范文一:几何画板 圆锥曲线
2011-02-26 23:51
抛物线:方法一步骤
1“绘图” /“定义坐标系” 2“绘图” /“绘制新函数” /y=x^2 3完成
方法二 1画三点, 点 A 点 B 点 C (选点 A , 作 A 的变换旋转 180度后为 B , 过 B 作横轴垂线) 2选中点 B 点 C “构造” /“直线”
3选中直线 BC , “构造” /“直线上的点” /点 D
4选中点 A 点 D , “构造” /“线段”
5选中线段 AD , “构造” /“中点” /点 M
6选中线段 AD 点 M , “构造” /“垂线”
7选中直线 BC 点 D , “构造” /“垂线”
8选中垂线 M 垂线 D , “构造” /“交点” /点 N
9依次选中点 DN , “构造” /“轨迹”
10完成,直线 BC 为准线,点 A 为焦点
双曲线椭圆 1、函数图像法
“图表”菜单下的“绘制新函数”
输入任何一个反比例函数都可以
比如说 y=1/x(只需输入 1/x就可以了)
2、轨迹法
(1)在 x 轴上任取一点 A ,做出 A 点关于 y 轴的对称点 A' :
(双击 y 轴,然后选中 A 点后“变换”菜单——“反射” )
(2)然后在平面内随意取一点 P ,同样画出 P 关于 y 轴的对称点 P' ,连接 PP' ,选中 PP' 这 条线段,再同时选中 A' ,
“构造”——“以圆心和半径绘圆”
(3)在圆 A' 上任意取一点 X ,连接 X 和 A ,取中点,作中垂线:
(选中线段, “构造”——“中点” ;选中线段和重点, “构造”——“垂线” )
(4)过 X 和 A' 作直线,与中垂线相交于 M 点。
(5)选中 M 和 X , “构造”——“轨迹”就可以
此时,如果 PP' 的距离大于 AA' 的距离,画出来的是椭圆;如果 PP'
范文二:几何画板与圆锥曲线教学
几何画板与圆锥曲线教学
作者:仁荣中学 闫金虎 摘 要:普通高中数学课程标准中课程的基本理念已经明确指出:“现代信息技术 的广泛应用在对数学课程内容、数学教学、 数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学 课程应提倡实现信息技术与课程的有机整合, 整合的基本原则是有利于学生认识数学的 本质。 ”
为实现这一理念, 作为教学第一线的教师必须更新观念, 注重教学过程中角色的转 变,在学科教学中有效的运用各种现有的现代信息技术,来加强学生的数学思维,认识 数学的本质,提高课堂教学效率。
几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台, 为老师和学生提供了一个探索几何 图形内在关系的环境, 能把比较抽象的几何图形形象化,使静态图形动态化、 抽象的概 念形象化、枯燥的内容趣味化;促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力,提高学 生的表达、交流及使用信息技术的能力。本文主要阐述如何在教学中扬长避短,充分发 挥《几何画板》的作用。
关键词:几何画板、圆锥曲线、整合
圆锥曲线的考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直 线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。圆锥曲线的考查也是高中教 学的难点,原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系,我 们既可以通过方程来研究图象的性质,又可以通过图象来研究方程。 对于圆锥曲线的教学,老师们都有这样的共识,利用传统教学方式存 在以下问题:
(1) 在讲解过程中,教师只能通过一系列枯燥无味地推导、论证然后 给出结论;面对这一系列地推导、证明,学生既难理解,又很容易遗忘。 (2)仅仅利用粉笔和黑板,教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过 程,又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解
圆锥曲线的相关性质。
