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常用截面惯性矩计算公式83689人阅读限时!免财富值下载
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抗弯截面系数和惯性矩计算公式
梁的强度条件
1. 纯弯曲梁的最大弯曲正应力:
(1) 等截面直梁,中性轴为横截面对称轴
Wz —— 抗弯截面系数
(2) 中性轴不是横截面对称轴,且材料拉压强度不相等
(3) 利用正应力的强度条件可以对梁进行三种不同形式的强度计算:
(a) 校核强度
(b) 选择截面尺寸或型钢号
(c) 确定许可荷载
2. 横力弯曲的梁
注意:
(1) 一般的梁,其强度主要受到按正应力的强度条件控制,所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时,都先按正应力强度条件进行计算,然后按切应力强度条件校核。
(2) 在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力;在剪力为最大的横截面的中性轴上各点处有最大切应力。
轴惯性矩及抗弯截面系数
(1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数
(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数
(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数
(4) 空心圆截面的惯性矩
惯性矩、截面系数、弯矩图计算公式汇总
附录1 截面图形的几何性质
提要:不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题加以处理。平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关,下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
附1.1 截面的静矩与形心
任意平面几何图形如图1.1所示。在其上取面积微元dA,该微元在yOz坐标系中的
SSy=∫zdA,Sz=∫ydA坐标为z、y。设静矩为 ,则有:
A
A
图1.1 静矩的概念
(附1.1)
静矩的量纲为长度的3次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。则
A?zC=∫z?dA=Sy
A
由此可得薄板重心的坐标zC为
zC=
∫
A
zdAA
=
SyA
同理有
yC=
Sz
A
·260· 材料力学
所以形心坐标
或
zC=
SyA
,yC=
Sz
A
(附1.2)
Sy=AzC,Sz=AyC
由式(附1-2)得知,若某坐标轴通过形心轴,则图形对该轴的静矩等于零,即yC=0,
Sz=0;zC=0,则Sy=0;反之,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关,其值可能为正,负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成,称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为Ai,形心坐标为 yCi,zCi ,则其静矩和形心坐标分别为
Sz=∑AiyCi,Sy=∑AizCi
i=1
i=1
nn
iCi
(附1.3)
SyC=z=
A
∑Ay
ii=1
n
Ci
∑A
i=1
n
,zC=
SyA
=
∑Az
i=1n
n
(附1.4)
i
∑A
i=1
i
【例附1.1】 求图1.2所示半圆形的Sy,Sz及形心位置。
解:由对称性,yC=0,Sz=0。现取平行于y轴的狭长条作为微面积dA
dA=2ydz=z
所以
Sy=
∫zdA=∫z?z=
A
R
23
R 3
图1.2 例1.1
4R
A3π
【例附1.2】 确定形心位置,如图1.3所示。
zC=
Sy
=
图1.3 例1.2
解:将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成,在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为
矩形Ⅰ:
A1=120×10=1200mm2
·260 ·
附录1 截面图形的几何性质 ·261·
yC1=
10120=5mm,zC1==60 mm 22
矩形Ⅱ:
A2=70×10=700mm2
7010
yC2=10+=45mm,zC1==5 mm
22yC=
A1yC1+A2yC2A1+A2
整个图形形心C的坐标为
1200×5+700×45
1200+700=19.7mmAz+A2zC2
zC=1C1
A1+A2
=
1200×60+700×5
1200+700=39.7mm
=
附1.2 惯性矩与惯性积、极惯性矩
次矩,如图附(1) 惯性矩定义为平面图形内各点对某坐标轴的平方的矩
1.4所示。
图1.4 惯性矩、惯性积、极惯性矩的概念
