?001 数列、函数与不等式
2na,,和满足:,,ban,,,,139,其中为1(已知数列abaan,,,,,,,,,,,1nnnn,1nn3
实数,为正整数( n
(1)若数列的前三项成等差数列,求的值; a,,,n
(2)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论正确; b,,n
ncnm,,,20cb,,3(3)如果,且,问取何值时,对任意不小于3的自然m,,,7,,n,1nn
数都成立,证明你的结论( n
Sa,,21S2(已知数列的前项和是,满足( na,,nnnn
S(1)求数列的前项和; na,,nn
1,S,,nklog2(2)求证: ,4,ak,1k
,,ana,12aa,1a3(已知数列是等比数列,其中,,,成等差数列,数列的前项na,,,,3345nbn,,
n,2和()( Sn,,,,121nN,*,,n
(1)求数列、的通项公式; ab,,,,nn
TTt,,Tt(2)设数列的前n项和为,若对一切正整数n都成立,求实数的最大值( b,,n2nnn
SnS4(若等差数列的前n项和为,且满足为常数,则称该数列为数列( aC,,nnS2n
an,,42(1)判断是否为数列,并说明理由; Cn
aa(2)若首项为的等差数列(不为常数)为数列,试求其通项; aC,,1nn
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学习数学要多做习题,边做边思索。先知其然,然后知其所以然——苏步青
aa(3)若首项为,各项为正数的等数列(不为常数)为数列,设,(、naCnm,,20,,1nn
11为正整数),求的最小值( ,mSSnm
2xx,3,1,1,1nfn,()01,,x5(已知函数()的反函数为fx(),设fx()在点fx(),,,232,,xx
1,1**a,b{}a()处的切线在y轴上的截距为,数列满足:,afa,()()( nN,nN,1nnnn,12
{}a(1)求数列的通项公式; n
,,bb,,nn,n,5,(2)在数列中,仅当时,,取得最小值,求的取值范围; ,,22aaaann,,nn
12*,1{}ccgc,()(3)令函数,数列满足:,(),求证:c,nN,gxfxx()()1,,,,nnn,112
111,,,,,对于一切的正整数,都满足:12( n,2,,,ccc11112n
2axbx,,1fxfx,6(设(,)为奇函数,且的最小值是22,数列abcR,,,aa,0,,,,,,nxc,
faa,,,a,1nnna,,3a,b,与满足:,,( b,,1,1nnn2a,1n(1)求函数的解析式; fx,,
(2)求数列的通项公式; b,,n
bnc,log(3)如果,求数列的前n项和( c,,2nn
SkS,,2a,1Sa,27(已知数列的前n项和满足:(又,( a,,nnn,112n
(1)求的值; k
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T(2)求数列的前项和; nna,,nn
Sm,1n(3)是否存在整数、,使成立,若存在,则求出这样的正整数;若不存在,,mnSm,2n,1
则说明理由(
S8((2009届合肥二模)已知为正项数列的前项和,满足:()( nanN,*,,nn
aaaa(1)求,,,; 1234
(2)求数列的通项公式; a,,n
n1,,bf,(3)已知函数,数列的通项公式为(,1,2,3,…,n,fx,bmN,*,,,,n,,nxm,42,,
aamm,1ttT),前项和为,若时,不等式恒成立,求实数的取值范围( tmm,mN,*mTT,1mm
n21n,9(设数列满足()( a,,,,,444aaaanN,*,,n123n4(1)求数列的通项公式; a,,n
n,1nn4Sb,(2)设,是数列的前n项和,求( blim,,nnnn,,aSnn
SSn,,,25a,5S10(已知数列的首项,前n项和为,且()( anN,*,,1nnn,1n
(1)求数列的通项公式; a,,n
2n(2)令,求函数在点处的导数关于n的表达式( fxaxaxax,,,,fxf'1x,1,,,,,,12n
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2nn,,1a,,aa,aS,,,111(已知数列满足:,,,且是等比数列( anN,*,,,,,,,,n1,1nnn3,,
(1)求实数的值; a
(2)求出数列的通项公式; a,,n
1113,,,,(3)求证:( aaa2342n
a,2SS,,21S12((2009?新思维?四-?)已知数列的第二项,前项和为,且na,,2nnn,1n
()( nN,*
a(1)求; 1
(2)证明:数列是等比数列; S,1,,n
2n1(3)令(,),试用大于的自然数表示函数nfxaxaxax,,,,fxnN,*n,1,,,,12n
在点处的导数( f'1x,1,,
13(设(,),数列满足:、、、…fxx,logafafafafaa,0a,1,,,,,,,,,,,,an123n
()成等差数列,且,fafafa,,,0nN,*,,,,,,123
2101,,a,其中( fafafa''',,,,,,,,,11234lna
(1)求的通项公式; a,,n
4(2)若对,都有,求实fafafafafafa,,,,,'''0,,nN*,,,,,,,,,,,,1122nnln4
数a的取值范围(
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14(某品牌玩具企业的产品以往专销欧美市场,在全球金融风暴的影响下,欧美市场的销量受到严重影响,该企业在政府的大力扶助下开拓国内市场,主动投入内销产品的研制开发,并基本形成了市场规模,自2008年9月以来的第个月(2008年9月为第一个月),产品的内n
bca销量、出口量和销售总量(内销量与出口量的和)分别为、和(单位:万件),分nnn
2baa,析销售统计数据发现形成如下营销趋势:,(其中、为常数),acaba,,bnn,1,nnn1
a,1a,1.5a,1.875且万件,万件,万件( 123
aa(1)求、的值,并写出与满足的关系式; abn,1n
22a(2)若该企业产品的销售总量呈现单调递增趋势,且控制在万件以内(不超过万件),n
则企业的运作正常且不会出现资金危机(试问:该企业能否运作正常且不会出现资金危机(
a(3)试求:从2008年9月份以来的第个月的销售总量与的表达式( nnn
S15((1)设各项都是非负数的无穷等差数列的公差,记为数列的前项和( naad,0,,,,nnn
SSS,,2pp ?若m、、n,且m、、n成等差数列,证明:; ,N*nmp
211 ?在?的条件下,试比较,与之间的大小关系( SSSpmn
n,1TTb,,T(2)设数列的前n项和为,若,(),求数列的前n项和( bbnN,*,,,,nnnnnnnn,1,,
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数列与不等式
数列与不等式均是高中数学中的重要内容,所以在高考中占有重要的地位. 高考对这两部 分的考查比较全面,在近年来的全国各地高考试题中,常常综合在一起考查这两部分知识,尤 其是在解答题中较为明显. 在高考试题中,数列与不等式这部分知识所占分值大约是20分. 解 答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题有较好的区 分度. 有关数列的综合题,经常把数列知识与不等式的知识综合起来,其中还蕴含着丰富的数 学思想,通常要用到放缩法以及函数思想(求函数的最值等). 这就要求考生能够灵活地运用 相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题. 估计2008年全国各地的高考试题中仍会出 现数列与不等式的综合问题,因此考生在复习过程中应当注意掌握数列与不等式中的常见方 法,并注意积累一些特殊的方法,从而做到灵活处理相关的问题. . 150120.
60
12560.
.
1.在数列{a}中,a=14,3a=3a+2,则使aa<0成立的n值是( )="">0成立的n值是(>
A.21 B.22 C.23 D.24
22.已知数列{a}的前n项和S=n-9n+2008,则满足5
A.9 B.8 C.7 D.6
n2007*3.已知数列{a,}的通项公式是(其中n?N),那么数列{a}的最大项是annnn!
( )
A.a B. a C. a或a D. a 200620072006200720082* 已知数列{a}的通项公式是a=-n+n(其中n?N)是一个单调递减数列,则常,nn
数的取值范围( ) ,
A.(3,+?) B.(-?,3) C.,,,,,,, 33, ,, D.
2*4.数列{a}的通项公式是关于x的不等式x-x<>
{a}的前n项和S=( ) nn
n(n,1)2 A.n B.n(n+1) C. D.(n+1)(n+2) 2
n,2008(,1)n+20075.若数列{ab,2,}、{b}的通项公式分别是a=(-1)?a,,且a<>
1
*任意n?N恒成立,则常数a的取值范围是( )
33,, A.(-2,1) B. C., D.(-2,),,2, 1,2, ,, ,22,,
6.在等差数列{a}中,a<0,a>0且a>|a|,S是数列{a}的前n项和,则使S>0的nn10111110nnn
的最小值是( )
A.21 B.20 C.10 D.11 7.已知首项为a、公比为q(0<><>
2和是S,且(S-qS)=q,则a的取值范围是( ) limnnn,,,
11 A.(,,, ) B.(, ,,) 22
11,,C.(,,, 0),(0, ) D. (,,, 0),0, ,,22,,
11111111无穷数列1,,,,,,,,,…的前( )项和开始大于1033355555
( )
A.99 B.100 C.101 D.102
28.已知数列{a}的通项公式是a=-n+12n-32,其前n项和是S,则对任意的n>m(其中n、nnn*m?N),S- S的最大值是( ) nm
A.5 B.10 C.15 D.20
9.已知等差数列{a}的前n项和是S,且a=2008,且存在自然数p?10,使得S=a,则nn1pp
当n>p时,S与a的大小关系是( ) nn
A.a?S B.a>S C.a?S D.a< s="">
a12810.已知等差数列{aS,,n,n}的前n项和是,则使a<>
n=( )
A.2009 B.2010 C.2011 D.2012
aaaa31001211.已知集合M={0,2},无穷数列{a,,,?,}满足a?M,且p=,则pnn231003333
一定不属于区间( )
1212,,,, A.,,,,0, 10, 1 B. C., D. , ,,,,3333,,,,12.已知某企业2006年的生产利润逐月增加,为了更好地发展企业,该企业也同时在改造
建设. 其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等,且与每月增加的利润相同. 随
着投入的建设资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资
金又恰与十二月份的生产利润相同. 则该企业在2006年的总利润M与总投入资金N的大
小关系是
A.M>N B.M
2
90
4520.
1a13.在正项等比数列{a}中,aa=,a+a的最小值是m,且3=m,其中a?(k,n281925
k+1),则整数k= .
在正项等比数列{a}中,aa=25,a+a的最小值是m= . n2819
14.一张厚度为0.1 mm的矩形纸片,每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折,则
经过 次这样的折叠后其厚度开始大于100 m(假设这样的折叠是可以实现
的,参考数据:lg 2=0.3010).
一种机械设备的价格为200000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为
.
22215.在?ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a,b,c成等差数列,则sinB的最大值是 .
16.()设正数数列{a}的前n项之和是b,数列{b}前n项之积是c,且b+c=1,则数nnnnnn,,1列中最接近108的项是第 项. ,,an,,
21在等比数列{a}中,a=,公比q=,其前n项之和是S,x=S(S+S),,n1n102030210
22y=,则x,y的大小关系是 . S,S1020
670. . 17.(本小题满分10分)
已知数列{a}是递增等差数列,前n项和为S,a=2,且a,a,a成等比数列. nn1124
(1)求{a}的通项公式; n
Sn(2)令T,, nn2
?当n为何正整数时,T>T? nn+1
?若对一切正整数n,总有T?m,求m的取值范围. n
3
18.(本小题满分12分)
已知数列{a}是首项为q、公比为q的等比数列(其中q>0且q?1),设n
*(其中n?N). b,a,logann2n
(1)当q=2时,求数列{b}的前n项和为S; nn
Sn (2)在(1)的条件下,求的值; lim,,,nnan
2007 (3)当时,在数列{b}中,是否存在最小的自然数n,使得对任意的m>n(mq,n2008*?N),都有b>b?证明你的结论. mn
123n*数列{a}的通项公式是a=(其中n?N),前n项和C,2C,3C,?,nCnn nnnn
为S. n
(1)化简数列{a}的通项公式a; nn
111(2)求证: ,,,,1.?SSS12n
19.(本小题满分12分)
医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法,通常将这种病
毒细胞m个注入一只小白鼠的体内进行试验.
