1. 关于代数的故事
在十九世纪以前,代数被理解为关于方程的科学。十九世纪,法国数学家伽罗华(Evaristr Galois )开创群论以后,代数不再以方程为中心,而是以各种代数结构为中心。作为中学数学课程的代数,其中心内容就是方程理论。代数的发展是和方程分不开的。代数对于算术来说,是一个巨大的进步,代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量,根据问题的条件列同方程,然后解方程求出未知量,我们举一个例子:一个乘以3,再除以5,等于60,求这个数。算术求法(公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的:既然这个数的3/5是60,那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍,即100。代数解法:设某数为x ,则可见代数解法与算术思路不同。各有自己的一套规则,代数解法比较简单明了。古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。据说,1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷,他惊奇地发现,这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题(当然都是用象形文字表示的)。例如有一个问题翻译成数学语言是:
“啊哈,它的全部,它的1/7,其和等于19。”
如果用x 表示这个问题中的求知数,就得到方程,解这个方程,得到。令人惊奇的是,虽然古埃及人没有我们今天所使用的方程的表示和解法,却成功得到解决了这个答数。我国古代的代数研究在世界上一直处于领先地位,在经典数学著作《九章算术》中,除了方程外,还有开平方、开立方、正负数的不同表示法和正负数的加减法则等代数的最基本问题,到宋、元时代,我国对代数的研究达到了高峰。贾宪等的高次方程数值解方法,秦九韶的联立一次同余式解法,李治的列方程一般方法,朱世杰的多元高次方程组解法,及其有限级数求和的“招差法公式”,都早于欧洲几百年。“代数学”这个名称,在我国是1859年正式开始使用的,来自拉丁文(Algebra ),它又是从阿拉伯文变来的,其中有一段曲折的历史。公元825年左右,花拉子模的数学家阿尔——花拉子模写了一本书《Kitabaljabr-W ’al-mugabala 》意思是“整理”和“对比”,这本书的阿拉伯文版已经失传,但12世纪的一册拉丁文译本却流传到今,在这个译本中,把“aljabr ”译成拉丁语“Aljebra ”, 并作为一门学科,它的课题最首要的就是用字母表示的式子的变形和解方程的规则方程。我国清代数学李善兰,1859年编译西方代数时,把“Algebra ”译成了“代数学”。从些,“代数”这个名词便一直在我国沿用下来。
2. 代数基本定理
任何n (n>0)次多项式在复数域中至少有一个根。一元一次方程有且只有一个根,一元二次方程在复数域中有且只有两个根,因此,人们自然研究一元n 次方程在复数域中有几个根。此外,当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题:是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积,或分解成实系数的一次因式和二次因式的积?这样的分解,关键证明代数基本定理。代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理:定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值,而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着,欧拉也给出了一个证明,但有缺陷,拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理,后经高斯分析,发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了,所以该证明仍然是很不严格的。1799年,高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理,其基本思路如下:设f (z)为n 次实系数多项式,记z = x + yi (x, y为实数) ,考察方程:f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0即u (x, y) = 0与v (x, y) = 0分别表示oxy 坐标平面上的两条曲线,于是通过对曲线作定性的研究,他证明了这两条曲线必有一个交点,从而得出u (a, b) = v (a, b) = 0即f (a + bi) = 0,故此便是代数方程f (z)的一个根。这个论证具有高度的创造性,但从现代的标准来看,
依然是不严格的,因为他依靠了曲线的图形,证明它们必然相交,而这些图形是比较复杂的。高斯后来又给出了另外三个证明方法,第二个证法中,不依靠几何的论据,但是却应用了当时未经证明的命题:设多项式p (x) 在x 的两个不同的值之间没有零点,则它在这两个值处不可能改变符号。高斯在71岁时还公布了第四个证法,在这个证法中,他容许多项式的系数是复数。应指出,在许多证法中,这个定理都不是在最一般的情况下证明的,都是假定了多项式中的文字系数表示实数,但整个定理却包括复系数的情况。复变函数论发展后,代数基本定理已作为其他定理的推论。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)是说每个次数不小于1的复系数多项式在复数域中至少有一复根。这个定理实际上表述了复数域的代数完备性这一事实。高斯运用含参量积分的结论贡献了一个首创的代数学基本定理的证明;而利用复变函数论中的结论证明起来比较简洁;卢丁(Rudin)在他那本著名的《数学分析原理》中给出了一个看上去更清晰的证明,但其间用到很多专属于他那本著作的定理,要看懂此定理的证明,至少要先研读50页的前文,而全书不过300页具体的证明就不赘述了,自己去查参考文献吧,如果你真的感兴趣的话。参考文献:
菲赫金哥尔茨 " 微积分学教程" §14.2 [512] 代数学基本定理的高斯证明 高教出版社 Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis" Theorem 8.8 机械工业出版社
Courant, R. and Robbins, H. "The Fundamental Theorem of Algebra." §2.5.4 in What Is
Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 101-103, 1996.
Krantz, S. G. "The Fundamental Theorem of Algebra." §1.1.7 and 3.1.4 in Handbook of Complex V ariables. Boston, MA: Birkh?user, pp. 7 and 32-33, 1999.
