范文一:2013年高考文科数学(大纲卷)
绝密 ★ 启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 .
(1)设集合 {}{}1,2,3,4,5, 1,2, u U A A ===集合 则 e
(A ) {}1,2 (B ) {}3,4,5 (C ) {}1,2,3,4,5 (D ) ?
(2)已知 a 是第二象限角, 5sin , cos 13
a a ==则 (A ) 1213- (B ) 513
- (C ) 513 (D ) 1213 (3)已知向量 ()()()()1,1, 2,2, , =m n m n m n λλλ=+=++⊥-若 则
(A ) 4- (B ) 3- (C ) -2 (D ) -1
(4)不等式 222x -<>
(A ) ()-1,1 (B ) ()-2,2 (C ) ()()-1,00,1 (D ) ()()-2,00,2
(5) ()8
62x x +的展开式中 的系数是 (A ) 28 (B ) 56 (C ) 112 (D ) 224
(6) 函数 ()()()-121log 10=f x x f x x ??=+
> ???的反函数 (A ()1021x x >- (B ()1021
x x ≠- (C ) ()21x x R -∈ (D ) ()210x x -> (7)已知数列 {}n a 满足 {}12430, , 103
n n n a a a a ++==-则 的前 项和等于 (A ) ()-10-61-3 (B ) ()-1011-39
(C ) ()-1031-3 (D ) ()-1031+3
(8)已知 ()()1221
,0, 1,0, F F C F x -是椭圆 的两个焦点 过 且垂直于 轴的直线交于 A B 、 两点, 且 3AB =, 则 C 的方程为
(A ) 2212x y += (B ) 22132x y += (C ) 22143x y += (D ) 22
154
x y += (9)若函数 ()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图,则
(A ) 5 (B ) 4 (C ) 3 (D ) 2
(10)已知曲线 ()42
1-128=y x ax a a =+++在点 , 处切线的斜率为 , (A ) 9 (B ) 6 (C ) -9 (D ) -6
(11) 已知正四棱锥 1111
112, ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中, 则 与平面 所成角 的正弦值 等于
(A ) 23 (B
(C
) 3
(D ) 13 (12)已知抛物线 ()2:82,2, C C y x M k C =-与点 过 的焦点,且斜率为 的直线与 交于
, 0, A B MA MB k == 两点 , 若 则
(A ) 12 (B
) 2
(C
(D ) 2 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
(13)设 ()[)()21,3=f x x f x ∈是以 为周期的函数,且当 时, .
(14)从进入决赛的 6名选手中决出 1名一等奖, 2名二等奖, 3名三等奖,则可能的决赛结 果共有 种 . (用数字作答)
(15)若 x y 、 满足约束条件 0, 34, 34, x x y x y ≥??+≥??+≤?
则 z x y =-+的最小值为 .
(16) 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ,
3602
OK O K = ,且圆 与圆 所在的平面所成角为 , 则球 O 的表面积等于 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)
等差数列 {}n a 中, 71994, 2, a a a ==
(I ) 求 {}n a 的通项公式;
(II )设 {}1, . n n n n
b b n S na =
求数列 的前 项和
18. (本小题满分 12分) 设 ()(), , , , , . ABC A B C a b c a b c a b c ac ?++-+=的内角 的对边分别为
(I )求 ; B
(II
)若
sin sin C. A C =求
19. (本小题满分 12分)
如图,四棱锥 902, P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==?? 中, , 与 都 是边长为 2的等边三角形 .
(I ) 证明:; PB CD ⊥
(II ) 求点 . A PCD 到平面 的距离
20. (本小题满分 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比
赛结束时, 负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 1, 2
各局比赛的 结果都相互独立,第 1局甲当裁判 .
(I ) 求第 4局甲当裁判的概率;
(II ) 求前 4局中乙恰好当 1次裁判概率 .
21. (本小题满分 12分)
已知函数 ()32=331. f x x ax x +++
(I )
求 ()f ; a x =的单调性 ;
(II )若 [)()2, 0, . x f x a ∈+∞≥时, 求 的取值范围
22. (本小题满分 12分) 已知双曲线 ()22
1222:10, 0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为 , , 离心率为 3,
直线 2y C =与
(I ) 求 , ; a b ;
(II ) 2F l C A B 设过 的直线 与 的左、右两支分别相交于 、 两点,且 11, AF BF -证明:22. AF AB BF 成等比数列
范文二:2013年高考理科数学(大纲卷)
绝密 ★ 启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 .
