如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分求解 二阶微分方程
y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2。 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]
微分方程-线性微分方程通解的结构
第十二章
第六节 线性微分方程通解的结构
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 二阶线性微分方程举例
引例 设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一
初始速度 v0 ≠ 0 ,物体便离开平衡位置,并在平衡位
置附近作上下振动.试确定物体的振动规律
x = x(t ).
解 受力分析 f0 = P , kl = mg
1. 恢复力 f = kx, dx 2. 阻力 R = μ ; dt
d2 x dx Q F = ma , ∴ m = kx μ , 2 dt dt d2 x μ d x k + + x=0 有阻尼自由振动 2 m dt m dt 微分方程
若受到铅直干扰力 F = H sin pt ,
d2 x μ d x k H + + x = sin pt 有阻尼强迫振动 2 m dt m m dt 的方程
Lc
d 2 uc dt
2
+ 2β
d uc dt
+ ω0 uc =
2
Em
LC 串联电路的振荡方程
sin ωt
d2 y dy + P( x) + Q( x ) y = f ( x ) 2 dx dx —— 二阶线性微分方程
当 f ( x ) ≡ 0时, 二阶齐次线性微分方程
当 f ( x ) ≡ 0时, 二阶非齐次线性微分方程 /
n 阶线性微分方程:
y ( n ) + p1 ( x ) y ( n1) + L + pn1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = f ( x ).
(二) 二阶线性微分方程解的性质
二阶线性微分方程解的性质
y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x ) ( 6.1) ( 6 .2 )
性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(6.1)的两个 解,则 y = C1 y1 + C 2 y2 也是(6.1)的解.
(C1 , C 2 是任意常数)
若 y ( x )是方程 ( 6.1)的解, y ( x )是方程 ( 6.2 ) 性质2 的解,则 y ( x ) + y ( x )必是方程 ( 6.2 )的解 .
性质3 若 y1 ( x ), y2 ( x )均是非齐次线性方程 ( 6.2 )的
解,则 y1 ( x ) y2 ( x )必是齐次线性方程 ( 6.1)的解 .
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
若 yi ( x ) 是方程 :
y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f i ( x )
( i = 1, 2, L, n)
的解,则
y + p( x ) y + q( x ) y = f=1x ) i( 的解,其中 c1 , c2 ,L , c n均为常数 .
注 性质1 ~ 性 质4可推广到 i =1 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 n ( 6.1) n阶线性微分 y ′′ + p( x ) y ′ + q ( x ) y = ∑ c i f i ( x ) 方程的情形. ′ ′′
( 6 .2 )
∑ c i y i ( x ) 是方程:
n
(三) 二阶线性微分方程解的结构
回顾:
y ′ + p( x ) y = 0 ( 6 .3 )
y ′ + p( x ) y = q ( x )
(6.4)
若 Y为( 6.3)的通解, y 是 ( 6.4 )的一个特解 , 则 Y + y 是 (6.4)的通解 .
问题1 对于方程
y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x )
是否有类似的结论?
( 6 .2 )
问题2 若 y1 ( x ), y2 ( x )均是二阶齐次线性方程 ( 6.1) 的解,y = C1 y1 + C 2 y2一定是 (6.1)的通解吗? 不一定. 例如: y1 ( x ) 是某二阶齐次线性方程的解, 则
y2 ( x ) = 2 y1 ( x ) 也是齐次线性方程的解
答:
但是 C1 y1 ( x ) + C 2 y2 ( x ) = ( C1 + 2 C 2 ) y1 ( x ) 并不是通解. 为解决通解的判别问题, 还需引入 函数的线性相关与线性无关概念.
定义12.1 设 y1 ( x ), y2 ( x ),L , yn ( x ) 是定
义在 区间 I 上的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
k1 , k2 ,L , kn , 使得 k1 y1 ( x ) + k2 y2 ( x ) + L + kn yn ( x ) ≡ 0, x ∈ I
则称这 n个函数在 I 上线性相关;否则称为 线性无关.
