MMxxyyzz,,,,,,LMMs//,,00000
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L
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8.5.2 8.5.2Mxyz , ,,,
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xyz,,23 ,,411,
2 MxMx ,y ,z ,y ,z,,,,11112222
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xxyyzz,,,111,, xxyyzz,,,212121
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xyz,,,132,, mnp
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nn,,3 , -1 ,51 ,2 ,-3及,,,,12
i j k
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1 2 -3
,,,,7147ijk
xyz,,,132,, ,7147
xyz,,,132,, ,121
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,zt,,32,
2
PPx,y,z,,
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xt,,1,
,yt,,2,, zt,,32,
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xyz,,,,2100
xt,,2,,yt,,3 (2),
,zt,,42,
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1t,, 32
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2235142,,,,dPD,,,,,,,,1143 ,,,,,,222,,,,
xz,,23 ,,,y123
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xyz,,12 ,,020
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3 ,4 ,-1,,
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xt,,,12,350xy,,,,,LLyt::3,,,2 ,0 ,1,,,,122350yz,,,,,zt,,24,
xyz,,,321xyx,,12L:,,L:,,124123,212,,
320xyz,,,,,6322xyz,,,,
4
2240xyz,,,,,xyz,2 ,,与,xyz,,,,230,,112,
1,xt,,9,3,xyz,,1421 ,,,,与yt13,315,1,zt,,,153,
340610xzxy,,,,,,,, 与,,yzyz,,,,,,290290,,
xyz,,3442230xyz,,,,,,,,277
xyz,,1132780xyz,,,,,,327,
xyz,,,234xyz,,,,50,,314,
yz,,12x,,,52 ,0 ,-3,,,12
xt,,1x,3,,,,yt,,22yt,,11 ,2 ,1,,,,,,zt,,,13zt,,2,,
xyz,,43,,3 ,1 ,-2,,521
xByzD,,,,20,BD0 ,13 ,2,,,xyz,,,,36270,
xyz,,,123Axyz,,,,3420,,132
y,,10,A0 ,-1 ,1,,,xz,,,270,
5
公选课(3)-空间直线及其方程-点向式方程、和参数方程
第五节 空间直线及方程
与直线平行的非零向量称为该直线的方向向量。显然,直线的方向向量有无穷多个。
有立体几何知道,过空间一点可以作而且只能作一条平行于一条已知直线的直线。下面我们将利用这个结论来建立空间直线的方程。
设直线L 过点M 0(x 0, y 0, z 0), s ={m ,n ,p}是直线L 的方向向量(图8-23)。设M (x ,y ,z)
是直线L 上任意一点,则M 0M ={x -x 0, y -y 0, z -z 0},且M 0M //s 。由两向量平行的充
要条件可知
x -x 0m
=y -y 0
n
=z -z 0
p
(8.5.1)
方程组(8.5.1)称为直线的点向式方程或标准方程(当m 、n 、p 中有一个或两个为零时,就理解为相应的分子为零)。 若直线L 的方程为
x -x 0m
=y -y 0
n
=z -z 0
p
平面π的方程为
Ax +By +Cz +D =0
则直线L 与平面π 平行的充要条件是mA +nB +pC =0;直线L 与平面π 垂直得充要条件是
m A =n B =p C
在直线方程(8.5.1)中,记其比值为t ,则有
?x =x 0+m t
?
?y =y 0+nt (8.5.2) ?z =z +pt
0?
这样,空间直线上动点M 的坐标x 、y 、z 就都表达为变量t 的函数。当t 取遍所有实数值时,由(8.5.2)所确定的点M (x ,y ,z ) 就描出来直线。形如(8.5.2)的方程称为直线的参数方程,t 为参数。
例1 求过点M (2 ,0 ,3)且垂直于平面π4x +y -z +5=0的直线方程。 解 设所求直线方程为
x -2m
=y n =z -3p
由于直线垂直于平面π,所求可取平面π 的法向量n ={4 ,1 ,-1} 为直线的方向向量s ,
即
s ={m ,n ,p}={4 ,1 ,-1}
故所求的直线方程为
x -24
=y 1=z -3-1
例2 求过点M 1(x 1 ,y1 ,z1)M 2(x 2 ,y2 ,z2) 的直线方程。 解 设所求直线方程为
x -x 1m
=y -y 1
n
=z -z 1
p
由于直线过M 1 M2 ,所以可取向量M 1M 2={x 2-x 1 ,y 2-y 1 ,z2-z 1}为直线的方向向量 。
故所求直线方程为
x -x 1x 2-x 1
=y -y 1y 2-y 1
=y 1
=
z -z 1z 2-z 1z -3-1
的直线方程。
例3 求过点(1 ,-3 ,2) 且平行于两平面解 设所求直线方程为
x -1m
x -24
=
=
y +3n
=
z -2p
因为所求直线平行于两平面,故直线的方向向量s 垂直于两平面的法向量
n 1={3 , -1 ,5}及n 2={1 ,2 ,-3} ,所以可取
i j k
s ={m ,n ,p}=n 1?n 2=3 -1 5
=-7i +14j +7k
因此所求直线方程为
x -1-7
=y +314y +32
=z -27z -21
即
x -1-1
=
=
例4
?x =1-t
?
求直线?y =2+t 与平面2x +y -z -5=0 的交点。
?z =3-2t ?
解 设所求交点为P (x , y , )z ,显然P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程. 解方程组
?x =1-t
?
?y =2+t
?
?z =3-2t ??2x +y -z -5=0
得t=4 ,带入参数方程得x =-3, y =6, z =- 5。即交点P 的坐标为(-3, 6, -5) 。 例5 求点P (1 ,1 ,4) 到直线L :
x -21
=y -31
=z -42
的距离。
解: 先求过点P (1 ,1 ,4) 且垂直于直线L 的平面π的方程,显然,平面π的法向量为n ={1 ,1 ,2} ,则平面方程为 (x -1)+(y -1)+2(z -)4
即 x +y +2z -10= 0
再求平面 与直线L 的交点Q. 由于L 的参数方程为
?x =2+t
?
?y =3+t (2) ?z =4+2t ?
0 (1) =
将(2)代入(1),得 6t +3=0 即 t =-
12
(3)
32
将(3)代入(2)得点Q 的坐标为x =
, y =
52
, z =3
.所以点P 到L 的距离
2
d =PD =
=
。
习 题 8-5
将63—66题中的直线方程化为参数方程及一般方程。 63.
x -22
=y +1=
z +33
64. 2x -1=3-y =4z 65. 66.
x +51x -10
==y +20y +22
==z -12z 0
将67—70题中直线的一般方程化为点向式方程及参数方程。
67. ?
?x -y +z +5=0?5x -8y +4z +36=0
?x -5y +2z -1=068.?
z =2+5y ?
69. ?
?z =1?2x +3y =2
70.
?x -2y +5=0?
?y -6z -7=0
71. 求过点 M 1(2 ,3 ,1)和M 2(-1 ,2 ,0) 的直线方程。 72. 一直线通过点(2 ,2 ,-1) 且与直线
x -32
=y =
z -15
平行,求此直线方程。
73. 一直线通过点 (3 ,4 ,-1)且与直线
?x =3+t
?
?y =t
?z =1-2t ?
平行,求此直线方程。
?2x -y +1=0
74. 一直线通过点 (2 ,-2 ,0),且与直线? 平行,求此直线方程。
3y -2z +1=0?
75. 求过点(0 ,-3 ,2) 且与另两点(3 ,4 ,-7)、(2 ,7 ,-6) 联线平行的直线方程。 76. 求过点(2 ,-3 ,4) 且垂直于平面3x -y +2z =4 的直线方程。 77. 求过直线 面的直线方程。
?x =-1+2t
?3x +y -5=0?
L 2:?y =-3-t 都垂直的直线方程。78. 求过点(2 ,0 ,1) 与直线L 1:?
?2y -3z +5=0?z =2+4t
?
x -11
=y +1-1
=z -12
与平面x +y -3z +15=0 的交点,且垂直于该平
79. 求直线 L 1:80. 求直线 ?
x -34
=
y -2-12
=
z +13
和直线L 2:
x -12
=
y +2-1
=
x -2
的夹角。
?3x -y +2z =0?6x -3y +2z =2
的方向余弦(即方向向量的方向余弦)。
81. 求过点 (3 ,4 ,-2) ,方向角(即方向向量的方向角)为 60°, 45°,
120°,的直线方程。
确定82—84题中直线与直线的位置关系。 82.
?2x -y +2z -4=0
==与?-11-2?x -y +2z -3=0x
y
z +2
。
1?
x =-9t ?3?x +14y z +21
83. 。 ==与?y =1-3t
315?1
?z =--15t
3?
84.
?3x +z -4=0
与?
y +2z -9=0??6x -y +1=0
。 ?
y +2z -9=0?
确定85—87题中直线与平面的位置关系。 85.
x +3-2
x -13x +23===y +4-7y +1-2y -31==z 7z 7
与4x -2y -2z -3=0。 与3x -2y +7z -8=0 。
z -4-4
86. 87.
=
与x +y +z -5=0 。
y +1-1
z +22
求88—90题各平面的位置关系。 88.过点(2 ,0 ,-3) 且与直线 x -5=
=
垂直。
?x =1+t ?x =3??
89. 过点(1 ,2 ,1) 且与直线?y =2-2t 及?y =1-t 平行。
?z =-1-3t ?z =2-t ??
90. 过点(3 ,1 ,-2) 及直线
x -45
=
y +32
=
z 1
。
,过点(0 ,13 ,2) 且垂直于x 轴。
x +11
=y -23
=z -32
?x +B y -2z +D =0
91. B 和D 为何值时,直线?
?x +3y -6z -27=0
92. A为何值时,平面 Ax +3y -4z +2=0与直线93. 求点A (0 ,-1 ,1) 到直线?
?y +1=0?x +2z -7=0
平行。
的距离。
方程
一元一次方程
一、填空题
1、已知关于 x 的一元一次方程 ax+b=cx+d无解,则 a,b,c,d 应满足的条 件是 。
2、根据如图所示的程序计算函数值:
(1)当输入 x 的值为 时,输出结果为 _______.
(2)当输入的数为 ______时,输出的值为 -4.