(1) 设集合 {}{}{}1,2,3, 4,5, |, , , A B M x x a b a A b B ====+∈∈则 M 中元素的 个数为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6 (2
) ()
3
=
(A ) 8- (B ) 8 (C ) 8i - (D ) 8i (3)已知向量 ()()()()1,1, 2,2, , =m n m n m n λλλ=+=++⊥-若 则
(A ) 4- (B ) -3 (C ) 2- (D ) -1 (4)已知函数 ()()()-1,021f x f x -的定义域为 ,则函数 的定义域为
(A ) ()1,1- (B ) 11, 2?
?- ??? (C ) ()-1,0 (D ) 1,12??
???
(5)函数 ()()1=log 10f x x x ??+
> ???
的反函数 ()1
=f x - (A ()1021x x >- (B ()1
021
x
x ≠- (C ) ()21x x R -∈ (D ) ()210x x -> (6)已知数列 {}n a 满足 {}124
30, , 103
n n n a a a a ++==-则 的前 项和等于
(A ) ()-10-61-3 (B ) ()-1011-39
(C ) ()-10
31-3 (D ) ()-1031+3
(7) ()()3
4
22
11+x y x y +的展开式中 的系数是
(A ) 56 (B ) 84 (C ) 112 (D ) 168
(8)椭圆 22
122:1, , 46
x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为 点 在 上且直线 斜率的取值范 围是 []12, 1, PA --那么直线 斜率的取值范围是
(A ) 1324?????? (B ) 3384??
???? (C ) 112??
????, (D ) 314
??????
,
(9)若函数 ()211=, 2f x x ax a x ??
++
∞ ???
在 是增函数,则 的取值范围是 (A ) []-1, 0 (B ) []-∞1, (C ) []0, 3 (D ) []3∞, + (10) 已知正四棱锥 1111112, ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中, 则 与平面 所成角 的正弦值 等于
(A )
23 (B
) 3 (C
) 3
(D ) 13 (11)已知抛物线 ()2:82,2, C C y x M k C =-与点 过 的焦点,且斜率为 的直线与 交于
, 0, A B MA MB k ==
两点 , 若 则
(A )
12 (B
) 2
(C
(D ) 2 (12)已知函数 ()=cossin 2, f x x x 下列结论中正确的是
(A ) ()(),0y f x π=的图像关于 中心对称 (B ) ()2
y f x x π
==的图像关于 对称
(C ) (
)f x (D ) ()f x 既是奇函数,又是周期函数 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
(13)已知 1sin , cot 3
a a a =-=是第三象限角,
则 . (14) 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 . (用数字
作答)
(15) 记 不 等 式 组 0, 34, 34, x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所 表 示 的 平 面 区 域 为 . D 若 直 线
()1y a x D a =+与 有公共点,则 的取值范围是 .
(16) 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ,
3
602OK O K = ,且圆 与圆 所在的平面所成角为 , 则球 O 的表面积等于 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)
等差数列 {}n a 的前 n 项和为 232124. =, , , n S S a S S S 已知 且 成等比数列,求 {}n a 的通 项式 . 18. (本小题满分 12分)
设
()(), , , , , .
ABC A B C a b c a b c a b c ac ?++-+=的内角 的对边分别为
(I )求 ; B
(II
)若
sin sin C. A C =
求
19. (本小题满分 12分)
如图,四棱锥 902, P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==?? 中, , 与 都 是等边三角形 .
(I ) 证明:; PB CD ⊥
(II ) 求二面角 . A PD C --的大小
20. (本小题满分 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比
赛结束时, 负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 1
, 2
各局比赛的
结果都相互独立,第 1局甲当裁判 .
(I ) 求第 4局甲当裁判的概率;
(II ) X 表示前 4局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望 .
21. (本小题满分 12分)
已知双曲线 ()22
1222:10, 0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为 , , 离心率为 3,
直线
2y C =与
(I ) 求 , ; a b ;
(II ) 2F l C A B 设过 的直线 与 的左、右两支分别相交于 、 两点,且
11, AF BF -证明:22. AF AB BF 成等比数列
22. (本小题满分 12分)
已知函数 ()()()
1=ln 1. 1x x f x x x
λ++-
+
(I ) 若 ()0, 0, x f x λ≥≤时 求 的最小值 ; ;
(II ) 设数列 {}21111
1, ln 2. 234n n n n a a a a n n
=+++???+-+
>的通项 证明:
范文三:2013年高考理科数学(大纲版全国卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(大纲版全国卷)
数 学(理科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 .
