范文一:由迭代生成数列收敛的条件
第 27 卷 第 2 期 Journal of Tianshui Normal University Vol.27 No.2
由迭代生成数列收敛的条件
程希旺
淮安 江苏 ( 淮阴师范学院 数学系, 223300)
+摘 要探讨了由初始值 和递推公式 通过迭代生成的数列的收敛性与函数 的关系: , {}f,xx=f(x)n?Nx 1n+1nn
若 则必为函数的不动点给出了数列收敛的若干充分条件和必要条为: lim x= ξ, ξf。{x}nn
件。条件 n?+? 关键词: 迭代; 数列; 收敛;
中图分类号文献标识码文章编号: O172 : A : 1371- 1351 ( 2007) 02- 0018- 02 所 谓 是 指 在 给 出 数 列 的 第 一 有 当在 区 间上 单 调 增 加 时 由 条 “由 迭 代 生 成 的 数 列 ”, 证 明 : ( 1) fI ,
件 , ++ 项后用递推公式通过迭代生成的数x, x=f( x) , n?N用数学归纳法可以证明单调增如有x?I,n?N。x?x, {x} 1n+1n12nn 列。有 很 强 的 这样的数列在数学和许多应用领域中经常出现, 又由于若则加。事实上, x?x, x=f(x)?f(x)=x。1112 nn+n+nn+n+
函理论和实用价值。例如, 大量的近似计算方法都是 通 过 迭 所以数列 根 据 单 调 数在区间上有 有界因此fI{x} , 。n[1] 代方式来实现的判定由迭代生成的数列的收敛性除, 界。 , 有界定理数列 收敛如果类似可以证 明, {x } 。x ?x , {x } 1 2 n n
还 可 利 用 了直接利用单调有界 定 理 和收 敛 准 则 外 Cauchy, 单调减少且有界, 从而收敛。
当在区间上单调减少( 2) fI函数自身的性质来判定本文主要利用函数的性质讨论f, f用数学归 如有x?x, 13, 时 由{}单调增加事实上则=纳法可以证明x, x 。若?212xx, k- k2k- 12k+1迭代生成数列收敛的条件。 再 由 )?()=(x= f (x) ? f (x) =x。 x= fxf xx, 2122223 22k - 12k +12k +2k +kk +k +k
预备知识所 1 ()可知{}单调减少又由于函数在区间上有f x, xfI。212k- k
, 界数列 以数列{}和{}都有界因此根据单调有界定理xx。, , 212k- k[2]定义设为定义在数集上的函若是1 fDξ?D, ξ 和都收敛如果证明完全类似{x}{x }。x ?x , 。 21 3 2 1k- k , 数方程的根则称为函数的不动f ( x) =x, ξf由迭代生成 中当在区间上单调减少定理注: 2, fI 点[3]。, 时定 义设为 定 义 在 数 集上 的 函 数 2 fD, f (D) 可能收敛也可能发散但的两个子列和的数列{x }, 。{x }{x } 21k- n n "D, 若存在常数使得对一切k?(0, 1), x、y?D, ?f(x)- 由迭代生成数列的敛散性取决于两个子 {}都收敛可见x。, 2kf(y)??k 成立则称为上的一个压缩 映 称 常 数为 压?x- y?, fDk 列和的极限是否相 等 和的 极 限 相 等 若{x}{x}。 {x}{x},212212 k- kk- k射 , 缩常数 。则数列{}必定收敛否则发散x, 。 n
则由任何初始值 定理设是上的一个压缩映3 f[a,b]
, 射+ 主要结果2 和递推公式=()生成的数列{}收敛[,]x?abxfx, n?Nx 。11n+nn
证明由于是[,]上的压缩映射故[,]: fab, f ( ab)
[,]ab, "+ ++设 数 列 定 理满 足 递 推 关 系 = (),1 {x} xf xn ?N, 必在中且常数使得 {x }[a,b], (k?(0,1), )n?N, )p?N1nn +nn 有 其中f为连续函数。若 lim x= ξ, 则ξ必为函数f的不动点。 nn?+? ?x- x?=?f( x) - f( x) ??k?x- x? +nnpn- 1n+p-1 n-1 n+p-1 证明由条件在点连续即lim根据: , fξ, f( x) = f (ξ) 。2nn?k?x - x ?? ?k?x - x ??k( b- a) n- 2 n+p- 2 0 p He-x?ξ $ ln 归结原理lim = ()的两边取在ine, f(x)= f(ξ)。xf xn?+? 1nn+nb- a 只 要 取 不 妨 设 可 见 , N= [ $ >0 ( $ <根 据收="" 敛="" 准1="" 。="" n?n,="" p?n,="" xx$。="" cauchy="" ))+nnp的极限即得故为函数的不动点(),="" ξ="fξ," ξf。="" 则{}收敛x,="" 。="" n若函数没有不动点则数列必定发散f,="" {x}。="">根>
其 推论 定理设数列满足递推关系设是定义在上的可导函数2 {x}x=f(x), f[a,b], f( [a,b]) [a,b] , "1nn+n
+ 成 立 不 等 式 中函数在区间上单调且有界同时的每一项都在区若 存 在 常 数 使 得 对 一 切 n?N, fI, {x}k ?(0,1), x ?[a,b], n
I间 和递推公式则由任何初始值?f′(x)??k, x?[a,b]x= 11n+中则当在区间上单调增加时收敛当在区, ?fI, {x}; ?ff(x),n n的两个子列和都收敛上单调减少时, {x}{x}{x}。21 nk- 2k+I 生成的数列收敛间n?N{x}。 n
收稿日期: 2006- 12- 15
作者简介程希旺 淮阴师范学院数学系讲师硕士男江苏淮阴人: ( 1969- ) , , , , 。
