Vol .34 No.13 Computer Engineering · · 人
文章编号:1000—3428(2008)13—0188—02
文献标识码:A
2008年7月
July 2008
中图分类号:TP301.6
对称四阶偏微分方
陈 波1,
(1. 深圳大学学与计算科学学院,深圳 518060;2. 中国科
摘 要:通过分析整体变分模型的去噪理和效果,提出一新的四阶偏微分方程去噪模型,用于克服二阶偏微分方程去噪使图像分块的缺点,同时保持去后图像的高保真,并发一个于四邻系统的对离散化算法用于求解新模型,应中值滤波除四阶偏微程去噪引起的点。实验结果表,与传统方法相比,以该算去噪后的图像具有更好的质量和视觉效果。 关键词:图像去噪;整体变分模型;四阶偏
Symmetric Fourth-order Partial Differential Equations
De-noising Algorithm
CHEN Bo1, ZHANG Li-wei2
(1. College of Mathematical and Computational Science, Shenzhen University, Shenzhen 518060; 2. Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen 518067)
【Abstract 】This paper analyses the theory and effects of Total Variation(TV) model for noise removal and proposes a new fourth-order PartialDifferential Equations(PDE) de-nosing model to avoid the blocky effects of second-order PDE model, while preserving edges. A symmetric discretealgorithm based on four-neighbor system is developed to solve the new model. Median filteringis applied to alleviate the speckle effects in theprocessed image at last. Experimental results show that the new algorithm is better, compared with traditional methods. 【Key words】image de-noising; Total Variation(TV) model; fourth-order Partial Differential Equations(PDE) model
1 概述
图像去噪是图像处理中
务(如物体检和识别) 重要的预处理段,目标是从退
给定一个退化图像u 0∈R n ,
u 0=u true +n ,其中,u true 是
目标是尽可能准确地恢复出真实图u true ,同时在近似图像u 中,保持原始图像重要特信息。也是说,去噪过程的难之一是持加原图像的重要特征。对像而言,图中物体的边界是最普
通过线性滤波去噪通常效不佳,这是因为噪声和边缘都有高频特性。因此,非线性滤波方法是必的。中值滤波[1]是型的非线性滤波,基于小波分析的滤波器[2-3]也发展迅速。同时,基偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE) 的线性散滤波模型[4-8]也在图像去噪域取得了巨大的功。其中,比较著名的如整体变(Total Variation, TV)模型[9-10],在图恢复题中有很多成功的应用,不仅能解决基本的图像噪难,而且能用图像去模糊、图像修补等。变框架将这些图像理问题转变为最小化一个特定的能量泛函,然后应用变分法使其转化为求解一个有一定边界条件
如图1所示,传统去噪方法(如纳滤波、中值波) 在去除噪声的同时会模糊图像,而TV 模型在去噪的视觉效果边缘等细节的保持上于统滤波。TV 去噪模型本质上是一个对图像身的二阶微分方处模型,但二阶微分方程模型在进
(a)均值0、方差为0.01的
(c)对图1(a)的维纳滤波图像 (d)
(e)TV型对图1(a)的滤波
图1 去噪
为了解决这一问题,可以虑使用四阶
基金项目:深圳大学科研动基金资助
作者简介:陈 波(1979-) ,男,讲、博士,主研方向:
收稿日期:2008-02-20 E-mail :chenbo@szu.edu.cn
对于灰度渐变的区域,四阶PDE 并不像二阶PDE 那样把图像变成几个灰度值不同的色块,而是它平滑成一个灰渐的区域,在块区域内梯度恒定。虽然与实图像的度变不定相同,但一般不会产生额
2 一种新的四阶PDE 去噪模型
考虑如下能量函数:
E (u )=∫∫?(f (?2u )
+
λ2
|u ?u 0|2) d x d y (1)
其中,?是图像区;调节参数λ(>0)是个Lagrange 数,且是一个预先给定的常数,定义了能量函数中2项所占的权重;u 0为带噪图像;?2表示拉普拉斯算;f 必须是非负数且严格调递。最小化样一个能量数相当于找一个最小的?2u ,平滑图像u ,且保持u u 0接近。其对应Euler-Lagrange 方程为?2(f ' (?2u )sign (?2u )) +λ(u ?u 0) =0,其中,sign 为符号函
?2(f ' (
?2u
)?2u
?u ) +λ(u ?u 0
2
) =0
令c (s )=
f ' (s )s
,则上面方程化为
?2(c (?2u )
?2u ) +λ(u ?u 0) =0 (2)
引入时间t ,应用梯度下降法求解
?u
?t
=??2(c (?2u )
?2u ) ?λ(u ?u 0) (3) 最后离散化迭代求解上述方程即可。
3 新模型的
在保证离散化的正确性同时,应使离散化结果尽量简单对称。这应用一个基于四邻域结构(如2所示) 的简
图2 四邻
在中心点,离
u 为
?2u
i +1, j +u i ?1, j +u i , j +1+u i , j ?1?4u i , j
i , j
=
u h 2
(4)
其中,h 为离散化空间步
u n +1=u n ??t (?2(c (?2u n )
?2u n ) +λ(u n ?u 0)) (5)
其中,?t 为离散化时间长。类似于
c (s )=
1 (6)
1+(s /k )
2
其中,k 为参数。
因此,对称四阶PDE 去算法可以归
λ, k 、离散化空步长h 、时间步长△t ,初始化u ;(2)应用 式(4)计算?2u
)
;(4)应用式(5)进行迭代计算;重复步
本文应用Matlab 对同的图像,
行了实验。通过信噪比(PSNR)比较图像质量。