(1)设集合 {}{}{}1,2,3, 4,5, |, , , A B M x x a b a A b B ====+∈∈则 M 中元素的 个数为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6 (2
) ()
3
=
(A ) 8- (B ) 8 (C ) 8i - (D ) 8i (3)已知向量 ()()()()1,1, 2, 2, , =m n m n m n λλλ=+=++⊥-若 则
(A ) 4- (B ) -3 (C ) 2- (D ) -1 (4)已知函数 ()()()-1,021f x f x -的定义域为 ,则函数 的定义域为
(A ) ()1,1- (B ) 11,
2??- ??? (C ) ()-1,0 (D ) 1,12??
???
(5)函数 ()()1=log 10f x x x ?
?+
> ???
的反函数 ()1
=f x - (A )
()1021x x >- (B ) ()1
021
x x ≠-
(C ) ()21x
x R -∈ (D ) ()210x
x -> (6)已知数列 {}n a 满足 {}124
30, , 103
n n n a a a a ++==-
则 的前 项和等于 (A ) ()
-10-61-3 (B )
()-101
1-39
(C ) ()-1031-3 (D ) ()-1031+3 (7) ()()3
4
2211+x y x y +的展开式中 的系数是
(A ) 56 (B ) 84 (C ) 112 (D ) 168
(8)椭圆 22
122:1, , 46
x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为 点 在 上且直线 斜率的取值
范围是 []12, 1, PA --那么直线 斜率的取值范围是
(A ) 1324?????? (B ) 3384??
???? (C ) 112??
????, (D ) 314
??????
,
(9)若函数 ()2
11=, 2f x x ax a x ??
++
∞ ???
在 是增函数,则 的取值范围是 (A ) []-1, 0 (B ) []-∞1, (C ) []0, 3 (D ) []3∞, + (10) 已知正四棱锥 1111112, ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中, 则 与平面 所成角 的正弦 值等于
(A )
23 (B
(C
(D ) 1
3
(11)已知抛物线 ()2
:82, 2, C C y x M k C =-与点 过 的焦点,且斜率为 的直线与 交于
, 0, A B MA MB k ==
两点 , 若 则
(A )
1
2
(B
(C
(D ) 2
(12)已知函数 ()=cos sin 2, f x x x 下列结论中正确的是
(A ) ()(),0y f x π=的图像关于 中心对称 (B ) ()2
y f x x π==的图像关于 对称
(C ) (
)f x (D ) ()f x 既是奇函数,又是周期函数 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
(13)已知 1sin , cot 3
a a a =-=是第三象限角, 则 .
(14) 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 . (用数
字作答)
(15) 记 不 等 式 组 0,
34, 34, x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所 表 示 的 平 面 区 域 为 . D 若 直 线
()1y a x D a =+与 有公共点,则 的取值范围是 (16) 已 知 圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大 圆 和 小 圆 , 其 公 共 弦 长 等 于 球 O 的 半 径 ,
3
602
OK O K = ,且圆 与圆 所在的平面所成角为 , 则球 O 的表面积等于 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)
等差数列 {}n a 的前 n 项和为 2
32124.
=, , , n S S a S S S 已知 且 成等比数列,求 {}n a 的 通项式 .
设
(I )求
(II )若
19. (本小题满分 12分)
如图,四棱锥 902, P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==??
中, , 与 都是等边三角形 .
(I ) 证明:; PB CD ⊥
(II ) 求二面角 . A PD C --的大小
20. (本小题满分 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比
赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 1
, 2
各局比赛
的结果都相互独立,第 1局甲当裁判 .
(I ) 求第 4局甲当裁判的概率;
(II ) X 表示前 4局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望 .
()(), , , , , .
ABC A B C a b c a b c a b c ac ?++-+=的内角 的对边分别为 ;
B
已知双曲线 ()22
1222:10, 0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为 , , 离心率为 3,
直线
2y C =与
(I ) 求 , ; a b ;
(II ) 2F l C A B 设过 的直线 与 的左、右两支分别相交于 、 两点,且
11, AF BF -证明:22. AF AB BF 成等比数列
22. (本小题满分 12分)
已知函数 ()()()
1=ln 1. 1x x f x x x
λ++-
+
(I ) 若 ()0, 0, x f x λ≥≤时 求 的最小值 ; ;
(II ) 设数列 {}21111
1, ln 2. 234n n n n a a a a n n
=+++???+-+>的通项 证明:
参考答案
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . (1) B (2) A (3) B (4) B (5) A (6) C (7) D (8) B (9) D (10) A (11) D (12) C 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
(13) 22 (14) 480 (15) [4, 2
1
] (16) 16 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)
18. (本小题满分 12分)
19. (本小题满分 12分)
20. (本小题满分 12分)
21. (本小题满分 12分)
22. (本小题满分 12分)
范文四:2013年高考真题—理科数学(大纲卷)精校精析
2013年高考真题精校精析
2013·全国卷 (理科数学 )
1. 设集合 A ={1, 2, 3}, B ={4, 5}, M ={x |x =a +b , a ∈ A , b ∈ B },则 M 中元素的个数为 ( )