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有 证明由中值定理1 1 : Lagrange, x、!, 即得所要证明的结论。 当 ?α时, 射。根据定理3< l="" 2l="" y?[a,b],="" (x)-="" f="" (y)?="?f′()???x-" y??k?x-="" y?,="" ξ不="" 是="" 压="" 缩="" 映="" 射="" 但="" 由及知=""><2, f="" 。="" f([a,b])[a,b]x?[a,b],="">2,><><><ξy yξx,="" fab。+对一切{}为一有界数列下面只要="" [,]于是n?n,="" x?ab,="" x。nn理="" +和递推公式="()," 生成由任何初始值[,]证明{}单调根据单调有界定理便可得到{}收敛事实3,="" x?abxfxn?nx,="" ,="" x。="" 1n+1nnn的="" 数列{}收敛x。="" n="" 1-="" α1-="" αl="" l="" 上,="" 若()?="α[+()]?α[+" ]="" 则f="" xx,xl="" xf="" xl="" xx定理及其推论还可作如下推广3:="" 1121111α="" α="" 即存="" 定理设函数在区间上满足条4="" f[a,="" b]lipschitz便有="" 而对若="x" ,="" n="">1 , x 1 - 1 nn 件, 在常数对一切都有l>0, x、y?[a,b], ?f(x)- f (y)??l?x- ?x , ) f ( x )- f (x )??f ( x )- f (x )??l?x - x ?=l( x - x - 1 - 1 - 1 - 1nn nn nn n n y?, 1 a b 则由任何初始值 常数满足: 0, ( [,]) ], , α<>< fab[="" #然后两边同乘以="" 将带负号的项移到不等式的另一端,="" α="" α="" l="" 即得="" a,="" +和递推公式="()," 生成的数列{}收敛[,="" ]x?abxαfxn?nx。="" +11nnn="α[l" x+f="" (x)]?α[l="" x+f="" (x)]="xx" 11-="" -="" +1nnnnnn证="" 明令α,="" ,="" 容="" 易="" 验="" 证()="()" [,="" ]="" ([,="" :="" fxf="" xx?abf="" a="" 1-αl="" 故{}单调递增。同理若)?="" 有="" (="" 可证{}单调递减])xfx对一切bx。="" $[a,="" b],="" x,="" y?[a,="" b],="" x,="" n11nα="" (x)-="" f(y)?="α?f" (x)-="" f="" (y)??αl?x-="" y?="k?x-" y?="" 1="" 文="" 中的定理为本定理时的特殊情形,="" α。[4]="" l="1=" 其中是="" 一="" 个="" 压="" 缩="" 映="" 射="" 所="" 以根="" 据="" 定=""><><1, f="" ,="" 3,="" 2="" 即得所要证明的结论。="" 最后作为定理及其推论的应用给出如下定理,="" 3,="" 。="" 定理设是定义在[,="" 上的可导函]5="" fab定理设是定义在[,]上的可导函数7="" fab,="" 若存在常数="" 数,="" +()[,]xfx?ab,="" 常数="" 使得对一切成立不等式m="">0, x?[a, b], ?f′(x)??M, 成 立 不 等 式 若 存 在 常 数 使 得 对 一 切k?(0, 1), x?[a, b] ,
1 a b 在 上至少有一个根则方程 ?1+f′(x)??k, f (x)=0[a,b]。 满 足 : 0( [,]) 则 由 任 何 初 始 值 α<>< ,="" f="" ab],="" ,="" $="" [="" α="" α="" m="" 证明令符合定理()="+()[,]容易验证:" f="" xxf="" x,="" x?ab,="" f+[,]和递推公式="(),生成的数列{}收敛3" x?abxafxn?nx。="" +11nnn推论的条件因此由初始值和递推公式[,],="" ,="" x?abx="F" 1n+1证="" 明="" :="" 容="" 易="" 验="" 证="" (α)="" ([,])="" [,],="" α(x)="" fab$abf="" ′+通="" 过="" 迭="" 代="" 生="" 成="" 的="" 数="" 列收="" 敛="" 设="" 数="" 列的="x" +f="" (x="" ),n?n{x="" }。="" {x="" }="" n="" n="" n="" n="" ()x="" n定=""><1, x?[a,b]。,="" αf3为在上="" 的="" 不="" 动="" 点="" 即极="" 限="" 为则="" 由="" 定="" 理ξ,="" 1,="" f="" [a,b],="F" ξ!件,="" ()="" "理得证5。="" 即存="+()从而()=0()=0在[,]上至少有因此方程定" 理设函数在区间上满足条#f="" $,="" ,="" f="" %,="" ,="" f="" xab6="">1,>
件, 一 个根。 在常数对一切都有l>0, x, y?[a,b], ?f (x)- f (y)??l?x-
y?, 1 1- α1- αl l 则由 0α)[ , ]( [,] < ,="" f="" abab,$常数α满参考文献:="" α="" α="" l="" 足:="" 徐萃薇计算方法引论北京高等教育出版社.[m].:,1985.="" [1]="" +生成和递推公式任何初始值n?n="" x?[a="" b]x="α[lx+f(x)]," +11nnn刘世伟李逊泛函分析概要北京高等教育出版社,.[m].:,1987.="" [2]="" 的数列{}收敛x。="" n吴良森毛羽辉宋国栋等数学分析习题精解北京科学出版="" ,,,.[m].:[3]="" 容="" 易="" 验="" 证证="" 明="" 令x?[a,b],="" f([a,="" b])="" 社:="" f="" (x)="α[lx+f(x)]," ,2002.="">
席泓李庆玉关于两类递推数列的极限贵州教育学院学报, . [J]. , 有 对一切[a, b], x, y?[a,b], $[4] 2001,12(4). ?F (x)- F(y)?=α?[l x+f (x)]- [l y+f (y)]?