代数基本定理的证明
代数基本定理的证明
基本思路 数学归纳法 替推 也就是假设 n 次方程至少有n个复数解推出n+1 次方程至少有n+1 个复数解(包括相同的解)。
,,对于函数fz=z-a z为复数,作为矢量,f(z)也为矢量。 如下图,左0
图为变量z的变化轨迹,右图为f(z)的变化轨迹。
当z在左图圆上旋转一圈,a在圆内一点,可知f(z)为矢量箭头也旋0
转一周,f(z)反映在右图的圆周轨迹也是一个圆周。原点在f(z)轨迹内部。
考虑f(z)=(z-?)(z-?) 由复数定理可知f(z)的辐角等于z-?的辐角与010z-?的辐角的和。Z的变化轨迹是一个圆,?,?在圆内。Z变化一101
周,z??变化一周,z??也变化一周。f(z)为连续变化,f(z)的辐角01
也连续变化。看下图:
,,,,从辐角和的公式Argfz=Arg(z-a)+Arg(z-?),z在圆周上逆时针01
旋转,辐角逐渐变大z-?, z-?的辐角也逐渐变大,所以f(z)的辐角01
逐渐变大,所以f(z)绕原点旋转如右图。当z-?, z-?的辐角和变化2π,01
f(z)的辐角也变化2π,这个时候z的辐角继续变大直到2π,f(z)的辐角继续变大,最终变化量为2?2π,首尾连接(因为f(z)可以转化为实
,,,,,,数是单值的)。由此可以推出fz=z?az?a…(z?a)当01na,a…a在z旋转轨迹圆内时,z旋转一圈,f(z)将绕原点旋转n+101n
圈,最终形成封闭曲线。
1次方程 z+b=0有一个根。假设n次方程有n个复数解则n+1次0
,,,,,,方程可写成zz?a)z?a…(z?a+a=0。令fz=12n0
,,,,zz?a)z?a…(z?a,可以z变化的圆轨迹足够大时,z变化12n
一圈,f(z)将沿原点旋转n+1圈,最终形成封闭曲线。关注最外围的封闭曲线。
第一种情况 ?a 在f(z)最外围封闭曲线外。 0
先任意固定z的辐角,增大z的模,也就是增大z轨道圆的半径,逐
,,,,,,,渐变化到无穷大f(z)的模将变化到无穷大,fz=z×|z?a)|×1,,,|z?a|…|(z?a|,因为z的辐角是任意的,所以f(z)最外围封闭2n
曲线上f(z)的模都将变化到无穷大。所以总会碰到f(z)= ?a,即n+10次方程至少有一个复数解。
第二种情况?a 在f(z)最外围封闭曲线上。即有f(z)= ?a。即n+1次00方程至少有一个复数解。
第三种情况?a在f(z)最外围封闭曲线内。 0
,,,,,,,,,,由fz=z×|z?a)|×|z?a|…|(z?a|可知当z的模逐渐12n
变化到0时,f(z)的模将收敛到原点,所以f(z)的最外围封闭曲线一定经过?a,即有f(z)= ?a。即n+1次方程至少有一个复数解。 00
n+1次方程至少有一个解,通过长除法,可以把n+1次方程化为n次方程再解出其他n个复数解。即证处n+1次方程至少有n+1个复数解。
n+1n注:长除法:n+1次方程z+az+?az+a=0 n10
n+1nz为n+1次方程的一个复数解有z+az+?az+a=0 00n0100
n+1nnn做下面变化:z?zz+zz+az+?az+a=0 00n10
nn,, zz?z+(z+a)z+?az+a=0 00n10
nn?1n?1,,,,zz?z+(z+a)zz?z+z(z+a)z+?az+a=0 00n000n10
nn?1n?22,,,,,,zz?z+(z+a)zz?z+(z+az)zz?z00n00n00
n?22+z(z+az)z+?az+a=0 00n010
最终经过n次变化后得到:
nn?1n?22,,,,,,zz?z+(z+a)zz?z+(z+az)zz?z00n00n00
nn?22n?1+z(z+az)z+?(z+az+?a)(z00n00n01
n+1n?z)+(z+az+?az+a)=0 00n0100即方程可变化为:
nn?1n?22[z+(z+a)z+(z+az)z0n0n0
nn?22n?1,,+zz+az)z+?(z+az+?a](z00n00n01
?z)=0 0
当z不等于z时方程可以化为n次方程。如果z为n次方程的解,上00
面方程可以继续用长除法得到n-1次方程,直到z不是留下的方程的0
解。总之可以把方程降次。
代数基本定理的证明
代数基本定理的证明
1 2 菅典兵,孙胜利
( )1. 商丘师范学院 计算机科学系 ,河南 商丘 476000; 2. 商丘职业技术学院 ,河南 商丘 476100
摘 要 :文 [ 1 ]中的第一章“多项式 ”中给出了复数域上的一个重要定理 ———代数基本定理 ,但并没有给出定
理的证明. 我们将运用复变函数和近世代数的方法给出该定理的三种证明 ,来揭示数学定理证明方法的灵活性.