二、计算题
3、解方程
: 。
4、一水果经销商购进了 A 、 B 水果各 10箱,分配给他的甲、乙两个零售店,预计每箱水果的赢利情况如下表:
(1)在甲、乙两店各分配 10箱水果,且保证两店共赢利 250元的情况下,请你给出分配方案;
(2)在甲、 乙两店各分配 10箱水果, 且保证乙店赢利不小于 l00元的情况下, 问经销商至少应分配给甲店 A 种水果多 少箱 ? 此时经销商赢利多少元 ?
5、 “五.一”黄金周期间,甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品,但推出不同的优惠方案:在甲店累计购买 100元商品后,再购买的部分按原价的 90%收费;在乙店累计购买 200元商品后,再购买的部分按原价的 80%收费.若 小明累计购物超过 200元.
(1)请分别写出小明在甲、乙两商店实际付费 元与累计购物 元之间的函数关系式;
(2)选择在哪家商店购物,小明能获得更多的优惠 ?
6、某人在电车路轨旁且与路轨平行的路上骑车行走,他留意到每隔 6分钟有一部电车从他后面驶向前面,每隔 2分
钟有一部电车从对面驶向后面.假设电车和此人行驶的速度都不变 (
分别用
、 表示 ) ,请你根据下面的示意图,
求电车每隔几分钟 (用 t 表示 ) 从车站开出一部
?
7、在我市南沿海公路改建工程中,某段工程拟在 30天内(含 30天)完成.现有甲、乙两个工程队,从这两个工程 队资质材料可知:若两队合做 24天恰好完成;若两队合做 18天后,甲工程队再单独做 10天,也恰好完成.请问:
(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天?
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 0. 6万元,乙工程队每天的施工费用为 0. 35万元,要使该工程的施工费用最 低,甲、乙两队各做多少天(同时施工即为合做)?最低施工费用是多少万元?
三、选择题
8
、在解方程 时,下列变形正确的是()
A. B.
C. D.
9、根据下图所示,对 a 、 b 、 c 三种物体的重量判断正确的是 ()
A . B. C. D.
10、已知关于
的方程 的解是 ,则 的值是()
A .2 B. -2 C. D. -
四、简答题
11、为了节约用水,某市决定调整居民用水收费方法,规定如 果每户每月用水不超过 20吨,每吨水收费 3元,如果 每户每月用水超过 20吨,则超 过部分每吨水收费 3.8元;小红看到这种收费方法后,想算算她家每月的水费,但她 不清楚家里每月用水是否超过 20吨。
(1)如果小红家每月用水 15吨,则水费是 元; 如果小红家每月用水 35吨,则水费是 元.
(2)如果字母 表示小红家每月用水的吨数,那么小红家每月的水费该如何用
的代数式 表示呢?
12、
13、某地出租汽车收费标准:起步价 10元,可乘 3千米, 3千米到 5千米,每千米 1.8元, 5千米以后,每千米是 2.7元。若某人乘坐了 x(x>5)千米的路程,请写出他应该支付的费用。若他支付的费用是 19元,请你算出他乘坐的 路 程。
14、某地为了打造风光带,将一段长为 360 的河道整治任务交给甲、乙两个工程队先后接力完成,共用时 20天, 已知甲工程队每天整治 24 ,乙工程队每天整治 16 . 求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道 .
15、.摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程,计划上午比下午多走 100千米到 C 市吃午饭。由于堵车,中午才赶到一个 小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了 400千米,傍晚才停了下来休息,司机说,再走从 C 市到这 里路程的二分之一就到达目的地了,问 AB 两市相距多少千米?
16、有一列火车要以每分钟 600 m 的速度过完第一、第二两座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥多 5 s 时间,又知 第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的 2倍短 50 m,试求两座铁桥的长分别为多少
?
17、某农户 2000年承包荒山若干亩,投资 7800元改造后,种果树 2000棵.今年水果总产量为 18000千克,此水果 在市场上每千克售 a 元,在果园每千克售 b 元(b
(2)若 a=1.3元, b=1.1元,且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果,请你通过计算说明选择哪种出 售方式较好.
(3)该农户加强果园管理,力争到明年纯收入达到 15000元,而且该农户采用了(2)中较好的出售方式出售,那么 纯收入增长率是多少(纯收入 =总收入﹣总支出)?
18
、某采摘农场计划种植 两种草莓共 6亩,根据表格信息,解答下列问题:
(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 46000O 元,那么 两种草莓各种多少亩 ?
(2)若要求种植 种草莓的亩数不少于种植 种草莓的一半,那么种植 种草莓多少亩时,可使该农场每年草莓全
部被采摘的总收入最多 ?
19、现在,苏宁商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花 300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的 8折购物 .
(1)顾客购买多少元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算? (2)小张要买一台标价为 3500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱? (3)小张按合算的方案,把这台冰箱买下,如果商场还能盈利 25%, 这台冰箱的进价是多少元?
20、 小明同学路过一家家电商场,发现工商部门正在查处,小明经过打听得知,这家商场将某型号空调先按进价提 高 40%后标价,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果被工商部门发现有欺诈行为,为此按每台空调所得利 润的 10倍处以 2700元的罚款,小明稍加思索,他就知道了这种空调的每台标价,聪明的你一定也知道, 请你用数学 知识告诉别人?
21、某公司为了扩大经营,决定购进 6台机器用于生产某种零件.现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格 和每台机器日生产零件的数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过 34万元 .
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购进的 6台机器的日生产能力不能低于 190个,那么为了节约资金应选择哪种方案?
22、 我国某部边防军小分队 成一列在野外行军,通讯员在队伍中,数了一下他前后的人数,发现前面人数是后面的 两倍,他往前超了 6位战士,发现前面的人数和后面的人数一样 .
(1)这列队伍一共有多少名战士?
(2)这列队伍要过一座 320米的大桥,为安全起见,相邻两个战士保持相同的一定间距,行军速度为 5米 /秒,从第 一位战士刚上桥到全体通过大桥用了 100秒时间,请问相邻两个战 士间距离为多少米(不考虑战士身材的大小)?
23、一天,某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距 380千米的 A 、 B 两地同时出发相向而行,并以各自的速度匀速 行驶,两车行驶 2小时时甲车先到达服务区 C 地,此时两车相距 20千米,甲车在服务区 C 地休息了 20分钟, 然后按 原速度开往 B 地;乙车行驶 2小时 15分钟时也经过 C 地,未停留继续开往 A 地.
(友情提醒:画出线段图帮助分析)
(1)乙车的速度是 千米 /小时, B 、 C 两地的距离是 千米, A、 C 两地的距离是 千米;
(2)求甲车的速度;
(3)这一天,乙车出发多长时间,两车相距 200千米?
24、新华书店推出售书优惠方案:一次性购书不超过 100 元,不享受优惠;一次性购书超过 100元但不超过 200元 一律打九折;一次性购书 200元以上一律打八折.
(1)如果小明一次性购书的原价为 250元,那么他实际付款 _________元;
(2)如果小华同学一次性购书付款 162元,那么小华所购书的原价为多少元?
25、 牛奶加工厂现有鲜奶 8吨, 若在市场上直接销售鲜奶 (每天可销售 8吨) , 每吨可获利润 500元; 制成酸奶销售, 每加工 1吨鲜奶可获利润 1200元; 制成奶片销售, 每加工 1吨鲜奶可获利润 2000元. 该厂的生产能力是:若制酸奶, 每天可加工 3吨鲜奶;若 制奶片,每天可加工 1吨鲜奶;受人员和设备限制,两种加工方式不可同时进行,受气温 条件限制,这批牛奶必须在 4天内全部销售或加工完毕.
请你帮牛奶加工厂设计一种方案,使这 8吨鲜奶既能在 4天内全部销售或加工完毕,又能获得你认为最多的利润.
26、在一条笔直的公路上, A 、 B 两地相距 300千米。甲乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发,已知甲车速度为 100千米 /小时,乙车速度为 60千米 /小时。经过一段时间后,两车相距 100千米。求两车的行驶时间。
27、在广州亚运会中,志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间 70名工人承接了制作丝巾的任务,已知每人每 天平均生产手上的丝巾 1 800条或者脖子上的丝巾 1 200条,一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生 产的丝巾刚好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名工人生产手上的丝巾?
28、中国移动宁波分公司开设适合普通用户的两种通讯业务分别是:“ e 家通”用户先缴 16元月租,然后每分钟通 话费用 0.2元; “神州行”用户不用缴纳月租费,每分钟通话 0.4元。 (通话均指拨打本地电话,通话时间按整数计 算)
⑴设一个月内通话时间约为 x 分钟,则这两种通讯方式的用户每月需缴的费用分别是多少元?(用含 x 的代数式表 示)
⑵若李老师一个月的通话时间约为 100分钟,请你给他提个建议,应选择哪种通讯方式更合算?请说明理由。 ⑶若陈老师 10月份付了话费 52元,则陈老师 10月份的通话时间约为几分钟?请说明理由。
29、为了进一步推进海南国际旅游岛建设,海口市自 2012年 4月 1日起实施《海口市
奖励旅行社开发客源市场暂行办法》,第八条规定:旅行社引进会议规模达到 200人以上,入住本市 A 类
旅游饭店,每次会议奖励 2万元;入住本市 B 类旅游饭店,每次会议奖励 1万元。某旅行社 5月份引进符
合奖励规定的会议 18次,得到 28万元奖金 . 求此旅行社符合奖励规定的入住 A 类和 B 类旅游饭店的会议各
多少次。
30、以“开放崛起,绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于 2012年 5月 20日在湖南长沙圆满落幕,作为东道主 的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共 348个, 其中境外投资合作项目个数的 2倍比省内境外投资合作 项目多 51个。
(1)求湖南省签订的境外,省外境内的投资合作项目分别有多少个?
(2)若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6亿元, 7.5亿元,求在这次“中博会”中,东 道湖南省共引进资金多少亿元?
31、某工厂计划生产 A 、 B 两种产品共 10件,其生产成本和利润如下表:
(1)若工厂计划获利 14万元,问 A 、 B 两种产品应分别生产多少件?
(2)若工厂计划投入资金不多于 44万元,且获利多于 14万元,问工厂有哪几种生产方案?
(3)在 (2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
32、利用方程解决下面问题:相传有个人不讲究说话艺术常引起误会,一天他摆宴席请客,他看到还有几个人没来, 就自言自语:“ 怎么该来的还不来呢?”客人听了,心想难道我们是不该来的,于是有一半客人走了,他一看十分 着急,又说:“不该走的倒走了!”剩下的人一听,是我们该走啊!又有剩下的三分之二的人离开了,他着急地一拍 大腿,连说:“我说的不是他们。”于是最后剩下的三个人也都告辞走了,聪明的你能知道开始来了几位客人吗?
