高中数学教学设计大赛
获奖作品汇编
(上部)
目录
1、集合与函数概念实习作业??????????????
2、指数函数的图象及其性质??????????????
3、对数的概念???????????????????
4、对数函数及其性质(1)??????????????
5、对数函数及其性质(2)??????????????
6、函数图象及其应用??????????????
7、方程的根与函数的零点??????????????
8、用二分法求方程的近似解??????????????
9、用二分法求方程的近似解??????????????
10、直线与平面平行的判定??????????????
11、循环结构 ???????????????????
12、任意角的三角函数(1)?????????????
13、任意角的三角函数(2)??????????????
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14、函数y?Asin(?x??)的图象??????????
15、向量的加法及其几何意义???????????????
16、平面向量数量积的物理背景及其含义(1)??????
17、平面向量数量积的物理背景及其含义(2)????????
18、正弦定理(1)????????????????????
19、正弦定理(2)????????????????????
20、正弦定理(3)????????????????????
21、余弦定理??????????????????
22、等差数列??????????????????
23、等差数列的前n项和???????????????
24、等比数列的前n项和???????????????
25、简单的线性规划问题???????????????
26、拋物线及其标准方程???????????????
27、圆锥曲线定义的运用???????????????
1、集合与函数概念实习作业
一、教学内容分析
《普通高中课程标准实验教科书?数学(1)》(人教A版)第44页。-----《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色,学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中,对函数的概念有更深刻的理解;感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。
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二、学生学习情况分析
该内容在《普通高中课程标准实验教科书?数学(1)》(人教A版)第44页。学生第一次完成《实习作业》,积极性高,有热情和新鲜感,但缺乏经验,所以需要教师精心设计,做好准备工作,充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配(成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等),选题时,各组之间尽量不要重复,尽量多地选不同的题目,可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。
三、设计思想
《标准》强调数学文化的重要作用,体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能,还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神,体会数学家的创新精神,以及数学文明的深刻内涵。
四、教学目标
1(了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物;
2(体验合作学习的方式,通过合作学习品尝分享获得知识的快乐;
3(在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。
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五、教学重点和难点
重点:了解函数在数学中的核心地位,以及在生活里的广泛应用;
难点:培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。
六、教学过程设计
【课堂准备】
1(分组:4,6人为一个实习小组,确定一人为组长。教师需要做好协调工作,确保每位学生都参加。
2(选题:根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况,尽量多地选择不同的题目。
参考题目:(1)函数产生的社会背景;(2)函数概念发展的历史过程;(3)函数符号的故事;(4)数学家(如:开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等)与函数;(5)也可自拟题目
3(分配任务:根据个人情况和优势,经小组共同商议,由组长确定每人的具体任务。
4(搜集资料:针对所选题目,通过各种方式(相关书籍----《函数在你身边》、《世界函数通史》、《世界著名科学家传记》等;相关网页---WWW.pep.com.cn、/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/
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200605/43459.html等)搜集素材,包括文字、图片、数据以及音像资料等,并记录相关资料,写出实习报告。
实习报告 年月日
题目
组长及参加人员
教师审核意见及等级
正文
备注 (指出参考文献或相关网页)
5(投影仪、多媒体;
6(把各组的实习报告,贴在班级的学习栏内,让学生学习交流。
【教学过程】
1(出示课题:交流、分享实习报告
2(交流、分享:(由数学科代表主持。小组推荐中心发言人;以下记录均为发言概述)
(1)学生1:函数小史
数学史表明,重要的数学概念的产生和发展,对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后,变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数(function)概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“函数”一
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词表示幂。1755年,瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1895年)一书时,把“function”译成“函数”的。
我们可以预计到,关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结,也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。
(2)教师带头鼓掌并简单评价
(3)学生2: 函数概念的纵向发展 :
该同学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念——对应关系下的函数。以及现代函数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式。
(4)教师带头鼓掌并简单评价
(5)学生3:我国数学家李国平与函数
学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员(李国平(1910—1996),的身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长,中国科学院武汉数学物理研究所所长,中国数学会理事,中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。
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(6)教师带头鼓掌并简单评价
(7)学生4:函数概念对数学发展的影响
该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发,讲述了函数概念对数学发展的深刻影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用(
函数概念来源于代数学中不定方程的研究(由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽(该学生说道,早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等(1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义(
从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要(
(8)教师带头鼓掌并简单评价
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(9)学生5:函数概念的历史演变过程
该学生说,数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容,而仅仅保留了它们的量的属性,即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式(这就决定了数学与其它自然科学的区别,也决定了数学的特殊性(如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系,就称为是一个映射(
上述函数概念的历史演变过程,就是一系列弱抽象的过程(学生展示了下表:
篇二:高中数学说课比赛一等详细讲稿
关于《随机事件的概率》的说课稿
尊敬的各位专家、评委:大家好~
今天我说课的课题是《随机事件的概率》,内容选自人教版高中数学必修三第三章《概率》第一节。下面我将从教材分析、学情分析、目标与定位、教法、学法分析、教学过程分析、板书设计以及教学反思七个方面进行阐述,敬请各位评委批评指导。
一、 教材分析:教材的背景、地位及作用
学生在初中阶段学习了概率初步,前面又学习了“随机抽样”、“用样本估计总体”等统计知识,为进一步学习概率提供了便利。本节课的学习,将为后面学习古典概型、几何概型、条件概率等打下基础,在教材中起到了承上启下的作用。通过抛掷硬币试验,提高学生的实践能力、交流与合作能力,
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同时体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法。
二、 学情分析 1、学生在初中阶段学习了概率初步,对频率与概率的关系有一定的认识,但他们不知道如何利用频率去估计概率,也不知道随机事
件发生的随机性和规律性是辩证统一的;2、高一学生个性活泼,思维活跃,动手实践、合作探究的积极性高;3、学生基础参差不齐,个体差异比较明显,在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展。 根据以上分析,我所设计的教学目标与重难点是:
三、 目标与定位
1、知识与技能目标:?了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; ?了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;
2、过程与方法目标:?通过动手试验,体会随机事件发生的随机性和规律性;?在试验、探究和讨论过程中理解概率与频率的区别和联系,学会利用频率估计概率的思想方法(
3、情感态度与价值观目标:通过学生动手实践,培养学生的试验、观察、归纳和总结的技能,培育学生团结协作探究、合作交流表达的团队意识。
4、重点与难点:
重点:理解概率的定义以及与频率的区别和联系
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难点:利用频率估计概率,体会随机事件发生的随机性和规律性
四、 教法、学法分析
1、在教法上,为落实“学为主体,教为主导”的教学原则,根据教育家维果茨基提出的“最近发展区”理论以及本节课的特点,我采用学生小组合作探究、积极思考、小组竞争的“动手启发式”教学模式。在教学过程中,注重启发式引导、反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手试验,让同学们积极主动分享自己的发现和
感悟。根据学生所具备的知识基础特点,采用分层次教学,体现因材施教,对不同层次的学生设定不同的目标,不同的要求以及分层次的作业。同时,为优化教学内容、教学情景,提高课堂表现力和学生的学习兴趣,借助多媒体辅助教学。
2、在学法上,先学后教,以学生动手为中心,以探究、试验为主线,采用“小组合作探究式学习法”, 激发学生的创造力,活跃课堂气氛,加深对知识的理解。
五、 教学过程分析
根据以上分析,为达到这一教学目的,我设计五个教学基本流程,下面逐一说明:
1、 创设情境,引出课题——狄青征讨侬智高
本节课的内容相对简单,学生在初中已经有所涉及,如何激发学生的学习兴趣、主动参与课堂,是教学的一大难点。
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以说书形式评讲“狄青将军讨伐侬智高”的传说:抛到地上的100枚铜钱全部正面朝上这一故事,激发学生的学习兴趣,引导学生以饱满的精神参与课堂。
2、 、巩固练习——进一步认识随机事件、频率:
2.1成果展示随机事件的相关概念
通过学生的自主预习,直接让层次较低的学生说出必然事件、不可能事件、随机事件、确定事件的概念,展示预习成果,以便检验预习效果。
2.2深化认识 讨论:在生活中,有许多必然事件、不可能事件及
随机事件(你能举出现实生活中随机事件、必然事件、不可能事件的实例吗,
在实际教学中,学生总能想到一些奇特的例子,生动活泼,出人意料(这部分看起来简单,但是要学让生用发散思维举出生动、恰当的例子还是比较困难的,所以我设计了一个“擂台比赛”,看哪一个小组说的实例更多,更到位。
通过上面的环节,学生对随机事件的概念有了一定的感性认识,下面我出示本节课第一个例题,以便加深理解、巩固强化:
2.3巩固强化 例1:判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件,
这八个小问题,可以鼓励各小组相同层次的同学们轮流回
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答,强化概念生成。
2.4回顾复习 频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)?