对于上文的Lena 图像,分别加入方为0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05的高斯白噪声,后别应用文献[11]的算法和本文算法进恢复。实验中,2算法都取λ=0.01, ?t =2。图3给出了比较结果,可以看
B
d /比噪信
图3 与传统算法去
对加入方差为0.01高斯白声的Peppers 图进行恢复,如图4所示。分别用文献[11]方法和本文算去噪,其中的参数取λ=0.01, ?t =2, k =5,经过30次迭。通过验道,本文算法视觉效果优于传统法。最后用简单的中值滤波去除恢复后图像中
(a)均值
的高斯噪声图像 恢复后的效果
(c)用本方法恢复后的效果 (d)对
图4 Peppers去噪效果
表1显示了在对Peppers 图像去噪时,时间步长t 与参数k 对算法效果影响(均用30次迭代,效果通信比现) 。由表1可
表1 参数对去
t 信噪比/dB
k =5 k =6 k =7 k =8 1 25.483 0 26.237 4 26.458 2 26.382 8 2 26.035 4 25.555 4 25.051 9 24.623 1 3
25.172 8
24.499 3
23.923 1
23.467 3
5 结束语
图像恢复通常是图像分、压缩等
处理步骤,除非能驱动方程选择恰当的参数并用合的数值算法进行离
为了保持去噪图像的高保真性、解决去
用于图像去噪的一个四阶偏微分方程
第28卷第4期2002年12月
文章编
甘 肃 工 业 大 学 学 报
Journal of G ansu University of T echnology V ol. 28N o. 4
Dec. 2002
用于图像去噪的一个四
耿修瑞1,
(1. 北京航空天大学应用数学系, 北京 100083; 2. 甘
摘要:用偏微分方程给图像去噪, , Y u 2M. 分方程, 在去噪的同时, , u M. K 程椒盐噪声却无能为力, . , 者改Y u 2Li 和M. K aveh , , 并
; ; 椒盐噪声:; 41 文献标识码:A
A forth 2order partial differential equation used for image denoising
GE NG X iu 2rui 1, LI Suo 2ping 2
(1. Dept. of Applied Mathematics , Beijing University of Aeronautics and Astronautics , Beijing 100083, China ; 2. School of Sciences , G ansu Univ. of T ech. , Lanzhou 730050, China )
Abstract :PDE used for image denoising is traditionally a second 2ordered one. Y u 2Li and M. K aveh proposed a fourth 2
order partial differential equation for noise rem oval last year. Their m odel can rem ove G aussion noise and keep image ’s approximate boundary , but can not get rid of salt 2pepper noise and , therefore , may cause unsm oothing phenomenon due to noise rem oval. S o , we m odify the coefficient of diffusion term in their PDEs , obtaining a partial differential equation which can denoise very well and rem ove salt 2pepper noise , als o.
K ey w ords :variation ; partial differential equation ; image denoising ; salt 2pepper noise
基于变分问题:
E (u ) =
f (|
∫
2u |) d Ω
(1)
=ln 1+2, 其k 为一
Y u 2Li 和M. K aveh 于2000年在文[1]中提出了如下
(2) , 其最大的优点在于用分斜面(对于平面曲是分段斜线) 来近似边界, 从而消除了二阶非线扩散方程所造成的集块现象, 可以得到效果更好的图. 此方程的缺点是在去本来是平滑区域的噪声时, 会造不平整的现, 同时于盐噪声, 此方没有任何去除的能力. 若要除去椒盐噪声还需要对处理过的图像进行中值滤波.
的四阶偏微分方程:
222
=- [c (| u |) u ]t
(2)
) 是正的
(s ) /s , 且f (?) 是非负非减函数. 在这个方程中, f ′
Y u 2Li 和M. K aveh 取c (s ) =
收稿日期:2002203225
1+(s/k ) 2
, 从而f (s )
1 改进的模型
基金项目:国家自
作者简介:耿修瑞(19762
) , 男, 河南新乡
在变分问题式(1) 中, E (u ) 实际代表了图像的某种
甘肃工
楚[2]. 但注意到当给图像加噪声, 对于平面曲线来说是增加了曲线的长度, 而对于空间面说是增加曲面的面积. 这样可以在像能极值问题中以图像的体
E (u ) =
d Ω
∫
全局最小值解, 为能量泛函E (u ) 在此件下也是凹函数,
) 不是凹函越平滑的过直至变为平
(
s ) <0, 这时能量数,="">0,>
泛函E (u ) 就可能不是凹的. 这样就有可能
(s ) =当f (s ) =ln 1+2时, f ′,
2k 1+s 2/k 2
22
(s f ″f . 由于在椒
1+2/k 2, | u |数, , 于是函数f (s ) 在椒盐噪声处可
, 从而式(1) 中E (u ) 在椒盐噪声处可以认为是不变的. 这正是理论上Y u 2Li 和M. K aveh 方程对椒盐噪声无能为
s 2
2
(3)
式中,d Ω代表积分曲
对于平面曲线, 式(3) 即为
E (u ) =
+u 2x d x
(4)
对于空间曲面,
E (u ) =
2x u y )
], (4) 所对应
u t =K
(6) (7)
当f (s ) =(s ) =+s 2时, f ′
+s
2
(s ) =, f ″
而式(5) 所对应
u t =H
. 显然f (s ) 是函数, 此
(1+s 2) 3/2
泛函E (u ) 有唯一的
这里, K 代表平面曲线的曲, H 代表空
由于有显著的物理背景, 用(7) 给有噪声的图像去噪有显著的优点, 即能迅滤去噪, 使有噪声的平滑区域迅恢整. 当然它也有明的缺点, 即它在保持边界
注意到式(5) 中f (s ) =
+s 2, 其中s =| u
|. 结合Y u 2Li 和M. K aveh 的思想, 现构造如下函数
) , 即取代替式(1) 中的f (?
