一、基本理论
齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间(或零空间),记作N(A). N(A)的一组基称为方程组的一个基础解系。 解空间的维数:dim N(A) = n - rank(A).
求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系.
二、Matlab实现
实现一:rref(A)将A化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系.
实现三:Matlab函数null(A)可以返回解空间的一组基,但与上述方法所得结果不同。
三、例子
例. 求解线性方程组
?x1?x1???x1?2x?1??3x1
?2x2?2x2?2x2?4x2?6x2
?3x3?2x3?3x3?3x3
?5x4?4x4?x4?19x4?24x4
?x5?5x5?3x5?8x5?9x5
?0?0?0 ?0?0
输入系数矩阵A
A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9]
A =
1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9
解一
R=rref(A)
R =
1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
原方程化为
?x1?2x2??
即
?5x4x3
?3x4
?x5?2x5
?0?0
?x1??x3
通解
??2x2?5x4?x5??3x4?2x5
?x1???2x2?5x4?x5???2??5???1???????????xx1022?????????0??x3????3x4?2x5??x2?0??x4??3??x5?2? ??????????xx01?4??4??????0?
?0??0??1??x??x?
???????5??5?
解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基
N=nulbasis(A)
N =
-2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1
Matlab的null(A)给出不同的结果 null(A)
ans =
-0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805
例. 求x1?x2?x3?x4?0的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A)
ans =
-1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
实例
例. 配平下列化学方程式
(x1)C3H8?(x2)O2?(x3)CO2?(x4)H2O
解. 碳、氢、氧的原子数目在反应前后相等
C:3x1?x3
得如下方程组
H:8x1?2x4O:2x2?2x3?x4
?3x1??8x1??
?x3
2x2
?2x3
?2x4?x4
?0?0 ?0
A=[3 0 -1 0; 8 0 0 -2; 0 2 -2 -1]
A =
3 0 -1 0 8 0 0 -2 0 2 -2 -1
R=rref(A)
R =
1.0000 0 0 -0.2500 0 1.0000 0 -1.2500 0 0 1.0000 -0.7500
对应如下方程组
?x4/4?x1
?
x2?5x4/4 ??x3?3x4/4?
取x4?4, 则x1?1, x2?5, x3?3. 配平后的化学方程式
C3H8?5O2?3CO2?4H2O
或直接调用 nulbasis(A) nulbasis(A)
ans =
0.2500 1.2500 0.7500 1.0000
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论
摘要:本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题,虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组,这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件,并给出了相应例题。
关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换
引言
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1?ax?ax????ax?b?2122222nn2
非其次线性方程组? (Ⅰ)
?????am1x1?am2x2????amnxn?bn
的矩阵形式为AX?B.取B?0,得到其次线性方程组AX?0称为非其次线性方程组AX?B的导出组。我们知道非其次线性方程组AX?B的解有以下的一些性质:
(1) 若u1是非其次线性方程组AX?B的一个解,v1是其导出组AX?0的一个解,则
u1?v1也是AX?0的一个解。
证明:因为u1是非其次线性方程组AX?B的一个解,所以有Au1?B,同理有Av1?0,则由A?u1?v1??Au1?Av1?B?0?B.所以u1?v1是非其次线性方程组AX?B的解。 (2) 若v1,v2是非其次线性方程组的两个解,则v1?v2是其导出组的解
证明:由Av1?B,Av2?B,所以有A?v1?v2??Av1?Av2?B?B?0,故v1?v2为其导出组的解。 2.定理
(非其次线性方程组解的结构定理)若v1是非其次线性方程组AX?B的一个解,v是其导出组的通解,则u1?v?v1是非其次线性方程组的通解。
证明:由性质(1)可知u1加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解,所以只需证明,非其次线性方程组的任意一个解v,一定是u1与其导出组某一个解v1的和,取