33、小明每天早上要在 7:50之前赶到距家 1000米的学校上学 . 一天,小明以 80米 /分的速度出发, 10分后,小明 和爸爸都发现她忘了带语文书 。 于是, 小明以 80米 /分的速度返回, 小明爸爸立 即以 120米 /分的速度去送书给小明, 并且在途中碰上了她。
(1)爸爸送书给小明用 了几分钟?(4分)
(2)小明这天早上几点出 发才不会迟到?(精确到分钟)(3分)
34、某单位现有 480套旧桌椅要请木工师傅进行修理,甲师傅单独修理这批桌椅比乙师傅多用 10天。乙师傅每天比 甲 师傅多修 8套,甲师傅每天修理费为 80元,乙师傅 每天修理费 120元,请问:
①甲、乙两个木工师傅每天各修理桌椅多少套?
②在修理桌椅过程中,单位要指派一名工作人员进行质量监督,并发给每天 10元的交通补助,现有以 下三种修理方 案供选择:①由甲单独修理 ②由乙单独修理 ③由甲、乙合作修理。
你认为哪种 方案既 省时,又省钱?试比较说明。
35、某市中小学统一组织文艺汇演,甲、乙两所学校共 92人(其中甲校的人数多于乙校的人数,且甲校的人数不足 90人)准备统一购买服装参加演出;下面是某服装厂给出的演出服装的 价格表:
如果两所学校分别单独购买服装一共应付 5000元,甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出?
现甲校有 10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出,请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案.
36、小华家是我市第一批 9万户统一换装“峰谷分时”电表的家庭之一,他们家将率先享受苏州市生活用电“峰谷分 时电价”的新政策,用电价将按不同时段实行不同的价格,具体为:8点至 21点为“峰时”,电价为每千瓦时 0.55元; 21点至次日 8点为“谷时”,电价为每千瓦时 0.30元,而我市原来实行的电价为每千瓦时 0.52元。
(1)小华估计了一下,自己家大约平均每月用电 100千瓦时,其中“峰时”用电约占 80%,请你帮小华算一下,他 家原来平均每月需交电费多少元?实现“峰谷分时电价”后,他家的电费会下降吗?若下降,下降多少元?
(2)小华希望在用电量不改变的前提下,改变原来的用电习惯,使他家平均每月的电费能够下降 8~12元。假设小 华家今后“峰时”用电占整个家庭用电的 x%,那么, x 在什么范围时,才能达到小华的期望?
37、 甲乙两地相距 240千米, 从甲站开出一列慢车, 速度为每小时 80千米, 从乙站开出一列快车, 速度为每小时 120千米。
(1)若两车同时开出,背向而行,经过多长时间两车相距 540千米 ?
(2)若两车同时开出,同向而行(快车在后),经过多长时间快车可追上慢车 ?
(3)若两车同时开出,同向而行(慢车在后),经过多长时间两车相距 300千米 ?
38、 动点 A 从原点出发向数轴负方向运动, 同时, 动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动, 3s 后, 两点相距 15cm(单 位长度为 1cm) .已知动点 A 、 B 的速度比是 1∶ 4 (速度单位:cm/s).
(1)求出 3s 后, A 、 B 两点在数轴上对应的数分别是多少?
(2)若 A 、 B 两点从 (1)中的位置同时向数轴负方向运动,经过几秒,原点恰好处在两个动点的正中间?
39、 某批发商欲将一批海产品由 A 地运往 B 地, 汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务, 已知运输路程 为 120千米,汽车和火车的速度分别为 60千米/时, 100千米/时,两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示: (元/吨·千米表示每吨货物每千米的运费,元/吨·小时表示每吨货物每小时的冷藏费)
(1)若该批发商待运的海产品有 30吨,为节省运费,应选哪个?
(2)若该批发商待运的海产品有 60吨,为节省运费,又应选哪个?
(3)当该批发商待运多少吨海产品时,无论选哪家都一样?
40、暑假期间小王和小吴两家 6个人一起外出旅游,乘坐两辆出租车前往飞机场,在离机场 11千米处一辆车出了故 障,不能行驶。此时离机场停止办理登机手续时间还有半个小时,唯一可以利用的交通工具只有一辆出租车,连同司 机在内限乘 5人,车速 60千米 /时。
(1)如果 2人在原地等候,这辆车分两批接送, 6人都能及时到达机场吗?
(2) 如果在汽车送第一批人的同时, 余下 2人以 6千米 /时的速度向前步行, 汽车在将第一批人送达后即返回接第二 批人,他们能及时到达机场吗 ?
参考答案 一、填空题
1
、
2、 (1) (2)6或 -6
二、计算题
3、 y=-1。
4、解:(1)设分配给甲店 A 种水果 z 箱,根据题意,得
11x+17(10― x)+9(10一 x)+13x=250
解得, x=5
所以,应分配给甲店 A 种、 B 种水果各 5箱,分配给乙店 A 种、 B 种水果各 5箱。 (2)设分配给甲店 A 种水果 y 箱,根据题意得
9(10― y)+13y≥ l0
解得, y ≥ 2.5
至少应分配给甲店 A 种水果 3箱,
此时赢得 ll ×3― 17×7+9×7+13×3=254(元 )
5、解:
(1) =100+() ×90%=0.9x+l0(x>200);
=200+(x -200)×80%一 0.8x+40(x>200).
(2)①当
=时, 0.9x+10=0.8x+40,
解得 z=300
②当 >时, 0.9x+10>0.8x+40,
解得 x>300.
③当 <时,>时,><>
解得 x<>
答:小明累计购物 300元时,两商店一样;
小明累计购物超过 300元时,选择乙商店;
小明累计购物超过 200元不足 300元时,选择甲商店
6、解:根据题意得:
解得
∴ (分钟 )
答:电车每隔 3分钟从车站开出一部
7、解:(1)设:甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 x 天、 y 天,
由题意得方程组:
解之得:x=40, y=60.
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 0. 6万元,乙工程队每天的施工费用为 0. 35万元,根据题意,要使工程在规 定时间内完成且施工费用最低, 只要使乙工程队施工 30天, 其余工程由甲工程队完成.
由(1)知,乙工程队 30
天完成工程的 ,
∴甲工程队需施工 (天).
最低施工费用为 0. 6×20+0.35×30=2.25(万元). 三、选择题
8、 B
9、 C
10、 A
四、简答题
11、(1) 45, (2) 117
(3) 0
x >20时 水费是 60+3.8(x-20) =3.8x-16
12、解:(2) 10(30-x )+9(x +30)=300-10x +9x +270=570-x (元)
(3) 15x +12(40-x )+570-x =1090
15x +480-12x +570-x =1090
2x =40
x =20
答:??
13、解:题目中给出他乘坐的路程是超过 5千米的,因而前面 5千米的费用是固定的,只要能算出后面的费用即可。 前面 5km 又分成两部分:3千米和 2千米
前面 3千米的费用是 10元,紧接着的 2千米是 3.6元
所以前面 5千米共花 13.6元
5千米以后则就是每千米花 2.7元,而后面的距离是 (x-5)千米
因而总费用 =13.6+(x-5)×2.7
已知支付的费用是 19元,则
注意:列代数式的关键是:一是抓住关键性的词语,如“增加”、“减少”等,或者是规律性的内容,如“后面 一排都比前面一排多 2个座位”,二是要理清运算顺序,如“和的积”与“积的和”运算顺序是不同的。如 a 2+b2与 (a+b)2,前者是平方和,后者 是和的平方。
14、分析:设甲队整治了
天,则乙队整治了(
)天,所以甲队整治了 , 乙队整治了 16() . 由
两队一共整治了 360 为等量关系建立方程求解即可 .
解:设甲队整治了
天,则乙队整治了()天,由题意,得
,
解得 ,
∴ 乙队整治了 20-5=15(天),
∴ 甲队整治的河道长为 24×5=120();
乙队整治的河道长为 16×15=240() .
答:甲、乙两个工程队分别整治了 120 , 240 .
15、解:设 C 市到 B 市相距 x 千米,依题意 AB 两市相距(2x+100)千米 依题意
x=250 2x+100=600
答:AB 两市相距 600千米。
16、解:设第一座铁桥的长为 m
,则第二座铁桥的长为 m
,过完第一座铁桥所需要的时间为 min ,过
完第二座铁桥所需要的时间为 min .
依
题意,可列出方程
+=. 解得 .
所以 .
答:第一座铁桥长 100 m,第二座铁桥长 150 m.
17、解:(1)将这批水果拉到市场上出售收入为
18000a ﹣ ×8×25﹣ ×100=18000a﹣ 3600﹣ 1800=18000a﹣ 5400(元). 答:在果园直接出售收入为 18000b 元.
(2)当 a=1.3时,市场收入为 18000a ﹣ 5400=18000×1.3﹣ 5400=18000(元). 当 b=1.1时,果园收入为 18000b=18000×1.1=19800(元).
因为 18000<>
(3)因为今年的纯收入为 19800﹣ 7800=12000,
所以 ×100%=25%,
所以增长率为 25%.
18
、解:设该农场种植 种草莓
亩,
种草莓 亩 ??? 1分
依题意,得:???? 2分 解得: , ?????????????? 3分
(2)由
,解得
设农场每年草莓全部被采摘的收入为 y 元,则:
?? 4分
∴当 时, y 有最大值为 464000???????????? 5分
答:(l)A种草莓种植 2.5亩 , B种草莓种植 3.5亩.
(2) 若种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半, 那么种植 A 种草莓 2亩时, 可使农场每年草莓全部被 采摘的总收入最多 .
19、 (1) 解:设顾客购买 元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等 . ?? 1分
根据题意,得 ,????????????? 3分
解得 ?? 4分
所以,当顾客消费少于 1500元时不买卡合算;
当顾客消费等于 1500元时买卡与不买卡花钱相等;
当顾客消费大于 1500元时买卡合算; --------------------6分
20、解:设每台空调的进价为 x 元,根据题意得,
x (1+40%)×80%-x=2700/10
解得 x=2250 , 2250×(1+40%) =3150元
答每台空调的标价为 3150元。
21、解:(1)设购买甲种机器 x 台,则购买乙种机器(6-x )台.