?α[?- ?+?()- ()?]?2α?- ?=?- ? lxyf xf ylxykxy
1 其中。当0α时, 0<1, 是一个压缩="2αkl">1,>< kf责任编辑="" 王三福="" 〔〕2l="" 映="">
19
范文二:一类数列收敛的充分条件
一类数列收敛的充分条件 第2卷第2期
2009年1O月
西安职业技术学院
Joum~ofXi'anVocationalTechnicalCollege V01.2No.2
October2009
文章编号:(2009)2—0023—03
一
类数列收敛的充分条件
周玮
(西安职业技术学院财政金融系,陕西i~-ex-710077) 摘要:分析了用于定义Euler—Mascheroni常数的数列,并在此基础上给出了其收敛的两个充分条
件而非必要条件,这些条件较已有的条件更为简洁.
关键词:数列;收剑;条件
中图分类号:012文献标识码:A
数列Xn=1+丢+号+…+一z(=1,2,3,…)是收敛的…,且其的极限是Euler— Mascheroni常数C(C=0.57716).
数列{X}收敛的证明,最早由瑞士数学家LeonhardEuler给出[?,在很多数学分析书[一4]中都能看
到,但其证明的过程比较复杂.
可以通过证明下面的定理,来得到一个判断包含上述IX}在内的一类数列收敛情况的判定定理.
定理一:
对于数列zn=f(a1)+厂(口2)+f(a3)+…+f(a)一J.厂(z)dr,其中{an}的首项是口,公差 是d(d>0)的等差数列;若f(x)在[0,+..]上单调有界时,则{X}收敛.
证明:1)首先证明当f(x)单调递减时,定理成立. 若f(x)单调递减,且M为它的一个下界,则对任意数自然数咒,当X?[Ct,a+1]时:
X,n--Xn+1=一f(an+1)+(z)?+(=一f(an+1)+f(an+1)=0
即:X?zn+1
故数列{X}单调递减.
同时,z?[a,口+1]时,f(x)?f(a)
两边同时积分:
rJl+(z)?Ian+(an):af(an)a n
n
^
即厂(an)?1Jfa2,(z)如
令,z=1,2,3,……,z由上述式子得到:
厂(a1)?_Jl~a2,.)如
收稿日期:2008—12.17
作者简介:周玮(1973一),女,陕西商洛人,西安职业技术学院财政金融系,副教授,硕
士.
24西安职业技术学院
f(a2)?XJ~a3,_)如
f(a3)?扎)如
i;i
,(口)?(z)如
相加之得:
+州a3)+..?+f(an)>(zI …
faf(f(a1)f(a2)f(a)drz)dx+(z)如++厂()+…+)>J.(z…. z+J(z)如
即,
+厂(口2)+厂(口)+…+)一lJ~
.
a
n
,.11f(a1)f(a口+lanf(x)dx+厂(口2)+厂(口z)+…+)一J.,口7z+ 即
?()如?17+IMdx
故z=M
故{i有下界.
由上知:{}单调递减且有下界,故{}收敛.
2)当f(x)单调递增时,同理可证{}单调递增有上界. 故:t}收敛.
由于1),2)所以定理成立.
在定N.--#j条件中,等差数列口的公差d>0,如果的公差,其它条件作相应变换,
依然可得到
类似的结论.
定理二:
对于数列z=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…厂(口)一厂()如,其中口是首项为口,公差为 d(d<0)的等差数列,若f(x)在上单调有界时,则{z}收敛. (证明类似于定理一)
下面,用定理来证明数列朋=l+丢+号+…+一收敛. 证明:
数列{1,2,3,…,i为首项是1,公差为1,(1>0)的等差数列,并且厂()=在(1,+?)上单
调递减有上界(I厂(z)I<1),由定理一知:
数列厂(1)+厂(2)+,(3)+…+厂()一J.如=1++号+…+一,,z收敛 又如,在判断以下两数列收敛时,也可用上述方法. 1)z=ln1++訾+..?+1n一1-n2,z
2)z=口+…+口rc一~I.arctgzdx
等等
此外,还可以通过对定理的讨论来得N--@有趣的结论,可以看
出,X=f(a1)+f(a2)+f(a3)+
…
+(口),1f7~()如由两部分之差构成前一部分厂(口.)+,(口:)+厂(口.)+…+厂(口)是一个数
周玮:一类数列收敛的充分条件
的前几项之和,而后一部分厂(z)是一个数列的第项,那么,当{}收敛时,这两部分的敛散
性就有如下关系:
推论一:
在定理一条件下,级数?厂(以)与数列{1:r,|厂(z)J}的敛散性相同. 推论二:
当{}满足定量一条件时,级数?厂(n)与{I:r,l厂()如I}的敛散性相同. 例1:判断级数1+丢+号+…+与数列{}的敛散性相同,而数列{,彻}发散,故1+1+号 +…++…也发散.
特别当{口}取自然数列,f(x)为[1,+o.]上的非负递函数时,由推论一知: ?厂()与{I=,(z)l}的敛散性相同.
即+co厂()与.r:厂()如的敛散性相同,这正是正项级数积分判别法. 可以看出正项级数积分判别法是推论一的特殊情况,若数列{z}收敛,可以借助它的极限计算第
一
类型级数或无穷积分的值,在此就不举例了.
由推论一,二可知若{z}满足定理条件时,则{}收敛;也就是说,定理一,二是判断一类数列收敛
的充分条件,但是其并不是必要条件,如下反例所示:
例:
fz(:+—,?N)
^1(z?+丢,n?N)
分析:
厂(.+厂(:+厂(.,+…+厂(一j.厂(:十十号+…十一
前面已知证明1十丢十号+…+一Z72的收敛情况,
故(口1)+厂(口2)+f(a3)+…+,(口)一-d1
J
f
a
n厂(z)z收敛.
