一.选择题
1. 由a 1=1,d =3确定的等差数列{a n },当a n =298时,序号n 等于( ) A.99 B.100 C.96 D.101
2. ?ABC 中,若a =1, c =2, B =60?,则?ABC 的面积为 ( )
A .13 B . C.1 22 D.3
3. 在
A .99 B.49 C.102 D. 101
4. 已
A .5 B.4 C.8 D.6
5. 在等比数
6. 不式ax 2+bx +c <0(a ≠0)="" 的解集为r="">0(a>
A. a <0,>0,><0 b.="" a="">0><0, ?≤0="" c.="" a="">0, ?≥0 D. a >0, ?>0
?x +y ≤1?7. 设x , y
?y ≥-2?
A . 5 B. 3 C.
7 D. -8
8. 在?ABC 中, a =80, b =100, A =45?, 则此三角形解的情况是 ( )
A.一
9. 在△ABC
( )
A. 2211 B. - C. - D. - 3334中,如果sin A :sinB :sinC =2:3:4,那
10. 个等比数列{a n }的n 项和为48,前2n 项
A 、63 B、108 C、75 D、83
二、填空题
11. 在?
ABC 中,B =450, c =b =,那么A =_____________; 12. 已知等差数{a n }前三项为a -1, a +1, 2a +3,则此数列
______ .
13. 知数列{a n }的前n 和S n =n 2+n ,那
三、解答题
14. 已知等比数列{a n }中,a 1+a 3=10, a 4+a 6=
15. 求不等式的解集:-x 2+4x +5<>
5,求其第4项及前5项和. 4
16 .在△ABC中,BC =a ,AC =b ,a ,b
是方程x 2-+2=0的
求:(1)角C 的度数;
(2)AB的长度。
17. 若不等式ax 2+5x -2>0的解集是??x
(1) 求a 的值;
(2) 求不等式ax 2-5x +a 2-1>0
1?
答案解析
一.选择题:BCDBC ACBDA
二.填空题。
11. 15o 或75o
12.a n =2n-3
113.{x -
14.a n =2n
三.解答题。
15. 解:设
?a 1+a 1q 2=10? 由已知得 ?35 5?a 1q +a 1q =4?
?a 1(1+q 2) =10 ①? 即?3 52 ?a 1q (1+q ) = 2 4?
11 ②÷①得 q 3=, 即q = , 82
将q =1代入①得 a 1=8, 2
1 ∴a 4=a 1q 3=8?() 3=1 , 2
15??8?1-() ??a 1(1-q 5) 2??=31= s 5= 11-q 21-2
16.(1){x x <-1或x>5} (2) {x x <>
117. 解:(1)cos C =cos [π-(A +B )]=-cos (A +B )=- 2
∴C =120°
?a +b =? (2
)由题设:? ??ab =2
∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ?BC cos C =a 2+b 2-2ab cos 120?
=a +b +ab =(a +b )-ab =23222()2-2=10 ∴AB =
18.(1)依题意,可方程ax 2+5x -2=0的两个
由韦达理得:15+2=- 2a 1
解得:a =-2
1 (2){x -3
19.在△ABC中,∠B=152o -122o =30o ,∠C=180o -152o +32o =60o , ∠A=180o -30o -60o =90o ,
BC=35, 2
3535sin30o =. 24
35n mile. 4∴AC=答:船与灯塔
20.解:(1)由题意知,年的费用是以2为首
a n =a 1+2(n -1) =2n
(2)设纯收入与年数n 的关
f (n ) =21n -[2n +n (n -1) ?2]-25=20n -n 2-25 2
由f(n)>0得n 2-20n+25<>
解得10-n <10+又因为n ∈n="" ,="" 所以n="">10+又因为n>
(3)
当且仅n=5时,年平均收益大. 所以这种设备使5年,该公司的年平均
高中数学必修1试题及答案解析
高中数学必修1试
一、选择题
1.设集合U ={01 ,,5},则M ?(C U N ) =( ),,2,3,4,5},M ={0,3,5},N ={14
A .{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5}
2、设集合M ={( )
A. {0} B. {0,5} C. {0,1,5} D. {0,-1,-5} 2x -6x +5=0, }N ={x x 2-5x =0},
3、计算:log 29?log 38= ( )
A 12 B 10 C 8 D 6
4、函y =a x +2(a >0且a ≠1)
A (0,1) B (0,3) C (1,0) D(3,0)
5、“龟兔赛跑”讲述了样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急追赶,但为时已,乌龟还是到了终点…S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的程,t 为
与故事情节相吻合是 ( )
6
、函数y =的定义
A {x|x >0} B {x|x ≥1} C {x|x ≤1} D {x|00,所以,+1>1,即0<5x +15x +15x +1
<2,
即-2<-
1,1)。
20.解:(1)租金增加了600元,所以未出租
(2)设每辆的月租金为x 元,(x ≥3000),租赁司的月收益为y 元。 22<0,即-1<1-<1
x -3000x -3000x -3000) -?50-(100-) ?150505050则: 2x 1=-+162x -21000=-(x -4050) 2+370505050y =x (100-
当x =4050时, y max =30705
1 ∴y =ax 2+bx 的顶点横坐
高中数学奥赛题含答案解析
篇一:2014—2015学年度高二学竞赛试题(含
2014—2015学年高二数学竞赛
【本试题满分150分,考时间120分
一、选择题:本大题共6小,每小题6分,共36分(在每个小题给出的四个选
有一个正确
1(从集合,1,3,6,8,中任取两个数
A(; B(5
6211; C(; D(( 323
2(若?是第四象限
2?cos?
