范文一:如何判断两个集合相等
如何判断两个集合相等
集合相等是两个结合之间的一个重要关系,我们知道,对于两个集合是和,如果ABABíBAí,同时, 我们就说这两个集合相等,记作AB=.从这个定义可知,集合A与集合B相等是指A的每一个元素都在B中而且B中的每一个元素又都在A中,因此,在判断两个集合相等时,应回到元素与集合的关系中去.下面举几例加以说明.
AaannZ==+ {|32,}BbbkkZ==- {|31,}例1 设集合 集合 试证明集合AB=.
ABí证明:先证设任一元素, 则 aA?
ann=+=+-323(1)1
QnZ?
\+ nZ1
ABí 故 \ aB
BAí再证, 设任一元素,则 bB?
bkk=-=-+313(1)2
QkZ?
\- kZ1
BAí\ bA.故
AB=由此可知.
很明显,这里在说明或的过程中,关键是先要变(或凑)形式,然后再推理. aA?aA?
MuumnlmnlZ==++ {|1284,,,}Nvvpq==+{|2016例2 设集合 , + 12,,,}rpqrZ
求证:MN=
mnlZ,,?MNí证明:先证 任取uM?, 则存在
umnlmnmnl=++=++--1284201612()使
QmnlZ--
MNí\ uZ,故
NMí再证 任取vN? 则存在
vpqrrqp=++=+? 201612128(2)4(5)使
2qZ?5pZ?vM?而,则必有
\ NMMN=因此便有
AB=AB两个有限集 还有一种理解方法,就是这两个有限集, 中的元素全部相同,它在解题中也经常用到.
2Axxyxy=++{,,2}AB=x?0例3 已知集合 ,其中且 求的Bxxmxm={,,}m
值.
2xyxm+=分析:集合A,B中各有3个元素,且 因此有两种可能:且 或,xyxm+=2
2xyxm+=2且.对这两种情况分别求解,便可以确定的值了. xyxm+=m
ìxyxm+=??í解:依题意有 2?xyxm+=2??
yxmm=-(1)由?-?得 ?
22mm-+=210xxmxm==B将?代入且? 整理得解得此时集合中的元素,这m=1
与集合元素的互异性矛盾,故此种情况不成立.
2ì?xyxm+=?于是只能有 í?xyxm+=2??
yxmm=-(1)由?-? 得 ?
12210mm--=将?代入?且 化简可得 解得 或 (舍去) 经检验x?0m=1m=-2
1为所求. m=-2
下面两个问题,请同学们一试身手.
MxxnnN==+ {|21,}NxxkkZ==+ {|41,}1( 集合,
求证: MN=
Axxyxy=-{,,}Bxy={0,,}AB=2(集合 集合 若 求实数xy,的值.
范文二:集合的相等,函数相等
集合的相等
1.观察集合A、B,你能用符号表示它们的关系吗,
2(1)A 1,2,3,6 ,B 6,1,3,2 ; (2)A ~1,1 ,B xx 1(
两个集合所含的元素完全相同,我们说这两个集合相等(下面我们学习集合相等的有关知识.
一、 讲授内容
,(集合相等的概念
一般地,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A B(用符号表示如下: 如果A B且B A,则A www.weNku1.comB(
,(区间表示数集
数集还可以用区间来表示
设a,b R,且a b,规定
闭区间 a,b xa x b,开区间,a,b, xa x b, 还有以下几种开区间: 半开半闭区间(a,b] xa x b ,
1
[a,b) xa x b ,a,b叫做相应区间的端点(
(a,, ) xx a ,(~ ,b) xx b ,(~ ,, ) (符号“ ”读作无穷大(
二、 讲解范例
例1: 说出下列各组集合中A与B的关系:
(1)A a0 a 5,a N ,B 0,1,2,3,4,5
1 (2)A 0, ,B sin30,cos90 ;
2
(3)A xx是等腰三角形 ,B xx是等边三角形 ;
(4)A xx 2m,1, m Z ,B xx 2n~1,n Z (
解 (1)A B;(2)A=B;(3) A B;(4)A=B(
例2.集合
X {x|x 2n,1,n Z},Y {y|y 4k 1,k Z},试证明X=Y;
(1)设x0?X,则x0=2n0-1,n0?Z,
?若n0是偶数,可设n0=2m,m?Z,则x0=4m-1,?x0?y;
?若n0是奇数,可设n0=2m-1,m?Z,则x0=2(2m-1)-1=4m-3=4(m-1)+1,x0?Y, ?不论n0是偶数还是奇数,都有x0?Y,?XY;
(2)又设y0?Y,则y0=4k0+1或y0=4k0-1,?