Iy=∫z2dA,Iz=∫y2dA
A
A
(附1.5)
惯性矩的量纲为长度的4次方,恒为正。
组合图形的惯性矩。设Iyi,Izi为分图形的惯性矩,则总图形对同一轴惯性矩为
Iy=∑Iyi,Iz=∑Izi
i=1
i=1
nn
(附1.6)
(2) 惯性积的定义为:
Iyz=∫yzdA
A
(附1.7)
惯性积的量纲为长度的4次方。Iyz可能为正,为负或为零。若y,z轴中有一根轴为对称轴,则其惯性积为零。
·261·
·262· 材料力学
(3) 若以ρ表示微面积dA到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩 为: (附1.8) I=ρ2dA
p
∫
A
因为
ρ2=y2+z2
Ip=∫(y2+z2)dA=Iy+Iz
A
所以极惯性矩与(轴)惯性矩有如下关系
(附1.9)
式(附1.9)表明,图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩。
(4) 定义下式
iy=
,iz=
(附1.10)
为图形对y轴和对z轴的惯性半径。
【例附1.3】 试计算图1.5(a)所示矩形截面对其对称轴(形心轴)x和y的惯性矩。
(a) (b)
图1.5 例1.3
解:先计算截面对x轴的惯性矩Ix。取平行于x轴的狭长条(图(a)作为面积元素,即dA=bdy),根据公式(附1.5)的第二式可得
Ix=∫ydA=∫
A
2
hh?2
bh3
bydy=12
2
同理在计算对y惯性矩Iy时可以取dA=hdx(图(a))。根据公式(附1.6)的第一式,可得
b3h
Iy=∫xdA=∫hhxdx=
A?122
2
h
2
bh3
(图(b))则它对于形心的惯性矩同样为Ix= 。h若截面是高为 的平行四边形
12
【例附1.4】 求如图1.6所示圆形截面的 Iy,Iz,Iyz,Ip。
·262 ·
附录1 截面图形的几何性质
图1.6 例1.4
解:如图所示取dA,根据定义,
D
I2
y=∫z2
dA=2z=πD4
A
∫
?Dz?2
64
由于轴对称性,则有
IIπD4
y=z=64
Iyz=0
(附1.9) IπD4
由公式p=Iy+Iz=32
对于空心圆截面,外径为D,内径为d,则
IπD4
y=Iz=64
(1?α4) α=d
D
IπD4
p=32
(1?α4)
1.5】 求图1.7所示三角形图形的Iy及Iyz。
图1.7 例1.5
·263·
·263
·
【例附
·264· 材料力学
解:取平行于y轴的狭长矩形,由于dA=y?dz,其中宽度y随z变化,y=则
b3bh3zdz= h4
b
z h
A
Iy=∫zdA=∫
A
2
h
由Iyz=∫yzdA,如图所示,可得
Iyz=∫
h
yb2h2zydz= 28
【例附1.6】 组合图形如下所示,试确定其形心。
20mm100mm
图1.8 例1.6
解:取对称轴。形心位置与所选坐标系无关。
组合板块1:
A1=b1h1=100×20mm
h
yC1=1+h2=10+100=110mm
2
组合板块2:
A2=b2h2=20×100mm
h100
yC2=2==50mm
22
组合截面的形心为
AiyCi=A1yC1+A2yC2=80mm
yC=
A1+A2Ai即形心位置为:
yC=80mm,zC=0
附1.3 平行移轴公式
附1.3.1 平行移轴公式
由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同,如果其中一对轴是图形的形心轴(yC,zC)时,如图1.9所示,可得到如下平行移轴公式
·264 ·
附录1 截面图形的几何性质 ·265·
图1.9 平行移轴公式
?Iy=IyC+a2A??2
?Iz=IzC+bA ???Iyz=IyCzC+abA
(附1.11)
简单证明之:
A
Iy=∫z2dA=∫(zC+a)dA=∫zC2dA+2a∫zCdA+a2∫dA
A
A
A
A
A
2
其中∫zCdA为图形对形心轴yC的静矩,其值应等于零,则得
Iy=IyC+a2A
同理可证(附1.11)中的其他两式。
此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中,式(附1.11) 表明:
(1) 图形对任意轴的惯性矩,等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩,加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
(2) 图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积,等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积,加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。
(3) 因为面积及a2、b2项恒为正,故自形心轴移至与之平行的任意轴,惯性矩总是增加的。
a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标,故二者同号时为正,异号时为负。所以,移轴后惯性积有可能增加也可能减少。
