范文一:delta函数的傅里叶变换
δ函数是一个极限意义下的函数, 又因为函数越尖, 频谱越平 (上图由于做图软件的原因没 有改变坐标轴名称,横轴应当是 ω) ,所以考虑能否用数学上的 N ε-语言刻画这种渐进的 行为。
δ函数可以看作是某些函数序列的极限。对于最简单的矩形函数序列
()1
2102n n x n f x x n ?≤
??
=?
?>
??
, 可以看出,它满足 ()1n f x dx +∞
-∞
=?
, ()()lim n n f x x δ→∞
=。
对任意有限的 n ,函数平方可积,傅里叶变换存在,为
()()1/20
2cos 2sin
2i x n n n
F f x e dx
n xdx n
n
ωωωω
ω
+∞--∞
===
?
?
由不等式 353
sin 3! 5! 3!
x x x x x x =-+-≥-
所以
()3
2
2sin
2212621162n n
F n
n n n n ω
ωω
ωωωω=
????≥-?? ???????
??=- ?
??
在 0ω=处
()()01n n F f x dx +∞
-∞
==?
故关于频谱的“水平程度” ,有
()()()2
2
1062n n F F n ωω-≤
用 N ε-语言, 对于任意给定的 0ω≠, 0ε?>, 存在 0N >, 使得 n N >时,
()()0n n F F ωε-
。
所以当 n 充分大时, ()n f x 的像函数 ()n F ω在有限区间上收敛于常函数 1y =。事实上这还是 一个一致收敛:
对 , ωωω'?∈?-???,由 ()2sin
2n n
F n
ω
ωω
=
,当 n 满足
2n
ω
π<>
()()()()00n n n n F F F F ωω'-≤-
看来 δ函数的傅里叶变换确实可以用 N ε-语言描述。以上是对矩形函数序列的证明,至于 一般的函数序列,我感觉应该也是如此,但证明就不会了。
δ函数在极限意义下理解, 那么看来 δ函数的傅里叶变换也应在极限条件下理解, 即一个趋 近于 δ函数的函数的傅里叶变换趋近于常函数。
其逆变换大概也要从这种意义下理解。不过物理意义倒是十分清楚:
傅里叶变换与逆变换相互的, 对于时域中的一个单纯的正弦型函数, 频率取确定值, 频谱密 度自然是在这一点无穷大,其他地方为 0。这里常函数相当于一个频率为 0的余弦函数,自 然变换后就成了 δ函数。频域积分和时域积分只差一个负号,故两者是一致的。
范文二:傅里叶变换的性质及常用函数的傅里叶变换
表6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
,,,,1j,tj,t, f(t),F(,)ed,F(,),f(t)edt,,2,,,,,
连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对
重重连续时间函数 傅里叶变换 连续时间函数 傅里叶变换 f(t)f(t)F(,)F(,)要 要
,(t)2,,(,)? 1 1 ?
j, td? d j2,,(,),(t)ddt,
kkk td dkk j(j,),(t)2,,(,)kkdtd,
u(t)u(,)111? , (t),,,,(,)2j2,tj,
tu(t) d1,,, j,()2,,d
,1,t,0,,,0j,,2 1 ,sgn(t), (), F ,t,0,,j,,1,t,0,,0j,,,,
,j,tj,t00 ,(t,t)2,,(,,,) ee? ? 00
cost2cost,,[,(,,,),,(,,,)],(t,t),,(t,t), 000000
sin,tj,[,(,,,),,(,,,)],(t,t),,(t,t)j2sin,t 000000
? ? W,,,,,,1,t,,W1, Sa()Sa(Wt),,,, f(t),F(),,2,,0,t,,0,,,W,,,,
? ,,WWt22,,,,,,,,1t,t1,W,,W Sa()()Sa,,,, ,f(t)F,(),222,,0,,0,t,,,W,,,,
11? ,at,,, eu(t),Re{a},02,eu(,),,,0a,j,,,jt
, 2a,at,,, e,Re{a},0 ,e,,,02222,,at,,
,a,j? ,at ecos,tu(t),Re{a},0220(a,j,),,0
,? 0,at esin,tu(t),Re{a},0220(a,j,),,0
11 ,at,,, ,,,0 teu(t),Re{a},02,,eu(,)22(a,j,)jt(,),
k,1,at1te u(t),Re{a},0k(a,j,)(k,1)!