特别地,对于两个函数的情形: 定理 设 y1 ( x ), y 2 ( x )在 I = [ a , b ] 上连续,若
y1 ( x ) y2 ( x ) ≠ 常数或 ≠ 常数 y2 ( x ) y1 ( x )
则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
sin x 例如: Q = tan x ≠ 常数 cos x ∴ sin x , cos x在任何区间上线性无关 .
注
可以证明:
设 y1 ( x ), y 2 ( x )是二阶齐次线性方程 ( 6.1)
在 I = [a , b ] 的两个解,则 y1 ( x ), y 2 ( x )在 I = [a , b ]上线性无关
y1 ( x ) w( x ) = ′ y1 ( x ) y2 ( x ) ≠ 0, ′ y2 ( x ) x ∈ I.
1.齐线性微分方程解的结构
定理 12.1 (齐次线性方程 (6.1)的通解结构 )
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(6.1)的通解. 推论 设 yi ( x ) ( i = 1, 2, L , n)是n阶齐次线性微分 方程: y(n) + p1( x) y(n1) + L+ pn1( x) y′ + pn ( x) y = 0 n个线性无关的特解,则此方程的通解为
y( x) = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) + L+ Cn yn ( x)
其中 C1, 2, ,C n为任意常数 . C L
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理12.2 (二阶非齐次线性方程(6.2)的解的结构)
设 y* 是二阶非齐次线性方程
y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x ) (6.2)
的一个特解, Y 是与(6.2)对应的齐次线性方程(6.1)
的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶非齐次线性微分方 程(6.2)的通解.
注 求二阶非齐次线性微分方程(6.2) 的通解 的关键: 1°确定与其相对应的二阶齐次线性方程 (6.1) 的两个线性无关的解; 2°求(6.2) 的一个特解.
★ (四) 降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解 —— 降阶法
已知 y1 是方程 (6.1)的一个非零特解,
令
y2 = u( x ) y1 代入(6.1)式, 得
0 —— 可降阶方程
′ ′ ′ y1 u′′ + [ 2 y1 + p( x ) y1 ] u′ + [ y1′ + p( x ) y1 + q ( x ) y1 ] u = 0, 即 ′ y1u′′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]u′ = 0
′ 令 v = u′, 则有 y1 v′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]v = 0,
′ y1v′ + [2 y1 + p( x ) y1 ]v = 0
v 的一阶方程
1 ∫ p( x ) d x v = 2e , 可分离变量方程 解得 y1 1 ∫ p( x ) d x ∴ u = ∫ v d x = ∫ 2e dx y1
故可求得方程 ( 6 .1)的另一特解:
y2 = y1 ∫ 1 ∫ p( x ) d x e dx 2 y1 (6.5)
刘维尔公式
1 ∫ p( x ) d x y2 >0 Q ( )′ = 2 e y1 y1
∴
y2 ≠ 常数 y1
即 y1 与 y 2 线性无关
故齐次线性方程(6.1)的通解为
y = C1 y1 + C 2 y2 = C1 y1 + C 2 y1 ∫
(C1 , C 2为任意常数 ) 1 ∫ p( x ) d x e d x. 2 y1
2.非齐次线性方程特解求法 ——常数变易法 设对应齐次方程通解为
y = C1 y1 + C 2 y2 (6.6)
设非齐次方程通解为 y = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2
′ ′ ′ ′ y′ = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 ′ ′ 要求:
c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = 0
(6.7)
′ ′ ′ ′ ′ ′′ 则 y ′′ = c1 ( x ) y1 + c 2 ( x ) y 2 + c1 ( x ) y1′ + c 2 ( x ) y 2
将 y , y ′ , y ′′ 代入方程 ( 6 .2 ), 得
′ ′ ′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 + c1 ( x )( y1′ + p( x ) y1 + q( x ) y1 ) ′′ ′ + c2 ( x )( y2 + p( x ) y2 + q( x ) y2 ) = f ( x ) ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y′ = f ( x ) 2
(6.8)
′ ′ (6.7), (6.8)联立方程组 c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = 0 ′ ′ ′ ′ c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 = f ( x ) y1 Q y1 , y2 线性无关 , ∴ w ( x ) = ′ y1 y2 ≠ 0, ′ y2
y2 f ( x ) ′ ∴ c1 ( x ) = , w( x )
y1 f ( x ) ′ c2 ( x ) = , w( x ) y2 f ( x ) w( x ) w( x ) d x,
积分可得 c1 ( x ) = C1 + ∫
c2 ( x ) = C 2 + ∫
y1 f ( x )
d x,
取C1 = C 2 = 0, 则求得非齐次线性方程(6.2)特解:
y = y1 ∫
y2 f ( x ) w( x )
d x + y2 ∫
y1 f ( x ) w( x )
d x.