7x+5(6-x )≤ 34
x≤ 2,
∵ x 为非负整数
∴ x 取 0、 1、 2
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:
方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器 6台;
方案二:购买甲种机器 1台,购买乙种机器 5台;
方案三:购买甲种机器 2台,购买乙种机器 4台.——————— 6分 (2)按方案一购买机器,所耗资金为 30万元,新购买机器日生产量为 180个; 按方案二购买机器,所耗资金为 1×7+5×5=32万 元;
新购买机器日生产量为 1×50+5×30=200个;
按方案三购买机器,所耗资金为 2×7+4×5=34万元;
新购买机器日生产量为 2×50+4×30=220个.
∵选择方案二既能达到生产能力不低于 190个的要求,又比方案三节约 2万元资金, 故应选择方案二.——————— 6分
22、(1)解:设这支队伍有 x 人,根据题意得
解得 x =37
(2)解:设相邻两个战士间距离为 y 米
队伍全部通过所经过的路程为 (320+36y )米
∴ (320+36y)/5=100
解得:y =5
答:(1)这列队伍一共有 37名战士 (2)相邻两个战士间距离为 5米 .
23、(1) 80 180 200 (每空 1分)
(2) 100千米 /小时
(3)设乙车出发 x 小时,两车相距 200千米
100 x+80 x +200=380
x =1
或 100( x-) +80x -200=380
x =
答(略)
24、(1) 200
(2)设原价为 x 元
0.9x =162 或 0.8x =162
解得 x = 180 或 x =202.5
(只有一种结果,得 2分)
答(略)
25、生产 2天酸奶,再生产两天奶片,共可获利 11200元;
提示:因为直接销售鲜奶获利最少,故应尽可能多的对鲜奶进行加工. 设需生产酸奶 x 天, 生产奶片 (4-x ) 天可使这 8吨鲜奶能在 4天内加工完毕,依题意,得
3x +(4-x )=8
26、 5, 10, 2. 5, 1. 25
27、
28、解:(1)“ e 家通”费用:(16+0.2x)元
“神州行”费用:0.4x 元 ?????????? 2分
(2)当 x=100时
“ e 家通”费用:16+0.2x=16+20=36元
“神州行”费用:0.4x=40元
答:李老师选择“ e 家通”合算。?????????? 5分
(3)“ e 家通”:16+0.2x=52
x=180
“神州行”:0.4x=52
x=130
答:陈老师 10月份的通话时间约为 180分钟或 130分钟。???? 8分
(若进行比较过选择“ e 家通”合算,算出 180分钟一种情况也可以,否则扣 1分)。
29、【答案】解:设入住 A 类旅游饭店的会议 x 次,则入住 B 类旅游饭店的会议 18-x 次。
根据题意,得 2x +(18-x ) =28,
解得 x=10, 18-x=8。
答:此旅行社入住 A 类旅游饭店的会议 10次,入住 B 类旅游饭店的会议 8次。 【考点】方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为:入住 A 类旅游饭店的会议奖励+入住 B 类旅游饭店的会议奖励 =28万元
2·x + 1·(18-x ) = 28。
30、 1)境外投资合作项目为 133个,省外境内投资合作项目为 215个。
(2) 2210.5
31、解 (1)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品有 (10-x ) 件,于是有: x ×1+(10-x ) ×3=14,解得 x =8,
所以应生产 A 种产品 8件, B 种产品 2件.
(2)设应生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品有 (10-x ) 件,由题意得:
解得 2≤ x <>
所以可以采用的方案有:
共 6种方案.
(3)由已知可得, B 产品生产越多, 获利越大,
所以当 时可获得最大利润, 其最大利润为 2×1+8×3=26万元. 32、 解:设开始来了 x 位客人,根据题意得,
????????????????? .3分
解得, ????????????????? 5分
答:开始来了 18位客人。???????????????? 6分
33、解 :设爸爸送书给小明用了 x 分钟,
120x +80x= 80×10
x = 4
答:爸爸送书给小明用了 4分钟。
(2)(3分)小明共走了 20.5分钟
答:小明这天早上 7:29出发才不会迟到。
34、
35、
36、解:(1)小华家原来平均每月需交电费 =100×0.52=52(元)。(1分) 按“峰谷分时电价”的新政策,小华家的用电价格每千瓦时平均为
0. 55×80%+0.30×20%=0.50元 ,
小华家现在平均每月需交电费 =100×0.50=50(元 ).(1分 )
所以小华家的电费会下降 , 下降 2元钱 .(1分 )
(2)改变原来的用电习惯后 , 小华家的用电价格每千瓦时平均为
0.55×x%+0.30×(1-x%)=0.30+0.25×x%,
所以每千瓦时平均下降 0.52-(0.30+0.25×x%)=0.22-0.25×x%(2分) 根据小华的期望,有 8<><>
即 0.4<><>
所以 40<><>
37、(1)设经过 x 小时两车相距 540千米,由题意得:
80x+120x=540-240
解得:
x=
答:经过 小时两车相距 540千米。
(2)解:设经过 x 小时快车可追上慢车:由题意得: 120x-80x=300-240解得:x=
答:经过 小时快车可追上慢车。
(3)解:设经过 x 小时,两车相距 300千米。由题意得; 120x-80x=300-240.解得:x=
答:经过 小时两车相距 300千米。
38、
39、解:设有海产品 x 吨,则由题意可知汽车运费可表示为:250x+200,火车运费可表示为:222x+1600 (1)把 x=30分别代入 250x+200、 222x+1600,可得:
250x+200=7700, 222x+1600=8260
所以选汽车更能节省运费。 (2分)
(2)把 x=60分别代入 250x+200、 222x+1600,可得:
250x+200=15200, 222x+1600=14920
所以选火车更能节省运费。 (2分)
(3)由题意可列方程:250x+200=222x+1600,解之得 x=50
所以当该批发商待运 50吨海产品时,无论选哪家都一样 (2分)
40、答案:1) 不能,
因为车一共要走 11*3=33
千米,要耗时
小时才能将全部人送达,也就是 小时,所以不
能及时到达机场。 2)能及时到达机场,
设第二批人在汽车回来接他们时已经步行了
千米,根据题意可列方程
,解这个方程,得 。这
时第二批人到达机场所需要时间为
(时) (时),所以能及时到达机场。
方程
一、方程
1、数量关系
小强的年龄×3 + 4 岁 = 小强爸爸的年龄 小瓶的容量×4 - 0.9升 = 大瓶的容量 三角形的面积 =底×高÷2 长方形的周长 =(长 +宽)×2
梯形的面积 =(上底 +下底)×高÷2 速度和×相遇时间 =总路程
小华走的路程 + 小明走的路程 = 甲、乙两地之间的路程 3个排球的价钱 +营业员找回的钱 =付给营业员的钱 华氏温度(°F ) =摄氏温度 (°C )×1.8+32
二、长方体和正方体
1、两个面相交的线叫做棱,三条棱相交的点叫做顶点。
长方体的 12条棱有 3组,每组的四条棱长度相等。
长方体的棱长总和 =长×4+宽×4+高×4=(长 +宽 +高)×4 长方体放桌面上,最多只能看到 3个面。
3、正方体的展开
1) . “ 141型” , 中间一行 4个 图:作侧面, 上下两个各作为上下底面, ? 共有 6种基本图形。
2) . “ 231型” ,中间 3个作侧面,共 3种基本图形。见上图 3) . “ 222”型,两行只能有 1个正方形相连。 4) . “ 33”型,两行只能有 1个正方形相连。
4、长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同,所以可以先求出 前面、后面和下面三个面的面积,再乘以 2,就可以求出表面积了。 长方体的表面积 = 长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=(长×宽 +长×高 +宽×高)×2
正方体的六个面完全相同,所以计算时只要算出其中的一个面,再乘 6就可以了。 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
5、在解决一些问题时,要充分考虑实际情况,想清楚要算几个面。在解答时,可以把这几 个面的面积分别算出来, 再相加, 也可以先算出六个面的面积总和, 再减去不需要的那个 (些) 面。
一个抽屉有 5个面,分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的 木板,只要算出这 5个面的面积就可以了。
通风管顾名思义是通风用的,没有底面。所以只要算四个侧面就可以了。 (1)具有六个面的长方体、正方体物品:油箱、罐头盒、纸箱子等; (2)具有五个面的长方体、正方体物品:水池、鱼缸等; (3)具有四个面的长方体、正方体物品:水管、烟囱等。 6、体积和容积。
(1)体积:物体所占空间的大小
(2)容积:容器所能容纳物体的体积
像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外,还有做成木箱的木板的体积。 一个物体的体积要比一个物体的容积大,因为体积还包括自身材料的体积。 7、 体积(容积)单位。
(1)用列表的形式来表述体积单位的大小,以利于记忆。
升和毫升之间的进率是 1000,
因为 1升是 1立方分米, 1毫升是 1立方厘米。 升和毫升相比, 升是高级单位, 毫升是低级单位, 把高级单位的数量换算成低级单位的数量, 都要乘相应的 进率。
8、因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的,它的体积 =长 ×宽 ×高。正方体是 特殊的长方体,长 =宽 =高,因而它的体积是由棱长决定的,体积 =棱长 ×棱长 ×棱长。因为 长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的,即长方体底面积 =长 ×宽;正方体的底面积 =棱长 ×棱长;所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的,它们的体积 =底 面积 ×高。
(1)长方体的体积 =长×宽×高 (2)正方体的体积 =棱长 ×棱长 ×棱长 (3)长方体的体积 =底面积×高
9、 求这根长方体木料的体积要用 “底面积×高” , 从中间截成两段, 表面积实质上增加了两 个底面,如图。两个面的面积和是 12平方分米,一个面的面积是 6平方分米。
本题求体积用的公式是“底面积×高” ,也可以说用的是“横截面积×长” 。另外对于把 一个长方体截成两段,截了一次,增加了两个面,如果是截成三段,就是截了两次,增加了
四个面。也就是说每截一次,增加两个面。
10、综合运用体积单位、长度单位的知识。将一个大的形体分成一个小的形体。将小正 方体紧紧地排成一排,能排多少米,实际上就是将这些小正方体的棱长加起来,看有多长。
棱长是 1米的正方体,它的体积是 1立方米,棱长是 1分米的正方体,它的体积是 1立方分米, 1立方米 = 1000立方分米,所以能分成 1000个。顺次紧紧地排成一排,那么就 能排成 1000分米, 1000分米 = 100米。
三、分数乘法
1、分数和整数相乘,可以表示求几个几分之几相加的和。
2、求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。
3、分数和整数相乘,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。如果整数能与分数 的分母约分,要先约分,再计算。
4、在解答有关分数乘法的实际问题时要找准单位“ 1”的量。数量关系式是:单位“ 1” ×分率 = 分率对应的量
5、 求一个数的几分之几(几倍)是多少的分数应用题的解题思路和解答方法完全相同:用
一个数乘几分之几。 解题思路中是把一个数看作单位 “ 1” , 这也就提示我们解答分数应用题 时先要找准单位“ 1” 。同样,我们在画线段图时,也应该先画出单位“ 1”的量。 在解答分数应用题的过程中, 不仅仅要找准单位 “ 1” 的量, 还要知道分率对应的量是什么? 一般来讲,题目中分率如果是多(少)的分率,那么分率对应的量就是多的部分(少) 。 6、根据“实际产量比计划节约了 5
4” ,写出一个数量关系式
计划产量 ×
5
4 = 实际产量比计划节约的产量
7、分数和分数相乘,表示求一个数的几分之几相加的和,分数和分数相乘,用分子相乘的 积作分子,用分母相乘的积作分母。
8、因为整数可以看成分母是 1的假分数,所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整 数相乘。
9、三个数相乘,先把前两个数相乘,得出的积再和第三个数相乘。但为了简便,可以先把 所有分数的分子和分母约分,再把约分后的分子和分母相乘。
10、 一个数和真分数相乘, 所得的积小于这个数; 一个数和假分数相乘, 所得的积大于这个 数。
11、解答分数乘法应用题时,可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时,先画单位 “ 1”的量。数量关系式是:单位“ 1” ×分率 = 分率对应的量。
12、乘积为 1的两个数互为倒数,求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母 调换位置。
13、 1的倒数是 1, 0没有倒数, 真分数的倒数都大于 1, 自然数的倒数都是分子为 1的真分 数,假分数的倒数小于或等于 1。
14、 典型例题
例 1、 下面的长方形代表 1
2
1公顷的
3
2,结果是多少公顷?