*
v1?v*?u1
由性质(2)可知,v1是导出组的一个解,于是得到v?u1?v1,即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。
由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表
*
示。因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解,如果v0是方程组(Ⅰ)的一个特解,?1,?2?,?n?r是其导出组的一个基础解系,那么(Ⅰ)的任一个解都可以表示成:u?u0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r
3.由上面2的证明过程,我们可以知道其次线性方程组AX?0的全部解可由基础解系
*
?1,?2?,?n?r线性表示出(其基础解系含有n?r个解向量),即
k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意实数。那么,当非其次线性方程组
则AX?B至多有多少个线性无关的解向量?AX?B的全部解又如何表AX?B有解时,示? 定理
若其次线性方程组AX?0的基础解系为?1,?2?,?n?r,当非其次线性方程组
AX?B?0有解时,则它至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量
?1,?2,??n?r,?n?r?1,AX?B的通解可以表示为k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1
为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1,的任意实数。
证明:(ⅰ)若?是非其次线性方程组AX?B的解,则?为非零解向量,那么向量组?,
?1,?2?,?n?r线性无关(否则?可由?1,?2?,?n?r线性表示,与?是AX?B的解矛盾)。
那么,易证?1??,?2????1,?3????2,??n?r?1????n?r都是AX?B的解,并且
?1,?2,??n?r,?n?r?1线性无关。这说明AX?B至少有n?r?1个线性无关的解向量。
下面再证AX?B至多有n?r?1个线性无关的解向量。
反证:若AX?B有n?r?2个线性无关的解向量?1,?2,??n?r?1,?n?r?2,那么易证
?1??n?r?2,?2??n?r?2,??n?r?1??n?r?2均为AX?0的解,并且线性无关。这样AX?0具
有n?r?1线性无关的解向量矛盾,所以,AX?B至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量AX?B。
(ⅱ)对于AX?B的任意一个解,一定可以表示成它的一个特解?与其导出组AX?0的基础解系的线性组合,即??k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意常数 那么
??k1?1?k2?2???kn?r?n?r
??1?k1?k2???kn?r????k1????1??k2????2????kn?r????n?r?
??1?k1?k2???kn?r??1?k1?2?k2?3???kn?r?n?r?1
(k1,k2,?kn?r为任意实数,且组合系数?1?k1?k2???kn?r?,k1,k2,?kn?r之和等于1.
这说明,AX?B的任意解都可以表示成这样的形式。
另一方面,由于?1,?2,??n?r,?n?r?1都是AX?B的解,对于
k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1,只要满足k1?k2???kn?r?kn?r?1?1仍然是
所以,AX?B的解,AX?B的通解可以表示成k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1,且k1,k2,?kn?r,kn?r?1为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1,的任意实数。
例2
设?0是线性方程组的一个解,?1,?2,?3,??t是它导出组的一个基础解系,令
r1??0,r2??0,?rt?1??t??0。证明:线性方程组的任一一个解
??u1r1?u2r2???ut?1rt?1,其中u1?u2???ut?1?1。
证明:
由题可设方程组的任一解?可以表示成???0?u2?1???ut?1?t(u2,?ut?1为常数) 令u1?1?u2???ut?1,则
??(u1??ut?1)?0?u2?1???ut?1?t
?u1?0?u2(?1??0)???ut?1??t??0??u1r1?u2r2???ut?1rt?1
(1) 引理:设A为m?n矩阵,用初等行变换,把A化为阶梯形矩阵,并使该梯形矩阵
的每一个非零行的第一个非零元素(从左算起)为1,且该元素所在列的其他元素为零,这样的阶梯形矩阵的为A的行简化阶梯形矩阵。
定理:非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是,它的增广矩阵A的秩r(A)与系数矩阵A的秩r?A?相等,且A的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.
证明:必要性
方程组有全非零解,则必须满足方程组的条件,因而,r(A)?r?A?.不妨设其秩为r且A的简化阶梯矩阵为:
?1?0?????0?0????0?
00?0
l1,r?1l1,r?2l2,r?1
?l1,n?l2,n
lrn00
10?0l2,r?1
00?1lr1,r?1lr2,r?2?00?000?0
00
00
??
d1?d2?????
dr? (2) 0????0??