频率( nA为事A出现的n
由于频数和频率的概念之前学生有所涉及,在这里我做了与教材不同的处理:在抛币试验之前,先复习频数以及频率的概念,然后直接用频数和频率的知识来理解和阐述下面的试验,为理解概率概念及“利用频率估计概率”的思想方法创造条件。
2.5提出问题:随机事件、必然事件、不可能事件频率的取值范围,
3、 师生合作,共探新知——抛掷硬币试验:
?试验步骤:
第一步,个人试验,收集数据:全班六个学习小组,每小组九人,每人试验10次;
第二步,小组统计,上报数据:每小组轮流将试验结果写在黑板上的表格里;
第三步,数据汇总,统计“正面朝上”次数的频数及频率;(在表格制作方面,因为学生试验的次数有限,为了让试验结果更加合理,我也作了与教材不同的处理:频数累加。)
第四步,对比研究,探讨“正面朝上”的规律性(
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?随着试验次数的增加,硬币“正面朝上”的频率稳定在0.5附近; ?抛掷相同次数的硬币,硬币“正面朝上”的频率不是一成不变的。 提问:如果再做一次试验,试验结果还会是这样吗,(不会,具有随机性)
?引出概率的概念:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作
篇三:全国高中数学说课大赛获奖优秀说课稿汇编
全国高中数学说课大赛获奖优秀说课稿汇编
一、 教学理念
教师的教学方案必须建立在学生的基础之上。新课程标准指出,“数学课程不仅要考虑教学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发??数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。”
笔者认为教学中成功的关健在于:教师的“教”立足于学生的“学”。
1、从学生的思维实际出发,激发探索知识的愿望,不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在差异,处于同一阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在着差异。人的智力结构是多元的,有的人善于形象思维,有的人长于计算,有的人擅长逻辑思维,这就是
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学生 的实际。教学要越贴近学生的实际,就 越需要学生自己来探索知识,包括发现问题,分析、解决问题。在引导学生感受算理与算法的过程中,放手让学生尝试,让学生主动、积极地参与新知识的形成过程中,并适时调动学生大胆说出自己的方法,然后让学生自己去比较方法的正确与否,简单与否。这样学生对算理与算法用自己的思维方式,既明于心又说于口。
2、遇到课堂中学生分析问题或解决问题出现错误,特别是一些受思维定势影响的“规律性错误”比如学生在处理商的小数点时受到小数加减法的影响。教师针对这种情况,是批评、简单否定还是鼓励大胆发言、各抒己见,然后让学生发现错误,验证错误,当然应该是鼓励学生大胆地发表自己的意见、看法、想法。学生对自己的方法等于进行了一次自我否定。这样对教学知识的理解就比较深刻,既知其然,又知其所以然。而且学生通过对自己提出的问题,分析或解决的问题提出质疑,自我否定,有利于学生促进反思能力与自我监控能力。 数学教学活动应该是一个从具体问题中抽象出数学问题,并用多种数学语言分析它,用数学方法解决它,从中获得相关的知识与方法,形成良好的思维习惯和应用数学的意识,感受教学创造的乐趣,增进学生学习数学的信心,获得对数学较为全面的体验与理解。因此,学生是数学学习的主人,教师应激发学生的学习积极性,要向学生提供充分
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从事数学活动的机会,帮助他们掌握基本的数学知识、技能、思想、方法,获得丰富的数学活动经验。
二、教学思路
一个数除以小数”即“除数是小数的除法”是九年义务教育六年制小学数学第九册的重点知识之一。本节教材的重点是:除数是小数的除法转化成除数是整数的除法时小数点的移位法则。其关键是根据“除数、被除数同时扩大相同的倍数,商不变”的性质,把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。
1、 调查分析
在教学小数除法前一个星期,笔者对曾对班内十五位同学进行了一次简单的调查,(调查结果见附表)笔者认为学生存在很大的教学潜能,这些潜在的“能源”就是教学的依据,教学的资源。从上表可以得出以下结论:
(1) 学生对小数除法的基础掌握的比较巩固。
(2) 学生运用新知识解决实际问题的能力存在比较明显的差异,但不同的学生具有不同的潜力。
(3) 优秀学生与学习困难生对算理的理解在思维水平上有较大差异。但对竖式书写都不规范。
笔者认为小数除法如果按照教材按部就班教学是很不合理的,不仅浪费教学时间,而且不利于学生从整体上把握小数除法,不利于知识的系统性的形成,更不利于学生对知识
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的建构。因此,笔者选择了重组教材。(把例6例7与例8有机的结合在一起)
2、利用迁移,明确转化原理
理解除数是小数的除法的计算法则的算理是“商不变的性质”和“小数点位置移动引起小数大小变化的规律”,把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法后就用“除数是整数的小数除法”计算法则进行计算。为了促进迁移,明确转化移位的原理,可设计如下环节:
(1)、小数点移动规律的复习
(2)、商不变规律的复习
(3)、移位练习
3、试做例题,掌握转化方法
明确转化原理后,让学生试算例题。在试做的基础上引导学生进行观察比较,抽象出转化时小数点的移位方法,最后概括总结出移位的法则。具体做法如下:
?.学生试做例题6例题7,并讲出每个例题小数点移位的方法。
?.学生试做例8
?.引导学生概括总结出转化时移位的方法,同时在此基础上归纳出除数是小数的除法计算法则。在得出计算法则后,还要注意强调:
(1)小数点向右移动的位数取决于除数的小数位数,而
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不由被除数的小数位数确定。
(2)整数除法中,两个数相除的商不会大于被除数,而在小数除法中,当除数小于1时,商反而比被除数大。
(3)要注意小数除法里余数的数值问题。对这一问题可举例说明。如:57.4?24,要使学生懂得余数是2.2,而不是22。
4、专项训练,提高“转化”技能
除数是小数的除法,把除数转化成整数后,被除数可能出现以下情况:被除数仍是小数;被除数恰好也成整数;被除数末尾还要补“0”。针对上述情况可作专项训练:
?.竖式移位练习。练习在竖式中移动小数点位置时,要求学生把划去的小数点和移动后的小数点写清楚,新点上的小数点要点清楚,做到先划、再移、后点。这种练习小数点移位形象具体,学生所得到的印象深刻。
?.横式移位练习。练习在横式中移动小数点位置时,由于“划、移、点”只反映在头脑里,这就需要学生把转化前后的算式建立起等式,使人一目了然。
(1)判断下面的等式是否成立,为什么,
教学过程
(一)复习导入
1(要使下列各小数变成整数,必须分别把它们扩大多少倍,小数点怎样移动,
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1.2 0.67 0.725 0.003
2(把下面的数分别扩大10倍、100倍、1000倍是多少,
1.342, 15, 0.5, 2.07。
3(填写下表。
根据上表,说说被除数、除数和商之间有什么变化规律。(被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变。)
根据商不变的性质填空,并说明理由。
(1)5628?28=201; (2)56280?280=( );
(3)562800?( )=201; (4)562.8?2.8=( )。