分析与解:(1)
21公顷是 1公顷的
2
1(1公顷的
一半) ; (2)
2
1公顷的
3
2,就是将
2
1公顷部分平均分成 3份,表示出 2份。
第一种解法:
1公顷的
2
2
1公顷
第二种解法: 第三种解法:
2
1
公顷的
3
2
1公顷
2
公顷的
3
2
2
1公顷的
3
2是大长方形的
6
2,
2
1×
3
2 =
6
2(公顷)或
2
1×
3
2 =
3
1(公顷)
例 2、 一袋大米重 25千克, 先吃去这袋大米的 5
1, 又吃去
5
1千克, 两次一共吃去多少千克?
分析与解:求两次共吃去多少千克, 要用第一次吃的千克数加上第二次吃的千克数; 第一次 吃了这袋大米的
51, 是把这袋大米看作单位 “ 1” , 即吃去 25千克的
5
1; 第二次吃去
5
1千克。
先求出第一次吃去多少千克。
25 ×
5
1 = 5(千克) 5 +
5
1 = 5
5
1(千克)
答:两次一共吃去 55
1千克。
点评:这一题的关键就是正确理解题目中两个 5
1所表示的不同含义,第一个
5
1表示是一个
数的几分之几, 是分率; 而第二个 5
1
表示的是 5
1千克, 是具体的量。 要先求出第一天的 5
1所
对应的量再直接加上第二天吃的 51千克就可以了。在解题过程中,一定要注意区分,并作
出正确的判断,再进行解答。 例 3、填空。 ( )×
9
4 = 7 × ( ) = ( )× 16
5 = 0.8 × ( )
分析与解:这是一道连等式填空。 从题中可以看出, 四道乘法算式的积都要相等, 但是都等 于几呢?题目中没有明确的要求, 说明有多种填法。 但是要解答得又对又快, 可以从倒数的 意义入手,即考虑每个算式的积都是 1,这样,在相应的括号里只填上与之相乘的那个数的 倒数就可以了。
如果题目中明确给出了一个确定的数值作为积, 那么解答此题时就只能一道一道地去思
考解答了。 (
4
9 )×
9
4 = 7 × (
7
1 ) = (
11
6 )× 1
6
5 = 0.8 × (
4
5 )
已知 a ×3731112 ×b=15
15 ×c ,并且 a 、 b 、 c 都不等于 0, 把 a 、 b 、 c 这三个数按从小到大的
顺序排列,并说明理由。
假设 a ×373 =1112×b=1515 ×c = 1 那么 a =163 、 b=1112
、 c= 1 那么 a
例 4、一根钢管截成两段,第一段占
5
3,第二段长
5
3米。哪一根长?
分析与解:可以用画图的方法,把题意表示出来。线段图如下:
第一段占
5
3 第二段长
5
3米
通过线段图可以看出,第一段占 5
3,第二段占 1 - 5
3 = 5
2 , 5
3 > 5
2 。
答:第一段长一些。 点评:乍看上去,两个
5
3,一个是分率,一个是具体的量。而单位“ 1”是多少并不知道,
所以无法比较大小。 与此题类似的课本上的思考题答案也无法比较。 其实仔细对比一下, 就
会发现, 课本上的是两根钢管, 而这儿是一根钢管, 这是本质的不同。 所以通过思考得出第 一次用得多。所以具体题目还得具体分析。
四、分数除法
1、分数除以整数可以用分数的分子除以整数,但不能总得到整数的商,所以通常把分 数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。
2、分数除以整数(0除外) ,等于分数乘这个整数的倒数。 3、一个数除以分数,等于乘这个分数的倒数。 4、甲数除以乙数(0除外) ,等于甲数乘乙数的倒数。
5、一个数除以真分数所得的商大于这个数;一个数除以假分数,所得的商小于或等于 这个数。
6
5÷2表示的意义是( 已知两个因数的积是 6
5,与其中一个因数是 2,求另一个因数是多
少? 一台榨油机 5
3小时榨油
25
24吨,平均每小时榨油多少吨?榨 1吨油要多少小时?
25
24÷5
3 =
5
8(吨) 1 ÷
5
8 =
8
5(小时)
答:平均每小时榨油 5
8吨,榨 1吨油要 8
5小时。
例 5、如果
, 4
33
4b a
b=80。那么 a=( 45 )
。 6、在分数连除或分数乘除混合运算中,遇到除以一个数时,只要乘这个数的倒数就可 以了。在计算过程中除以一个数,只要转化为乘这个数的倒数,而乘一个数是不要变化的。 所以,当乘、除法放在一起的时候,往往容易混肴。计算过程中一定要做好判断。
7、 在解答分数除法应用题时要找准单位 “ 1” 的量, 而简单的分数除法应用题就是要求 单位“ 1”的量。
8、分数除法应用题的数量关系式是:
单位“ 1” ×分率 = 分率对应的量
在具体解答时,用方程做,设单位“ 1”的量为ⅹ。
9、解答分数除法应用题时,可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时,先画 单位“ 1”的量。
可以发现:分析的思路与乘法应用题是一致的, 也是根据题里叙述的条件, 明确把哪个数量 看作单位“ 1” 。但是单位“ 1”的数量是未知的,所以先根据一个数和分数相乘的意义列出 等量关系式, 然后设未知数, 列出相应的方程并解答。 解答应用题时最关键的就是对应用题 的数量关系进行分析,而不能套用解题思路。可以进行这样的小结:当应用题中单位“ 1” 已经知道时, 就用乘法解; 当单位 “ 1” 不知道, 要求单位 “ 1” 时, 要用除法解或列方程解。
期中考试前的知识梳理
知识点梳理
(一)数的运算:分数乘除法计算 1、 分数乘法的意义与计算法则
①意义:分数与整数相乘的意义既可以表示求几个几分之几相加的和是多少?又可以表 示求一个数的几分之几是多少?
分数与分数相乘的意义是求一个数的几分之几是多少? 例 1、 92×6 既表示 (6个 9
2相加的和是多少?)又表示(6的 9
2是多少?)
3
1×
5
2表示(
3
1的
5
2是多少?)
②计算法则:分数和整数相乘,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变; 分数和分数相乘,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。计算时要先约分,
再相乘。
例 2、
9
4×12 =
3
16
3
2×
10
9 =
5
3
2、分数除法的意义与计算法则
①意义:已知两个因数的积,与其中的一个因数,求另一个因数是多少? 例 3、
7
2÷
14
9表示(已知两个因数的积是
7
2,与其中的一个因数是
14
9,求另一个因
数是多少?)
②计算法则:分数除以整数可以用分数的分子除以整数, 但不能总得到整数的商, 所以 通常把分数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。
一个数除以分数,等于乘这个分数的倒数。
甲数除以乙数(0除外) ,等于甲数乘乙数的倒数。 3、分数连乘、连除和乘除混合运算
分数连乘:先把前两个数相乘,得出的积再和第三个数相乘。但为了简便,可以先把 所有分数的分子和分母约分,再把约分后的分子和分母相乘。
连除和乘除混合运算:在分数连除或分数乘除混合运算中, 遇到除以一个数时, 只要乘 这个数的倒数就可以了。
4、倒数的意义与求倒数的方法
倒数的意义:乘积为 1的两个数互为倒数。
求倒数的方法:求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。 例 6、 5
6
与( )互为倒数。 9的倒数是( ) 。 ( )与 0.25互为倒数。
( )是 7
9 的倒数。 1的倒数是( ) 。 ( )没有倒数。
(二)式与方程
解方程:运用等式的性质解形如 ax ±b=c、 ax ÷b=c、 ax ±bx=c的方程 例 7、解下列方程
4x – 31 = 65 25x ÷ 2 = 100 5x + 4x = 1.8 4x – 31+31=65+31 25x÷2×2= 100×2 (5+4) x = 1.8
4x=96 25x= 200 9x = 1.8 4x ÷4=96÷4 25x÷25= 200÷25 9x÷9 = 1.8÷9
x=24 x= 8 x = 0.2
(三)解决问题
1、分数乘除法问题:正确解答“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分 之几是多少,求这个数”的相关实际问题。
解答分数乘除法应用题时, 可以借助于线段图来分析数量关系。 在解答时要找准单位 “ 1” 的量。数量关系式是:单位“ 1” ×分率 = 分率对应的量。当题中单位“ 1”已经知道时, 就用乘法解;当单位“ 1”不知道,要求单位“ 1”时,要用除法解或列方程解。
例 8、①一个平行四边形的底是 6米,高是底的 9
8
倍,高是多少?