2??2sin?
2cos?
2,则?是() 2
A(第一象限角;B(第二象限角;C(第三象限角;D(第
1
四象限角(
3. 已知点O、A、B不在一条直线上,点P为该平面
A(点P不在直线AB上; B(点P在线段AB上;
C(点P在线段AB的长线上; D(点P在线段AB的反向延长
4(m,n?R?,若直线(m?1)x?(n?1)y?4?0与
m?n的取
A.(0,1?3] ; B.[1?3,??);C. [2?22,??); D.(0,2?22](
5. 已知
的棱长为C1的各个面的中心为顶点
C2的各个面的中心为点的凸多面体记为C3,则凸多面体C3的
A(18; B(92;C(9 ; D(62(
6. 已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x?3)??f(x),且在区间[0,]上是函
若方
A(?6;B(6; C(?8;D(8(
二、填空题:本大题共6小题,每
2
正确的答案写在题
7.若
高二数学竞赛试题?第 1 页(共 9
篇二:2013年全国高中数学赛试题及详细
2013年全国高中数联合竞赛
试题参考答案
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本分标准.填空题只设8分0分两档;其他各题的评
格按照本评分标准评分档次给分,要增加其他中间
2. 如果考生的解答方法本解答不同,只要思路合、步骤正确,在评卷时可
分标适当划分档次评分,解答题中第9小4分为一个档次,第10、11小题5分为一档次,不要增加其他中间档次.
填空题:本大题共8小题,每题8分,共64
1. 设集合A??2,0,1,3?,集合B??x|?x?A,2?x2?A?.则集合B中所有元的
. 答案
3
-5
,?3时,2?x2??2,?7,解
时,2?x2?2,1,有2?x2?A.因此,根据B的定义可知B???2,?3?.
所以,集合B中所有元
????????
2. 在平面直角坐标系xOy
线的焦点.则S?OFA?s?OFB?.
2.
2y2y12
解 点F坐标为?1,0?.
44
????????12
?4?OA?OB?x1x2?y1y2??y1y2??y1y2,
16
12
即?y1y2?8??0,故y1y2??8. 16
2?1??1?1
S?OFA?S?OFB??OF?y1???OF?y2???OF?y1y2?2.
4
?2??2?4
3. 在?ABC中,已知sinA?10sinBsinC,cosA?10cosBcosC,
则tanA
答案
11.
1
A?解 由于sincoAs?
?10BsinC?sinBcCs??co?s?oB??1C0?cos,A所以10cos
sinA?11cosA,
4. 已知正三棱锥P?ABC底面边长
.
答案
解 如,设球心O在面ABC与面ABP内的射影别为H和K,AB中点为M,内
OH?OK?
r,PO?PH?OHr,
?
2
P
,且
MH?
5
AB?
PM?,
K
O
A
H
M
B
C
于是有
OKMH1
??sin?KPO??,
PM5PO
解得r?.
5. 设a,b为实数,
有f?x??1.则ab的最大值
为. 答案
1. 4
解 易知a?f?1??f?0?,b?f?0?,则
22111??1
ab?f?0???f?1??f?0?????f?0??f?1????f?1????f?1???.
244??4
6
2
当2f?0??f?1???1,即a?b??
111
时,ab?.故ab的最大值为.
424
6. 从1,2,…,20任取5个不同的数,其至少有两个是相邻数的
答案
232
323
解 设a1?a2?a3?a4?a5取自1,2,…,20,若a1,a2,a3,a4,a5
互不相邻,则
1?a1?a2?1?a3?2?a4?3?a5?4?16,
由知从1,2,…,20中取5个互不相邻的数的选法与1,2,…,16中取5个不
5
选相同,即C16种.所以,1,2,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个
2
555C20?C16C16232
的概率为. ?1??55
C20C20323
7
7. 若实
满足x?x的
答案
?0???4,20?.
解
a?b?a,b?0?,此时x?y??x?y??a2?b2,且条件中等式为 a2?b2?4a?2b,从而a,b满足
?a?2?
2
??b?1??5?a,b?0?.