在试验过程中,将病毒细胞的数量(个)与时间(h)的关系记录如下表:
时间(h) 1 2 3 4 5 6 7 …
病毒细胞m 2m 4m 8m 16m 32m 64m … 总数(个)
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m×106个时,小白鼠将死亡,但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果,在最初使用此药物的几天内,每次用药可杀死其体内该病
毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到小时,
参考数据:lg 2=0.301 0)
4
20.(本小题满分12分)
已知函数f (x)=x+1,点a*-1n,1(,1,)(n?N)在y = f (x)上,且a=a=1. n12an
(1)求数列{a}的通项公式; n
aaan12 (2)设S,,,,?,若S>m恒成立,求常数m的取值范围. nn2!3!(n,1)!
21.(本小题满分12分)
已知数列{a}满足:a=2,a=3,2a=3a-a(n?2). n12n+1nn-1
(1)求数列{a}的通项公式a; nn
,am2n(2)求使不等式,成立的所有正整数m、n的值. ,am3n,1
5
22.(本小题满分12分)
已知点P、P、P、…、P、… 123n
顺次为曲线xy=3(x>0)上的点(如图所示), 点Q、Q、Q、…、Q、…顺次为x轴上的点, 123n
且?OPQ、?OPQ、?QPQ、…均为等边三角形. 1122n-1nn*记点Q(c,0),P(a,b) (其中n?N). nnnnn* (1)求数列{c}(n?N)的通项公式; n
an* (2)求数列{a}(n?N)的通项公式及的limn,,,ncn
值;
* 求数列{a}(n?N)的通项公式. n
111* (3)求证:,,,,4,22(其中n?N). ?122222aaaaaa22231nn,
161616* 求证:,,,,2(其中n?N). ?444ccc12n
6
44,2n44,2n40,2n221.A 由已知得a-a=,a=14+(n-1)()=,aa=?<><><><22,因此n=21,选a.>22,因此n=21,选a.>
S,2000,n,1,12.B 由题意得a=,由5
15 5<><><><9,又k?n,所以k=8,选b.>9,又k?n,所以k=8,选b.>
aa2007,1,1nn3.C 由题意得a>0,,当n<2006时,>1,a> a且a=a;,nn+1n20072006an,1ann
a,1n当n?2007时,<>< a.="" 综上所述,数列{a}的最大项是a="a.">
2 2* B a- a= -(n+1)+(n+1)+n-n=-2n-1<><><3. ,,,,,n+1n="">3.>
n(n,1)2*4.C 由x-x<><>
115.C 当n是奇数时,由a<><><><><2+,-a?nnnnnn2,a?-2,因此常数a的取值范围是,,,2, 1.="">2+,-a?nnnnnn2,a?-2,因此常数a的取值范围是,,,2,>
6.B 设数列{a}的公差是d,由已知得a>-a,a+a>0,2a+19d>0,2a>-19d.令n1110111011
2a,n(n,1)dn(n,1)1S=na+d=n?>0即2a+(n-1)d>0,而2a+(n-1)d>-19d+(n-1)d n11122
=(n-20)d,需(n-20)d?0,又d>0,因此n?20,选B.
aa227.()由题意得(1-q)S=(1-q)?=a(1+q)=q, S,1,q1,q
1q1 a==1-,又0<><><><><且a?0,选c.>且a?0,选c.>
2 ()C 由题意得该数列有1+3+…+(2n-1)=n项的和是n,因此其前101项和开始大于10,选C.
28.B 由a=-n+12n-32=-n(n-4)(n-8)>0得4<><>
后的各项均为负且a=a=0,因此S-S=a+a+…+a的最大值是a+a+a=3+4+3=10. 48nmm+1m+2n567
p,a,a,(1)()01p,19.B 由S=a得a+a+…+a=,a+=0. pp12p-11p-12
又a=2008>0,因此a<0,数列{a}的公差小于零. 当n="">p时,S=a+a+…+a<>< s+a="a,即a">S. nn-1np-1nnnn
7
n(n,1)dd210.B 设数列{a}的公差是d,则 S,na,d,n,(a,)nnn11222
aa,7dda1d12818,,,,,,且a,d=-1且a=2,,,n,n,,112222222
a=2-(n-1)=3-n<-2006,n>2009,因此使a<-2006成立的最小正整数n=2010,选b.>-2006成立的最小正整数n=2010,选b.>
aaa2223100211.C 由题意得当a,,?,=0时,0?p=?,,?, 12310023100333333
111<;>;>
2222122当a=2时,?p?,即1>?p?. ,,,?,1,1231001003333333因此结合各选项知选C.
12.A 设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为a,每月增加投入的百分率为r,则
*各月的利润依次组成一个数列{a},其中a=na(1?n?12,n?N),各月的建设资金依次nnn-1*组成一个数列{b},其中b=a(1+r)(1?n?12,n?N),由于a=b,a=b,结合函数nn111212x-1y=ax与y=a(z1+r)的图象可知a>b,a>b,…,a>b,因此M>N. 22331111
22-1a013.-1 由题意得a2aa,,m+a?,3<><>
10 由题意得a+a>2aa,10,m. 1919
n n14.20 由题意得,经过n次这样的折叠后其厚度是0.1×2mm,令0.1×2>100×
6635n610,=10得,2>10,n>,因此经过20次这样的折叠后其厚度开始大于100 lg20.3010
m.
1000n(n,1)200000220 当此设备使用了n年时,此设备的平均费用是 n
400400400(2,n,1),500(,n,1)?500?=20500,当且仅当=n,即n=20时取得nnn等号.
22ac,22ac,,22222acbac,,,3222215.,, 由已知得2b=a+c,cosB=?22ac2ac4ac2ac132,,因此sinB=?. 1,cosB24ac2
8
1cc1nn,16.10 依题意得(n?2),又b+c=1,则+c=1,=1,由,bnnnnccccnnnn,1,1,1
11n11b=c,b+c=1得b=c=,则c=,b=,所以a=b-b=,=n(n+1),111111nnnnn-1n(n,1)2n,1n,1an
,,1因此数列中最接近108的项是第10项. ,,an,,
222 x=y 由等比数列的性质知(S-S)=S(S-S),即SS- S,S,2SS,2010103020103010201020
22SS,也即=S(S+S),则x=y. S,S10201020301020
2217.(1)设公差为d(d>0),则有a=aa,(2+d)=2(2+3d),由此解得d=0(舍去)或d=2, 142
因此a=2+2(n-1)=2n; n
,n(22n) (2)由(1)得,n(n+1), Sn2
Sn(n,1)(n,1)(n,2)n* ?T,,,T,,即n>2(n?N); nn,1nnn,1222
S331??T,=1,T=T=,又?n>2时,T>T,?各项中数值最大值为,?对一切23nn+11222
3正整数n,总有T?m恒成立,因此m?. n2
近年来的全国各地的高考试题中,有关等差、等比数列的定义、通项公式以及
前n项和公式的基本考查常有出现,这就要求考生对于这方面的知识比较熟悉,做到灵活
地使用,同时注意与其他知识间的联系.
nnnn12n18.(1)当q=2时,a=2,b=2?log2=n?2,S=1?2+2?2+…+n?2 ?, nn2n23nn+1 2S=1?2+2?2+…+(n-1)?2+n?2 ?, n
n,12,212nn+1n+1n+1n+1 由?-?得,-S=2+2+…+2-n?2=-n?2=2- n?2+2, n1,2
n,1n,1; S,n,2,2,2n
11n,n,S,2,2,222nn (2)由(1)得; lim,lim,lim(2,,),2nnn,,,n,,,n,,,nan,2,2nnn
2007* (3)当q=时,存在最小的自然数n=2008,使得对任意的m>n(m?N),都有b>b. mn2008
证明如下:
nn20072007,,,,20072007 当q=且n?2008时,a=,b=n?log,b-b,,,,nn2n+1n 2008200820082008,,,,
9
n,1nn2007200720072007n,,,,,,20072007,,=(n+1)log-n?log=?? ,,,,,,,,,222008200820082008200820082008,,,,,,,,
n2007,,200720072007nlog>0,由于1>>0,log<><0,因此b-b>0,即,,22n+1n20082008200820082008,,
b>b,数列{b}从第2008项开始各项随着n的增大而增大, n+1nn*故存在最小的自然数n=2008,使得对任意的m>n(m?N),都有b>b. mn
123n(1)由a= ?, C,2C,3C,?,nCnnnnn
,1,21nnna=,即 nC,n(,1)C,n(,2)C,?,Cnnnnn
012n,1a= ?, nC,n(,1)C,n(,2)C,?,Cnnnnn
01nn由?+?得2a=?2, n(C,C,?,C),nnnnn
n-1则a=n?2; nn-1012n-1(2)由a=n?2得S=1?2+2?2+3?2+…+n?2 ?, nn123n-1n2S=1?2+2?2+3?2+…+(n-1)2+n?2 ?, n
n1,212n-1nnn由?-?得-S,n=1+2+2+…+2-n?2=?2,S=(n-1)?2+1, nn1,2
111, ,,nnS(n,1),2,12n
11,n,1111111122 ,,,,,,,,,1,,1,??2nn1SSS222212n1,2
111因此,,,,1. ?SSS12n
有关数列前n项和的求解问题,具体问题应当进行具体分析. 当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成,则此时可采用错位相减法. 把其前n项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相减,从而求解. 当一个数列{a}满n足:a+a=a+a=…时,可考虑采用倒序相加法来求其前n项和. 1n2n-1
19.(1)设第一次最迟在第n(h)时注射药物 由病毒细胞的生长规律可知,第n(h)时病
n-1毒细胞的数量是2?m个.
n-16n-16因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡,应有2?m?m×10,即2?10,(n-1)lg2?
66,n?1+?20.9,?第一次最迟应在第20(h)时注射该种药物; lg2
20210(2)第20(h)时的小白鼠体内的病毒细胞数是2m?m(1-98%)=个. 100
10
202t6t+208m设第一次注射药物后的第t小时必须注射药物,则?2?m×10,即2?10,100
8(t+20)lg2?8,t?-20?6.57,因此第二次注射药物的时间最迟应在自开始注射该种药lg2
物后的第6(h),才能维持白鼠的生命.