且其对应的方程组为
x1??l1,r?1xr?1?l1,r?2xr?2???l1nxn?d1x2??l2,r?1xr?1?l2,r?2xr?2???l2nxn?d2xr??lr,r?1xr?1?lr,r?2xr?2???lrnxn?dr
若对某个r?i?i?r? 有li,r?1?li,r?2???li,n?di?0
则xi?0,这和方程组(2)有全非零全部解矛盾,故对每个i(r?1,2,?n),至少存在一个j(r?1?j?n)使lij?0或di?0,即(2)中第i(r?1,2,?r)行至少有两个非零元素。
充分性:设N是充分大的正数,令xr?1?N将其带入(2)得:xi??li.r?1N
n?r
n?r
,xr?1?N
n?r
,?xn?N
?li,r?2Nn?r?1???li,N?di(r?1,2,?r),当lij?0
(r?1?j?n),di?0时,显然成立;当上式右端至少存在一个非零系数,设第一个非
xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di
零系数为li,r?k?1?k?n?r?,则??li,r?kN
n?r?k?1
??li,r?k?1Nn?r?k???li,nN?di??1?? n?r?k?1
?li,r?kN????
因为lim
?li,r?k?1Nn?k?r???li,nN?di
?li,r?kN
n?r?k?1
N???
?0
所以
i
N???
limx??,i?1,2,?r,故存在充分大的正数Ni,使
xi??,li?
r
n?r?1k?k
N
?,?l
i?1r
n?r?kNk??
?l
in
N0?
i
(i?1,2,; ?r)
d?
取
N?max?N1,N2,?Nr?
,可使
xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di?0
(i?1,2,?r)
n?rn?rn?r?1
,?N 这样,就得到方程组的一个全非零解x?x1,x2,?xr,N,N,N
??
T
例1
方程组
?x1?2x3?4x4?x5?1?
?x1?x2?2x3?6x4?x5?2?
有全非零解的充要条件? ?x1?x2?x3?6x4?(c?1)x5?0
?x?3x?4x?c?1x?3
??524?1
?2x?x?5x?10x??c?3?x?5
345?12
解:其增广矩阵A的简化阶梯形矩阵为
?1
?0??0??0??0
0210010000
1?
?22?1??0c?32?
?
000?000??
41
故由上述定理可知,该方程组有全非零解的充要条件是c为任意实数。
?x1?x2?x3?x4??1
?
例2已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有三个线性五官的解,
?ax?x?3x?bx?1
34?12
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2, (Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解。
解:(Ⅰ)设?1,?2,?3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,则?1??2,?1??3是导出组Ax?0的线性无关解,所以n?r?A??2,从而r?A??2,显然矩阵A中存在不为零的2阶子式,又有r?A??2,从而秩r?A??2。
(Ⅱ)对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换,有
?1A???4
??a?1???0??0
1131110
?1??1111?1?
?0?1?5?1?1??1?53???
3b1????01?a3?ab?aa?1??
11?1??15?3??4?2bb?4a?54?2a??
1
于是r?A??rA?2故a?2,b??3,又因为????2,1,1,0?是Ax?b的解,且
??
T
?1???2,1,1,0?,?2??4,?5,0,1?是Ax?0的基础解系,所以方程组的通解为
TT
??k1?1?k2?2(k1,k2为任意实数)
4-2.齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的存在性
第二节 齐次线性方程组
? 齐次线性方程组解的存在性 ? 齐次线性方程组解的结构
Am×n x = o 必有零解 x1 = x2 =
有无非零解?
xn = 0
方程组用向量形式表示 x1α1 + x2α 2 + + xnα n = o 显然,有非零解
? α1 , α 2 ,
α n 线性相关
αn )
? R ( A) = R (α1 , α 2 ,
定理(P89) 齐次线性方程组
二、齐次线性方程组解的结构
性质1(P90)若 ξ1 , ξ 2 是
Am×n x = o 有非零解 ? R ( A)
只有零解 ? R( A) = n 推论:当 A 为方阵时
Ax = o 的两个解,
则 ξ1 + ξ 2 也是它的解. 性质2(P90)若 ξ 是
Ax = o 的一个解,
An×n x = o 有非零解 ? A = 0
只有零解 ? A ≠ 0 例1
? 1 0 1? ? ? 已知 A = ? 2 1 3 ?,且 Ax = o有非零解,则 t = 4 ?1 3 t ? ? ?