2
如图所示,在aOb平内,点?a,b?的迹是以?1,2?为
a,b?0的部分,即点O与弧?ACB的并集.
,从而x?a2?b2??0???4,20?. ?
0???2,?8. 已知数列?an?共有9项,其中a1?a9?1,且对每个i??1,2,?,8?,
则这样的数列的个
491
ai?1
?1?i?8?,对每个符合条件
8
8
ai?1?1?
??2,1,??,ai2??
解 令bi?
8
?bi??
i?1
i?1
ai?1a91??
??1,且bi??2,1,???1?i?8?.
2?aia1?
1 ?
1的8数列?b?可唯一确定一个符合题设条件的9项列?a?. 反之,由符合条件?nn1的数列?b?的个数为N.显然b?1?i?8?中有偶数个?记
11
,即2k个?;22
继而2k个2,易见k的可能值只有0,1,2,8?4k个1.当给定k时,?bn?取法有C82kC82?k2k种,
24
N?1?C82C6?C84C4?1?28?15?70?1?491.
因此,根据对应原,符合条件的数
二、
9
解答题:本大题共3个小
解答应写出文字说明、证过程或演
3
骤.
9. (本题满分16分)给
Sn?x1???xn.证明:在常数C?0,
xn?C?2n,n?1,2,?.
解 当n?2时,Sn?2Sn?1等
xn?x1???xn?1.
1 ?
…………4分
对常数C?
1
x1,用数学归纳
xn?C?2n,n?1,2,?.
2 ?
…………8分
n?1时结论显然成立.又x2?x1?C?22.
1式知 对n?3,假xk?C?2k,k?1,2,?,n?1,
xn?x1??x2???xn?1? ?x1??C?22???C?2n?1?
10
?C?22?22?23???2n?1??C?2n,
2式成立. 所以,由
…………16分
x2y2
10. (本题满分20分)在面直角坐标系xOy中,椭
ab
A1、A2别为圆的左、右顶点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦,P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个
试确定线段QR的长度与b的大关系,并给出证
解
令c?A1??a,0?,A2?a,0?,F1??c,0?,F2?c,0?.
22
x0y0
设P?x0,y0?,Q?x1,y1?,R?x2,y2?,其中2?2?1,y0?0.
ab
由QA1?PA1,QA2?PA2
4
?????????AQ?A1P??x1?a??x0?a??y1y0?0, 1
??????????
11
A2Q?A2P??x1?a??x0?a??y1y0?0
1 ?
2 ?
…………5分
22
1、?2相减,得2a?x?x??0,x??x,将其代
得?x?a?yy?0, 将?1001010
22
?x0?a2x0?a2?
故y1?,于是Q??x0,?.
y0y0??
…………10分
2
?x0?c2
根据RF1?PF1,RF2?PF2,同理可得R??x0,
y0??
?. ?
…………15分
因此
22x0?a2x0?c2b2
, QR???
y0y0y0
12
由于y0??0,b?,故QR?b(其中等号成立的充分必要条件
…………20分
11. (本题满分20分)求所有的
f?xy??f?x?y??f?x?f?y?.
解 已知条件可转化为:对
?ax
2
y2?b??a?x?y??b??ax2?b??ay2?b?.
2
??
1 ?
先寻找a,b所满
22
1中令y?0,得b??ax?b???ax?b??b,即对任意实数x,
?1?b?ax2?b?2?b??0.
由a?0,故ax2可到任意大的正值,因此
…………5分
42
13
1式中
2
?a?a?x
2
4
?2abx2??2b?b2??0.
2 ?