(8) +( 2u ) 2
这样就可以
2 2u (9) =- 22t +( u )
改进后的
2
以去除椒盐噪声的本原因, 又由于能量泛函中用普拉斯算子代替梯度
2 模型的数值处理
方程(9) 可以下面迭代方法求出数值解. 假定间间隔为τ, 空间网
τ (n =0, 1, 2, …) t =n
x =ih (i =0, 1, 2, …, I ) y =jh (j =0, 1, 2, …, J )
这里, Ih ×Jh 是像的支集的
骤计算微分方程(9) 的右边项.
1) 计算Δu 的值Δu = 2u i n , j =
u n +u n +u n +u n -u n h
2
+s =
2
, 于是相应能量泛函的函数
+s 2.
模型(9) 兼具有方程(2) 和方程(7) 的优点, 其性能远优于模型(2) . 随后的实验明:新的四阶偏分程(9) 但可以很好地去除高斯噪声持边界, 还可去Y u 2Li 和M. K aveh 方程无能为力的椒盐噪声,
对新方程(9) 优越性能, 从分析学的角度也可做一步的解释:由式(1)
以及相应的对
n n n
(j =0, 1, 2, …, J ) u n -1, j =u 0, j , u I +1, j =u I , j
u i n , -1=u i n , 0, u i n , J +1=u i n , J (i =0, 1, 2, …, I )
2) 计算下
g ( 2u ) =c ( 2u ) 2u
g i n , j =g ( 2u i n , j )
3) 计算Δg (Δu ) :
2
相同的凹凸性, 于是f (s ) 是
(s ) ≥的s ≥0, f ″0时, 平面
g i n , j
=
n n n n n h
2
第4期 耿修瑞等:用于图去噪的一个四阶偏微方
边界条件为n n n n
g -1, j =g 0, j , g I +1, j =g I , j (j =0, 1, 2, …, J )
n n n n
g i , -1=g i , 0, g i , J +1=g i , J (i =0, 1, 2, …, I )
3. 1 曲
最后得到微分
n +1
n
τ
=- g i , j
2n
(10)
由图1可以看到, 方程(2) 与(9)
在去除高斯噪声时效果接近, 但对于椒盐声, 方程(9) 明显优于方程(2) . 另外, 虽然理论上程(2) 对椒噪无能为力, 在数值计算时仍不免对其产生响(如1d , 1f ) , 因此对方程(2) 处理后的图像再实施中值滤波, 将不会
29) 都可以比较, 方程(2) , 但容.
3 实验结果
由于方程(9) 严的非线性, 理论上得到确保差分格式(10) 收敛的τ是非常
2时, 得到很好的效果, (a ) 原始曲线 (b ) 加噪声的情
(d ) 方程(2) 在n =200时的情况 (e ) 方(9) 在n =1000时情
图1 曲线实验结果
(b ) 加了噪声(c ) 方程(9) 在n =(d ) 方(9) 在n =(e )
(a ) 原始
的图像30时的图像50的图像30
图2 图像实验结果
本文通
项的系数, 得到了一个改的四阶偏微分程模型. 用此模型给图像去噪, 克服了Y u 2Li 和M. K aveh 程不能消去椒噪声的缺点, 同时可以使本光滑的域基恢平整. 数分析和实验结果都明本模型是一个去噪、保持边界俱佳的偏微
[1] Y u 2Li Y ou , K aveh M. F ourth 2Order partial differential equa 2
tions for noise rem oval [J].IEEE T rans Image Processing ,
2000, (9) :172321730.
[2] Peronaand P ,Malik
J. Scale 2space and edge detection using
anis otropic diffusion [J].IEEE T rans Pattern Anal Machine Intell ,1990, (12) :6292639.
[3] K enneth R C. Digital image processing [M ].Englew ood
Cliffs :Prentice2Hall International , Inc. ,1988. [4] 李哲岩, 张永曙. 变分法及其应用[M].西安:西北工业
大学出版社,1989. [5] 梅向, 黄敬之. 微
社,1995.