二、典型例题
1 x 例1 已知 y1 = sin x 和 y2 = cos 3 x分别 2 8 是方程: y′′ + y = cos x , y′′ + y = cos 3 x
的解,试求 y′′ + y = cos x cos 2 x 的一个特解 . 1 解 cos x cos 2 x = (cos x + cos 3 x ) 2 Q y1 满足:y′′ + y = cos x ,
y2 满足:y′′ + y = cos 3 x , 1 1 x ∴ y = ( y1 + y2 ) = sin x cos 3 x为所求特解 . 2 4 16
例2 下列各函数组在给定区间上是线性相关 还是线性无关?
(1) e , , e e ( x ∈ ( ∞ ,+∞ )); 线性无关 x x 2x 解 若 k1e + k2e + k3e ≡ 0, d “ ” 则 k1e x k2e x + 2k3e 2 x ≡ 0, dx k1e x + k2e x + 4k3e 2 x ≡ 0, 令 x = 0, 得 k1 + k2 + k3 = 0 k1 k2 + 2k3 = 0 k + k + 4k = 0 1 2 3 求解得 k1 = k2 = k3 = 0.
x 2x x
( 2) 1 , cos x , sin x , ( x ∈ ( ∞ ,+∞ ));
2 2
解 Q 不全为零的常数 C1 = 1, C 2 = C 3 = 1,
使
1 cos 2 x sin 2 x ≡ 0 , x ∈ I ( ∞ ,+∞ )
故该函数组在任何区间 I 上都线性相关; 例3 证明:函数组 1 , x , x 2 ,L , x n 在任何区间 I上线性无关. 证 (用反证法) 假设:1 , x , x 2 ,L , x n 在区间 I 上线性相关
则 不全为零的常数 C 0 , C1 ,L, C n ,
使得 令
C 0 + C1 x + L + C n x n ≡ 0, pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x n
x∈ I
则 pn ( x )至多是 x的 n 次多项式,从而至多有
n 个零点, 故 pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x n ≡ 0 , /
x∈ I
(否则, pn ( x )在 I上有无穷多个零点 ), 这与 pn ( x ) = C 0 + C 1 x + L + C n x n ≡ 0 , x∈ I
矛盾!
∴ 1, x , x 2 ,L , x n 在任何区间 I上线性无关 .
例4 验证: y1 = cos x , y2 = sin x 均是方程
y ′′ + y = 0 的解,并求此方程的通 解 .
验证:(cos x )′′ + cos x = cos x + cos x ≡ 0 (sin x )′′ + sin x = sin x + sin x ≡ 0
∴ y1 = cos x , y2 = sin x 均是所给方程的解 . y2 又Q = tan x ≠ 常数 , y1 ∴ y = C1 cos x + C 2 sin x是所给方程的通解 .
例5 设 y1 , y 2 , y 3 是微分方程
y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) y1 y 2 的三个不同解,且 ≠ 常数, y2 y3 则该微分方程的
通解为 ( D ). ( A) C1 y1 + C 2 y2 + y3 ; ( B ) C1 ( y1 y2 ) + C 2 ( y2 y3 ); (C ) C1 y1 + C 2 y2 + C 3 y3 ; ( D ) C1 ( y1 y2 ) + C 2 ( y2 y3 ) + y3 .