但是,,
f(?,z十1,7z?N)1:+,?N
并不是单调有界的.
因此,定理一,二是{zl收敛的充分条件而非必要条件.
[1]陈兰祥.同济大学应用数学系?高等数学:第五版[M].北京:高等教育出版社,2002 [2]张学泰.同济大学应用数学系?微积分:第二版[M].北京:高等教育出版社,2003. [3]林益.华东师范大学数学系?数学分析:第三版[M].北京:高等教育出版社,2001. [责任编辑卢臻]
(下转第37页)
陶学忠:按动漫人才特质培养动漫专业人才37
[参考文献]
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[责任编辑卢琮】
TAOXue—zhong
(DepartmentofScientificInformation,Xi'anVocationalTechnicalCollege,Xi'an710077,C
hina)
Abstract:Problemsintrainingcartoontalentsarediscussed,thereasonareanalyzed.Teachin
gcontentsare
prclp08edtopromotingcs_rtoontalents'quality,includinghumanisticquality,innovationab
ility,coopera—
tivequality,creativeindustry,etc.
Keywords:cartoonindustry;qualitycultivation;curriculuminnovation (上接第25页)
SufficientConditionsforaKindofNumberSequenceConvergence ZHO1Wei
(DepartmentofFinanceandAccounting,Xi'anVocationalTechnicalCollege,Xi'aI1710077,China)
Abstract:ThenumbersequenceinEuler—
Mascheroniconstantwasanalyzed.Basedonit,twosufficient conditionsforconvergence,yet,notquitenecessaryconditions,weregiven,whicharemuchs
implerand
clearerthantheoriginalone.
Keywords:numbersequence;convergence;conditionence
范文三:由迭代生成数列收敛的条件
由迭代生成数列收敛的条件 2007年3月
第27卷第2期
天水师范学院
JournalofTianshuiNormalUniversity Mar.,2007
Vo1.27No.2
由迭代生成数列收敛的条件
程希旺
(淮阴师范学院数学系.江苏淮安223300)
摘要:探讨了由初始值和递推公式‰l,凡?通过迭代生成的数列{%)的收敛性与函数关系,
为:若limxn.=,则必为函数不动点.给出了数列{)收敛的若干充分条件和必要条件.,r_+?
关键词:迭代;数列;收敛;条件
中图分类号:0172文献标识码:A/文章编号:1371—1351(2007)02—0018—02 所谓"由迭代生成的数列".是指在给出数列的第一
项后,用递推公式Xn+.f(x),n?通过迭代生成的数列.
这样的数列在数学和许多应用领域中经常出现.有很强的 理论和实用价值.例如,大量的近似计算方法都是通过迭 代方式来实现的.【l】判定由迭代生成的数列的收敛性.除 了直接利用单调有界定理和Cauchy收敛准则外.还可利用 函数身的性质来判定.本文主要利用函数性质讨论由
迭代生成数列收敛的条件
1预备知识
定义1f21设伪定义在数集D上的函数.,?D.若,是
方()的根,则称?为函麦l[不动点.
定义2Is]设伪定义在数集D上的函数,厂(CD, 若存在常数k?(0,1),使得对一切,y?D,I?I? II成立.则称伪D上的一个压缩映射.称常数k为压 缩常数
2主要结果
定理1设数列{I满足递推关系+l=厂,nEN, 其中连续函数.若limx~=,则必为函壹l[不动点. 证明:由条件,点连续,即)=厂).根据He一_ ine归结原理,lim=艄.在-=厂的两边取,l一+*时 的极限,即得,故为函麦l[不动点.
注:定理1为由迭代生成数列收敛的一个必要条件 若函数,没有不动点,则数列}必定发散. 定理2设数列{}满足递推关系_+1,n?,其 中函数,在区间,上单调且有界.同时{}的每一项都在区间, 中,则(1)当,在区间,上单调增加时,{}收敛;(2)当,在区间, 上单调减少时,{x,lt~个子列{.}和{}都收敛. 证明:(1)当,在区间,上单调增加时,由条件,有 ?I,n?.如有?2,用数学归纳法可以证明{}单调增 加.事实上,若?‰+l'则+.{+.).又由于函
区间,上有界,所以数列{}有界.因此,根据单调 有界定理,数列{}收敛.如果翱?2,类似可以证明J 单调减少且有界.从而收敛.
(2)当,在区间,上单诃减少时,如有柏?勋,用数学归 纳法可以证明{.1}单调增加.事实上,若一l?+l'则= 一
1)+1)=+2,+l=厂?f(x=%+3.再由=
f(x..),可知{}单调减少.又由于函区间,上有界,所 以数列.}和{}都有界.因此,根据单调有界定理,数列 一
.}和{}都收敛.如果.?物,证明完全类似.
注:定理2中.当,在区间,上单调减少时.由迭代生成 的数列}可能收敛,也可能发散.但}的两个子列.IJ和 {}都收敛.可见,由迭代生成数列的敛散性取决于两个子 列一.J和J的极限是否相等.若.J和J的极限相等, 则数列{}必定收敛,否则发散.
定理3设,是[a,6】上的一个压缩映射,则由任何初始值 ?[a,6】和递推公式,n?生成的数列{}收敛. 证明:由碓[a,b]Iz的压缩映射.([a,6】)c[a,6】, {}必在[a,6】中,且j常数k?(0,1),使得Vn?,Vp? 有
f葺一呻l-f厂(1)1)f?fXn-Ilf
?l..-2l?…?IXo-Xpl?(6—口)
In_璺_-
可见,V8>D(不妨设8<6吨),只要取^^:[—】, 1IW
YnEN,VPEN,都有J呻J<8.根据c8uchy收敛准 则,{收敛.