关键词 :代数基本定理 ;刘维尔定理 ;儒歇定理 ;分裂域
中图分类号 : O17415 文献标识码 : A
0 引言
一切复数域中多项式因式分解问题 ,实际上可归结为对应方程求根问题 ,代数基本定理保证了多项式 方程的根的存在性. 前人已对代数基本定理的证明进行了深入研究 ,如高斯给出了它的证明. 我们将把复变 函数和近世代数的知识运用到证明过程中 ,得到代数基本定理的证明.
1 预备知识
1. 1 分裂域理论
( ) ( ) ( )( ) 设 F为域 , f x?F x,包含 f x所有根的 F的最小扩域称为 f x在 F上的分裂域 ,更确切的定义为 :
( )[ 2 ] P36 ( ) ( ) 定义 1设 f x?F x, E 为 F的扩域且满足以下条件 :f
( ) ( )( ) ( )1 f x在 E上可分裂为线性因子 ; 2 E可由 F上添加 f x的所有根而得到. f f
( ) ( ) 则称 E是 f x在 F上的分裂域 sp litting fie ld.f
( ( ) 定理 1 设 f x?F [ x ]是 F上的一个不可约的多项式 ,则存在 F上一个扩域 E,包含 f的一个根 ,且 E: ) ( ) F= degf x.
( )( ( ) ) 证明 因为 f x在 F上不可约 ,令 E = F [ x ] / f x,则 E是域. 首先要证 E是 F的扩域. 作 F到 E 的
σ( ) ( ( ) ) σσ映射 : a | - a + f x,则 是 F到 E内一个单同态 ,则 F同构于 F,即把 F同构嵌入到 E内 ,我们可
σ( )( )( ( ) ) 以把 F与 F等同起来 ,因而 E是 F的扩域. 其次我们来证 E中含有 f x的一个根. 取 u = x + f x,则 f ( ) ( ) ( ( ) ) ( )( ) u= f x+ f x= f x所在类 ,所以 u是 f x在 E中的一个根.
( ) ( ) 定理 2 设 f x?F [ x ] , f x在 F上的分裂域 E存在 ,且在同构的意义下是惟一的.f
( ) 证明 对 n = degf x作归纳法. 当 N = 1时显然成立.
( )( ) ( ) 假设定理对 n - 1 成立 ,由定理 1知 ,存在 F的扩域包含 f x的一个根 u,令 K = F u, f x在 K上可分
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 解为f x= x - ufx,其中 fx?K[ x ]且 degfx= n - 1. 由归纳假设 ,存在 fx在 K上的分裂域 E 1 1 1 1
( )) ( 包含fx的所有根 V, V, , V,且 E = K V, V, , V,于是1 1 2 n - 1 1 2 n - 1
)( )( ) ( ( )E = F uV, V, , V = F u, V, V, , V是 f x在 F上的分裂域 ,即分裂域的存在性成立. 1 2 n - 1 1 2 n - 1
) ) ( )( (, u设 E和 E都是 f x在 F上的分裂域 ,且 E= F u, u, , u, E= F V, V, , V,其中 u, u, n1 2 1 1 2 n 2 1 2 n 1 2
( )( ) ( ) ( ) ( )和 V, V, , V都是 f x的 n个根. 若 u在 F上的最小多项式为 p x,则 p x| f x. 因为 E包含 f x的 1 2 n 1 2
) ) ( )( ( ( ) ) ( 所有根 ,所以 p x在 E中也有一个根 ,不妨设为 v,可得 F u?F [ x ] / p x?F v,因此有 2 1 1 1 σσσ))) ) τστ( ( τ( ( | = 1 ,| = 1. 令 =?,则 是 F u到 F v的同构 ,且 | = 1 ,再令 F= F u?F v,1 F 2 F 1 2 1 1 F 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x= x - ufx,则 E, E是 fx在 F上的分裂域且 degfx< n.="" 由归纳假设="" ,存在="" e到="" e的同构1="" 1="" 1="" 2="" 1="" 1="" 1="" 1="" 2="" ττττττ且="" |="1." 于是得="?是" e到="" e的同构且="" |="1" ,即惟一性成立.="" 1="" 1="" f="" 2="" 1="" 1="" 2="" 2="" f="" 1="">
收稿日期 : 2006 - 12 - 16( ) ( ) 作者简介 :菅典兵 1963 - ,男 ,河南永城人 ,商丘师范学院副教授 ,主要从事代数学研究 ; 孙胜利 1963 - ,男 ,河南民权人 ,商丘职业技 术学院教授 ,主要从事随机分析与金融数学研究.
?17?
1. 2 刘维尔定理和儒歇定理( )[ 3 ] P26 ( ) 刘维尔定理 有界整函数 f z必为常数.( )[ 3 ] P26 ( ) ( ) 儒歇定理 设 C是一条围线 ,函数 f z, g z满足以下条件 :
( )( )( ) ( ) 1 它们在 C的内部均解析且连续到 C; 2 在 C上 , | f z| > | g z|.
