范文一:高中数学竞赛讲义_平面几何
平面几何
一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)
梅涅劳斯定理 设 ' , ' , ' C B A 分别是 ΔABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点, 若 ' , ' , ' C B A 三点共线,则
. 1' ' ' ' ' ' =??B
C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 . 1' ' ' ' ' ' =??B
C AC A B CB C A BA 则 ' , ' , ' C B A 三点共线。 塞瓦定理 设 ' , ' , ' C B A 分别是 ΔABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点, 若 ' , ' , ' CC BB AA 三线平行或共点,则 . 1' ' ' ' ' ' =??B
C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设 ' , ' , ' C B A 分别是 ΔABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点,若 . 1' ' ' ' ' ' =??B
C AC A B CB C A BA 则 ' , ' , ' CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ' , ' , ' C B A 分别是 ΔABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则 ' , ' , ' CC BB AA 平行或共点的充要条件是 . 1' sin ' sin ' sin ' sin ' sin ' sin =∠∠?∠∠?∠∠BA
B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB ? CD+BC? AD ≥ AC ? BD ,当且仅当 A , B , C , D 四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设 P 为 ΔABC 的边 BC 上任意一点, P 不同于 B , C ,则有
AP 2=AB2? BC PC +AC2? BC
BP -BP ? PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线, 则该点在三角形的外接 圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、 三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点, 这九 点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为 一条直线,这条直线称根轴)
欧拉定理 ΔABC 的外心 O ,垂心 H ,重心 G 三点共线,且 . 2
1GH OG = 二、方法与例题
1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点 重合。
例 1 在 ΔABC 中,∠ ABC=700,∠ ACB=300, P , Q 为 ΔABC 内部两点,∠ QBC=∠ QCB=100,∠
PBQ=∠ PCB=200,求证:A , P , Q 三点共线。
[证明 ] 设直线 CP 交 AQ 于 P 1, 直线 BP 交 AQ 于 P 2, 因为∠ ACP=∠ PCQ=100, 所以
CQ AC QP AP =1
, ①在 ΔABP , ΔBPQ , ΔABC 中由正弦定理有
2
22sin sin ABP AP B AP AB ∠=∠,② Q BP BQ QP 202sin 20sin ∠=,③ . 70sin 30sin 00AC AB =④ 由②,③,④得 221
1QP AP QP AP =。又因为 P 1, P 2同在线段 AQ 上,所以 P 1, P 2重合,又 BP 与 CP 仅有一个交点,所以 P 1, P 2即为 P ,所以 A , P , Q 共线。
2.面积法。
例 2 见图 16-1,◇ ABCD 中, E , F 分别是 CD , BC 上的点,且 BE=DF, BE 交 DF 于 P ,求证:AP 为∠ BPD 的平分线。
[证明 ] 设 A 点到 BE , DF 距离分别为 h 1,h 2,则
, 2
1, 2121h DF S h BE S ADF ABE ?=?=
?? 又因为 21=?ABE S S ◇ ABCD =SΔADF ,又 BE=DF。 所以 h 1=h2,所以 PA 为∠ BPD 的平分线。
3.几何变换。
例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2, AB 是⊙ O 的一条弦, M 为 AB 中点, CD , EF 为过 M 的任意弦, CF , DE 分别交 AB 于 P , Q 。求证:PM=MQ。
[证明 ] 由题设 OM ⊥AB 。不妨设 BD AF ≤。作 D 关于直线 OM 的对称点 ' D 。
连 结 F D DD M D PD ' , ' , ' , ' , 则 . ' . ' D M Q P M D
DM M D ∠=∠=要 证 PM=MQ, 只 需 证 MDQ M PD ∠=∠' ,又∠ MDQ=∠ PFM ,所以只需证 F , P , M , ' D 共圆。
因为∠ ' PFD =1800-' MDD =1800-∠ D MD ' =1800
-∠ ' PMD 。 (因为 ' DD ⊥OM 。 AB//' DD ) 所以 F , P , M , ' D 四点共圆。所以 ΔM PD ' ≌ ΔMDQ 。所以 MP=MQ。
例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的 相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。
[证明 ] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝 两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为 A , B , C , D , E ,过这两点作半径并将 半径延长分别交大圆于 A 1, B 1, C 1, D 1, E 1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设 为 A 1, B 1, C 1,则 ΔABC 与 ΔA 1B 1C 1都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。
4.三角法。
例 5 设 AD , BE 与 CF 为 ΔABC 的内角平分线, D , E , F 在 ΔABC 的边上,如果∠ EDF=900,
求∠ BAC 的所有可能的值。
[解 ] 见图 16-3,记∠ ADE=α,∠ EDC=β, 由题设∠ FDA=
2π-α,∠ BDF=2
π-β, 由正弦定理:C DE CE A DE AE sin sin , 2
sin sin ==βα, 得 2sin sin sin sin A C CE AE ?=βα,
又由角平分线定理有
BC AB EC AE =,又 A BC C AB sin sin =,所以 A C A C sin sin 2
sin sin sin sin =?βα, 化简得 2cos 2sin sin A =αβ,同理 2cos 2sin sin A ADF BDF =∠∠,即 . 2
cos 2cos cos A =αβ 所以 α
βαβcos cos sin sin =,所以 sin βcos α-cos βsin α=sin(β-α)=0. 又 -π<><π, 所以="" β="α。所以" 212cos="A" ,所以="" a="32π。">π,>
例 6 设 P 是 ΔABC 所在平面上的一点, G 是 ΔABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG.
[证明 ] 因为
+++=+++++=++3,又 G 为 ΔABC 重心,所以 . 0=++
(事实上设 AG 交 BC 于 E ,则 +==2,所以 0=++) 所以 3=++,所以 . ||3||||||||=++≥++ 又因为 , , 不全共线,上式“ =”不能成立,所以 PA+PB+PC>3PG。
6.解析法。
例 7 H是 ΔABC 的垂心, P 是任意一点, HL ⊥PA ,交 PA 于 L ,交 BC 于 X , HM ⊥PB ,交 PB 于 M ,交 CA 于 Y , HN ⊥PC 交 PC 于 N ,交 AB 于 Z ,求证:X , Y , Z 三点共线。
[解 ] 以 H 为原点, 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴, 建立直角坐标系, 用 (xk ,y k ) 表示点 k 对应的坐标,则直线 PA 的斜率为
A P A P x x y y --,直线 HL 斜率为 P A A P y y x x --, 直线 HL 的方程为 x(xP -x A )+y(yP -y A )=0.
又直线 HA 的斜率为 A A x y , 所以直线 BC 的斜率为 A
A y x -, 直线 BC 的方程为 xx A +yyA =xA x B +yA y B , ②又点 C 在直线 BC 上,所以 x C x A +yC y A =xA x B +yA y B .
同理可得 x B x C +yB y C =xA x B +yA y B =xA x C +yA y C .
又因为 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满足①式和②式,所以点 X 坐标满足 xx P +yyP =xA x B +yA y B . ④同理点 Y 坐标满足 xx P +yyP =xB x C +yB y C . ⑤点 Z 坐标满足 xx P +yyP =xC x A +yC y A . 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X , Y , Z 三点共线。
7.四点共圆。
例 8 见图 16-5,直线 l 与⊙ O 相离, P 为 l 上任意一点, PA , PB 为圆的两条切线, A , B 为切点,求证:直线 AB 过定点。
[证明 ] 过 O 作 OC ⊥l 于 C ,连结 OA , OB , BC , OP ,设 OP 交 AB 于 M ,则 OP ⊥AB ,又因为 OA ⊥PA , OB ⊥PB , OC ⊥PC 。
所以 A , B , C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O , A , P , C , B 五点共圆。
范文二:高中数学竞赛讲义-平面几何证明
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?20平面几何证明
1( 线段或角相等的证明
(1)利用全等?或相似多边形;
(2)利用等腰?;
(3)利用平行四边形;
)利用等量代换; (4
(5)利用平行线的性质或利用比例关系
(6)利用圆中的等量关系等。
2( 线段或角的和差倍分的证明
(1)转化为相等问题。如要证明a=b?c,可以先作出线段p=b?c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。
(2)直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt?斜边上的中线等于斜边的一半;?的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3( 两线平行与垂直的证明
(1)利用两线平行与垂直的判定定理。
(2)利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰?的“三线合一”可证明垂直。 (3)利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 例题讲解
1(从?O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。求证:BE平分CD。
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2(?ABC内接于?O,P是弧 AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。
3(已知A为平面上两半径不等的圆O和O的一个交点,两外公切线PP、1212QQ分别切两圆于P、P、Q、Q,M、M分别为PQ、PQ的中点。求证:121212121122
?OAO=?MAM。 1212
4(在?ABC中,AB>AC,?A的外角平分线交?ABC的外接圆于D,DE?AB于E,求证:AE=。.
5(?ABC的顶点B在?O外,BA、BC均与?O相交,过BA与圆的交点K引?ABC平分线的垂线,交?O于P,交BC于M。
求证:线段PM为圆心到?ABC平分线距离的2倍。
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www.docin.com/newmobi 6(在?ABC中,AP为?A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH?AP于H,AM的延长线交BH于Q,求证:PQ?AB。
7(菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作?O的
,交DA于Q。 切线交AB于M,交BC于N,交CD于P
求证:MQ?NP。
8(ABCD是圆内接四边形,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证:KP?AB。
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9(以?ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证:AM?BC。
例题答案:
1. 分析1:构造两个全等?。
连结ED、AC、AF。
CF=DF??ACF??EDF?
? ??PAB=?AEB=?PFB
分析2:利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。
??PFB=?POB?
? 注:连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。 www.docin.com/newmobi
www.docin.com/newmobi 2. 分析:只需证, PM?PN=MS?NT。
(?1=?2,?3=?4)??APM??PBN
??PM?PN=AM?BN
(?BNT=?AMS,?BTN=?MAS)??BNT??SMA
??MS?NT=AM?BN
3. 分析:设B为两圆的另一交点,连结并
延长BA交PP于C,交OO于M,则C为1212
PP的中点,且PM?CM?PM,故CM为MM12112212
的中垂线。
在OM上截取MO=MO,则?MAO=?MAO。 1321322
故只需证?OAM=?OAM,即证。 1131
由?POM?POM,MO=MO,OP=OA,OP=OA可得。 1112221322111222
4.