2
2的左边记为g?x?,然a?a?0(否则,由a?0可知a?1,此
5
篇三:高一数学竞
高一数学
一、一猜:(每小题2分共16分) 1.司药(打一数学名词)——方 2.招收演员(打一数学名词)——
3.搬来数一数(打一数名词)——
4.你盼着我,我盼着你(
6.从面算起(打一数学名词)——倒数 7.小小的子(打一数学名词)——区间 8.完全合算(打一数学名)——绝对值 二、试一试:(每小4分共8
14
1.把12、18、7、6、11分别填入下?中,使算式成立。 ?+?=?=?+?12+6=18=7+11 2.规律
1、6、7、12、13、18、( 19 )、( 24 )、( 25 ) 三、画一画:(6分)
24个人排成6列,要求5人为一列,你知道应该样来排列吗? (一个
四、脑筋急转弯:(每小4分共20
1.子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一风吹灭了2根,最后桌子上还剩几蜡
解答:5根
2.一人花8块钱买了一只鸡,9块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10块钱又买回来,11块
3.一根绳子两个头,三根绳子有几个头? 解:8个头,(半根绳子也是
4.一栋住宅楼,爷爷从一楼
5.如有5只猫,同时吃5条鱼,需要5分钟间才吃完。按同样的速度,100只猫时吃掉100条鱼,需要( )分钟时间。 解:5
6.100个包子,100个人吃,1个大人吃3个,3个小孩吃1个,多少个大人和多少小孩刚好吃
15
解答:25个大人,75个小孩
五、算一算:(每小题5分共25
1. 兄共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,三增加到原来的2倍,老四减少到原来的1/2,这时候人的钱同多,原来各有多少钱? 解:老大8 老二12 三5 老
2. 幼园新买回一批小玩具。如果按每组10个分,则了2个;如果按每组12个分,则刚分完,但却分一组。请你一想,一共有这批玩具多少个?(这批具共48
3. 有一书,兄弟两个都想买。哥哥缺5元,弟弟只缺一分。但是人合买一本,钱仍然不够。你知道这本书价格吗?他们各有多少呢? (这本书的价格是5元。哥哥一分也没有,弟有4.9
4. 有一里兄四个,他们4个人的年龄乘起来正好是14,你知道们分别是多少岁吗?(当然在这里岁数都是整。) (14能分解为2和7,因此四个人的年纪分别为1,1,2,7,其中一对为双
5.在你面前有条长长的梯。如果你每步跨2阶,那么最后剩下1阶,如果你每步3阶,那你最后剩2阶,如果你每跨5阶,那么最后剩4阶,如果你步跨6阶,那么最后5阶,只有当每步7阶时,最才正好走完,一阶不剩。 请你算一算,这条阶梯到
16
阶
六、写一写你的解决方案(每题5分共25
1.个农夫带着三只兔到集市上去,每只兔大概三四千克,但农的秤只能称五千克以上,问他该如称
答案:先称3只,再拿下一,称量后算
2.有只猴子在树林采了100香蕉堆成一堆,猴子家离蕉堆50米,猴子打算把香蕉
每最多能背50根,可是猴子馋,每走一米要吃一根香
答案:25根
先背50根25米,这时,吃了25根,还有25根,放下。回头再背剩的50根,走到25米处时,又吃了25根,有25根。再拿地上的25,共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根
3.有个80人的旅游团,其中男50人,女30,他们住的旅馆有11人、7人5人的三房间,男、分别住不同的房间,他们至少要住少个房
解答:为了得所住房间数最少,安排时应尽量先安排11人房间,这50人男的应安排3个11人间,2个5间和1个7人;30个女应排1个11人间,2个7人间和1个5人间,有10个
4.一只老虎发现离它10m远的方有一个兔子,
17
过去,老虎7步的距离兔子要跑11步,但兔子步子密,老虎跑3步的时间兔子能跑4步。问:老虎否能追上兔子,如何追上,要多远的
解答:(11×3):(7×4)=33:28. 老能追上兔子。 设老虎跑x米的路 x:(x-10)=33:28 解得x=66 答 :老虎跑66米追上兔
5.赵、小王、小李和小陈四人,其每三个人的岁数之和分别为65、68、62、75其中年龄最小的多少
解答:设四人年龄从大到小依
A+B+C+=75,B+C+D=62,A+B+D=68,A+C+D=65将四个“年龄和”相加可得3(A+B+C+D)=65+68+62+75=270。则A+B+C+D=90,故D的年龄为90-75=15
篇四:高中数学奥林匹克赛试题及
1 一个四位数,它的前两位数字后两位数字分别相同,而该数本等于一个整数的平方( 1956年波
x,1000a,100a,10b,b,11(100a,b)
其中0,a?9,0?b?9(可见平方数x11整除,从而x被11整除(因此,100a,b,99a,(a,b)能被11整
2于是a,b能被11整除(但0,a,b?18,以a,b,11(于是x,11(9a,1),由此
22,?,9逐一验,易知仅a,7时,9a,1为
18
故所求的四位数是7744,88(
2 假设n是自然数,d是2n的正约数(证明:n,d是完全平方( 1953年
【证 设2n,kd,k是正整数,