( )( ) ( )( ) ( ) 则函数 f z与 f z+ g z在 C的内部有同样多的零点 ,即 N f + g, C = N f, c.
2 代数基本定理及其证明
[ 1 ]n n - 1 ( ) 代数学基本定理 在 z平面上 , n次多项式 p z= a z+ a z++ a 至少有一个零点.0 1 n
() ( )( )( ) 方法一 反证法 设 p z在 z平面上无零点 ,由于 p z在平面上是解析的 , 1 /p z在 z平面上也必解n n ( ) ( ) ( )( ) 析. 下面证明 1 /p z在 z平面上有界 ,由于 limp z= lim za + a / z ++ a / z= 00 , lim1 /p z= 0 ,故存0 1 n
( ) ( )( ) 在充分大的正数 R ,使当 | z | > R 时 , | 1 /p z| < 1="" ,又因="" 1="" z在闭圆="" |="" z="" |="" 上连续="" ,故可设="" |="" 1="" z|="" m()="" (="" )="" (="" )="" 正常数="" ,从而在="" z平面上="" |="" 1="" z|="" m="" +="" 1="" ,于是="" 1="" z在="" z平面上是解析且有界的.="" 由刘维尔定理知="">
( )( ) 1 /p z必为常数 ,即 p z必为常数. 这与定理的假设矛盾 ,故定理得证.n n - 1 + 方法二 任一 n次方程 az + az + a= 0有且只有 n个根. 0 1 n n n - 1 ( )( )证明 z+ = a令 f z = az , g z + a, 当 z 在 充 分 大 的 圆 周 C: | z | = R 上 时 , 有 1 0 n n - 1 n - 1 n ( ) ( ) | g z| ? | a| R + + | a| < |="" a|="" +="" +="" |="" a|="" r="">< |="" a|="" r="" ,由儒歇定理可知="" ,在圆="" |="" z="" |="">< r="" 内="" ,方程="" 1="" n="" 1="" n="" 0="" n="" n="" -="" 1="" n="" n="" az="" +="" az="" ++="" a="0" ,="" ar="0有相同个数的根" ,而="" ar="0" 在="" |="" z="" |="">< r="" 内有="" n个重根="" z="0" ,="" 因此原="" n次="" 0="" 1="" n="" 0="" 0="">
方程在 | z | < r="" 内有="" n个根.="" 另外="" ,在圆周="" |="" z="" |="R" 上="" ,或者在它的外部="" ,任取一点z,则="" |="" z|="R?R" ,于是0="" 0="" 1="" n="" n="" -="" 1="" n="" n="" -="" 1="" n="" n="" -="" 1="" n="" -="" 2="" (="" )z+="" az+="" az|="" -|="" az+|="" a+="" a|="" +="" a|="" a|="" r-="" |="" a|="" r="" +="" |="" a|="" r="" +="" |="" a|="" 0="" 0="" 1="" 00="" 0="" 1="" 0="" n="" n="" 0="" 0="" 1="" 2="" n="" n="" n="" -="" 1="" n="" n="" (="" )=""> | a| R- | a| + | a| + + | a| R > | a| R- | a| R= 0. 0 0 1 2 n 0 0 0 0
这说明原 n次方程在圆周 | z | = R 上及其外部都没有根 ,所以原 n次方程在 z平面上有且只有 n个根.
方法 3 任意一个复系数 n > 0次多项式至少有一个复根.
( )证明 首先假设 f x是实系数多项式 ,并设 n = 2 rm , m 为奇数. 对 r作归纳法. r = 0 时 , n为奇数 ,显然 f( )( )( )x有一实根. 假设 r?1 ,若定理对 r - 1成立. 由上述定理 2 ,存在 f x的分裂域 E包含 f x的所有根 : a, f 1
) ( β( ) ( ) a, , a. 任取实数 t并令 = aa+ t a+ ai < j,="" 1="" ,="" j?n,共="" n="" n="" -="" 2="" 个数.="" 作多项式="" 2="" nij="" i="" j="" i="" j="" r="" -="" 1="" (="" β)="" (="" )(="" )="" (="" )g="" x="?" x="" -="" ,="" degg="" x="2" m,="" g="" x的系数是="" a,="" a,="" ,="" a的对称多项式="" ,可用="" a,="" a,="" ,="" a的初等对="" ij="" 1="" 1="" 2="" n="" 1="" 2="" n="">
( )( ) 称多项式来表示 ,而 a, a,, a的初等对称多项式是 f x的系数 ,因而是实数 ,故 g x也是实系数多项式. 1 2 n
( )β由归纳假设 g x至少有一复数根 ,即 中至少有一个是复数. 由于 t是任意的 ,可取多个不同的 t值来构造 ij
β ( ) β( )β,因而总可以找到两个不同的 t、t和某对 i, j使 = aa+ ta+ a,= aa+ ta+ a都是复数 ,由 1 2 ij i j 1 i j ij i j 2 i j
( )此得 a+ a与 a? a都是复数 ,从而 a和 a也是复数 ,这就证明了 f x的根中至少有一个复数. i j i ji j n n - 1 n n - 1 ( ) ( )( ) 若 f x不是实系数多项式 ,设 f x= ax + ax + + a,令 fx= āx + āx + + āx + ā, 0 1 n 1 0 1 n - 1 n
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 则F x= f xfx是实系数方程 ,因而至少有一复数根 a,即 f afa= 0 ,若 f a?0 ,则 fa = 0 ,从而 1 1 1
( ) ( ) ( )有 fa= f ā= 0 ,所以 a 是 f x的根 ,即定理得证.1
参考文献 :
[ 1 ]北京大学力学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数 [M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 1978.