推论设定义在6】上的可导函数,6】)C[o.b】, 若存在常数k?(0,1),使得对一切?[a,6】,成立不等式 lf)l?,则由任何初始值.?6】和递推公式Xn+l=, n?生成的数列{}收敛.
收稿日期:2006—12—15
作者简介:程希旺(1969一),男.江苏淮阴人,淮阴师范学院数学系讲师,硕士.
18
证明:Lagrange~P值定理,V,YE【a,6】,有
I,?(y)I_I厂I?Ix--yI?Ix--yI,
《或,,<,于是,是6】上的一个压缩映射.根据定理 3,由任何初始值?【口,6】和递推公式=Jk,nE生成的 数列x}收敛.
定理3及其推论还可作如下推广:
定理4设函壹,在区间【a,6】上满足upsch条件,即存 在常数,对一切,Y?【a,6】,都有ff?zfx-yf, 常数d满足:0<d<?,f(【a,6】)c【导,】,则由任何初始值,dd
E【a,6】和递推公式=o/(xJ,nE生成的数列{}收敛. 证明:令)=ctf(x),E【口,b】,容易验证Fhi)c kb】,对一切,YEkb】,有
IF黝dIf(x)-f(y)I?(ItzII_Ix-yI 其中0<k--a/<l.所以陧一个压缩映射,根据定理3, 即得所要证明的结论.
定理5设,是定义在【口,b]/-的可导函数,若存在常数 M>0,使得对一切?6】,成立不等式f,(x)f?,常数 d满足:0<d<1
,
f(【a,6】)c【詈,詈】,则由任何初始值
E【口,6】和递推公式:,nE生成的数列x}收敛. 证明:容易验证(d6Dc【口,6】,Id,(x)I?
aM<I,?k6】.于是,函数d足定理3推论的条件,定 理5得证.
定理6设函IX间】上满足Ljpschitz条件,即存 在常数f,.0,对一切,YE[a,bl,都有I,(y)I?zIx-yI, 常数d满足:0<d<了1,,(【a,6】)c【口'6】,则由 任何初始值1E[?6】和递推公式l=仅,nE生成 的数列x}收敛.
证明:令F)=d怕)],?【n,6】,容易验证肼%6D c【a,b】,对一切,Y?【a,6】,有
IF?一l=仅I[1x?卜[1,,O,)】I
?dItII+If(x)-f?I】?2alIx-yIIx-yI 其中k=2dz.当0<d<时,O<k<l,陧一个压缩映 射.根据定理3,即得所要证明的结论.当击?d<?时, 1?<2,F不是压缩映射.但由聪Dc【a,6】及1E【口,6】知, 对一切nE,%E【a,6】,于是{}为一有界数列.下面只要 证明}单调,根据单调有界定理便可得到,x}收敛.事实 上,)?~1x2=d[2Xl?d+】
1.而对n>l,若1?,便有
f(xt)-f?If(x)一,I?zI—I=z(—)
将带负号的项移到不等式的另一端.然后两边同乘以 a.即得
,'=d[21t,.1)]?d[2—(xJl=x1
故}单调递增.同理黄)?__,可证k)单调递减.
文【4】中的定理为本定理z=1,d=告时的特殊情形. 最后.作为定理3及其推论的应用.给出如下定理. 定理7设胆定义在【a,6】上的可导函数,E【口,6】, 若存在常数Ji}E(0,1),使得对一切Eb】,成立不等式 I1(x)I?,则方程f(x)--0:~【口,6】上至少有一个根. 证明:令F?),E【a,6】,容易验证合定理3
推论的条件,因此,由初始值E【a,6】和递推公式x~s.1--f ,,nE通过迭代生成的数列x}收敛.设数列x}的
极限为,则由定理1,为难[a,6】上的不动点,即毫=, =毫,从而,f(O--O,因此,方翟)=o在【a,6】上至少有一 个根.
参考文献:
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[41席泓.李庆玉.关于两类递推数列的极限叨.贵州教育学院,
2OOl.12(4).
[责任编辑王三福]
19
范文四:【doc】一类数列收敛的充分条件
一类数列收敛的充分条件 第2卷第2期
2009年10月
西安职业技术学院
Joum~ofXi'anVocationalTechnicalCollege
Vo1.2No.2
October2oo9
文章编号:(2009}2—0023.03
一
类数列收敛的充分条件
周玮
(西安职业技术学院财政金融系,陕西西安710077) 摘要:分析了用于定义Euler-Maschemni常数的数列,并在此基础上给出了其收敛的两个充分条
件而非必要条件,这些条件较已有的条件更为简洁.
关键词:数列;收剑;条件
中图分类号:0Q12文献标识码:A
数列z=1++号+…+一(:1,2,3,…)是收敛的…,且其的极限是Euler— Mascheroni常数C(C=0.57716).
数列{t收敛的证明,最早由瑞士数学家LeonhardEuler给出[?,在很多数学分析书[一中都能看
到,但其证明的过程比较复杂.
可以通过证明下面的定理,来得到一个判断包含上述{z}在内的一类数列收敛情况的判定定理.
定理一:
对于数列zn=,(口1)+,(口2)+厂(口3)+…+厂(口),lJI .
~
.
n-)如,其中{口nt的首项是口,公差 是d(a>0)的等差数列;若f(x)在[0,+oo]上单调有界时,则{z}收敛.
证明:1)首先证明当(z)单调递减时,定理成立. 若f(x)单调递减,且M为它的一个下界,则对任意数自然数,z,当z?[口,a+1]时:
一
+=一f(a+)+吉)?一+)+(+z)如=一+)十+-)=0 即:zn?zn+
故数列{X}单调递减.