则 kξ ( k ∈ R ) 也是它的解. 由性质1和性质2可知: 齐次线性方程组 Ax = o 解的线性组合仍是它的解. 即 若
ξ1 , ξ 2 , , ξ n 都是 Ax = o 的解,
则 k1ξ1 + k2ξ 2 +
+ knξ n 也是它的解.
由此可知,若齐次线性方程组有非零解必有 无穷多非零解;如何表示出所有非零解呢? 若将齐次线性方程组的每个解看成向量(解向量), 则所有解就是一个 n 维向量组; 若找出其最大线性无关组,即可用其线性组 若找出其最大线性无关组 即可用其线性组 合来表示齐次线性方程组所有的解; 此最大线性无关组在线性方程组的理论中称 为基础解系。
定义(P91)设 ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 是齐次线性方程组
Ax = o 的解,且满足:
(1) ξ1 , ξ 2 ,
, ξ s 线性无关; ,ξs
(2) ( ) Ax = o 的任 的任一解 解 x 都可由 ξ1 , ξ 2 , 线性表示;即 x = k1ξ1 + k 2ξ 2 + 则称 ξ1 , ξ 2 ,
+ k nξ n
, ξ s 为 Ax = o 的一个基础解系;
+ knξ n 为 Ax = o 的通解公式.
x = k1ξ1 + k 2ξ 2 +
1
定理(P91)若n元齐次线性方程组 Ax = o 的系数矩阵的秩 R ( A) = r
例1 求齐次线性方程组
注 ( (1) )基础解系不唯一,但所含向量个数确定 任意 n ? r 个线性无关的解向量都是其基础解系; (2) 若 R ( A) = n, 方程组只有零解,没有基础解系.
? x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 ? ? 2 x1 + x2 ? 2 x3 ? 2 x4 = 0 ? x ? x ? 4 x ? 3x = 0 3 4 ? 1 2
的基础解系和通解. 注意书写格式
齐次线性方程组:系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解;
?1 2 2 1 ? ?1 2 2 1 ? ? r2 ? 2r1 ? ? 解 A= ? 2 1 ? 2 ? 2 ? r ? r ? 0 ? 3 ? 6 ? 4? ? ? 1 ? 1 ? 4 ? 3? 3 1 ? 0 ? 3 ? 6 ? 4? ? ? ? ? 5? ? ?1 0 ? 2 ? ? r ? 1 2 2 1? 3? r 2 3? ? 4? r1 ? 2r2 ? ?0 1 2 4 ? ?0 1 2 ? 1 3? ? r ? ? 2 3? 3 ? 0 0 0 0? ?0 0 0 0 ? ? ? ? 行最简形矩阵 ? ∵ R
( A) = 2
5? ? ?1 0 ? 2 ? ? 3? ? ?0 1 2 4 ? ? 3? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ? 行最简形矩阵
故基础解系为:
? 5? ? ? ?2? ? ? ? 3? 4 ? ? 2? ∴ ξ1 = ? ?,ξ2 = ? ? ?. ? 3? 1 ? ? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? 1?
同解方程组为:
5 ? ? x1 = 2x3 + 3 x4 ? ?x = ?2x ? 4 x 3 4 ?2 3 ? x = x 3 ? 3 ? ?x4 = x4
左边未知量补齐 右边未知量对齐
通解为:
? 5? ?2? ? 3? ? ? ? ? 4 ? ? 2? x = k1? ? + k2 ? ? ?. ? 3? 1 ? ? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? 1?