底 × 98 = 高 6×9
84
27(米)
②五星农场去年养猪 320头,今年比去年多养 8
1
。今年比去年多养猪多少头?
去年养×
8
1 =今年比去年多养 320 ×
8
1 = 40(头)
③学校建教学楼,计划投资 480万元,实际节约了
6
1,计划节约多少万元?
计划×
6
1 = 实际比计划节约 480 ×
6
1 = 80(万元)
④一枝钢笔 26元,是一只书包价钱的
5
2。一只书包多少元钱?
一只书包价钱×
5
2= 一枝钢笔价钱 5
2ⅹ =26 ⅹ =65
2、列方程解决问题:会列形如 ax ±b=c、 ax ÷b=c、 ax ±bx=c的方程解决需要两、三步 计算的实际问题。
例 9、①学校兴趣小组中,书法组有 64人,比美术组人数的 3倍还多 7人。美术组有
多少人?
美术组人数 ×3 + 7人 = 书法组的人数
解:设美术组有 x 人。 3x + 7 = 64 x = 19
②一张桌子和一把椅子共卖 245元, 已知桌子的价格是椅子的 4倍。 一张桌子多少元? 解:设一张椅子 x 元。 x + 4x = 245 x = 49 4x = 49×4 = 196 (四)认识图形
(五)测量
1、体积(容积)的意义和体积单位: 体积的意义:物体所占空间的大小
容积的意义:容器所能容纳物体的体积 体积单位:立方米、立方分米、立方厘米 体积与容积单位之间的关系:1立方厘米 =1毫升 1立方分米 =1升
在括号里填上合适的体积或容积单位。
一个火柴盒的体积大约是 11( )
一个油桶能盛油 120( )
一台电视机的体积大约是 292( )
一只茶杯的容积大约是 250( )
2、长方体、正方体表面积和体积的意义与计算: ①长方体、正方体表面积的意义与计算: 意义:就是长方体、正方体六个面的总面积。
计算:长方体的表面积 = 长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=(长×宽 +长×高 +宽×高)×2
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
②长方体、正方体体积的意义与计算:
意义:就是长方体、正方体所占空间的大小。
计算:长方体的体积 =长×宽×高
正方体的体积 =棱长 ×棱长 ×棱长
长方体(正方体)的体积 =底面积×高
(六)综合应用
表面积的变化:通过图形的拼与分,发现表面积变化的规律
例 12、①把两个棱长 3厘米的正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积与两个 正方体的表面积之和比有没有变化?是怎样变化的?
长方体表面积:6×3×4 + 3×3×2 = 90(平方厘米)
两个正方体表面积之和:3×3×6×2 = 108(平方厘米)
两个正方体表面积之和比拼成的长方体表面积大。
②一根长 6米的长方体木料,把它从中间截成两段,表面积增加 12平方分米,这根长 方体木料的体积是多少立方米?
12平方分米 = 0.12平方米
0.12÷2 = 0.06(平方米)
0.06×6 = 0.36(平方米)
六、 比的意义和基本性质、按比例分配问题
1、两个数相除又叫做两个数的比。如:3÷2也就是 3:2。比的前项除以后项所得的商 叫做比值。 比值通常用分数表示, 也可以用小数表示, 有时也可以是整数。 3:2的比值是 1.5。 2、同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;同分数比 较,比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本 性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时,这个比就是最简整数比。
在化简过程中, 如果比的前项和后项都是整数, 那就同时除以它们的最大公约数; 如果 前项和后项是小数或是分数, 先将它们同时乘一个数化成整数, 再化简。 要注意:最后化简 到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。
4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同,求比值的结果一定要是一个 数,化简比的结果一定要是一个比。
5、把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配的方法叫做按比例分配。
比与除法、 分数之间有着密切的联系。 但不不是说, 它们之间是等同的。 它们之间的区别是:比是两个量之间的关系, 除法是一种运算, 而分数是一个数。 在理解意义的时候要注意区分。 比与除法、分数之间的联系
六、 分数四则混合运算
1、分数四则混合运算运算的顺序,与我们已经学过的整数四则混合运算顺序相同。
2、整数运算定律和性质同样适用于分数四则混合运算。
分数四则混合运算的顺序, 与我们已经学过的整数四则混合运算的顺序相同。 在计算过程中, 能简便计算的要简便计算。前一题按照四则运算的计算顺序进行计算。先算小括号里面的, 最后算除法;后一题先算乘法,一个数连续减去两个数等于减去这两个数的和。
计算的过程中只要按照计算顺序认真计算就可以了。 要注意在计算的过程中, 分数加、 减法 和分数乘除法差异较大,必须分清什么时候需要通分,什么时候需要直接约分。
3、比一个数的几分之几多(少)几,有时列方程解,有时用算术方法解;如果单位“ 1”已 经知道,就用算术方法 `,如果单位“ 1”不知道,就设单位“ 1”为ⅹ,列方程解。
4、 这一类应用题比基本的求一个数的几分之几是多少的应用题的数量关系稍复杂一些, 题目中所求的数量不是已知的几分之几所表示的数量,而是与这个数量有关的另一个数量。 5、解答这一类题目的关键还是要先弄清把哪个数量看作单位“ 1” ,先求出这个数量的 几分之几是多少,再根据整数加、减法应用题的数量关系求出题目中要求的数量。
稍复杂的分数乘法应用题比简单的分数乘法应用题多了一步, 分析题目的条件和问题, 会发 现,其实题目中的分率和所求的问题不是相对应的,这就是步数多一步的原因。在解答时, 可以求出分率对应的量,再求问题;也可以先求出问题所对应的分率,再用单位“ 1” ×分 率 = 所求的量。
七、八、解决问题的策略,可能性
1、 有些应用题涉及两三种物品的数量计算, 解答这种应用题, 可根据它们的组合关系, 用一种物品替换另外的物品, 使数量关系单一化, 这样的思考方法, 通常叫做替换法 (也叫 代替法) 。
2、 假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想, 然后按已知条件进行推算, 再根据数量上的矛盾作出适当的调整,得出正确答案。
3、一共有几种并列的情况可能发生,其中一种发生的可能性就是几分之一。
4、在有几种不同的数量组成的一种整体中,其中的一种发生的可能性是这种情况的数 量占总数量的几分之几。
(重点展示) 鸡与兔共有 100只,鸡的脚比兔的脚多 80只。问鸡与兔各有多少只?
分析与解:假设 100只全是鸡,那么脚的总数是 2×100 = 200(只) ,这时兔的脚是 0,鸡 脚比兔脚多 200只。 而实际上鸡脚比兔脚多 80只。 因此鸡脚与兔脚的差比已知多了 200 – 80 = 120(只) ,这是因为把其中的兔换成了鸡,每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加 2只,兔 的脚数减少 4只,那么,鸡脚与兔脚的差数增加 2 + 4 = 6(只) ,所以换成鸡的兔子有 120÷6 = 20(只) ,有鸡 100– 20 = 80(只) 。
兔:(2×100 – 80)÷(2 + 4) = 20(只)
鸡:100– 20 = 80(只)
答:鸡与兔分别有 80只和 20只。
点评:当然也可以假设全都是兔,那么脚的总数是 4×100 = 400(只) ,这时鸡的脚数为 0, 鸡脚比兔脚少 400只, 而实际上鸡脚比兔脚多 80只。 因此鸡脚与兔脚的差比已知多了 400 + 80 = 480(只) ,这是因为把其中的鸡换成了兔。每把一只鸡换成兔,鸡的脚数将增加 2只, 兔的脚数减少 4只,那么,鸡脚与兔脚的差数增加 2 + 4 = 6(只) ,所以换成兔的鸡有 480÷6 = 80(只) ,兔有 100– 80 = 20(只) 。
鸡:(4×100 + 80)÷(2 + 4) = 80(只)
兔:100– 80 = 20(只)
例 3、 (重点突破) 刘老师带了 41名同学去北海公园划船,共租了 10条船,每条大船坐 6人,每条小船坐 4人,问大船、小船各租几条?
分析与解:我们可以分步来考虑:
(1)假设租的 10条船都是大船,那么船上应该坐 6×10 = 60(人) 。 (2)假设后的总人数比实际人数多了 60 - (41 + 1) = 18(人) ,多的原因是把小船坐的 4人都假设成坐 6人。
(3)一条小船当成大船多出 2人,多出的 18人是把 18÷2 = 9(条)小船当成大船。 小船: [ 6×10 - (41 + 1) ]÷(6 - 4)
= 18÷2= 9(条) 大船:10 – 9 = 1(条)
答:大船租了 1条,小船租了 9条。
点评:在解答这一题时,我们也可以用列表的方法来解答,进行不同的假设。比如:可以假 设租的全都是小船; 也可以假设大船和小船的条数一样多??关键是要能根据假设算出的人 数进行适当的调整,得出正确的答案。
九、 百分数的意义和读写、百分数与小数、分数的互化
1、 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。 百分数又叫做百分率或百分比。
2、百分数通常不写成分数的形式,而在原来的分子后面加上“﹪”来表示。 3、百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几,而不能表示具体的量,也就是说百 分数后面不能加单位。
4、把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。 5、把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,一般保留三位小数) ,再把 小数化成百分数。
6、百分数化成分数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。 7、把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
百分数和分数之间有联系, 但也有明显的区别。 百分数只表示两个数量之间的关系, 不表示 一个数量的值。分数既可以表示两个数量之间的关系,也可以表示一个数量的值。 分母是 100的分数可以有两种意义:一种是一个数量的值, 一种是两个数量之间的关系。 其中只有表示两个数量之间的关系时才是百分数。如果表示一个数量的值时,这个分母是 100的分数就不是百分数了。
百分数的分母确实是 100,但这和分母是 100的分数还是有所区别的。前面一种说法是在描 述百分数分母的特点,而后一种说法则是在说百分数的意义。比如说 100
30和 100
30吨,它们
都是分母是 100的分数,但
100
30吨却不是百分数。
1、一个数是另一个数的百分之几,直接用一个数除以另一个数。 2、生活中常见的一些百分率的计算方法; 合格率 =
产品的总数
合格的产品数 ×100﹪ 种子的发芽率 =
试验种子总数 发芽种子数 ×100﹪
小麦的出粉率 =
小麦的重量
面粉的重量 ×100﹪ 职工的出勤率 = 应出勤人数
实际出勤人数 ×100
﹪
分数乘法应用题中的最基本的数量关系式:单位“ 1”×分率 = 分率对应的量,如果和百 分数应用题结合起来, 求一种量是另一种量的百分之几, 实际上就是求分率。 它的解题思路
与分数乘法应用题一样,区别在于结果要用百分数表示。
期末复习 知识点梳理
1、 复 习 分 数 乘 法 和 除 法 时 要 使 大 家 熟 练 掌 握 分 数 乘 法 和 除 法 的 意 义 , 知 道 一 道 分 数 乘 法 或 除 法 算 式 所 表 示 的 含 义 ; 使 大 家 掌 握 分 数 乘 法 和 除 法 的 计 算 法 则 及 乘 除 混 合 运 算 的 计 算 方 法 ; 熟 练 掌 握 比 的 意 义 及 化 简 比 。
熟 记 :(1)分 数 乘 法 算 式 意 义 ;(2)分 数 除 法 算 式 的 意 义 ;(3)分 数 乘 、 除 法 的 计 算 法 则 ;(4)倒 数 的 意 义 ,比 的 意 义 及 化 简 比 ;(5)除 法 、分 数 、比 各 部
(1) 分 数 乘 法 算 式 意 义 :
分数与整数相乘的意义既可以表示求几个几分之几相加的和是多少?又可以表示求一 个数的几分之几是多少? 16×
8
3表示( 16个 8
3是多少?或 16的
83是多少? ) 分数与分数相乘的意义是求一个数的几分之几是多少? 4
1×7
2表示(
4
1的
7
2是多
少?)