例6 已知 y1 = x 2 , y2 = x + x 2 , y3 = e x + x 2
都是方程 ( x 1) y′′ x y′ + y = x 2 + 2 x 2
的解,求此方程的通解 . ~ = y y = x, 解 由性质3,知 y1 2 1 均是对应齐次线性方程 : ( x 1 ) y ′′ x y ′ + y = 0 的解 . ~ = y y = ex y2 3 1
(1)
(2)
又Q
~ y1 x ~ = e x ≠ 常数 , y2 ~ 与 ~ 线性无关 y1 y2
∴
齐次线性方程(2)的通解为: Y = C1 ~1 + C 2 ~2 = C1 x + C 2e x y y 由定理12.2,知 原方程(1)的通解为:
y = Y + y1 = C1 x + C 2e x + x 2 .
例7 已知微分方程
y′′ 4 xy′ + ( 4 x 2 2) y = 0
x2
的一个特解 y1 = e
, 求此方程的通解 .
解 令
y2 = y1 u, 若 y2′ 4 xy2 + (4 x 2 2) y2 = 0 ′ ′
则 y2 = y1 ∫
=e =e
x2 x2
1 ∫ p( x ) d x e dx 2 y1
p( x ) = 4 x
∫e ∫e
2 x2 2 x2
e ∫ ( 4 x ) d x d x e
2 x2
dx= e
x2 e
x2
∫
d x = e x2 x
x2 . xe
∴ 此方程的通解为 y = C1
+ C2
x 1 y′ y = x 1 的通解 . 例8 求方程 y′′ + 1 x 1 x
1 x 解 Q1 + = 0, 1 x 1 x
y1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐线性方程一特解为
y2 = e
x x dx ∫ e 1 x d x
∫ e2 x
1
= x,
对应齐线性方程通解为 Y = C1 x + C 2e x .
设原方程的通解为 y = c1 ( x ) x + c2 ( x )e x ,
′ ′ c1 ( x ),c2 ( x ) 应满足方程组
xc1 ( x ) + e x c2 ( x ) = 0 ′ ′ ′ c1 ( x ) + e x c2 ( x ) = x 1 ′
′ c1 ( x ) = 1 解得 c2 ( x ) = xe x ′
c1 ( x ) = x, c2 ( x ) = xe x e x
原方程的特解为
y = x x 1.
2
故原方程的通解为 y = Y + y = C1 x + C 2e x x 2 x 1.
三、同步练习
1 1. 设 y ′′ + P ( x ) y ′ = f ( x ) 有一特解 , 对应 x 齐次线性方程有一特解 为 x 2 , 试求 : (1 ) P ( x ), f ( x )的表达式; ( 2 ) 此方程的通解 .
2. 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是微分方程
y′ + P ( x ) y = Q ( x ) 的两个不同特解,则此 微分 方程的通解是 ———————— .
四、同步练习解答
1.
1 设 y ′′ + P ( x ) y ′ = f ( x ) 有一特解 , 对应 x 齐次线性方程有一特解 为 x 2 , 试求 : (1 ) P ( x ), f ( x )的表达式; ( 2 ) 此方程的通解 .
解 (1 ) 由条件可得 2 + P ( x )2 x = 0 2 + P ( x )( 1 ) = f ( x ) x3 x2
解得
1 P( x) = , x
f ( x) =
3 x3
代入原方程,得
1 3 y ′′ y ′ = 3 x x
1 ( 2 ) 显见 y ′′ y ′ = 0 有一特解 y = 1, x
故齐次线性方程的通解 由解的结构定理知, 原方程的通解为
Y = C1 + C 2 x 2
1 y = C1 + C 2 x + x
2
2. 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是微分方程
y′ + P ( x ) y = Q ( x )
的两个不同特解,则此 微分 y = C ( y1 y2 ) + y1 方程的通解是 ———————— .