但这不可能的,因为kx与n都完全平方,而由k,k,2k,(k,1)得出k,2k不是方
3 试证四个连续自然数的乘积上1的算术平方根仍为自数( 1962年上海高三决
【证】 四连续自然数的乘积可以表示成n(n,1)(n,2)(n,3),(n,3n)(n,8n,2),(n,3n,1),1 因,四连续自然数乘积加上1,是一完全平方数,故本题结论
4 知各项均为正整数的算术级数,中一项是完全平方数,证明:此级一定含有无穷多个完全平方数( 1963
【证】 设此算术级数公差是 d,其中一项 a,m(m?N)(
对于任何k?N,是该算术级数中的,且又是完全平
5 一个最大的完全平方数,在掉它的最后两位数后,仍得一个全平方数(假定划掉的两个数字的
19
零)(1964年俄(
【解】 设 n满足条件,令n,100a,b,其中 0,b,100(于是 n,10a,即 n?10a,1(因此b,n100a?20a,1
由此得 20a,1,100,所以a?4(验算,仅当a,4时,n,41满足条(若n,41则n,40?42,40,100(因
2满足本题条件的最大的完全平方
6 求所有的素数p,4p,1和6p,1是素数( 1964
【解】 当p??1(mod 5)时,5|4p,1(当p??2(mod 5)时,5|6p,1(所以本题只有一个
7 明存在无限多个自然数a有列性质:对任何自然数n,z,n,a都不是素数( 1969德
【证】 对任意整数m,1及自然数n,有n,4m,(n,2m),4mn,(n,2mn,2m)(n,2mn,2m)
而 n,2mn,2m,n,2mn,2m,(n,m),m?m,1故 n,4m是素数(取 a,422,423,?就得到无限多个符合
8 将某个17位数数字的顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加(证明:得
2222222222
20
【证】
假设和的数都是奇数(在加法算式,末一列数字的和d,a为奇数,从而第一列也是如此,第二列字的和b,c?9(于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉,所得的13数仍具有性质:将它的数颠倒,得到的数与相加,和的数字都是数(照此进行,每次去掉首末各两位数字(最后得到一位数,它与身相加显然是偶数(
9 证明:如果p和p,2是大于3的素数,那么6p,1的因数(1973
【证】 因p奇数,2是p,1的因数(因为p、p,1、p,2除以 3余数不,p、p,2都不被 3整除,所以p,1被 3整( 10 证明:三个不同素数立根不可能
【证】 设p、q、r是同素数(假如有自然
消a,d,得333 化简
m
11 n为大于2的已知整数,并设Vn为整数1,kn的合,k,1,2,?(数m?Vn称为 Vn中不分解,如果不在数p,q?Vn使得 pq,m(证明:存在一个
21
Vn可用多于一种方法表达Vn中不可分解的素的乘积(1977
【证】 设a,n,1,b,2n,1,则a、b、ab都属于Vn(因a,(n,1),所以a在Vn中可分
2222222
式中不会
r,ab有两种不同的分解方式:r,a2b,a?(直至b2分成不可分解的素之积)r,ab2ab,?(直至ab分
2可分解的元素之积),前者因数a,后者没
12 证在无限整数序列10001,100010001,1000100010001,?中没有素数(注意第一数(万零一)每整数是由前一整数的数字连接0001而成(1979年
【】 序列 1,10001,100010001,?,可
448222222
一个合数(
即对n,2,an均可分解为两个大于1的数的乘积,而a2,10001,137273(故对一切n?2,an为合
13 果一个自然数是素数,并且任意地交换它的数,所得的数仍然是素数,那么这样数叫绝对素(求证:绝素数的不同数字不能多于3个( 1984
【证】 若不同数字多于 3个,
22
7、9(不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139
4余分别为0、1、2、3、4、5、6(因此对任意自然数M,103M与上7个四位分别相加,所得的和中至少有
除,从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素
14正数 d不等于 2、5、13(证在集,2,5,13,d,中可找到个不同元a、b,得ab,1不是完全平方数( 1986
【证】 证2d,1、5d,1、13d,1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可(用反证法,5d,1,x5d,1,y13d222,1,z其中x、y、z正整数( x是奇数,设x,2n,1(代入有 2d,1,(2n,1)即d,2n,2n,1 说d也是数( y、Z
因2d偶数,即q,p是偶数,所以p、q同为偶数或为奇数,从而q,p和q,p都是数,即2d是4的倍数,因此d是偶数(这与d是奇数相矛盾,故命题正
15 .求出五个不同的正整数,得它们两两互素,而任意n(n?5)个数的和为合数( 1987年
【解】 由n个数ai,i2n~,1,i,1,2,?,n组成的集合满足要求(因为其
23
