范文一:求体积的万能公式_拟柱体公式
特级教师 数学公开课 圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、圆台、棱 V圆柱=S2h=4π; 1 1 16π 台、球、球冠、球缺等各有自己求体积 V圆锥= S2h= . 3 3 3 的公式. 有趣的是,有一个公式,它能 求 由此可见,这个拟柱体公式还是 代替这些形形色色的公式. 这个公式 很灵的. 常被叫 做 拟 柱 体 公 式. 用V表 示 体 体 那它为什么这么灵呢, 我们先来 积,h表示物体的高,S1和S2分别记为 看看柱体. 这时的S1,S2和S都等于柱 上底和下底的面积,S表示中截面的 体的底面积,公式?变成了 面积—高线的垂直平分面— h V= (S1+S1+4S1)=hS1, 6 相截而得的剖面面积. 这个公式是: 和物体即体积等于底乘高. 这正是柱体体积
h 拟 万 公式. V= (S1+S2+4S).%%%%%% ? 6 再看锥体. 这时S1=0,S2是锥体的 这个公式灵不灵呢, 我们先来看 1 个例子. 4 体
例 已知一圆台木料的上下底 1 V= 2 = hS2. 面半径分别为1,2,高为4,则其体积 6 4 3 张 景 这正是锥体的体积公式. 是_______; 若想将其削出一个最大 式 式 中 在球的情形下, 如果球半径为r, 的圆柱,则圆柱的体积是_________;
则S1=S2=0,S=πr2,于是 若想将其削出一个最大的圆锥,则圆
2r 4 锥的体积是_________. %%%%% V= 6 3 分析 由题设条件可知,圆台中 它正是球的体积公式. 至于棱台和圆 1+2 3 = 台,球冠和球缺,甚至球台,同学们不 2 2 妨自己去验证一下. 2
积S=π = . 又因圆台的上底 当然,拟柱体公式也有它自己的 2 4 局限性. 在积分学里有这样一条公式: 面面积S1=π,下底面面积S2=4π,高h= 若S(x)是三次或三次以下的多项式,则 4, 故直接代入拟柱体公式可得V圆台= a
4 9π 28π b 2 ? π+4π+4× = .% 6 4 3 h
当圆台被削成一个最大的圆柱 若 取 a=0,b=h, 则 0 时,圆柱上、下底面及中截面的半径
均为1,故S1=S2=S=π. 高不变,故由柱 张景中:河南汝南人,著名数 h h ? 4 学家、数学科普作家、中国科学院 6 2 (π+π+4π)=4π. 6 院士,曾任中国科普作家协会理 用 平 行 于底面的平面来切割物
当圆台被削成一个最大的圆锥 事长,现任广州大学计算机教育 体,x记为平面到下底的距离,S(x)记 时,圆锥的上底面半径为0,下底面半 软件研究所所长。 为这个平面截物体所得的剖面面积, 径仍为2,故中截面半径为1,所以圆 物体体积恰好是?式左边的定积分 h 锥的上底面面积S1=0,下底面面积S2=
乙S(x)dx,而?式 右 边 的S(0),S(h) 4π,中截面面积S=π,高不变,故由拟
体积公式,分别求出圆台、圆柱、圆锥 h 4 (0+4π+4π)= 的体积为: 2 6 +S2)h= 1 1 3 16π (π+ V. 3 圆姨π×4π +4π)×4= ; 3 台 % =2现在我们用台体、柱体和锥体的 (8Sπ 1+3 姨S1S2
可见,如果S(x)多项 式,就能用拟柱体公式计算这个物体 的体积.