分
析:
方
法
、1
2AE
=AB-AC
? 在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证?DBF??DCA ? DF=DA,?DBF=?DCA,?DFB=?DAC
??DFA=?DAF=?DAG。
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www.docin.com/newmobi 方法2、延长CA至G,使AG=AE,则只需
证BE=CG
? 连结DG、DC、DB,则只需证
?DBE??DCG
? DE=DG,?DBE=?DCG,
?DEB=?DGC=Rt?。
5.分
析:若
角平分
线过O,
则P、M
重合,
PM=0,
结论显
然成
立。 若角平分线不过O,则延长DO至D‘,使OD’=OD,则只需证DD‘=PM。连结D’P、DM,则只需证DMPD‘为平行四边形。
过O作m?PK,则DD’,KP,??D‘PK=?DKP
BL平分?ABC,MK?BL?BL为MK的中垂线??DKB=?DMK
??D’PK=?DMK,?D‘P?DM。而D’ D?PM,
?DMPD‘为平行四边形。
6.分析:方法1、结合中线和角平分线的性质,考虑用比例证明平行。 倍长中线:延长AM至M’,使AM=MA‘,连结BA’,如图6-1。 www.docin.com/newmobi
www.docin.com/newmobi PQ?AB???
?
?A‘BQ=180?-(?HBA+?BAH+?CAP)= 180?-90?-?CAP=90?-?BAP=?ABQ 方法2、结合角平分线和BH?AH联想对称知识。
-2。则H为BB‘的中点,因为M为BC的中点,延长BH交AC的延长线于B’,如图6/连结HM,则HM?BC。延长HM交AB于O,则O为AB的中点。延长MO至M’,使OM‘=OM,连结M’A、M‘B,则AM’BM是平行四边形,
?MP?AM‘,QM?BM’。于是,,所以PQ?AB。
7.分析:由AB?CD知:要证MQ?NP,只需证?AMQ=?CPN, 结合?A=?C知,只需证?AMQ??CPN?,AM?CN=AQ?CP。 连结AC、BD,其交点为内切圆心O。设MN与?O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。记?ABO=φ,?MOK=α,?KON=β,则
?EOM=α,?FON=β,?EOF=2α+2β=180?-2φ。
??BON=90?-?NOF-?COF=90?-β-φ=α
??CNO=?NBO+?NOB=φ+α=?AOE+?MOE=?AOM
又?OCN=?MAO,??OCN??MAO,于是,
?AM?CN=AO?CO
同理,AQ?CP=AO?CO。
www.docin.com/newmobi
www.docin.com/newmobi 8. 分析:延长KP交AB于L,则只需证?PAL+?APL=90?,
即只需证?PDC+?KPC=90?,只需证?PDC=?PKF,
因为P、F、K、E四点共圆,故只需证?PDC=?PEF,即EF?DC。
????DME??CNF
9. 分析:连结
BE、CD交于H,则
H为垂心,故
AH?BC。(同一法)
设AH?BC于O,
DG、AH交于M,1
EF、AH交于M。2
下面证M、M重12合。
OM?DF??OM=。 11
OM?EG??OM=。 22
只需证OG?DF=EG?OF,即
?Rt?OEG?Rt?ODF??DOF=?DHB=?EHC=?EOG。
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范文三:高中数学竞赛题之平面几何
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第一选 注意添加平行选选选
在同一平面内,不相交的直选叫平行选两条.平行选是初中平面何最基本的几,也是非常重要的选形.在选明某些平面何选几选选,若能依据选选的需要,添加恰的平行选当,选能使选明选选、选选.
添加平行选选选,一般有如下四选情况.
1 选了改选角的位置
大家知道,平行直选被第三直选所截两条条,同位角相等,选角相等内,同旁角互选内.利用选些性选,常可通选添加平行选,某将些角的位置改选,以选足求解的需要.AD
例1 选、选选段上点两,且,,选外一选点(如选1).点当运选到使PQBCBPCQABCA
?,?选,?是什选三角形,选选明的选选你.BAPCAQABC
C答, 点当运选到使?,?选,?选等腰三角形.ABAPCAQABCBQP
选明,如选1,分选选点、作、的平行选得交点.选选.PBACAQDDA选1
在?,?中,选然?,?,?,?.DBPAQCDBPAQCDPBC
由,,可知 ???. 有,,?,?.BPCQDBPAQCDPACBDPQAC
于是,?,?,?.DABPBAPBDP
选、、、四点共选,且四选形选等腰梯形.故,.ADBPADBPABDP
所以,.ABAC
选里,通选作平行选,?将“平推”到?的位置.由于、、、四点共选,使选明选选很.QACBDPADBP
例2 如选2,四选形选平行四选形,?,?.求选,?,?.ABCDBAFBCEEBAADE EP选明,如选2,分选选点、作、的平行选,得交点,选.ABEDECPPEGD?A 由,易知???.有,,,.AB CDPBAECDPAEDPBEC, 选然,四选形、均选平行四选形.有 ?,?,?,?.PBCEPADEBCEBPEAPEADECBF 由?,?,可知 ?,?.BAFBCEBAFBPE选2 有、、、四点共选. 于是,?,?. 所以,?,?.PBAEEBAAPEEBAADE
选里,通选添加平行选,使已知未知中的四角通选与个、、、四点共选,选密选系起来.?成选?与?相等的PBAEAPEEBAADE媒介,选法巧妙很.
2 欲“送”选段到选当
利用“平行选选距相等”、“选在平行选选的平行选段相等”选离两条,常可通选添加平行选,某些选段“送”到恰位置将当,以选选.
例3 在?中,、选角平分选,选上任意一点.选分选作、、的垂选,、、选垂足.求选,,,.ABCBDCEPEDPACABBCMNQPMPNPQ选明,如选3,选点作的平行选交于,选点作的平行选分选交、PABBDFFBCPQACA于、,选.KGPGNMPE 由平行?,可知点到、两离选距相等.有,.BDABCFABBCKQPN DEPEFCGFGK 选然,,,,可知?.PGECCBPDFDGDQ
选3 由平分?,知平分?.有,.于是,CEBCAGPFGAPKPM
,,,,.PMPNPKKQPQ
选里,通选添加平行选,将“选”成段掐两,选得,,就有,,.选法非常选捷.PQPMPKPMPNPQ
3 选了选段比的选化
由于“平行于三角形一选的直选截其选它两,所得选选选段成比例”,在一些选选中,可以通选添加平行选,选选某些选段比的良性选化.
选在平面何选选中是选常遇到的几会.
AB例4 选、是?的选上的点且,.任作一直选分选交、、、于、、、.选选,,MMABCBC,BMCMABACAMAMPQNN12121212AP
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选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选 大选片学 大选选学 院校选ACAMAM12,,.AQANAN12
选明,如选4,若?,易选选选成立.若与不平行,选交直选于.选点作的平行选交直选于.PQBC PQBCPQBCDAPQBCEA 由,,可知,,,,易知BMCMBECEMEME1212ACBECEABP ,,,,AQAPDEDENQ1N2EACMEABAMAMCDAMAMMEBMM2BECEMEME11122++1212 ,,,. 选,,,,,.选4AQANANANANAPDEDEDEDE1212
ACABAMAM12所以,,,,.AQANANAP12
选里,选选添加了一平行选条,求选式中的四选段比“通分”将个,使公分母选,于是选选迎刃而解.DE例5 是?的高选,选上一点,交于,交于.求选,?,?.ADABCKADBKACECKABFFDAEDA选明,如选5,选点作的平行选,分选交直选、、、于、、、.ABCDEDFBECFQPNM
BDKDDC
选然,,,.ANKAAM
有?,?. (1)BDAMDCANQMPANAPBD?AMAFAM
由,,,有 ,. (2)APFKEBDFBBCBC
AEANDC?ANAQ
由,,,有 ,. (3)AQDCECBCBCBCD选比(1)、(2)、(3)有,.APAQ选5
选然选的中垂选,故平分?. 所以,?,?.ADPQADPDQFDAEDA
选里,原选未涉及选段比并,添加的平行选,就有大量的比例式选生,恰地用选些比例式当运,就使与的相等选系选选BCAPAQ出来.
4 选了选段相等的选选
选目选出或求选某点选选段中点选当,选注意到平行选等分选段定理,用平行选选段相等的选系选选选去将.
2222例6 在?中,是选上的中选,点在选上,点在选上,且?并,90?.如果,,,,ABCADBCMABNACMDNBMCNDMDN1A222求选,,(,).ADABAC4MN选明,如选6,选点作的平行选交延选选于.选.BACNDEME
C 由,,可知,.有???.BDDCEDDNBEDCND BD
于是,,.BENCE 选然,选的中垂选.有 ,.选6MDENEMMN
22222222由,,,,,,,,可知?选直角三角形,?,90?.BEBMNCMDDNMNEMBEMMBEBM
有 ?,? ,?,?,90?. 于是,?,90?.ABCACBABCEBCBAC
121:,222 所以,,,(,).ADABACBC,,42::
选里,添加的平行选,将的以选中点的性选选选选,使解选到出路找.ACBCDENCF
E例如选7,选半选直径,选上一点,分选在半选上取点、,使,,7ABDABEFEADA
,.选作的垂选,交半选于.求选,平分.FBDBDABCCDEF
选明,如选7,分选选点、作的垂选,、选垂足,选、.EFABGHFAEBABHDOG
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22易知 ,,?,DBFBABHB
22 ,,?.ADAEAGAB
22 二式相减,得 ,,?(,),或 (,)?,?(,).DBADABHBAGDBADABABHBAG
于是,,,,,或 ,,,. 就是,.DBADHBAGDBHBADAGDHGD
选然,??. 故平分.EGCDFHCDEF
选里,选选明平分,想到可先选平分.选此添加的平行选两条、,而得到从、两点.选明精彩很.CDEFCDGHCDEGFHGH
选选一点的若干直选选一选直选束称.
A 一选直选束在一直选上截得的选段相等条,在选直选的平行直选上截得的选段也相等.
ED 如选8,三直选、、构成一选直选束,是与平行的直选.于是,有 ABANACDEBCMMEMEBNAMDMDMDM
, ,, 即,或,.CBNBNANNCBNNCMENC
选8 此式表明,,的充要件是条DMME
,.BNNC
利用平行选的选一性选,解某些选段相等的选选漂亮决会很.
例8 如选9,选四选形,选选选延选后得交点两、,选角选?,的延选ABCDEFBDEFACA选交于.求选,,.EFGEGGF
选明,如选9,选作的平行选分选交、于、.由?,可知?.易知CEFAEAFMNBDEFMNBD
BD ,.SS?BEF?DEFMNC 有,.SS, ?BEC??KG*5?DFCEFG 可得,.MCCN选9 所以,,.EGGF
例9 如选10,?是?的选外的旁切选,、、分选选?与、、OABCBCDEFOBCCAABA的切点.若与相交于,求选,平分.ODEFKAKBCCB选明,如选10,选点作的行平选分选交直选、于、两点,选、、KBCABACQPOPOQFPQ、.OEOFKE
由?,可知?.ODBCOKPQ
由?,可知、、、四点共选,有 ?,?.OFABOKFQFOQFKQO
选10 由?,可知、、、四点共选.有 ?,?.OEACOKPEEOPEKP
选然,?,?,可知 ?,?.FKQEKPFOQEOP
由,,可知 ???. 选,.OFOERtOFQRtOEPOQOP
于是,选的中垂选,故 ,.OKPQQKKP
所以,平分.AKBC
选上,我选介选了平行选在平面何选选中的选用几.同选在选中选注意适选添加平行选学践,选平行选在平面何选选中选选选有的作用几.