2?k?n)由于n~,1222?2 n是 k的倍数,所以m2n~,k是 k的倍数,因而为合数(对任意两个数ai aj(i,j),如果它们有共的质因数p,则p也是ai,aj,(i,j)n~的质因数,因为0,i,j,n,所以p是n~的质因数(但ai与n~质,所以ai与aj不能有公共
16n?2,证:如果k,k,n对于整数k2素数( 1987苏联
(1)m?p,则p|(m,p),(m,p),n(又(m,p),(m,p),n?n,P,这与m是使k,k,n为合的最
22整
2(p,1,m),n?n,p因为(p,1,m),(p,1,m),n为合数,所以p,1,m?m,p?2m,1
由
222222得4m,4m,1?m,m,n3m,3m,1,n?0
2217 正整数a与b使得ab,1整a,b(求证:(a,b)/(ab,1)是某个正整数的平方( 1988
22
24
a,kab,b,k (1)
显然(1)的解(a,b)满足ab?0(
设(a,b)是(1)的解中适合a,0(从而b,0)并且使a,b最小的那个解(不妨设a?b(固k与b,把(1)看成a的次方程,它有一根为a(设另一根为a′,则由韦达
是(1)的解(由于b,0,所以a′,0(但由(3)
从而a′,b,a,b,这与a,b的最小性盾,所以k必为完全
18 求证:对任何正整数n,存n个相继的正整数,它们都是素数的整数幂(1989年瑞提
【证】 设a,(n,1)~,则a,k(2?k?n,1),被k整除而不被k整除(因a被k整除而k不被k整除)(如
lj22jj,12jj,1,k是质数的整数幂p,则k,p(l、j都是正整),但ap整除因而p整除,所以a,k被p整除而被p整
2j2于是a,k,p,k,矛盾(因此a,k(2?k?n,1)这n个连续正整数都不是素数的数
19n为怎样的自
解 32n,12n,12222222222a′为整数,因而(a′,b)也 ,
25
22n,1,6合数, 1990年全苏 )当 n,l时,3,2,1,3nnn,1n,22n,1,6,(3,2)(3nnnn,1,2n,1,2n,1,1,原数是合数( n,1时,原数是13 20 设n是大于6的数,且a1、a2、?、ak所有小于n且与n互素自然数,如果a2,a1,a3,a2,?,ak,ak,1,0 求证:n或是素数或是2的某个正整次方( 1991年马
证由(n,1,n),1,得 ak,n,1(令 d,a2,a1,0(当a2,2时,d,1,从而k,n,1,n与所小于n的自然数互素(由此可n是素数(当a2,3时,d,2,从而n所有小于n的奇数互素(故n是2的某个正整数方(a2,3(a2是不能整除n的最小素数,所以2|n,3|n(由于n,1,ak,1,(k,1)d,
d(又1,d,a2,于是3
1,d(由可知3|1,2d(若1,2d,n,则a3,1,2d,这时3|(a3,n)(矛盾(若1,2d?n,小于n且与n互素自然数的个为2(设n,2m(,6)(若m为偶数,m,1与n互质,若m为数,则m,2与m质(即去n,1与1外、还有小于n且与n互质的数(矛盾(综上所述,可知n或是素或是2的某个正整
21 试定具有下述性质的最大正整数A:把从1001至2000所有正整数任作一个排列,都从其中找出连的10项,这10项之和大于或等于A( 1992年台北数
26
匹克
【解】 设任一排列,总和都是1001,1002,?,2000,1500500,将它
另
1800
1201 1700 1301 1600 1401
1999 1002 1899 1102 1799
1202 1699 1302 1599 1402
? ? ? ? ? ?
1901 1100 1801 1200 1701
1300 1601 1400 1501 1300
并记上述排列为a1,a2,?,a2000
(中第i行第j列的数是这
令 Si,ai,ai,1,?,ai,9(i,1,2,?,1901)则S1,15005,S2,15004(知若i为奇数,
22 相继10个整数的平和能否成为完全平方数, 1992年友谊杯国际数学竞
【解】 (n,1),(n,2),?,(n,10),10n,110n,385,5(2n,22n,77)
27
不难验
所以(n,1),(n,2),?,(n,10)不是平
23 是否存在完全平方数,其数字和为1993,1993年澳门数学奥林匹
【解】 存在,
取n,221即可(
24 能示成连续9个自然数之,连续10个自然数之和,连续11个自然数之和的最小数是多,1993年美数学邀请赛 【解】 答495(连续9个整数的和是第5个数的9倍;续10个整数的和是第5与第6项之和的5;连11个整数的
又495,51,52,?,59,45,46,?,54,40,41,?,50
25 如果自然数n使得2n,1和3n,1都恰好是平方数,试问5n,3否是一个素数, 1993年全俄数奥林
【解】 如果2n,1,k,3n,1,m,则5n,3,4(2n,1),(3n,1),4k,m,(2k,m)(2k,m)(
2,(3n,1),2,m,2,2m,1,所
28
是合数(
26 设n是正整数(证明:2n,1和3n,1都是平方的充要条件是n,1为两个相邻的平数之和,并为一平方数与邻平方数2倍之和(1994年澳大利数学奥林
【证】 若2n,1及3n,1是平方数,因
(2n,1),3
2222此可得n,1,k,(k,1),n,1,(t?1),2t