是x不超过三次的
数学金刊?高中版 17
×4π×4=
积
— 的 —
柱 能 底面积,而中截面S= S2,于是
?h 0+S +4× S2 公 公
(0+0+42π)r= πr3. 截面的半径为 , 故中截面面
3 9π
a+b 乙.? 乙S(x)dx=b,6a乙S(a)+S(b)+4S
乙S (x)dx =
乙 )0+S(h)+4S 乙 体公式可得V圆柱=
0
恰好是下底、上底和中截面. 和S 柱体公式可得V圆 锥=
范文二:拟柱体的体积
拟柱体的体积
四面体是拟柱体的一种,也可以看作三棱锥。已知三棱锥的底面积和高,可以求出它的体积,已知四面体相对的两条棱的长度和它们之间的距离以及它们的夹角,如何求体积呢,
图1
先看一个特殊的情况。如上图:ABCD-A′B′C′D′是平行六面体,四个侧面都是矩形,底面是平行四边形。设AB=a, BC=b,?ABC=α,BB′=d,则这个平行六面体的体积为abdsinα,沿ABC′D′把这个平行六面体一分为二,则三棱柱AA′D′-BB′C′的体积为abdsinα/2,再沿 AB′C′把这个三棱柱分成一个四面体(或叫三棱锥)A-BB′C′和一个四棱锥A-A′B′C′D′,则四棱锥A-A′B′C′D′的体积为abdsinα/3,所以四面体(或叫三棱锥)A-BB′C′的体积为V=abdsinα/2- abdsinα/3= abdsinα/6。
再看一个一般的四面体。
(1) (2) (3)
图2
如图2(1):这个四面体上边的一条棱长度为a,下边的一条棱长度为b,a、b之间的距离为d,夹角为α。
如图2(2):添上一个四棱锥,我们先把它补成一个三棱柱。
如图2(3):再添上一个同样的三棱柱,补成一个平行六面体。
abdsinα现在这个平行六面体的体积是abdsinα。图2(2)中三棱柱的体积是,补上的2
abdsinα三棱锥的体积是。因此图2(1)中拟柱体的体积为V=abdsinα3
abdsinαabdsinαabdsinα--=。 362
范文三:拟柱体体积问题探究
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拟柱体体积问题探究
作者:罗晓强 汤强
来源:《学周刊·A 》2013年第12期
摘要:拟柱体是高中数学人教A 版新增内容台体的一般形式,通过波利亚的“怎样解题表”的思路探究了拟柱体的体积问题将柱体、锥体、球体、台体等重要立体图形有机联系起来。 关键词:拟柱体 体积 怎样解题表
在高中数学人教A 版必修2中新增了台体等相关内容,台体的一般形式是拟柱体,因而,探究拟柱体的一般性质对于理解台体内容是极其有意义的。下面,我们尝试着用波利亚的“怎样解题表”的思路来探究拟柱体体积问题,以求加深对台体性质的理解。
如图1,设拟柱体两底面积为S1和S2,中截面面积为S3,高为h ,求拟柱体的体积V 。 (注:所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体叫做拟柱体,两底面间的距离叫做高,与两底平行且等距的截面为中截面)
首先确定目标,要求什么?——拟柱体的体积V
它不是棱柱、也不是棱锥,似棱台却又非棱台,在思维中的位置不妨用一个单点V 象征性的表示出来。
■
看已知,你有什么条件或工具?
——一方面是题目中给出的4个已知量S1,S2,S3,h 。
——另一方面是已学过的棱柱、棱锥以及拓展的棱台体积公式,并积累有求空间立体图形体积的基本方法和经验。现在我们需要寻找的是V 与S1,S2,S3,h 之间的联系(图2),但显然,目前它们之间无法直接产生关联,意味着我们的问题尚未解决。
拟柱体是规则几何体吗?
——我们已学过棱柱、棱锥甚至棱台的体积公式,但拟柱体的几何结构(拟柱体的定义)告诉我们,以上规则立体图形只是拟柱体的特殊情形而已,无法直接运用公式时,故而我们需要转换思维。
那么,针对非规则几何体,求体积我们有什么方法?
