(记作pq );非p(记作┑q )
二、讲解新课:
判断复合命题真假的方法
1. 非 p形式的复合命题
例1 (1)如果p 表示2是10的约数,试判断非p 的真假.
(2) )如果p 表示32,那么非p 表示什么? 并判断其真假.
解:(1)中p 表示的复合命题为真,而非p2不是10的约数为假.
(2)中p 表示的命题32为假,非p 表示的命题为32,其显然为真.
小结:非p 复合命题判断真假的方法
当p 为真时,非p 为假; 当p 为假时,非p 为真,即非 p形式的复合命题的真假与p 的真假相反,可用下表表示
p 非p
真 假
假 真
2.p 且q 形式的复合命题
例2. 如果p 表示5是10的约数,q 表示5是15的约数,r 表示5是8的约数,试写出p 且q ,p 且r 的复合命题,并判断其真假,然后归纳出其规律.
解:p 且q 即5是10的约数且是15的约数为真(p、q 为真);
p 且r 即5是10的约数且是8的约数为假(r为假)
小结:p 且q 形式的复合命题真假判断
当p 、q 为真时,p 且q 为真; 当p 、q 中至少有一个为假时,p 且q 为假 可用下表表示
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
3.p 或q 形式的复合命题:
例3. 如果p 表示5是12的约数 q表示5是15的约数,r 表示5是8的约数,写出,p 或r ,q 或s ,p 或q 的复合命题,并判断其真假,归纳其规律.
p 或q 即5是12的约数或是15的约数为真(p为假、q 为真);
p 或r 即5是12的约数或是8的约数为假(p、r 为假)
小结:p 或q 形式的复合命题真假判断
当p ,q 中至少有一个为真时,p 或q 为真; 当p ,q 都为假时,p 或q 为假. 即p 或q 形式的复合命题,当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真. 可用下表表示.
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中,是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容.
例4(课本第28页例2) 分别指出由下列各组命题构成的 p或q ,p 且q ,非p 形式的复合命题的真假:
① p:2+2=5,q :32;
② p:9是质数,q :8是12的约数;
③ p:1{1,2},q :{1} {1,2};
④ p: {0},q :={0}.
解:①p 或q :2+2=5或32 ;p且q :2+2=5且32 ;非p :2+2 5.
∵p 假q 真,p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真.
②p 或q :9是质数或8是12的约数;p 且q :9是质数且8是12的约数; 非p :9不是质数.
∵p 假q 假,p 或q 为假,p 且q 为假,非p 为真.
③p 或q :1{1,2}或{1} {1,2};p且q :1{1,2}且{1} {1,2};非p :1 {1,2}.
∵p 真q 真,p 或q 为真,p 且q 为真,非p 为假.
④p 或q : {0}或={0};p且q : {0}且={0} ;非p : {0}.
∵p 真q 假,p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假.
4. 逻辑符号
或的符号是,且的符号是,非的符号是┐.
例如,p 或q 可记作pq; p且q 可记作pq; 非p 可记作┐p.
注意:数学中的或与日常生活用语中的或的区别
或这个逻辑联结词的用法,一般有两种解释:
一是不可兼有,即a 或b 是指a ,b 中的某一个,但不是两者. 日常生活中有时采用这一解释. 例如你去或我去,人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.
二是可兼有,即a 或b 是指a ,b 中的任何一个或两者. 例如x A或x B,是指x 可能属于A 但不属于B(这里的但等价于且) ,x 也可能不属于A 但属于B ,x 还可能既属于A 又属于B(即x AB); 又如在p 真或q 真中,可能只有p 真,也可能只有q 真,还可能p,q 都为真. 数学书中一般采用这种解释,运用数学语言和解数学题时,都要遵守这一点. 还要注意可兼有并不意味一定兼有.
另外,苹果是长在树上或长在地里这一命题,按真值表判断,它是真命题,但在日常生活中,我们认为这句话是不妥的.
5. 学习逻辑的意义
一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明,另一方面是因为计算机离不开数学逻辑,课本中介绍的洗衣机上的或门电路和电子保险门上的与门电路就是两个在这方面应用的实例. 可以说计算机的智能装置是以数学逻辑为基础进行设计的.
同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能,再找出一些这样的例子.
电路:
或门电路(或) 与门电路(且)
三、小结:用真值表法判断复合命题真假的方法
四、练习:课本第28练习:1,2.
答案:1. ⑴真; ⑵真; ⑶假.
2. ⑴p 或q :4{2,3}或2{2,3};p且q :4{2,3}且2{2,3};非p :4 {2,3}.
∵p 假q 真,p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为真.
⑵p 或q :2是偶数或不是质数;p 且q :2是偶数且不是质数; 非p :2不是偶数.
∵p 真q 假,p 或q 为真,p 且q 为假,非p 为假.
五、作业:课本第29页习题1.6:3,4.
六、板书设计(略)
七、课后记:
范文五:逻辑联结词
班级姓名 时间:年月日
1.3简单的逻辑联结词导学案
【学习目标】
1. 正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义和表示. (重点)
2. 会判断用“且”“或”“非”联结成新命题的真假. (难点)
【知识回顾】
1. 命题的概念.
2. 如何判断命题的真假.
【知识引入】
举例引出今天要讲的逻辑联结词.
1. 逻辑联结词定义:
2. 简单命题与复合命题的定义:
3. 复合命题的构成形式主要有:
【课堂探究】
探究点1 联结词“且”
下列三个命题之间有什么关系?
(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除;
例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:
(1)p:平行四边形的对角线互相平分;q:平行四边形的对角线相等;
(2)p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分;
(3)p:35是15的倍数;q:35是7的倍数.
练一练: 用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假:
(1)1既是奇数, 又是质数;
(2)2和3都是质数.
探究点2 联结词“或” 下列三个命题间有什么关系? (1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;
(3)27是7的倍数或是9的倍数.
例2 分别指出下列命题的形式并判断真假:
(1)2≤2;
(2)集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集;
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
练一练:判断下列命题的真假:
(1)47是7的倍数或49是7的倍数;
(2)3≥4;
(3)若ax2+bx+c=0(a≠0) 无实根, 则b2-4ac ≤
0.
思考:
如果p 且q 为真命题,那么p 或q 一定为真命题吗?
如果p 或q 为真命题,那么p 且q 一定是真命题吗?
探究点3 联结词“非”
下列两个命题间有什么关系?
(1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
例3 写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1) p: y=sinx是周期函数;
(2) p: 3<>
(3) p: 空集是集合A 的子集.
【当堂检测,巩固新知】
基础性练习:
1. 命题“x=±3是方程∣x ∣=3的解”中( )
A. 没有使用任何一种联结词
B. 使用了逻辑联结词“非”
C. 使用了逻辑联结词 “或”
D. 使用了逻辑联结词“且”
2. 如果命题p 是假命题,命题q 是真命题,则下列错
误的是( )
A .“p 且q ”是假命题 B .“p 或q ”是真命题
C .“非p ”是真命题 D .“非q ”是真命题
3. 已知命题p: 0不是自然数;q: 是无理数,写出命题“p ∧q ”“p ∨q ”并判断其真假. 延展性练习:
已知命题p:方程x +mx+1=0有两个不等正根, 命题q:方程x +4(m-2)x+4=0无实根. 若 “p 或q ”为真命题, “p 且q ”为假命题, 求m 的取值范围.
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【归纳总结】
【作业】
课本18页习题1.3 A组 第1、2、3题