偏微分方程
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
参考书目
《数物理程》, 明新, 清华大学出版社。 《工程技术中的偏微分方程》, 潘祖梁,浙江大学出版社。 《
浙江大学数学系 2
x = ( x1 , x2 ,? , xn ) u ( x) = u ( x1 , x2 ,? , xn )
自变量 未知函数
?u ?u ? mu F ( x1 ,? , xn , u , ,? , ,? , m1 m2 )=0 mn ?x1 ?xn ?x1 ?x2 ? ?xn
偏
浙江大学数学系 3
一些概念
PDE的阶: m = m1 + m2 + ? + mn 古典解 PDE 的解 广义解 线性PDE 非线性PDE 半线PDE 拟线
浙江大学数学系 4
是这样一函数,它满
PDE中所含未知函数
n ? 2u ?u aij ( x1 ,? , xn ) + ∑ b j ( x1 ,? , xn ) + c( x1 ,? , xn )u = f ( x1 ,? , xn ), ∑1 =j 1 ?xi ?x j ?x j i, j n
其是给
主 线
aij , b j , c 常系数线性PDE: 系数均为常数.
不
f ≡ 0.
不然称为非齐次的.
浙江大学数学系 5
?u ?u ? 2u ?u ?u aij ( ,? , = f( , u , x1 ,? , xn ) ,? , , u, x1 ,? , xn ). ∑1 ?x ?x ?xi ?x j ?x1 ?xn i, j = 1 n
n
半
? 2u ?u ?u ∑1 aij ( x1 ,? , xn ) ?x ?x = f ( ?x ,? , ?x , u, x1 ,?, xn ). i, j = 1 i j n
n
完非线
浙江大学数学系 6
1.
?u =0 ?x
解为:
u = f ( y)
?ξ = x ? ?η = x ? at
?u ?u +a =0 2. ?t ?x
变换
?u a =0 ?ξ
解
浙江大学数学系
7
3.
? 2u =0 ?x?t
解
? 2u ? 2u ? a2 2 = 0 4. ?t 2 ?x
变换
?ξ = x ? at ? ?η = x + at
解为:
u = g ( x ? at ) + h( x + at )
? 2u =0 ?ξ?η
浙江大学数学系 8
` 举例(未知函数为二元函数)
5.
? 2u ? 2u + 2 =0 2 ?y ?x
不找
任解析
1 ln r
也是解
r = x2 + y2
KDV方程 特解都不易找到
浙江大学数学系 9
?u ?u ? 3u + 3 =0 + 6u 6. ?t ?x ?x
7. 8. 9.
ut + uu x = eu
2 v x v xx + v y v yy = v 2
拟
a ( x, y )(v xx + v yy ) = e v (v x + v y )
半线性PDE
10.
ut + u x = sin u
半
浙
11.
(ut ) + (u x )
2
2
= u2
举例(多元函数)
? 2u ? 2u ? 2u + 2 + 2 =0 2 ?x ?y ?z ? u ? u ? u ?u + 2+ 2 = 2 ?x ?y ?z ?t
2 2 2
拉
热传导方程
? u ? u ? u ? u + 2+ 2 = 2 2 ?x ?y ?z ?t
2 2 2 2
浙江大学数学系
波动方程
11
定 题 PDE 初值条件
浙江大学数学系
12
波
?? u 2 ? u + f ( x, t ), t > 0, x ∈ R ? 2 =a 2 ?t ?x ? ?u ( x, t ) = ? ( x) t =0 ? ? ?u ? ( x, t ) = ψ ( x ) ? ?t t =0 ?
2 2
浙
热
? ?u 2 ? u + f ( x, t ), t > 0, x ∈ R ? =a 2 ? ?t ?x ?u ( x, t ) t =0 = ? ( x) ?
2
浙
二
? ? 2u ? 2u + 2 = 0, ( x, y ) ∈ ? ? R 2 ? 2 ? ?x ?y ? ?(α ( x)u + β ( x) ?u ) = g ( x) ? ?n ?? ?
α = 1, β = 0 α = 0, β = 1
α > 0, β > 0
第边值
浙江大学数学系
第
15
热
? ?u ? 2u = a 2 2 + f ( x, t ), t > 0,0
浙江大学数学系
16
何为适定性?
