7用中点坐标公式巧解三等分点问题最新衡水中学校内自用精品

题 1 (北京市西城区 2014届高三一模理科第 19题 ) 已知椭圆 22

x W y +=,直线 l 与

W 相交于 , M N 两点, l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 C 、 D 两点, O 为坐标原点 .

(1)若直线 l 的方程为 210x y +-=,求 OCD ?外接圆的方程;

(2)判断是否存在直线 l ,使得 , C D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由 .

参考答案 (1)因为直线 l 的方程为 210x y +-=, 所以直线 l 与 x 轴的交点 (1,0)C , 与

y 轴的交点 1(0,) 2

D .

得线段 CD 的中点 11(, ) 24

, ||2

CD ==

,即 OCD ?外接圆的圆心为 11(, ) 24

,半径为 1||2CD =. 所以 OCD ?外接圆的方程为 2

15() () 2

x y -+-=

. (2)存在直线 l ,使得 , C D 是线段 MN 的两个三等分点 . 理由如下:

由题意知,可设直线 l 的方程为 (0) y kx m km =+≠, 11(, ) M x y , 22(, ) N x y ,得

(,0) m

C k

, (0,) D m . 由方程组 22

y kx m x y =+???+=?? ,得 222

(12) 4220k x kmx m +++-=. 所以 2

16880k m ?=-+>.

由韦达定理,得 122412km x x k -+=+, 2122

12m x x k

-=+. 由 , C D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合 .

所以 122

4120km x x k m k -+=

=+-,解得

k =± 由 , C D 是线段 MN 的两个三等分点,得 ||3||MN CD =.

12|x x -=

12||3||m

x x k

-==

解得 m =,且满足 0?>. 所以存在直线 l ,使得 , C D 是线段 MN 的两个三等分点,且此时直线 l

的方程为

2y x =

2y x =-. 下面用中点坐标公式给出第 (2)问的巧解:

存在直线 l ,使得 , C D 是线段 MN 的两个三等分点 . 理由如下:

由题意知, 可设 ) , 0(), 0, (t D s C , 由 C 是 MD 的中点, 得 ) , 2(t s M -. 同理可得 ) 2, (t s N -.

由点 N M , 均在椭圆 22

x W y +=上,可得 51, 5222==t s ,然后得点 N M , 的坐标,

进而可得答案 .

题 2 (2004年高考广东卷第 22题 ) 设直线 l 与椭圆

116

252

2=+y x 相交于 B A , 两点, l 又与双曲线 12

=-y x 相交于 D C , 两点, D C , 三等分线段 AB . 求直线 l 的方程 .

参考答案设 ) , (), , (), , (), , (D D C C B B A A y x D y x C y x B y x A ,得 D C , 三等分线段 AB 的充要条件是线段 CD AB , 的中点重合 (即 D C B A x x x x +=+) 且 CD AB 3=.

(1)当直线 l 的斜率不存在时,设 h x l =:.

由 ?

????=+=116

252

y x h x 得 258, 2542

2, h y y AB h y A B B A -=-=-±=;

由 ??

?=-=1

2y x h

x 得 12, 12

2, -=-=-±=h y y CD h y C D D C .

因为 CD AB 3=,所以 241241

, 123251822±=-?=-h h h .

此时 241241

:±

=x l . (2)当直线 l 的斜率存在时,设 b kx y l +=:.

由 ?????=+

+=, 116

252

2y x b kx y 得 0) 40025(50) 1625(222=-+++b kbx x k

25400

25, 162550222+-=+-=+k b x x k kb x x B A B A

由 ?

??=-+=, 12

2y x b

kx y 得 0) 1(2) 1(222=+++-b kbx x k

, 12222-+=--=+k b x x k kb x x D C D C

因为 D C B A x x x x +=+,所以

216255022-=+k kb

k kb ,得 0=k 或 0=b .

i) 若 0=k , 可得 22, 2

5, 45b x x AB b x A B B A -=-=-±=;

12, 122, +=-=+±=b x x CD b x C D D C .

再由 CD AB 3=,得 13

, 162522±=+=-b b b . 此时 13

16:±

=y l . ii) 若 0=b ,由弦长公式得 CD AB 3=即 2

9CD AB =,也即

]4) [(94) (22D C D C B A B A x x x x x x x x -+=-+

因

为

, 1625400, 022-=+-=

=+=+k x x k x x x x x x D

C B A D C B A , 所以

如何用尺规将线段三等分

方法一 :用 “ 平行线分线段成比例 ” 定理 .