解决实际应用问题的一般步骤:
(1)读题:反复读题,领悟题目的数学本质,弄清题中出现的每个量及其数学含义;
(2)建模:恰当地设出关键量,根据题意进行数学化设计,建立目标函数(函数模型);
(3)求解:用相关的函数知识进行数学上的计算; (4)反馈:把计算获得的结果返回到实际问题中,写出答案. 20.(1)f (x)=x+1的反函数是f -1(x)=x-1,
aann,1,1* ?点(n+1,)(n?N)在反函数图象上,?=n,
aann
aaa3n2而a=1,??…=1?2?3…(n-1),?a=(n-1)!; 1naaa2n,11
a(n,1)!111n(2),,,,, (n,1)!(n,1)!n(n,1)!n(n,1)
111111?S(1,),(,),?,(,),1,,= n223nn,1n,1
11 又S随n的增大而增大,?S?S=,由S>m得,m<,即常数m的取值范围是>,即常数m的取值范围是>
1(-?,). 2
本题考查了数列的通项公式的求法. 当已知数列{a}的递推公式是 nan,1= f (n)的形式时,通常采用累乘的方法求解.
an
21.(1)2a=3a-a(n?2),得2(a-a)=a-a(n?2), n+1nn-1n+1nnn-1
,aa11nn,1 ?,(n?2),因此数列{a-a}是以a-a=1,为首项,为公比的等比数列, nn-121,aa22nn,1
1n,2 ?a()-a=, nn-12
当n?2时,a=(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+a nnn-1n-1n-2211
1,1n1,()41114,2,3nn2 ,(),(),?,,1,a,,2,4,,又a=2=4-, 111n1222221,2
11
4 因此a=4-. nn2
44,,mn2,am22n (2)由不等式,,得<,>,>
n(4,),2,42m ?, ,,0n3(4,),2,2m
nm(4,),2,8 即,0, nm3[(4,)2,2]
nn所以2<><8,?2为正偶数,4-m为整数,>8,?2为正偶数,4-m为整数,>
nnnn,,,,2,42,62,22,2nn?(4-m)?2=4,或(4-m)?2=6,?,或,或,或. ,,,,4,m,14,m,14,m,24,m,3,,,,
n,log6,n,1,n,1,n,2,,,,,2解得,或或或 ,,,,m,3.m,2,m,3,m,1,,,,,
,am2n 经检验使不等式,成立的所有正整数m、n的值为(m,n)=(1,1)或 ,am3n,1
(2,1)或(3,2).
求递推公式形如a=pa+qa(其中p,q是常数)的数列的通项公式. n+2nn+1
已知数列{a}满足:a=a,a=b,且a=pa+qa(其中p,q是常数),求a. n12n+2nn+1n
一般地,设a-xa=x(a-xa),即a=(x+x)a-xxa,又 n+21n+12n+11nn+212n+112n
x,x,q,122 a=pa+qa,所以有,由此可知,x、x是二次方程x=qx+p的两根. n+2nn+112,xx,,p12,
当x?x时,则由对称性得a-xa=x(a-xa),由此求得数列{a-xa}与{a-xa}12n+22n+11n+12nn+11nn+12n
的通项公式,从而得出a; n
当x=x时,则有a-xa=x(a-xa),求得数列{a-xa}的通项公式,进而得到a. 12n+21n+11n+11nn+11nn
,y,3x,22.(1)由题意得直线OP3的方程是y=x,由解得x=1,则c=2. 11,,xy,3(x,0),
,23c,4c,(,0yxn,n 又直线Q3,P的方程是y=(x-c),由解得x=(其中nn+1nx,22,,3(,)yxc,n
22c,c,44ccnnnnx=,,舍去),即点P的横坐标是,又?QPQ是等边三n+1nn+1n+12222
12
2c,4cn2222nc,4c,4角形,因此c=c+2(-c)=,即c=,则=4,,c,cn+1nnn+1nnn1n,22
22n又c>0,因此c=2. c,c,4(n,1),4n,nn1n
1 (2)由已知得?QPQ是等边三角形,所以当n?2时,a-c=(c-c), nn+1n+1nn-1nn-12
1ann,111,1=(c+c)=+.又a=1=+,所以数列{a}的通项公式是 nnn-11n2
111,an,n,1nnalim,1.nn,1=+,= lim,limnn,,,n,,,n,,,2c2nn
1 由已知得?QPQ是等边三角形,所以当n?2时,a-c=(c-c), nn+1n+1nn-1nn-12
1ann,11,11=(c+c)=+.又a=1=+,所以数列{a}的通项公式是 nnn-11n2
ann,1=+. n
(3)由(2)得ann,1nn,1n,1nnn=+,aa=(+)?(+)>?=n,nnn+1
11111111当n?2时,有,,,,,,,即, 22222(1)11,,,nnnnnnaanaa11nn,nn,
1111111111,,,,,(,),(,),(,),… ?222222221212231(2,1)aaaaaa1223nn1,
1111+222(,)=3-2+1-=4-2-<4-2,>4-2,>
11当n=1时,,,3,22,4,22. 2222aa1(2,1)12
111*综上所述,,,,,4,22(其中n?N). ?222222aaaaaa1223nn,1
161161111由(1)得,,,,,且当n?2时,<, 4242cncn(n,1)nn,1nnn1616161111111,,?,,1,(,),(,),?,(,)="">,><2,>2,>
16当n=1时,,1,2. 4c1
13
161616*,,,,2 综上所述,(其中n?N). ?444ccc12n
有关数列背景下的不等式的证明问题,在处理过程中常常会涉及放缩法的使
用,这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累,否则难以完成. 常见的数列问题
111中的放缩方式有:(1),,(n?2); 2n,1nn
111(2),,;
2n,1n,1,n2n
212(3)2(n,1nnn,1,,-)==2(-);
n,1,nnn,1,n(4)当1?k?n时,k(k-1)?n(k-1),即k(n-k+1)?n;
1111(5),,, .2n,n,n,n,(1)(2)12n,(1)
14
数列与不等式
试题
2013年黑龙江大庆铁人中学高二下第一次检测理科数学试卷第10题
若不等式
11++n +1n +2
+
1m >对于大于1的一切正整数n 都成立,则正整数m 的最2n 72
大值为 ( ) A. B. C. D.
43 42 41 40
2015年广东省深圳市高三上学期第一次五校联考理科数学试卷第7题
已知数列{a n }的首项为a 1=1,且满足对任意的n ∈N ,都有a n +1-a n ≤2n ,
*
a n +2-a n ≥3?2n 成立,则a 2014=( )
A. 2B. 2C. 2
2014
-1 +1
2014
2015
-1 +1
D. 2
2015
2014年江苏省高三百校联合调研测试(一)数学试题第12题
已知数列{a n }的首项a 1=a ,其前n 项和为S n ,且满足S n +S n -1=3n 2(n ≥2). 若对任意的n ∈N ,a n
*
2014年江苏省邗江中学(集团)高一下学期期中考试数学试题第11题
设数列{a n }的首项a 1=
3
,前n 项和为S n , 且满足2a n +1+S n =3(n ∈N *) .则满足2
18S 2n 8<的所有n 的和为______="" 17s="" n="">的所有n>
2014年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题第14题
1?
2a ,0≤a
已知0≤a 1≤1,定义a n +1=?.
?2a -1, a ≥1
n n ??2
(1)如果a 2=a 3,则a 2=_____;
(2)如果a 1
2015年江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试数学试题第24题
11+a a n +111*
已知数列{a n }的各项均为正整数,对于任意n ∈N ,都有2+
a n +1-a n
n n +1
立,且a 2=4.
(1) 求a 1, a 3的值;
(2) 猜想数列{a n }的通项公式,并给出证明.
2014年湖北省孝感高级中学高一下学期期中考试数学试题第21题
已知数列{a n }满足a 1=
a n -11
, a n =(n ≥2, n ∈N *) . n 4(-1) ?a n -1-2
(1) 求证:数列是{(2) 设b n =a n ?sin
成立.
1
+(-1) n }等比数列,并求数列{a n }的通项公式a n ; a n
(2n -17) π4*
,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:对任意n ∈N ,有T n <>
2014年湖北省部分重点中学高一下学期期中考试理科数学试题第20题
已知数列{a n }的首项a 1=
3a n 3
, a n +1=, n =
1,2, 52a n +1
(1) 求证:{
1
-1}是等比数列,并求出{a n }的通项公式; a n
(2) 证明:对任意的x >0, a n ≥
112-(-x ), n =1,2, 2n
1+x (1+x ) 3
;
2
(3) 证明:n -≥a 1+a 2+
5
n 2
+a n >
n +1
2014年湖北省襄阳市普通高中调研高一统一测试数学试题第17题
设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a n +1=2S n +2(n ∈N *) .
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 在a n 与a n +1之间插入n 个数,使这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列.
①在数列{d n }中是否存在三项d m , d k , d p (其中m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项,若不存在,说明理由; ②求证:
111+++d 1d 2d 3
+
115
<(n ∈n="" *)="" .="" d="" n="">(n>
2015年江西省上饶中学高二文特班上学期第三次月考数学试题第22题
数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n =2a n -1, 设b n =2(log2n +1) .
a
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)求数列{b n ?a n }的前
n 项和;
(3)证明:对于任意n ∈N +,不等式
b +1b 1+1b 2+1
????n >. b 1b 2b n
2015年江苏教育学院附属高中高三上学期期中理科数学试题第20题
已知数列{a n }中a 1=1, a n +1=2a n +an 2+bn +c (n ∈N *) . a , b , c 为实常数. (Ⅰ)若a =b =0, c =1,求数列{a n }的通项公式;
2
(Ⅱ)若a =-1, b =3, c =0. ①是否存在常数λ, μ使得数列a n +λn +μn 是等比数列,
{}
若存在,求出λ, μ的值,若不存在,请说明理由; ②设 b n =
1
, S n =b 1+b 2+b 3+
a n +n -2n -1
5
+b n . 证明:n ≥2时,S n <>
3
2013年重庆市高三九校联合诊断考试理科数学试卷第21题
设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =a n +1-2n +1+1,(n ∈N *) ,且a 1=1.
(Ⅰ)求a 2, a 3的值;
(Ⅱ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅲ)设数列{b n }的前n 项和为T n ,且b n =
a n +1-1
,证明:对一切正整数n ,都有:
a n +1+2
n -
31
2014年重庆市重庆一中高一下学期期末考试数学试卷第21题
已知数列{a n }满足:a n =a n -1+
12
a (n ∈N *) . 2n -1n
(1)若数列{a n }是以常数a 1为首项,公差也为a 1的等差数列,求a 1的值; (2)若a 0>0,求证:
111
-<2对任意n ∈n="" *都成立;="" a="" n="" -1a="" n="">2对任意n>
(3)若a 0=
1n +1
2n +2
2014年重庆市八中高一下半期考试数学试卷第21题
已知数列{a n }的首项a 1=1,S n 是{a n }的前n 项和,且3S n =(n +2) a n (n ∈N +) .
(1)若记b n =
a n
,求数列{b n }的通项公式;
n (n +1)
(2)记c n =
a n a n +1
,证明:2n
a n +1a n
+c n <2n +3,n="1,">2n>
.
2014年重庆市八中高二下学期期中考试理科数学试卷第21题
已知数列{a n }满足a 1=
1
,2a n +1=a n +1?a n +1. 2
(1)求a 2, a 3, a 4的值,由此猜测{a n }的通项公式,并证明你的结论; (2)
证明:a 1?a 3?a 5?
?a 2n -1
.
2013年重庆一中高一下学期期末考试数学试卷第21题
23
设数列{b n }的前n 项和为S n ,对任意的n ∈N ,都有b n >0,且S n =b 13+b 2+
*
3
;数b n
列{a n }满足a 1=1, a n +1=(1+cos
2
b n πb π
) a n +sin 2n , n ∈N *. 22
(Ⅰ)求b 1, b 2的值及数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)求证:
a 2a 4a 6
++a 1a 3a 5
+
a 2n 19
2013年重庆市重庆一中高二4月月考理科数学试卷第21题
22
已知二次函数f (x ) =ax +bx -1,且不等式f (x )
≤22x -1对任意的实数x 恒成立,数
列{a n }满足a 1=1,a n +1=f n ∈N *) .
(1)求a , b 的值;
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)求证
a 1a 2
++a 2a 3
+
a n n 11>-(n ∈N *) . a n +1235
2013年山东省莱芜市凤城高中高三第三次质量检测数学理科试卷第21题
已知数列{a n }、{b n }满足:a 1=
b n 1
, a n +b n =1, b n +1=. 4(1-a n )(1+a n )
(1)求b 1, b 2, b 3, b 4;
(2)设c n =
1
,求证数列{c n }是等差数列,并求b n 的通项公式; b n -1
(3)设S n =a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+... +a n a n +1,不等式4aS n
围.