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
1. B [解析 ] 1, 2, 3与 4, 5分别相加可得 5, 6, 6, 7, 7, 8,根据集合中元素的互异性可得 集合 M 中有 4个元素.
2. (13i) 3=( ) A .-8 B . 8 C .-8i D . 8i
2. A [解析 ] (1+3i) 3=13+3×12(3i) +3×1×(3i) 2+(3i) 3=1+3i -9-3i =-8. 3. 已知向量=(λ+1, 1) ,=(λ+2, 2) ,若 (+)(-) ,则 λ=( ) A .-4 B .-3 C .-2 D .-1
3. B [解析 ] (+) ⊥ (-) ? (+)·(-) =0? 2=2,所以 (λ+1) 2+12=(λ+2) 2+22,解得 λ=-3. 4. 已知函数 f (x ) 的定义域为 (-1, 0) ,则函数 f (2x +1) 的定义域为 ( ) A . (-1, 1) B. ??-1,-1
2 C . (-1, 0) D. ????
121
4. B [解析 ] 对于 f (2x +1) ,-1<2x>2x><>
2
,即函数 f (2x +1) 的定义域为
?
???-1,-12.
5. 函数 f (x ) =log 2????1+1
x (x >0)的反函数 f -1(x ) =( ) A. 12-1(x >0) 1
2-1
(x ≠ 0) C . 2x -1(x ∈ ) D . 2x -1(x >0)
5. A [解析 ] 令 y =log 2????1+1x , 则 y >0, 且 1+1x =2y , 解得 x =12-1, 交换 x , y 得 f -1(x ) =12-1(x >0).
6. 已知数列 {a n }满足 3a n +1+a n =0, a 2=-4
3{a n }的前 10项和等于 ( )
A .-6(1-3-10
) B. 1
9
(1-310)
C . 3(1-3
-10
) D . 3(1+3-10
)
6. C [解析 ] 由 3a n +1+a n =0,得 a n ≠ 0(否则 a 2=0) 且
a n +1a n =-13{a n }是公比为-1
3
的
等比数列,代入 a 2可得 a 1=4,故 S 10=
4×???
?1-????-1
310
1+1
3
3×???
?1-????1310
=3(1-3-
10) .
7. (1+x ) 8(1+y ) 4的展开式中 x 2y 2的系数是 ( ) A . 56 B . 84 C . 112 D . 168
7. D [解析 ] (1+x ) 8展开式中 x 2的系数是 C 28, (1+y ) 4的展开式中 y 2的系数是 C 2
4,根据多项式
乘法法则可得 (1+x ) 8(1+y ) 4展开式中 x 2y 2的系数为 C 28C 2
4=28×6=168.
8. 、 椭圆 C :x 24y 2
31的左、右顶点分别为 A 1, A 2,点 P 在 C 上且直线 P A 2斜率的取值范围
是 [-2,-1],那么直线 P A 1斜率的取值范围是 ( )
A. ??1234 B. ????3834 C. ????12, 1 D. ???
?3
41 8. B [解析 ] 椭圆的左、 右顶点分别为 (-2, 0) , (2, 0) , 设 P (x 0, y 0) , 则 kP A 1kP A 2y x 0+2y x 0-2
=y 2
x 0-4
,而 x 24y 231,即 y 20=34-x 2
0) ,所以 kP A 1kP A 2=-34,所以 kP A 1=-34kP A 2∈ ????3834. 9. 、 若函数 f (x ) =x 2+ax +1x ????1
2,+∞ 是增函数,则 a 的取值范围是 ( ) A . [-1, 0] B . [-1,+∞ )
C . [0, 3] D . [3,+∞ )
9. D [解析 ] f ′ (x ) =2x +a -1x ≥ 0在 ????12,+∞ 上恒成立,即 a ≥ 1
x 2x 在 ????12,+∞ 上恒成立, 由于 y =1
x
2x 在 ????12,+∞ 上单调递减,所以 y <3,故只要 a="" ≥="" 3.="" 10.="" 已知正四棱柱="" abcd="" -a="" 1b="" 1c="" 1d="" 1中,="" aa="" 1="2AB" ,则="" cd="" 与平面="" bdc="">3,故只要>
( )
A. 23 B. 33 C. 23 D. 13
10. A [解析 ] 如图, 联结 AC , 交 BD 于点 O . 由于 BO ⊥ OC , BO ⊥ CC 1, 可得 BO ⊥平面 OCC 1, 从而平面 OCC 1⊥平面 BDC 1,过点 C 作 OC 1的垂线交 OC 1于点 E ,根据面面垂直的性质定理可得 CE ⊥平面 BDC 1,∠ CDE 即为所求的线面角.设 AB =2,则 OC =2, OC 1=18=3 2,所以 CE
=CC 1·OC OC 14 23 2=43
,
所以 sin ∠ CDE =CE CD 23
.