范文四:拟柱体体积问题探究[权威资料]
拟柱体体积问题探究
摘要:拟柱体是高中数学人教A版新增内容台体的一般形式,通过波利亚的“怎样解题表”的思路探究了拟柱体的体积问题将柱体、锥体、球体、台体等重要立体图形有机联系起来。
关键词:拟柱体 体积 怎样解题表
在高中数学人教A版必修2中新增了台体等相关内容,台体的一般形式是拟柱体,因而,探究拟柱体的一般性质对于理解台体内容是极其有意义的。下面,我们尝试着用波利亚的“怎样解题表”的思路来探究拟柱体体积问题,以求加深对台体性质的理解。
如图1,设拟柱体两底面积为S1和S2,中截面面积为S3,高为h,求拟柱体的体积V。
(注:所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体叫做拟柱体,两底面间的距离叫做高,与两底平行且等距的截面为中截面)
首先确定目标,要求什么,――拟柱体的体积V
它不是棱柱、也不是棱锥,似棱台却又非棱台,在思维中的位置不妨用一个单点V象征性的表示出来。
看已知,你有什么条件或工具,
――一方面是题目中给出的4个已知量S1,S2,S3,h。
――另一方面是已学过的棱柱、棱锥以及拓展的棱台体积公式,并积累有求空间立体图形体积的基本方法和经验。现在我们需要寻找的是V与S1,S2,S3,h之间的联系(图2),但显然,目前它们之间无法直接产生关联,意味着我们的问题尚未解决。
拟柱体是规则几何体吗,
――我们已学过棱柱、棱锥甚至棱台的体积公式,但拟柱体的几何结构(拟柱体的定义)告诉我们,以上规则立体图形只是拟柱体的特殊情形而已,无法直接运用公式时,故而我们需要转换思维。
那么,针对非规则几何体,求体积我们有什么方法,
――由已积累的求面积体积经验可知,当所求图形为一般图形,无法用已有公式直接求时,我们往往采用分割求和方法,分割图形至我们熟悉的图形为止,化一般为特殊。
把拟柱体进行怎样的分割呢,分割成棱柱、棱锥、棱台还是其他图形呢,
――由拟柱体的定义并结合此图,易知分割成棱台、棱柱的操作难度较大,那么不妨考虑分割成小棱锥。
如何不重不漏的分割成小棱锥,
――在分割时,我们既要顾及到上下底面,也要顾及到拟柱体的多个侧面。故而可以在中截面上任取一点O连接各顶点(图3),则将拟柱体分解为以O为公共顶点的三种类型的棱锥之和,一种以上底面为底面,一种以下底面为底面,还有一种以各侧面为底面的棱锥,记分割图形的相应体积为V1,V2,V3,则此时拟柱体的体积V=V1+V2+V3。
我们在图示上引入几个新的点V1,V2,V3用斜线把它们与V联结起来,以此表示这几个量之间的联系。由此就把求V转化为求V1,V2,V3。
怎样表示V1,V2与V3呢,
――根据棱锥的体积公式(体积=?×底面积×高)以及中截面的定义可知前面两种类型的棱锥高均为?h,则此时V1,V2,可以直接求得。
问题的关键在于如何求出V3,
――由图观察知,是由多个以侧面为底的小棱锥构成,这就把求V3转化为求V3i(i=1,2,3??,n)。
我们在(图5)中引入V3i,用线段把V1与S1、h连结起来,表示V1能由S1、h得出,V1=?×S1×?h;类似地,V2=?×S2×?h,V3=?V3i。
(图5) (图6)
此时摆在我们面前的是如何才能表示出V3i(i=1,2,3??,n),
――为了使未知数V3i(i=1,2,3??,n)与已知量S3,h建立起联系,充分进行平面化的思考,若一侧面是四边形,连结对角线分解成两个三角形。因此取图中的VO -ABC来求解,以DE为?ABC的中位线,则S?ABC=4S?ADE。所以
V3i=V0 - ABC=4V0 - ADE=4VA - ODE = 4×?S?ODE ×?h=?hS?ODE其余的V3i(i=1,2,3??,n)和V31类似。
由此我们只需对V3i(i=1,2,3??,n)求和即能把S3,h联系起来(图6),至此,我们已在V和已知量S1,S2,S3,h之间建立起了一个不中断的联结网,故而解题的思路全部沟通。
解:如图(3)所示(辅助线),由棱锥体积公式得
V1=?×S1×?h V2=?×S2×?h
V3=?V3i =??hS? ODE =?h?S? ODE =?hS2
则拟柱体的体积公式为:
V=V1+V2+V3=?hS1+?hS2+?hS3=?h(S1+4S3+S2)
拟柱体体积公式与棱锥、棱柱、台体、球等体积公式的统一性表现为以下情况:
V=?h(S?+4S?+S?)?
? V?=?h(0+4×?S?+S?)=?S?h? V?=?h(S?+4S?+S?)=S?h? V?=?(0+4,仔r?+0)=?,仔r?? V?=?h(S?+?+S?)
拟柱体体积公式虽然几乎涵盖我们高中阶段所学图形的体积公式,但其本身也有局限性。在《数学分析》中存在
这样一个积分式子,若S(x)是关于不超过三次的多项式,则
?S(x)dx=?[S(n)+4S(?)+S(m)]?