(3)面对大量圆锥曲线地作图及知识点的机械验证。 教师既费时、 费力, 又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板,可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来,有利于 学生用数形结合的思想进行学习。同时,也可以让他们观察图形的变化过 程,提出猜想,并在老师的指导下给出证明,然后运用几何画板直接验证 结论的正确性。这个过程,一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深 刻地理解圆锥曲线的相关性质,体现出了新课改下探究式学习的原则;另 一方面又能很好的激发学生的学习兴趣及积极性。教材也大量的使用几何 画板来演示圆锥曲线的相关性质。
利用几何画板以创造教育的观点对于处理象圆锥曲线这样的经典内容 不能不说是能使老树发新枝。给传统的数学教学引入一种新的思路,新的 观念,以至新的模式。正如爱因斯坦所言:“发展独立思考和独立判断的 一般能力,应当始终放在首位,”“如果一个人掌握了他的学科的基础理 论,并学会了独立思考和工作,他必定会找到自己的道路,而且比起那种 主要以获得细节知识为其培训内容的人来,他一定会更好地适应进步和变 化”。
利用几何画板,输入椭圆的长半轴及短半轴的值,可以得到我们想要 的椭圆。同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。变化点 M 的 值,可以得到相应的 MF 1、 MF1+MF2、
2MF MN 的值,通过观察数据变化过程, 我们可以发现 MF1+MF2=2a、
2MF e MN ,这样我们就形象直观的(验证了)椭
圆这些基本性质。
利用几何画板,也可以用来解决比较复杂的解析几何问题,举几个例 子:
焦点弦问题,拖动点 M 在椭圆的 x 轴上方部分运动,容易看出线段 MN 为椭圆的过左交点 F 1的焦点弦,同时可以得到 MN 的长及线段 MN 所在直线
的方程。如图所示:
轨迹问题,已知椭圆的焦点是 12, F F , P 是椭圆上的一个动点 , 如果延长 1F P 到 Q , 使得 2||||PQ PF =, 则动点 Q 的轨迹为 (1)制作过程及成果展示 :
①在椭圆上任取一点 P , 以 P 为圆心 , 2||PF 为半径
作圆交 1F P 的延长线于 Q , 则 2||||PQ PF =;
②选中点 Q , 进入“显示”菜单 , 然后选中“追踪
点” ;
③选中点 P , 进入“编辑”菜单 , 然后依次选中“操作类按钮→动画” , 点击“动态生成轨迹”按钮即可生成点 Q 的轨迹 .
(2)理论证明 :
2||||PQ PF = ∴1121||||||||||2QF PQ PF PF PF a =+=+==定值 .(2a :椭圆的长轴 长 ) ∴点 Q 的轨迹是以 1F 为圆心 , 以 2a 为半径的圆 .
通过实例可以明确几何画板对于教学的有力辅助主要体现在:
(1)在传统教学中讲授这一内容时学生会觉得抽象和难以接受。而利 用几何画板,就能很方便的向学生展示圆锥曲线的生成过程,帮助学生建 立轨迹的概念;又可以用来验证其相关性质,甚至可以让学生也参与课件 的制作,培养学生运用计算机的能力。
(2)使用此软件,直接输入圆锥曲线的参数 a 、 b 、 c 的值,就能得到 我们想要的圆锥曲线,既可以节省作图时间,又可以提高解题速度;进而 提高教学效率。
(3)用此软件既可以直观的向学生介绍圆锥曲线的焦点弦、焦半径, 又可以验证其性质、求其值以及过焦点的直线方程等。利用此课件也可以 研究过一定点的直线与圆锥曲线的位置关系。
(4)利用几何画板,我们同样可以高效地完成双曲线、抛物线的教学。 但是几何画板在教学中也有一些需要注意的地方,我们要能够找到比 较好的解决办法,以期达到更好的教学效果。
(1)缺乏绘图的具体步骤,易导致学生实际操作能力不足。
《几何画板》绘图尽管快速,准确,但其图象的生成过程却无法完整 的呈现在学生面前,学生看到的只是结果,长此以往,学生的实际动手操 作能力将明显退化。因此,在教学中,我们需要借助《几何画板》 ,但不能 一味的依赖它,一些传统的教学手段依然有着举足轻重的作用。所以在教 学中要合理、恰当的使用《几何画板》 ,并结合传统教学手段,使之相辅相
成,相得益彰。
2、图象生成的原理欠缺,学生易知其然而不知其所以然。
在利用《几何画板》的教学中,尤其是一些定义,涉及参数的图象教 学中,学生虽然能直观的观察到所需的图象,但对于图象生成、变化的原 理却不知所以, 使得所学知识易 “教条化” , 不利于学生思维的拓展和延伸。 因此,教学中,利用《几何画板》教学时,应该先让学生对知识点有所理 解,再通过《几何画板》进行验证,这样既能给学生留下深刻的印象,也 能锻炼学生的思维能力。