,,,,22? ,,,(t),,(t,lT) (k) ,,,,T,lTT,,,k,,,
,,t? 22,(),()2, ,,e e
()(),,,,,,,,? ,, ,00 [u(t,),u(t,)]cos,t []Sa,Sa022222
,,,, ,jkt0Fe 2,F,(,,k,) ,,k0kkk,,,,,,
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
,,,,1j,tj,t, f(t),F(,)ed,F(,),f(t)edt,,2,,,,,
,,,,1 Fftdt(0)(),,,,fFd(0)(),,,,,,2,
连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对
重名称 连续时间函数名称 连续时间函数傅里叶变换重 傅里叶变换F(), f(t)f(t)F(,)要 要
,f(t),,f(t),F(,),,F(,)? 线性 1212
f(at),a,01,? 尺度 F()aa比例
变换
f(t)g(,)g(t)2,f(,,) 对偶 ? 性
f(t,t)F(,,,)? 时移 ? 频移 00,j,tj,t00 f(t)eF(,)e
j,F(,),jtf(t) 时域频域? dd f(t)F(,)dtd,微分微分
性质 性质
,F()f(t)t, 时域频域 ,,F(0),(,),,f(0),(t) f(,)d,F(,)d,,,,,,,,jtj,积分积分
性质 性质
f(t)*h(t)F(,)H(,)f(t)p(t)? 时域频域? 1 F(,)*P(,)2,卷积卷积
性质 性质
F(,)f(,t),? 对称奇偶 是实函数 f(t) ,,jImF(,)性 虚实** F(,,)f(t),, ,,f(t),Odf(t)ReF(,)性质 o
,,f(t),Evf(t)e** f(,t)F(,)
f(t),f(t)u(t)F(,),R(,),jI(,) 希尔 伯特1,, R(),I()*,,变换
,,,,,,,,,1212,? 时域频域 f(t,n)F(k) f(t),(t,nT),F(,),(,,k,),,,,,0,,n,,,TTnkk,,,,,,,,,00抽样 抽样
? 帕什 2,,12f(t)dt,F(,)d, 瓦尔,,,,,,2,公式
取反----------取反
共轭----共轭取反
共轭取反---
2
范文三:余弦函数 周期方波的傅里叶变换
赵永杰 12090040125 第七次作业
求余弦方波的傅立叶级数,并绘出频谱图.
≤t<-t>-t>
≤t≤T/4
≤T/2
2
表达式为偶函数,故:a1
0?T?T
?T2x(t)dt
a2T2
n?T??T2x(t)co?sn0t dt
?2
T??T42
?T2?Acosn?240td?T??4Aco?sn?t20T?t4?
?4A(n?
?4A
n?sinn??(?1)1)/2n?1,3,5,
2???n?
?0n?2,4,6, cAo?s0ntd
2T2bn??x(t)sinn?0tdt T?T2
11(cos?0t?cos3?0t?cos5?0t?因此,有x(t)?5?34A)
得到周期方波的幅频图和相频图如下:
说明:幅值以上式的规律收敛,相频谱中的各次谐波的初相位均为零。 A
Φ
w
范文四:余弦函数 周期方波的傅里叶变换
赵永杰 12090040125 第七次作业 求余弦方波的傅立叶级数,并绘出频谱图.
X(t)
-3T/4 -T/4 0 T/4 3T/4 t 0000
解:周期方波的数学表达式为
-A -T/2?t<-t>-t>
X(t)= A -T/4?t?T/4
-A T/4
T21()axtdt,表达式为偶函数,故: 0,T2,T
T22axtntdt,,()cosn0 ,,T2T
,TTT442222
,,,,,AntdtAntdtAntdt,,,coscoscos000,,,,,TTT244TTT
4A,(1)/2n,(1)1,3,5,,,n?,4An,
,,sinn,, n2,,,?02,4,6,n,
T22
bxtntdt,,()sinn0, ,T2T
14A1,,,?cos5)t因此,有,,,, xtt()(coscos3t00053,
得到周期方波的幅频图和相频图如下:
说明:幅值以上式的规律收敛,相频谱中的各次谐波的初相位均为零。
A4A/πn
4A/5π
0 W 3W 5 W w 000
—4A/3π
Φ(n)
W 3W5Ww 00 0
范文五:求下列函数的傅里叶变换
第13章 傅里叶变换
1( 求下列函数的傅里叶变换
22fxx()cos(),,fxx()sin(),,(1) (2) ,其中为实数。
解 (1)及(2)的Fresenc变换放在一起来解决。
,,2ix,令 Fxedx()sin(),,,1,,,
,,2ix, Fxedx()cos(),,,2,,,
,,2ixix,,假设,则有 ,,0FFiFeedx()()(),,,,,,,21,,,
2,,i,,22,iy4,eeyx(())令 ,, ,,02,,
,,,,,,2iy22因为由傅里叶积分有 edyydyiydy,,cossin,,,000
,,,,2,22,,cossinxdxxdx ,,004
2,,i222,,4,Fei()(),,,所以 ,44,
22,,,,,,, cos()cos()i,,,,,,4444,,,,,