2013年辽宁省鞍山一中高二上学期期中考试理科数学试题第22题
已知数列{a n }满足a n +1=2+
数列{c n }满足c n =a n -3(n ∈N *) .
a -33
(n ∈N *) ,数列满足b n =n (n ∈N *) , a n a n +1
(1)若a 1=2,证明数列{b n }为等比数列;
(2)在(1)的条件下,求数列{a n }的通项公式;
57
(3)若a 1∈(, ) ,证明数列{|c n |}的前n 项和S n 满足S n <>
22
2015年广东省深圳市高三上学期第一次五校联考理科数学试卷第19题
已知数列{a n }满足a 1=
31,a n =2-(n ≥2) ,S n 是数列{b n }的前n 项和,且有2a n -1
S n n -1
=1+b n . 2n
(1)证明:数列{
1
为等差数列;(2)求数列{b n }的通项公式; a n -1
(3)设c n =
a n
,记数列{c n }的前n 项和T n ,求证:T n <1. b="">1.>
2013年广东省湛江市高一下学期期末调研考试数学试卷第20题
已知数列{a n }是首项a 1=1的等比数列,其前n 项和S n 中,S 3、S 4、S 2 成等差数列.
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 设b n =2log 1|a n |+1,求数列{b n }的前n 项和为T n ;
2
(3) 求满足(1-
11)(1-) T 2T 3
(1-
11013
的最大正整数n 的值. ) >
T n 2013
2014年广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试理科数学试题第19题
已知函数f (x ) =1+ln
x
(0
(1) 是否存在点M (a , b ) ,使得函数y =f (x ) 的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也
在函数y =f (x ) 的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;
i 122n -1(2) 定义S n =∑f () =f () +f () +???+f () ,其中n ∈N *,求S 2013;
n n n n i =1
(3) 在(2)的条件下,令S n +1=2a ,若不等式2a n ?(a n ) m >1对?n ∈N *且n ≥2恒成立,
求实数m 的取值范围.
2n -1
2015年河南省淮阳中学富洲部高二上学期9月考试数学试卷第22题
设等比数列{a n }的前n 项和S n ,首项a 1=1,公比q =f (λ) =
λ
1+λ
(λ≠-1,0) .
(1) 若数列{b n }满足b 1=
1
,b n =f (b n -1)(n ∈N *, n ≥2) ,求数列{b n }的通项公式; 2
(2) 若λ=1,记c n =a n (
1
数列{c n }的前n 项和为T n ,求证:当n ≥2时,2≤T n <4 -1)="">4>
b n
2015年山东济南外国语高三上学期期中考试理科数学试卷第20题
设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=a 2=1,b n =nS n +(n +2) a n 数列{b n }是公差为d 的等差数列n ∈N
*
(1)求d 的值;
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)求证:(a 1a 2
a n ) ?(S 1S 2
22n +1
S n )
(n +1)(n +2)
2014年广东省执信中学高二下学期期中考试理科数学试卷第18题
已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2a n -n ,n ∈N
*
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)求证:
a n -1a 1a 2n <++?+n>++?+n>< 2a="" 2a="" 3a="" n="">
2014年四川省广安市高三第三次诊断考试理科数学试卷第19题
设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -n (n -1) ,其中n ∈N . *
(1)求证:{a n }是等差数列;
(2)求证:a n ?a n +1<4s n="">4s>
(3)求证:
111+++S 1S 2S 3+15<. s="" n="">
2013年黑龙江省牡丹江一中高二下学期期末考试理科数学试卷第22题
已知:(x +1) n =a 0+a 1(x -1) +a 2(x -1) 2+a 3(x -1) 3+
+a n (x -1) n (n …2, n ∈N *)
(1)当n =5时,求a 2的值
11(2)设S n =1+++23
+n 1*,求证:
2013年四川省宜宾市高三第二次模拟考试理科数学试卷第21题 已知函数f t (x ) =
11-(t -x ) ,其中t 为正常数. 21+x (1+x )
(1)求函数f t (x ) 在(0,+∞) 上的最大值;
(Ⅱ)设数列{a n }满足:a 1=5,3a n +1=a n +2, 3
(1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)证明:对任意的x >0,1≥f 2(x )(n ∈N *); a n 3111n 2
(Ⅲ)证明:+. +???+>a 1a 2a n n +1
2013年四川省棠湖中学外语实验学校高一5月月考数学试卷第23题
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 是函数f (x ) =1x +log 2图象上任意两点,且21-x
1112n -1OM =(OA +OB ) ,已知点M 的横坐标为,且有S n =f () +f () ++f () ,22n n n *其中n ∈N 且n ≥2,
(1) 求点M 的纵坐标值;
(2)求s 2,s 3,s 4及s n ;
(3)已知a n =1*,其中n ∈N ,且T n 为数列{a n }的前n 项和,若(S n +1) S (n +1+1)
T n ≤λ(S n +1+1) 对一切n ∈N *都成立,试求λ的最小正整数值.
2013湖南省师大附中高三第6次月考理科数学试题第22题
设函数f n (x ) =x n (1-x ) 2在[,1]上的最大值为a n (n =1,2, 1
2) .
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 证明:对任何正整数n (n ≥2) ,都有a n ≤1成立; (n +2) 2
7成立. 16(3) 若数列{a n }的前n 之和为S n ,证明:对任意正整数n 都有S n
答案和解析
2013年黑龙江大庆铁人中学高二下第一次检测理科数学试卷第10题
答案:C 分析:不等式111m +++>对于大于1的一切正整数n 都成立,只需满足n +1n +22n 72
111m 111++++++的最小值大于,当n =2时取得最小值n +1n +22n n +1n +22n 72
77m >∴m <42∴m 最大为41="">42∴m>
2015年广东省深圳市高三上学期第一次五校联考理科数学试卷第7题
答案:A
分析:由a n +1-a n ≤2n 令n =1,2,3, ???,2013得:
a 1=1
a 2-a 1≤21
a 3-a 2≤22
a 2014-a 2013≤22013
将上2014个同向不等式相加得: a 2014≤1+2+2+
再由a n +2-a n ≥3?2n 令n =1,2,3,,2012得: 2+22013=22014-1 ①;
a 1=1
a 3-a 1≥3?21
a 4-a 2≥3?22
a 5-a 3≥3?21
………
a 2014-a 2012≥3?22012
将上2013个同向不等式相加得:a 2014+a 2013-a 2≥1+3?(2+22+
再注意到:a 2013≤1+2+22++22012) =3?22013-5, +22012=22013-1且a 2≤3,所以有:
a 2014≥3?22013-5-22013+1+3=22014-1 ②
由①②可知a 2014=22014-1,故选A .
2014年江苏省高三百校联合调研测试(一)数学试题第12题 答案:(, 915) 44
分析:由条件S n +S n -1=3n 2(n ≥2) 得S n +1+S n =3(n +1) 2,两式相减得a n +1+a n =6n +3,故a n +2+a n +1=6n +9,两式再相减得a n +2-a n =6,由n =2得a 1+a 2+a 1=12, a 2=12-2a ,从而a 2n =6n +6-2a ;n =3得a 1+a 2+a 3+a 1+a 2=27,a 3=3+2a ,
?a <12-2a 915?从而a="" 2n="" +1="6n" -3+2a="" ,由条件得?6n="" +6-2a="">12-2a><6n -3+2a="">6n>
2014年江苏省邗江中学(集团)高一下学期期中考试数学试题第11题
答案:7
分析:因为2a n +1+S n =3,所以n ≥2时,2a n +S n -1=3,两式相减得:2a n +1-2a n +a n =0,2a n +1=a n ,又2a 2+S 1=3, a 2=31=a 1,所以数列{a n }是首项42
31(1-) n 31=3(1-1), S =3(1-1), S 2n =1+1,a 1=,公比为的等比数列,S n =2n n 2n n 2222S 2n 1-2
所以不等式等价于
181811118S 8<1+n>1+n><,>,>
3+4=7.
2014年北京市海淀区高一下学期期中考试数学试题第14题
答案:(1) 0或1; (2)(0,) ?(, ) ?(, )
分析:(1)因为a 2, a 3是相邻两项,
1411322334
1?1?0≤a
所以a 2=0或a 2=1;
(2)有以下几种情况:
①当a 1=0时,a 2=a 3=0,舍;
②当0
当0a 1,成立; 224111,所以a 1>,此时a 3=2a 2-1=4a 1-1>a 1,所以224
11
③当a 1=
④当
当0
因为a 3=2a 2=2(2a 1-1) =4a 1-2>a 1,此时a 1> 当
因为a 3=2a 2-1=2(2a 1-1) -1=4a 1-3>a 1,可得a 1>1,不成立;
⑤当a 1=1时,a 2=a 3=1,舍;
综上可知a 1∈(0,) ?(, ) ?(, ) .
1时,a 2=a 3=0 ,舍; 21,即
2015年江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试数学试题第24题
答案:见解析
11+a a n +111分析:(1) 因为2+
当n =1时,由2+11111221<2(+)>2(+)><><><2+, a="" 2a="" 1a="" 2a="" 14a="" 14a="">2+,>
解得28
当n =2时,由2+1111<6(+)>6(+)><2+, a="" 34a="">2+,>
解得8
(2) 由a 1=1,a 2=4,a 3=9,猜想:a n =n 2
下面用数学归纳法证明.
①当n =1, 2,3时,由(1)知a n =n 2均成立.
②假设n =k (k ≥3)成立,则a k =k 2, 由条件得2+1111
k (k 2+k -1)k 3(k +1)所以2,
k +112
k +11<><1, 因为k="">1,><2k -k="" +1k="" -1所以(k="">2k>
又a k +1∈N *,所以a k +1=(k +1).
即n =k +1时,a n =n 2也成立.
由①,②知,对任意n ∈N ,a n =n 2.
*2
2014年湖北省孝感高级中学高一下学期期中考试数学试题第21题
答案:见解析
分析:(1) ∵1211n n n -1=(-1)-, ∴+(-1)=(-2)[+(-1)] a n a n -1a n a n -1
又∴11n +(-1)=3,∴数列+(-1)}是首项为3,公比为-2的等比数列. a n a n
从而11n n -1 +(-1)=3(-2), a n =n -1n a n 3?(-2)-(-1)
(2n -17)π(2) ∵sin 2(-1)=(-1), ∴b n =n -1n 3(-2)-(-1)n -1n -1=1
3?2n -1+1
n ≥3时,则
111111111T n =+++???+<++++???+1+33?2+13?22+13?2n -1+1473?223?233?2n="" -111[1-()="" n="" -2]11111111147484="+=+[1-()" n="">++++???+1+33?2+13?22+13?2n><><=>=>
44*∵T 2
2014年湖北省部分重点中学高一下学期期中考试理科数学试题第20题
答案:见解析
分析:(1) ∵a n +1=3a n 121111, ∴=+?-1=(-1) , 2a n +1a n +133a n a n +13a n
又21121是以为首项,以为公比的等比数-1=, 所以-1}33a 13a n
12123n
列.∴-1=?n -1=n , ∴a n =n a n 3333+2
3n
>0, (2) 由(1)知a n =n 3+2
112112111-(-x )=-(+1-1-x ) =-[-(1+x )] 1+x (1+x ) 23n 1+x (1+x ) 23n 1+x (1+x ) 2a n
=-11(-a n ) 2+a n ≤a n a n 1+x
3n 2=1-n (3) 先证左边不等式,由a n =n 知 3+23+2
a 1+a 2+11+a n =n -2(++511+12) ≤n -; 3n +25
当n =1时等号成立;
再证右边不等式,由(2)知,对任意x >0,有
a 1+a 2++a n ≥n 122-(+2+21+x (1+x ) 33+2-nx ) , n 322+2+取x =n +221(1-) n =n =1(1-1) , n n 3n (1-) 3
n n 2则a 1+a 2+n 2+a n ≥=> 111n +11+(1-n ) n +1-n n 33
2014年湖北省襄阳市普通高中调研高一统一测试数学试题第17题
答案:见解析
分析:(1) 由a n +1=2S n +2(n ∈ N +)
得a n =2S n -1+2(n ∈N +, n ≥2) ,
两式相减得:a n +1-a n =2a n ,
即,a n +1=3a n (n ∈N +, n ≥2) ,
∵{a n }是等比数列,所以a 2=3a 1 ; 又a 2=2a 1+2则2a 1+2=3a 1,∴a 1=2, ∴ a n =2?3n -1
(2) 由题意a n +1=a n +(n +2-1) d n ,即2?3=2?3n n -14?3n -1
+(n +1) d n ,故d n =n +1
①假设在数列{d n }中存在三项d m , d k , d p (其中m , k , p 是等差数列)成等比数列
4?3k -1
24?3m -14?3p -132k 3m +p
则(d k ) =d m d p ,即:( (*) ) =??=2k +1m +1p +1(k +1) (m +1)(p +1) 2
∵m , k , p 成等差数列,∴m +p =2k
(*)可以化为k 2=mp ,故k =m =p ,这与题设矛盾
∴在数列{d n }中不存在三项d m , d k , d p (其中m , k , p 是等差数列)成等比数列.