综上所述,使用《几何画板》进行圆锥曲线教学,具有渐进、形象、 灵活等特点,通过具体的感性的信息呈现,能给学生留下更为深刻的印象, 这样便于学生接受、加工处理信息,有利于学生形成良好的知识结构。但 是,由于知识的形成必须经历实践——认识——再实践——再认识的过程, 因此在使用《几何画板》教学时,切忌过于依赖,应该与传统教学手段相 结合,使学生更自觉、更主动、深层次地参与到教学活动之中。这样,既 能激发学生的情感、培养学生的兴趣,又能大大提高课堂效率。
参考文献:
1. 《高中数学教材选修 2-1》 ,人民教育出版社, 2010年出版。
2. 《高中数学知识手册》 ,薛金星,大连出版社, 2010年出版。
3. 《几何画板实用范例教程》 ,陶维林,清华大学出版社, 2001年 4月第 1版。
4. 《几何画板给教育带来了什么?》 王新敞, 《信息技术教育》 (2004年 3月总第 18期)
范文三:圆锥曲线论文:在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法
圆锥曲线论文:在几何画板中作圆锥曲线切线的几种方法
【摘要】在几何画板中作圆锥曲线的切线对初学几何画板的使用者来说是有一定难度的,为解决这个问题,浙江省黄岩中学的赵国藩老师在其论文《在“几何画板”中作圆锥曲线的切线》一文中介绍了利用圆锥曲线的光学性质作其切线的方法.在文中他指出在“几何画板”中不能直接得到直线与圆锥曲线的交点,而最新的“几何画板”5.01版中是可以直接得到交点的,故不用圆锥曲线的光学性质亦可作圆锥曲线的切线.本文将介绍其他几种作圆锥曲线切线的方法.
【关键词】圆锥曲线;切线;“几何画板”
一、在椭圆上一点作切线的几种常用方法
1在高中数学教科书(北师大版)选修2-1《椭圆》中有一道例题如下:
求证:点m(acosθ,bsinθ)(0?θ<2π)在椭圆x2a2+y2b2=1上.>2π)在椭圆x2a2+y2b2=1上.>
此题实际上揭示了椭圆的一种生成方法:作两个半径不等的同心圆,在大圆上任意取一点作p,过p作x轴的垂线l,连接op与小圆交于点a,过a作l的垂线,交点为c,则c的轨迹为椭圆(图1).
由此可知椭圆的一种切线作法如下:
?以椭圆的中心o为圆心,长半轴为半径作圆;
?在椭圆上任意取一点a,并过a点作x轴的垂线交大圆
于点b;
?连接ob,并过b点作ob的垂线,交x轴于点c,连接ab,即为过a点的切线(图2).
2在文,3,中作者给出了椭圆上一点切线的作法如下:
?过p作x轴的垂线交x轴于点n,以o为圆心、长半轴a为半径作圆,与直线op交于点r;
?过点a(a,0)作nr的平行线,交直线op于点s;
?以o为圆心、线段os为半径作圆交x轴于点q,则pq为过点p的切线(图3).
在椭圆上一点作切线的方法还有很多,以上两种是比较简单的作法.
二、利用参数方程作圆锥曲线及切线
1用参数方程作椭圆及切线
作法如下:?新建参数a=2,b=1和函数f(x)=acosx,g(x)=bsinx;
?绘制参数函数f(x)=acosx,g(x)=bsinx(0?x?2π),即画出方程为x24+y2=1对应的椭圆;
?在椭圆上任意取一点b并分别度量它的横、纵坐标xb和yb,并计算k=-b2a2xbyb;
?绘制函数y=k(x-xb)+yb的图像,即为椭圆在点b处的切线.
注 参数a,b的大小可以自由控制,以下参数a,b都是
如此.
2用参数方程作双曲线及切线
作法如下:?新建参数a=2,b=1和函数f(x)=acosx,g(x)=bsinx;
?绘制参数函数f(x)=asecx,
g(x)=btanx(-200?x?200),即画出方程为x24-y2=1对应的双曲线;
?在双曲线上任意取一点c并分别度量它的横、纵坐标xc和yc,并计算k=b2a2xcyc;
?绘制函数y=k(x-xc)+yc的图像,即为双曲线在点c处的切线.
注 类似可作焦点在y轴上的双曲线的切线.
3用参数方程作开口向上的抛物线及切线
作法如下:?新建参数p=2和函数f(x)=x22p,并绘制函数f(x);
?在双曲线上任意取一点d,分别度量它的横、纵坐标xd和yd,并计算k=xdp;
?绘制函数y=k(x-xd)+yd的图像,即为抛物线在点d处的切线.