(重点强调(4)的理由。(4)式与(1)式比较,被除数、除数都缩小了10倍,所以商不变,还是201,即562.8?2.8=5628?28=201)
(该环节的设计意图是通过学生的讲与练,理解其转化原理是:当除数由小数变成整数时,除数扩大10倍、100倍、1000倍??被除数也应扩大同样的倍数。)
(二)探究算理 归纳法则
1(学习例6:
一根钢筋长3.6米,如果把它截成0.4米长的小段。可以截几段,
(1)学生审题列式:3.6?0.4。
(2)揭示课题:
这个算式与我们以前学习的除法有什么不同,(除数由整
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数变成了小数。)
今天我们一起来研究“一个数除以小数”。(板书课题:一个数除以小数。)
(3)探究算理。
?思考:我们学习了除数是整数的小数除法,现在除数是小数该怎样计算呢,
(把除数转化成整数。)
怎样把除数转化成整数呢,
?学生试做:
板演学生做的结果,并由学生讲解:
解法1:把单位名称“米(来自:WwW.xltkwJ.cOm 小龙 文档 网:高中数学讲课比赛视频)”转换成厘米来计算。
3.6米?0.4米=36厘米?4厘米=9(段)。
解法2:
答:可以截成9段。
讲算理:(为什么把被除数、除数分别扩大10倍,)
把除数0.4转化成整数4,扩大了10倍。根据商不变的性质,要使商不变,被除数3.6也应扩大10倍是36。
小结:这道题我们可以通过哪些方法把除数转化成整数,
(?改写单位名称;?利用商不变的性质。)
(3)练习:完成例7
思考:你用哪种方法转化,为什么,
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同桌互相说说转化的方法及道理。独立计算后,订正。例7里的余数15表示多少,
强调:利用商不变的性质,把被除数和除数同时扩大多少倍,由哪个数的小数位数决定, (由除数的小数位数决定。因为我们只要把除数转化成整数就成了除数是整数的小数除法。如0.756?0.18=75.6?18。)
(设计意图:在试做的基础上引导学生初步感受转化时小数点的移位方法,为自主概括法则作铺垫)
2(学习例8:买0.75千克油用3.3元。每千克油的价格是多少元,
学生列式:3.3?0.75。
(1)要把除数0.75变成整数,怎样转化,(把除数0.75扩大100倍转化成75。要使商不变,被除数也应扩大100倍。)
(2)被除数3.3扩大100.倍是多少,(3.3扩大100.倍是330,小数部分位数不够在末尾补“0”。)
(3)学生试做:
(3)比较例6、7与例8有什么不同,(被除数在移动小数点时,位数不够在末尾用“0”补足。)
(4) 练习:课本P49练一练第三题学生独立完成后,归纳小结。
(设计意图:对被除数小数点移位后补“0”的方法,教师
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可作适当点拨。学生试做后先不急于讲评,让他们对照教材中的两个例题,启发学生观察、比较两道例题的不同点与计算时的注意点。引导学生分析、比较,逐步抽象出移位的方法。让学生在充分积累经验的基础上归纳出除数是小数的除法的计算法则,会收到水道渠成的效果)
(三)展开练习 深化认识
1( (1)不计算,把下面各式改写成除数是整数的算式。
(2)下面各式错在哪里,应怎样改正,
2(根据10.44?0.725=14.4,填空:
(1)104.4?7.25=( );(2)1044?( )=14.4;
(3)( )?0.0725=14.4;(4)10.44?7.25=( );
(5)1.044?0.725=( );(6)1.044?7.25=( )。
3( (3)选出与各组中商相等的算式。
A.4.83?0.7 B.0.225?0.15
483?7 0.483?7 48.3?7
225?15 2.25?15 22.5?15
4(口算:
1.2?0.3= 0.24?0.08= 0.15?0.01= 2.8?4=
2.6?0.2= 4.6?4.6= 3.8?0.19= 2.5?0.05=
(设计意图:旨在通过各种形式的练习提高学生学习兴趣,巩固法则,强化重点,突破难点)
(四)回顾总结
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思考:除数是小数的除法应怎样计算,讨论得出(填空):除数是小数的除法的计算法则是:除数是小数的除法,先移动( )的小数点,使它变成( );除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也( )移动( )(位数不够的,在被除数的( )用“0”补足);然后按照除数是( )的小数除法进行计算。看书P46--49,划出重点词语。
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高中数学讲课视频精华在线
篇一:精华在线概括
精华在线整体概括
1.精华在线的校史:
精华在线是精华学校2007年12月推出的精品课程。讲授教师全部由精华学校“大师级”教师组成。其中有多位特级教师、北京四中、人大附的优秀教师,也有在精华学校具有超高人气的专职教师。
2.精华在线课程特色:
? 随时随地想听就听:
或许你已经对某位精华名师的课心仪已久,可是苦于时间冲突或是远在其他学区一直未能如愿。在线视频课程能够帮你实现——有了在线的账户,想报什么就报什么,想听什么就听什么,想什么时候听就什么时候听,想听多少遍就听多少遍。从此以后,再也不用忍痛割爱、左右为难了。 ? 精彩课程决不放过:
学校补课了,军乐团活动了,自己生病了……别跟我说你
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没有因为这些缺过课。缺课了怎么办,找老师要讲义,找同学借笔记,这些都是老办法了,现在你可以报名在线课程,全部内容均为精华面授课程实录,连老师上课讲的笑话和搞怪的表情也会为你保留,精彩再不要放过。 ? 课堂节奏我说了算:
题目有点难,我还没全懂,老师又讲下一道题了,举手让老师讲慢点儿,拜托,我可是要面子的人 :不过,我可以再听一遍,或者N遍,我还可以让老师暂停,容我想明白了再接着讲。有了在线课程,老师的课堂节奏我说了算。怎么样,很有面子吧, ? VIP答疑室:
是不是总觉得自己问题太多,接触老师时间太少,只要你拥有了在线账户,就可以在老师的答疑室随时提问,再也不用担心自己挤不过别人。告诉你一个小秘密:即使你没报老师的在线课程,听了面授班的课有不明白的也可以在这里提问。不过咱可说好了,老师可不会替你做作业、写作文啊。 ? 我积我积我多多的积:
报了在线课程还有更多的积分;听完课点评一下,精华的客服姐姐觉得对其他同学有帮助,推荐了还会奖励积分。“等我攒够了分,我就换肯德基的餐券……要不再忍一忍,多攒一些换米奇巧掀碟,妈妈说了,只要我坚持学习,凭自己的努力,这些都能换到~”
? 面授班学员激活在线学号,更可额外获得5分积分奖励,
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详细规定请参看积分规则。 ? 精华的积分兑换方式已改为在线提交订单(请先激活学号,登录后到“积分奖励”选择积分礼品),还可选择快递送货上门,更多精彩体验试了才知道。
3.精华在线课程优势:
精华在线面向中学提供全科课堂实录课程,不放过老师在课堂上每一处即兴发挥的精彩~ ?基础同步系列:与学校教学进度保持一致,即学即巩固 ?专题深化系列:针对弱项难点,加强辅导
?方法技巧系列:强化学习能力培养,提升应试水平 ?决胜冲刺系列:高屋建瓴,实现与高考命题无缝对接 ?素质拓展系列:提升学习兴趣,培养学科素养
篇二:精华在线 2015-2016届 第2次统练数学试卷
二 填空题(每题7分,共计21分)
7. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________
精华学校2015-2016届全日制沙河校区第 二 次统练 数学 试卷
时间:50分钟 满分:100分
一 选择题(每题7分,共计42分)
1. 已知集合A={x|x2,x,2<0},B={x|,1<x<1},则( ) (A)A??B (B)B??A(C)A=B (D)A?B=?