(2) 分 数 除 法 算 式 的 意 义 :
表示已知两个因数的积,与其中的一个因数,求另一个因数是多少? 5
2÷
3
1表示(已
知两个因数的积是
5
2,与其中的一个因数是
3
1,求另一个因数是多少? )
(3) 分 数 乘 、 除 法 的 计 算 法 则 :
①分数和整数相乘,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;
②分数和分数相乘,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。计算时要先约分, 再相乘。
③甲数除以乙数(0除外) ,等于甲数乘乙数的倒数。
④分数连乘、 连除和乘除混合运算:为了简便, 分数连乘时可以先把所有分数的分子和 分母约分, 再把约分后的分子和分母相乘。 在分数连除或分数乘除混合运算中, 遇到除以一 个数时,只要乘这个数的倒数就可以了。 (4) 倒 数 的 意 义 , 比 的 意 义 及 化 简 比
①倒数的意义:乘积为 1的两个数互为倒数。
②求倒数的方法:求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。 ③比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。 5 ÷ 3 = ( ) : ( ) ④比的基本性质:比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数(0除外) ,比值不变。 24 : 6 = 48 : ( ) = ( ) : 3
⑤化 简 比 :比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用 比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时,这个比就是最简整数比。
⑥求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同,求比值的结果一定要是一个 数,化简比的结果一定要是一个比。
2、方程。
(1)解方程:运用等式的性质解形如 ax ±b=c、 ax ÷b=c、 ax ±bx=c的方程
7x – 28 = 56 25x ÷ 5 = 150 x + 3x = 160 7x – 28+28=56+28 25x÷5×5= 150×5 (1+3) x = 160
7x=84 25x= 750 4x = 160 7x ÷7=84÷7 25x÷25= 750÷25 4x ÷4 = 160÷4
x=12 x= 30 x = 40
(2)列方程解答需要两、三步计算的实际问题
①学校饲养小组今年养兔子 25只, 比去年养的只数的 3倍少 8只, 去年养兔子多少只? 去年养的只数 × 3 - 8 = 今年养的只数 解:设去年养兔子ⅹ只。
ⅹ× 3 - 8 = 25
3ⅹ = 33 ⅹ = 11
②一个羽毛球拍的价钱是一个羽毛球价钱的 18倍,小勇买了一个羽毛球拍和 2个羽毛 球,一共花了 60元,一个羽毛球的价钱是多少元? 一个羽毛球拍 + 2个羽毛球 =一共花的元数
解:设一个羽毛球的价钱是ⅹ元,一个羽毛球拍的价钱是 18ⅹ元。
18ⅹ + ⅹ× 2 = 60
20ⅹ = 60
ⅹ = 3
3、百分数的意义以及百分数和小数、分数的互化。
(1) 百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。 百分数又叫做 百分率或百分比。 百分数只表示两个量的倍数关系, 不表示具体数量, 百分数后面不能带单 位。
30﹪ 读作 百分之三十 百分之四十二点五 写作 42.5﹪ (2)百分数和小数、分数的互化。
①把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
0.2 = 0.35 = 0.045 = ②把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,一般保留三位小数) ,再把 小数化成百分数。
4
1 =
8
5 =
3
2 =
③百分数化成分数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
50﹪ = 12.5﹪ = 0.15﹪ = ④把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
185﹪ = 3﹪ = 200﹪ =
4、用分数、比和百分数的知识解决简单的实际问题。
(1)某校男教师与女教师的人数比是 3:5,女教师占全校教师总数的( ) ,男教师占 全校教师总数的( ) ,女教师是男教师的( ) ,男教师是女教师的( ) 。
(2)一个三角形三个内角度数的比是 5:3:2,其中最小的一个角是( )度,这是 个( )角三角形。
(3)小明家养了 30只鸭,养鸡的只数与鸭的比是 2 : 3 ,鸡有多少只? (4)学校栽了一批树,活了 50棵,死了 2棵,这批树的成活率是( )﹪
(5)某化肥厂 2007年计划生产化肥 12万吨,实际生产了 15万吨。实际产量是计划的 百分之几?
(6)一堆煤有 52
3,用去多少吨?
(7)某工程队修一条路,已经修了 80千米,占全长的 5
4,这条路全长多少千米?
(一)图形王国
1、长方体和正方体的特征。
2、体积(容积)及其常用计量单位的意义。 (1)体积:物体所占空间的大小
(2)容积:容器所能容纳物体的体积
(3)体积(容积)单位。
棱长是 1厘米的正方体, 体积是 1立方厘米, 棱长是 1分米的正方体, 体积是 1立方分 米,棱长是 1米的正方体,体积是 1立方米。
体积与容积单位之间的关系:1立方厘米 =1毫升 1立方分米 =1升 3、长方体和正方体的体积和表面积的计算方法。 长方体的表面积 =(长×宽 + 宽×高 + 长×高)×2
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
长方体的体积 = 长×宽×高
正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长 长(正)方体的体积 = 底面积×高 ④要挖一个长 30米、 宽 20米、 深 2米的长方体游泳池。 这个游泳池最多能蓄水多少立 方米?如果在游泳池的四周和底面贴磁砖,贴磁砖的面积是多少平方米?
游泳池蓄水的立方米数:30 × 20 × 2 = 1200(立方米)
贴磁砖的面积: 30 × 20 + 30 × 2 × 2 + 20 × 2 × 2 = 800(平方米)
⑤把一个长 8厘米, 宽和高都是 4厘米的长方体木料截成两个正方体, 表面积增加 ( ) 平方厘米,每个正方体的体积是( )立方厘米。
表面积增加 (4×4×2=32) 平方厘米;每个正方体体积是(4×4×4=64)立方厘米。
(二)统计天地 1、用分数(百分数)表示简单事件发生的可能性。
(1)一个小正方体,其中有 4个面涂红色,一个面涂绿色,一个面涂蓝色,丁丁任意抛 120次,红面朝上的可能性为( ) ,蓝面朝上大约有( )次。
(2)一个正方体的六个面上分别写有 1、 2、 3、 4、 5、 6。把这个正方体任意上抛,落 下后数“ 2” 朝上的可能性是( ) ,朝上的数是偶数的可能性是( ) 。 (3)把标有 1到 8的数字卡片打乱顺序反扣在桌上,从中任意摸一张。 ①摸到每个数的可能性各是多少?
②摸到素数的可能性是多少? 摸到合数呢?
③如果摸到奇数算小红赢,摸到偶数算小军赢,这个游戏公平吗?为什么?
2、根据事件发生的可能性的大小的要求设计相应的活动方案。
在口袋里放红、白橡皮。任意摸一块,要符合下面的要求,分别应该怎样放? ①放 6块,摸到红橡皮的可能性是 31
。 放( )块红橡皮, ( )块白橡皮。
②放 8块,摸到白橡皮的可能性是 4
3。 放( )块红橡皮, ( )块白橡皮。
③摸到红橡皮的可能性是
5
1,可以怎样放?有不同的方法吗?
(三)应用广角
1、用假设的策略解决生活中的实际问题。
(1) 假设法就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想, 然后按已知条件进行推算, 再根据数量上的矛盾作出适当的调整,得出正确答案。
(2)鸡和兔放在一只笼子里,上面有 29个头,下面有 92只脚。问:笼中有鸡兔各多少 只?
分析与解:假设 29只全是鸡,那么脚的总数是 2×29 = 58(只) ,这时兔的脚是 0,鸡 脚与兔脚共有 58只。而实际上鸡脚与兔脚共有 92只。因此鸡脚与兔脚的只数与已知相差 92 – 58 = 34(只) , 这是因为把其中的兔换成了鸡, 每把一只兔换成鸡, 兔的脚数减少 2只, 所以换成鸡的兔子有 34÷2 = 17(只) ,有鸡 29– 17 = 12(只) 。
兔:(92 - 2×29 )÷(4 - 2) = 17(只)
鸡:29– 17 = 12(只)
当然也可以假设全都是兔,那么脚的总数是 4×29 = 116(只) ,这时鸡的脚是 0,鸡脚 与兔脚共有 116只。 而实际上鸡脚与兔脚共有 92只。 因此鸡脚与兔脚的只数与已知相差 116 – 92 = 24(只) ,这是因为把其中的鸡换成了兔,每把一只鸡换成兔,鸡的脚数增加 2只, 所以换成兔子的鸡有 24÷2 = 12(只) ,兔有 29– 12 = 17(只) 。
鸡:(4×29 - 92)÷(4 - 2) = 12(只)
兔:29– 12 = 17(只) 2、用替换的策略解决生活中的实际问题。
(1) 有些应用题涉及两三种物品的数量计算, 解答这种应用题, 可根据它们的组合关系, 用一种物品替换另外的物品, 使数量关系单一化, 这样的思考方法, 通常叫做替换法 (也叫
代替法) 。
(2)粮店有大米 20袋,面粉 50袋,共重 2250千克,已知 1袋大米的重量和 2袋面粉 的重量相等,那么一袋大米重多少千克?