解
Q y1 y2 ≠ 0 是 y′ + P ( x ) y = 0 的解
∴ C ( y1 y2 ) 也是该方程 的解,且是通解 . ∴ 所给非齐次线性方程的 通解为: y = C ( y1 y2 ) + y1
二阶常系数线性微分方程的积分形式通解及首次积分
二阶常系数线性微分方程的积分形式通解
及首次积分
第16卷第1期
2000年2月
工科数学
JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY Vo1.16,?.1
Feb.2000
[摘要j利用
的结构,并给出了首
[关键词]二阶
[中圈分类号]
二阶常系数线性微分方程的
积分形式通解及首次积分
朱珉仁
(南京交通高孬京2]0032)
0/,//
阶线性微分方程的通解,导出了二阶常系数线性微分方程的积分形式通解.研究了通解
孜积允
墨鐾堡丝坌立堡
0175[文献标识面
二阶常系数线性微分方程的求解,特别是非齐次方程的求解,是高等数学微分方程部分中的重点也
是难点内容.除以待定系数法为代表的常规方法m外.文献[2],[3]还提出了用积分法求解的方法.本文
也力图对后一方法作一探索.
1二阶常系数线性微分方程的积分形式通解 设二阶常系数线性微分方程
jrp,+q—fLz),
其中p,g为实常数,自由项厂()为定义在区间I上的连续函数
的;当厂)一0时,称方程
一
p+q--0
(1.1)
当f(x)7~O时,称方程(1.1)为非齐次
为对应于非齐次方程(1,1)的齐次方程. 为直接利用一阶线性微分方程的通解,将(1.1)式的左边化为
一?,-_0一(--r~y)一r2(一r)=(rl+r2)+rlr2
其中r2恰为微分方程(1.2)的特征方程 r~-pr4-q--0
的两个根.于是方程(1.1)化为
(--r~y)一(rl)一厂b).
连续两次使用一阶线性微分方程的通解公式,便得方程(1.1)的积分形式通解
y:C+fC,州d)
=c1e1__c2ee(r~-r一~dx+ee一LIf(x)e一ld. [收稿日期]1998—08O6
(1.2)
(1.3)
(1.1)
(1.4)
钕一
剐
114I科数学第16卷
2齐次方程通解的结构
当l厂(z);0时,由(1.4)式可得齐次方程(1.2)的积分形式通解 Y=C】e+c2ele:Ldx.(2.1)
分别取C一1,C0及C一0,C^_1时可得齐次方程(1.2)的两个特解 M--e及Y2--e'1』le:_1dx.
因为一Je(r2--rt)xd不恒为常数,可见齐次方程(】.2)的通解Y是其两个线性无关特解,肌的线性组
. 合
3齐次方程通解的积分
3.1当特征方程(1.3)有两个互不相等实根r]?n时,可由(2.1)式积得 Y=C1eL+C3e,,(3.1)
其中Ca—cz/(r--r)仍为任意常数.
3.2当特征方程(1.3)有一对实重根r1一n时,可由(2.1)式积得 Y--CLe|I+C2e__.
3?3当特征方程(1.3)有一对共轭复根一士1时.利用欧拉分式在(3.1)式的基础上可直接
求得
Y—C,e+Ce…
--
eL(cL+C~)cos/Tx+i(c】一c3)sinflx~
一e(K1cosflx+K2sin/5'x). 其中K一c一c.,K2—1(c)仍为任意常数.
4非齐次方程通解的结构与解的叠加原理
当自由项l厂()?0时,取C--C0,由(1.4)式可得非齐次方程(1.1)的一个积分形式特解
一
叫e"z—tlll厂()e一dxldx.(4.1)
4.1通解的结构
由(1.4),(2?1)及(4?1)式可知,与一阶的情形相类似,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解也
等于对应的齐次方程通解Y与非齐次方程的一个特解Y'之和,即 Y—y一.