结论:同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,对形心轴的最小。在使用惯性积移
轴公式时应注意a,b的正负号。 【例附1.7】 试求图示r=1m的半圆形截面对于轴x的惯性矩,其中轴x与半圆形的底边平行,相距1 m。
·265
·
·266· 材料力学
图1.10 例1.7
πd4πr4
解:半圆形截面对其底边的惯性矩是 =
1288
用平行轴定理得截面对形心轴x0的惯性矩
πr4πr2?4r?πr48r4
Ixo=?? ??=
82?3π?89π
2
再用平行轴定理,得截面对x轴的惯性矩
4
πr24r2πr8r4πr24r38r4
Ix=Ixo+(1+)=?+++
23π89π239π附1.3.2 组合截面的惯性矩和惯性积
工程计算中应用最广泛的是组合图形的惯性矩与惯性积,即求图形对于通过其形心的
轴的惯性矩与惯性积。为此必须首先确定图形的形心以及形心轴的位置。
因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成,所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中,均不采用积分,而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。
将组合图形分解为若干简单图形,并应用式(附1.5)确定组合图形的形心位置。以形心为坐标原点,设xOy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩,利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积,相加(空洞时则减)后便得到整个图形的 Ix、Iy和 Ixy。
【例附1.8】 确定下列图形的形心位置,并计算平面图形对形心轴yC的惯性矩。
c1
ycc2
y
图1.11
·266 ·
附录1 截面图形的几何性质 ·267·
解:(1) 查型钢表得 槽钢No14b A1=21.316cm2 IyC1=61.1cm4 zo1=1.67cm 工字钢No20b
A2=39.578cm2 IyC2=2 500cm4 h=20cm
(2) 计算形心位置。
由组合图形的对称性(对称轴是zC轴)知:
yC=0 zC=
A1?zc1+A2?zc221.316×(1.67+20)+39.578×10
=
21.316+39.578A1+A2
=14.09cm
(3) 用平行移轴公式计算各个图形对yC轴的惯性矩
I1)yC=IyC1+CC1A1=61.1+(1.67+20?14.09)2×21.316
=1 285.8cm
4
I2)yC=IyC2+COA2=2 500+(14.09?10)2×39.578
4
2
=3 162.1cm
(4) 求组合图形对yC轴的惯性矩。
IyC=I1)yC+I2)yC=4 447.9cm4
zC=
A1?zC1+A2?zC221.316×(1.67+20)+39.578×10
=
21.316+39.578A1+A2
=14.09cm
【例附1.9】 计算下列图形对y、z轴的惯性积。
y
图1.12
解:将图形分成1、2两部分
Iyz=
A1+A2
∫∫yzdA=∫∫yz(dydz)+∫∫yz(dydz)=∫ydy∫zdz+∫ydy∫zdz
A1
A2
10
40101040
=40 000+37 500=77 500mm4
·267·
·268· 材料力学
附1.4 转 轴 公 式
任意平面图形(图1.13)对y轴和z轴的惯性矩和惯性积,可由式(附1.5)~式(附1.9)求得,若将坐标轴y,z绕坐标原点O点旋转α角,且以逆时针转角为正,则新旧坐标轴之间应有如下关系
图1.13 转轴公式
y1=ycosα+zsinα y1=ycosα+zsinα
将此关系代入惯性矩及惯性积的定义式,则可得相应量的新、旧转换关系,即转轴公式
Iy1=∫z12dA=
A
Iy+Iz2Iy?Iz
?
Iy?Iz
2
cos2α?Iyzsin2α
(附1.12)
cos2α+Iyzsin2α ? (附1.13)
22Iy?Iz
sin2α+Iyzcos2α Iy1z1= (附1.14) 2
以上三式就是惯性矩和惯性积的转轴公式,它们在下面计算截面的主惯性矩时将要用到。
Iz1=
Iy+Iz
附1.5 截面的主惯性矩和主惯性轴
从式(附1.14)可以看出,对于确定的点(坐标原点),当坐标轴旋转时,随着角度α的改变,惯性积也发生变化,并且根据惯性积可能为正,也可能为负的特点,总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴,图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。
为确定α0,令式(附1.14)中的Iy1z1为零,若令α0是惯性矩为极值时的方位角,则由条件dIy1α=0,可得
·268 ·
附录1 截面图形的几何性质 ·269·
tan2α0=?