2. 下列函数中,即是偶函数又在?0,???单调递增的函数是()(A)y?x3 (B)y?x?1
3
3. 设a?log32,b?log52,c?log23,则( )
(A)a?c?b(B)b?c?a (C)c?b?a (D)c?a?b
(C) y??x2?1(D)y?2?x
8. 若函数f(x)?kx?lnx在区间(1,??)单调递增,则k的取值范围是(x+1)2+sinx
9. 设函数f(x)=M,最小值为m,则M+m=____
x2+1三 解答题(第10题18分,第11题19分,共计37分)
10. 已知函数f(x),ex,ax,1. (1)求f(x)的极值;
(2)是否存在a,使f(x)在(,2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由(
1?时 f 4. 已知函数f (x) 满足f(x+2)=f(x),当x???1,(x) =x2,那么函数y = f (x) 的图像与函数y =lgx的图像的交点共有()
(A)10个(B)9个(C)8个 (D)1个
5.在下列区间中,函数f(x)?ex?4x?3的零点所在的区间为()
111113
(A)(?,0) (B)(0,)(C)(,) (D)(,)
444224
ex2
11. 设函数f(x),x,k(x,ln x)(k为常数,e,2.718 28…是
4
自然对数的底数)( (1)当k?0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围(
?x?1?
6. 已知a,0,x,y满足约束条件?x?y?3 ,若z=2x+y的最小值为1,则a=
?y?a?x?3??
( )
1
(A)
4
(B)
1 2
(C)1 (D)2
精华学校2015-2016届全日制沙河校区第 二 次统练 数学 答题纸
班级 姓名考号 成绩
三 解答题 10.
xe,2ek?x,2?,
xx?x,2??ex,kx?,.
x由k?0可得ex,kx0,
所以当x?(0,2)时,f′(x)<0,函数y,f(x)单调递减; 当x?(2,,?)时,f′(x)0,函数y,f(x)单调递增(
5
精华学校2015-2016届全日制沙河校区第 二 次统练 数学 答案
班级 姓名考号 成绩
所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,,?)( (2)由(1)知,k?0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)内不存在极值点;
当k0时,设函数g(x),ex,kx,x?(0,,?)( 所以g′(x),ex,k,ex,eln k, 当0<k?1时,
当x?(0,2)时,g′(x),ex,k0,y,g(x)单调递增( 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点( 当k1时,
得x?(0,ln k)时,g′(x)<0,函数y,g(x)单调递减; x?(ln k,,?)时,g′(x)0,函数y,g(x)单调递增( 所以函数y,g(x)的最小值为g(ln k),k(1,ln k)( 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点, g?0?0,
??g?ln k?<0,
当且仅当?g?2?0,
??0<ln k<2.e2
解得e<k<2
综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围
三 解答题
10. 解 f′(x),ex,a,
6
(1)若a?0,则f′(x),ex,a?0, 即f(x)在R上单调(来自:WWw.xlTkwj.com 小龙文 档网:高中数学讲课视频精华在线)递增,
若a0,令ex,a?0,则ex?a,x?ln a. 因此当a?0时,f(x)的单调增区间为R, 当a0时,f(x)的单调增区间为[ln a,,?)( (2)?f′(x),ex,a?0在(,2,3)上恒成立( ?a?ex在x?(,2,3)上恒成立( ?e2<ex<e3,只需a?e3.
,
当a,e3时,f′(x),ex,e3<0在x?(,2,3)上恒成立, 即f(x)在(,2,3)上为减函数,?a?e3.
故存在实数a?e,使f(x)在(,2,3)上为减函数(
3
11. 解 (1)函数y,f(x)的定义域为(0,,?)(
x2ex,2xex21
f′(x),k(,) xxx
篇三:精华在线 函数应用基础测试
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一、选择题(共10小题) 1((2015?陕西)设f(x)=
,则f(f(,2))=( )
3((2015?山东)设函数f(x)=a
,若f(f()
)=4,则b=( )
7
b
x
4((2015?太原一模)已知实数a,b满足2=3,3=2,则函数f(x)=a+x,b的零点所在
5((2015?上海模拟)在关于x的方程x,ax+4=0,x+(a,1)x+16=0,x+2ax+3a+10=0
6((2015?江西二模)已知f(x)=
,
,m有两个不同的零点,则m
2
2
2
,x
7((2015
?衡阳县校级二模)已知函数f(x)=e,(x,0)与g(x)=ln(x+a)的图象
8((2015?腾冲县一模)已知函数f(x)=g(x)=,
9((2015?河南二模)已知函数f(x)=
,若f(f(
1))=4a,则实数a等于
)
二、填空题(共5小题)(除非特别说明,请填准确值)
8
11((2015?开封模拟)设奇函数f(x)的定义域为R,且周期为5,若f(1)=,1,f(4)=log2a,则a=
12((2015?湖北)函数
的零点个数为
13((2015?重庆)设a,b,0,a+b=5,则的最大值为(14((2015?安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x,a|,1的图象只有一个交点,则a的值为(
15((2015?上海模拟)若关于x的方程lg(x+ax)=1在x?[1,5]上有解,则实数a的取值范围为(
三、解答题(共5小题)(选答题,不自动判卷) 16((2015?杭州一模)设函数f(x)=
2
(1)若方程f(x)=m有两个不同的解,求实数m的值,并解此方程; (2)当x?(,b,b)(b,0)时,求函数f(x)的值域(
17((2015?市中区校级模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资关系如图(1)所示;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)所示(注:利润和投资单位:万元)(
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,
9
B两种产品的生产(问怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元,
18(((2015春?宁波校级期中)已知实数x,y满足:
+=1(
(?)解关于x的不等式:y,x+1; (?)若x,0,y,0,求2x+y的最值( 19((2015?静安区一模)某地的出租车价格规定:起步费a元,可行3公里,3公里以后按每公里b元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里c元计算(这里a、b、c规定为正的常数,且c,b),假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定(
(1)若取a=14,b=2.4,c=3.6,小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元,(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费y(元)与行车里程x(公里)之间的函数关系式y=f(x)(
20((2015?广东模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx(x?R),(1)求a的值,并求函数f(x)的单调递增区间; (2)若α的值(
,且
,
10
,求sin(α+β)
是函数f(x)的一个零点(
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参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题) 1((2015?陕西)设f(x)=,则f(f(,2))=( )
3((2015?山东)设函数f(x)=,若f(f())=4,则b=( )
a
b
x
4((2015?太原一模)已知实数a,b满足2=3,3=2,则函数f(x)=a+x,b的零点所在
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11
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必修2
1. 1(1空间几何体的结构(巩固)-必修2
2. 1.2.12中心投影和平行投影,空间几何体的三视图-必修2 3. 1.2空间几何体的三视图和直观图(巩固)-必修2 4. 1.2.3空间几何体的直观图-必修2
5. 1.3.1.1柱体、锥体、台体的表面积-必修2 6. 2.13空间几何体的表面积与体积-必修2
7. 1.3.1空间几何体的表面积与体积(巩固)-必修2 8. 1.3.2空间几何体的表面积与体积(巩固)-必修2 9. 1.3.2球的体积和表面积-必修2
10. 2.1.1平面-必修2
11. 2.1.1平面(巩固)-必修2
12. 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(巩固)-必修2 13. 2.1.34空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系-必修2 14. 2.2.1直线与平面平行的判定-必修2
15. 2.2.2平面与平面平行的判定-必修2
16. 2.2.3直线与平面平行的性质-必修2
17. 2.2.4平面与平面平行的性质-必修2
18. 2.3.1直线与平面垂直的判定-必修2
19. 2.3.2平面与平面垂直的判定-必修2
20. 2.3.3直线与平面垂直的性质-必修2
21. 2.3.4平面与平面垂直的性质-必修2
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22. 3.1.1直线的倾斜角和斜率-必修2
23. 3.1.2两条直线平行与垂直的判定-必修2
24. 3.2.1直线的点斜式方程-必修2-
25. 3.2.2直线的两点式方程-必修2
26. 3.2.3直线的一般式方程-必修2
27. 3.1两条直线的交点坐标--必修2
28. 3.3.2两点间的距离-必修2
29. 4.1 圆的方程-圆的方程-必修2
30. 圆的一般方程
31. 4.2直线与圆的位置关系-必修2
4.3空间直角坐标系(巩固)-必修2
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篇一:教学片断与案例
教学片断与案例
1、综合法和分析法的一个教学片断
师:合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的(观察、思考下列证明过程各有什么特点,它们是以怎样的形式使结论获证的,
引例1已知a,b0,求证a(b?c)?b(c?a)?4abc
证明:因为b?c?2bc,a?0,所以a(b?c)?2abc,
因为c?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.