2,,,所以 F()cos(),,,144,,
2,,, F()cos(),,,244,,
,我们把扩大到除0以外的任意实数时,即
2,,,,,ix,2cos()cos()xedx,,当时, ,,0,,,,44,,
,i,,,,,11,ix,cFfcxefcxdxedF,,,,,,()()()(),,,,,, ,,,,ccc
2(设C是一个实常数,试证滞后定理
ic, FftceFf(),,,,,,
,,ix,证 Fftcefxcdx()(),,,,,,,,
,,,,ic,,(),ici,,, ,efd(),eefd(),,,,,,,,,,
ic, ,eFf,,
3(设C是一个不为零的实数,试证相似定理
1,,FfctF()() ,,cC
证 当c,0时
,i,,,,,11,ix,cFfcxefcxdxefdF,,, ()()()() ,,,,,,,,,,ccc当c,0时
,i,,,,,1ix,cFfcxefcxdxefd,,,, ()()() ,,,,,,,,c
,i,,,11,c,,,,,edF ()() ,,,,,ccc
1,,FfcxF()()总之 ,,cC4(求解下列定解问题
2,uau,,0ttxxxx, uxfxx(,0)()(),,,,,,,,
,uxx(,0)0(),,,,,,,t,
解 对方程两端及初值条件施以傅里叶变换得常微分方程哥西问题:
1,4uu,,,0tt2,a,,,,ix,uf(,0)(), 其中 uuxtedx,(,),,,tt,,,,u(,0)0,,t,
,,
2,得通解为 uCatCat,,()cos()sin,,,,12
,代入初始条件得 ufat,()cos,,
,,1ix,,,所以 ufated,,,,()cos,,,2,
,,i,,而 ffed()(),,,,,,,
,,,,1ix(),,, ,fatedd,,,,()cos,,,,,,2,
2,,,,1(),,,,x (由习题1得) fd()cos,,,,,,,,,244atat,,,
2,,,,1(),,,x fd()cos,,,,,,,,,44at2at,,,5. 试求定解问题
uutu,,,txx ,(,0)()()uxfxx,,,,,,,,
的有界解。
解 对方程两端及初始条件施以傅里叶变换得
2,uutu,,,,,t ,|()uf,,,t,0,
122,,,tt2 得 ufe,
,,,,1ix,,i,, 所以 而 uxtued,,ffed()(),,,,(,),,,,,,2,
122,,,,,,,tt1,ixi,,,2,eefedd,,,() ,,,,,,2,
2t2,,,,2e,,,,,()tix ,(),,,feedd,,,,,,2,
2t,,,,21(),,,,,tix2,efeedd,,,() ,,,,,,2,
22(),,xt,,,14t2,,efed,, (应用Laplace积分) (),,,t2,
22(),,xt,,,14t2,efed,, (),,,t2,
6. 试用傅氏变换求方程
uuAu,, txx
的哥西问题的基本解,其中A为常数。
uuAu,,解 求的哥西问题的基本解,即解定解问题: txx
uuAu,,,txx(?)对定解问题(?)的方程及初始条件施以傅里叶变换得 ,(,0)(),,uxx,,,
2,UUAU,,,,,t ,i,,(,0)Ue,,,,
2iAt,,,(),,Uee,解之得
,,,,211ixiAtix,,,,,(),,,所以 uUedeeed,,,,,,,,,,22,,
,,21()),,,Atix,,,, ,eed,,,,2,
,,21Att,, (应用Laplace积分) ,,eexd,,,cos(),,,2,
2(),,xAt,14t ,e
,t2
7. 利用前题结果,写出哥西问题
uuAufxt,,,(,),txx ,,uxxx(,0)()(),,,,,,,,
的求解公式。其中为充分光滑的已知函数,为已知的连续函数。 ,()xfxt(,)解法1 应用基本解 令则原定解问题化为 uxtvxtWxt(,)(,)(,),,
VVAVfxt,,,(,)WWAW,,,,txxtxx(?) (?) ,,(,0)(),Vx(,0)0,Wxx,,,
2(),,xAt,14tWe,定解问题(?)的基本解在6题中已求得:而定解问解(?)的基本
,t2解归结为求定解问题:(定解问题(?)的另一种解法利用傅里叶变化法)
UUAUxt,,,,,()(),,,,,txx ,Ux(,0)0,,
此定解问题表示在时刻t,,的一瞬间,在x,,处放出的单位热量所引起的温度分布。
与6题类次的求法可得
2()x,,,4()t,,eAt(),, (,;,)0,,,,,,Uxtet
2(),t,,
所以定解问题(?)的解为
2()x,,,4()t,,,,teAt(),, ,(,),,,,Vfedd,,,,02(),t,,
2(),,x,,,1At4t所以 uxteed,,,,,(,)(),,,t2,
2()x,,,4()t,,,,teAt(),, (,),,,,fedd,,,,0,2()t,,解法2 对方程两端及初始条件施以傅里叶变换:
2,uuAuft,,,,,,(,),t ,u(,0)(),,,,,,
2,uAuft,,,,,,)(,),t ,u(,0)(),,,,,,
解此一阶线性非齐次方程的哥西问题。
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