11. 、 已知抛物线 C :y 2=8x 与点 M (-2, 2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A , B 两 点.若 MA → ·MB =0,则 k =( )
A. 12 B. 2
2
C. 2 D . 2
11. D [解析 ] 抛物线的焦点坐标为 (2, 0) ,设直线 l 的方程为 x =ty +2,与抛物线方程联立得 y 2-8ty -16=0. 设 A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ,则 y 1y 2=-16, y 1+y 2=8t , x 1+x 2=t (y 1+y 2) +4=8t 2+4, x 1x 2=t 2y 1y 2+2t (y 1+y 2) +4=-16t 2+16t 2+4=4.
MA → ·MB → =(x 1+2, y 1-2)·(x 2+2, y 2-2) =x 1x 2+2(x 1+x 2) +4+y 1y 2-2(y 1+y 2) +4 =4+16t 2+8+4-16-16t +4=16t 2-16t +4=4(2t -1) 2=0,解得 t 12k =1t 2.
12. 、 已知函数 f (x ) =cos x sin 2x ,下列结论中错误的是 ( )
A . y =f (x ) 的图像关于点 (π, 0) 中心对称 B . y =f (x ) 的图像关于直线 x π
2
C . f (x ) 32
D . f (x ) 既是奇函数,又是周期函数
12. C [解析 ] 因为对任意 x , f (π-x ) +f (π+x ) =cos x sin 2x -cos x sin 2x =0,故函数 f (x ) 图像 关于点 (π, 0) 中心对称;因为对任意 x 恒有 f (π-x ) =cos x sin 2x =f (x ) ,故函数 f (x ) 图像关于直线 x =
π
2对称; f (-x ) =-f (x ) , f (x +2π) =f (x ) ,故 f (x ) 既是奇函数也是周期函数;对选项 C 中, f (x ) =2cos 2x sin x =2(1-sin 2x )sin x ,令 t =sin x ∈ [-1, 1],设 y =(1-t 2) t =-t 3+t , y ′ =-3t 2+1,可得函数 y 的极 大值点为 t =
3y 在 []-1, 1上的极大值为-13
3
+3=2 9
0,故函 数 y 在区间 []-1, 1的最大值为 2 39f (x ) 的最大值为 43
9
C 中的结论错误.
13. 已知 α是第三象限角, sin α=-1
3
,则 cot α=________.
13. 2 2 [解析 ] cosα1-sin α=-2 23cot α=cos α
sin α
=2 2.
14. 、 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 ________种. (用数字作答 ) 14. 480 [解析 ] 先排另外四人,方法数是 A 4
4,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是 A 25,
根据乘法原理得不同排法共有 A 44A 2
5=24×20=480种.
15. 记不等式组 ????
?x ≥ 0, x +3y ≥ 4, 3x +y ≤ 4
所表示的平面区域为 D . 若直线 y =a (x +1) 与 D 有公共点,则 a 的
取值范围是 ________.
15. ????12, 4 [解析 ] 已知不等式组表示的平面区域如图 1-2中的三角形 ABC 及其内部,直线 y =a (x +1) 是过点 (-1, 0) 斜率为 a 的直线,该直线与区域 D 有公共点时, a 的最小值为 MA 的斜率, 最大值为 MB 的斜率,其中点 A (1, 1) , B (0, 4) ,故 MA 的斜率等于 1-01-(-1) =12MB 的斜率等
于 4-00-(-1)
=4,故实数 a 的取值范围是 ????124
. 16. 、 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK =3
2,且圆 O
与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°,则球 O 的表面积等于 ________.
16. 16π [解析 ] 设两圆的公共弦 AB 的中点为 D ,则 KD ⊥ DA , OD ⊥ DA ,∠ ODK 即为圆 O 和和圆 K 所在平面所成二面角的平面角,所以∠ ODK =60°. 由于 O 为球心,故 OK 垂直圆 K 所在平
面,所以 OK ⊥ KD . 在直角三角形 ODK OK OD sin60°,即 OD 32×2
3= 3,设球的半径为 r ,则
DO 32r ,所以 3
2
=3,所以 r =2,所以球的表面积为 4πr 2=16π.