2IyzIy?Iz
(附1.15)
π
以确定一对主惯性轴y0和z0。由式(附1.15)求出sin2α0,2
cos2α0后代回式(附1.12)与(附1.13)即可得到惯性矩得两个极值,称主惯性轴。
由式(附1.15)可以求出α0和α0+
定义:过一点存在这样一对坐标轴,图形对于其惯性积等于零,这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩,简称主惯性矩。显然,主惯性矩具有极大或极小的特征。
根据式(附1.12)和式(附1.13),即可得到主惯性矩的计算式
Iy0= (附1.16)
Iy0= (附1.17) 需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴,而通过形心的主轴称为形心主轴,图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。当图形有一个对称轴时,对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。
图1.14 对称轴
图1.5所示具有一个对称轴的图形,位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性
积与位于另一侧的图形的惯性积,二者数值相等,但反号。所以,整个图形对于x、y轴的惯性积Ixy=0,故图1.5对称轴为主轴x、y;又因为C为形心,故x、y为形心主轴。应用式(附1.12)和式(附1.13)确定形心主轴的位置,即形心主轴与x轴的夹角α0。利用转轴定
理或直接应用式(附1.16)和式((附1.17)计算形心主惯性矩Ix0和Iy0。
由式(附1.14)尚可证明
Iy1+I
z1
=Iy+Iz
(附1.18)
即通过同一坐标原点的任意一对直角坐标轴的惯性矩之和为一常量,因而两个主惯性矩中必然一个为极大值,另一个为极小值。
若主惯性轴通过形心,则称形心主惯性轴,相互主惯性矩称形心主惯性矩。 【例附1.10】 确定图形的形心主惯性轴位置,并计算形心主惯性矩。
(1) 首先确定图形的形心。解:利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积矩形
·269·
·270· 材料力学
图1.15 例1.10
矩形Ⅰ:
1
×0.0593×0.011+0.074 52×0.011×0.059=360.9cm4 121
IzΙ=IzC1Ι+b12A1=×0.059×0.0113+(?0.035)2×0.011×0.059=98.2cm4
12
IyzΙ=IyC1zC1Ι+a1b1A1=0+(?0.035)×0.074 5×0.011×0.059=?169cm4 IyΙ=IyC1Ι+a12A1= IyII=IyC1II= IzII=IzC1II IyzII=0
1
×0.011×0.163=3 769cm4 121
=×0.16×0.0113=1.78cm4 12
矩形 Ⅱ:
矩形 Ⅲ:
I
=360.9cm4 IyIII=Iy
Iz Iyz
III
=IzI=98.2cm4
I=Iyz=?169cm4 (Y,a,b与分图附1.10均反号)
III
整个图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为 097.3cm4 Iy=IyΙ+IyΙΙ+IyΙΙΙ=1
Iz=IzΙ+IzΙΙ+IzΙΙΙ=198cm4 Iyz=IyzΙ+IyzII+IyzIII=?338.4cm4
(2) 将求得的 Iy,Iz,Iyz代入式(Ⅰ-16)得
tan2α0=
?2IzyIy?Iz
=
?2×(?338)
=0.752
1 097.3?198
则
α0=18.5D或108.5D
·270 ·
附录1 截面图形的几何性质 ·271·
α0的两个值分别确定了形心主惯性轴y0和z0的位置,则
1 097.3+1981 097.3?198
+cos37D?(?338)sin37D=1210cm4
22
1 097.3+1981 097.3?198
cos217D?(?338)sin217D=85cm4 + Iz0=
22
【例附1.11】 试确定图示平面图形的形心主惯性轴的位置,并求形心主惯性矩。
Iy0=
图1.16 例1.11
解:(1) 计算形心位置:组合图形由外面矩形1减去里面矩形2; 由组合图形的对称性(对称轴是zc轴)知:yc=0;
A?z?A2?zc2120×180×90?60×140×70
zc=1c1==102.7mm
120×180?60×140A1?A2
(2) 计算平面图形对zc轴和yc轴的惯性矩。
11
Izc=×180×1203?×140×603
1212
64
=23.4×10mm1
Iyc=[×120×1803+(102.7?90)2×120×180]?