分析与解:可以根据 “ 1袋大米的重量和 2袋面粉的重量相等” ,设法把 50袋面粉的 重量用大米的重量替换(50÷2 = 25, 50袋面粉的重量相当于 25袋大米的重量) ,这样本 题就只剩下大米一种数量,可以顺利求出 1袋大米的重量了。
2250÷(20 + 50÷2) = 50(千克)
也可以把 20袋大米的重量用面粉的重量替换,求出 1袋面粉的重量,再求出 1袋大米 的重量。可以这样列式计算:
2250÷(20 ×2 + 50) = 25(千克) 25×2 = 50(千克)
方程
《一元一次方程综合复习》
【重点、难点】
重点:一元一次方程解法及其应用。 难点:列一元一次方程解应用题。 【知识点归纳】
一、方程的有关概念
1、方程:含有未知数的等式就叫做方程。
2、一元一次方程:只含有一个未知数(元)x ,未知数x 的指数都是1(次) ,这样的方程叫做一元一次方程。
3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 【注】:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念:方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值) ,而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵ 方程的解的检验方法:首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的
值。其次比较两边的值是否相等从而得出结论。 二、等式的性质 (1)、等式的性质(1):等式两边都加上(或减去) 同个数(或式子) ,结果仍相等。 (2)、等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。 四、去括号法则
1、 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。 2、 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。 五、解方程的一般步骤
1、去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 。 2、去括号(按去括号法则和分配律) 。
3、移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号) 。 4、合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 。
5、将未知数的系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解x=)。 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤
1、 审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系。 2、 设:设未知数(可分直接设法,间接设法) 。 3、 列:根据题意列方程。 4、 解:解出所列方程。
5、 检:检验所求的解是否符合题意。 6、 答:写出答案(有单位要注明答案) 。 【常见题型】
一、一元一次方程常见题型 1、 等式与方程的判别
2、 运用一元一次方程的定义求字母取值。
l 若(m-2)xm-3=5是关于x 的一元一次方程,则m= l 若关于的x 的方程2xn-1-9=0是一元一次方程,则n= 3、 方程的解的综合应用。
l 已知x=-4是方程2x+3|a|=x-1的解,那么a=
l 若关于x 的方程5| -5|=|m|的一个解为x=6,求m= 4、利用的等式的性质解方程。
(1)、-2y+1=-1 (2)、x-5=3x-8
5、含有字母系数的一元一次方程的解法: 求解方程ax=b,讨论如下:
(1)、当a≠0时,方程有唯一解x =
(2)、当a =0,b≠0时,方程变为0.x =b, 则方程无解 (3)、当a =0,b =0时,方程0.x =0,则方程有无数个解。 例题:已知关于x 的方程a (2x-1)=3x-2无解,试求a 的值? 解析:原方程化为:(2a-3)x=a-2 因为该方程无解,则2a-3=0且a-2≠0 所以a=
练习:当k 为何值时,关于x 的方程3(x+1)=5-kx有唯一的解?
二、一元一次方程应用题常见题型 1、 和、差、倍、分问题:(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率”来体现。
(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现、 2、 等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提、常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变; ②原料体积=成品体积; 3、 劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有: (1)既有调入又有调出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; (3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变 【例题】:某校办工厂第一车间的人数比第二车间的人数的少10人,如果从第二车间调10人到第一车间,那么两个车间的人数恰好相等,求原来这两个车间的人数。 解:设原来第二车间有x 人,则第一车间原来有( x -10)人 ( x -10)+10=x-10 x=50 x -10=30 【练习】:机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,问需要分别安排多少名工人加工大,小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮更好配套。
4、 数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a ,十位数字是b ,个位数字为c (其中a 、b 、c 均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c、 (2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n 表示,连续的偶数用2n+2或2n —2表示;奇数用2n+1或2n —1表示、
【例题】:一个三位数,它的百位上的数字比十位上的数字的2倍大1,个位上的数比十位上的数的3倍小1,如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调,那么得到的三位数比原来的三位数大99,求原来的三位数。
【练习】:有一个三位数,各数位上的数字之和是15,个位数字与百位数字的差是5;如果颠倒各数位的数字的顺序,则所成的新数比原数的3倍少39.求这三位数。
5、 工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间 【例题】:一件工作,甲单独做需要50天完成,乙单独做需要45天完成,问在乙单独做7天后,甲乙两人合作多少天可以完成? 【分析】:把全部工作量看成1,甲单独完成需要50天,那么工作效率是 ,乙单独完成需要45天,那么工作效率是,等量关系是:全部工作量=乙单独做的工作量+甲、乙合作的工作量。
解:设两人合作需要x 天完成 7× +( + )×x=1 x=20 【练习】:一个蓄水池有两个进水管和一个排水管,单独开放甲管3小时可注满水池,单独开放乙管2小时也注半池水,单独放丙管,3小时可把半池水放光,若甲管先单独开半小时,然后乙丙也打开,问还需几小时注满一池水?
6、行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度×时间、 (2)基本类型有 l 相遇问题:快行距+慢行距=原距 l 追及问题:快行距-慢行距=原距
l 航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 【例题】:一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地, 原路返回需要12个小时才能到达甲地, 已知水流速度是每小时3千米,求甲乙两地的距离? 【解析】:设甲乙两地间的距离是x 千米 根据题意得: -3= +3 x=144
【练习】:一艘船由A 地开往B 地,顺水航行需要5小时,逆水航行要比顺水航行多用50分钟,已知船在静水中每个小时航行12千米,求水流的速度。
7、 商品销售问题
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率=商品利润/商品进价 商品售价=商品标价×折扣率 【例题】:工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,该工艺品每件的进价、标价分别是多少元? 【分析】:根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,就可以列出一元一次方程、
解:设该工艺品每件的进价是 元, 标价是(45+x)元、依题意,得: 8(45+x)×0、85-8x=(45+x-35)×12-12x 解得:x=155(元) 所以45+x=200(元) 【例题】(情景):八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话: 李小波:阿姨,您好!
售货员:同学,你好,想买点什么?
李小波:我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本、
售货员:好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见、 根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?
分析:这是一道情景对话问题,具有一定的新颖性、解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系、从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元,同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费(100-5)=95元、根据上述等量关系可以得到相应的方程、 解:设笔记本每本x 元,则钢笔每支为(x+2)元,据题意得 10(x+2)+15x=100-5 解得,x=3(元) 所以x+2=5(元) 8、 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和。 ⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 9、比例问题 (1)、若已知甲:乙:丙=a:b :c ,则可设甲=ax,乙=bx,丙=cx(即设其中的每一份为x ); (2)、常用等量关系:各部分分量之和=总量;
例题:甲乙丙三人每天生产机器零件之间的关系为:甲、乙之比为4:3,丙每天生产的件
数是乙的,又知甲与丙的和比乙的2倍多12件,问每个人每天生产多少件? 解:甲=4x 乙=3x,丙=5/2x 4x+ x=12+6x X=24 10、其他类型试题
【题型1】分段计算问题
例题1:参加保险公司的医疗保险,住院治疗的病人享受分段累加报销,保险公司制定的报销细则如下:
某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元, 那么此人住院的医疗费是多少?
【分析】住院医疗费用是分段累加报销的,因此应先估算其住院医疗费用在哪个范围。 因为500×60%=300<1000 500×60%+2000×80%="1900">1000
由此可以推断,这个人的医疗费用在1000-3000元, 设此人的医疗费用为x 元,根据题意,列方程得: 500×60%+(x-1000)×80%=1000 X=1875 【练习】:
国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的计算方法是: (1)稿费不高于800元不纳税;
(2)稿费高于800元但不超过4000元应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%; (3)稿费高于4000元缴纳所有稿费的11%。
丁教书获得一笔稿费,并交纳420元,则他的这笔稿费是多少元 【题型2】方案选择问题
例题2:某地上网有两种收费方式,用户可以任选其中一种: A :记时制:2.5元/小时;B :包月制:60元/月. 此外,每一种上网方式都加收通信费1元/小时.
(1)某用户上网20小时,选用哪种上网方式比较合算?说明你的理由; (2)某用户有140元钱用于上网(一个月),选用哪种方式比较合算?说明你的理由; (3)请你为用户设计一个方案,使用户能合理地选择上网方式. 【解析】:
(1)A 方式:2.5×20+1×20=70(元) B 方式:60+1×20=80(元)
7040,故应选B 方式比较合算.
(3)设当用户一个月上网时间为x 小时时,两种方式一样合算, 则可列方程:2.5 x+x=60+x 解得:x=24
通过上述计算可知:若用户一个月上网时间等于24小时,选两种方式一样合算;
若用户一个月上网时间少于24小时,应选方式A 比较合算; 若用户一个月上网时间多于24小时,应选方式B 比较合算.
【题型3】表格信息题
某校初一年级甲、乙两班共103人,(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里,如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元.
(1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少元钱? (2)两班各有多少名学生? 解:(1)、总金额103×4=412元 486-412=74元 (2)、本题涉及分情况讨论的问题
因为甲乙两班共103人,且甲班人数多于乙班人数。
①、若乙班少于等于50人,设乙班为x 人,则甲班有(103-x )人 根据题意:5x +4.5×(103-x )=486 X =45 103-x=56
②、若乙班超过50人,设乙班为x 人,则甲班有(103-x )人 5x +4.5×(103-x )=486 此情况不存在。
【题型4】几何应用题
例题4: 一个长方形的养鸡场的长边靠墙,墙长14米,其它三边用竹篱笆围成,现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多5米;小赵也打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多2米,你认为谁的设计符合实际,按照他的设计,鸡场的面积是多少? 解:根据小王的设计可以设宽为x 米,则长为(x+5)米, 根据题意得:2x+(x+5)=35 解得:x=10.
因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米),而墙的长度只有14米,小王的设计不符合实际的. 根据小赵的设计可以设宽为,y 米,长为(y+2)米, 2y+(y+2)=35 y=11.
因此小王设计的长为y+2=11+2=13(米),而墙的长度只有14米,显然小赵的设计符合要求,此时鸡场的面积为11×13=143(平方米)。
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