4用参数方程作开口向右的抛物线的切线
作法如下:?新建参数p=2和函数f(x)=t22p,g(x)=t;
?绘制参数函数f(x)=t22p,g(x)=t;
?在抛物线上任意取一点p,分别度量它的横、纵坐标xp,yp,并计算k=2yp;
?绘制函数y=k(x-xp)+yp,即为抛物线在点p处的切线.
注 类似可以作开口向下、向左抛物线的切线方程.
利用参数方程和隐函数求导在几何画板中能比较方便地画出圆锥曲线的切线,易于初学者掌握.
【参考文献】
,1,赵国藩.用“几何画板”作圆锥曲线的切线.数学学习与研究,2009(9).
,2,尉贞肆.关于椭圆及其切线的画法.陕西教育学院学报,1999(2).
,3,刘自敏.椭圆切线的几何作法.科技信息.
,4,席高文.圆锥曲线切线几何作图的充要条件.洛阳师范学院学报,2002(5).
范文四:几何画板在《圆锥曲线》中的应用举例
几何画板在《圆锥曲线》中的应用举例
高二数学组 刘中维
在《圆锥曲线方程》这一章中,一些曲线的图像、性质都比较抽象,学生难以理解和接受,如双曲线的渐进线、圆锥曲线的离心率与开都的关系、一些数形结合的题目等,只凭学生的想象力是很难理解掌握有关图像的性质和图像之间的相互关系的,若我们只借助尺规作图的方法画图,一般难以达到满意的效果,还容易把图像画错。但若我们能利用《几何画板》精确的画图功能、动画功能加以演示,将能引起学生的学习兴趣,帮助学生的理解,提高学生对平面图形的想象思维能力,起到事半功倍的作用。下面举几个用几何画板解决圆锥曲线问题的例子。
一、在“几何画板”中作直线与圆锥曲线的交点
在“几何画板”中可以直接作出直线与直线的交点,直线与圆的交点以及圆与圆的交点.但不能直接作出直线与圆锥曲线的交点.本文介绍直线与圆锥曲线的交点制作、制作原理,该制作过程适合三种圆锥曲线.首先是三个工具的制作:
工具一 已知直线A P ,A 在圆锥曲线上,求作直线A P 与圆锥曲线的另一个交点B .(以椭圆为例)
作图过程 在椭圆上任取4个点C 、D 、E 、F ,作D E 与P A 交于点L ,作A F 与C D 交于点M ,作LM 与E F 的交点N ,作N C 与直线P A 的交点B ,则点就是直线P A 与椭圆的交点(如图1).
图1 图2
制作成工具(命名为工具一)就可以直接使用,先决条件是圆锥曲线、点A 、点P ,不需要其它的,适合椭圆、双曲线、抛物线.
Q 、R 共线制作原理 任意圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点P 、(以
椭圆为例,如图2).(帕斯卡定理)
工具二 过圆锥曲线外一点作两条切线.
图4 图5 图6 作图过程
2.1 若P
为椭圆外任意一点,以F 1为圆心,2a 为半径作辅助圆,以P 为圆心,
A 、B P F 2为半径作圆与辅助圆交于点Q 、R ,分别取Q F 1Q F 2、R F 2的中点,则PA 、PB 为所求的切线,与P A 的交点、RF 1与P B 的交点为对应切点(如图4).
作图过程2.2 若P 为双曲线外任意一点,以
以P 为圆心,
A 、B F 12a 为半径作辅助圆,为圆心,P F 2为半径作圆与辅助圆交于点Q 、R ,分别取Q F 1Q F 2、R F 2的中点,P A 、P B 为所求的切线. 与P A 的交点、RF 1与P B 的交点为对应切点(如图5).
作图过程2.3 若P 为抛物线外任意一点,以P 为圆心,P F 为半径作圆与准线交于点Q 、R ,分别取QF 、RF 的中点A 、B ,P A 、P B 为所求的切线.过点Q 作准线的垂线与P A 的交点、过点R 作准线的垂线与P B 的交点为对应切点(如图6).