121
[×60×1403+(102.7?70)2×60×140]12
=39.1×106mm4
(3) 由于zc轴是对称轴,所以yc轴和zc轴是形心主惯性轴,形心主惯性矩即为
Iyc0=Iyc=39.1×106mm4Izc0=Izc=23.4×106mm4
·271·
各种截面的抗弯、抗扭截面系数计算公式大全
截面形状
抗弯截面系数WM
抗扭截面系数WT
π?d3
WM=≈0.1d3
32π?d3
WT=≈0.2d3
16
π?d3
WM=(1?β4)≈0.1d3(1?β4)
32
β=
d1d
π?d3
WT=(1?β4)≈0.2d3(1?β4)
16
β=
d1d
π?d3b?t?(d?t)2
WM=?
322?dπ?d3b?t?(d?t)2
WT=?
162?d
π?d3b?t?(d?t)2
?WM=32dπ?d3b?t?(d?t)2
?WT=16d
dπ?d3
WM=(1?1.541)
32ddπ?d3
WT=(1?1.541)
16d
π?d4+(D?d)?(D+d)2?z?bWM=
32?D
π?d4+(D?d)?(D+d)2?z?bWT=
16?D
z—花键齿数
z—花键齿数
π?d3
WM=≈0.1d3
32π?d3
WT=≈0.2d3
16
d—齿轮分度圆直径d—齿轮分度圆直径
WM=
b?h6
2
W
T=α?b?h3
h
α—与有关的系数,见附图
b
注:①弯曲应力计算公式:σ=T—扭矩。M—弯矩,弯矩,T
M
WM
,剪切应力计算公式:τ=
T
WT
。
,花键轴截面可视,单双键槽一般可忽略单双键槽一般可忽略,近似计算时,②近似计算时
为直径等于平均直径的圆截面。
、槽钢、工字钢、矩形管的抗弯、抗扭截面系数③角钢角钢、槽钢、工字钢、矩形管的抗弯、可从《机械设计手册》中查得。
④附图:
附录
3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
w=沿y方向的挠度
wB=w(l)=梁右端处的挠度 θB=w′(l)=梁右端处的转角 w=沿y的方向挠度
l
wc=w()=梁的中点挠度
2
θa=w′(0)=梁左端处的转角
θa=w′(l)=梁右端处的转角
·286·
材料力学
·286 ·
附录3 简单荷载作用下梁的挠度和转角 ·287·
·287·
槽条截面惯性矩的计算公式
对于一个典型槽条(1/2面板+腹板+1/2面板),其截面惯性矩的计算公式如下:
对于下图1,角度α>0;对于图2,角度α<0。>0。>
图1 图2
截面惯性矩计算步骤如下:
(1)
A,bt111
A,bt222 A,bt333
A,A,A,A123
(2)
1,y0zbbcosb,,,,c1c13212
11,,ybsinzbbcos ,,,c22c23222
1ybsinzb,,,c32c332
(3)
S,Az,Az,Azy1c12c23c3
S,Ay,Ay,Ayz1c12c23c3
y,S/Acz z,S/Acy
(4)
3bt'22I,y12
3bt'22 I,z12
'I,0yz
o ,,180,2,
''''I,II,Iyzyz',,I,,cos,Isiny2yz22
''''I,II,Iyzyz',,I,,cos,Isin z2yz22
''I,Iyz'I,sin,,Icos,yz2yz2
1332222I,I,tb,tb,Az,Az,Az,Az()yy211331c12c23c3c12
1332222I,I,tb,tb,Ay,Ay,Ay,Ay ()zz211331c12c23c3c12
I,I,Ayz,Ayz,Ayz,Ayzyzyz21c1c12c2c23c3c3cc
(5)
I,I1yz22I,,(I,I),4I yzyzmin22
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
一.重点及难点:
(一).截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1所示任意有限平面图形,取其单元如面积dA,定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩,即
dSy?xdA
dSx?ydA
整个图形对y、z轴的静矩分别为
Sy??xdA
A
Sx??ydA
A
(I-1) 2.形心与静矩关系 图I-1
设平面图形形心C的坐标为yC,zC 则 0
SySx
? , ? (I-2)
AA
推论1 如果y轴通过形心(即?0),则静矩Sy?0;同理,如果x轴通过形心(即?0),则静矩Sx?0;反之也成立。
推论2 如果x、y轴均为图形的对称轴,则其交点即为图形形心;如果y轴为图形对称轴,则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3??An的简单图形组成,且一直各族图形的形心坐标分别为1,12,23,3??,则图形对y轴和x轴的静矩分别为
Sy??Syi??Aii
i?1n
i?1n
nn
(I-3)
Sx??Sxi??Aii
i?1
i?1
截面图形的形心坐标为
?