因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.
引例2已知a,b?
R,求证:
证明:要证?2222222222222222a?b?
2a?b?
a?b?,
2
只需证a?b?
0,只需证2?0
1
因为2?0显然成立,所以原不等式成立(
a,b,c?0 引例3已知a?b?c?0,ab?bc?ca?0,abc?0.求证:
证:设a?0,?abc?0,?bc?0
又由a?b?c?0,则b?c??a?0
?ab?bc?ca?a(b?c)?bc?0,与题设矛盾
又若a?0,则与abc?0矛盾,?必有a?0. 同理可证:
b?0,c?0
设计意图:通过三种证明方法案例的展示,引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点,为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识,也为理解不同证明方法的表述形式打下基础(引例1、2的方法是本课要学习的重点内容,引例3的方法(反证法)是下一课的学习任务,在此给出引例3有两方面的作用,一方面,让学生对不同方法有一个整体认识与了解,另一方面,为下一课的学习作好铺垫(
对三个引例,引导学生分两个层次比较、归纳(第一层次的比较,是否直接针对结论进行证明,得出直接证明与间接证明;第二层次的比较,是引例1、2之间,证明的起点及逻辑推理形式,由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法:综合法与分析法(
2、归纳探索的一个教学片断
问题情境:(河内塔游戏)传说在古老的印度有一座神庙,
2
神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“过渡”的作用.
?每次只能移动1个圆环;
?较大的圆环不能放在较小的圆环上面.
如果有一天,僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上,那么世界末日就来临了.
请你推测:把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
启发性思考:首先,你是否理解了这个问题,是否理解清楚了圆环的移动规则,是否明白了问题要求什么,然后,你打算怎样考虑这个问题,能否把问题化简单、化容易一些,怎样的情况会更简单、更容易呢,(为归纳作准备,逐步形成归纳意识)
【评析】这一系列的启发性思考问题,在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时,首先要准确理解好问题,然后学会寻找问题的切入点(
生成预设:片数较少的情况会更简单、更容易,先考虑片数较少的情况,看看1片、2片、3片、…,等情况,再找找方法规律或联系,考虑解决更难、更一般的情况.
操作实验:(1)可先让学生进行适当的思想实验,想明白1片、2片、3片时的情况,并引进符号an表示n片圆环的
3
移动次数;
(2)再用课前备好的四个大小不一的圆环,让两位学生对2个、3个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验,其他学生注意观察并思考规律(
生成预设:(1)表面的试验观察结果可能只是
a1?1,a2?3,a3?7,a4?15,?,
进而发现规律
1?21?1,3?22?1,7?23?1,15?24?1,…,猜想a64?264?1(
(2)更进一步的试验、观察可能发现:
a1?1,a2?1?2,a3?1?2?4,a4?1?2?4?8,?(
即:对于两个圆环,底下一个只要移动1次,上面一个则要移动2次;对于3个圆环,由下到上,第1个只要移动1次,第2个需要移动2次,第3个则要移动4次;对于4个圆环的情况可作同样解释(
进而猜想a64?1?2?22???263?264?1(
(3)更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律,在理性的层面上解决问题:移动n个圆环时,只要化归为移动n?1个圆环即可,第一步,先把上面的n?1个圆环按要求移到2号针上,需移an?1次;第二步,把最底下的第n个圆环移到3号针上,需要移1次;第三步,再把2号针的n?1个圆环移到3号针,需要再移an?1次,从而得an?2an?1?1,这样就可依次求得各种圆环数的移动次数,或
4
转化为等比数列an?1?2(an?1?1),结合a1?1,求得通项an?1?2?2n?1,即an?2n?1(
【评析】移动3个、4个圆环的情况,学生可能会有一些困难(要根据学生的实际情况,给予适当的点拨、提示,或质疑启发(
(1)缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况,这样,要试验求出a3、a4就更困难,而求出a3、a4对于归纳猜想又是关键所在(
(2)预设(2)体现了更进步的观察、归纳,是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性,从这样的角度,可能更有利于得出a3、a4(
(3)预设(3)则体现了更深的理性思考,这要从联系与转化的角度进行观察、思考(
让学生进行实际的试验操作,给学生以感性体验,并通过动手操作,促进思维领悟,这也体现了一种思维训练,在这过程中,也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质,对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用(另外,从省时的角度,也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验,并引导学生进行观察、思考,这种技术手段同样能产生较好的直观效果,也有利于学生的观察发现,但这种观察有一定的被动性(
在教学中,如何挖掘不同层次的学生思维潜能,让学生感
5
受不同角度、不同层次的观察、思考,归纳、概括,是值得我们教师下功夫的地方,相信这对学生的思维训练是大有好处的(
3、案例
案例1:头上戴的帽子的颜色(华罗庚的例子)
有位老师,想辨别他的3个学生谁更聪明(他采用如下的方法:事先准备好3顶白帽子,2顶黑帽子,让他们看到,然后,叫他们闭上眼睛,分别给戴上帽子,藏起剩下的2顶帽子,最后,叫他们睁开眼,看着别人的帽子,说出自己所戴帽子的颜色(3
个学生互相看了看,都踌躇了一会,并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的你,想想看,他们是怎样推算出来的呢,他们怎样能够从别人头上帽子的颜色,正确地推断出自己头上帽子的颜色的呢,
“为了解决上面的伺题,我们先考虑“2个人,1顶黑帽,2顶白帽”问题(因为,黑帽只有1顶,我戴了,对方立刻会说自己戴的是白帽(但他踌躇了一会,可见我戴的是白帽(这样,“3人2顶黑帽,3顶白帽”的问题也就容易解决了(假设我戴的是黑帽子,则他们2人就变成“2人1顶黑帽,2顶白帽”问题,他们可以立刻回答出来,但他们都踌躇了一会,这就说明,我戴的是白帽子,3人经过同样的思考,于是,
6
都推出自己戴的是白帽子(看到这里。同学们可能会拍手称妙吧(
后来,华罗庚还将原来的问题复杂化,“n个人,n-1顶黑帽子,若干(不少于n)顶白帽子”的问题怎样解决呢,运用同样的方法,便可迎刃而解(他并告诫我们:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窃(
简化问题:有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明. 他采用如下的方法:事先准备好两顶白帽子,一顶黑帽子,让学生们看到,然后让他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子,并把剩下的那顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛,看着对方的帽子,说出自己所戴帽子的颜色. 两个学生互相望了望,犹豫了一小会儿,然后异口同声地说:“我们戴的是白帽子” .
聪明的各位,想想看,他们是怎么知道的,
这里的思维方式就是推理.