22222222(3n,1),可设2n,1,(2k,1),3n,1,(3t?1),由22反之,若n,1,k,(k,1),(t?1),2t,2n,1,(2k,1),3n,1,(3t?1)从而命题
27 a、b、c、d为自然数,并且ab,cd(试问 a,b,c,d能否为素( 1995年莫斯科数学奥林匹克九
【解】
正整数,将它们分别
a,c,c?c1,b,c,c?c2。 所以,k,1且l,1(从而,a,b,c,d,kl合
28 设k1,k2,k3,?是正整数,且没有两个是相邻的,又对于m,1,2,3,?,Sm,k1,k2,?,km(求:对每一个正整n,区间(Sn,Sn,1)中至少含有一个完全平方数(1996年海高中数学
【证】 Sn,kn,kn,1,?,k
29
1 所以。又。
从而
A2,001 哪些连续整数之和为1000,求出所有的解(1963
【解】 设这些连续正整数共n个(n,1),最小的一个数为a,则有a,(a,1),?,(a,n,1),1000
即n(2a,n,1),2000
若n偶数,则2a,n,1为奇;若n为奇数,则2a,n,1
同,故只有n,5,16,25,因此可的取法只有下列
若n,5,则 a,198;若n,16,则 a,55;若n,25,则 a,28(
故解
A2,002 N是整数,它的b进制表示777,求最小的正整数b,使得N整数的次方( 1977年加拿大数奥林
【解】 设b为所最小正整数,则7b,7b,7,x。素数7应整除x,故可设x,7k,k为正整数(于是有b,b,1,7k 当k,1时,(b,18)(b,19),0(因此b,18是满足条的最小正
A2,003 如比n个连续整数的大100的数等
30
个连续数的和,求n( 1976年纽约数学
24234
2。s2,s1,n,100从而求得n,10(
A2,004 设a和b为正整数,当a,b被a,b除时,商是q而余数是r,求出所有
【解】 由题设a,b,q(a,b),r(0?r,a,b),q,r,1977,
若q?43,则r,1977,q?1977,43,128(
即(a,b)?88,与(a,b),r?128,矛盾(因
a,b,44(a,b),41。。。(a,22),(b,22),1009
不
经验算
篇五:历年全国高中数学联赛试及答案(76套
1988年全国高
第一试(10月16日上午8?00——9?30)
一(选择题(本大题共5小题,小题有一个正确答案,选对
1(有三个函数,第一个是y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函的图
31
x+y=0对称,那么,第
,,
A(y=,φ(x) B(y=,φ(,x) C(y=,φ1(x) D(y=,φ1(,x) 2(已知原点在椭圆k2x2+y2,4kx+2ky+k2,1=0内部,那么数k取值范围
D(0<|k|<1 3(平面
M={(x,y)| |x|+|y|<1},
N={(x,y)|
(x,2+(y+)2+
22
(x2+(y,2<22}, 22
P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}(则
A(M??P??NB(M??N??P C(P??N??M D(A、B、C都不成立 4(已知三个平α、β、γ,两个之间夹都是θ,且α?β=a,β?γ=b,γ?α=c(若
命题甲:θ
3
命题乙:a、b、c相
A(是乙的充分条件但不必要 B(甲是乙的必要条件但不充分C(甲是乙的充分必要条件D(A、B、C都
5(坐标平面上,纵横坐标都是整的点叫做整点,我们用I表示有直线的集合,M表示恰好通过1整
32
合,N表示不过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点直线的集合(那么表达式 ? M?N?P=I; ? N??( ? M??( ? P??中,正确的达式的个
A(1B(2C(3D(4 二(填空题(本大共4小题,每小题10
b,b1(设x?y,且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,b2,b3,y,b4均为等差数,那
a2,a12(x+2)2n+1的展开式中,x整数次幂的各项系数之和
DE
3(在?ABC中,已知?A=α,CD、BE
BC
4(甲乙两队出7名员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,??直至一方队全部淘汰为止,另方获得胜,形成一种比赛过程(那么所有可能出现的赛过程的种
三((15分)2,宽1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转周,求得的旋转体的体积( 四((15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1,Z0|=|Z1|,Z0为点,Z0?0,另一个动点Z满足Z1Z=,1,求点Z的轨
33
它在复平面上的形
11
五((15分)已知a、b为正实数,且+=1,试证:对每一个n?N*,
ab (a+b)n,an,bn?22n,2n+1(
1988年全国高中
一(已知数列{an},其中a1=1,a2=2,
?5an+1,3an(an?an+1为偶数),an+2=?
an+1为奇数)(?an+1,an(an?