?Aii?1n
n
i
, ?
?Aii?1n
n
i
(I-4)
?A
i?1
i
?A
i?1
i
4.静矩的特征
(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的,故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为m3。
(3) 静矩的数值可正可负,也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零,反之,若图形对某一轴的静矩为零,则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式(I-1)求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩,则可由式(I-2)求图形的形心坐标。组合图形的形心位置,通常是先由式(I-3)求出图形对某一坐标系的静矩,然后由式(I-4)求出其形心坐标。
(二).惯性矩 惯性积 惯性半径
1. 惯性矩
定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3),则图形对O点的极惯性矩定义为
Ip???2dA (I-5)
A
图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为
Iy??x2dA , Ix??y2dA (I-6)
A
A
惯性矩的特征
(1) 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的;轴惯性矩是对某一坐
标轴定义的。
(2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。
(3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。
(4) 图形对某一点的极惯性矩的数值,恒等于图形对以该点为坐标原
点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和,即
Ip???2dA??(x2?y2)dA?Iy?Ix (I-7)
A
A
(5) 组合图形(图I-2)对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩,
分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和,即
I???I?i ,Iy??Iyi , Ix??Ixi (I-8)
i?1
i?1
i?1
n
n
n
图I-2 图I-3
2. 惯性积
定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3),则图形对y轴和x轴的惯性积定义为
Ixy??xydA (I-9)
A
惯性积的特征
(1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 (2) 惯性积的单位为m4。
(3) 惯性积的数值可正可负,也可能等于零。若一对坐标周中有
一轴为图形的对称轴,则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零,这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。
(4) 组合图形对某一对坐标轴的惯性积,等于各组分图形对同一
坐标轴的惯性积之和,即
Ixy??Ixy i (I-10)
i?1n
3. 惯性半径
定义: 任意形状的截面图形的面积为A(图I-3),则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为
iy?
IyA
, ix?
Ix
(I-11) A
惯性半径的特征
(1) 惯性半径是对某一坐标轴定义的。 (2) 惯性半径的单位为m。 (3) 惯性半径的数值恒取证之。
(三).惯性矩和惯性积的平行移轴公式
平行移轴公式
Ix?IxC?a2AIy?IyC?bA
2
(I-12)
Ixy?IxCy? (I-13) CabA平行移轴公式的特征
(1)意形状界面光图形的面积为A(图(I-4);xC,yC 轴为图形的形心轴;x,y轴为分别与xC,yC形心轴相距为a和b的平行轴。 (2)两对平行轴之间的距离a和b的正负,可任意选取坐标轴x,y或形心xC,yC为参考轴加以确定。
(3)在所有相互平行的坐标轴中,图形对形心轴的惯性矩为最小,但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。
图I-4
(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩
转轴公式 Ix1?
Ix?Iy
2Ix?Iy
2
?Ix?Iy
2Ix?Iy
2
cos2??Ixysin2?
Iy1?
?
cos2??Ixysin2?
Ix1y1?转轴公式的特征
Ix?Iy
2
sin2??Ixycos2?