[ 2 ]王栓红. 近世代数 [M ]. 西安 :电子科技大学出版社 , 1987.
[ 3 ]钟玉泉. 复变函数论 [M ]. 北京 : 高等教育出版社 , 1988.
[责任编辑 孙胜利 ]
A t te s ta t io n o f th e B a s ic T h e o r em o f A lg e b r a 1 2J IAN D ian - b ing, SUN Sheng - li
( 1. D epa rtm en t of C om pu ter S cience, S hangqiu Teachers College, S hangqiu 476000, Ch ina;
)2. S hangqiu V oca tiona l and Techn ica l College, S hangqiu 476000, Ch ina ( ) A b s t r a c t : Th is text a im s a t the studen t in study h igh e tc. in《A lgeb ra》h ighe r educa tion p ub lish ing hou se, no rth b ig 1978 ve rsionba sic axiom s in a lgeb ra in - in - in an an impo rtan t axiom s fo r po lynom ia l in side fo r p lu ra l area. The book in side ju st gave the con ten ts of the axiom s, p roof w ithou t axiom s. Th is text app lica tion rep lie s to change the func tion know ledge and mode rn tim e s algeb ra know ledge gave th ree k ind s of p roofs m e thod, announc ing to p ub lic the vivid of the m a them a tic s axiom s p roof m e thod.
K e y w o r d s: B a sic axiom s in a lgeb ra; L iouville axiom s; Rouchéaxiom s; ab rup tion a rea
?18?
代数基本定理的分析证明
代数基本定理的分析证明 第25卷第2期
2002年4月
荆州师范学院(自然科学短)
JournalofJingzhouTeachersCoLLege(NaturalScience)
V0__25N0.2
r2002
代数基本定理的分析证明
陈春刘昌梅陈香邵桂英
(剂州师范学院数学系13992班434020)
摘要通过《数学分析》中近似计算的方法,利用P(z)与z之问的幅角关系,讨论了P
(.)与?argP()在零点的对应关系,在此基础上证明了代数基本定理,并扩大了该定理的证
明范围
关键词幅角增量;简单闭曲线;幅角主值
中图分类号O17451文献标识码A文章编号1003—8019(2002)02—0107—04 1引言
代数基本定理是:每个次数大于1的复系数多项式在复数域中有一根.这个定理有许多证明方法.比如
利用儒歇定理证明.但是这些证明中所用到的结论很复杂,所以本文将改变以往的复杂的证明方法,采用一
些很浅显的命题来证明.首先我们了解一下简单闭曲线和幅角主值的概念 简单闭曲线:设,=z(t)(n?,?6),若Re2()与Im()在[口,6]上连续,对[口,b]上任意不同点,
与,2,但不同是[a,b]的端点,有()?.(,2),且对n,6,有(a)=z(6),这样的曲线是简单闭曲线.
幅角主值:对向量=+iy,它与z轴的夹角的值叫做向量的幅角主值.记作arg,它的范围是[一
.].
2代数基本定理的证明
F面分5个命题来证明.
命题1设r是z平面上的连续封闭曲线,则它经过映射W=P(.)在平面的象也是一条连续封闭
曲线
证设r的参数方程为{一,?(,卢)
即当f从.变到卢时,z()在z平面上可以画出一条有向曲线.这曲线的函数表达式为 2=(,)=(,)+(,),f?(口,卢)
令P(2)的系数q=q+ibi()=0,1,…,),则P(.):0.'+.l十……n一
l,+口=(0+ib0)(r
+i)+(.I十i61)(十i).十…+(n一1+ib.J)(+i)十(d+ib)=(.)+i(.) 其中(z,Y)与(,Y)均为z.的实多项式
当z()时,则=()二((),())+i(().())即r的象是一条有向曲线,它的参
数方程为
收稿日期:200109—17
基金项目:荆州师范学院学生科研项目
作者简介:陈春(1981一),男.荆州师范学院数学系13992班学生
108荆州师范学院(自然科学版)
I=(f):(r(),())'
其中"=+ir/
我们可以把封闭曲线r看成是动点从定点z沿着r运动一周后再回到zn所得的曲线,这时"
P(z)在w平面上沿着曲线r由P(z)连续变动到P(.),即r是一条封闭曲线 命题2设r是平面上的简单封闭曲线,当点z按逆时针沿r运动一周时,z的幅角增量为:
10(原点在r的外部)
r
i2(原点在的内部)
(注:符号?argP()表示当z按逆时针沿简单曲线r运动一周时P()的幅角增量)
命题3存在正数R,当简单曲线r把圆:?尺含在它的内部时,?argP()=2
证不先一般性,可设P(z)的首项系数为1,令A=InlI+In2f,?+IaI (I)对vM>I,j尺>o,当I:I>尺时,有I旦一1
令尺=,显然尺?1.则当IzI>尺时,有J旦一1I<击 (1I)取M100,当I>100A时t有IargP()一argz<. 在w平面上作圆c:I一11<而1
,则由上面的结论可知:当II>100A时,点落在圆盘c内,而 此圆盘内的任何点"均满arg"J?arctail)arctan 1100
(0l01】)<(虫口图1)
?1一(/)』o
故argp()_argI=I<<. 由命题2可知,?,argz=2当z沿r转一圈时,W=P(z)是 ?平面内的一条封闭曲线,对r上每一点z来说,有: IargP(z)一argI<
即argP()与argz的偏角小于t由此可知:
A
,argP()=?arg=2
即命题3得证
-,
命题4复平面上存在这样的点.,在它的任何邻域内都有封闭围 曲线q,使?argP(z)?0
证设R为命题3中所说的正数,作一正方形Q1把圆块IzI?R含在其内部(如图2)
记Q1边界为
g1.由命题3得
?argP(z)=2H
现在把Q1平分为四个小正方形{Qi};一】,它的边界记为};1,则可得到 .