把过圆锥曲线外一点作两条切线的过程制作成工具,需要说明的是要分成两个工具:(1)对于椭圆双曲线,工具先决条件是两个焦点
段、点P ;(2)对于抛物线,工具的先决条件是焦点
方便,统一称之为工具二. F 1F 1、F 2、长度2a 的线,准线,点P ;为了叙述
工具三 已知点P 不在圆锥曲线上,求作点P 的极线.(有关极点、极线问题在《高等几何》中有详细地说明,此处利用的是它们的性质)
作图过程 在圆锥曲线上任取两点A 、D ,利用工具一作直线P A 、P D 与圆锥曲线的另一个交点B 、C ,连结A C 、B D 交于E ,A D 、B C 交于F ,就得到了点P 的极线E F (如图7);如果点P 在圆锥曲线内也按此法,因为圆锥曲线内接四边形A B C D 中,点P 的极线是E F ,点E 的极线是P F ,点F 的极线是P E .制作成工具(命名为工具三) ,先决条件是圆锥曲线、点P .
图7 图8 图9
作图问题 已知两点P 、Q 不在圆锥曲线上,求作PQ 与圆锥曲线的交点
A 、B .
(1)利用工具三作出点P 的极线,(如图8、图9两种情况);
(2)同理利用工具三作出点Q 的极线,两条极线相交于点R ;
图10 图11
(3)利用工具二,过点R 作圆锥曲线的两条切线(如图10、图11);
(4)两切线与直线PQ 相交得到交点A 、B 即为所求交点.
以上过程亦可制作成工具.
制作原理 要想得到直线PQ 与圆锥曲线相交的交点A 、B ,只要能预先作出以交点A 、B 为切点的两条切线就可以了,设两切线相交于点R ,而过点R 作圆锥曲线的切线问题已经由作图问题二解决;这个点R 其实是直线ABPQ 的极点,根据极线和极点的“点U 在点V 的极线上移动时,点U 的极线也绕点V 而转动”这一性质,我们知道点R 也是由P 、Q 两点的极线的交点来确定.
二、和两圆都相切的圆心的轨迹
(一)、制作结果
如图:单击“动画”按钮,D 点在圆周上运动,从而圆(C ,D )的大小和位置不断发生改变,但始终和圆C1和圆C2相切,圆心C 的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变,轨迹也会改变,甚至不是双曲线,您想试试?
(二)、思路分析
如果按尺规作图的思路,和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何,其构造的思路会复杂吗?我们先来看其中一种情况:已知两圆和圆C2上任一点D ,求作一圆和两已知圆都外切。看看下图,是如何确定圆心C 的?分析作图步骤:
(三)、操作步骤
1、 构造两已知圆的半径 画一条水平直线AB ,在直线上画三点C 、D 、E ;隐藏点A 、B 。→画线段(D ,C )(D,E), 并把线段DC 和线段DE 的标签分别改为R 、r (想一想为什么在直线上画点,而不直接画线段)
两点就是已知圆的圆心)
3、 构造已知圆 画圆(H ,线段R )画圆(I ,线段r ) 2、 构造圆心 画一条水平直线FG ,隐藏点F 、G →在直线上画点H 、I (这
4、 构造辅助圆 画直线(I ,J ),其中J 为圆I 上任一点J →画圆(J ,线段R )→画圆J 和直线IJ 的交点为L 。
5、 构造所求圆 作线段(H ,L )→作线段HL 的中垂线→作直线IJ 和中垂线的交点K →作圆(K ,J )
6、 作轨迹(K ,J )
7、 作J 点的动画
8、 隐藏辅助线,修饰课件。
(四)、拓展研究
通过移动点C 、E 、H 、I ,改变两已知圆的大小和位置,我们惊喜的发现,这种构造方法,竟是一箭三雕-同外切;同内切;一外一内,尽在其中
四、拓展研究
通过移动点C 、E 、H 、I ,改变两已知圆的大小和位置,我们惊喜的发现,这种构造方法,竟是一箭三雕-同外切;同内切;一外一内,尽在其中。
范文五:运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法
运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法
贵州省平塘民族中学 刘光宜 (558300)
摘要 本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程,运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能,详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。每一类画法及构造的步骤,极富操作性和实践性。直接运用于教学,能够达到激活数学课堂,启迪学生思维,拓展学生数学视野,提升数学教学效率的目的。