②令T n =则T n =
111+++d 1d 2d 3
+
1234=+++012d n 4?34?34?3
+n +1
n
4?3
+
n +1
n -1
4?3
13234+++123
4?34?34?3
两式相减得:
22111n +1T n =++++-34?304?314?324?3n -14?3n
11(1-n -1)
11n +152n +5 =+?-=-n n
244?388?31-3
152n +515-<. ∴t="" n="">
1616?3n -116
2015年江西省上饶中学高二文特班上学期第三次月考数学试题第22题
答案:见解析
分析:(1)S n =2a n -1 ①
S n -1=2a n -1-1 ②
由①-②得a n =2a n -1 由于 S 1=2a 1-1 ,a 1=1, ∴a n =2n -1,(n ∈N *)
n
(2)b n =2(loga 2+1) =2n
由题意得:T n =2?20+4?21+6?22+?2n ?2n -1③
2T n =2?21+4?22+?+(2n -2) ?2n -1+2n ?2n ④
③-④得-T n =2+2(2+2+?2
1
2
n -1
) -2n ?2n =(2-2n ) ?2n -2
∴T n =(2n -2) ?2n +2=(n -1) ?2n +1+2
(3)证明:两边平方得(
由
2+14+16+12n +1
?????) >n +1 2462n
于
2n +124n 2+4n +14n (n +1) n +1
() =>=22
2n 4n 4n n ∴(
2+++n +
?????2n
2
>????
n +
=
n +n
1
4
∴
b +1b 1+1b 2+1b 3+1
?????n > b 1b 2b 3b n
2015年江苏教育学院附属高中高三上学期期中理科数学试题第20题
答案:(Ⅰ)a n =2n -1;(Ⅱ)①λ=-1, μ=1;②详见解析 分析:(Ⅰ)a n +1=2a n +1, a n +1+1=2(a n +1) ,又a 1=1, a 1+1=2≠0,
a n +1+1
=2
a n +1
a n +1=2n , a n =2n -1,(n ∈N *)
(Ⅱ)①设a n +1=2a n -n 2+3n ,可化为a n +1+λ(n +1) 2+μ(n +1) =2(a n +λn 2+μn ) 即a n +1=2a n +λn 2+(μ-2λ) n -λ-μ
?λ=-1
?λ=-1?
故?μ-2λ=3,解得?
μ=1??-λ-μ=0
?
∴a n +1=2a n -n 2+3n 可化为a n +1-(n +1) 2+(n +1) =2(a n -n 2+n ) ,且a 1-12+1≠0
2
故存在λ=-1, μ=1,使得数列a n +λn +μn 是等比数列
{}
②a n =2∵b n =
n -1
+n 2-n , b n =
11
=, n -12
a n +n -2n
1111
<>
n 2n 2-1n -1n +1
422
n ≥2时,S n =b 1+b 2+b 3+
1111
+b n <1+(-) +(-)="">1+(-)>
35572222
+(
11
n -2
-
11n +2
)
215=1+-
3n +3
2
2013年重庆市高三九校联合诊断考试理科数学试卷第21题
答案:(Ⅰ)a 2=4,a 3=12;(Ⅱ)a n =n ?2n -1(n ≥1) ;(Ⅲ)见解析 分析:(Ⅰ)∵ S n =a n +1-2n +1+1,(n ∈N *) a 1=1,
∴S 1=a 2-22+1,a 2=4
S 2=a 3-23+1,a 3=12.
?S n =a 1(Ⅱ)由?n +1-2n ++1,(n ≥1) 得a n ?S n
n +1=2a n +2(n ≥2) , n -1=a n -2+1,(n ≥2)
检验知a 1=1,a 2=4满足a n +1=2a n n +2(n ≥2) ,
∴a n +1=2a n +2n (n ≥1) , 变形可得a n +12n =a n
2n -1
+1(n ≥1) , ∴数列{a n
2
n -1是以1为首项,1为公差的等差,
解得a n -1
n =n ?2(n ≥1) .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知a n -1
n =n ?2
(n ≥1) ,
a n +1-1(n +1) ?2n -13
代入得b n =, ==1-n n
a n +1+2(n +1) ?2+2(n +1) ?2+2
∵2n +1<(n +1)="" ?2n="">(n><22n +1,="" ∴1-="" ∴1-="" ∴n="">22n>
333
, <><>
2n +1(n +1) ?2n +222n +133
<1-,>1-,>
2n +122n +133
+3+2
22
+
333)
+
32
2n +1
) ,
1111
[1-() n ][1-() n ]
,
1-1-24
*
∴n -[1-() ]
3212
n
1214
n
∴n -
311
2014年重庆市重庆一中高一下学期期末考试数学试卷第21题
答案:(1)a 1=0;(2)(3)见解析
分析:(1)由题意,a n =na 1,又由a n =a n -1+
即n 2a 1=[(n -1) a 1]2, ∴a 1=
1212*
a (n ∈N ) a -a =a , 得n n -12n -12n -1n n
1n -1222*
[a +(n -2) a ]a =() a n ∈N ,即对一切成立,所以a 1=0; 111122n n
(2)由a n >a n -1>0得a n
两边同除以a n a n -1得
1
a a , 2n n -1n
111-<2; a="" n="" -1a="" n="">2;>
(3)
111111-=(-) +(-) +a 0a n a 0a 1a 1a 2
+(
1111
-) <1+2+2+a n="" -1a="" n="">1+2+2+a>
+
1
n 2
<>
11++1?22?3
+
1111111
=1+(-) +(-) +(-) +???
(n -1) n 233445
111
-) =2-, n -1n n
1
代入,得a n
12n -1a
将a 0=
由a n -1
n 2
a n , 所以a n -1>2
n +n -1
121n 2
a n , 所以a n =a n -1+2a n -1>a n -1+2a n -1?2
n n n +n -1
所以 从而
111111->2>2=-(n ≥2) , a n -1a n n +n -1n +n n n +1
111111-=(-) +(-) +a 1a n a 1a 2a 2a 3
+(
11
-) > a n -1a n
1111111111(-) +(-) +(-) +???+(-) =-, 233445n -1n 2n +1
又由a 0= 所以 从而a n >
13得a 1=, 24
151n +2
, <>
a n 6n +1n +1
n +1
,② n +2
由①②可得,
n +1
2014年重庆市八中高一下半期考试数学试卷第21题
答案:(1)b n =
1
;(2)见解析 2
分析:(1)由3S n =(n +2) a n ,得:3S n -1=(n +1) a n -1(n ≥2) ,
两式相加,得:3a n =(n +2) a n -(n +1) a n -1,
(n +1) a n -1=(n -1) a n ?
a n -1a a n -1a n
=n ?=, n -1n +1n (n -1) (n +1) n
即b n -1=b n ,所以{b n }是常数列. 又b 1=
a 111
=,所以b n =. 1?222
(2)由(1)得
故c n =
由c k =
a n (n +1) n (n +2)(n +1) a 1n
=,从而a n =,a n +1=,n =,
22(n +1) n 2a n +1n +2
n +2n
+. n n +2
k +2k +>2,所以c 1+c 2+k k +2+c n >2n .
又c k =
所以c 1+c 2+
k +2k 2222
+=1++1-=2+-, k k +2k k +2k k +2
111111
+c n =2n +2(-+-+-+
132435
+
11-) n n +2
=2n +3-
22-<2n +3.="" n="" +1n="">2n>
2014年重庆市八中高二下学期期中考试理科数学试卷第21题
答案:见解析
分析:(1)令n =1, 2,3可知a 2= 猜想a n =
①n =1时,显然成立;
②假设n =k 时,命题成立,即a k =
当n =k +1时,由题可知a k +1=
故n =
k +1时,命题也成立.
由(1)(2)可知,a n =
234,a 3=,a 4=, 345
n
,下用数学归纳法证明. n +1
k . k +1
11k +
1
.
==
2-a k 2-k k +2
k +1
n . n +1
==(2)
∵
2n -1
<>
2n 132n -1 a 1?a 3?a 5?????a 2n -1=??????<>
242n
∴a 1?a 3?a 5?????a 2n -1<>
于
=,可令函
数f (x ) =x x ,
则f '(x ) =1,给 2
cos x ,令
f '(x ) =
0,得cos x =
定区间(0,即x
π
) ,则有f '(x ) <0,则函数f (x="" )="" 在(0,)="" 上单调递减,∴f="" (x="" )="">0,则函数f>
44
π
π
x 在(0,) 恒成立,又
4
π<>
4
0
所以a 1?a 3?a 5?
?a 2n -1
. 2013年重庆一中高一下学期期末考试数学试卷第21题
答案:(Ⅰ)b 1=1, b 2=2,b n =n ;(Ⅱ)见解析 分析:(Ⅰ)b 1=1, b 2=2;
23
S n =b 13+b 2+3b n =(
3233
b n , S n -1=b 1+b 2+
2
b +) n
3
b n -1
,
相减得:
1
b +
2
+(b -1-2b n
+) b
1
+b +
3b n =(2b 1+2b 2+
2
+2b n -1+b n ) b n ,即b n =2b 1+2b 2+
+2b n -1+b n (n ≥2) ,
2
同理b n ++1=2b 1+2b 2
22
+2b b n ++n ,1两式再减b n +1-b n =b n +b n +1?b n +1-b n =1,
b n =n .
(Ⅱ)a 1=1, a n +1=(1+cos
2
n πn π
) a n +sin 2, n ∈N *, 22
a 2=(1+0) a 1+1=2,a 3=(1+1) a 2+0=4,a 4=(1+0) a 3+1=5,
一般地,a 2m +1=2a 2m , a 2m =a 2m -1+1,则a 2m +1=2a 2m -1+2有a 2m +1+2=2(a 2m -1+2) ,
a 2m +1+2
=2,数列{a 2m -1+2}是公比为2的等比数列,a 2m -1+2=(a 1+2)2m -1得:
a 2m -1+2
,
所以:
令
而当时,,故,
则,从而, , .