argP(z)?.
agP()?0.
这里的等式之所以成立,是因为当沿正方形边界运动一周时,值P()的幅角增量等于值P()当
分别沿四条边(按正方形边界的方向)运动所得的四个幅角增量之和而当分别地按正向沿运动一周
时,z在这些小正方形的公共边界(例如Ql与Ql的公共边界)上按互为相反的方向各运动一次,从而值
翠
一
第25卷第2期阵_春等代数基本定理的分析证明
P(z)的相应的幅角增量互相抵消(图3)
,
l..ff.f
11
ffLL
圈2图3
由上面的等式可知四个小正方形{0}j】中至少有一个小正方形,记作0,其边界记为q!,使
?argP(z)?0同样又把02平分为四个小正方形IQj,类似推理,可知其中又至少有一个小正方形
记为0s,其边界记为qs,使?argP(z)?0无限继续下去,可得一列闭正方形 01]0203…]0]…
其中每个正方形是由它的前一个正方形平分得到的,从而它的对角线长的极限为0它们的边界分别为:q
q2,q3,…,q..,且对每一个H,都有AargP()?O
由闭区间套定理,存在o?0(:1,2,3-),对zc1的任何一个邻域U(),取正整数N= N(U(:o)),有正方形0NU(D),从而?argP(2)?0
命题5设P(.)?0,则存在邻域u(D)=}::I2一z0j?8,8>0I,使对所有台在[』(.)内的封闭曲
线r,都有A,argP()=0
证P()一P(.0)}:I?(一z一)
{(z—..
q(z一#一0+.1'+5+)
令I.一Z"0I<1,则』z}<{0I+1,记M=I.I+1,则jI<M,于是
IP()一P(zo){?『z—zDI兰IqI(一j)M一?
Iz一..J("一1)一兰JJ?J—aJ(一1)|4
记=mn}l,i},则当}—.I<时,有{P()一P(.)}<上.
囤4
由命题1知,r经过映射W:P()在W平面上的象是含在圆块W内的一条封闭曲线r(如图4)
,其中
l10荆州师范学院(自然科学版)2002年4月
w为:1—P(.)}<.因为}w-P(.)】<不含w平面上的原点,所以argP()=. 代数基本定理的证明如下:
证由于平面上的点.,在它的邻域内的任何封闭曲线r,有?argP()?0或A,argP():0.对于
AargP():0,有P(#0)?O;xq~AargP()?O,显而易见有P(o)=0.由命题4可知,Z0是存在的,所
以代数基本定理得证.
3结束语
以上的证明所运用的知识都是一些非常易懂的数学知识首先我们从"着手,得到Aargz在零点处
于不同区域时取不同的值这个结论(命题2),然后通过近似计算的方法得出Aargz
与AargP(.)的关系
(命题3),既而得到AargP()在是零或不是零时分别满足的条件(命题4和命题5),
最后由?argP()与
零的关系得出了代数基本定理
谨向陈耀辉副教授对本文写作过程的大力支持和精0指导表示衷感谢
参考文献
[1]华东师范大学数学系数学分析[M]北京:高等教育出版社出版,1991
[2]北京大学数学系高等代数[M].北京:高等教育出版社出版,1988.