1、过给定的线段的一端点做射线 , 在射线上用圆规从端点开始截取三等长线段 ,

2、连接该三等长线段终点和给定的线段的另一端点成一直线 ,

3、过三等长线段的等分点作该直线的平行线与给定线段的交点即可三等给定的线段 .

方法二 :用 “ 三角形重心性质 ” (如图 )

1、作线段 AB.

2、作线段 MN 使 A 为 MN 的中点 , 连 BM 、 BN.

3、找出 BM 的中点 E, 连 NE 交 AB 与 G.

4、找出 GB 的中点 K.

5、 G 、 K 将线段 AB 三等分 .

几何画板构造三等分点的教程

在几何教学中，很多的课程都需要将某几何图形等分进行研究，比如等分线段，等分三角形等等。为了让学生更容易理解课程，很多的老师都会选择通过几何画板来演示课程。现在要实现某图形三等分，不需要在黑板上尺规作图了，利用几何画板，就可以轻易实现。下面的教程就来给大家分享一下假如要构造等边三角形的三等分点，该如何操作呢？

方法一使用缩放命令

可以标记线段一个端点为中心，选中另一个端点，执行“变换”——“缩放”命令，缩放比例为1:3，接着再缩放一次，比例为2:3即可。

步骤一打开几何画板，画一个等边三角形ABC，双击点B标记为缩放中心，选中点C，执行“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输入缩放比例为1：3，点击“确定”得到三等分点D。

执行缩放命令得到边BC的三等分点D示例

步骤二接着选中点C，执行“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输入缩放比例为2：3，点击“确定”得到三等分点E。

执行缩放命令得到边BC的三等分点E示例

方法二点值法

使用点的值在等边三角形的边上绘制点，选择边右键，执行“在线段上绘制点”命令，分别输入“1/3”和“2/3”即可。

步骤一画等边三角形ABC，使用“点工具”在边BC上任意画一点D，执行“度量”——“点的值”命令，得到该点在边BC上的值。

度量边BC上的点D的值示例

步骤二选中边BC，鼠标右键，选择“在线段上绘制点”命令，在弹出的对话框输入“1/3”，点击绘制，得到三等分点E。

利用点的值绘制三等分点示例

步骤三然后再执行该命令再输入“2/3”，点击绘制，然后点击完成，得到边BC的三等分点F，如下图所示。

利用点的值绘制三等分点F示例

以上给大家详细介绍了在几何画板中构造三等分点的两种方法，方法一比较简单，利用缩放命令完成；方法二利用“点的值”，借助点的值构造等分点，比较难理解，多练习即可掌握。

本文来源于：http://www.jihehuaban.com.cn/xinshourumen/sandeng-fen.html

几何画板中如何实现三等分线段

在几何绘图中, 等分图形的情况很常见。看似简单的等分图形, 如果手动等分则有失图形的准确性。以线段为例,怎样快速准确地用几何画板三等分线段呢?更多几何画板教程尽在几何画板中文官网。

具体步骤如下:

1. 构造线段。利用线段工具绘制两条已知线段,并将其中一条标记为 AB 。

利用圆工具构造两条线段并将其中一条标记为 AB

2. 构造射线。以点 A 为端点, 利用线段直尺工具中的射线工具绘制一条射线 AC 。

利用射线工具构造射线 AC

3. 构造圆。选中点 A 和未命名线段,选择“构造”——“以圆心和半径绘圆”, 与射线 AC 的交点为 D , 再以 D 为圆心, 以线段为半径构造圆, 与 AC 的交点为 E 。同样的方法以点 E 为圆心构造圆,与 AC 的交点为 F 。

分别以圆与射线的交点为圆心构造三个等大的圆

4. 构造线段 FB 。选中点 D 和线段 FB ,选择“构造”——“平行线”构造 FB 的平行线。同样的方法作出 FB 过点 E 的平行线,两条平行线与 AB 的交点分别为

G 和 H ,点 G 和 H 就是两个三等分点。

分别以过点 D 点 E 作线段 FB 的平行线

5. 隐藏多余对象。将多余的线段和圆和点都选中,按下“ Ctrl+H”将之隐藏。

将多余的线段、圆和点隐藏

以上内容向大家介绍了几何画板三等分线段的方法,使用的是几何绘图的方法, 其中利用了几何画板圆工具和平行线的原理。

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？

1）. 先说明尺规作图可能问题：

一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。

2）. 定理：

一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。

3）. 证明尺规作图三等分任意角是不可能的：

如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A 、B 、C

过B 作BD ⊥OA 于D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，

令OD ＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：

cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0

由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)

所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。

林浩南

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