案例2:探索活动是如何进行的,(华罗庚的例子)
面对着一个装有不明物的袋子,观察者问自己,这袋子里装的是什么,于是探索活动开始了。
从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们立刻会出现一种猜想:“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球,”但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,
7
这个猜想失败了;这时,我们会出现另一种猜想:“是不是袋里的东西全都是玻璃球,”但是,当有一次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了;那时,我们又会出现第三个猜想:“是不是袋里的东西
都是球,”这个猜想对不对,还必须继续加以检验,要把袋里的东西全部摸出来,才能见个分晓。
袋子里的东西是有限的,迟早总可以把它摸完,由此可以得到一个肯定的结论,但是,当东西是无穷的时候,那怎么办,
如果我们有这样的一个保证:“当你这一次摸出红玻璃球的时候,下一次摸出的东西,也一定是红玻璃球”,那么,在这样的保证之下,就不必费力去一个一个地摸了。只要第一次摸出来的确实是红玻璃球,就可以不再检查地作出正确的结论:“袋里的东西全部是红玻璃球”。
华罗庚举的这个例子,是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。
人们应用简单枚举归纳推理,当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来,然而这还是一个“猜想”。这种猜想对不对,还必须进一步加以验证。因为对于不完全归纳推理来说,结论所断定的范围超过了前提所断定的范围,所以,它的结论就不具有必然性,它可能真,也可能假。
从一个袋子里摸球,连续摸了五次,摸的都是红玻璃球,
8
这时候,我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论:“这个袋子里装的都是红玻璃球。”但是,你在得出这个结论时,必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。正如这个例子所表明的,你第六次摸出的,却是白玻璃球了,这就把你的这个结论推翻了。因此,当你摸了六个球时,虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论;摸第七个球时,可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论,但必须明白,这些结论同样都是或然的。总而言之,我们在进行简单枚举归纳推理时,必须充分估计到其结论的或然性。
案例3:我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油;
案例4:三角形的内角和为,四边形的内角和为,五边形的内角和为,……,所以边形的内角和为
;
π0,. 案例5[2014?北京卷] 已知函数f(x),xcos x,sin x,x???2(1)求证:f(x)?0;
πsin x0,恒成立,求a的最大值与b的最小值( (2)若a<b对x???2x
篇二:高中数学教学案例
问题一、上述结论对其他函数成立吗,为什么,
画出函数的图象:、、,比较函数图象与轴
9
的交点和相应方程的根的关系。
函数的图象与轴交点,即当,该方程有几个根,的
图象与轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标。
意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数。
2(函数零点概念
对于函数,把使的实数叫做函数的零点。
说明:函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值。
3(方程的根与函数零点的关系
方程有实数根 函数
函数的图象与轴有交点 有零点
以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解,同样,函数问题有时也可转化为方程问题(这正是函数与方程
思想的基础。
4(零点存在性定理
问题二、观察图象(气温变化图)片段,根据该图象片段,将其补充成完整函数图象,并问:是否有某时刻的温度为0?,为什么,(假设气温是连续变化
的)
意图:通过类比得出零点存在性定理。
给出零点存在性定理:如果函数
曲线,并且有
10
,使得,那么,函数在区间上的图象是连续不断一条内有零点.即存在的根。 在区间,这个c也就是方程
问题三、不是连续函数结论还成立吗,请举例说明。
结合函数的图象说明。
问题四、若
问题五、若,函数,函数在区间在在区间在上一定没有零点吗, 上只有一个零点吗,可能
有几个,
问题六、时,增加什么条件可确定函数
有一个零点,
意图:通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。
5(例题:求函数的零点的个数。 在区间在上只
问题七、能否确定一个区间,使函数在该区间内有零点。
问题八、该函数有几个零点,为什么,
意图:通过例题分析,学会用零点存在性定理确定零点存在区间,并且结合
函数性质,判断零点个数的方法。
六(目标检测设计
1.函数在区间[-5,6]上是否存在零点,若存在,
有几个,
2.利用函数图象判断下列方程有几个根
(1)
11
(2); 。
3(指出下列函数零点所在的大致区间
(1)
(2)
最后,师生共同小结(略)。
思考题:函数的零点在区间内有零点,如何求出这个; 。
零点,设计意图:为下一节“二分法”的学习做准备。
篇三:片段教学
一、什么是片段教学
所谓片段(片断)教学,是相对于一节完整的课堂教学而言。一般说来,截取某节课的某个局部的教学内容,让教师进行教学,时间大致限定在十来分钟。也就是说,片段教学只是教学实施过程中的一个断面,执教者通过完成指定的教学任务,来表现自己的教学思想、教学能力和教学基本功。
片段教学与正常的课堂教学不同,前者是局部的、虚拟的,功用是教研或评价,听课者是领导、同行或专家、评委;而后者是整体的、实际的,功用是“传道受业解惑”,听课者是学生。片段教学也不同于教学片段,前者是根据指定的“片段”进行教学,教学设计和实施过程都是独立的;而后者只是课后从完整的课堂教学过程中截取某一部分记录罢了。片段教学更不同于“说课”,前者是实施(或模拟)课堂教学,而后者只是谈论课堂教学。片段教学具有很强的独立性,但
12
与说课联系比较密切,不少的教研活动和教学水平的考核,往往先让教师进行说课,然后再要求在说课基础上进行片段教学,把教学设想及其理论依据跟教学实施有机地联系起来,以克服教学理论脱离实际的弊端。
二、片段教学的类型
从教学内容看,片段教学可分为节选与专题两种类型。节选类是从教材中选取某些片段进行教学,教者根据节选的内容确定教学目标,设计教学方案,然后实施课堂教学。专题类是从某节课中抽取一个专题(或一个知识点、能力点,或一个教学环节)让教师施教,教者以此为目标进行教学。同是朱自清的《荷塘月色》,如果指定课文的第四、五段进行片段教学,就属于节选类;如果要求教师引导学生学习课文中的“通感”方法,则为专题类片段教学。再比如,高中英语第二册下第一单元的阅读部分,如果指定课文中的第一自然段进行教学,就属于节选类;如果要求教师引导学生学习本课中likely与possible,probable三个单词的区别,则为专题类片段教学。
从教学场景看,片段教学可分为实境
与虚境两种类型。实境型片段教学为教者提供真正的课堂,教者可以面对学生进行教学。虚境型则只能面对评委或参加
教研活动的老师进行模拟教学。由于虚境型片段教学不为时空所限,操作方便,所以尽管有脱离学生主体之弊,但在
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事实上更频繁地被使用。
从选题来源看,片段教学可分为自定和他定两种类型。自定型是由教者自己选择片段教学的内容;他定型则由他人(专家、评委、组织者)指定选题,教者按要求进行片段教学。教研活动多采用自定型片段教学,事先做好充分的准备,有利于开展教研活动,展示教师的风采。竞赛活动和评价工作多采用他定型片段教学,临时抽签,当场限时准备,依次上课,以检测教师的素质和教学水平,能够比较客观地评判其高下优劣。
三、片段教学的基本特征
1、实践性
这是片段教学最基本也是最重要的特征,因为从本质上说,片段教学就是一次教学实践活动。如果说课是教者向听众展示其对某节课教学设想的一种方式,重点在于比较系统地介绍教学设计及其理论依据,那么片段教学就是将此教学构想具体化实践化的过程,目的在于体现其教学设计的合理性、可行性和实效性。因此片段教学将课堂教学实践与教育教学理论有机的结合起来,做到实践与理论的统一。
2、完整性
前面说过,片段教学相对而言在内容上只是局部的,因此这里所谓的完整性是指教学步骤的完整。因为片段教学不是宣讲教案,也不是浓缩课堂,而是如同平时授课那样实现教
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学重点和教学难点的突破,完成教学目标,所以要求进行片段教学时候也要有清晰而又完整的教学步骤实施过程。另一方面,片段教学也要确定教学重点和难点,也要进行教学设计,然后才是课堂实施,这一过程同样也表现了完整性。
3、虚拟性
这是虚境型片段教学所具有的一种特征。因为这种片段教学虽然在本质上是教学活动,但又与正常的教学活动有所不同,平时教学实践的实施对象是学生,而虚境型片段教学面对的却是同事、同行,甚至是评委,因此在教学实施过程中就带有浓重的虚拟色彩。
4、预设性
由于虚境型片段教学不可能面对真正的学生,学生的发言、学生的活动、师生的交流根本没有办法进行,而片段教学的虚拟性又决定这些是必不可少的,因此教师只有加以预设,片段教学才能顺利进行。这就要求教师不但要做到眼中有学生,还要做到心中有课堂,按预设进行有声有色的虚拟教学。
四、片段教学的意义
片段教学不受时间和场地的限制,人数可多可少,时间也可长可短,非常灵活。运用的范围也很广,领导检查教学情况、评价教师的教学水平、教师之间研讨教学,开展教学技能竞赛等均可采用片断教学的方法。因此片段教学不但具有
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教研作用,而且具有评价教师业务水平的功能。正是基于此,片段教学成为提高课堂教学质量和检测教师业务水平的有效途径之一。
1、片段教学有利于提高教师的教学能力
对教者而言,片段教学要求他在一定的教学思想的指导下,从教学内容的局部入手,寻求最佳的角度切入,安排恰当的教学活动,这与平时的教学完全一致,而且更集中,更精炼,更需要讲究教学艺术,更富有挑战性。对听者而言,片段教学对自己的启发不亚于整节课,而由于片段教学的精短使自己更容易吸取精华和发现问题,作为今后教学的借鉴。如果再加以真切的研讨并听取中肯的评点,那对提高教学能力是非常有益的。
2、片段教学有利于提高课堂教学的效率
教师通过片断教学,可以进一步明确教学的重点、难点,理清教学的思路,这样就可以克服教学中重点不突出,训练不到位等问题,提高课堂教学的效率。片段
教学重点突出,节奏紧凑,容不得拖沓,这正是高效率课堂所追求的。其实课堂教学无非是若干个片段教学的有机组合,片段效率提高了,整节课的效率自然而然也就提高了。
3、片段教学有利于提高教研活动的实效
听评课是常规的教研活动形式,在一定的时间和地点往往只能听到个别教师的课,虽然不乏针对性,但形式单一容量
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不大。教学片断比武(或观摩)不失为一种多样化高密度大容量的教研活动形式,而且不受教学进度、教育对象的限制,使最优化的教学片断得以展示。半天时间可安排上十个教师进行片段教学,给老师们提供了广泛的学习机会,极大地提高了教研活动的实效。