2
y0=4k0+1=2(2k0+1)-1,y0=4k0-1=2(2k0)-1, 而2k0+1?Z,2k0?Z, ?y0?X,?Y
则M,N的关系是————
X;由(1)(2)可知,X=Y。 集合M={u|u 12m,8n,4l,其中m,n,l Z},N {u|u 20p,16g,12r,其中p,g,r Z},
例, 已知A xx a,B ,~ ,2,,若A B,求实数a的取值组成的集合(
解 A xx a=,~ ,a,,若使A B,只须a 2(所以实数a的取值组成的集合为
aa 2 (
2例, 已知A xax,bx,1 0= 1,求a,b的值(
解 当a=0时,由x 1是一次方程bx,1 0的解,得b ~1(
2当a 0时,由x 1是二次方程ax,bx,1 0的两个相同的实数根,得
1 a 1 1 a 1,即( b b ~2 ~ 1,1 a
2例4 设A x,x, B 1,x ,且A B,求实数x的值(
3
x2 1解 由A B,得B A,故1 A,从而有 ,解得x ~1(
x 1
函数相等
函数的构成要素有几部分,
函数的三要素:定义域、对应关系和值域
当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同
分别写出函数 y=x+1和y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同
( 定义域相同,对应关系相同)
只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等。
例如:下列函数与y x相同的是( )
(1)y 2(2)y
(3)y x2
(4)y x
一 判断下列两个函数是不是同一函数
?y1
?y1 (x,3)(x~5), y2 x~5; x,3x,x~ , y2 (x,1)(x~1) ;
?f(x) x, g(x)
?f(x) x,
4
g(x) x2 ; ;
?f1(x) (2x~5)2, f2(x) 2x~5。
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5
范文三:集合的相等答案
1(2(3集合的相等
1((2004?江苏)设函数,区间M=[a,b](a,b),集合N={y|y=f(x),x?M},则使M=N成立的实数对(a,b)有( )
A( 1个 B( 2个 C( 3个 D( 无数多个
考点: 集合的相等(
专题: 计算题;压轴题(
分析: 由题设知对于集合N中的函数(fx)的定义域为[a,b],对应的(fx)的值域为N=M=[a,
b](由函数,知(fx)是增函数(故N=,
由此能导出使M=N成立的实数对(a,b)的个数(
解答: 解:?x?M,M=[a,b],
则对于集合N中的函数f(x)的定义域为[a,b],
对应的f(x)的值域为N=M=[a,b](
又?,
故当x?(,?,+?)时,函数f(x)是增函数(
故N=,
由N=M=[a,b]得或或,
故选C(
点评: 本题考查集合相等的概念,解题时要注意绝对值的性质和应用(
22222(已知集合P={y=x+1},Q={y|y=x+1},E={x|y=x+1},F={(x,y)|y=x+1},G={x|x?1},则( )
A( B( C( D( P=F Q=E E=F Q=G
考点: 集合的相等(
专题: 计算题(
分析: 弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简(
22解答: 解:?P={y=x+1}是单元素集,集合中的元素是y=x+1,
2Q={y|y=x+1?1}={y|y?1},
2E={x|y=x+1}=R, 2F={(x,y)|y=x+1},集合中的元素是点坐标,
G={x|x?1}(
?Q=G(
故选D(