2013年重庆市重庆一中高二4月月考理科数学试卷第21题
答案:;;见解析
分析:不等式对任意的实数恒成立,当或时,
,解得:;
由知,
又,数列是以为首项,为公比的等比数列.
,从而数列的通项公式;
由知,, 又
,
综上有.
,
,
2013年山东省莱芜市凤城高中高三第三次质量检测数学理科试卷第21题
答案: ,; ; 时 恒成立 分析: ∵ ∵
∴数列是以为首项,为公差的等差数列 ∴
由条件可知恒成立即可满足条件,
设
当时,恒成立
当时,由二次函数的性质知不可能成立
当时,对称轴
,
∴时 恒成立
, 在为单调递减函数.
2013年辽宁省鞍山一中高二上学期期中考试理科数学试题第22题
答案:见解析
分析:∵
由得,
①时,∵
则当时,
,∴由已知数列是首项为,公比为的等比数列; ∴证明首先证明 成立②假设时成立 也成立,∴
∴∴,
∴∵,,综上所述:
2015年广东省深圳市高三上学期第一次五校联考理科数学试卷第19题
答案:见解析;;详见解析.
分析:证明:∵
即:
∴数列是以为首项,为公差的等差数列.
当时,
, 即:
当时, ∴
由知:
2013年广东省湛江市高一下学期期末调研考试数学试卷第20题
答案:见解析
分析: 若,则
,,,显然,,不构成等差数列,
∴.
故由,,成等差数列得:
∴ ,
∵ ,∴
∴ .
∵
∴
.
.
令 ,解得: .
故满足条件的最大正整数的值为
. .
2014年广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试理科数学试题第19题
答案: ; ;
分析: 假设存在点,使得函数的图像上任意一点关于点对称的点也在函数的图像上,
则函数图像的对称中心为.
由,得,
即对恒成立,所以解得
所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点对称的点也在函数的图像上. 由得.
令,则.
因为 ①,
所以 ②,
由①②得,所以.
所以.
由得,所以.
因为当且时,.
所以当且时,不等式恒成立.
设,则.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
因为,所以,
所以当且时,.
由,得,解得.
所以实数的取值范围是.
2015年河南省淮阳中学富洲部高二上学期9月考试数学试卷第22题
答案:见解析
分析: ,所以 所以
,
所以 是首项为,公差为的等差数列,
,即
时,
所以
所以
相减得所以
所以
又因为
, ,所以 单调递增,
. ,所以 . 所以 故当 时,
2015年山东济南外国语高三上学期期中考试理科数学试卷第20题
答案:答案见解析
分析:因为,通过检验 来说明,感觉四两拨千斤的味道.
,
因为数列是等差数列,所以所以
即①当时. .. ②.
由①-②得
所以即
则以上各式相乘得:
又因为
因为,所以
则,所以 ③.
因为时所以③式等号不成立,则
2014年广东省执信中学高二下学期期中考试理科数学试卷第18题
答案: 见解析
分析:因为 ① ,且 ②
①-②得 ,
是首项为,公比为的等比数列,
证明: .
∴.
2014年四川省广安市高三第三次诊断考试理科数学试卷第19题
答案:见解析;见解析;见解析
分析:当,时,由已知得.
两式相减得,又,所以.
即,且
所以是以为首项、为公差的等差数列.
由得,,.
所以.
由得,所以
.
.
2013年黑龙江省牡丹江一中高二下学期期末考试理科数学试卷第22题
答案:利用不等式的放缩法来得到证明
分析:根据题意,由于,那么当时, 表示的为的值,且为.
故可知
由于,令则可知,那么可知当时,可以知道不等式左边为,成立,假设当,时,,那么当时,则可知,则可知即可,那么结合假设推理论证并分析可知成立
2013年四川省宜宾市高三第二次模拟考试理科数学试卷第21题
答案:;见解析
分析:(Ⅰ)由,可得,
所以,,,
则在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以,.
(Ⅱ)由,得,又,
则数列为等比数列,且,
故为所求通项公式.
即证,对任意的,
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,即有对于任意的恒成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对于任意的都有,
于是,
对于任意的恒成立,特别地,令,即,
有,故原不等式成立.
2013年四川省棠湖中学外语实验学校高一5月月考数学试卷第23题
答案:点的纵坐标为定值;且;
分析:依题意由知为线段的中点,
又∵ 的横坐标为,,即
即点的纵坐标为定值.
由①知∵,
又∵ ,
且.
当时,
又,也适合 的最小正整数为
由恒成立
而(当且仅当取等号)
,的最小正整数为.
2013湖南省师大附中高三第6次月考理科数学试题第22题
答案:见解析
分析:由
当时,由得或
当时,,,则
当时,,则
当时,,
而当时,当时,
故函数在处取得最大值,
即:
综上:
当时,要证,即证,
而
故不等式成立.
当时结论成立;
当时,由的证明可知:
,
从而
数列与不等式
数列与不等式
周期数列
1. 在数列{a n }中,a 1=1,a 2=-3,且在数列{a n }中,a n +1=a n +a n +2,则a 2 011等于________.
解析:因为a n +1=a n +a n +2,所以a n +2=a n +1-a n ,因为a 1=1,a 2=-3,所以a 3=-3-1=-4,a 4=-4+3=-1,a 5=-1+4=3,a 6=3+1=4,a 7=4-3=1,a 8=1-4=-3. 所以数列呈周期性,所以a 2 011=a 335×6+1=a 1=1.
答案:1
2. .(2010·邵武模拟) 已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=
________.
解析:a 2=
所以a 20=a 2=-3.
答案:-3
13. 设数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=1-,记数列{a n }的前n 项之积为T r ,则T 2 014=a n
________.
1解析:由a 2a =-1,a 4=2,可知数列{a n }是周期为3的周期数列,从而T 2 014=2×(-23
1) 671=-2.
答案:-2
12a n ,0≤a n <264. 9.数列{a="" n="" }满足a="" n="" +1=若a="" 1=,则a="" 23=________.="" 712a="" n="" -1a="" n="">264.><>
61?1, 解析:因为a 1∈?7?2?
65所以a 2=2a 1-1=21=. 77
51?,1, 因为a 2=?7?2?
53所以a 3=2a 2-1=21=. 77
13360,,所以a 4=2a 3=2×因为a 3=?7?277
显然a 4=a 1,根据递推关系,逐步代入,得a 5=a 2,a 6=a 3,… 65故该数列的项呈周期性出现,其周期为3,根据上述求解结果,可得a 3k +1=,a 3k +2=,77
3a 3k +3k ∈N ) . 7
5所以a 23=a 3×7+1=a 27
5答案:703-3-3333,a 3=3,a 4=0, -3+13×0+133+1a n -3n 为正整数) ,则a 20等于3a n +1???
1. 若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n (n =1则数列{na n }中数值最小的项是,2,3, ) ,
第 项.
分析:根据数列中a n 与S n 的关系求出a n 后解决.
解析:当n =1时,a 1=S 1=-9;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-10n -(n -1) 2+10(n -1) =2n -11.可以统一为a n =2n -11,故na n =2n 2-11n ,该关于n 的二次函数的对称轴是n =11,考虑到n 为正整数,且4
对称轴离n =3较近,故数列{na n }中数值最小的项是第3项.答案3.
2. 数列{a n }的前n 项和是S n ,若数列{a n }的各项按如下规则排列:
11212312341, , , , , , , , , , , , 23344455556
若存在整数k ,使S k <10,s k="" +1≥10,则a="" k="">10,s>
分析:数列的构成规律是分母为2的一项,分母为3的两项,分母为4的三项等,故这个数列的和可以分段求解.
111+2331+2+31+2+3+4=,S 6=+=3,S 10=3+=5,,S 3=+2232245
1+2+3+4+5151+2+3+4+5+6S 16=5+==3,这样,下面的和为627
21151+2+3+4+515151555S 23=>10,+=+<+=10,而s 22="故a" k="">+=10,而s>
5案. 7解析:S 1= 3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10, S 5≤15,则a 4的最大值为
___________.
分析:根据已知的不等关系,可以建立关于a 1, d 的不等式组,通过这个不等式组探究解决的方法.
解析:∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4≥10, S 5≤15, ∴4?3?S =4a +d ≥101??42??S =5a +5?4d ≤1551??2 , 即?2a 1+3d ≥5??a 1+2d ≤3 , 5-3d 5+3d ?+3d ≥?a 4=a 1+3d ≥∴?22, ?a 4=a 1+3d =(a 1+2d )+d ≤3+d ?
5+3d ≤a 4≤3+d ,5+3d ≤6+2d , d ≤1,∴a 4≤3+d ≤3+1=4 故a 4的2
最大值为4. ∴
点评:本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的灵活运用,解题的关键是基本量思想,
?2a 1+3d ≥5即在不等式组?中,通过不等式建立起a 4的关于d 的不等关系,再通过这个不a +2d ≤3?1
等关系求出d 的范围使问题获得解决的.
4. 已知在等差数列{a n }中, a 1=120, d =-4, 若S n ≤a n (n ≥2) ,则n 的最小值为
分析:根据a n 和S n 的关系,S n ≤a n (n ≥2) ?S n -1≤0,根据求和公式列出不等式解决.
解析:根据分析S n -1=(n -1)?120-(n -1)(n -2)?4=-2n 2+126n -124≤0,即2
n 2-63n +62≥0,即(n -1)(n -62)≥0,即n ≥62.答案B .
点评:本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇,体现了在知识网络的交汇处设计试题的原则.
5. 已知等比数列{a n }中a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是
解析∴S 3∈(-∞, -1] [3, +∞)
单调性问题
1. 已知数列{a n }的通项公式是a n =-n 2+λn (其中n ∈N *)是一个单调递减数列,则常数λ的取值范围
1等比数列{an }的首项为a 1=2002,公比q =-. 2
(Ⅰ) 设f(n)表示该数列的前n 项的积,求f(n)的表达式;(Ⅱ) 当n 取何值时,f(n)有最大值.
【分析】 第(Ⅰ) 小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an }的通项,再求得f(n)的表达式;第(Ⅱ) 小题通过商值比较法确定数列的单调性,再通过比较求得最值.
n(n-1) 1n -11n 【解】 (Ⅰ)a n =2002·(,f(n)=2002·(-2 22
|f(n+1)|2002(Ⅱ) 由(Ⅰ) ,得,则 |f(n)|2|f(n+1)|2002当n≤10时,1,∴|f(11)|>|f(10)|>…>|f(1)|, |f(n)|2|f(n+1)|2002当n≥11时,|f(12)|>|f(13)|>…, |f(n)|2∵f(11)0,f(12)>0,∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者.
1200212() 662f(12)12002∵20023(30=(3>1, f(9)12220029() 362
1∴当n =12时,f(n)有最大值为f(12)=200212(66. 2
【点评】 本题解答有两个关键:(1)利用商值比较法确定数列的单调性;(2)注意比较f(12)与f(9)的大小. 整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.
:1、已知函数f (x ) =log 3(ax +b ) 的图象经过点A (2, 1) 和B (5, 2) ,记a n =3f (n ) , n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =
围; m +1a n , T =b +b + +b T <,若对一切n ∈n="" *均成立,求m="" 的范n="" 12n="" n="" n="" 2m="">,若对一切n>
数列与不等式
数列与不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分为150分,考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在数列{a n }中,a 1=14,3a n =3a n +1+2,则使a n a n +2<0成立的n 值是(="" )="" a.21="" b.22="" c.23="">0成立的n>
2.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n +2008,则满足5
2007n
3. (理)已知数列{a n }的通项公式是a n =(其中n ∈N *),那么数列{a n }的最大项是
n !