(k1 , k 2 ∈ R)
例2(练习) 求齐次线性方程组
? x1 + 2 x2 ? 3 x3 ? x4 = 0 ?2 x + 3 x + x + 3 x = 0 ? 1 2 3 4 ? ? ? + ? x x x x4 = 0 2 4 5 2 3 ? 1 ? ?2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ? 3 x4 = 0
的基础解系和通解.
2 ? 3 ? 1? ?1 r4 ? r2 ?2 3 1 3? ? r2 ? 2r1 解 A=? ?? 1 ? 2 4 ? 5? r3 + r1 ? ? 3 2 ? 3? ?2
?1 2 ? 3 ? 1? ?0 ? 1 7 5? ? ? ?0 0 1 ? 6? ? ? 1 ? 6? ?0 0
r4 ? r3 ?1
?
r1 + 3r3 ?0
? ?0
r2 ? 7 r3 ?0 ? 1 0
2
0 0
0 ? 19? r1 + 2r2 47 ? ? r2 × (?1) 1 ?6 ? ? 0 0 ?
?1 ?0 ? ?0 ? ?0
0 1 0 0
0 75 ? 0 ? 47 ? ? 1 ?6 ? ? 0 0 ?
∵ R( A) = 3
2
?1 ?0 ? ?0 ? ?0
?x1 = ?75x4 0 0 75 ? ? ? 1 0 ? 47? 同解方程 ?x2 = 47x4 ? 0 1 ? 6 ? 组为: ?x3 = 6x4 ? 0 0 0 ? ? ? x4 = x 4
? ? 75? ? ? ? 47 ? ∴ ξ1 = ? 6 ? ? ? ? 1 ? ? ?
例3 设A = ? ?
? 1 ? 2 2 3? ? ?,求一个 4 × 2的矩阵B, ? 2 ? 5 9 8?
? B的列向量是 Ax = O的解向量
使AB = O,且R( B ) = 2.
解
故基础解系为: 通解为:
? ? 75? ? ? ? 47 ? x = k1? . 6 ? ? ? ? 1 ? ? ?
?1 ? 2 A= ? ?2 ? 5 ? ?1 0 →? ?0 1 ?
2 3? ?1 ? 2 2 3 ? ? →? ? ? ? 9 8? ? ?0 1 ? 5 ? 2? ? 8 ?1? ? ? 5 ? 2? ?
(k1 ∈ R )
? x1 = 8 x3 + x4 ? ? x = 5 x 3 + 2 x4 于是 ? 2 ? x 3 = x3 ?x = x4 ? 4
因 R ( A) = 2
所以基础解系为
小结
齐次线性方程组 Ax = 0
R( A) = n ? Ax = 0只有零解 ;
R( A)
且基础解系含有 n ? r 个解向量.
3
0701设齐次线性方程组
x,3x,2x,0,123,xxx2,5,3,007.01(设齐次线性方程组,问取何值时方程组有非0解,并求一般解。,,123
,3x,8x,,x,0123,
1,321,321,32,,,,,,
,,,,,,A,2,53,01,1,01,1系数矩阵 ,,,,,,
,,,,,,3,8,01,,600,,5,,,,,,
x,x,13所以当时,方程组有非零解且一般解为(其中x是自由未知量),,5,3x,x23,
xx,x,,2,124,x,x2x,,x4,3的一般解 07.07求线性方程组,1234
,x2,x3x,,x5,51234,
1,10121,10121,101210,1,21,,,,,,,,
,,,,,,,,A,1,2143,0,1131,0,1131,01,1,3,1 ,,,,,,,,
,,,,,,,,2,31550,11310000000000,,,,,,,,
x,x,2x,1,134x,x于是方程组的一般解是(是自由未知量) ,34xxx,,3,1234,
,,,,2xxxx1,1234,,,,,x2xx4x208.01求当取何值时,线性方程组有解,并求出一般解,,1234
,x,7x,4x,11x,,1234,
2,111112,14212,142,,,,,,,,,,,, 12,142,0,53,7,3,0,53,7,3,,,,,,,,,,,,17,411,05,37,,20000,,5,,,,,,
416,xxx,,,134,,555x,x当时,方程组有解,且方程组的一般解为其中为自由未知量(,,5,34337,xxx,,,234,555,
x,x,x,2,124,x,2x,x,4x,3取何值时,线性方程组有解,在有解的情况下求方程组的一般解。08.07当,,1234
,2x,3x,x,5x,,,21234,
1,10121,10121,1012,,,,,,,,,,,,,1,2143,0,1131,0,1131A ,,,,,,,,,,,,2,315,,20,113,,20000,,3,,,,,,
1,10121,101210,1,21,,,,,,
,,,,,,A,0,1131,01,1,3,1,01,1,3,1由此可知当时方程组有解,此时,,3,,,,,,
,,,,,,000000000000000,,,,,,
x,x,2x,1,134所以方程组的一般解为 (其中x,x为自由未知量),34x,x,3x,1234,
x,2x,x,0,,123,xxx2,5,,009.01讨论为何值时,齐次线性方程组有非零解,并求其一般解。,,123