点评: 本题考查集合相等的概念,解题时要注意集合中的元素是什么( 3(在下列各组中的集合M与N中,使M=N的是( )
A( M={(1,,3)},N={(,3,1)} B( M=?,N={0}
2222C( D( M={y|y=x+1,x?R},N={(x,y)|y=x+1,M={y|y=x+1,x?R},N={t|t=(y,1)+1,
x?R} y?R}
考点: 集合的相等(
专题: 计算题(
分析: 在A中,M和N表示不同的点(1,,3)和(,3,1);在B中,M是空集,N是
2单元素集;在C中,M是数集,N是点集;在D中,M={y|y=x+1,x?R}={y|y?1},2N={t|t=(y,1)+1,y?R}={t|t?1}(由此可知,只有D中,M=N( 解答: 解:在A中,M和N表示点集,
?(1,,3)和(,3,1)是不同的点,
?M?N(
在B中,M是空集,N是单元素集,
?M?N(
在C中,M是数集,N是点集,
?M?N(
22在D中,M={y|y=x+1,x?R}={y|y?1},N={t|t=(y,1)+1,y?R}={t|t?1},
?M=N(
故选D(
点评: 本题考查集合相等的概念,是基础题(易错点是没有真正理解集合的概念,造成概念
混淆(解题时要认真审题,仔细解答(
4(集合M={x|x=(3k,2)π,k?Z},P={y|y=(3λ+1)π,λ?Z},则M与P的关系是( ) A( B( C( D( M?P M=P M?P M?P
考点: 集合的相等(
专题: 计算题(
分析: 由题目条件可知:集合M中的元素为(3k,2)π,k?Z,通过对式子进行变形可得集
合P中的元素与集合M中元素的关系,即可判断M与P的关系( 解答: 解:?M={x|x=(3k,2)π,k?Z},
P={y|y=(3λ+1)π,λ?Z}={y|y=[3(λ+1),2]π,π?Z},
?λ?Z,
?λ+1?Z,得M=P(
故选B(
点评: 本题考查集合元素的特征与集合相等的含义,注意从代表元素的结构特点下手,寻找
异同点,是个基础题(
200520055(若,则a+b的值为( )
A( B( ,1 C( D(1 或,1 0 1
考点:集合的相等(
专题:计算题(
分析: 2根据题意,设A={1,a,},B={0,a,a+b},依题意,A=B,则A中必含有0,即
a=0或=0;可得a=0,或b=0;由集合元素的互异性可以排除a=0,即可得b=0,分
析集合B,可得其必有1,而已求得b=0,可得a=,1;将a=,1,b=0代入可得答案(
解答: 2解:根据题意,设A={1,a,},B={0,a,a+b}
若A=B,则A中必含有0,即a=0或=0;可得a=0,或b=0;
2而当a=0时,B中a=0,不符合集合元素的互异性,故舍去,即b=0;
2B中,必有1,则a+b=1或a=1,
当a+b=1时,由b=0,则a=1,此时A中元素不满足互异性,舍去;
2当a=1时,则a=?1,但考虑A中元素的互异性,则a?1,则a=,1;
综合可得:a=,1,b=0;
20052005则a+b=,1;
故选B(
点评:本题考查集合相等的意义,集合相等即两个集合的元素完全相同,需要注意集合中元
素的互异性与无序性(
26(若集合{a,1}={a,a},则a=( )
A(? 1 B( C( D(, 1 1 0
考点:集合的相等(
专题:计算题(
分析:根据集合相等时元素相同的特点和元素的互异性,即可解题
2解答: 解:?{a,1}={a,a}
2?a=1
?a=1或a=,1
又?a=1时集合{a,1}={1,1},不满足元素的互异性
?a=1不合题意
?a=,1
故选D
点评: 本题考查相等集合及集合元素的互异性,有元素相等求出变量后要验证是否满足元素
的互异性(属简单题
2201020117(若集合{1,a,}={0,a,a+b},则a+b的值为( ) A( B( C( ,1 D(? 1 0 1
考点:集合的相等;函数的值(