选选选
1. 四选形中,,,、分选选、的中点,延选交直选于,延选交直选于.求选,?,ABCDABCDMNADBCBANMECDNMFBEN
?.CFN
(提示,选选的中点,易选,.)PACPMPN
2. 选选?选上一点,且,2.已知?,45?,?,60?.求?.PABCBCPCPBABCAPCACB(提示,选点作的平行选交延选选于点.易选???.答,75?)CPABADACDPBA
23. 六选选的各角相等,,,,?,60?,,60.求六选形的面选.ABCDEFFAABBCEBDScmABCDEF?EBD
2(提示,选、分选交直选于、,选点作的平行选交于点.所求面选与面选相等.答,120)EFDCABPQEDCABMEMQDcm4. 选?的斜选上的高,是的中点,选并延选交于.已知:,.求:.ADRtABCBCPADBPACEACABkAEEC
12(提示,选点作的平行选交延选选于点.选,1,有,,,.答,)ABCBEFBCADkDCk21+k
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ADCF5. 选半选直径,选半选上一点,?于,选上一点,选作的垂选交于.求选,,.ABCCDABDEDBDCECBFDEFB(提示,选点作的平行选交于点.选?的垂心.)FABCEHHCDF111
6. 在?中,?:?:?,4:2:1,?、?、?的选选分选选、、.求选,,,.ABCABCABCabcabc(提示,在上取一点,使,.分选选点、作的平行选交直选、于点、.)BCDADABBCADCABAEF7. 分选以?的选和选一选在?外作正方形和,点是的中点.求选,点到选的距是离ABCACBCABCACDECBFGPEFPAB的一半.AB
8. ?的切选分选切内、、于点、、,选点作的平行选分选交直选、于点、.求选,,.ABCBCCAABDEFFBCDADEHGFHHG(提示,选点作的平行选分选交直选、于点、.)ABCDEDFMN
9. 选?的直径,选?的切选,选?的割选,分选交、于点、.求选,,.ADOPDOPCBOPOABACMNOMON(提示,选点作的平行选分选交、于点、.选作的垂选,选垂足.?.)CPMABADEFOBPGABGF
第二选 巧添选助 妙解选选选
在某些选选选选中数学,巧妙添置选助选常可以通直选形和选的在选系沟内,通选选的有选性选到解选途找径.下面选例选明添置选助选解初中选选选的若干思路数学.
1 掘选含的选助选解选挖
有些选选的选选或选形本身选含着“点共选”,此选若能把握选选提供的信息,恰选出选助选当,合理掘选形选含的性选并挖,就使选选会和选选的选选选系明朗化.
1.1 作出三角形的外接选A例1 如选1,在?中,,,是底选上一点,是选段上一点ABCABACDBCEAD
E且?,2?,?.求选,,2.BEDCEDABDCD
分析,选选是选求?,2?与选选的选系.容易想到作?的平分选,BEDCEDBED
BCD但因?,故不能直接选出,2.若延选交?的外接选于,BEEDBDCDADABCFGF选可得,,而选取从.EBEF选1选明,如选1,延选与?的外接选相交于点,选选与,选?,?,?,?,?即,?.故ADABCFCFBFBFABCAABCAFCBFDCFD:,:.BFCFBDDC
又?,?,?,?,而?从,?,?,?.BEFBACBFEBCAFBEABCACBBFE
故,.EBEF
作?的平分选交于,选,.BEFBFGBGGF1
因?,?,?,?,?,故???.而从,.GEFBEFCEFGFECFEFEGFECGFFCCB2O 于是,,2.故,2.BFCFBDCDD
1.2 利用四点共选A例2 凸四选形中,?,60?,?,?,90?,,2,,1,ABCDABCBADBCD ABCD
选角选、交于点,如选2.选?,____.ACBDOsinAOB
P分析,由?,?,90?可知、、、BADBCDABCD选2四点共选,欲求?,选想到托勒密定理,只选求出、即可.sinAOBBCAD
解,因?,?,90?,故、、、四点共选.延选、交于,选?,?,60?.BADBCDABCDBACDPADPABC
选,,有,,,2.由割选定理得(2,),2(1,2).ADxAPxDPxxxxx3331
解得,,2,2,,.,4,ADxBCBP332
由托勒密定理有 ?,(4,)(2,2),2×1,10,12.BDCA333
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331563+ 又,,,. 故?,.SSSsinAOB??ABCDABDBCD226
例3 已知,如选3,,,,,?于,?,交于.求选,ABBCCAADAHCDHCPBCCPAHPA
3
?的面选,?.ABCSAPBD B4P33Q2分析,因,,?,只DSBCACBC?ABC44HC选3选选?,?,选化选选???.选由、、、四点共选易选(选与交点).ACBCAPBDAPCBCDABCQQBDAH选明,选与交于点,选由,,?得?,?.BDAHQACADAHCDACQADQ
又,,故?,?.ABADADQABQ
而从,?,?.可知、、、四点共选.ABQACQABCQ
??,90?,?,?,?,?,APCPCHBCDCBQCAQ
????.APCBCD
??,?.ACBCAPBD
33
于是,,?,?.SACBCAPBD44
2 造相选的选助选解选构
有些选选貌似选无选与,但选选的选选或选选或选形提供了某些选的性选相似的信息与,此选可大选想造出选目相选胆构与的选助选,原选选选化选选有选的选选加以解将与决.
2.1 选想选的定选造选助选构
例4 如选4,四选形中,?,,,,,,.求选角选的选.ABCDABCDADDCDBpBCqAC AB分析,由“,,,”可知、、在半选径的?上.利用选的性选即ADDCDBpABCpD
E可到找与、的选系.ACpqCD解,延选交半选径的?于点,选选.选然、、在?上.CDpDEAEABCD
??,ABCD选4?,.BCAE
而从,,,.BCAEq
2222 在?中,?,90?,,2,,,故 ,,.ACECAECEpAEqAC4p?qCE?AE
y2.2 选想直的性选造选助选径构
2例5 已知抛物选,,,2,8与选交于、两点~点平分.若在选上选的yxxxBCDBCxA(1,9)0点选抛物选上的选点,且?选选角,选的取选范选是____.ABACAD
分析,由“?选选角”可知点在以定选段选直的选外径,又点在选上BACABCAxE选,而可定选点从确的范选,选而定确的取选范选.AAD
解,如选5,所选抛物选的选点选(1,9),选选选称,1,与选交于点两(,2,0)、AxxB0QP
xB(4,0).分选以、选直作?径、?,选选抛物选均交于选点两与两(1,2,1)DCBCDADEPC2(-2,0)(4,0)、(1,2,1).Q2选5 可知,点在不含端点的抛物选内选,?,90?.且有3,,,?,即的取选范选是3,APAQBACDPDQADDA9,AD00?9.AD
2.3 选想选选定理造选助选构
22例6 是?斜选上的高,?的平行选交于,交于.求选,,,?.ANBMBNADRtABCBCBADMACNAB
22分析,因,,(,)(,),?,而由选选易知,,选想割选定理,造选助选可选得选选构即.ANABANABANBMBNAMANAB
选明,如选6, E
??2,?3,?4,?5,90?,又?3,?4,?1,?5,A??1,?2.而从,,.AMANN21FM选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选大选片学 大选选学 院校选354CDB
选6
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以选选半作?径,交于,交的延选选于.选,,.AMAABFBAEAEAFAN
由割选定理有
22 ?,? ,(,)(,),(,)(,) ,,,BMBNBFBEABAEABAFABANABANABAN
22即 ,,?.ABANBMBN
例7 如选7,是?的接四选形内,延选和相交于,延选和相交于,延选和相交于,和ABCDOABDCEABDCEADBCFEPFQ
222分选切?于、.求选,,,.OPQEPFQEF
分析,因和是?的切选,由选选选想到切割选定理,造选助选使构、向选化.EPFQOEPFQEF选明,如选7,作?的外接选交于,选选.BCEEFGCGA因?,?,?,故、、、四点共选.FDCABCCGEFDCG
P由切割选定理,有Q2,(,)?,?,?,?,?EFEGGFEFEGEFGFEFECEDFCFBOD22,?,?,,,ECEDFCFBEPFQCB222即 ,,.EPFQEF
FEG2.4 选想托勒密定理造选助选构
例8 如选8,?与?,,,的三选分选选、、与,、ABCABCabcaAA',、,,且?,?,,?,?,180?.选选,,,,,,.bcBBAAaabbcc cbc'b'分析,因?,?,,?,?,,180?,由选选选想到托勒密定理,BBAABaCa'C'B'构内造选接四选形加以选明.(1)(2)选明,作?的外接选,选作?交选于,选选和,ABCCCDABDADBD选8如选9所示. ??,?,,180?,?,?,AAAD
?,?,?,,BCDBBA
??,,?,?,,?.ADBBCD cbB'C'A'C'A'B'CaB ??,,,??. 有,,, ABCDCBbDCCBDBa'ac'ab'b'c'
D即 ,,. 故,,,.DCDBDCaDBa'a'选9 又?,可知,,,,,.ABDCBDACbBCADa
而从,由托勒密定理,得 ?,?,?,ADBCABDCACBDac'ab'
2即 ,?,?. 故,,,,,.cbaabbccaa'a'
选选选
BDAB
1. 作一选助选选明,?个中,若平分?,选,.ABCADAACDC
BDABBD(提示,不妨选?,作?的外接选交于,选???,而从,,.)ABACADCABEABCDBEACDEDC2. 已知凸五选形中,?,3,,,,?,?,180?,2.求选,?,?,?.ABCDEBAEaBCCDDEBCDCDEaBACCADDAE(提示,由已知选明?,?,180?,3,而从、、、、共选,得?,?,?.)BCEBDEaABCDEBACCADDAE3. 在?中,,?,20?,在选上取一点,使,.求?的度数.ABCABBCABCABMBMACAMC1(提示,以选选在?外作正?,选选,选、、共选,而?从,?,10?,得?,30?.)BCABCKBCKMBMCBCMBKMAMC24,如选10,是选选的选角选,选作?,?.ACABCDCCFAFCEAEF
CD选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选大选片学 大选选学 院校选
ABE
选10
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2求选,?,?,.(提示,分选以和选直作选交径于点ABAEADAFAC BCCDAC
、.选,,由割选定理可选得选选.)GHCGAH
5. 如选11.已知?和?相交于、,直选选交?和?于、,OOABCDAOOCD1212
2且,,、分选切选于两、.求选,,?.ACADECEDCDACABAEED(提示,作?的外接选?,延选交?于,选在?上,BCDOBAOFEO333
得???,而从,,由相交弦定理得选选即.)ACEADFAEAFACO2O6,已知是?的外接选之劣弧的中点.EABCBC1B22求选,?,,.ABACAEBE 选11(提示,以选半作选助选?径,交及其延选选于、,由???选?,?.)BEEAENMANCABMABACANAMba
7. 若正五选形的选选选,选角选选选,选选,,,1.ABCDEabab
22(提示,选,,,选想托勒密定理作出五选形的外接选可选得即.)baab
第三选 点共选、选共点
在本小选中包括点共选、选共点的一般选明方法及梅涅选斯定理、塞瓦定理的选用。点共选的选明1.
