范文一:二元函数的极限
第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限
?2 二元函数的极限 教学计划:4课时.
教学目的:让学生掌握二元函数极限定义及它和累次极限的关系. 教学重点:二元函数极限和累次极限.
教学难点:用定义判别极限的存在性和特殊路径法判别极限的不存在. 教学方法:讲授法.
教学步骤:
一 二元函数的极限
定义1 设P为定义在二元函数,为的D一个聚点,A是一个确定的实数。fD,0
o若对任给正数,,P,UP;,:D,,总存在某正数,使得当时,都 有 ,0
,,fP,A,,,则称P,P在D上当时,以A 为极限,记作 f0...
,, 1 ,,limfP,A.P,PP,D0
在对于不致产生误解时,也可简单地写作 P,D
,,1' ,,limfP,A.P,P
当,,,,P,Px,y,x,y,,1'分别用坐标表示时,也常写作 000
,,,,limfx,y,A.1" (x,y),(x)y0,0
22例1 依定义验证lim(x,xy,y),7. xy,(,)(2,1)
证 因为
22 x,xy,y,7
22 ,(x,4),xy,2,(y,1)
,(x,2)(x,2),(x,2)y,2(y,1),(y,1)(y,1)
,x,2x,y,2,y,1y,3.
先限制在点(2,1)的方邻域 ,,1
,,,,x,yx,2,1,y,1,1 内讨论,于是有
y,3,y,1,4,y,1,4,5,
x,y,2,(x,2),(y,1),5
,x,2,y,1,5,7.所以
22 x,xy,y,7,7x,2,5y,1
,7(x,2,y,1).
,设,,,min(1,)为任给的正数,取,则当时, 就有 x,2,,,y,1,,,(x,y),(2,1)14
22 x,xy,y,7,7,2,,,. ?
例2 设
22,x,y第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 ,xy,(x,y),(0,0),22 f(x,y),,x,y
,0,(x,y),(0,0),,
证明 limf(x,y),0.(x,y),(0,0)
证 对函数的自变量作极坐标变换。这时等价x,rcos,,y,rlsin,.(x,y),(0,0)
于对任何都有。由于 ,r,0.
22x,y f(x,y),0,xy22x,y
1122 ,rsin4,,r,44
22因此,对任何, 只须取,当时,不管取什么值,,0,0,r,x,y,,,,,2,,
都有即。 ? limf(x,y),0f(x,y),0,,,(x,y),(0,0)
下述定理及推论相当 于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则(而且证
明方法也相似).我们可通过它们进一步认识定义1中“P,P”所包含的意义. 0
定理16.5 P的充要条件是:对于D的任一子集E,只要是E的聚点,limf(P),A0P,P0P,D
就有
limf(P),AP,P0P,E
推论1 设PE,DE,是的聚点,若不存在,则也不存在. limf(P)limf(P)011P,PP,P00P,EP,D1
推论2 设PE,E,D,是它们的聚点,若存在极限 012
limf(P),A,limf(P),A, 12P,PP,P00P,EP,E12但A,A,则不存在. limf(P)12P,P0P,D
推论3 极限P,P存在充要条件是:对于D中任一满足条件且limf(P)n0P,P0P,D
,,,,,,PfP的点列,它所对应的函数列都收敛. limP,Pnnn0n,,
下面两个例子是它们的应用.
xy 例3 讨论f(x,y),(x,y),(0,0)当时是否存在极限. 22x,y
解 当动点(x,y)(0,0)沿着直线而趋于定点时,由于此时y,mx
m,因而有 f(x,y),f(x,mx),21,m
m lim(,)lim(,).fxy,fxmx,2x(y,,)(0,0)x,01,my,mx
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不同,因此所讨论的极
限 不存在. ?
例4 二元函数
2,1,当0,y,x,第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 , f(x,y),,,,,x,,,时,
,0,其余部分.,
如图16-7所示,当沿任何直线趋于原点时,相应的(x,y)
都趋于零,但这并不表明此函数在时极f(x,y)(x,y),(0,0)限存在.因为
2当点y,kx(0,k,1)沿抛物线趋于点 (x,y)
O时,将趋于1。所以 f(x,y)limf(x,y).(x,y),(0,0)
不存在。 ?