( )
A. a 2006 B. a2007 C. a2006或a 2007 D. a2008
(文)已知数列{a n }的通项公式是a n =-n 2+λn (其中n ∈N *)是一个单调递减数列,则常数λ的取值范围( ) A.(3,+∞) B. (-∞,3) C. (-∞, 3] D. [3, +∞)
4.数列{a n }的通项公式是关于x 的不等式x 2-x
n (n +1)
D.(n +1)(n +2) 2
n +2007
5.若数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =(-1)
(-1) n +2008
·a ,b n =2+,且a n
n
任意n ∈N *恒成立,则常数a 的取值范围是( )
A. (-2,1) B. ?-2, ? C. [-2, 1) D. (-2,-
??3?2?
3) 2
6.在等差数列{a n }中,a 10<0,a 11="">0且a 11>|a 10|,S n 是数列{a n }的前n 项和,则使S n >0的n 的最小值是( )
A.21 B.20 C.10 D.11 7.(理)已知首项为a 、公比为q (0<|q>|q><1)的无穷等比数列{a n="" }的各项和是s="" ,其前n="" 项和是s="" n="" ,且lim="" (s="" n="" -q="" 2s="" )="q" ,则a="" 的取值范围是(="">1)的无穷等比数列{a>
n →+∞
A. (-∞, ) B. (, +∞) C. (-∞, 0) ?(0, ) D. (-∞, 0) ? 0, ?
22
1
212
1
??
1??
(文)无穷数列1,
11111111
,,,,,,,,…的前( )项和开始大于1033355555
( )
A.99 B.100 C.101 D.102
8.已知数列{a n }的通项公式是a n =-n 2+12n -32,其前n 项和是S n ,则对任意的n >m (其中n 、m ∈N *),S n - Sm 的最大值是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
9.已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ,且a 1=2008,且存在自然数p ≥10,使得S p =a p ,则当n >p 时,S n 与a n 的大小关系是( )
A. a n ≥S n B. a n >S n C. a n ≤S n D. a n < s="" n="" 10.已知等差数列{a="" n="" }的前n="" 项和是s="" n="">
12a 8
n -n ,则使a n <>
n =( )
A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 11.已知集合M ={0,2},无穷数列{a n }满足a n ∈M ,且p =一定不属于区间( )
A. [0, 1) B. (0, 1] C. ?, ? D. , ?
3333
12.已知某企业2006年的生产利润逐月增加,为了更好地发展企业,该企业也同时在改造
建设. 其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等,且与每月增加的利润相同. 随着投入的建设资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份的生产利润相同. 则该企业在2006年的总利润M 与总投入资金N 的大小关系是
A. M >N B. M
a 100a 1a 2a 3
+2+3+ +100,则p 3333
?12?
???12?
??
第Ⅱ卷(非选择题) 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上. 13.(理)在正项等比数列{a n }中,a 2a 8=
1
,a 1+a 9的最小值是m ,且3a =m ,其中a ∈(k ,25
k +1),则整数k .
(文)在正项等比数列{a n }中,a 2a 8=25,a 1+a 9的最小值是m = . 14.(理)一张厚度为0.1 mm 的矩形纸片,每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折,则经过 次这样的折叠后其厚度开始大于100 m (假设这样的折叠是可以实现的,参考数据:lg 2=0.3010).
(文)一种机械设备的价格为200000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 .
15.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且a 2,b 2,c 2成等差数列,则sin B 的最大值是 . 16.(理)设正数数列{a n }的前n 项之和是b n ,数列{b n }前n 项之积是c n ,且b n +c n =1,则数
?1?
列??中最接近108的项是第 项. ?a n ?
(文)在等比数列{a n }中,a 1=
12,公比q =-,其前n 项之和是S n ,x =S 10(S 20+S 30) ,102
22
y =S 10,则x ,y 的大小关系是. +S 20
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
已知数列{a n }是递增等差数列,前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 2,a 4成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;
(2)令T n =
S n 2
n
,
①当n 为何正整数时,T n >T n +1?
②若对一切正整数n ,总有T n ≤m ,求m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
(理)已知数列{a n }是首项为q 、公比为q 的等比数列(其中q >0且q ≠1),设
b n =a n ?log 2a n (其中n ∈N *).
(1)当q =2时,求数列{b n }的前n 项和为S n ; (2)在(1)的条件下,求lim
S n
的值;
n →+∞na n
(3)当q =
2007
时,在数列{b n }中,是否存在最小的自然数n ,使得对任意的m >n (m 2008
∈N *),都有b m >b n ?证明你的结论.
23n *(文)数列{a n }的通项公式是a n =C 1,前n 项和n +2C n +3C n + +n C n (其中n ∈N )
为S n .
(1)化简数列{a n }的通项公式a n ; (2)求证:
111++ +<1. s="" 1s="" 2s="">1.>
19.(本小题满分12分)
医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法,通常将这种病毒细胞m 个注入一只小白鼠的体内进行试验.
在试验过程中,将病毒细胞的数量(个)与时间(h )的关系记录如下表:
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m ×10个时,小白鼠将死亡,但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果,在最初使用此药物的几天内,每次用药可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到小时,参考数据:lg 2=0.301 0)
20.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x +1,点(n +1,
a n +1
) (n ∈N *) 在y = f -1(x ) 上,且a 1=a 2=1. a n
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n =
a n a 1a 2
,若S n >m 恒成立,求常数m 的取值范围. ++ +
2! 3! (n +1)!
21.(本小题满分12分)
已知数列{a n }满足:a 1=2,a 2=3,2a n +1=3a n -a n -1(n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)求使不等式
a n -m 2
<成立的所有正整数m 、n="">成立的所有正整数m>
a n +1-m 3
22.(本小题满分12分)
已知点P 1、P 2、P 3、…、P n 、…
顺次为曲线xy =3(x >0)上的点(如图所示), 点Q 1、Q 2、Q 3、…、Q n 、…顺次为x 轴上的点,
且△OP 1Q 1、△OP 2Q 2、△Q n -1P n Q n 、…均为等边三角形. 记点Q n (c n ,0) ,P n (a n ,b n ) (其中n ∈N *). (1)求数列{c n }(n ∈N *) 的通项公式; (2)(理)求数列{a n }(n ∈N * ) 的通项公式及值;
(文)求数列{a n }(n ∈N * ) 的通项公式. (3)(理)求证:
a n
的
n →+∞c n lim
111*
(其中n ∈N ). ++ +<>
a 2a 2a 2a 3a n a n +1161616++ +<2(其中n ∈n="" *="" ).="" 444c="" 1c="" 2c="">2(其中n>
(文)求证:
参考答案
1.A 由已知得a n +1-a n =
44-2n 40-2n 2244-2n
,a n =14+(n -1)(-)=,a n a n +2=·<>
33333
(n -20)(n -22)<>
?S 1=2000, n =1
,由5
?S n -S n -1=-10+2n , n ≥2
15
3.(理)C 由题意得a n >0,
a n +12007a
,当n <2006时,n +1="">1,a n +1> an 且a 2007=a 2006;=
a n n +1a n
当n ≥2007时,
a n +1
<1,a n="">1,a>< an="" .="" 综上所述,数列{a="" n="" }的最大项是a="" 2007="a" 2006.="" a="">
n (n +1)
,选C. 2
(文)B a n +1- an = -(n +1)2 +λ(n +1)+n 2-λn =λ-2n -1<><2n +1,其中n="" ∈n="">2n><3. 4.c="" 由x="" 2-x="">3.>
11
,a <1;当n 是偶数时,由a="" n="">1;当n><2+,-a ≤n="">2+,-a>
2,a ≥-2,因此常数a 的取值范围是[-2, 1).
6.B 设数列{a n }的公差是d ,由已知得a 11>-a 10,a 11+a 10>0,2a 1+19d >0,2a 1>-19d . 令S n =na 1+
2a +n (n -1) d n (n -1)
d =n ·1>0即2a 1+(n -1) d >0,而2a 1+(n -1) d >-19d +(n -1) d 22
=(n -20) d ,需(n -20) d ≥0,又d >0,因此n ≥20,选B. 7.(理)由题意得S =
a a
(1-q 2) S =(1-q 2) ·=a (1+q )=q , 1-q 1-q
a =
11q
=1-,又0<|q>|q><><1+q>1+q><2且1+q ≠1,a="">2且1+q><且a>且a>
21+q 1+q
(文)C 由题意得该数列有1+3+…+(2n -1)=n 2项的和是n ,因此其前101项和开始大于
10,选C.
8.B 由a n =-n 2+12n -32=-n (n -4)(n -8)>0得4
(p -1)(a 1+a p -1) =0
2
,a 1+p -1=0.
又a 1=2008>0,因此a p -1<0,数列{a n="" }的公差小于零.="" 当n="">p 时,S n -1=a 1+a 2+…+a n -1< s="" p="" -1+a="" n="a" n="" ,即a="" n="">S n .
10.B 设数列{a n }的公差是d ,则S n =na 1+
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 222
a a +7d a 1d 1d
=-n 2-8n ,=-且a 1-=-8=-1,d =-1且a 1=2,
2222222
a n =2-(n -1)=3-n <-2006,n>2009,因此使a n <-2006成立的最小正整数n =2010,选b.="" 11.c="" 由题意得当a="" 1="0时,0≤p">-2006成立的最小正整数n>
a 100a 2a 3222
++ +++ +≤
3100323331003233
=
111
-100<>
333
当a 1=2时,
2222122+2+3+ +100≥p ≥,即1>1-100≥p ≥.
3333333
因此结合各选项知选C.
12.A 设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为a ,每月增加投入的百分率为r ,则各月的利润依次组成一个数列{a n },其中a n =na (1≤n ≤12,n ∈N *) ,各月的建设资金依次组成一个数列{b n },其中b n =a (1+r ) n -1(1≤n ≤12,n ∈N *) ,由于a 1=b 1,a 12=b 12,结合函数y =ax 与y =a (z1+r ) x -1的图象可知a 2>b 2,a 3>b 3,…,a 11>b 11,因此M >N . 13.(理)-1 由题意得a 1+a 9≥2a 1a 9=
22
=m ,3-1<3a>3a><>
(文)10 由题意得a 1+a 9>2a 1a 9=10=m .
14.(理)20 由题意得,经过n 次这样的折叠后其厚度是0.1×2n mm ,令0.1×2n >100×103=105得,2n >106,n >m.
66
=,因此经过20次这样的折叠后其厚度开始大于100 lg 20. 3010
1000n (n +1)
(文)20 当此设备使用了n 年时,此设备的平均费用是 n
=500(
等号.
400400400
+n +1) ≥500·(2=n ,即n =20时取得?n +1) =20500,当且仅当n n n
a 2+c 2
a +c -
a 2+c 2-b 2a 2+c 2222==15. 由已知得2b =a +c ,cos B =≥
2ac 2ac 4ac 2
2
2
2ac 1=,因此sin B =-cos 2B ≤. 4ac 22
16.(理)10 依题意得b n =
c n c 11
(n ≥2) ,又b n +c n =1,则n +c n =1,=1,由-
c n c n -1c n -1c n -1
b 1=c 1,b 1+c 1=1得b 1=c 1=
1n 111
,则c n =,b n =,所以a n =b n -b n -1==n (n +1),, 2n +1n +1n (n +1) a n
?1?
因此数列??中最接近108的项是第10项.
?a n ?