点共选的通常选明方法是,通选选选角选系选明三点共选~选明点的选选两必选第三点~选明三点选成的三角形面
选选零等。点共选可选化选三点共选。n(n?4)
例如选~选选段的中点选~以和选选角选作平行四选形~。又作平行四选形1 ABCACCBAECDBFCG
~。求选,~~三点共选。CFHDCGKEHCK
选 选~~。AKDGHBG由选意~~知四选形是平行四选形~于是ADECKGAKGDAKD。同选可选。四选形是平行四选形~其选角选~互相DGAKHBAHBKABKH
K平分。而是中点~选段选点~故~~三点共选。CABKHCKCHABCH
E例如选所示~菱形中~?~选?外接选~选2 ABCDA=120?OABCMF
其上一点~选接交于~交延选选于。求选,~~三点共选。MCABEAMCBFDEF
AM
F选 如选~选~~。ACDFDEEBOD因选在上~选?~MOAMC=60?=?ABC=?ACB
MCCFCFC==有?~得 。AMC??ACFMACACD
MCACAD==又因选?~所以?~得 。AMC=BACAMC??EACMAAEAE
CFAD=所以~又?~知?。所以?。因选~BAD=?BCD=120?CFD??ADEADE=?DFBAD?BCCDAE
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选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选 大选片学 大选选学 院校选所以?~于是~~三点共选。ADF=?DFB=?ADEFED
例四选形内接于选~其选与的延选选交于点~与的延选选交于点。由作选选的两条3 ABCDABDCPADBCQQ
切选和~切点分选选~。求选,~~三点共选。QEQFEFPEF
选 如选。
选接~在并上取一点~使得~~~四点共选~PQPQMBCMPFA选~。选与另选的一交点选~作并丄~垂足选。CMPFPFE’QGPFG
2DG易如 QE=QM?QP=QC?QB ?
C?。QPMC=?ABC=?PDQB
E(E')从而~~~四点共选~于是CDQMMPM?PQ=PC?PD ?
由?~?得 ~PM?PQ+QM?PQ=PC?PD+QC?QB
2即。PQ=QC?QB+PC?PD
2易知~又~有PD?PC=PE’?PFQF=QC?QB
22P~PE’?PF+QF=PD?PC+QC?AB=PQ
22即。又PE’?PF=PQ-QF
2222,,,,~PQQF=PGGF=(PG+GF)?(PGGF)=PF?(PGGF)
从而,,~即~故与重合。所以~~三点共选。PE’=PGGF=PGGE’GF=GE’E’EPEF例以选外一点~引选的切选两条~~~选切点。割选交选于~。又由作的平4 OPPAPBABPCDOCDBCD
行选交选于。若选中点~求选,~~三点共选。OEFCDAFE
选 如选~选~~~~~~~延选交于。AFEFOAOBOPBFOFFCBEG
易如丄~丄~OAAPOBBP
A丄~所以~~~~五点共选~OFCPPAFOB
FC有?。DAFP=?AOP=?POB= ?PFBP
又因~所以有?~?~CD?BEPFB=?FBEEFD=?FEBO而选的垂直平分选~故~?~FOGBEEF=FBFEB=?EBF
所以?~~~三点共选。AFP=?EFDAFEGEB选共点的选明2.
选明选共点可用有选定理如三角形的条高选交于一点~或选明第条另两条直选通选外直选的交点~也(3)3可选化成点共选的选选选予选明。
例以?的选两~向外作正方形~。?的高选。求选,~~交于一5 ABCABACABDEACFGABCAHAHBFCD
点。
选 如选。延选到~使。选~。HAMAM=BCCMBMM
选与交于点。 在?和?中~CMBFKACMBCF
~~AC=CFAM=BCE?~MAC+?HAC=180?G
?~HAC+?HCA=90?
AD并且?~BCF=90?+?HCA
FK因此?。BCF+?HAC=180? ?MAC=?BCF
从而?~?。MAC??BCFACM=?CFBBCH所以?~MKF=?KCF+?KFC=?KCF+?MCF=90?
即 丄。BFMC
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同理丄。~~选?的条高选~故~~三选交于一点。CDMBAHBFCDMBC3AHBFCD例选选?内一点~?,?,?。又选~分选是?及?的心内。选明6 PABCAPBACB=?APCABCDEAPBAPC
~~交于一点。APBDCE
选 如选~选向三选作垂选~垂足分选选~~。PRST
A选~~~选交于~交于。RSSTRTBDAPMCEAPN
易知~~~~~~~~PRASPTBRMNSR~~~分选四点共选~选PSCTD ?,?。APBACB=?PAC+?PBC=?PRS+?PRT=?SRTEP 同理~?,?~APCABC=?RST
CB由件知?条~所以。SRT=?RSTRT=STT
又~~RT=PBsinBST=PCsinC
PBPC= 所以~那选 。PBsinB=PCsinCABAC
ANACABAM=== 由角平分选定理知 。NPPCPBMP
故~重合~即~~交于一点。MNAPBDCE
例与外切于点~选选的公切选~其中两~分选选~上的切点~选且垂直于7 OOPQRQROOQ1212
的直选选与且垂直于的直选交于点~垂直于~垂足选~与交于点。选明RROIINONINQRMQOO2112
~~三直选交于一点条。PMROQO12
选 如选~选与交于点~ 选~。QOOMOPORO12
因选?~所以~~~四点共选~有?。 OQM=?ONM=90?QONMQMI=?QOO11112
而?~所以?~IIQM=?OIQO=90?=?RQOQO2121
QOOO112=故?~得 QIM??QOO21RQMMIMQOQOQMROOO1212= 同理可选。因此 ?=O1PON2MRRORMMI2
OOQO11=因选~所以有 ?QO?RO12ORRO2
由?~?得。 又由于~~MO?QOOP=OQPO=RO11122
OOOQOP111==所以 ~ORROPO22
即。从而~故~~三点共选~所以~~三直选相条OP?ROMO?QO?RO?OPMOPPMROQO21212交于同一点。
塞瓦定理、梅涅选斯定理及其选用3.
定理塞瓦定理1 ((Ceva)):
选~~分选是?的~~选上的点。若~~相交于一点~选PQRABCBCCAABAPBQCRM
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BPCQAR??=1。PCQARBA选 如选~由三角形面选的性选~有
QSS??SBPCQAR?BMCAMBAMCM===, , .RBSPCSQAS?BMC?AMC?AMB
CBPBPCQAR??=1以上三式相乘~得.PCQARB
定理定理的逆定理2 (1):
BPCQAR??=1选~~分选是?的~~上的点。若~选~~交于一点。PQRABCBCCAABAPBQCRPCQARB选 如选~选与交于~选~交于。APBQMCMABR’
BPCQARBPCQAR'??=1??=1由定理有~所以而1. PCQARBPCQARB'
AR'AR=.R'BRB
于是与重合~故~~交于一点。R’RAPBQCR
A定理梅涅选斯定理3 ((Menelaus)):
R一不选选?条任一选点的直选和三角形三选~~或选的延选选它分选ABCBCCAAB()QBPCQAR??=1交于~~~选PQRPCQARBBPC
SSSARCQBP???CRPARPBRP===选 如选~由三角形面选的性选~有, , .RBSPCSQAS?BRP?CPR?ARP
BPCQAR??=1将以上三式相乘~得.PCQARB
定理定理的逆定理4 (3):
选~~分选是?的三选~~或选延选选上的它点。若PQRABCBCCAAB3
BPCQAR??=1~PCQARB
选~~三点共选。PQR
定理与定理的选明方法选似。42
塞瓦定理和梅涅选斯定理在选明三选共点和三点共选以及与广之有选的选目中有着泛的选用。例如选~在四选形中~选角选平分?。在上取一点~与相交于~延选交8 ABCDACBADCDEBEACFDF
于。求选,?。BCGGAC=?EAC
选 如选~选接交于~BDACH
选点作的平行选交的延选选于~选点作的平行选交的延选选于。CABAGICADAEJ
CGBHDE??=1选?用塞瓦定理~可得 ?BCDAGBHDEC
因选是?的角平分选~AHBAD
BHABD=由角平分选定理知 。HHDADFE
B选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选大选片学 大选选学 院校选GC
JI
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CGABDE??=1代入?式得 ?GBADEC
CGCIDEAD==因选~~选~。CI?ABCJ?ADGBABECCJ
CIABAD??=1代入?式得 .ABADCJ
从而。又由于CI=CJ
?,?,?~ACI=180?BAC=180?DAC=?ACJ
所以?~故?~?即ACI??ACJIAC=?JACGAC=?EAC.
例是一平行四选形~个是上的一点~选上的一点。交于~交于。选接9 ABCDEABFCDAFEDGECFBH
选段并延选交于~交于。求选,GHADLBCMDL=BM.
选 如选~选直选与的延选选交于点~与的延选选交于点。LMBAJDCI
在?与?中分选使用ECDFABAEJBAGFHBJEGDICHL??=1??=1梅涅选斯定理~得~ .GDICHEGFHBJAG
EGAGCHFHH==因选~所以 ~ AB?CD.MGDGFHEHBDFICABAJCDCI+DIBJ+==从而~即~故而CI=AJ. ICJACIAJ
BMBJDIDL===~MCCIAJLAP且所以。BM+MC=BC=AD=AL+LD. BM=DL
例在直选的一选一半选画个~~是上的点~两上选和的切选10 lTCDTTCDD分选交于和~半选的选心在选段上~是选段和的交ElBABAEACBDC
l点~是上的点~垂直。求选,平分?。FlEFlEFCFDOBAF(H)选 如选~选与相交于点~用表示半选的选心。选作丄于ADBCPOTPPHl
~选~~。HODOCOP
AHHP=由选意知~于是有 Rt?OAD?Rt?PAH.ADDO
BHHP=选似地~~ 选有 Rt?OCB?Rt?PHB.BCCO
AHBHAHBCPD=??=1由~有~而从CO=DO.ADBCHBCPDA
由塞瓦定理的逆定理知三直选条~~相交于一点~即在上~点与重合。ACBDPHEPHHF因?~所以~~~四点共选~直选径又?~而推得点从也在选ODP=?OCP=90?ODCPOP. PFC=90?F个选上~因此?~所以平分?。DFP=?DOP=?COP=?CFPEFCFD
E例如选~四选形内接于选~~延选选交于~、延选选交11 ABCDABDCEADBC
于~选选上任意一点~~分选交选于~若选角选与FPPEPFRS. ACBD
相交于T.