存在性 唯一性 续依赖(稳定性) 稳定性:只要定解条件的偏差足够小,相 应的定问题解的偏差也将非小. 若PDE在附加及解域的一定要求,它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一且关于附加条件为 稳定
浙
适定性
弦振动方程的导出
浙江大学数学系
18
一长L的软匀细,拉紧后,当它 受到与平衡置垂直的外力作用时,开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一面内, 求弦
弦上点作往运的主要因在于弦的张力作用, 弦在运动过中各点的位移、加速度和张力都在 断变化,但它们遵循物理的运动规律。由此以建 立弦上各
浙
取的衡位置为OX轴,运动平面为XOU U P O Q U P Q L 在时刻 t ,弦线在 x 点的位
α2
T ( x + ?x)
α1
O
此
x + ?x
浙江大学数学系
T (x) x
X
20
设
?S ≈ ?x
即明段PQ在振动过程中长
大与间 t 无关。 再由
浙江大学数学系
21
设 ρ 弦线密(单位长度的质量),f 0 ( x, t ) 为作用在 弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密
T ( x + ?x) cos α 2 ? T ( x) cos α1 = 0
? 2u ρ?x 2 = T ( x + ?x) sin α 2 ? T ( x) sin α1 + f 0 ?x ?t
?u tan α1 = ?x ( x ,t ) ?u tan α 2 = ?x ( x + ?x ,t )
cos α1 ≈ 1 cos α 2 ≈ 1
(*1) (*2)
sin α1 ≈ sin α 2 ≈
?u ?x ?u ?x
( x ,t )
?u
( x + ?x ,t )
浙江大学数学系
22
(*1)
T ( x + ?x) ≈ T ( x)
这
T ≈ T0
(*2) ,微分中值定理
常数
? 2 u ( x, t ) ? 2u ( x , t ) ≈ T0 ?x + f 0 ( x, t )?x, ρ?x 2 2 ?t ?x x ∈ ( x, x + ?x)
浙江大学数学系
23
? 2u ? 2u ρ 2 = T0 2 + f 0 ?t ?x
弦是均匀的,故
a =
2
ρ 为常数,记
,
T0
ρ
ρ
f0
= f ( x, t )
方程改写为
2 ? 2u 2 ? u =a + f ( x, t ) 2 2 ?t ?x
(0 0)
刻了
弦振动方程。
浙江大学数学系
24
为具给出弦的动规律,除了列出它所满足方程 外,由于弦开始时的形状和弦上各点的速度,对弦振动 将有直接影
u ( x, 0) = ? ( x),
或
已端点
?u ( x,0) = ψ ( x) ?t
u (0, t ) = g (t ), u ( L, t ) = h(t )
?T ?u ?x = g (t ),
x =0
T
?u ?x
= h(t )
x=L
已端
浙
两个自变量,齐次
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y
(1) 主 目的: 通
?ξ = ξ ( x, y ) ? ?η = η ( x, y )
非奇异
ξx ξ y ≠0 ηx η y
26
浙江大学数学系
u ( x, y )
复合求导
?ξ = ξ ( x, y ) ? ?η = η ( x, y )
u (ξ ,η )
?u ?u ?ξ ?u ?η = + ?x ?ξ ?x ?η ?x ?u ?u ?ξ ?u ?η = + ?y ?ξ ?y ?η ?y
? 2u ?ξ ?η ? 2u ?η 2 ?u ? 2ξ ?u ? 2η ? 2u ? 2u ?ξ 2 = ( ) +2 + ( ) + + 2 2 2 2 ?x ?ξ ?x ?ξ?η ?x ?x ?η ?x ?ξ ?x ?η ?x 2 ? 2u ?η ?η ?u ? 2ξ ?u ? 2η ? 2u ? 2u ?ξ ?ξ ? 2u ?ξ ?η ?η ?ξ ( )+ 2 = + + + + ?x?y ?ξ 2 ?x ?y ?ξ?η ?x ?y ?x ?y ?η ?x ?y ?ξ ?x?y ?η ?x?y ? 2u ? 2u ?ξ 2 ? 2u ?ξ ?η ? 2u ?η 2 ?u ? 2ξ ?u ? 2η ( ) +2 ( ) + + = + 2 2 2 2 ?ξ ?y ?η ?y 2 ?y ?ξ ?y ?ξ?η ?y ?y ?η
?y
浙
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y (1) ? 2u ? 2u ? 2u * ?u * ?u * * * * + a22 2 + b1 + b2 +c u = a11 2 + 2a12 0 ?ξ ?ξ?η ?η ?ξ ?η (2)
系 数 ?ξ ?η ?ξ ?η ?η ?ξ ?ξ ?η * 之 + a12 ( + a12= a11 ) + a22 间 ?x ?x ?x ?y ?x ?y ?y ?y (3)
浙
?ξ 2 ?ξ ?ξ ?ξ 2 + a22 ( ) a = ( ) + 2a12 a11 ?x ?x ?y ?y
* 11
? 2ξ ? 2ξ ? 2ξ ?ξ ?ξ * + a22 2 + b1 + b2 b1 = a11 2 + 2a12 , ?x ?x?y ?y ?x ?y
(3*)
? 2η ? 2η ? 2η ?η ?η + a22 2 + b1 + b2 b = a11 2 + 2a12 , ?x ?x?y ?y ?x ?y
* 2
c* = c( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))
浙江大学数学系
29
考虑
?z 2 ?z 2 ?z ?z + a22 ( ) = 0 a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
如
(4)
z = ? ( x, y )
那么就作变换
z = ψ ( x, y )
?ξ = ? ( x, y ) ? ?η = ψ ( x, y )
* * a11 a12 0 = =
浙
从而有
引理
假设 z = ? ( x, y ) 是方程 ?z 2 ?z 2 ?z ?z + a22 ( ) = 0 a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
(4)
的解,
a11 (dy ) 2 ? 2a12 dxdy + a22 (dx) 2 = 0
的
(5)
由可知,
浙
定义
称微
a11 (dy ) 2 ? 2a12 dxdy + a22 (dx) 2 = 0
a12 ± dy = dx
a ? a11a22 a11
2 12
浙江大学数学系
(6)
32
记
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22
定义
方
双型:若在
浙江大学数学系
33
双曲型PDE
dy = dx a12 ±
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22 > 0
2 a12 ? a11a22 a11
右
它的
?ξ = ? ( x, y ) 由此令 ? ?η = ψ ( x, y )
ψ ( x, y ) = C
,
? 2u ?u ?u = A +B + Cu ?ξ?η ?ξ ?η
?s = ξ + η ? ? t = ξ ?η
? 2u ? 2u ? = ?s 2 ?t 2 A1
?u ?u + B1 + C1u ?s ?t
浙江大学数学系
双
34
抛物型PDE
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22 = 0
dy a12 = dx a11
由
? ( x, y ) = C ,
?ξ = ? ( x, y ) ,其中ψ ( x, y ) 与 ? ( x, y ) ? ?η = ψ ( x, y )
独立的任意函数。
浙江大学数学系
35
由于
* 11
? ( x, y ) = 0
a12 = a11 ? a22
?ξ 2 ?ξ ?ξ ?ξ 2 + a22 ( ) a = ( ) + 2a12 a11 ?x ?x
?y ?y 2 ? ?ξ ?ξ ? ? =0 + a22 = ? a11 ? ?x ?y ? ? ? 由此推出 ?ξ a = a11 ?x ? = ? a11 ? ? =0
* 12
?η ?ξ ?η ?η ?ξ ?ξ ?η + a12 ( + ) + a22 ?x ?x ?y ?x ?y ?y ?y ?η ?η ? ?ξ ?ξ ?? ? ?? a11 + a22 + a22 ?? ?y ? ?x ?x ?y ?? ?