专题:计算题(
分析:
2010201120102011由题设知 ,先求出b=0,a=,1(再求a+b=(,1)+(0)=1(
解答:
解:由题设知 ,
?b=0,a=,1(
2010201120102011?a+b=(,1)+(0)=1(
答案为:1(
故选B(
点评:本题考查集合相等的概念,解题时要注意审题,仔细解答(属于基础题( 8(下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是( )
A(M={ π},N={3.14159} B( M={2,3},N={(2,3)} C( M={x|,1,x?1,x?N},N={1} D( ,
考点: 集合的相等(
分析:根据两个集合相等,元素相同,排除 A;
根据两个集合相等,元素相同,排除B
先解集合M,然后判断元素是否相同,排除C
先化简集合N,然后根据集合元素的无序性,选择D
解答:解:
A:M={π},N={3.14159},因为π?3.14159,故元素不同,集合也不同,故排除
B:M={2,3},N={(2,3)},因为M的元素为2和3,而N的元素为一个点(2,
3),故元素不同,集合不同,故排除
C:M={x|,1,x?1,x?N},N={1},由M={x|,1,x?1,x?N}得,M={0,1},故两
个集合不同,故排除
D:??=,根据集合元素的无
序性可以判断M=N,故选择D
故答案为D
点评: 本题考查两个集合相等的条件,涉及到元素相同以及集合元素的三个性质:无序性,
互异性,确定性,为基础题
9(下列集合中表示同一集合的是( )
A(M={ (3,2)},N={(2,3)} B( M={4,5},N={5,4} C( M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D( M={1,2},N={(1,2)}
考点:集合的相等(
专题:证明题(
分析:主要根据集合相等的本质即:两个集合中的元素应一样进行判断( 解答:解:根据集合相等知,两个集合中的元素应一样:
A、(3,2)和(2,3)是不同元素,故A不对;
B、根据集合元素具有互异性,故M=N,故B正确;
C、因为M中的元素是有序实数对,而N中的元素是实数,故C不对;
D、因M中有两个元素即:1,2;而N有一个元素是(1,2),故不对(
故选B(
点评: 本题考查了集合相等的定义,利用集合中的元素相同去判断,注意元素具有互异性的
特点以及元素的形式(
222210(已知集合P={y|y=x+1},R={x|y=x+1},Q={y|y=x+1},M={(x,y)|y=x+1},N={x|x?1}则下面选项正确的是( )
A( B( C( D( P=M Q=R R=M Q=N
考点:集合的相等(
专题:计算题(
分析:先弄清集合的代表元素,然后化简集合,根据集合相等的定义进行判定即可(
222解答: 解:?P={y|y=x+1}={y|y?1},R={x|y=x+1}=R,Q={y|y=x+1}={y|y?1},M={(x,y)
2|y=x+1},N={x|x?1}
?P=Q=N
故选D(
点评:本题主要考查了集合相等的定义,解题的关键是弄清集合的元素,属于基础题( 11(已知集合A={2,x,y},,若A?B=A?B,则实数x、y的值为( ) A( B(
C( D(
考点:集合的相等(
专题:计算题(
分析:
由A?B=A?B,知A=B,由A={2,x,y},,得到,或
,由此能求出结果(
解答:解: ?A?B=A?B,?A=B,
?A={2,x,y},,
?,或,
解得(舍),或,或(舍),
?,
故选B(
点评: 本题考查集合相等的概念的应用,是基础题(解题时要认真审题,仔细解答,易错点
是容易忽视集合中元素的互异性的应用(
范文四:集合的相等答案
1.2.3集合的相等 1.(2004?江苏)设函数