[3]余家荣复变函数M]高等教育出版社出版,2000
ANALYSISANDPROOFoF
FUNDAMENTALTHEoREMoFALGEBRA
ChenChunLiuChangmeiChenXiangShaoGuiying
(Class13992ofMathemadcsDepartment.JingzhouTeachersCo~ege434020) AbstractInthispaper,theauthorshavediscussedtheargumentfunctionbetweenP(2)andAa唱P()
whentheyareatther()pointBymeansoftheknowledgeofmathematicalanalysis.thismethodenlargesthe
scopeofprovingthefundamentaltheoremItshouldalsobeofconsiderablevaluetothosewhowishtomasterthe
theoreminafirstcontactwithadvancedmathematics
Keywordsargumentincrement;simpleclosedcurve;argumentprincipalvalue
代数基本定理的初等证明
2 0 0 3 年 6 月 成都师范高等专科学校学报 第 2 2 卷 第 2 期 Jun , 2003 Journal of Chengdu Teachers College Vol. 22 , NO. 2
代数基本定理的初等证明
乔明云
()成都师范高等专科学校数学系 四川 彭州 611930
摘 要 本文给出了代数基本定理的初等证明
关键词 代数基本定理 初等证明 复数域 一元 n 次多项式 根 闭曲线 映射 幅角增量
() 中图分类号 0175. 3 文献标识码 A 文章编号 1009 —833 x 200302 —005 —04
1799 年 ,年仅 21 岁的高斯在他的博士论文中首次证明了
( )定理 在复数域上 ,一元 n 次多项式n ?1
nn- 1 ( )+ + aZ + aa?0 ( ) + a Zn- 1 n 0 f Z= a Z 0 1
至少有一个根。
由于这个定理是方程论的基础 ,方程论又是初等代数学的主要内容 ,因而称为代数基本定理。高斯的证明是数学
(史上的一个里程碑。二百多年来 ,数学家们找到了这个定理的许多不同证明 ,但无不用到较为高深的数学知识至少
) 用到复变函数论及数学思想方法 ,因此 ,几乎所有的高等代数教科书都仅叙述定理的内容而未给出证明。本文给出
一个初等浅显的简单证明 ,供教学参考。
首先证明两条引理 :
γ) γγ(引理 1 设 是复平面上的一条连续闭曲线 ,则 在映射 f 下的象 f 仍是一条连续闭曲线 Г。 证
γ明 :设 的参数方程是
( )x = x t (αβ)t ?, ( )y = y t
γ则 上的任意点 Z 满足
( ) ( ) ( ) (αβ) Z = Z t= x t+ iy tt ?,
αβαβ令 a= + i ,? R , k = 0 ,1 ,2 , , n ,则 k k k k k
nn - 1 + a Z( ) W = f Z= a Z + + aZ + a 0 n- 1 n1 n n- k (αβ) ( )= + i x + iy k k ?k = 0
( ) φ( )=
( ) φ( ) 其中
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) φ( ( ) ( ) ) γ(γ)于是 ,当 Z = Z t时 , W = W t= f Z t=
是以
μ μ( ) ( ( ) ( ) )= t=
μ ηΓ为参数方程的一条有向曲线 ,其中 W = + i 。
)γγ( ) Γ( 当动点 Z 从上一点 Z开始 ,沿着运动一周回到 Z时 ,动点 W = f Z则从曲线上相应的点 W= f Z 0 0 0 0
ΓΓ开始 ,沿着 连续变动到 W,因而 也是一条闭曲线。 0
γ() γ引理 2 存在正数 R ,当简单闭曲线 内含圆盘 C :{ Z | | Z | ? R} 时 ,点 Z 沿正向逆时针方向运动一周 ,
多项式 f ( Z) 的值的幅角增量 Δargf ( Z) = 2 nπ。γ
f ( Z) 1 3 ω ω ω 证明 :首先证明 ,对任意 M > 1 ,存在 R > 1 ,当 | Z | > R 时 ,点= 一定落在 C : | - 1 | < 的="" n="" mz="">
( ) f Z的首项系数 a= 1 ,记 A = | a| +| a| + +| a| 内部。不失一般性 ,可设 0 0 1 n
| a| 1 f ( Z) a| | a| aa | a1 2 n2 n ? 则 n - 1 = + + + + + + 2n n2ZZ | Z |Z Z | Z | | Z |
| a| +| a| + +| a| 1 2 n A( )f Z - 1 于是 ,当 | Z | > 时 , ? < n="" |="" z="" ||="" z="" |="" z="">
令 MA = R ,显然 R > 1 ,因此 ,当 | Z | > R 时
( )f Z 1 - 1 < n="" m="" z="" f="" (="" z)="" 3="" 即="" ω="" 当="" |="" z="" |=""> R 时 ,点 = 一定落在 C 内部。如图 1 n Z
()图 1 1 3 - 1 M θ θω,则 M ?+ ?时 ,?0。故 M 充分大时 ,充分小。显然 ,对于落在圆 C 内的任何点 θ 记= tg 1 1 - 2 M ωθ均满足 | arg| < ,从而有="">