4、片段教学有利于提高评价教学水平的信度
众所周知,片段教学产生于说课之后,以弥补说课坐而论道的不足,于是这两种形式相辅相成,共同成为考核教师业务水平的重要手段之一。说课之后再通过片段教学,进一步考察教师的教育教学理论功底、专业知识掌握程度、课堂教学的调控和应变能力,进而综合评价教师的教学水平,显然远比仅凭说课定高下客观得多。
五、怎样进行片段教学
每个学科有每个学科的特点,因此,执教者首先要树立“大学科”“大课堂”的教育新理念,从知识积累入手,关注学生的内心需求,将兴趣作为学科学习的起点。其次,教师要准确地把握单元和本课的知识点,恰到好处地引导学生进行合作、探究式学习,在较短的时间内以最优化的组合完成既定的教学任务,把教学的亮点展示出来,这也是片段教学的精髓。第三,如果片段教学前要求说课,那么教者可先用一些时间简要介绍片段教学设计,然后用较多时间进行片段教学(一般可按规定时间安排)。教者要善于创设(虚拟)课堂
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教学情境,力求教学生动、简练,富有流动感和层次感。如果要求片段教学后进行说课,那么片段教学就可以用足给定的时间。下面具体说一说怎样进行片段教学:
1、表现崭新教学理念
在课改的背景下进行片段教学,必须表现新的教学理念。比如教学目标,就要根据三维目标来确定;教学方法,就要采用启发式、讨论式,就要充分发挥学生的主体作用,积极倡导自主、合作、探究的学习方式,而不能满堂灌;教学内容,也要采用新视角挖掘教材,体现新课程理念下的教学价值取向,而不能老生常谈。只有用新理念来指导片段教学,才跟得上教育教学新形势,片段教学才有学术价值。
2、注重片段教学设计
片段教学的内容或由教者自定,或由评委指定,但无论如何,都要吃透教材,做好片段教学设计,只有这样才能在教学时胸有成竹,做到有的放矢,从容不迫。教学设计涉及教学目标、教学重点难点、教学方法、教学步骤等。其中最应重视的是教法和步骤,教法可以体现你的教学理念,是突破重难点实现教学目标的途径,步骤则是教法的具体操作程序,安排好步骤可以使教学过程合理流动,有条不紊,富有层次感。在教学设计时,还要注意导入语设计、问答设计、活动设计、板书设计等,还可以考虑将平时自行设计、制作并已被教学实践证明是十分有效的实验仪器、可动式幻灯片
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等道具溶入教学片断之中,使之增色添彩。
3、善于虚拟教学情景
虚境型片段教学没有真正的学生,教者必须虚拟教学情景,让教学逼真地进行到底。教师可以让某生进行朗读,停顿片刻后,通过评价该生朗读的长处与不足来完成虚拟的朗读情景。教师可以提出一个问题让某生回答,停顿片刻后,通过评析该生的回答来完成虚拟的答题情景。教师可以让学生进行讨论,并在课堂上稍作巡视,通过对不同观点的评论来完成虚拟的讨论情景。还可以虚拟争论,虚拟质疑,虚拟辩论,虚拟活动等情景,使课堂教学师生互动,生生互动,生动活泼,给人置身其境的感觉。虚拟教学情景可以通过教师的口头语言、肢体语言、间歇停顿等来建构,再现真切的教学情境,忌用提示语加以说明。
4、注意运用教学语言
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高中数学必修五视频
篇一:高中数学必修5视频
高中数学必修5视频
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1. 1.1.1正弦定理-必修5
2. 1.1.2余弦定理-必修5
3. 1.2应用举-必修5
4. 2.1 数列的概念与简单表示-必修5法
5. 2.2 等差数列 -必修5
6. 2.3等差数列的前n项和 -必修5
7. 2.4 等比数列 -必修5
8. 2.5 等比数列的前n项和(公式记忆) -必修5
9. 3.1 .1不等关系与不等式(1) -必修5
10. 3.1 .1不等关系与不等式(1) -必修5
11. 3.1.2不等关系与不等式(2) -必修5
12. 3.2 一元二次不等式及其解法-必修5
13. 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划-必修5
14. 不等式的区域与线性规划-必修5
15. 3.4 基本不等式-必修5
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基本不等式求分式的最值-必修5 学科空间站 Ctrl+鼠标左击打开
篇二:高中数学必修1,2,3,4,5视频专辑
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1.1.1.1集合的含义与表示(讲授新课) ,必修1
2.1.1.1集合的含义与表示(1)(巩固),必修1
3.1.1.1集合的含义与表示(2)(巩固),必修1
4.1.1.1集合的基本关系(讲授新课),必修1
5.1.1.2集合间的基本关系(),必修1
6.1.1.3.1 交集并集(新课讲授) ,必修1
7.1.1.3.2 全集与补集,必修1
8.1.1.3集合的基本运算(1)(巩固)
9.1.1.3集合的基本运算(2)(巩固),必修1
10. 1.2.1 函数的概念(讲授新),必修1
11. 1.2.1函数的概念(1)(巩固)-必修1
12. 1.2.1函数的概念(2)(巩固)-必修1
13. 1.2.2 函数的表示法(讲授新课)--必修1
14. 1.2.2函数的表示法(1)(巩固)--必修1
15. 1.2.2函数的表示法(2)(巩固)--必修1
16. 1.3.1.1函数单调性(讲授新课)-必修一
17. 1.3.1.2函数的最大(小)值(讲授新课)-必修1
2
18. 1.3.1.2函数的最大(小)值(讲授新课)-必修1
19. 1.3.1最大(小)值(巩固)--必修1
20. 1.3.2奇偶性(讲授新课)--必修1
21. 1.3.2奇偶性(巩固)--必修1
22. 2.1.1 指数与指数幂的运算(新授课)-必修1
23. 1-2.1.1指数与指数幂的运算(巩固)-必修1
24. 2.1.2 指数函数及其性质--必修1
25. 2.1.2指数函数及其性质(1)(巩固)--必修1
26. 2.1.2指数函数及其性质(2)(巩固)--必修1
27. 2.2.1 对数与对数运算(新授课)--必修1
28. 2.2.1对数与对数运算(1)(巩固-)-必修1
29. 2.2.2 对数函数及其性质(新授课)-必修1
30. 2.2.2对数函数及其性质应用-必修1
31. 2.2.2对数函数及其性质(1)(巩固)--必修1
32. 2.2.3对数函数及其性质(2),反函数(巩固)-必修1
33. 2.3 幂函数(新授课)-必修1
34. 2.3幂函数的图像和性质(修改)-必修1
35. 2.3幂函数(1)(巩固)-必修1
36. 2.3幂函数(2)(巩固)--必修1
37. 2.2.3 指数函数与对数函数的比较,反函数-必修1
38. 第二章 基本初等函数(?)总结(巩固)-必修1
39. 3.1.1方程的根与函数的零点(新授课)-必修1
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40. 3.1.1方程的根与函数的零点-必修1
41. 3.1.1方程的根与函数的零点(巩固)-必修1
42. 3.1.2用二分法求方程的近似解(新授课)-必修1
43. 3.1.2用二分法求方程的近似解-必修1
44. 3.1.2用二分法求方程的近似解(巩固) -必修1
45. 3.2.1几类不同增长的函数模型-必修1
46. 3.2.1几类不同增长的函数模型(巩固) -必修1
47. 3.2.2函数模型的应用实例(新授课)-必修1
48. 3.2.2函数模型的应用实例-必修1
必修2
1. 1(1空间几何体的结构(巩固)-必修2
2. 1.2.12中心投影和平行投影,空间几何体的三视图-必修2
3. 1.2空间几何体的三视图和直观图(巩固)-必修2
4. 1.2.3空间几何体的直观图-必修2
5. 1.3.1.1柱体、锥体、台体的表面积-必修2
6. 2.13空间几何体的表面积与体积-必修2
7. 1.3.1空间几何体的表面积与体积(巩固)-必修2
8. 1.3.2空间几何体的表面积与体积(巩固)-必修2
9. 1.3.2球的体积和表面积-必修2
10. 2.1.1平面-必修2
11. 2.1.1平面(巩固)-必修2
12. 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(巩固)-必修2
4
13. 2.1.34空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系-
必修2
14. 2.2.1直线与平面平行的判定-必修2
15. 2.2.2平面与平面平行的判定-必修2
16. 2.2.3直线与平面平行的性质-必修2
17. 2.2.4平面与平面平行的性质-必修2
18. 2.3.1直线与平面垂直的判定-必修2
19. 2.3.2平面与平面垂直的判定-必修2
20. 2.3.3直线与平面垂直的性质-必修2
21. 2.3.4平面与平面垂直的性质-必修2
22. 3.1.1直线的倾斜角和斜率-必修2
23. 3.1.2两条直线平行与垂直的判定-必修2
24. 3.2.1直线的点斜式方程-必修2-
25. 3.2.2直线的两点式方程-必修2
26. 3.2.3直线的一般式方程-必修2
27. 3.1两条直线的交点坐标--必修2
28. 3.3.2两点间的距离-必修2
29. 4.1 圆的方程-圆的方程-必修2
30. 圆的一般方程
31. 4.2直线与圆的位置关系-必修2
4.3空间直角坐标系(巩固)-必修2
必修3
5
1. 1.1.1算法的概念--必修3
2. 1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构-必修3
3. 1.2基本算法语句-必修3
4. 1.3.1算法案例-辗转相除法与更相减损术-必修3
5. 1.3.2算法案例--秦九韶算法-- 必修3
6. 1.3.3算法案例--进位制-必修3
7. 2.1.1简单随机抽样-必修3
8. 2.1.2系统抽样-必修3
9. 2.1.3分层抽样-必修3
10. 2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 -必修3
11. 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征-必修3
12. 2.3变量间的相关关系-必修3
13. 3.1.1随机事件及其概率
14. 3.1.2《概率的意义》课堂实录
15. 3.1.3 概率的基本性质-必修3
16. 3.1.12随机事件的概率-必修3
17. 3.2 古典概型-必修3
3.3几何概型-必修3
必修四
1. 1.1.1任意角-必修4
2. 1.1.2弧度制-必修4
3. 1.2.1任意角的三角函数(1) -必修4
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4. 1.2.1任意角的三角函数(2) -必修4
5. 1.2.2同角三角函数的基本关系-必修4
6. 1.3.1三角函数的诱导公式-必修4
篇三:高中数学必修五全套教案
第一章 解三角形
章节总体设计
(一)要求
本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标:
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦
定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
(二)编写意图与特色