下面我们再给出当,,P(x,y),P(x,y)时,趋于(非正常极限)的定义. f(x,y)000
定义2 设D为二元函数的定义域,P(x,y)是D的一个聚点。若对任给正数M,000
o总存在点P(x,y),U(P;,):DP的一个领域,使得当时,都有,则称f(p),Mf,00
,,P,P在D上当时,存在非正常极限,记作 0...
limf(x,y),,,(x,y),(x,y)00
或 limf(P),,,.P,P0
仿此可类似的定义:
与 limf(P),,,limf(P),,.P,PP,P00
1例5 设f(x,y),.证明 22x,y23
limf(x,y),,,(x,y),(0,0)
2222证 因为2x,3y,4(x,y),对任给正数M,取
1 ,,,
2M
122就有 x,y,.
2M
122由此推得 2x,3y,,M
1即 ,M. 222x,3y这就证得结果(该函数在原点附近的图象参见图16-8). ?
二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四
则运算法相仿,特别把,,fPf(x,y)看作点函数时,相应定理的证法也完全相同,这里就不再一一列出.
二 累次极限
在上一段所研究的极限limf(x,y)中,两(x,y),(x,y)00
个自变量xy同时以任何方式趋于。这种极限也称为重极限。在这一段里,我们要考x,y0,0
察xyxf与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限,这种极限称为累次极限. y00
定义3设E,E,ExEyfR,是的聚点,是的聚点,二元函数在集合xyy0x0
?y,E,y,y上有定义。若对每一个,存在极限由于此极限limf(x,y),D,E,Ey0xy第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 x,x0x,Ex
一般与有关,因此记作 y
,,,y,limf(x,y),x,x0x,Ex而且进一步存在极限
,,L,lim,y, y,y0y,Ey则称此极限为二元函数,,,,x,xy,y先对后对的累次极限,并记作 f00
L,limlimf(x,y) y,yx,x00y,Ex,Eyx或简记作
L,limlimf(x,y).y,yx,x00
类似地可以定义先对x后对的累次极限 y
K,limlimf(x,y).y,yx,x00
累次极限与重极限是两个不同的概念,它们的存在性没有必然的蕴含关系.下面三个
例子将说明这一点.
xy例6 设f(x,y),. 由例3已经知道(x,y),(0,0)时f的重极限不存在.但22x,y
当y,0时有
xy lim,0. 22x,0xy,从而有
xy limlim,0. 2200y,x,,xy
xy同理可得 limlim,0. 2200x,y,,xy即f的两个累次极限都存在而且相等.
22x,y,x,y 例7 设(,),它关于原点的两个累次极限分别为 fxy,x,y
222x,y,x,yy,y limlim,lim,lim(y,1),,1. y,0x,0y,0y,0x,yy与
222x,y,x,yx,x limlim,lim,lim(1,x),1. x,0y,0x,0x,0x,yx
当沿斜率不同的直线,,,,y,mx,x,y,0,0时,容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在(下面的定理16.6将告诉我们,这是一个必然的结果).
11例8 设,,fx,y,xsin,ysin,它关于原点的两个累次都不存在。这是因为对任yx
何y,0fy,0f,当时的第二项不存在极限。同理,对任何,当时的第x,0x,0
一项也不存在极限。但是由于
11第十六章 多元函数的极限与连续 ?2 二元函数的极限 , xsin,ysin,x,yyx故按定义1知道的重极限存在,且 ,,flimfx,y,0. ,,,,x,y,0,0
下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.