关键词 圆锥曲线 尺规作图原理 几何画板 动态生成轨迹
一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线
(一)椭圆
1、椭圆第一定义
一般地,平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数2a (2a >︱F 1F 2︱)的点M 的轨迹叫做椭圆。其中,定点F 1、F 2叫做椭圆的焦点,两定点F 1、F 2间的距离︱F 1F 2︱叫做椭圆的焦距,常数2a 叫做椭圆的长轴的长。
特别地,当2a=︱F 1F 2︱时,点M 的轨迹是线段F 1F 2;当2a<︱f 1f="" 2︱时,点m="">︱f>
2、画法步骤
(1)按住shift 线l (隐藏控制点)。再在直线l 上构造线段AB ,度量线段AB 的长度并改为用2a 表示。
(2)在线段AB 上取一点C ,并构造线段AC 和线段BC 。
(3)按住shift 键在画图区中部画一条线段
F 1F 2,隐藏线段,保留端点,然后度量两端点的距离︱F 1F 2︱, 并调整大小使之小于2a 。
(4)以F 1为圆心,线段AC 为半径画圆,
以F 2为圆心,线段BC 为半径画圆。构造两圆的交点M 和M ', 并设 置成“追踪交点”。
(5)构造线段MF 1、MF 2并度量长度,然后计算MF 1+MF2。
MF 厘米MF 2厘米MF 1MF 2厘米
2a = 6.56F 1F 2 = 4.87图1-1
(6)设置点C 双向在线段AB 上滑动,并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。或用选择工具拖动点C 在线段AB 上滑动生成椭圆(如图1-1)。
(7)用选择工具拖动点B 或点A 调整线段AB 与F 1F 2的大小关系:当2a=︱F 1F 2︱时,动点M 与两个定点F 1、F 2共线,其轨迹是线段F 1F 2;当2a<︱f 1f="" 2︱时,动点m="">︱f>
(二)双曲线
1、双曲线第一定义
一般地,平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于一个常数2a (2a<︱f 1f="" 2︱)的点m="" 的轨迹叫做双曲线。其中,定点f="" 1、f="" 2叫做双曲线的焦点,两定点f="" 1、f="" 2间的距离︱f="" 1f="" 2︱叫做双曲线的焦距,常数2a="">︱f>
1
特别地,当2a=︱F 1F 2︱时,点M 的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线;当2a>︱F 1F 2︱时,动点M 的轨迹不存在。
2、画法步骤
(1)在画图区上部画一条直线l (隐藏控制点)。在直线l 上构造线段AB 并度量长度用2a 表示。然后在线段AB 的延长线上以B 为端点构造射线(隐藏控制点),并在射线上取一点C 。构造线段BC 和线段AC 。
(2)按住shift 键在画图区中部画一线段F 1F 2(隐藏线段保留端点)。度量点F 1、F 2的距离︱F 1F 2︱, 并使2a<︱f 1f="">︱f>
(3)分别以F 1、F 2为圆心,AC 、BC 为半径画圆,并设置两圆的交点为M 、M '; 法,分别以F 2、F 1为圆心,AC 、BC 为半径画圆,也设置两圆的交点为M '、M '。并同时选中这四点,把它们设置成“追踪交点”。
(4)构造线段MF 1和MF 2并度量他们的长度。然后计算︱MF 1-MF 2︱的值。 (5)设置点C 双向在射线BC 上滑动,并编辑生成操作按钮“动态生成轨迹”。或用选择工具拖动点C 在射线BC 上滑动生成双曲线(如图1-2)。
(6)用选择工具拖动点B 调整线段AB 与F 1F 2的大小关系:当2a=︱F 1F 2︱时,动点M 落在
MF MF 2F 1F 2图1-2
线段F 1F 2的延长线或反向延长线上,其轨迹是分别以点F 1、F 2为端点的射线;当2a>︱F 1F 2︱时,动点M 消失,表示其轨迹不存在。
二、根据圆锥曲线的第二定义构造圆锥曲线
(一)椭圆
1、椭圆第二定义