17. 、 等差数列 {a n }前 n 项和为 S n . 已知 S 3=a 22,且
S 1, S 2, S 4成等比数列,求 {a n }的通项公式.
17. 解:设 {a n }的公差为 d .
由 S 3=a 22,得 3a 2=a 2
2,故 a 2=0或 a 2=3.
由 S 1, S 2, S 4成等比数列得 S 2
2=S 1S 4.
又 S 1=a 2-d , S 2=2a 2-d , S 4=4a 2+2d , 故 (2a 2-d ) 2=(a 2-d )(4a 2+2d ) .
若 a 2=0,则 d 2=-2d 2,所以 d =0, 此时 S n =0,不合题意;
若 a 2=3,则 (6-d ) 2=(3-d )(12+2d ) , 解得 d =0或 d =2.
因此 {a n }的通项公式为 a n =3或 a n =2n -1. 18. 、 设△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , (a +b +c )(a -b +c ) =ac . (1)求 B ; (2)若 sin A sin C =
3-1
4
C .
18. 解:(1)因为 (a +b +c )(a -b +c ) =ac ,所以 a 2+c 2-b 2=-ac . 由余弦定理得 cos B =a 2+c 2-b 22ac 1
2,
因此 B =120°.
(2)由 (1)知 A +C =60°,所以
cos(A -C ) =cos A cos C +sin A sin C =cos A cos C -sin A sin C +2sin A sin C =cos(A +C ) +2sin A sin C =1
223-14=2
, 故 A -C =30°或 A -C =-30°, 因此 C =15°或 C =45°. 19. 、 如图,四棱锥 P -ABCD 中,∠ ABC =∠ BAD =90°, BC =2AD ,△ P AB 和△ P AD 都是等 边三角形.
(1)证明:PB ⊥ CD ;
(2)求二面角 A -PD -C 的大小.
19. 解:(1)取 BC 的中点 E ,联结 过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O . 联结 OA , OB , OD , OE .
由△ P AB 和△ P AD 都是等边三角形知 P A =PB =PD ,
所以 OA =OB =OD ,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE ⊥ BD ,从而 PB ⊥ OE .
因为 O 是 BD 的中点, E 是 BC 的中点,所以 OE ∥ CD . 因此 PB ⊥ CD
.
(2)解法一:由 (1)知 CD ⊥ PB , CD ⊥ PO , PB ∩ PO =P , 故 CD ⊥平面 PBD .
又 PD ? 平面 PBD ,所以 CD ⊥ PD .
取 PD 的中点 F , PC 的中点 G ,连 FG . 则 FG ∥ CD , FG ⊥ PD .
联结 AF ,由△ APD 为等边三角形可得 AF ⊥ PD . 所以∠ AFG 为二面角 A -PD -C 的平面角. 联结 AG , EG ,则 EG ∥ PB . 又 PB ⊥ AE ,所以 EG ⊥ AE .
设 AB =2,则 AE =2 2, EG =1
2PB =1,
故 AG =AE +EG =3,
在△ AFG 中, FG =1
2CD =2, AF =3, AG =3.
所以 cos ∠ AFG =FG 2+AF 2-AG 22·FG ·AF =-3因此二面角 A -PD -C 的大小为 π-arccos
6
3
解法二:由 (1)知, OE , OB , OP 两两垂直.
以 O 为坐标原点, OE →
的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz
.
设 |AB →
|=2,则
A (-2, 0, 0) , D (02, 0) , C (2 22, 0) , P (0, 02) ,
PC → =(2 2,-2,-2) , PD →
=(02,-2) , AP → =2, 0, 2) , AD →
=22, 0) . 设平面 PCD 的法向量为 1=(x , y , z ) ,则 1·PC →
=(x , y , z )·(2 2,-2,-2) =0,
1·
PD → =(x , y , z )·(022) =0,
可得 2x -y -z =0, y +z =0.
取 y =-1,得 x =0, z =1,故 1=(0,-1, 1) . 设平面 P AD 的法向量为 2=(m , p , q ) ,则 2·
AP →
=(m , p , q 2, 0, 2) =0, 2·AD → =(m , p , q 2,-2, 0) =0,
可得 m +q =0, m -p =0.