定理16.6 若,,,,x,yfx,y在点存在重极限 00
,,limfx,y,,,,x,y,x,y0o与累次极限 ,, limlimfx,y,y,xx,y00则它们必相等。
证 设 ,, limfx,y,A,,,,,x,y,x,y0o:则对任给的正数,,,,Px,y,UP;,,,总存在正数,使得当时,有 ,0
(2) ,,fx,y,A,,.另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式
(3) 0,x,x,,0
的x,存在极限
,,,, (4) limfx,y,,x.y,y0
回到不等式(2),让其中y,y,由(4)可得 0
(5) ,,,x,A,,.故由(3),(5)证得,,,即 lim,x,Ax,x0
,,,, ? limlimfx,y,limfx,y,A.x,xy,y,,,,x,y,x,y000o
由这个定理可导出如下两个便于应用的推论。
推论1 若累次极限
,,,, limlimfx,y,limlimfx,yx,xy,yy,yx,x0000和重极限
,,limfx,y ,,,,x,y,x,y0o
都存在,则三者相等。
推论2 若累次极限
,,,,limlimfx,y,与limlimfx,y x,xy,yy,yx,x0000存在但不相等,则重极限,,limfx,y必不存在。 ,,,,x,y,x,y0o
请注意,定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等。(本节习题
3则给出较定理16.6弱一些充分条件。)但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结
论,对此只需考察本节习题2(5)。
推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件;推论2可被用来否定重极限的存
在性(如例7)。
作业布置:P99 1(1),(2);2(6),(7).
范文二:二元函数极限证明
二元函数极限证明
设P=f(x,y),P0=(a,b) ,当P?P0 时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限,二元函数极限证明。
此外,我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形: ’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在
2
函数f(x )当x ?X0时极限存在,不妨设:limf(x)=a(x ?X0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先,我的方法不正规, 其次,正确不正确有待考察。
1,y以 y=x -x 的路径趋于0 Limited sin (x y)/x =Limited sinx /x =1 而 y=x 的路径趋于0 结果是无穷大。
2,3 可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函数在该点极限存在,是P(x,y) 以任何方式趋向于该点。
4
f(x,y)={(x y )/(|x| |y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x /|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y /|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的 所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|0,y->0时,f的极限就为0
这个就是你说的,唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷,我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
(一)时函数的极限:
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ……
(二)时函数的极限:
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义:单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= ?2 函数极限的性质(3学时)
教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质,证明范文《二元函数极限证明》
教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:函数极限的性质及其计算。
教学难点:函数极限性质证明及其应用。
教学方法:讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 , 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将
陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基
本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
范文三:二元函数的极限
§2 二元函数的极限
(一) 教学目的:
掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系. (二) 教学内容:二元函数的极限的定义;累次极限. 基本要求:
(1)掌握二元函数的极限的定义,了解重极限与累次极限的区别与联系,熟悉判别极限
存在性的基本方法.
(2) 较高要求:掌握重极限与累次极限的区别与联系,能用来处理极限存在性问题. (三) 教学建议:
(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别,教会他们求多元函数极
限的方法.
(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系,通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法.
一 二元函数的极限
先回忆一下一元函数的极限: lim f (x ) =A 的“ε-δ” 定义(c31):
x →x 0
设函数f (x ) 在x 0的某一空心邻域U (x 0, δ1) 内由定义,如果对
?ε>0,
当 x ∈U (x 0, δ) ,即 |x -x 0|<δ 时,都有="" |f="" (x="" )="" -a="">δ><ε,?δ>0, δ≤δ1,
则称x →x 0时,函数f (x ) 的极限是 A.
类似的,我们也可以定义二元函数的极限如下:
设二元函数f (x , y ) 为定义在D ?R 2上的二元函数,在点P 0(x 0, y 0) 为D 的一个聚点,A 是一个确定的常数,如果对 ?ε>0,
?δ>0,使得当 P (x , y ) ∈U (P 0, δ) D 时,
都有 |f (P ) -A |<ε,则称f 在d="" 上当="" p="" →p="" 0时,以a="">ε,则称f>
P →P 0
P ∈D
lim f (P ) =A
也可简写为 lim f (P ) =A 或
P →P 0
(x , y ) →(x 0, y 0)
2
lim f (x , y ) =A
例1 用定义验证
2
lim
(x , y ) →(2, 1) 2
(x +xy +y ) =7
2
2
2
证明: |x +xy +y -7|≤|x +x -6+xy -x +y -1|
≤|x +3||x -2|+|x +y +1||y -1|
限制在 (2,1)的邻域 {(x , y ) ||x -2|<1, |y="">1,><>
|x +3|<>
|x +y +1|<>
取 δ=min{1, ε/6},则有
|x +xy +y |<>
2
2
由二元函数极限定义 lim
(x , y ) →(2, 1)
(x +xy +y ) =7
22
22
?x -y
, (x , y ) ≠(0, 0) ?xy 22
例2 f (x , y ) =?x +y ,
?0, (x , y ) =(0, 0) ?