,x,x,13x,0123,
,121113111311131113,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,A,25,1,25,1,03,27,01,9,01,9系数矩阵,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,111312,01,,1301,,1300,,4,,,,,,,,,,
所以时方程组有非零解 。 ,,4
11131022,,,,,,x22x,13,,,,A,01,9,01,9此时 故一般解为 ,,,,,x,9x23,,,,,000000,,,,
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b
一、基本理论
线性方程组Ax=b有解条件: 系数矩阵A的秩 = 增广矩阵(A,b)的秩.
非齐次线性方程组的解集结构:
若x1是Ax=b的一个特解, N(A)表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b的解集为x1+N(A).
解非齐次线性方程组的方法:
通过初等行变换将增广矩阵(A,b)化为最简行阶梯矩阵(A1,b1), 写出对应的方程组,根据方程组写出解.
二、Matlab实现
调用rref(A)将A化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.
若方程组有解, 且rank(A)=n,即A列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A左除b求得唯一解:x=A\b.
三、例子
例1. 求解线性方程组
?3x1????4x1?x?1???2x1
?4x2?6x2?3x2?x2?6x2
?3x3?4x3?x3?2x3
?2x4?3x4?2x4?x4
?x5?3x5?2x5?x5?3x5
????
22
01
??3
A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]
A1 =
3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1
rref(A1)
ans =
1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
化为方程组
?x1??x2?x?4
所以解为
??x3?x5??
0?x5?1
?x1???x3?x5???1??1??0???????????x002???????0??0??x3???x3??x3?1??x5?0???0? ??????????x?x?10?4??5?????1??1?
?0??1??0??x??x?
???????5??5?
例2. 设函数y?ax
解
2
?bx?c经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a, b, c.
?a?b?c?1?
?4a?2b?c?2 ?9a?3b?c?0?
输入系数矩阵A和右端项b
A=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);
增广矩阵A1 A1=[A b]
A1 =
[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]
利用rref求解 R=rref(A1)
R =
[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]
即解为
311
a??,b?,c??3
22
解二
判断方程组是否有解, 即系数矩阵A的秩是否等于增广矩阵A1的秩. rank(A)==rank(A1)
ans = 1 有解.
判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A是否等于A的列数n.
[m,n]=size(A); rank(A)==n
ans = 1
A的秩等于列数n, 有唯一解.
直接用A左除 b求解 x=A\b
x = -3/2 11/2 -3
例 3. 设三种食物中每100g中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.
三种食物用量各为多少才能保证所需营养?
解. 设脱脂牛奶用量为x1, 大豆面粉用量为x2, 乳清用量为x3.
?36x1??52x1?0x?1
? 51x2? 34x2? 7x2
? 13x3? 74x3? 1.1x3
?33?45 ?3
A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]
A =
36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)
R =
1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332
所以脱脂牛奶的用量为27.72g,大豆面粉的用量为39.19g,乳清的用量为23.32g。