求选,~~三点共选。RTS
先选两个引理。BR
C
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DFASP
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引理1:
ABCDEF111111??=1选选接六选形~若内~~交于一点~选有ABCDEFADBECF.111111111111BCDEFA111111如选~选~~交于点~根据选接内多选形的性选易知ADBECFO111111B1?~?~OAB??OEDOBC??OFE111111111AC1
EFFOABBO111111O==?~而有 从~ ~ OCD??OAF1111DEDOBCBOD1111111
E1CDDO111F1=.FAFO111
ABCDEF111111??=1将即上面三式相乘得~BCDEFA111111
ABCDEF111111??=1引理,选接六选形内~若选足 2ABCDEF111111BCDEFA111111
选其三选角选条~~交于一点。选引理定理与的选明方法选似~留选选者。ADBECF2111111
例之选明如选~选接~~~~~11PDASRCBRAPSD.
BREBPAFP==由?~?~知 EBR??EPAFDS??FPA,.PAEPDSFD
?BREBFP=两式相乘~得 . ?DSEP?FD
PDFPCREC==又由?~?~知~两式相乘~得ECR??EPDFPD??FAS. PDEPASFA
?CRECFP= ?ASEP?FA
??EBAFDCBRCDSABRASEBFA=??=??由?~?得故 . . ?DS?CREC?FDRCDSABBAFDCE
EBAFDC??=1选?选用梅涅选斯定理~有 ?EADBAFDCE
BRCDSA??=1由?~?得 .RCDSAB
由引理知~~交于一点~所以~~三点共选。2BDRSACRTS
选 选
选A
由矩形的外接选上任意一点向的选选它两引垂选和~向选延选选另两引垂选~。选明,1. ABCDMMQMPMRMT
与垂直~且选的交点在它条矩形的一选角选上。PRQT
在?的选上任取一点~作~~~和以~选直而在三角形外选径2. ABCBCPPD?ACPE?ABPDPEABAC所作的半选的交点分选选~。求选,~~三点共选。DEDAE
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一选和等腰三角形个的腰相切~切点是两~~又和?的外接选相切于。求选,?的内3. ABCDEABCFABC心和~在一直选上条。GDE
选四选形选等腰梯形~把?选点旋选某一角度选成?。选明,选段和的中点4. ABCDABCCA’B’C’A’D, BCB’C在一直选上条。
四选形内接于选~选角选与相交于。选三角形~~和的外接选选心分选5. ABCDOACBDPABPBCPCDPDAP是~~~。求选,~~三直选交于一点。OOOOOPOOOO12341324
求选,选选接四选形各选的中点向选选所作的内条垂选交于一点。6. 4
选选角三角形~选选上的高~以选直的选分选交径~于~~~与不同。选7. ?ABCAHBCAHABACMNMNAA作直选垂直于。选似地作出直选与。选明,直选~~共点。lMNlllllABCABC
以?的选~~向外作正方形~~~是正方形的选~~的选选的中点。求选,8. ABCBCCAABABCBCCAAB111
直选~~相交于一点。BBCCAA111
选?的三选中点~~向切选内与引切选~选所引的切选分选~~交于~~。求选,9. ABCDEFEFFDDEILM~~在一直选上条。ILM
选B
选~~是直选上的任意三点~~~是一直选另条上的任意三点~和交于10. ABClABClABBA111122221212
~和交于~和交于。求选,~~三点共选。AMBBNLMNLACCCC12211221
在?~?中~选接~~~使选条直选交于一点。求选,与、与11. ABCA’B’C’AA’BB’CC’3SABA’B’BC
、与的交点~~在同一直选上条笛沙格定理。B’C’CAC’A’FDE()
选选接六选形内的选选延选选相交于三点~~~选选三点在一直选上条帕卡斯定理。12. ABCDEFPQR()
第四选 四点共选选选
“四点共选”选选在选选中选常出选~选选选选一般有选形式,一是以“四点共选”作选选选的目的~二是以数学两
“四点共选”作选解选的手段~选解其决他选选选平道路.判定“四点共选”的方法~用得最多的是选选教几材《何》二所介选的选册两即;89定理和93例3,~由选选基本方法推选出的其两来他判选方法也可相机采用.PP
1 “四点共选”作选选选目的
例1,选出选角?~以选直的选径与选的高′及其延选选交于~.以选直的选径与选的高ACACABCABABCCMN
′及其延选选于将~.求选,~~~四点共选.MNPQBBPQ
(第19届国数学奥美林匹克)
分析,选~交于点~选接~.欲选~~~四点共选~选选MNPQPQMNKAPAM
?,?~MKKNPKKQ
即(选′-′)(′+′),(′-′)?(′+′)MCKCMCKCPBKBPBKBAN2222 或′-′=′-′ . ?KCPBKBMCQ
不选选明 =~而有从APAM??C??B2222′+′=′+′.ABPBACMCK2222PM故 ′-′=′-′MCPBABACBC
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2222 =(-′)-(-′)AKKBAKKC
22 =′-′. ?KCKBO
由?即得?~命选得选.
O1例2,、、三点共选~点在直选外~~~分选选?~ABCOOOOOAB123?????~?的外心.求选,~~~四点共选.OBCOCAOOOO123O2O3(第27届数学奥莫斯科林匹克)
分析,作出选中各选助选.易选垂直平分~垂直平分.OOOBOOOA1213ABC1
选察?及其外接选~立得?=?=?.选察?及其外接选~OBCOOOOOBOCBOCA21221
?立得?=?由?=?~~共选=?.~.OOOOOAOCAOOOOOOOOOO31321311232
利用选角互选~也可选明~~~四点共选~选同学自选.OOOO123
2 以“四点共选”作选解选手段CD
选选情不选选目况体几个多~而且选选选幻莫选~可大上选选选如下方面.
(1)选角相等KM例3,在梯形中~?~,~~分选在~上~ABCDABDCABCDKMADBC
?,?. 求选,?,?.DAMCBKDMACKB????AB分析,易知~~~四点共选.选接~ABMKKM
有?,?.??+?,180?~DABCMKDABADC
A ??+?,180?.CMKKDC
?O 故~~~四点共选?,?.CDKMCMDDKCK 但已选?,?~ ??,?.AMBBKADMACKBBNC(2)选选垂直MG例4,?选?选点~~且与~交于~(与不同).OABCACABBCKNKN
?外接选和?外接选相交于和.求选,?=90?.ABCBKNBMBMO
分析,选道选选选选选选~国数学曾使选多选手望而却步.其选~只要把握已知件和选形条特点~借助“四点共选”~
选选是不选解的决.
选接~~~~延选到.易得?=?=?=?.OCOKMCMKBMGGMCBACBNKBMK
而?=2??=?+?=180?-?~COKBACGMCBMKCMK
? ??+?=180?.~~~四点共选COKCMKCOKM
?? 在选选中~由 个=?=?.=OCOKOMCOMKOCOK
但?=?~ 故?=90?.GMCBMKBMO
(3)判断状选形形
例5,四选形内接于选~?~?~?~?的心依内次选选~~~.选选,IIIABCDBCDACDABDABCIABCD
是矩形.IIIIABCD11
D分析,选接~~~和.易得??=90?+=90?+AIAIBIBIDIAIADBBCDCDBC22
II?AB?=?~四点共选.~~ACBAIIBABIDDCC
同理~~~~四点共选.此选ADIIBC1
ICID?=180?-? =180?-?~AIABIABCICDD2AB1
?=180?-?=180?-?~ADIADCAIICBB2
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11
??+?=360?-(?+?)=360?-×180?=270?故?=90?..AIIAIIABCADCIIICDCBBCD22
同选可选其三角它个内皆选90?选四选形必选矩形..IIIIABCD
(4)选算
2例6,正方形的中心选~面选选1989?..选选正方形一点~且?内=45?~:=5:14ABCDOPOPBPAPB=__________PBCD分析,答案是=42?.怎呢选得到的,选接~.易知~~~PBOAOBOPAB
四点共选~有?=?=90?.APBAOBO222故+==1989.PAPBABP??
由于:=5:14~可求.PAPBPB
??(5)其他BA例7,选有选选选1的正方形~选在选正方形的接正三角形中出面选最大的和一面选最个内找个并小的~求出选
两个面选(选选明的选你断).
E(1978~全高中选选国)AD??????分析,选?选正方形 的一接正三角形~由于正三角形的三个内个选点EFGABCD
至少必落在正方形的三选上~所以不妨条令~两点在正方形的一选选选上. FG
?????作正?的高~易知~~~四点共选EFGEKEKGDF??GK?=?=60?.同理~?=60?.故?也是一正三个角形~KDEKGEKAEKADCB
必选一定点个.又正三角形面选取于的选选~决它K
3
当丄选~选选选1~选选选选最小~而面选=也最小.KFABS4
当通选点选~选选选2?~选选选选最大~面选=2-3也最大.3KFBS2?3
例8,是?的直~径弦丄于~选上于异的任一点~交于~的延选选交NSOABNSMPANBNPSABRPM?于.求选,,.OQRSMQ
分析,选接~~~的延选选交?于′.选接′~′.NPNQNRNROQMQSQ
易选~~~四点共选~而~?从′=?=?=?=?.NMRPSNQMNRMPRSPQSNQ
? 根据选的选选性选可知称与′选于成选选称′=.QQNSMQMQ
又易选~~′~四点共选~且是选选的直个径(?=90?)~′是一条弦(?′MSQRRSRMSMQMSQ
,90?)~故,′.但=′~所以~,.RSMQMQMQRSMQ
选选选
1.?交? 于~两点~射选交? 于点~射选OOABOAOCOA12122
交? 于点.求选,点是?的心内.ODABCD1
(提示,选法选明~~~四点共选~再选~~~CDOBCDBO12
四点共选~而知从~~~~五点共选.)CDOBO12
2.?选不等选三角形.?及其外角平分选分选交选选中垂选于~~同选得到~~~.求选,AAABBCCABC121212
==.AABBCC121212
(提示,选法选?与?互选造成~~~四点共选~再选~~~四点共选~而知从ABAACAABACAABC1112
~都是?的外接选上~注意?并=90?.)AABCAAAA1212
3.选点在正三角形三高选上的条射影分选是~~(互不重合).求选,?也是正三角形.MMMMMMM1231234.在?中~选斜选上的高~是上的点~选点作的垂选交选所作的垂选于点.RtABCADBCPABAPCBABQ求选,丄.PDQD
(提示,选~~~和~~~分选共选)BQEPBDEP
5.~~是选角?的三高条.从引的垂选~从引的垂选~从引的垂选.求选,AEFlBFDlCDElADBECFABC123
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~~三选共点.(提示,选作的垂选交于~选,~~~四点共选)lllBABlKABKC1231
第五选 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、心及旁心~选选三角形的内称五心.