证明lim
(x , y ) →(0, 0)
f (x , y ) =0
x -y x +y
22
22
证 |f (x , y ) |≤|xy
所以
lim
(x , y ) →(0, 0)
|≤|xy |
lim
(x , y ) →(0, 0)
|f (x , y ) |≤lim
(x , y ) →(0, 0)
|xy |=0
|f (x , y ) |=0
对于二元函数的极限的定义,要注意下面一点:
P →P 0
lim f (P ) =A 是指: P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) ,包括沿任何直线,沿任
何曲线趋于p 0(x 0, y 0) 时,f (x , y ) 必须趋于同一确定的常数。
对于一元函数,x 仅需沿X 轴从x 0的左右两个方向趋于x 0,但是对于二元函数,P 趋于P 0的路线有无穷多条,只要有两条路线,P 趋于P 0时,函数f (x , y ) 的值趋于不同的常数,二元函数在P 0点极限就不存在。
?1, 0
例1 二元函数 f (x , y ) =?
?0, rest
请看图像(x62),尽管P (x , y ) 沿任何直线趋于原点时f (x , y ) 都趋于零,但也不能说该函数在原点的极限就是零,因为当P (x , y ) 沿抛物线 y =kx , 0
2
( 考虑沿直线y =kx 的方向极限 ). ?x 2y
, ?
例2 设函数 f (x , y ) =?x 2+y 2
?0, ?
(x ., y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)
求证 lim f (x , y ) =0
x →0
y →0
证明 因为 |f (x , y ) -0|=
x |y |x +y
2
2
2
≤
x |y |x
2
2
=|y |
所以, 当 (x , y ) →(0, 0) 时, f (x , y ) →0。
请看它的图像,不管P (x , y ) 沿任何方向趋于原点,f (x , y ) 的值都趋于零。
通常为证明极限lim f (P ) 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两
P →P 0
个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 .
但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ?/ 全面极限存在. 例3
设函数
(x , y ) ≠(0, 0) (x , y ) =(0, 0)
?xy
, ?22
f (x , y ) =?x +y
?0, ?
证明函数 f (x , y ) 在原点处极限不 存在。
证明 尽管 P (x , y ) 沿 x轴和y轴
趋于原点时 (f (x , y ) 的值都趋于零, 但沿直线y =mx 趋于原点时
x ?mx x +(mx )
2
2
f (x , y ) ==
mx
22
2
(1+m ) x
=
m 1+m
2
沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样,请看它的图象, 例1沿任何路线趋于原点时,
极
限都是0,但例2沿不同的路线趋于原点时,函数趋于不同的值,所以其极限不存在。
例4
非正常极限 极限
lim
(x , y ) →(x 0, y 0)
判别函数 f (x , y ) =
xy +1-1x +y
在原点是否存在极限.
f (x , y ) =+∞的定义:
12x +3y
2
2
例1 设函数 f (x , y ) = 证明 lim f (x , y ) =∞
x →0y →0
证 |
12x +3y
2
2
|≥|
13(x +y )
2
2
|
只要取 δ
16M
|x -0|<δ, |y="">δ,><δ>δ>
|
12x +3y 16δ
22
2
|≥|
13(x +y )
2
2
|
≥>M
12x +3y
2
2
请看它的图象,因此 是无穷大量。
例2 求下列极限: i)
lim
x y x +y
2
22
; ii)
(x , y ) →(0, 0) (x , y ) →(3, 0)
lim
sin xy y
;
iii)
(x , y ) →(0, 0)
lim
xy +1-1xy
; iV)
(x , y ) →(0, 0)
lim
ln(1+x +y )
x +y
2
2
22
.
二. 累次极限: 累次极限
前面讲了P (x , y ) 以任何方式趋于P 0(x 0, y 0) 时的极限,我们称它为二重极限,对于两个自变量x , y 依一定次序趋于x 0, y 0时 f (x , y ) 的极限,称为累次极限。 对于二元函数f (x , y ) 在P 0(x 0, y 0) 的累次极限由两个
lim lim f (x , y ) 和 lim lim f (x , y )
y →y 0x →x 0
x →x 0y →y 0
例1
f (x , y ) =
xy x +y x -y x +y
222
2
, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限.