取 m =1,得 p =1, q =-1,故 2=(1, 1,-1) . 于是 cos 〈, 2〉=
n ·n |n 1||n2|6
3
. 由于〈, 2〉等于二面角 A -PD -C 的平面角,所以二面角 A -PD -C 的大小为 π-arccos
6
3
20. 、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 1
21局甲当
裁判.
(1)求第 4局甲当裁判的概率;
(2)X 表示前 4局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 20. 解:(1)记 A 1表示事件“第 2局结果为甲胜”, A 2表示事件“第 3局甲参加比赛,结果为甲负”, A 表示事件“第 4局甲当裁判”. 则 A =A 1·A 2. P (A ) =P (A 1·A 2) =P (A 1) P (A 2) 14
.
(2)X 的可能取值为 0, 1, 2.
记 A 3表示事件“第 3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”, B 1表示事件“第 1局结果为乙胜丙”,
B 2表示事件“第 2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, B 3表示事件“第 3局乙参加比赛时,结果为乙负”. 则 P (X =0) =P (B 1·B 2·A 3) =P (B 1) P (B 2) P (A 3) =1
8,
P (X =2) =P (B 1·B 3) =P (B 1) P (B 3) =1
4
P (X =1) =1-P (X =0) -P (X =2) =1-18-14=5
8
E (X ) =0·P (X =0) +1·P (X =1) +2·P (X =2) 9
8
.
21. 、 、 已知双曲线 C :x 2a -y 2
b =1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2,离心率为 3,直线
y =2与 C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求 a , b ;
(2)设过 F 2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A , B 两点,且 |AF 1|=|BF 1|,证明:|AF 2|, |AB |, |BF 2|成等比数列.
21. 解:(1)由题设知 c
a =3,即 a 2+b 2a =9,故 b 2=8a 2.
所以 C 的方程为 8x 2-y 2=8a 2. 将 y =2代入上式,求得 x =a 22
由题设知, 2
a 2+2
6,解得 a 2=1.
所以 a =1, b =2 2.
(2)证明:由 (1)知, F 1(-3, 0) , F 2(3, 0) , C 的方程为 8x 2-y 2=8. ① 由题意可设 l 的方程为 y =k (x -3) , |k |<2 2,代入①并化简得="" (k="" 2-8)="" x="" 2-6k="" 2x="" +9k="" 2+8="0." 设="" a="" (x="" 1,="" y="" 1)="" ,="" b="" (x="" 2,="" y="" 2)="" ,则="" x="" 1≤-1,="" x="" 2≥="">2>
x 1+x 26k 2
k -8x 1x 2=9k 2+8k -8
.
于是 |AF 1|=(x 1+3) +y 1(x 1+3) +8x 1-8=-(3x 1+1) ,
|BF 1|=(x 2+3) +y 2=(x 2+3) +8x 2-8=3x 2+1.
由 |AF 1|=|BF 1|得-(3x 1+1) =3x 2+1,即 x 1+x 2=-2
3.
故 6k 2k -8
23k 245x 1x 2=-199.
由于 |AF 2|=(x 1-3) +y 1(x 1-3) +8x 1-8=1-3x 1,
|BF 2|=(x 2-3) +y 2=(x 2-3) +8x 2-8=3x 2-1, 故 |AB |=|AF 2|-|BF 2|=2-3(x 1+x 2) =4, |AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2) -9x 1x 2-1=16. 因而 |AF 2|·|BF 2|=|AB |2,
所以 |AF 2|, |AB |, |BF 2|成等比数列.
22. 已知函数 f (x ) =ln(1+x ) x (1+λx)
1+x .
(1)若 x ≥ 0时 f (x ) ≤ 0,求 λ的最小值;
(2)设数列 {a n }的通项 a n =1+12+13+?+1n ,证明:a 2n -a n +1
4n >ln 2.
22. 解:(1)由已知 f (0)=0, f ′ (x ) =(1-2λ) x -λx2
(1+x ) , f ′ (0)=0.
若 λ<>
2,则当 0
若 λ≥ 1
2,则当 x >0时, f ′ (x ) <0,所以当 x="">0时, f (x ) <>
综上, λ的最小值是 1
2
.
(2)令 λ=1
2. 由 (1)知,当 x >0时, f (x ) <>
即 x (2+x ) 2+2x ln (1+x ) .
取 x =1
k ,则 2k +12k (k +1) ln k +1k .
于是 a 2n -a n +14n =∑k =n 2n -1 ???
1
2k 12(k +1)
=∑k =n
2n -1
2k +12k (k +1)
>k =n 2n -1ln
k +1
k
=ln 2n -ln n =ln 2.