同时,X?[a,口+1]时,f(x)?f(n) 两边同时积分:
()?(口):dr(n)
a
^
a
n
即)?)如
令=1,2,3,……由上述式子得到: ,(n)?)如
收稿日期:2o08—12—17
作者简介:周玮(1973一),女,陕西商洛人,西安职业技术学院财政金融系,副教授,硕
士.
西安职业技术学院
f(a2)?1.f.a3,~;)
f(a3)?1()如
;;;
)?(z)如
相加之得:
f(a1)+厂(口z)+,(口.)+…+,(口)>(z)=厂()+()如 即
厂(口.)+厂(口:)+,(n)+…+f(a)一5一JW'z)如?J.口+1厂()如厂(口1)+厂(口
2)+,(nz)+…+n)一z)如?J口+1厂()如
即
z?()?lfa
故z=M
故{z}有下界.
由上知:{}单调递减且有下界,故t}收敛. 2)当(z)单调递增时,同理可证{z}单调递增有上界. 故:t}收敛.
由于1),2)所以定理成立.
在定理一的条件中,等差数列口的公差d>0,如果口的公差,其它条件作相应变
换,依然可得到
类似的结论.
定理二:
对于数列=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…厂(口)一~'j o
z)如,其中%是首项为口,公差为
<)的等差数列,若)在上单调有界时,则{}收敛., ic
d(d0f(x
(证明类似于定理一)
下面,用定理来证明数列翩=1++号+…+一z,z收敛. 证明:
数列{1,2,3,…,i为首项是1,公差为1,(1>0)的等差数列,并且厂(z)=-z
-1~(1
,+?)上单
调递减有上界(If(x)I<1),由定理一知:
数歹0厂(1)+.
厂(2)+厂(3)+…+.厂(7z)一l._6:1+1+1+…+一z7z,2收敛数列厂(1)+厂(2)+厂(3)+…+厂()一J,如=+++…+一z收敛
又如,在判断以下两数列收敛时,也可用上述方法.
1)_ln1+++...+1n一1n2
2)z=口rc+…+n哪不一f,rarctgxdm
等等
此外,还可以通过对定理的讨论来得到一些有趣的结论,可以看出,z=f(a1)+f(a2)+f(a3)+
…
+,(口)一j'厂(z)如由两部分之差构成前一部分厂(口)+f(a2)+厂(口)+…+厂(口)是一个数
周玮:一类数列收敛的充分条件
的前几项之和,而后一部分厂(z)如是一个数列的第项,那么,当{z}收敛时,这两部分的敛散
性就有如下关系:
推论一:
在定理一条件下,级数?厂(n)与数列{I:厂(z)l}的敛散性相同.
推论二:
当{}满足定量一条件时,级数?厂(口)与{}:厂(z)l}的敛散性相同. 例1:判断级数1+1十号+…+~-gJ~N{t,z}的敛散性相同,而数列{}发散,故1+1十号 +…++…也发散.
特别当{an}取自然数列,f(x)为[1,+?]上的非负递函数时,由推论一知: ?厂()与{1:厂()I}的敛散性相同.
~nEs()与f厂(z)如的敛散性相同,这正是正项级数积分判别法. 可以看出正项级数积分判别法是推论一的特殊情况,若数列{z}收敛,可以借助它的极限计算第
一
类型级数或无穷积分的值,在此就不举例了.
由推论一,二可知若{}满足定理条件时,则{z}收敛;也就是说,定理一,二是判断一
类数列收敛
的充分条件,但是其并不是必要条件,如下反例所示: 例:
『z(z:,z+1,?N)
1(z?+号,咒?N)
分析:
厂(+z,+s,+…+一J.厂(,=十十号+…十一z以
前面已知证明1+寺++…+?一lnn的收敛情况,/1" 故f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+厂(口)一l
J
f
.
a
,
.
,厂(z)如收敛.
但是,
f(z?,z十1,?N)1:+,?N
并不是单调有界的.
因此,定理一,二是{z}收敛的充分条件而非必要条件. 【参考文献]
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[责任编辑卢琨]
(下转第37页)
陶学忠:按动漫人才特质培养动漫专业人才37
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OnCartoonTalents'Training
[责任编辑卢臻]
TAOXue-zhong
(DepartmentofScientificInformation,Xi'anVocationalTechnicalCollege,Xi'8/1710077,China)
Abstract:Problemsintrainingcartoontalentsarediscussed,thereasonareanalyzed.Teachingcontentsare
prOp.Sedtopromotingcartoontalents'quality,includinghumanisticquality,innovationability,coopera.
tivequality,creativeindustry,etc.
Keywords:cartoonindustry;qualitycultivation;curriculuminnovation (上接第25页)
SufficientConditionsforaKindofNumberSequenceConvergence
Z】Wei
(DepartmentofFinanceandAccounting,Xi'anVocationalTechnicalCollege,Xi'an710077,China)
Abstract:ThenumbersequenceinEuler—
Mascheroniconstantwasanalyzed.Basedonit,twosufficient
conditionsforconvergence,yet,notquitenecessaryconditions,weregiven,whicharemuchsimplerand
clearerthantheoriginalone.
Keywords:numbersequence;convergence;conditionence
范文五:收敛数列的性质
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 ?2.2 收敛数列的性质
教学内容:第二章 数列极限——?2.2 收敛数列的性质
教学目标:熟悉收敛数列的性质;掌握求数列极限的常用方法.
教学要求:(1)使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等
式性;
(2)掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理,并会用这些定理求某些
收敛数列的极限.
教学重点:迫敛性定理及四则运算法则及其应用.