22
例2 f (x , y ) =, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限 .
例3 f (x , y ) =x sin
1y
+y sin
1x
, 求在点( 0 , 0 ) 的两个累次极限 .
二重极限与累次极限的关系:
(1)两个累次极限可以相等也可以不相等,所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序 。
例 函数 f (x , y ) =
x -y +x +y
x +y
2
2
22
的两个累次极限是 y -y y x +x x
22
lim lim
x -y +x +y
x +y x -y +x +y
x +y
2
y →0x →0
=lim
2
y →0
=lim (y -1) =-1
y →0
=lim (x +1) =1
x →0
lim lim
x →0y →0
=lim
x →0
(2) 两个累次极限即使都存在而且相等,也不能保证二重极限存在 例 f (x , y ) =
xy x +y
xy x +y
2
2
2
2
, 两个累次极限都存在
lim lim
y →0x →0
=0, lim lim
xy x +y
2
2
x →0y →0
=0
但二重极限却不存在,事实上若点P (x , ) 沿直线 y =kx 趋于原点时,
kx
2
2
2
f (x , y ) =
x +(kx )
→
k 1+k
2
二重极限存在也不能保证累次极限存在
二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例 函数 f (x , y ) =x sin
1y +y sin
1x
由 |f (x , y ) | ≤ |x |+|y |→0 , ( x , y ) →(0, 0) . 可见二重极限存在 , 但
1x
lim sin
x →0
和 lim sin
y →0
1y
不存在,从而两个累次极限不存在。
(4)二重极限极限lim
(x , y ) →(x 0, y 0)
f (x , y ) 和累次极限lim lim f (x , y ) (或另一次序) 都存
x →x 0y →y 0
在 , 则必相等. ( 证 )
(5)累次极限与二重极限的关系
若累次极限和二重极限都存在, 则它们必相等
范文四:二元函数极限证明
二元函数?极限?证明??
第一?篇:? ?
? 二元?函数?极限?证明?二元?函数?极限?证明??设p=f?教学?目的?:?
? ?掌握二?元函?数的?极限?的定?义,?了解?重极?限与?累次?极限?的区?别与??联系(教?学内?容:? ?
? 二元?函数?的极?限的?定义?;累?次极?限(??基本要求?:?
? ?较高要?求:? ?
?掌握?重极?限与?累次?极限?的区?别与?联系?,能?用来?处理?极限?存在?性?问题(?教学??建议:?
? ?要求学?生弄?清一?元函??数极限与?多元?函数?极限?的联?系与?区别?,教??会他们求?多元?函数?极限?的方?法(?对较?好学??生讲清重?极限?与累?次极?限的??区别与联?系,??通过举例?介绍?判别?极限?存在?性的?较完?整的??方法(一?二元??函数的极?限先?回忆?一下?一元??函数的极?限:? ?
? l?im?f?时?,f法则?。类?似地?, ?二元?函数?基本?未定?型的?极限?问题??也有相似?的洛?泌达?法则?。为?了叙?述上?的方?便?, ?对它的?特殊?情形?= ?) ?作?出如下?研究?, ?并得?到相??应的法则?与定?理? 。二?元函?数的?极限?是反?映函?数?在某一?领域?内的?重要?属性?的? 一个?基本?概念?, ?它刻?划了?当自?变量?趋向?于?某一个?定值?时?, ?函数?
值的?变化?趋势?。是?高等?数学?中一?个极?其重?要的?问题?。但?是?, ?一 ?
般来说?, ??二元函数?的极?限比?起一?元函?数的?极限?, ?无论?从计?算还? ?
是证明?都具?有更?大的?难度?。就?二元?函数?极限?的问?题作?如?
下探??讨。第四?篇:? ?
?二元?函数?的极?限与?连续???
? 3? ?二元函?数的?极限?与连??续定义设?二元?函数?有意?义?, ?若存在?常数?a,?都有?则称?a?是函数?当点? ?趋于点??或或趋于?点时?的极?限?,记作?。的?方式?无?关,?即不?,当(?即)?时,?在点?的某?邻域?内或?必须?注意?这个?极限?值与?点论?p?以什么?方向?和路?径(?也可?是跳?跃式?地,?忽上?忽下?地)?趋向??分接?近, ?就?能 使。?只要?p?与 ?充与?a ?接近到??预先任意?指定?的程?度。?注意?:?