若取n=0,m=h,则
?S(x)dx=?[S(0)+4S(?)+S(h)]?
不妨用平行于上下底面的平面来切截几何体,记为此平面到下底面的距离,S(x)记为被截物体的截面面积,则此时几何体体积是?式特殊情形中的定积分?S(x)dx,而S(h),S(0),S(?)刚好为上底,下底和中截面的面积。因此,如果S(x)是关于x的不超过三次的多项式,就可以运用拟柱体公式计算空间立体图形的体积,否则无法运用。
在探究拟柱体体积问题中不断寻找已知量与未知量之间的联系,搭建过渡桥梁,最终达到连通状态,这也是我们解决问题的一般思路。另外拟柱体作为柱体、锥体、球体、台体等重要立体图形的一般形式,其统一性也体现了数学知识间的内在关联性,其公式作为求体积的“万能公式”应用的广泛性也是其他体积公式无法比拟的。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2001(10).
[2]**祥.初等数学复习及研究[M].北京:人民教育出版社,1979(5).
[3]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2008(4).
作者简介:
罗晓强(1988- ),男,四川宜宾人,西华师范大学硕士研究生,主要从事数学教育研究.
汤强(1975- ),男,四川南充人,西华师范大学副教授,博士,研究方向:课程与教学论.
(责编 张宇)
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范文五:圆柱体体积计算公式
探究目标:
1、让学生经历观察、操作、讨论等教学活动过程,理解圆柱体积计算公式的推导过程,并会正确地计算圆柱的体积。
2、在图形的变换中,培养学生的迁移能力、逻辑思维能力,并进一步发展其空间观念。
3、引导学生探索和解决问题,体验转化及极限的初步思想。
探究重难点:
使学生知道圆柱体积计算的公式推导。
教具、学具准备:
长方体、圆柱形容器若干个;学生准备推导圆柱体积计算公式用学具。
探究过程:
一、激疑引入
1、出示装了水的圆柱容器。
⑴启发下思考:容器里面的水形成了什么形状?你能用以前学过的办法求出这些水的体积吗?
⑵讨论后汇报:把它倒入长方体容器中,量出数据后再计算。
⑶操作中体验:组织学生分组操作,倒水、测量、计算。
2、出示橡皮泥捏成的圆柱。
提问:你有办法求出这个圆柱形橡皮泥的体积吗?
二、探究新知
1、回顾旧知,帮助迁移。
在学习圆的面积时,是怎样把圆转化成已学的图形,来推导圆面积的计算公式的。
2、小组合作,实践迁移。
⑴启发:现在该怎样来计算圆柱的体积呢?能不能把圆柱转化成我们已学过的立体图形,来计算它的体积?
⑵操作:学生操作学具,进行拼组。
让学生明确:分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。
⑶讨论:圆柱与所拼成的近似长方体之间有什么联系?
⑷汇报:近似长方体的体积等于圆柱的体积;近似长方体的底面积等于圆柱的底面积;近似长方体的高就是圆柱的高。
⑸概括:试着让学生根据圆柱与近似长方体的关系,推导公式:
长方体的体积=底面积×高
↓ ↓ ↓
圆柱的体积=底面积×高
引导学生用字母表示计算公式:V=Sh
3、运用新知,尝试解答例题。
⑴尝试:学生理解题意后,自己尝试解答。
⑵展示:将学生可能出现的三种情况展示于平台上。
①50×2.1=105(立方厘米)
②2.1米=210厘米 50×210=10500(平方厘米)
③2.1米=210厘米 50×210=10500(平方厘米)
⑶辨析:解答是完全正确的?为什么?
组织学生讨论,明确必须先统一单位后再计算及计算体积应用体积单位。
⑷拓展:如果已知圆柱底面的半径r和高h,该怎么来计算圆柱的体积呢?自己先写出计算公式,再相互交流。
V=πr2h
如果已知的是底面直径d和高h呢?
三、巩固
练习
1、完成练习二十一的第1题。
学生先独立填表,而后全班汇报。
2、提高练习。
要知道这个圆柱形柱子的体积,测量哪些数据较方便?学生讨论后交流。
四、创意作业
用硬纸自制一个圆柱,测出它的高和底面直径,计算体积和表面积。
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