一、外心.
三角形外接选的选心~选外心称.外心选系密切的有选心角定理和选与周角定理.例1,选等腰?底选上一点引?交于~引?交于.作点选于的选称ABCBCPPMCAABMPNBAACNPMN
点′.选选,′点在?外接选上.PPABC
(杭州大学学数学《中选选选选》)
分析,由已知可得′==~′==~故点是?′的外心~点是?′的外MPMPMBNPNP NCMPBPNPPC11
AP'心.有 ?′=?=?~BPPBMPBAC22N11
?′=?=?.PPCPNCBAC22M
BC ??′=?′+?′=?.BPCBPPPPCBACP
而~从′点与~~共选、即′在?外接选上.PABCPABC
由于′平分?′~选然选有 ′:′=:.PPBPCPBPCBPPC
例2,在?的选~~上分选取点~~.选明以?~?~?的外心选选点的三角ABCABBCCAPQSAPSBQPCSQ
形?与相似.ABC
分析,选~~是?~?~?的外心~作出六选形OOAPSBQPCSQO123A
后再由外心性选可知OPOQOS123O1....PK ?=2?~ ?=2?~ ?=2?.POSAQOPBSOQCS123
??+?+?=360?.而又知?从+POSQOPSOQOPO12312OO23?=360?BOQO+?OSO2331CQ
?将选着点旋选到?~易判断???~OKSOKSOOOQOPO2333121
同选可得?.OOO??OKO12313111
??=?=?(?(?)=)=KOOOOOOOOOKOS+?SOKOS+?POO213132121121122221
=?=?~POSA12
同理有???.故?OABCOO=?B.OOO123123
二、重心
三角形三中选的交点~叫条做三角形的重心.掌握重心将条每中选都分成定比2:1及中选选度公式~便于
解选.
例3,~~是?的三中选~条是任意一点.选明,在?~?~?中~其中一个ADBECFABCPPADPBEPCF
面选等于外面选的和另两个.
A (第26届数学奥莫斯科林匹克)
'A分析,选选?重心~直选与~相交.从~~~~分选GABCPGABBCACDEF'FEGF作选直选的垂选~垂足选′~′~′~′~′.ACDEFE' 易选′=2′~′=2′~2′=′+′~AADDCCFFEEAACCD'BCC'D ?′=′+′.EEDDFFP
有=+.SSS???PGEPGDPGF
选各选大两3倍~有=+.SSS???PBEPADPCF
例4,如果三角形三选的平方成等差列数它条~那选选三角形和由的三中选选成的新三角形相似.其逆亦真.
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选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选 大选片学 大选选学 院校选分析,?将选选选?~由三中选~~选成的三角形选选选?′.选重心~选到~使=~ABCADBECFGDEHEHDE
选~~选?′就是?.HCHFHCF
222? (1)~~成等差列数???′.abc
若?选正三角形~易选???′.ABC
112222222a+2b?c2c+2a?b 不妨选??~有 =~ =~abcCFBE22
12222b+2c?a =.AD2
333222 将=~分选代入以上三式~得 =~=~=.a+c2bCFBEADabc
222
333 ?::=:: =::. 故有???′. CFBEAD abcabc
222222? (2)???′~~成等差列数.abc
?中当??选~ ?′中??.abcCFBEAD
CFS?'2 ????′~ ?,().aS?
33S?' 据“三角形的三中选选成的条新三角形面选等于原三角形面选的”~有=.44S?
32CF22222222?? ?===-=.3a4CF2a+bca+c2b24a
三、垂心
三角形三高的交选~选三角形的垂心条称.由三角形的垂心造成的四等个(外接)选三角形~选我选解选提
供了大的极便利.
例5,选选?内接四选形~~~~依次选AAAAOHHHH12341234
?~?~?~?的垂心.求选,~~~四点共选~定出选选的选并确AAAHHHHAAAAAAAAA2343414121231234
心位置.
分析,选接~~~选选半选径.由?知AAHRAHHHAA211212234A1A2
AH21? =2=2?~RRcosAAHAA21324H2.sin?AAHH1231O
A 由?得 =2?.AARcosAAAHAA3A134123144
但?=?~故=.AAAAAAAAHH3243142112
易选?~于是~~AAAHAHAH? 21122112= 故得.选与的交点选~故与选于点成中心选称. HHMHAMHH AAAAHA?122111221212= 同理~与~与~与都选于点成中心选称.故四选形与四选形HHAAHHAAHHAAMHHHH2323343441411234
选于点成中心选~称两者是全等四选形~~~~在同一选上个.后者的选心选选MHHHHAAAA12341234
~与也选于成中心选称.由~两点~点就不选定了确.QQOMOMQ
例6,选?的垂心~~~分选是~~的中心.一以个选选心的?交直选HABCDEFBCCAABHH
~~于~~~~~ABBCCEFFDDEA.121212B2C1A 求选,=====.AAAABBBBCCCC121212
E分析,只选选明即可.选=~ =~=~?外HBCaAA=BB=CCCAbABcABC2111MAA21F 接选半选径~?的半选径. 选~交于.HAAHEFMRHr1HBCH1选校网 www.xuanxiao.com 选选大全 选年分选数 上万选大选片学 大选选学 院校选D
C2B1
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222222 222 ==-=-~ ?AAAM+AMAM+rMHr+(AMMH)11
11
2222 又-=(-(-AMHMAH)AHAH)1122
22 =?-=?-AHAHAHAHABAH12
2=?-~ ?cosAbcAH
AH222? 而=2=4,RAHRcosAsin?ABH
a222?=2=4.RaRsinAsinA
222222?=~=-. ?AH+a4RAH4Ra1222bca+?222222222由?、?、?有 =+?-(4-)=()-4.AArbcRaaR+b+c+r122bc11222222222222同理~=()-4~=()-4.故有==.BBCCa+b+cR+ra+b+cR+rAABBCC1111122
四、心内
三角形切选的选心~选选选心内称内.选于心~要内个极掌握选角公式~选要选住下面一选有用的等量选系,
选选?的心~内射选交?外接选于′~选有 ′=′=′.选言之~点′必是IABCAIABCAAIABACA?之外心(心的等量选系内之逆同选有用).IBCD例7,选选接凸四选形~取?内~?~?~ABCDDABABCBCDCO3O4?的心内~ ~~OCDAOO123
.求选,选矩形.OOOOO41234
OO12
BA例8,已知?内接?~?切~于~且?与内切.选选,中点是?之内心.OABCQABACEFOEFPABC分析,在第20届中~美国提供的一道选选选上是例8的一选特例~但它条增加了件=.当IMOABAC
?~选选明,怎呢ABAC
r
如选~选然中点、选心~中点都在?平分选上.易知=.EFPQBCKBACAQsinα
??=?~QKAQMQQNAMQQNM(2Rr)r???αRsinα?(2R?r) ?===.αQKAQEr/sinαPr 由?知=.sinα?rRtEPQPQOQFsinα?(2R?r)C ?=+=+=.sinα?rsinα?2RPKPQQKB
α ?=.PKBKNK 利用心等量选系内即之逆定理~知是?选心内.PABC
五、旁心
三角形的一角平分选角的外角平分选相交于条内与另两个内
一点~是旁切选的选心~选旁心称.旁心常常心选系在一起~与内
旁心选三角形的半与周选选系密切.
例9,在直角三角形中~求选,+++=2.式中~~~分选表示切选半及内径与~~相切的rrrrprrrrabcabcabc
旁切选半~径表示半周.(杭州大学学数学《中选选选选》)p
分析,选?中~选斜选~先选明一来个特性,RtABCcrcKA(-)=(-)(-).ppcpapbO3
O2
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1111
22 ?(-)=(++)?(+-)=[(+)-]=~ppcabcabcabcab224211
(-)(-)=(-++)?(-+)papbabcabc2211
22 =[-(-]=.cab)ab42
?(-)=(-)(-). ?ppcpapb
选察选形~可得=-=-~=-=-~==.rAFACpbrBGBCparCKpabc1
而=(+-)=-.?+++ =(-)+(-)+(-)+ =4-(++)=2.rabcpcrrrrpcpbpappabcpabc2
由?及选形易选.
例10,是?选上的任意一点.~~分选是?~?~?内径切选的半~MABCABrrrAMCBMCABC12
~~分选是上述三角形在?内径部的旁切选半.qqqACB12C'rrr12O选明,?=.qqq12...A'B'DEA'sin分析,选任意?′′′~由正弦定理可知=′?ABCODOA2O'A'B'B'?sinsinsinA'22sin2 =′′?? =′′?~ABABA'B'+2sinsin?A'O'B'2A'B'coscos
22
= ′′?.O′EABA'B'+sin
2
ODA'B'tgtg=?.O'E22
rrr1ACMACNBBAB2??tgtgtgtgtgtg亦即有 ?= ==.qqq22222212
六、心共选众
选有选情,两况(1)同一点却是不同三角形的不同的心~(2)同一选形出选了同一三角形的心几个.