教学难点:数列极限的计算.
教学方法:讲练结合.
教学过程:
引 言
上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证的方法,这是极限较基本limaa,n,,n
的内容,要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.
一、收敛数列的性质
{a}n性质1(极限唯一性) 若数列收敛,则它的极限唯一.
{a},,NN,a与b,,,0n12证法一 假设都是数列的极限,则由极限定义,对,,当
a,a,,a,b,,n,Nn,Nnn12时,有 ; 时,有 .
N,max(N,N)n,N12取,则当时有
|a,b|,|(a,b),(a,a)|,|a,a|,|a,b|,2,nnnn,
,a,b由的任意性,上式仅当时才成立.
{a}a,bn证法二 (反证)假设极限不唯一,即至少有两个不相等的极限值,设为
1
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
b,a,,,0lima,alima,bnna,ba,b,,,,nn2 , 且故不妨设,取,
ab,aa,,,,na,a,,,,Nn,Nn,121由定义,,当时有 .
ab,ab,,,,na,b,,,,Nn,Nn,222 又,当时有 ,
a,ba,,annn,max(N,N)212因此,当时有 矛盾,因此极限值必唯一.
{a}{a}|a|,M,M,0,nnnn性质2(有界性) 如果数列收敛,则必为有界数列.即,使对有 lima,aa,a,1nn,,1,N,0n,N,,n证明 设 取,使得当时有
|a|,|a|,|a,a|,1|a|,|a|,1M,max(1,|a|,|a|,|a|,?,|a|),nnn12N即 . 令 |a|,M{a},nnn则有对 即数列有界.
n{(,1)}注:?有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分条件,如.
,,,?在证明时必须分清何时用取定,何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定,,,,NMM不能用任给,否则随在变,找到的也随在变,界的意义就不明确了.
lima,alima,bnn,,,,nn性质3(保序性) 设 ,,
a,ba,bNn,Nnn (1) 若,则存在使得当时有;
a,bNn,Na,bnn(2) 若存在,当时有,则(不等式性质).
aba,b,|aa|,,,0,,nNn,N2211证明 (1)取,则存在,当时 ,
abab,,aa,,,n22从而.
2
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
ababab,,,|bb|bb,,,,,nnn,NN,22222又存在,当时
a,bb,,annn,max(N,N)212 当时 .
a,ba,b,Nn,Nnn(2)(反证)如,则由?知必当时这与已知矛盾.
lima,a,blima,a,0nna,b,Nn,Nn,,,,nn推论(保号性) 若则,当时.特别地,若,则
aa,Nn,Nn,当时与同号.
lima,limbnna,ba,bnnnn,,,,nn思考 如把上述定理中的换成,能否把结论改成,
lima,alima,anna,0n,1,2,?n,,,,nn例 设(),若,则
2a,,a,,,Nn,Nna,0a,0,,,0,n11证明 由保序性定理可得 .若,则,,当时有
lima,0,an,,n即.
|a,a|,a,,Nn,Na,0,,,0n22若,则,,当时有
a,aa,a||||nna,a,,,,||na,aan .
数列较为复杂,如何求极限,
{a}{b}{a,b}{a,b}{ab}nnnnnnnn性质4(四则运算法则) 若、都收敛,则、、也都收敛,且
lim(a,b),lima,limblimab,limalimbnnnnnnnn,,,,,,,,,,,,nnnnnn ,.
alimna,,nnanlim,{},,nlimca,climalimb,0bblimnnnnnbcn,,,,,,nnn,,n特别地,,为常数如再有则也收敛,且 .
a1n,a,na,b,a,(,1)bbbnnnnnn证明 由于,,故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.
3
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
lima,alimb,ba,a,,nn,Nn,N,Nn,Nn,,,0,,,,nn1122设,,,,当时 ;,当时 b,b,,n,
N,max(N,N)n,N12取,则当时上两式同时成立.
|ab,ab|,|(a,a)b,a(b,b)|,|a,a||b|,|a||b,b|nnnnnnnn1) , (
|b|,M,M,0,nn,Nn由收敛数列的有界性,,对有故当时,有
|ab,ab|,(M,|a|),nn,
limab,abnn,,,n由的任意性知.
|b|k,limb,b,0n,N,0,n,N|b|,kk,00n,,0n2(2) .由保号性,及,对有(如可令).
|bb||bb|,,11,nn||,,,,N,max(N,N)bb|bb|k|b|k|b|,n,N02nn取,则当时有,由的任意性得
11lim,n,,bbn .
用数学归纳法,可得有限个序列的四则运算:
NN()()kklimx,limx,,nn,,,,nn,1,1kk,
NN()()kklimx,limx,,nn,,,,nn,1,1kk .
,,
,,Nk,1k,1,但将上述换成,一般不成立.事实上或本身也是一种极限,两种极限交换次序是个非常敏感的话题,是高等分析中心课题,一般都不能交换,在一定条件下才能交换,具体什么条件,到后面我们会系统研究这个问题.
{a}{b}{c},Nn,Nnnn性质5(两边夹定理或迫敛性) 设有三个数列、、,如,当时有
limlimlima,c,ba,b,lc,lnnnn,,nn,,nn,,n,且,则.
4
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
limlima,b,ll,,,a,l,,,N,Nn,Nn,N,,,,0nn,,nn,,n1212证明 ,, 当时, ;当l,,,b,l,,N,max(N,N,N)n,Nn0120时, ,取,则当时以上两式与已知条件中的不等式
limn,Nl,,,a,c,b,l,,|c,l|,,c,l,0nnnnn,,n同时成立,故有时 即. 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法,而且也给出了一个求极限的方法.
limb,alimc,anna,c,bb,c,a,Nn,Nnnnn,,,,nn推论 若,当时有(或)且,则.
na,0lima,0n,,n!例 求证 ().