,区间M=[a,b ](a <b ),集合N={y|y=f
2.已知集合P={y=x+1},Q={y|y=x+1},E={x|y=x+1},F={(x ,y )|y=x+1},G={x|x≥1},
5.若
,则a
2005
+b
2005
的值为( )
7.若集合{1,a ,}={0,a ,a+b},则a 22010
+b
2011
的值为( )
10.已知集合P={y|y=x+1},R={x|y=x+1},Q={y|y=x+1},M={(x ,y )|y=x+1},N={x|x≥1}
11.已知集合A={2,x ,y},,若A ∩B=A∪B ,则实数x 、y 的值为( )
范文五:集合的相等
第八课? 集合的相等
A.集合的相等和真子集
两个集合的元素完全相同就是相等,只要有一个元素不同就是不相等。用包含的概念来说就是:A包含于B,而且B包含于A,叫做A=B,用集合符号来表示,集合相等的定义是:
两个集合A,B如果AC B且BCA叫做A=B. 注意:“C”暂时代表“包含于”
用元素的关系来表示,就是:
两个集合A,B,如x∈A则x∈B且x∈B则x∈A叫做A=B
事实上,从建立集合的概念,开始就已经使用集合相等的概念,一个集合的不同表示法,特别是用等价的特征性质描述同一个集合,实质是说不同表示法给出集合都是相等的。从过去学过的数、式、方程的性质到几何图形的性质,实质上就是在研究各种数集与点集之间的相等与不等关系,例如:
1)? 自然数和负整数的全体构成整数集合可以表述成:Z={x|x是自然数或负整数}={ x|x是整数}
2)? 偶数与奇数的全体构成整数集合可以表述成:Z={ x|x是偶数或奇数}={ x|x=2n或2n-1,n∈Z}
3)? 有一个内角是直角的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形也是矩形,可以表述为:{矩形}={ x|x 是有一个角为直角的平行四边形}
={ x|x 是两条对角线相等的平行四边形}
在讨论子集概念时,我们强调指出定义的“等价”特征,“AC B”的定义是:“如x∈A则x∈B”。说明AC B则必有:“x∈A则x∈B”。同理:A=B必有ACB且BCA,或者x∈A则x∈B而且x∈B则x∈A。
例如Z={ x|x是整数}就是x ∈Z必有x是整数,反之x是整数必有x∈Z,再如
{(x,y)|x2 =y2 }={(x,y) |x = y或 x=-y}就是说: 注意:"x2"表示"x的平方"
1) 如果x2 =y2 , 必有x=y或x=--y;图形是坐标平面内第一三象限角和第二四象限角的两条角平分线。
2)如果x = y或者x =-y ,在坐标平面内四个象限角的平分线上的每个点的坐标(x,y)都适合x2 =y2 。
我们说方程x2 =y2 的图形是坐标平面内的两条直线x=y和x=--y(四个象限角的平分线)
怎样判断两个集合不相等呢?只要存在一个元素a∈A但a不属于B就是A≠B,为此我们在子集中引入了真子集的概念,从不相等的角度来看,真子集也可以定义为:
“A? B且A≠B”叫做“A是B的真子集”
也叫做A真包含于B或B 真包含A。例如自然数集N是整数集Z的真子集,有理数集Q是实数集R的真子集。正方形是长方形的真子集,平行四边形是四边形的真子集。
由于非空集A至少有一个元素,而空集Ф不含任何元素,所以非空集A的元素都不是空集的元素,我们已规定:“空集Ф是任何集合的子集”,当然要规定:空集Ф是非空集A的真子集记作:Ф真包含于非空集A
判断集合A是不是集合B的真子集,只要找一个集合A的元素不属于B就可以,例如正整数集Z 是自然数集的真子集,因为0∈N而0 ?Z 。同理正整数集是非负实数集的真子集。同理:大于2的实数集是不小于3的实数集的真子集。
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