因齐次方程的通解求法已经解决,故非齐次方程的通解问题归结为其特解的确定. 4.2解的叠加原理
当l厂)是几个函数之和,如
Y_'+?r—l厂J)一l厂2)(4.2)
时,由(4.1)式可知方程(4.2)的一个特解为
rrr'
y一ll[fl(x)-cf(x)je--r2xdxJdx--y~+.
第1期朱珉仁:=阶常系数线性微分方程的积分彤式通解及首次积分115 其中j,,一e(r2--rt)~Iff,()e,ddz是方程++一()的特解(—l,2) 5非齐次方程特解的首次积分
5?1当行扯方程(1-3)有}啕个互不相等实根r-?时,对(4.1)式作分郡积分可得 一
毒专』[ade(r2r2)~
一
专c-r-z一m咄]
一
吲一吖ma].
上式也可表示为
一
J,()[一..e.(5.1)
其中.为自由项,()的连续区间,上的任一点,下同.通常选取35".使由(5.1)式积出的函数表达式中
所含的常数项为0.
5.2当特征方程(1.3)有一对实重根r.一r2时,对(4.1)式作分部积分可得 j,-
[z(一(z]=(一),()erl(x--t)(5.2)
5?3当特征方程(1-3)有一对共轭复根t't,2=a~ifl时,利用欧拉公式在(5.1)式的基础
上可直接
求得
j,,(f)e,sin5(x-t)df.(5.3) 6计算实例
铡6?1求y--y=xcos2z的一个特解.
对此例,文献[1],[2]分别采用实,复比较系数法求解,较为繁琐. 解由特征方程t-2+1—0可确定rl,2一?i.利用(5.3)式及分部积分法得 一2商n(一
一
专J,[sin0+)一sin(3t—x)]dt
一
扎[{c3t--x--COScm)]
一3cCOS23c---
一.
-一c.s(3t--x)--COS(f+z)]df [
=一了1c.s2—詈sin2.
以上实取z.=0,一般算到最后时才确定.
例6.2求一2y一一{e的一个特解.
对此例不能用常规的待定系数法求解.因自由项{e在—o处间断,也不能直接利用
文献[3]的
定理求解.文献[2]则需积分两次.
116I科数学第16卷
解由特征方程r一2r+1—0可确定n—r2—1.由(5.2)式立得 一
c一??ef.e一?
--
e(IM—+1)(这里取.一1).
7结柬语
与文献[1]--E3]相比较,以上处理的主要特点是:
7.1由于充分利用了一阶线性微分方程的通解,使结论的导出较为简洁.无需其他
高深的数学工
具.
7.2将二阶常系数线性微分方程通解的结构,齐次方程的通解及非齐次方程的特
解三部分内容融
为一体,教学较为流畅.
7.3对自由项,)只要求是区间j上的连续函数,对积分下限z.只要求是j上的任意一
点,此
外别无限制,故适用面更广.
7.4已对非齐次方程的特解作首次积分.给定自由项,(z)后再积分一次即可得最终
结果.
7.5所有结果均以实函数形式给出,无需作复数运算.
[参考文献]
高等数学(下册):M].第三版.北京:高等教育出版社,1988. [1]同济大学数学教研室.
[2]张鹏.二阶常系数线性微分方程讨论[j-.工科数学,1994,l0(4).
[3]吴晓平.二阶常系数非齐次线性微分方程一特解的积分求法[J:.工科数
学,1996,12(2)
TheGeneralSolutionofLinearDifferentialEquationofSecondOrder withConstantCoefficientinIntegralFormandItsFirstIntegral zHUMin—ten
(NanjingCollegeotCommunications,Nanjing210032,Chitin) Abstract:Inthispaper,thegeneralsolutionotl~neardifferentialequationofsecondorderwith
constantcoefficient
inintegralformisproducedbyusingthatoflineardifferentialequationoffirstorder.Itsstructur
eisreserchedandits
firstintegralisgiven.
Keywords:Lineardifferentialequationofsecondorderwithconstantcoefficient}generatsol
ufion~firstintegral
常微分方程的通解
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教学参考高等数学研究