,,kk,an,k证明 使得,从而当时有
nkaaaaaaaa,,,?,,,?,,,n!kknkn12,1! ,
kkaaaa,limlim,0n,,n,,knk!n!,由于 由推论即可得结论.
nnnnlima,a,?a,max(a,a,?,a)aaa12m12mmmn,,21例 设,,?,是个正数,证明.
nnnnna,a,?aA,max(a,a,?a)12,mAm12mA,证明 设,则
limnm,n,,,1 ,由迫敛性得结论.
nlima,1(a,1),,n例1 .
ah0,,nnnh,a,1,0h,0a,(1,h)nnnn 在证明中, 令, ,得,由此推出.
limx,a,limylimz,annnx,z,ynnn,,,,,,nnn由此例也看出由和, 也推出.
nlimn,1n,,例2 证明 .
nn,1,hn证明 令 ,
n(n,1)n(n,1)n22nn,(1,h),1,nh,h,?,h,h(n,3)nnnnn22,
5
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
20,h,nn,1
nh,0n,1n两边夹推出 ,即.
在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:
24n,6n,1lim2n,,3n,n,9例3 求极限 .
6124,,2nn4614,,nnlimlim,,291n,,n,,333nn9,,,,2nn解 .
nlim(1,a,?,a)(0,a,1),,n例4 求极限 .
n1,a1nlim(1,a,?,a),lim,,,,,nn1,a1,a解 .
3n,1n,13n,1n,111lim(,),limlim,lim(3,)lim(1,)n,,n,,n,,n,,n,,nnnnnn例5
11,(lim3,lim)(lim1,lim),3,1,3n,,n,,n,,n,,nn.
1mm,,,?,,ananana110mm,lim1kk,n,,a,0b,0,,?,,bnbnbnbm,kmk110kk,例6 求,,,.
a,m,m,k,11m,km,k,,k,kb,an,an,,an,an?,m110mm,lim11,,k,k,n,,0,m,kb,bn,,bn,bn?,110kk,,解 原式,
分子分母最高次数相同,为最高次系数之比,
,分子最高次低于分母最高次,则为0,即有理式的极限.
322n4n52,,lim,3n,,33n10n7,,如 .
n111,,,limlim1limn(n,1,n),nn,,,,,112,,,,nn111nn,,例7 .
nnnlima,b,max(a,b)a,b,0,,n例8 设,证明 .
6
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
nnnnnnnmax(a,b),max(a,b),a,b,2max(a,b),max(a,b)证明 . 二、 数列的子列
(一) 引言
极限是个有效的分析工具.但当数列的极限不存在时,这个工具随之失效.这能说明什a,,n
么呢,难道没有一点规律吗,当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特a,,n
征角度对数列进行研究.那么,如果“整体无序”,“部分”是否也无序呢,如果“部分”有序,可否从“部分”来推断整体的性质呢,简而言之,能否从“部分”来把握“整体”呢,这个“部分数列”就是要讲的“子列”.
(二) 子列的定义
定义1 设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数anNnnnn,,,,,,,,,nk,123k
列
aaa,,,,nnn12k
称为数列的一个子列,简记为. aa,,,,nnk
注1 由定义可见,的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次aaaa,,,,,,,,nnnnk
序.简单地讲,从中取出无限多项,按照其在中的顺序排成一个数列,就是的一个aaa,,,,,,nnn子列(或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列). a,,n
注2 子列中的表示是中的第项,表示 是中的第k项,即naanaaaak,,,,,,,,knnknnnnkkkkk中的第k项就是中的第项,故总有. 特别地,若,则,即. annk,nk,aa,aa,,,,,,,nkkknnnnkk
注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列,称为的平凡子列;不是平aaa,,,,,,nnn
凡子列的子列,称为的非平凡子列. a,,n
如aa,都是a的非平凡子列.由上节例知:数列a与它的任一平凡子列同为收,,,,,,,,221kk,nn
敛或发散,且在收敛时有相同的极限.
那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢,此即下面的结果: a,,n
{a}{a}nn定理2.8 数列收敛的充要条件是:的任何非平凡子列都收敛(
7
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院
lima,a,{a}nn{a}k,,0k,Nn,,n证明 必要性: 设是的任一子列(任给,存在正数N,使得当
a,a,,a,a,,.{a}n,k,n,Nnknkk,Nkkk时有由于故当时有,从而也有,这就证明了收
{a}n敛(且与有相同的极限)(
{a}{a}{a}{a}{a}n2k3k6k2k,1 充分性: 考虑的非平凡子列,与(按假设,它们都收敛(由于
{a}{a}2k3k既是,又是的子列,故由刚才证明的必要性,
lima,lima,lima.2k6k3k,,,,,,kkk(9)
{a}{a}{a}6k,33k2k,1又既是又是的子列,同样可得
lima,lima.,2k13k,,,,kk(10)
(9)式与(10)式给出
lima,lima2k2k,1k,,k,,(
{a}n所以由课本例7可知收敛(
{a}{a}nn由定理2(8的证明可见,若数列的任何非平凡子列都收敛,则所有这些子列与必
{a}n收敛于同一个极限(于是,若数列有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限不相等,则
n2n{a}{(,1)},{(,1)}n数列一定发散(例如数列其偶数项组成的子列收敛于1,而奇数项组成的
n,{sin}2k,1n{(,1)}{(,1)}2,1子列收敛于,从而发散(再如数列,它的奇数项组成的子列
21k,n,{sin,}{sin}k,1{(,1)}22即为,由于这个子列发散,故数列发散(由此可见,定理2(8是判断数列发散的有力工具(
8
《数学分析》上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济
学院数理学院
9
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