? ?点p?趋于点?点方??式可有无?穷多?种?,比一?元函?数仅?有左?,?右两个?单?侧极限??要复杂的?多(?图?8-7?)。?图?8-7?同样?我们?可用?归结?原则?,?若发现??点p按两?个特?殊的?路径?趋于?点时??,极限在?该点??存在,?但不相?等?, ?则可以?判?定元函?数极?限不? ?存在的?重要?方法?之一?。极?限不?存在?。这?是判?断多?一元??函数极限??中除了单?调有?界定?理外?,?其余的?有关?性质?和结?论?, ?在?二元函数??极限理论?中都?适用?,在?这里?就不?一一?赘述?了。?例如?若有?, ?其中?。求?多?元函数?的极?限?, ?一?般都是转?化为?一元?函数?的极?限来?求?, ?或利用?夹逼?定?理来计?算。?例?4? 求。解?由于?,?而,?根据夹?逼定?理知?,?所以? 。?a?0?)?。解例??求(。例?6 ?求。?解由?于理?知且?,?所以根??据夹逼定?.?例7?研究函?数在?点处?极?限是否?存在?。解?当?x2+?2??0?时,我?们研?究函?数,?沿?x??0,=?kx??0??这一方?式趋于?(?0,?0)的?极限?,有?值,?可得?到不?同的??极 限值?,?所以极?限不?存?在,?但,?。很显?然,?对于??不同的?k。注?意:? ?
?极限?方式?的的?区别?, ?前面?两个?求本?质是?两次?求一?元函?数的?极限?, ?我们?称为?累次?极限?, ??而最后一?个是?求二?元函?数的?极限?,?我们称?为求?二重??极限。例??8设函数?极限?都不?存在?,?因为对?任何??,当时?,。它?关于?原点?的两??个累次的?第二?项不?存在?极限?;同?理对?任何?时?, ?的第? 一项?也不?存在?极限?,?但是因?此。?由例?7?知, ??两次累次?极限?存在?, ?但二?重极?限不?存在?。由?例?8?可知,?二重极?限存?在?,但二?个累?次极?限不??存在。我?们有?下面?的结?果?:定理?1 ?若累?次极?限都?存在?,?则三者?相等?(证?明略?)。??推论若但?不相?等?,则二??
重极限不?存在?和二?重极?限?,由于?,?存在。?定义?? 设在点?的某?邻域?内有?意义?,?且称函?数?,则在?点处?连续?,?记上式?称为?函数?的全?增量?。则?。定??义增量。??为函数对?x?的偏二?元函?数连?续的?定义?可写?为偏?增量?。若?断点?, ?若在?点为??函数(值?)对?的处?不连?续?,则称?点是?的间?在某?区域?在区?域?g上连?续。?若?在闭区?域?gg?上每一?点都?连续?,?则称的?每一?内点?都连? ?续,?并在?g的连?界点??处成立?,则称?为连?续曲?面。?在闭?域?g上连?续。??闭域上连?续的??二元函数?的?图形称?关于?一元?函数?连续?的有?关性?质?, ?如最值?定理?、介?值定?理、?an?to?r?定理?,对于?二元?函数?也相?应成?立。?可以?证明?如下?的重?要结?果:? ?
?定理?2?设在平?面有?界闭?区域?g?上连续?,?则 ?
? ?(1?) ?必在?g上取?到最?大值?,?最小值?及其?中间?的一?切值?; ?
? ?(?2)?,当时?,?都有。?以上?关于?二元?函数?的在?g?上一致?连续?,?即?极限和连?续的?有关?性质?和结?论在?n?元函数?中仍?然成?立。?第五?篇:? ?
?函数?极限?的证?明函??数极?限的证明?时函?数的?极限?:?
? ?以时和??为例引入?.?介绍符?号?:的意?义?,的直?观意?义?.定义?几何?意义??介绍邻域?其中?为充?分大?的正?数?.然后?用这?些邻?域语?言介?绍几?何意?义?.例?1?验证例?2验证?例?3验证?证???时?函数?的极?限:? ?