一般地,平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比等于一个常数e (0<><1)的点m 的轨迹叫做椭圆。其中,定点f="" 叫做椭圆的一个焦点,定直线l="" 叫做椭圆相应于点f="" 的一条准线,常数e="">1)的点m>
2、画法步骤
(1)按住shift 线(隐藏控制点)隐藏所画直线。再在线段AB 上取点度量点A 、B 和点A 、C 的距离,的值,并改为用e 表示。
(2)在画图区域中部按住一条竖直的直线l, 并在直线l F 。过点F 作直线l 的垂线h,
构造线段FK 后隐藏所画的垂线h ,度量线段FK 的长度︱FK ︱,并计算
(3)以点K 为圆心,
1e +1
1e +1
F K 的值 。
F K 为半径画圆交线段FK 于点D, 并隐藏所画的圆。过点D 作直线m 与直
线l 平行。然后在直线l 上任取一点N (不与点K 同),并构造线段NF 使之与直线m 相交于点E ,并隐藏直线m 。
(4)分别以线段NE 、FE 为直径画圆O 1和圆O 2。过点N 作直线l 的垂线r, 并构造垂线r 与圆O 1的交点G 。然后以点E 为圆心,线段EG 为半径画圆,使之与圆O 2交于两点H 、J (若圆E 与圆O 2无交点,可通过拖动点N 调整来获得交点)。
(5)构造直线FH 和FJ 使之都与垂线r 分别相交于点M 、M ’。并设置这两点为“追踪交点”。 (6)设置点N 为沿直线l 运动的动画,并编辑生成“动态生成轨迹”按钮。点击该按钮或拖动点N 即可动态构造椭圆(如图2-1)。拖动点C 可改变椭圆的扁平程度或大小。
(二)双曲线
1、双曲线第二定义
一般地,平面内到一个定点F 一条定直线l (e>1)的点M 点F 叫做双曲线的一个焦点,定直线l 曲线相应于点F 的一条准线,常数e 线的离心率。
2、画法步骤
把椭圆的画法构造中“计算成“计算
A B A C
A C A B
的值”, 曲线了(如图2-2)。拖动点C
说明:
1、上述用椭圆或双曲线的第二定义构造椭圆或双曲线的画法,实际上是圆锥曲线的统一画法步骤。 2、当拖动点C 与点B 重合时,e=1.的长短,可改变抛物线开口的大小。
(三)抛物线
本节内容来进行讲述。
1、抛物线定义
一般地,平面内与一个定点F 的点M 的轨迹叫做抛物线,其中,定点F 定直线l 叫做抛物线的准线。
特别地,当定点F 在直线l 上时,点M 定点F 且垂直与定直线l 的直线。
2、画法步骤
(1)按住shift 键画一条竖直的直线l (隐藏控制点)。在直线外给定一个点F 。然后在直线l 上任取一点N (与点F 不能在同一水平线上),并构造线段FN 。 (2)过点F 作直线l 的垂线段FK ,垂足为K 点A 。
(3)过点A 作线段FN 的垂线p ,过点N 后构造直线p 和直线q 的交点M ,并把点M (4)选中点N ,使点N 显示动画生成并编辑成按钮,或沿直线l 拖动点N (5)拖曳点F ,使之与点K 完全重合(即点F 为点K 。
(6)标记点K 为旋转中心,使点N 绕点K 旋转然后分别以点N 和N ’为圆心,大于线段NK 点M (或点M ’), 并设置该交点为“追踪交点”迹”按钮或拖动点N ,即可生成点M (或点M 经过点F (点K )且垂直于直线l 的直线(如图
三、根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线
鉴于教学的实际需要,有时为了方便向学生演示椭圆、双曲线、抛物线的相互转换关系或内在联系,我把上节画图方法的一些环节做适当的调整,得到根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线的画法。
1、圆锥曲线的统一定义
一般地,在平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离的比等于一个常数e 的点的轨迹,当0<><1时叫做椭圆;当e=1时叫做抛物线;当e>1时叫做双曲线。其中定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 叫做圆锥曲线的准线。
2、画法步骤
(1)按住shift 键在画图区上部画直线(隐藏控制点),在直线上构造线段AB 后隐藏所画直线。再在线段AB 上取点C 点A 、C 的距离,并计算为用e 表示。
(第(2)~(5圆的方法和步骤完全相同)
(6)通过拖动点C 来获得不同的圆锥曲线。
B C A C