n ( ) θ ()| argf Z- arg Z| < 1="">
f ( Z) γγω 当简单闭曲线 内含圆 C :{ Z | | Z | ? R} 时 ,一方面 ,上的任何点 Z 都满足 | Z | > R ,从而点 = 一 n Z3 γ() 定落在 C 内部 ,于是 ,上的每一点均满足1。
n πγγΔ另一方面 ,由于原点在内部 ,当点 Z 沿 正向转一周时 , Z 的幅角增量 arg Z = 2,从而 Z的幅角增量γ
n Δπ ()arg Z= 2 n2γ
n γ( ) 于是 ,当点 Z 沿 正向转一周时 ,f Z与 Z的幅角增量相同 ,即有
n Δargf ( Z) = Δarg Z= 2 nπγγ
下面 ,我们来证明代数基本定理 :
首先证明 ,在复平面上存在这样的点 Z,在它的任何邻域内都能找到闭曲线 q ,使得 0
Δ( ) argf Z?0 q
6
( )根据引理 2 ,存在正数 R ,当正方形 Q内含圆{ Z | | Z | ? R} 时 ,如图 2 点 Z 沿 Q的周界 q正向转一周 ,f Z 1 1 1
的幅角增量 Δπ ( ) argf Z= 2 n?0 q 1 ( ) ( )k4 k 把 Q平分为四个小正方形{ Q} ,它们的周界记为{ q}。 1 2 k = 1 2
() ()图 2图 3 ( ) ( ) kk( ) 当点 Z 沿每一个 Q的周界 q正向运动一周时 ,在它们的公共边界上按互为相反的方向各运动一次 ,f Z的相应 2 2
() ( ) 的幅角增量互相抵消图 3。从而 f Z的幅角增量之总和恰好等于沿 Q的周界 q运动一周时的幅角增量 ,即有 1 1 4 Δ( ) ( ) argf Z= argf Z?0 2 q ( )k 1k = 1 Δq?( ) k4Δ ( ) 由此可知 ,在四个小正方形{ Q} 中至少有一个 ,记为 Q ,其边界为 q ,满足 argf Z?0。 2 2 q 2 k = 1 2
Δ( ) 再把 Q平分为四个小正方形 ,重复前述推理可知 ,其中又至少有一个小正方形 Q,其周界 q满足argf Z? 2 3 3 q 3
0。把这一过程无限地继续下去 ,我们得到一列闭正方形域
Q= Q= Q= = Q= 1 2 3 n
其中每一个均是由其前一个平分为四而得到 ,它们的边界分别为
q, q, q, , q, 。 1 2 3 n
Δ( ) 对每一个 n 都有 argf Z?0。 q n 根据闭矩形套定理 ,存在唯一的点 Z?Q, n = 1 ,2 , 。于是对于 Z的任何一个邻域 U ,只要取足够大的正 0 n 0 ( Z) 0 ) ,便有正方形 ( 数 N = N U( Z) 0 Q< u(="" n="" z="" )="" 0="" 满足="">
Δ( ) argf Z?0 q N
这样 ,我们的论断获证。
( ) 下面 ,我们证明 Z就是 f Z的根。 0 ( )3 Z ( ) δ δδγ只须证明 :如果 f Z?0 ,则存在> 0 ,对于 Z的邻域 U = { Z | | Z - Z| < }="" 内的任何闭曲线恒="" 0="" 0="" 0="">
有 Δ( ) argf Z= 0γ
7
事实上 ,当 | Z - Z| < 1="" 时="" ,="" |="" z="" |="">< |="" z|="" +="" 1="" ,记="" m="|" z|="" +="" 1="" ,则="" 0="" 0="" 0="">
) ( ) ( | f Z- f Z| 0 n - 1 n- k n- k ( )= aZ - Z k 0 ?k = 0 n - 1 n- k- 1 n- k- 2 n- k- 2 n- k- 2 + ZZ+ + ZZ+ Z)0 0 0 ) ( ( = Z - ZaZ 0 k ?k = 0 n - 1 n - k - 1 ( ) Φ| Z - Z| | a| n - kM 0 k ?k = 0 n - 1
( ) Φ| Z - Z| n - 1M 0 n- 1 k | a |k ?= 0 n- 1 A( ) Φ| Z - Z| n - 1M 0 ) ( || f Z0 δ 记= min 1 , ( ) δ ,因 f Z ?0 ,故> 0 ,于是 ,当 | Z - Z δ| < 时="" ,即="" z="" u="" 时="" )="" 0="" (="" n-="" 1="" 0="" 0="" z="" (="" )="" 2n="" -="" 1ma="" (="" )="" |="" f="" z|="" 0="" (="" )="" (="" )="" |="" f="" z-="" f="" z|="">< 0="" 2="" )="" (="" |="" f="" z|="" 0="" 这表明="" ,当点="" z="" u="" (="" z的内部。="" )="" 0="" 时="" ,点="" w="f" (="" z)="" 一定落在圆="" c="" :="" (="" )="" w="" |="" |="" w="" -="" f="" z|="">< 0="" 23δγγ(γ)="" γ对于邻域="" u="" 内的任何闭曲线="" ,根据引理="" 1在映射="" f="" 下的象="" f="" 仍是一条闭曲线="" 。据上述证明可知="" ,="" (="" )z="" 0="">
Γ() 被圆 C 所包含如图 4。
()图 4
γ( ) ΓΓΔ当点 Z 沿 运动一周时 ,点 W = f Z沿 运动一周 ,由于原点在 的外部 ,当然有 argW = 0 ,于
是
Δargf ( Z) = 0γ 综合上述两个方面 ,代数基本定理获证。
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