所以 a 2n -a n +1
4n >ln 2.
范文五:2013年高考大纲卷数学(理)试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 {}{}{}1, 2,3, 4,5, |, , , A B M x x a b a A b B ====+∈∈则 M 中的元素个数为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6 2
. ()
3
=
(A ) 8- (B ) 8 (C ) 8i - (D ) 8i
3.已知向量 ()()1,1, 2, 2m n λλ=+=+ ,若 ()()
m n m n +⊥-
,则 =λ
(A ) 4- (B ) 3- (C ) 2- (D ) -1 4.已知函数 ()f x 的定义域为 ()1,0-,则函数 ()21f x -的定义域为
(A ) ()1,1- (B ) 11, 2??- ??? (C ) ()-1,0 (D ) 1,12??
???
5.函数 ()()21=log 10f x x x ?
?+
> ???
的反函数 ()1
=f x - (A )
()1021x x >- (B ) ()1021
x
x ≠- (C ) ()21x x R -∈ (D ) ()210x
x -> 6.已知数列 {}n a 满足 124
30, 3
n n a a a ++==-
,则 {}n a 的前 10项和等于 (A ) (
)10
613
--- (B ) ()10
1139
-- (C ) ()10
313-- (D ) ()10
31+3-
7. ()()8
4
11+x y +的展开式中 22
x y 的系数是
(A ) 56 (B ) 84 (C ) 112 (D ) 168
8.椭圆 22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为 12, A A ,点 P 在 C 上且直线 2PA 的斜率的取值范围是 []2, 1--, 那么直线 1PA 斜率的取值范围是
(A ) 1324?????? (B ) 3384??
???? (C ) 112??
????, (D ) 314??????
,
9.若函数 ()2
1=f x x ax x ++
在 1, +2??
∞ ???
是增函数,则 a 的取值范围是 (A ) [-1,0] (B ) [1, ) -+∞ (C ) [0,3] (D ) [3,) +∞
10.已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -中 12AA AB =,则 CD 与平面 1BDC 所成角的正弦值等于
(A )
23 (B
(C
) 3 (D ) 1
3
11.已知抛物线 2
:8C y x =与点 ()2, 2M -,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 , A B 两点,若
0MA MB =
,则 k =
(A ) 1
2
(B
) 2 (C
(D ) 2
12.已知函数 ()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是
(A ) ()y f x =的图像关于 (),0π中心对称 (B ) ()y f x =的图像关于直线 2
x π
=对称
(C ) ()f x
(D ) ()f x 既奇函数,又是周期函数 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
13.已知 α是第三象限角, 1sin 3
a =-,则 cot a = .
14. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 . (用数字作答)
15.记不等式组 0, 34, 34, x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面 区域为 D ,若直线 ()1y a x =+与 D 公共点,则 a 的取值范围
是 .
16.已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, 3
2
OK =,且圆 O 与圆 K 所在的 平面所成的一个二面角为 60
,则球 O 的表面积等于 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)等差数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ,已知 2
32=S a ,且 124, , S S S 成等比数列,求 {}n a 的
通项式。 18. (本小题满分 12分)设 ABC ?的内角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c , ()() a b c a b c ac ++-+=。 (I )求 B ;
(II
)若 1
sin sin 4
A C =
,求 C 。 19. (本小题满分 12分) 如图, 四棱锥 P ABCD -中,
902, ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==? , 与 PAD ?都是等边三角形。
(I )证明:; PB CD ⊥ (II )求二面角 A PD C --的大小。
20. (本小题满分 12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束 时, 负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为
1
, 2
各局比赛的结果相互独立,
第 1局甲当裁判 . (I )求第 4局 甲当裁判的概率;
(II ) X 表示前 4局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望。
21. (本小题满分 12分)已知双曲线 ()22
22:10, 0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为 12F F , ,离心率为 3,
直线 2y =与 C
。
(I )求 a , b ;
(II ) 设过 2F 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别相交于 , A B 两点, 且 11AF BF =, 22AF AB BF 成等比数列。
22. (本小题满分 12分)已知函数 ()()()1=ln 1. 1x x f x x x
λ++-
+
(I )若 0x ≥时, ()0f x ≤,求 λ的最小值; (II )设数列 {}211111, ln 2. 234n n n n a a a a n n
=+++???+-+>的通项 证明:
参考答案
一、选择题
1. B 2. A 3. B 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A 11. D 12. C 二、填空题
13.
. 480 15.
1
[, 4]
2
16. 16
三、解答题 17.
18. 19.
20.
21.
22.
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0,所以当>2(1-2λ)>