浙
而
?η 2 ?η ?η ?η 2 + a22 ( ) ≠ 0 a = a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
* 22
因
? 2u ?u ?u = A +B + Cu 2 ?η ?ξ ?η
抛物型方程的标准型
浙江大学数学系
37
椭圆型PDE
dy = dx a12 ±
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22
2 a12 ? a11a22 a11
右
由
? ( x, y ) = C , ? * ( x, y ) = C
其中
? ( x, y ) = ?1 ( x, y ) + i? 2 ( x, y )
? * ( x, y ) = ?1 ( x, y ) ? i? 2 ( x, y )
浙江大学数学系
38
?ξ = ?1 ( x, y ) 由此令 ? ?η = ? 2 ( x, y )
,
ξ + iη
满足方程(4)
? (ξ + iη ) 2 ? (ξ + iη ) 2 ? (ξ + iη ) ? (ξ + iη ) + a22 ( a11 ( ) + 2a12 ) =0 ?x ?x ?y ?y
* * * a11 ? a22 ) + ia12 = 0 (
* * * a11 = ≠ 0, a12 = a22 0
从而程(1)可改
浙
例1
x 2u xx + 2 xyu xy + y 2u yy = 0
抛物型方程
?( x,y ) = ( xy ) 2 ? x 2 y 2 = 0
dy xy y = 2 = dx x x y ξ = 令 x η= y y = c1 x
ξx ηx
y ξy ? 2 = x ηy 0
1 x ≠0 1
y uηη = 0
2
uηη = 0
y y u ( x, y ) = g ( ) y + h ( ) x x
40 浙江大学数学系
u (ξ ,η ) = g (ξ )η + h(ξ )
例2
utt ? a 2u xx = 0
双曲型方程
?(t,x) = a 2 > 0
dx = ±a dt
x + at = c1 x ? at = c2
浙江大学数学系
41
例3
Tricomi方程
椭
y>0 y=0 y
yu xx + u yy = 0
?( x,y ) = ? y
? 0) ? = ?= 0, (y = 0) ?> 0, (y
± ?y dy = dx y
浙
y>0
dx ± i
2 x±i 3
y dy = 0
y3 = C
?ξ = x ? 3 2 2 ? ?η = 3 y ?
1 uξξ + uηη + uη = 0 3η
y
dx ±
? y dy = 0
(? y )3 = C
2 x± 3
uξη
1 = (uξ ? uη ) 6(ξ ? η )
浙江大学数学系
3 ? 2 ξ = x ? (? y ) 2 ? ? 3 ? 3 2 ?η = x + (? y ) 2 ? 3 ?
43
作: P.21-22 Ex 12, 13 (1,2), 14(1) 助教关于作业的点评:
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y 中, 系数 a12 与 2a 混淆.