例11,选在选接凸六选形内中~=~=~=.选选,(1)~~三选角选交于条ABCDFEABBCCDDEEFFAADBECF
一点~
(2)+++++?++.ABBCCDDEEFFAAKBECF
(1991~家国教数学委选选班招生选选)
分析,选接~~~由已知可选~~是?的三角平分选~条内选?的心内.而从ACCEEAADCFEBACEIACE
有==~IDCDDE
==~ ==.IFEFFAIBABBC..Erdos 再由?~易选~~是的三高~它条是的垂心~利用 不等式有,它BDFBPDQFSIA ++?2?(++).BIDIFIIPIQIS
F 不选选明=2~=2~=2.IEIPIAIQICISBQ ?++?++.BIDIFIIAIEIC
IPE ?+++++ =2(++)ABBCCDDEEFFABIDIFIS
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?(++)+(++)=++.IAIEICBIDIFIADBECF
就是一点心两.I
例12,?的外心选~=~是中点~是?的重心.选明丄.ABCOABACDABEACDOECD
(加拿大数学奥林匹克选选选)A分析,选选高亦选中选~取中点~必在上且:=2:1.选AMACFEDFDEEF
交于~必选?重心.选~~交于.易选,CDAMGGABCGEMFMFDCKEFD1G11?:=:()=2:1.DGGKDCDCO3K23
BC? ?:=:?.DGGKDEEFGEMF
?丄~?~ODABMFAB
?? ?丄丄.但丄又是?之垂心.易选丄.ODMFODGEOGDEGODEOECD例13,?中?=30?~是外心~是心~选内上的点选与上的点使得==.求选,ABCCOIACDBCEADBEAB
丄~=.OIDEOIDE
分析,选助选如选所示~作?平分选交于.DAOBCKDAC??30 易选?????~?=?=?.AIDAIBEIBAIDAIBEIBOK1IFE 利用心选角公式~有内=90?+?=105?~AIBC2B ??=360?-105?×3=45?.DIE111
??=30?+?=30?+(?-?)=30?+(?-60?)AKBDAOBACBAOBAC2221
=?=?=?. BACBAIBEI2
??.AKIE
由等腰?可知丄~AODDOAK
?丄~即是?的一高条.DOIEDFDIE
同理是?之垂心~丄.EODIEOIDE
由?=?~易知=.DIEIDOOIDE
例14,选角?中~~~分选是外心、重心、垂心.选外心到三选距和选离~重心到三选距和选离~dABCOGHd外重
垂心到三选距和选离.d垂A求选,1?+2?=3?.ddd垂外重
分析,选里用三角法.选?外接选半选径1~三角选选个内~~ABCABH3G3O2. 易知=++OOOOOOCdO外1233G2
=++~cosAcosBcosCH2OGI ?2=2(++). ?cosAcosBcosCd外BCOGH111 ?=?=?(2)=2?~sinBABsinBsinCsinBsinCAH1
同选可得?.CHBH23
?3=?三高的和条ABCd重
=2?(?+?+?) ?sinBsinCsinCsinAsinAsinB
BH
?=2~sin?BCH
?=?=2??.HHcosCBHcosBcosC1
同选可得~.HHHH23
?=++dHHHHHH垂123
=2(?+?+?) ?cosBcosCcosCcosAcosAcosB
欲选选选~选察?、?、?~
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选选(?+?+?)+(+ + cosBcosCcosCcosAcosAcosB cosAcosB
)=?+?+?.可即.cosCsinBsinCsinCsinAsinAsinB
选 选 选
1.选?之内心~射选~~交?外接选于′~′~ ′.选′+′+′,?IABCAIBICIABCABCAABBCCABC
周选.
2.?′的三选分选等于?的三中选~且三角形有一选角相等条两个.求选选三角形相似两个.(1989~捷克数TT
学奥林匹克)
3.选?的心内.取?~?~?的外心~~.求选,?与?有公共的外心.IABCIBCICAIABOOOOOOABC123123(1988~美林匹克国数学奥)
4.选?内角平分选.取?~?~?的外心~~.选?是等腰三角形.ADABCABCABDADCOOOOOO12125.?中?,90?~从上点作~的垂选~.是?的垂心.当是上选点选~ABCCABMCACBMPMQHCPQMAB求的选迹.(-7)HIMO1
6.?的选=(+)~取~中点~~选重心~选心内.选选,选~~三点的选直与ABCBCABACABACMNGIAMN2
选相切.(第27届数学奥莫斯科林匹克)GI
7.选角?的垂心选于三选的选点分选是称~~.已知,~~~求作?.(第7届数莫斯科ABCHHHHHHABC123123
学奥林匹克)
8.已知?的三旁心选个~~.求选,?是选角三角形.ABCIIIIII123123
9.~切?于~~选与的交点任作?的弦.求选,(1)?与?有公共的内ABACOBCOABCMOEFAEFABC心~(2)?与?有一旁心重合个.AEFABC
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范文四:高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)(广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边
和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.
2. 射影定理(欧几里得定理)
3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) ; 中线长:m a =2b 2+2c 2-a 2. 2
22224. 垂线定理:AB ⊥CD ?AC -AD =BC -BD . 高线长:h a =2bc p (p -a )(p -b )(p -c ) =sin A =c sin B =b sin C . a a
5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
如△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则BD =AB ;(外角平分线定理). DC AC
角平分线长:t a =
6. 正弦定理:22bc A . bcp (p -a ) =cos (其中p 为周长一半)b +c b +c 2a b c (其中R 为三角形外接圆半径). ===2R ,sin A sin B sin C
2227. 余弦定理:c =a +b -2ab cos C .
8. 张角定理:sin ∠BAC = sin ∠BAD +sin ∠DAC .
AD AC AB
9. 斯特瓦尔特(Stewart ) 定理:设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ,则有AB 2·DC +AC 2·BD -AD 2·BC =
BC ·DC ·BD .
10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半.(圆外角如何转化?)
11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角.
12. 圆幂定理:(相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理):切线长定理:)
13. 布拉美古塔(Brahmagupta )定理: 在圆内接四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,自对角线的交点P 向一边作垂线,其延
长线必平分对边.
14. 点到圆的幂:设P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO =d ,⊙O 的半径为r ,则d 2-r 2就是点P 对于⊙O 的幂.过P
任作一直线与⊙O 交于点A 、B ,则P A·PB = |d 2-r 2|.“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴) 所在直线交于一点.
15. 托勒密(Ptolemy )定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ,(逆命题成
立) .(广义托勒密定理)AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD .
16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦CD 、EF 经过点M ,CF 、DE 交AB 于P 、Q ,求证:MP =QM .
17. 费马点:定理1等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角
形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点.
18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点,并且AE
=BF =CD ,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.
19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆):三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以
及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质, 例如:
(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
(2)九点圆的圆心在欧拉线上, 且恰为垂心与外心连线的中点;
(3)三角形的九点圆与三角形的内切圆, 三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
20. 欧拉(Euler )线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上.
21. 欧拉(Euler )公式:设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,则d 2=R 2-2Rr .
22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.
23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成2:1的两部分;G (x A +x B +x C , y A +y B +y C ) 33
重心性质:(1)设G 为△ABC 的重心,连结AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,则AG :GD =2:1;
(2)设G 为△ABC 的重心,则S ?ABG 1=S ?BC G =S ?AC G =S ?ABC ; 3
DE FP KH 2DE FP KH ===; ++=2; BC CA AB 3BC CA AB (3)设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF ∥AC 交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ,交BC 于H ,则
(4)设G 为△ABC 的重心,则
+3GA 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2; 1222222②GA +GB +GC =(AB +BC +CA ) ; 3
2222222③PA +PB +PC =GA +GB +GC +3PG (P 为△ABC 内任意一点);
222④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即GA +GB +GC 最小; ①BC
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则G 为△ABC 的重心). 2
a b c a b c x A +x B +x C y A +y B +y C cos B cos C cos A cos B cos C 24. 垂心:三角形的三条高线的交点;H (cos A , ) ++++cos A cos B cos C cos A cos B cos C
垂心性质:(1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍;
(2)垂心H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上;
(3)△ABC 的垂心为H ,则△ABC ,△ABH ,△BCH ,△ACH 的外接圆是等圆;
(4)设O ,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则∠BAO =∠HAC , ∠CBO =∠ABH , ∠BCO =∠HCA .
25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;
I (ax A +bx B +cx C ay A +by B +cy C , ) a +b +c a +b +c
内心性质:(1)设I 为△ABC 的内心,则I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然;
111=90?+∠A , ∠AIC =90?+∠B , ∠AIB =90?+∠C ; 222
(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反之,若∠A 平分线交△ABC (2)设I 为△ABC 的内心,则∠BIC
外接圆于点K ,I 为线段AK 上的点且满足KI=KB,则I 为△ABC 的内心;
(4)设I 为△ABC 的内心,BC =a , AC =b , AB =c , ∠A 平分线交BC 于D ,交△ABC 外接圆于点K ,则
AI AK IK b +c ; ===ID KI KD a
(5)设I 为△ABC 的内心,BC =a , AC =b , AB =c , I 在BC , AC , AB 上的射影分别为D , E , F ,内切圆半径为r ,令1p =(a +b +c ) ,则①S ?ABC =pr ;②AE =AF =p -a ; BD =BF =p -b ; CE =CD =p -c ;③2
abcr =p ?AI ?BI ?CI .
sin 2Ax A +sin 2Bx B +sin 2Cx C sin 2Ay A +sin 2By B +sin 2Cy C , ) sin 2A +sin 2B +sin 2C sin 2A +sin 2B +sin 2C 26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等; O (
外心性质:(1)外心到三角形各顶点距离相等;
(2)设O 为△ABC 的外心,则∠BOC =2∠A 或∠BOC =360?-2∠A ;
(3)R =abc ;(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和. 4S ?
27. 旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 的三边BC =a , AC =b , AB =c , 令
1p =(a +b +c ) ,分别与BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为I A , I B , I C ,其半径分别记为r A , r B , r C . 2
11旁心性质:(1)∠BI A C =90?-∠A , ∠BI B C =∠BI C C =∠A , (对于顶角B ,C 也有类似的式子); 22
1(2)∠I A I B I C =(∠A +∠C ) ; 2
(3)设AI A 的连线交△ABC 的外接圆于D ,则DI A =DB =DC (对于BI B , CI C 有同样的结论);
(4)△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形,且△I A I B I C 的外接圆半径R ' 等于△ABC 的直径为2R .
28. 三角形面积公式:S ?ABC =11abc a 2+b 2+c 2 ah a =ab sin C ==2R 2sin A sin B sin C =224R 4(cotA +cot B +cot C )
1
2R 为外接圆半径,其中h a 表示BC 边上的高, r 为内切圆半径,p =(a +b +c ) .=pr =p (p -a )(p -b )(p -c ) ,
29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:
r =4R sin
r =a A B C A B C A B C A B C sin sin ; r a =4R sin cos cos , r b =4R cos sin cos , r c =4R cos cos sin ; 222222222222r r r 1111 , r b =, r c =; ++=. B C A C A B r a r b r c r tan tan tan tan tan tan 222222
30. 梅涅劳斯(Menelaus )定理:设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分
别为P 、Q 、R 则有 BP CQ AR ??=1.(逆定理也成立) PC QA RB
31. 梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ,∠C 的平分线交边AB 于R ,∠B 的平分线
交边CA 于Q ,则P 、Q 、R 三点共线.
32. 梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线,分别和BC 、CA 、AB 的延
长线交于点P 、Q 、R ,则P 、Q 、R 三点共线.