1(数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,
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它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中,学生已经学习了相关边角关系的定性的知识,就是“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”,“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题:“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学。
2(注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系,注意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好准备,能使整套教科书成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时,
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让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样,从联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容,位置相对靠后,在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容,这使这部分内容的处理有了比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,方法不够简洁,教科书则用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三
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角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系,”,并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.从上可知,余弦定理是勾股定理的推广.”
3(重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,学生应用数学的意识不强,创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学知识应用到实际问题中去,对所学数学知识的实际背景了解不多,虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强,但当面临一种新的问题时却办法不多,对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况,本章重视从实际问题出发,引入数学课题,最后把数学知识应用于实际问题。
(三)教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理(约3课时)
1.2应用举例(约4课时)
1.3实习作业(约1课时)
(四)评价建议
1(要在本章的教学中,应该根据教学实际,启发学生不
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断提出问题,研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,应该因势利导,根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理,可以启发得到有应用向量方法的证明,对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也常常有多种不同的解决方案,应该鼓励学生提出自己的解决办法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法。
2(适当安排一些实习作业,目的是让学生进一步巩固所学的知识,提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力,增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导,包括对于实际测量问题的选择,及时纠正实际操作中的错误,解决测量中出现的一些问题。
课题:
1(1(1正弦定理
?教学目标
知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
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过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
?教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
?教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
?教学过程
?.课题导入
如图1(1-1,固定?ABC的边CB及?B,使边AC绕着顶点C转动。思考:?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系,
显然,边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来,?.讲授新课
[探索研究](图1(1-1)
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探
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讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1(1-2,在Rt?ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的
A
则定义,有a?sinA?,b?sinB,又sCi?n?c,1a
sin?b
sincsin?c?从而在直角三角形ABC中,a
sinbsin?c
sin CaB
(图1(1-2)
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立,
(由学生讨论、分析)
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图1(1-3,当?ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinB?bsinA,
则
同理可得
从而asinA?bsinB,
csin??bsin?,a
sinAbsinBcsinC Ac B (图1(1-3)
思考:是否可以用其它方法证明这一等式,由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。
??????(证法二):过点A作j?AC, C
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???????由向量的加法可得 AB?AC?CB ???
??????????????则j?AB?j?(AC?CB)?????????????????j?AB?j?AC?j?CB j
??????????jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?
?csinA?asinC,即
同理,过点C作j?BC,可得
从而 ac ??????bc ?a
sinA?b
sinB?c
sinC
类似可推出,当?ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)
从上面的研探过程,可得以下定理
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a
sinA?b
sinB?c
sinC
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使a?ksinA,
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b?ksinB,c?ksinC;
(2)a
sinA?b
sinB?c
sinC等价于a
sinA?b
sinB,c
sinC?b
sinB,a
sinA?c
sinC
从而知正弦定理的基本作用为:
?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a?bsinA; sinB
?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他
角的正弦值,如sinA?sinB。 a
b
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过
程叫作解三角形。
[例题分析]
例1(在?ABC中,已知A?32.00,B?81.80,a?42.9cm,
解三角形。
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解:根据三角形内角和定理,
C?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80)
?66.20;
根据正弦定理,
asinB42.9sin81.80
b???80.1(cm); sin32.0根据正弦定理,
asinC42.9sin66.20
c???74.1(cm). sin32.0评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2(在?ABC中,已知a?20cm,b?28cm,A?400,解三角形(角度精确到10,边长精确到1cm)。
解:根据正弦定理, bsinA28sin400
sinB???0.8999. 因为00,B,1800,所以B?640,或B?1160.
? 当B?640时,
C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760,
asinC20sin760
c???30(cm). sin40? 当B?1160时,
C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240,
asinC20sin240
c???13(cm). sin40评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 ?.课堂练习
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第4页练习第1(1)、2(1)题。
[补充练习]已知?ABC中,sinA:sinB:sinC?1:2:3,求a:b:c
(答案:1:2:3)
?.课时小结(由学生归纳总结)
(1)定理的表示形式:a
sinAsinBsinC
或a?ksinA,b?ksinB,c?k(转载于:www.XltkWJ.Com 小 龙文档 网:高中数学必修五视频)sinC(k?0)
(2)正弦定理的应用范围:
?已知两角和任一边,求其它两边及一角;
?已知两边和其中一边对角,求另一边的对
角。 ?b?c?a?b?c?k?k?0?; sinA?sinB?sinC
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