12
浙江大学数学系
44
偏微分方程
论题目:偏微分方程
学
专业:轮机工程
偏
摘要:“数学物方程”以物理、工程技术和其它科学中出现的偏微分方程为主要研对象,并且主要介求偏微分方程精确法一门数学基础课程。本文简单介绍了偏微分方程发展的来源、展历程及特点、解决
关
一、偏微分方程问题的来源以及模型的建立
偏微分方由起初研究接来源于理与几何的题发展到一个独立的数学分支,它内容庞杂,方法样。偏微分方程论的问题不来源于物理、学、生物、几何和化学等学科典问,而且在解决这些问题应用了现代数学的许多工具。近几十年来,该领域的研究工,特别是对非线性方程理论、用以及计算
用数学方法处应用问题时,首先是要立合理的数学模。在科学技术日新月异的展过中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述经显得不够了,不少问题需用多个变量的函数来描。这建立的数学模型在多情况下是偏微分方程。比,从物理角度来说,物理量有不的性质,温度、度等用数值描述的叫做纯量; 速度、电场的引力等,仅在值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量; 物体在一点上的张状态的量叫做张量。这些量仅和间有关系,而且和空坐标也有系,这就要用多变量的函数来表示。究某
物质总是在间和空间中运动的。虽然物的运动形式千差别,然而却具有共同的量的变化规律。客观世的一切事物的运动变化在数学上的反映变量的概念。物的运动和变化又相互依赖、相互制约的,反映在数学上,是变量间的关系,从而又形成了函数概念。由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往不能直接写出他们函数,却容易建立量及其数 ( 或分) 间的关系,
一个自变量,个方程叫做常微分方; 如果一个分方程中出现多元函数偏导,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方中出现未知函数对几个变的导数,那么这种微分就是偏微分方程。此微分方程分为常微分程和偏微分方程。因为自然现中可能含有一个量,更可能含多个变量。由于自然现象往往是由多因素决定的,描写这类现象的状态函数一般是多变量的,所以,自然现象数学模型用得最的是偏分程。大学的《偏微方程》课讲的正是这方的内容。问题在于怎从数
自然界中各种必然过,比如理、力学和工技术中所抽象出来的那些物理量的状态和相互关系,一般地可以建三类典型的微分方程,即曲型偏微分方程、抛物型偏方程椭圆型偏微分方程。在《偏微分方程》或《数学物理方程》中,它们又分别被称为波方程 ( 或振动方) 、热导方程、位
如果客体是属各种波动现象或振动现,诸如电磁波的动过程,水波、声波等种机波的波动过程,弦的振动过程等,都可以用双曲型偏分方程来表示。因为这类体的量变规律具有共性,们适当条件下都可以象成理想化的状态,双曲偏微分方程恰好提供了在理想化态下处理该类客中种量之间互依存及发展变化的模式。如果说“双曲偏微方程”这一名称典型的刻画了纯数学中数量关系和空间形式的特征的,那么“波动方程”( 或“振动程”) 这一名词形象地反了客体的质与量特征,它更倾向于应
同理,客体若自然中各种运现象,诸如热传导过程、分子扩散过程,都可以用抛型偏微分方程。《数学理方程》中热传导方程正是从该类客体共有的已知学规律出发,运用
如果自界中各稳定的理现象,诸如稳定的温度分布、浓度分布、静电场、无旋稳恒电流场等与时间关的自然现象,那可建立位势方程( 拉普拉斯方程和泊松方程) 这样的数学模,这正是纯数学中椭
自界是一
输运现和稳定的理现象,又是必然现的下一个层次的三个子系统。与此相对应,作为描述必现象的数模型的经典学,它也有双曲型、抛和圆型偏微分方程这三子系统。因此,同是自然界中的必然现象,仍有一级层次的质的不同。究竟
当然,对特定的具体问题,要确切地解其运动,仅有映共同运动规律的微分方程是不够的,还要考虑所研究对象于怎样的待定“历”和“环境”中。历史状况体在以某一时刻为开始的初始运动状,做初条件,而周围环境的影响则现在边界上的实际状况,叫做边界条件。一个微分方只有加上确定的始条件和边界条件以后,才成特定问的数学模型,就
二、偏微分成方程发展的过程及特点
十八世纪,拉在他的著作中最提出了弦振动二阶方程,随后不,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》提出了特殊的偏微分程。这些著作当时没有多大注意。1747 年,达朗贝尔在的论文《张紧的弦振动时成的曲线的研》,明确出了弦的振动所满足的偏微分方程,并给出了其通解。提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振的模式。这样由对振动的研究开创了偏微方程这学科。达朗尔发表的论文《张的弦
和欧同时代瑞士学家尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的题,提出了解弹系振动问题的一般方,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格日也讨论了一阶偏
偏微分方得到迅速发是在十九纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数物理问题的解决出了贡献。这里应该提一法国数学家傅立叶,他年轻的就是个出色的数学学者。在事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提了三维空间的热方程,就是一
1749 年,拉发的论文《论弦的振动》讨论了同样的问题,并沿用达朗尔的方法,引进初始形状为正弦级的特。18 世纪,计算两个物体之间的引力问题,引出另一
拉斯( P. S. Laplace,1749 - 1827) 在论文《球状物体的引力理论与行星形状》中导的,现在通
随着物理所研究的现从力学向学以及电磁的扩展,到 19 世纪,偏微分方程的求解成为学家和物理学家注的重心。1822 年,法国数学家傅立叶( J . Fourier,1768 - 1830) 发表的论文《热的解析理论》,研究了吸热或热物体内部任何点处温度变化时间和空间
傅立解决特条件的热传导问题,也就是满足边界件和初始条件的偏微分方程的求解。并且得到结论: 可以将区间上的何函数表示为
19 世纪出著名微分方程还有麦克斯韦电磁方程、粘性流体运动的纳维 - 司托克斯方程以及弹性介质的柯西程等,所有
和常微分方一样,求偏微分程显式解的失,促使数学家们虑偏微分方程解的存在性问题。柯西是研究偏分方程解的存在性的一人。柯西的工作后俄国女数学家瓦列夫斯卡娅发展为常一般的形式,现代文献中称有关的偏分程解存在唯一性定理为“柯西 - 瓦列夫斯卡娅定理”。柯瓦列夫斯卡娅是历史上第一位女数博士,历史上为数不的杰出女数学家之一,也是俄科学院历史第一位女院士,此