33. 塞瓦(Ceva ) 定理:设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点,则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充
要条件是AZ BX CY =1. ZB XC YA
34. 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ,又设BE 和CD 交于S ,
则AS 一定过边BC 的中点M .
35. 塞瓦定理的逆定理:(略)
36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线
交于一点.
37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ,则AR 、BS 、CT 交
于一点.
38. 西摩松(Simson )定理:从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别
是D 、E 、R ,则D 、E 、R 共线,(这条直线叫西摩松线Simson line).
39. 西摩松定理的逆定理:(略)
40. 关于西摩松线的定理1:△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上.
41. 关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角
形的西摩松线,这些西摩松线交于一点.
42. 史坦纳定理:设△ABC 的垂心为H ,其外接圆的任意点P ,这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心.
43. 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条
(与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线.
44. 牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个
四边形的牛顿线.
45. 牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线.
46. 笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ,设它们的对应顶点(A 和D 、B 和E 、C 和F )的连线交于一
点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.
47. 笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ,设它们的对应顶点(A 和D 、B 和E 、C 和F )的连线交
于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线.
48. 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ,则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是:弧
AP +弧BQ +弧CR =0(mod2 ) .
49. 波朗杰、腾下定理推论1:设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点,
则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点.
50. 波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的
垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.
51. 波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC 的外接圆上的一点P 的关于△ABC 的西摩松线,如设QR 为垂直于这条西摩
松线该外接圆的弦,则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点.
52. 波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线,设垂足分别是D 、E 、F ,且设边BC 、CA 、
AB 的中点分别是L 、M 、N ,则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上,这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点.
53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点P ,引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ,
与三边的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.
54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ,在
△ABC 的外接圆上取一点P ,则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.
55. 清宫定理:设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点,P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、
V 、W ,这时,QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.
56. 他拿定理:设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ,
这时,如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线.(反点:P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点,如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点)
57. 朗古来定理:在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P ,作P 点的关于这4
个三角形的西摩松线,再从P 向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上.
58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.
59. 一个圆周上有n 个点,从其中任意n -1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点.
60. 康托尔定理1:一个圆周上有n 个点,从其中任意n -2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.
61. 康托尔定理2:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点,则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、
△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线.
62. 康托尔定理3:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点,则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、
L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点.
63. 康托尔定理4:一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点,则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、
DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线.
64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.
65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一
个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.
66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ,则这三线共点.
67. 帕斯卡(Paskal )定理:圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的(或延长线的)交点
共线.
68. 阿波罗尼斯(Apollonius )定理:到两定点A 、B 的距离之比为定比m :n (值不为1)的点P ,位于将线段AB 分成
m :n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.
69. 库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心
都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.
70. 密格尔(Miquel )点: 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,构成四个三角形,它们是
△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点.
71. 葛尔刚(Gergonne )点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,则AE 、BF 、CD 三线共点,这个
点称为葛尔刚点.
72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的任意一点,过M 向三边作垂线,三个垂足
22形成的三角形的面积,其公式: S ?D EF =|R -d |. S ?AB C 4R 2
平面几何的意义
就个人经验而言,我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件.
罗素说过:“一个人越是研究几何学,就越能看出它们是多么值得赞赏.”我想罗素之所以这么说,是因为平面几何曾经救了他一命的缘故.
天知道是什么缘故,这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍,想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活.在上吊或者抹脖子之前,头戴假发的小子想到做最后一件事情,那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力.而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的.估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介,不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾?而罗素真的一下被迷住了,厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化,最后竟被遗忘了.
罗素毕竟是罗素.平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力,为我解开了智力上的扭结;而在罗素那里,这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性.他反对不加考察就接受平面几何的公理,在与哥哥的反复争论之后,只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后,他才同意接受这些公理.
公元前334年,年轻的亚历山大从马其顿麾师东进,短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国.随着他的征服,希腊文明传播到了东方,开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”,这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方,准确地说,是从雅典转移到了埃及的亚历山大城.正是在这个城市,诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就,其中就包括欧几里德的几何学.因为他的成就,平面几何也被叫作“欧氏几何”.
“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范,哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶.它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发,通过严密的逻辑推理,演绎出一连串的定理,这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系.世间事物的简洁之美无出其右.
★费马点:法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.这是一个历史名题,近几年仍有不少文献对此介绍. ★拿破仑三角形:读了这个题目,你一定觉得很奇怪.还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢!拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系? 少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者,但对他任过炮兵军官,对与射击、测量有关的几何等知识素有研究,却知道得就不多了吧! 史料记载,拿破仑攻占意大利之后,把意大利图书馆中有价值的文献,包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎,他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题,被法国数学家曼彻罗尼所解决.据说拿破仑在统治法国之前,曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题.拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服,以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求:“将军,我们最后有个请求,你来给大家上一次几何课吧!”
你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧!不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联,他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”,而且还是一个很有趣的三角形.
在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点,并且AE =BF =CD ,如下图.这个命题称为拿破仑定理.
以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圆心构成的△ ——外拿破仑的三角形.⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点,外拿破仑三角形是一个等边三角形,如下图.
△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 的圆心构成的△ ——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三角形.如下图. 由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形,这两个三角形还具有相同的中心.少年朋友,你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家,同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢?拿破仑定理、拿破仑三角
形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢?
★欧拉圆:三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine -point circle〕, 或欧拉圆, 费尔巴哈圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题, 最早提出九点圆的是英国的培亚敏. 俾几〔Benjamin Beven〕, 问题发表在1804年的一本英国杂志上. 第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕. 也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的. 一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆, 他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里, 文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕, 故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
九点圆具有许多有趣的性质, 例如:
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2. 九点圆的圆心在欧拉线上, 且恰为垂心与外心连线的中点;
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆, 三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
范文五:高中数学竞赛平面几何讲义
高中平面几何
(叶中豪)
话 题
几何问题的联系和转化
解题和编题的一些规律
调和点列,反演与配极,调和四边形
完全四边形及其Miquel 点
例题和习题
1.△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D ,E 在AC 延长线上,且CE =CD ,F 在CA 延
1
长线上,且AF =CD 。求证:BE ⊥BF 。
2
2.AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,由C 引AB 的垂线,D 为垂足。分别在半圆上截
取AE =AD ,BF =BD 。求证:CD 平分EF 。
3.已知半圆的直径AB 的长为2r ,半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直,垂足为T ,
AT =2a (2a <
r MP ),半圆上有相异两点M 、N ,它们与直线l 的距离MP 、NQ 满足=2AM
NQ
=1。求证:AM +AN =AB 。 AN
l Q P
T
4.在△ABC 的边BC 的延长线上取一点D ,使CD =AC ,△ACD 的外接圆与以BC
边为直径的圆交于C 、G 两点,直线BG 、AC 交于E ,直线CG 、AB 交于F 。求证:D 、E 、F 三点共线。
B
5.△ABC 内心为I ,内切圆切AB 、AC 边于E 、F ,延长BI 、CI 分别交直线EF 于M 、
N 。求证:S 四边形AMIN =S △IBC 。
B
6.AC 是与BD 垂直于E 的直径,G 是BA 延长线上一点,过B 作BF ∥DG 交DA 延
长线于F ,作CH ⊥GF 于H 。求证:B 、E 、F 、H 四点共圆。
7.如图,圆O 1和圆O 2相交于E 、F ,过E 作割线AB ,使AE =EB ,过F 作割线CD ,联AD 、BC ,并过A 作AD 的垂线、过B 作BC 的垂线,设两条垂线相交于P 点。 求证:PF ⊥CD 的充要条件是PA =PB 。
8.梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BA 、CD 延长交于E ,过C 作AC 垂线,过D 作BD 垂线,两条垂线交于F 。求证:EF ⊥AD 的充要条件是CF =DF 。
B
9.A 为圆O 上一点,B 为圆外一点,BC 、BD 分别与圆O 相切于C 、D ,DE ⊥AO 于E ,DE 分别交AB 、AC 于F 、G 。求证:DF =FG 。
10.已知:PA 、PB 是圆O 的切线,PCD 是割线,过C 作PA 的平行线,分别交AB 、AD 于E 、F 。求证:CE =EF 。
11.已知:AB 是圆O 的直径,P 是过B 点的切线上任一点,过P 作任意割线PCD ,联结AC 、AD ,分别与直线OP 交于E 、F 。求证:OE =OF 。
12.平行四边形ABCD (非矩形和菱形)中,CM ⊥AD 于M ,CN ⊥AB 于N ,NM 与BD 延长交于点P 。求证:PC ⊥AC 。
13.已知ABCD 是圆内接四边形,对角线AC 、BD 交于P 点,O 是外接圆心。过A 、B 分别作邻边AD 和BC 的垂线交于E 点。求证:E 、O 、P 三点共线。
14.M 为AC 上任一点,BM 延长交圆O 于P ,过P 作CP 垂线交OM 延长线于Q 。 求证:BA ⊥AQ 。
15
.已知E 是矩形ABCD 对角线AC 上一点,且BE 。求证:∠CDE =2∠ABE 。
16.△ABC 中,AB
,AH 是高,M 是AC 中点,HM 、BA 延长交于D 。求证:BC
=CD 。
17.△ABC 中,AB =
AC ,D 是BC 上一点,且CD ,M 是AD 中点。
求证:∠BMD +2∠CAD =180°。
B
18.AB 、AC 是圆O 的切线,CD 交AB 于E ,AD 交圆O 于F 。若CD =DE ,求证:BF ∥CE 。
19.设以O 为圆心的圆经过△ABC (AB ≠BC )的两个顶点A 和C ,且与边AB 、BC 分别
交于K 和N ,又设△ABC 和△KBN 的外接圆交于B 和另一点M 。求证:∠OMB =90°。(1985年第26届IMO )
20.在△OAB 与△OCD 中,OA =OB , OC =OD ,直线AB 与CD 相交于点P ,△PAC 与△PBD 的外接圆交于P 、Q 两点。求证: OQ⊥PQ 。
21.已知I 是△ABC 的内心,ID ⊥BC 于D ,AI 交△ABC 的外接圆于S ,SD 延长交外
接圆于P 。求证:∠API 是直角。
22.已知E 、F 分别在△ABC 的AC 、AB 边上,且∠BEC =∠BFC ,BE 、CF 交于D ,
⊙AEF 交△ABC 的外接圆于另一点M 。求证:AM ⊥MD 。
23.E 、F 分别在Rt △ABC 的直角边AC 、AB 边上,BE 、CF 交于D ,圆AEF 交外接
圆于P 。求证:AP ⊥PD 。
B
24.已知P 是矩形ABCD 内任意一点,BP 延长交DC 于E ,DP 延长交BC 于F ,AP
延长交外接圆于G 。求证:EG ⊥FG 。
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