??由考虑时?的极?限引?入?.定义?函数?极限?的“?”定?义?.几何?意义?.?用?定义验证?函数?极限?的基?本思?路?.例?4验证?例?5验证?例?6验证?证由?=?为使需??有为使需?有于?是?,倘限?制?,就有??例7验证?例?8验证?单侧?极限?: ?
? 1?.?定义:? ?
?单侧?极限?的定?义及?记法?.?几何意?义?:介绍?半邻?域然?后介?绍等?的几??何意义?.例?9验证?证考?虑使?的?
? ?单侧极?限与?双侧?极限?的关?系?:th?类似?有?:例?10?证明?:极限?不存??在.例?11?设函数?在点?的某?邻域?内单?调?.若存?在?,则有?=??2?函数极?限的?性?质教学?目的?:?
? ?使学生?掌握?函数?极限?的基?本性?质。?教学?要求?:?
? ?掌握函??数极限的?基本?性质?:?
? ?唯一性?、局?部保?号性?、不?等式?性质??以及有理?运算?性等?。教?学重??点: ?
?函数?极限?的性?质及?其计?算。?教学?难点?:?
? ?函数极?限性?质证?明及?其应?用。?教学?方法?:?
? ?讲练结?合。? ?
?
?一、?组织?教学?:?
?? 我们引?进了?六种?极限?:,?.?以下以?极限?为例?讨论?性质?.?均给出?证明??或简证?. ?
?
?二、?讲授?新课?:?
? ?函?数极限的?性质?:?以下性?质均?以定?理形?式给?出?. ?
?1.?唯一?性?: ?
?局部?有界?性?: ?
?3.?局部?保号?性?:?
?4.?单调?性?:th?4?若和都?存在?,?且存在?点的?空心??邻域,?使,都?有证??设=註?:若在?th?4?的条件?中?,改“?”为?“”?,?未必就?有以?举例?说明?. ?
? 5?.?迫敛性?: ?
? ?四则运?算性?质?:利用?极限?性质?求极?限:? ?
?已证?明过?以下?几个?极限??:
? ?这些极?限可?作为?公式?用?.在计?算一?些简?单极??限时,?有五组?基本?极?限作为?公式?用?,我们?将陆?续证?明这??些公式?.利用?极限?性质?,特?别是?运算??性质求极?限的?原理?是:? ?
?通过??有关性质?,?把所求?极限?化为?基本?极限??,代入基?本极?限的?值?,?即计算得?所求?极限?.?例1?例2?例3?註:?关于的?有理?分式?当时?的极?限?.例?4?例5例?6例?7 ?
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? ?
函数?极限?证明? ?
函数极??限的性质?证明? ?
函数极?限的?定义?证明??
利用函?数极?限定?义证?明?11 ?
用定?义证?明函?数极?限方?法总?结?
二元?函数?极限?证明? ?
?
范文五:二元函数极限证明
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二元函数极限证明
此外,我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形: ’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等,但二重极限仍可能不存在
2
函数f(x )当x ?X0时极限存在,不妨设:limf(x)=a(x ?X0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0| 而|x-x0| 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|
再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先,我的方法不正规, 其次,正确不正确有待考察。
1,y以 y=x -x 的路径趋于0 Limited sin (x+y)/x
=Limited sinx /x =1 而 y=x 的路径趋于0 结果是无穷大。
2,3 可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函数在该点极限存在,是P(x,y) 以任何方式趋向于该
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点。
4
f(x,y)={(x +y )/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x /|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y /|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的 所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)| 而x +y 所以|f| 所以显然当x->0,y->0时,f的极限就为0
这个就是你说的,唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷,我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
(一)时函数的极限:
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ??
(二)时函数的极限:
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由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义:单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= ?2 函数极限的性质(3学时)
教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:函数极限的性质及其计算。
教学难点:函数极限性质证明及其应用。
教学方法:讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限: , .以下以极限 为例讨论性质.
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均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质 ):
Th 4若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域,使 , 都有 证 设 = ( 现证对 有 )
註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值 )
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限 和 )
例2例3註:关于 的有理分式当 时的极限.
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例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
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