(1) 角度?的正负号,从原坐标轴x,y转至新坐标轴x1,y1,以逆时
针转向者为正(图5)。
(2) 原点O为截面图形平面内的任意点,转轴公式与图形的形心无
关。
(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯
性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩,即 Ix?Iy?Ix1?Iy1?IP
主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐
标轴x0、y0的惯性积为零(Ixy?0),则坐标轴x0、y0称为图形通过
00
点O的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩Ix,Iy,称为
主惯性矩。
主惯性轴、主惯性矩的确定
(1) 对于某一点O,若能找到通过点O的图形的对称轴,则以点O
为坐标原点,并包含对称轴的一队坐标轴,即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形(或组合图形),往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是,图形对通过点o的主惯性轴的主惯性矩,一般即可由平行移轴公式直接计算。
(2) 若通过某一点o没有图形的对称轴,则可以点o为坐标原点,
任作一坐标轴x,y为参考轴,并求出图形对参考轴x,y的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy。于是,图形通过点o的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为
tan2?0??Ix0
?Iy0
2IxyIx?Iy
(I-16)
?2??Ixy (I-17) ??
2
Ix?Iy
2
?Ix?Iy???2?
主惯性轴、主惯性矩的特征
(1)图形通过某一点O至少具有一对主惯性轴,而主惯性局势图形对通过同一点O所有轴的惯性矩中最大和最小。 (2)主惯性轴的方位角?0,从参考轴x,y量起,以逆时针转向为正。
(3)若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等,则通过点o的所有轴均为主惯性轴,且所有主惯性矩都相同。 (4)以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴,称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩,称为形心主惯性矩。
y1
图I-5 图I-6
二.典型例题分析
例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。
解:计算此截面对于x轴的静矩Sx时,可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面积元素(因其上各点的y坐标相等),即dA?b(y)dy。由相似三角形关系,可知:
b(y)?
bb
(h?y),因此有dA?(h?y)dy。将其代入公式(I-1)的第二式,即得 hh
h0
hbbh2bh2
(h?y)dy?b?ydy??ydy?
0hh06
Sx??ydA??
A
x 例题I-a图
解题指导:此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。
例I-2 试确定图示Ⅰ-b截面形心C的位置
解:将截面分为?、П两个矩形。为计算方便,取x轴和y轴分别与界面的底边和左边缘重合(见图)。先计算每一个矩形的面积Ai和形心坐标(i,i)如下:
矩形? A??10?120?120mm02 ??
10120
?5mm ,???60mm 22
矩形П A??10?70?700mm2
7010
?45mm ,???5mm 22
将其代入公式(I-4),即得截面形心C的坐标为
??10?
?
A???A??37500
??20mm
A??A?1900
A?A??75500?????40mm
A??A?1900
解题指导: 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心,
图Ⅰ-b
例I-3 试求图I-c所示截面对于对称轴x轴的惯性矩Ix
解:此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x轴的惯性矩为
Ix?,每一个半圆形对于x轴的惯性矩为Ix??,则由公式(I-11)的第一式可知,所给截面的惯性矩:
Ix?Ix??2Ix?? (1) 矩形对于x轴的惯性矩为:
d(2a)380?2003
Ix????5330?104mm4 (2)
1212
半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此,先求出每个半圆形对于与x轴平行的形心轴xC(图b)的惯性矩IxC。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x?(图b)的惯性据之半,即Ix??
?d4
128
。而半圆形的面积
为A?
?d2
8
,其形心到底边的距离为
2d
(图b)。故由平行移轴公式(I-10a),3?
可以求出每个半圆形对其自身形心轴xC的惯性矩为:
IxC
2d2?d42d2?d2
?Ix??()A??() (3)
3?1283?8
2d
,故在由平行移轴公式,求得每个3?
由图a可知,半圆形形心到x轴距离为a?半圆形对于x轴的惯性矩为:
Ix???IxC
2d2?d42d2?d22d2?d2
?(a?)A??()?(a?)
3?1283?83?8
a22ad(??) ?
43223a?
?d2d2
将d=80mm、 a=100mm (图a)代入式(4),即得
Ix???
?(80)2802
410022?100?80
(??)?3460?104mm4 3223?
将求得的Ix?和Ix??代入式(1),便得
Ix?5330?104?2?3460?104?12250?104 mm4
解题指导: 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形,利用已有的规则图形的面积、
形心及对自身形心轴的惯性矩,结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。
图I-c
x?
图I-c 常用截面惯性矩计算公式
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