22
(文)x =y 由等比数列的性质知(S 20-S 10) 2=S 10(S 30-S 20) ,即S 10+S 20-2S 20S 10=S 10S 30- 22S 10S 20,也即S 10=S 10(S 20+S 30) ,则x =y . +S 20
217.(1)设公差为d (d >0),则有a 2=a 1a 4,(2+d ) 2=2(2+3d ) ,由此解得d =0(舍去)或d =2,
因此a n =2+2(n -1)=2n ; (2)由(1)得S n = ①T n =
n (2+2n )
n (n +1), 2
S n 2n
=
n (n +1) (n +1)(n +2) *
>T =,即n >2(n ∈N ) ; n +1n n +1
22
S 133
=1,T 2=T 3=,又∵n >2时,T n >T n +1,∴各项中数值最大值为,∵对一切222
3
正整数n ,总有T n ≤m 恒成立,因此m ≥.
2
②∵T 1=
命题动向 近年来的全国各地的高考试题中,有关等差、等比数列的定义、通项公式以及前n 项和公式的基本考查常有出现,这就要求考生对于这方面的知识比较熟悉,做到灵活地使用,同时注意与其他知识间的联系. 18.(理)(1)当q =2时,a n =2n ,b n =2n ·log 22n =n ·2n ,S n =1·21+2·22+…+n ·2n ①, 2S n =1·22+2·23+…+(n -1) ·2n +n ·2n +1 ②,
2-2n +1
由①-②得,-S n =2+2+…+2-n ·2=-n ·2n +1=2n +1- n·2n +1+2,
1-2
1
2
n
n +1
S n =n ?2n +1-2n +1+2;
S n n ?2n +1-2n +1+222
(2)由(1)得lim =lim =lim (2-+) =2; n n n →+∞na n →+∞n →+∞n n ?2n ?2n
(3)当q =
2007
时,存在最小的自然数n =2008,使得对任意的m >n (m ∈N *),都有b m >b n . 2008
n
n
证明如下:
20072007?2007??2007?
当q =且n ≥2008时,a n = ,b n +1-b n ?,b n =n · ?log 2
2008200820082008????
?2007?=(n +1) ?
?2008?
n +1
20072007?2007?n ??2007?2007?log 2-n · = -?· ?log 2?·
20082008?20082008??2008??2008?
n
n n
200720072007n ?2007?
log 2>0,由于1> <><0,因此b n="" +1-b="" n="">0,即?>0,log 2
2008200820082008?2008?
b n +1>b n ,数列{b n }从第2008项开始各项随着n 的增大而增大, 故存在最小的自然数n =2008,使得对任意的m >n (m ∈N *),都有b m >b n .
23n (文)(1)由a n =C 1n +2C n +3C n + +n C n ①, n -1n -21a n =n C n +(n -1) C +(n -2) C + +C n n n n ,即
12n -1a n =n C 0n +(n -1) C n +(n -2) C n + +C n ②, 1n n 由①+②得2a n =n (C 0n +C n + +C n ) =n ·2,
则a n =n ·2n -1;
(2)由a n =n ·2n -1得S n =1·20+2·21+3·22+…+n ·2n -1 ③, 2S n =1·21+2·22+3·23+…+(n -1)2n -1+n ·2n ④,
1-2n
由③-④得-S n =1+2+2+…+2-n ·2=-n ·2n ,S n =(n -1) ·2n +1,
1-2
1
2
n -1
n
111
, =
S n (n -1) ?2n +12n
11-n +1
1111111=+ +<+2+ +n="2=1-n">+2+><>
1S 1S 2S n 22221-2
因此
111=+ +<1. s="" 1s="" 2s="">1.>
规律总结 有关数列前n 项和的求解问题,具体问题应当进行具体分析. 当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成,则此时可采用错位相减法. 把其前n 项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相减,从而求解. 当一个数列{a n }满足:a 1+a n =a 2+a n -1=…时,可考虑采用倒序相加法来求其前n 项和.
19. (1)设第一次最迟在第n (h )时注射药物 由病毒细胞的生长规律可知,第n (h )时病毒细胞的数量是2n -1·m 个.
因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡,应有2n -1·m ≤m ×106,即2n -1≤106,(n -1)lg2≤6,n ≤1+
6
≈20.9,∴第一次最迟应在第20(h )时注射该种药物; lg 2
10
220
m 个. (2)第20(h )时的小白鼠体内的病毒细胞数是2·m (1-98%)=100
220
设第一次注射药物后的第t 小时必须注射药物,则m ·2t ≤m ×106,即2t +20≤108,
100
(t +20)lg2≤8,t ≤
8
-20≈6.57,因此第二次注射药物的时间最迟应在自开始注射该种药lg 2
物后的第6(h ),才能维持白鼠的生命.
规律总结 解决实际应用问题的一般步骤:
(1)读题:反复读题,领悟题目的数学本质,弄清题中出现的每个量及其数学含义; (2)建模:恰当地设出关键量,根据题意进行数学化设计,建立目标函数(函数模型); (3)求解:用相关的函数知识进行数学上的计算;
(4)反馈:把计算获得的结果返回到实际问题中,写出答案. 20.(1)f (x )=x +1的反函数是f -1(x )=x -1, ∵点(n +1,
a n +1a n
) (n ∈N *)在反函数图象上,∴
a n +1a n
=n ,
而a 1=1,∴
a a a 2
·3…n =1·2·3…(n -1) ,∴a n =(n -1) !; a 1a 2a n -1
(2)
a n (n -1)! 111===-,
(n +1)! (n +1)! n (n +1)! n (n +1) 12
12
13
1n
11) =1-, n +1n +111
又S n 随n 的增大而增大,∴S n ≥S 1=,由S n >m 得,m <,即常数m>,即常数m>
22
1(-∞,).
2
∴S n =(1-) +(-) + +(-
思路点拨 本题考查了数列的通项公式的求法. 当已知数列{a n }的递推公式是
a n +1a n
= f (n ) 的形式时,通常采用累乘的方法求解.
21.(1)2a n +1=3a n -a n -1(n ≥2) ,得2(a n +1-a n )=a n -a n -1(n ≥2) , ∴
a n +1-a n a n -a n -1
1
2
=
11
(n ≥2) ,因此数列{a n -a n -1}是以a 2-a 1=1,为首项,为公比的等比数列,
22
,
∴a n -a n -1=()
n -2
当n ≥2时,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1
1
1-() n -1
41n -21n -314 =() +() + ++1+a 1=+2=4-n ,又a 1=2=4-1,
1222221-2
因此a n =4-
4. n 2
4-m n a n -m 22 (2)由不等式<,>,><>
43a n +1-m 3
4-n +1-m 2
4-
(4-m ) ?2n -42 ∴-<0,>0,>
(4-m ) ?2-23
(4-m ) ?2n -8
<0,>0,>
n
3[(4-m ) 2-2]
所以2<(4-m )="" ·2n="">(4-m><8,∵2n 为正偶数,4-m="">8,∵2n>
?2n =4?2n =6?2n =2?2n =2
∴(4-m ) ·2=4,或(4-m ) ·2=6,∴?,或?,或?,或?.
?4-m =1?4-m =1?4-m =2?4-m =3
n
n
?n =1, ?n =2, ?n =1, ?n =log 26,
解得?,或?或?或?
m =3. m =1, m =2, m =3, ????
经检验使不等式
a n -m 2
<成立的所有正整数m 、n="" 的值为(m="" ,n="" )="">成立的所有正整数m>
a n +1-m 3
(2,1) 或(3,2).
方法探究 求递推公式形如a n +2=pa n +qa n +1(其中p ,q 是常数)的数列的通项公式. 已知数列{a n }满足:a 1=a ,a 2=b ,且a n +2=pa n +qa n +1(其中p ,q 是常数),求a n . 一般地,设a n +2-x 1a n +1=x 2(a n +1-x 1a n ) ,即a n +2=(x 1+x 2) a n +1-x 1x 2a n ,又 a n +2=pa n +qa n +1,所以有?
?x 1+x 2=q
,由此可知,x 1、x 2是二次方程x 2=qx +p 的两根.
?x 1x 2=-p
当x 1≠x 2时,则由对称性得a n +2-x 2a n +1=x 1(a n +1-x 2a n ) ,由此求得数列{a n +1-x 1a n }与{a n +1-x 2a n }的通项公式,从而得出a n ;
当x 1=x 2时,则有a n +2-x 1a n +1=x 1(a n +1-x 1a n ) ,求得数列{a n +1-x 1a n }的通项公式,进而得到a n . 22.(1)由题意得直线OP 1的方程是y =x ,由?
??y =3x
解得x =1,则c 1=2.
??xy =3(x >0)
?32
(x >0c n +4c n ?y =
又直线Q n P n +1的方程是y =(x -c n ) ,由?解得x =(其中+x
22?y =3(x -c )
n ?
22
c n +4c n +4c n c n
x =舍去),即点P n +1的横坐标是,又△Q n P n +1Q n +1是等边三-+2222
2c n +4c n 2222
角形,因此c n +1=c n +2(-c n )=c n +4,即c n +1=c n +4,则c n ++1-c n =4,
22
22
c n =c 1+4(n -1) =4n , 又c n >0,因此c n =2n .
(2)(理)由已知得△Q n P n +1Q n +1是等边三角形,所以当n ≥2时,a n -c n -1=a n =
1
(c n -c n -1) , 2
1
(c n +c n -1)=n +n -1. 又a 1=1=+-1,所以数列{a n }的通项公式是 2
a n =n +n -1,lim
a n n +n -1
=lim =lim
n →+∞n →+∞c n →+∞2n n
-2
1
n =1.
1
(c n -c n -1) , 2
(文)由已知得△Q n P n +1Q n +1是等边三角形,所以当n ≥2时,a n -c n -1=a n =
1
(c n +c n -1)=n +n -1. 又a 1=1=+-1,所以数列{a n }的通项公式是 2
a n =n +n -1.
(3)(理)由(2)得a n =n +n -1,a n a n +1=(n +n -1) ·(n +1+n )>n n =n ,当n ≥2时,有
11111111
,即, <><>
(n -1) n n -1n n -1n a n a n +1n a n a n +1
1111111111
++ +<+(-) +(-)="" +(-)="" +…="">+(-)>
121223a 1a 2a 2a 3a n a n +11(2+1)
+(
1111
-) =3-22+1-=4-22-<4-22, n="" -1n="" n="">4-22,>
当n =1时,
11
==3-22<4-22.>4-22.>
a 1a 212(2+1) 2
111*
4-22(其中n ∈N ). ++ +<>
a 1a 2a 2a 3a n a n +1
111161161
=-==,且当n ≥2时,<,>,>
c n n 2c n n 2(n -1) n n -1n
综上所述,
(文)由(1)得
1161616111111
-++ +<1+(-) +(-)="" +="" +(-)="">1+(-)><2,>2,>
n 1223n -1n c 1c 2c n
当n =1时,
16
=1<2. 4c="">2.>
综上所述,
161616*
(其中n ∈N ). ++ +<>
c 1c 2c n
规律总结 有关数列背景下的不等式的证明问题,在处理过程中常常会涉及放缩法的使
用,这就要求考生对于放缩法的使用技巧有一定的积累,否则难以完成. 常见的数列问题中的放缩方式有:(1)
111
<-(n ≥2);="" n="" 2n="">-(n>
(2)
111
;
2n +1n +1+n 2n
212
<=2(n -n="" -1)="">=2(n>
n +1+n n n -1+n
(3)2(n +1-n )=
(4)当1≤k ≤n 时,k (k -1) ≤n (k -1) ,即k (n -k +1)≥n ; (5)
1111
>=-. 2
(n +1)(n +2) n +1n +2(n +1)
0,因此b>-2006,n>0,数列{a>2006时,n>0,a>0,因此b-b>-2006,n>0,数列{a}的公差小于零.>2006时,>0,a>