3、画法依据简述
在△MNF 中,ME 是∠NMF 所以
M F M N
=E F E N
E F E N
=D F D K
ED ∥NK ,所以
4
M F M N
=
D F D K
。又因为KD=
1e +1
F K ,所以
D F D K
=e 。所以
M F M N
=e 。即动点M 到定点F 的距离与它到
定直线l 的距离之比等于常数e 。因此,动点M 的轨迹就是圆锥曲线(如图3-1)。
值得注意的是:当拖动点C 向点B 靠近并与点B 重合时,e 值减小到0, 而椭圆逐渐变“圆”变小,最终退化为定点F ;当拖动点C 向点A 靠近并与点A 重合时,e 值增大到无穷大,而双曲线两支逐渐靠近且越发由“曲”变“直”,最终并合于定直线l 。
四、根据圆锥曲线的标准方程构造圆锥曲线
下面以焦点在x 轴上的圆锥曲线为例讲述怎样根据圆锥曲线的标准方程画圆锥曲线。
(一)画椭圆画法步骤:
x a
22
+
y b
22
=1(12、新建参数a 和b ,使a>b轴上绘制点A 2,选中参数b ,在y 3、以原点O 为圆心,分别以画圆。
4、用画线段工具画线段:交于点P ,与小圆交于点Q 。
5、过点P 作x 轴的垂线l 垂线m 。设两直线相交于点M 。
6、依次选中点P 和点M ,然后点击“构造”菜单下的“轨迹”,即可得到所需要的椭圆(如图4-1)。 7、以B 2为圆心,OA 2为半径画圆与x 轴相交于F 1和F 2,则得到椭圆的两个焦点。如有必要,可隐藏掉除椭圆、椭圆顶点、坐标系以外的其他对象。
说明:
1、改变参数a 、b 的值可得到不同的椭圆。
2、要作焦点在y 轴上的椭圆,需要过点P 作y 轴上的垂线l ,再过点Q 作直线l 的垂线获得点M 。
(二)画双曲线
x a
22
-
y b
22
画法步骤:
12、新建参数a 、b ,使为画图方便,取a ≠b 上绘制点A 2,选中参数b B 2。
3、以原点O 为圆心,为半径画圆,并设过点B 2点R
4
然后拖动到与原点重合时放开获得直线l ,设直线l 与过点A 2的圆交于点P ,与过点B 2的圆交于点T 。
5、过点P 作直线l 的垂线,使之与x 轴交于点Q 。分别过点R 、Q 作垂直于x 轴的垂线m 和n 。设直线m 和直线l 相交于点N 。然后过点N 作直线m 的垂线,设交点为M 。
6、依次选中点T 和点M ,然后点击“构造”菜单下的“轨迹”,即可得到所需要的双曲线(如图4-2)。 7、以原点O 为圆心,点A 2、B 2的距离为半径画圆与x 轴相交于F 1和F 2,则得到双曲线的两个焦点。如有必要,可隐藏掉除双曲线、双曲线顶点、坐标系以外的其他对象。
说明:
1、改变参数a ,b 的值可得到不同的双曲线。 2、要作焦点在y 轴上的双曲线,需要取过点P 且垂直于直线l 的直线与y 轴的交点Q ,然后分别过点Q 、B 2作直线i 与h 都与y 轴垂直。设直线h 与直线l 交于点N ,在过点N 作直线i 的垂线来获得点M 。
(三)画抛物线y =2px(p ≠0
画法步骤:
12、新建参数p 。并选中它,在x 构造线段OA 及其中点F 。
3、标记y 轴为镜面,作点F 的垂线l ,并在其上任取一点N (与4、构造线段FN ,并作线段FN 5、过点N 作直线l 的垂线k ,6、依次选中点N 和点M ,迹”,即可得到所需要的抛物线直线l 标轴之外的其他对象。
2
说明:
1、改变参数p 的值,可得到不同的抛物线,并且p 的符号会改变抛物线的开口方向,p 的绝对值的大小决定抛物线的开口大小。
2、充分运用几何画板中的“绘制新函数”功能就能轻而易举地画出所需的抛物线。但这已经不是本文所阐述的内容了。
结束语
圆锥曲线的上述各种画法和构造,都是以尺规作图原理为操作要领,结合几何画板的动态绘图功能而完成的。在教学中,我有意避开几何画板那些现成的绘图工具,力图向学生展示各种曲线生成的来龙去脉,探本索源,揭示数学概念的形成过程,使学生悉知平面几何知识与解析几何知识之间的内在联系,从中体会数学中数与形相互转化而又完美结合的奇妙规律。
参考文献
1、教育部 普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2-1) 人民教育出版社 2011.05 2、陶维林 几何画板实用范例教程 清华大学出版社 2001.04
3、关志海 数学课堂教学与学生创新思维能力的培养 中国数学教育高中版 2007.01
6
1时叫做椭圆;当e=1时叫做抛物线;当e>