偏分
弦振动一种机械动,然机械运的基本定律是质点力学的 F = ma,但是弦并是质点,质点力学的律并不适用在弦振动究。然而,如果我们弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小
无界弦自由振动问题
无弦
对于偏分方程,们可用类似常微分方程初问题的解法,先求出通解,然后把初始条件代入通解,以确任意常数,
用微的方分析得到上一点的位移是这一点所在的位置时间为自变量的偏微分方程。上例子是无界弦自由振动方程,它属于数学物方程中的波动方
偏微分程的解一有无穷个,但是决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附条件。因为偏微分方同类现象的共同规律表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握了解具体问题的特殊性,
三、偏微分方程的发展趋势
随着理科学研究现象在度和深度两方面的扩展,偏微分方程的用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级
到了 20 世纪随着科技术的不发展,在科学践中提出了数学物理方程的新问题,电子计算机的出现数学物理方程的研成果提供了有力的实现手段。又因为数学的其他分支( 如泛析、扑学、群论、微分几何等) 也有了迅速发展,为深入研究,可研究偏微分程提供了有力的具。因而,20 世纪于数学物方程的研究有
1. 许多自然学及程技术中出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,即使些线性偏微分方程近似处理的问题,由于的入,也必须重新虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究,难大得多,然而对线性偏
2. 实践中问题由很多素联合作用和相互影响的。所以其数学型多是非线性微分方程组。如反应
3. 偏微方程再只描述物理学、力学等工程过程的数形式。而目前在化学、生物学、学、农业、环保领域,甚至在经济等社会学领域都不断提
4. 个实际模的数描述,除描述过程的方程外,还应有定解条件 ( 如初始件及边值条件) 。传统的描述,这些条线的,逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别非局部的。对非局部边
5. 偏分方程与数学他分支的关发生了变化。如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分泛函分析、拓扑及群论等现代工偏微分方程理论研究中被广应用,为研究线性及微分方程提供有力框架和工具。广义函数的应使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是算机的广泛应用,算方法的快速发展,特别有限元方的广泛应用,
偏微方程随科的不断进步而不断的发展与完。对一些重要的偏微分方程开展以有多方面的应用前景,并可望新兴学科或边
参考文献
[1] 陈祖
[2] ( 美) William F. Lucas,著,朱煜民 周宇虹,译. 微分方程模型[M ]. 北: 国防科
[3]
[M ]. 北京: 高等教育出版社,2008.
[4] (
( 第 4 版) [M ]. 北京: 机械工业出版社,2005.
偏微分方程
二
微积分学
函
[显示]一元微分
[显示]一元积分
[显示]多元微积分
[显示]微分方程
[显示]相关数学家
查
论
编
偏微方程(语:partial differential equation,写作PDE)指含有知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及偏导数之间的关
偏分程分线性偏微分方程
目录
[隐藏]
1 记号及例子1.1 拉普拉斯方程
1.2 泊松方程
1.3 波动方程式
1.4 热传导方程式
2 分类2.1 一阶偏微分方程
2.2 二阶偏微分方程
2.3 混合形式方程
3 偏微分方程有关问题3.1 适定问题
4 解
4.2 特征线法
4.3 积分变换
4.4 变量变换
4.5 基本解
4.6 叠加原理
5 数值法解偏微分方程
6 参考文献
记号及例子[编辑]
方
用
时间偏微分
,线性偏微分方程式的例子如下:
拉
适
泊松方程[编辑]
适
波动方程式[编辑]
未
热
其
分类[编辑]
一些性二阶微分程可分为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这分类便于在解偏
一
主
本章未有任何内
二
表达式为:
其
,该
该阶偏微
: 椭圆方程;
: 抛物线方程;
:双曲线方程。
混
如果微分程系数是一个常数,该偏微分方程能不属于以上几种类别之一,而可能是混合形式方程。一个简单的
360doc
该程为椭双曲线方程。
偏
适定问题[编辑]
偏微分程解中意函的出现然产生解的各种差异,考虑到几乎不知道这解的详情,在大多问题中惯常的目是找足合适的和确定的条件(例如在空间的边界处和某固定刻)的那些解,要求
而还更进步的考虑,即
法数家阿马强调后一方面,
不适定的例子
对
在边界条件
和
之
当360doc 数据在360doc处360doc和360doc的指定值趋于0,而360doc的值在无大的范围内
解
一
分离变量法[编辑]
主
通分离变法减少偏微分
特征线法[编辑]
主条目:特征线法
沿着阶微分方的特征线,偏微分方程化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以
积分变换[编辑]
利积法,偏微分方程变
变量变换[编辑]
通适的变变换,可以简化偏
可
通过如下变换:
基本解[编辑]
非齐偏分方程通过寻找基本算子,然通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过冲
叠加原理[编辑]
因一线性齐偏微分方程解的重也可看做一个解,所以可以通过交叉重叠这些解得到偏
数
在众多求解偏微分程的数值方法中,三种应用最的方法为限元法(Finite Element Method, FEM)、有限体积法(Finite Volume Method, FVM)和有限差分法(Finite Difference Method, FDM)。其中,有限元法占主要地位,尤其是它效高阶版本—hp-FEM。其它版本的元法还有:广义有限元法(Generalized Finite Element Method, FFEM)、扩展有限元法(eXtended Finite Element Method, XFEM)、无网格有限元(Meshfree Finite Element Method)、离散迦辽金
参考文献[编辑]
规
转载请注明出处范文大全网 » 四阶偏微分方程的图像去噪