试证:对一切n?N*,an?0(
S?PQR2
二(如图,在?ABC,P、Q、R将其周
S?ABC9
A
HQB
RC
三(在标平面上,是否存在一含有无穷多直线l1,l2,??,ln,?的直线族,它条件:? 点(1,1)?ln,(n=1,2,3,??);? kn+1=an,bn,其中kn+1是ln+1的斜率,an和bn分别是ln在x和y轴的截距,(n=1,2,3,??);? knkn+1?0,(n=1,2,3,??)( 并证明你
34
1988年全国高中
一试题
一(选择题(大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选得0分): 1(设有三个函数,第一个是y=φ(x),它的反函数是二个函数,而三个数的图象
,,
A(y=,φ(x) B(y=,φ(,x) C(y=,φ1(x) D(y=,φ1(,x)
,,
解:第二个函数是y=φ1(x)(第三个函数是,x=φ1(,y),即y=,φ(,x)(选B(
2(已原点在椭圆k2x2+y2,4kx+2ky+k2,1=0的内部,那么参数k的取
D(0<|k|<1 解:因是椭圆,故k?0,以(0,0)代入方程,得k2,1<0,选D( 3(平面上有三个点集M,N,P:
M={(x,y)| |x|+|y|<1},
N={(x,y)|
(x,2+(y+)2+
22
(x2+(y,2<22}, 22
35
P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}(则
A(M??P??NB(M??N??P C(P??N??M D(A、B、C
解:M表示以(1,0),(0(1),(,1,0),(0,,1)为顶点的正形内部点的集合(不包括边界);N
示焦为(),(,),长轴为22的椭圆内部的点的集合,P表示x+y=?1,x=?1,y=?1
2222的六边形内部的点
4(知三个平面α、β、γ,每个之间的夹角都是θ,且α?β=a,β?γ=b,γ?α=c(
π
命题甲:θ
3
命题乙:a、b、c相
A(是乙的充分条件但不必要 B(甲是乙的必要条件但不充分C(甲是乙的充分必要条件D(A、B、C都
ππ
解:a,b,c或平行,或交于一(但当a?b?c时,θ=(
335(在坐标平面上,纵横坐标是整数的点叫做整点,我们I表示所有直线的集合,M表示好
1个整点的集合,N表示不通过任整点的直线的
36
表示通过无多个整点的直线的集合(那么表达式 ? M?N?P=I; ? N??( ? M??( ? P??中,正确的表式的个
A(1B(2C(3D(4
二(填空题(本大题共4小题,每小题10分):
b4,b3
1(x?y,且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,b2,b3,y,b4均为等差数列,那
a2,a1b4,b3812
解:a2,a1=y,x),b4,b3=(y,x),?(
43a2,a13
2(x+2)2n+1的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为 ( 解:(x+2)2n+1,(x,2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn1+C2n+125xn2+?+C2n+12
2n+1)(
,
,
1352n+1
1
令x=1,得所求系数和=(32n+1+1)(
2
DE
37
3(在?ABC中,已知?A=α,CD、BE分
BCDEAD
解:?AED??ABC,==|cosα|(
BCAC
4(甲乙两队出7名员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,??直至一方队全部淘汰为止,另方获得胜,形成一种比赛过程(那么所有可能出现的赛过程的种
解 画1行14个格子,每个格子依次表一场比赛,如果某场比赛某人输了,就在相应的格子中写上他序号(两的人各用一种颜写以示区)(如果某一方7人都失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的员的顺序号(于是每一种比果都对应一种填表方,每一填表方法对应种比赛结果(这是一一对应关系(故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的
?共有C14种
三((15分)2,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直为轴旋转一周,求得到的旋转体体
解:过轴所在对角线BD中点O作MN?BD
38
AE?BD于E,
则?ABD旋转所得旋体为两个有公共底
6π623V=)2=(样, 33392?BCD旋转所得旋转体的体
9
其重叠部分也是两个
?其体积=()2(
342823323
? 所求体积=,π=3π(
9872
四((15分) 复平面上动点Z1的轨迹
1,求点Z的轨迹,指出它在复面上的形状和位
1111111
解:Z1=,,故得|,,Z0|=|,即|ZZ0+1|=1(|Z+=||(即以,||为半的
ZZZZ0Z0Z0Z011
五((15分)已知a、b为正实数,且1(试证:对每一个n?N*,
ab (a+b)n,an,bn?22n,2n+1(
证明:由已知得a+b=ab(又a+b?2ab,? ab?2ab,故
39
a+b=ab?4(是(a+b)k=(ab)k?22k( 又 ak+bk?2ab=2(a+b)?2k+1(下面用数学纳法证明: 1? 当n=1时,=右=0(左?右成( 2? 当n=k(k?1,k?N)时结论成立,即(a+b)k,ak,bk?22k,2k+1
,,
则(a+b)k+1,ak+1,bk+1=(a+b)(a+b)k,(ak+bk)(a+b)+ab(ak1+bk1)
,,
=(a+b)[(a+b)k,ak,bk]+ ab(ak1+bk1)?4?(22k,2k+1)+4?2k=22(k+1),4?2k+1+4?2k=22(k+1),2(k+1)+1(
对于n=k+1也成立(
故对于一切n?N*,命题成立(
二试题
一(已知数列{an},其中a1=1,a2=2,
3DO?AB6OM==( 2DA4
2
3
AOC
7
B
?5an+1,3an(an?an+1
40
an+1为奇数)(?an+1,an(an?
试证:对一切n?N*,an?0((1988年全国高中竞赛
分析:改证an?0(mod 4)或an?0(mod 3)(
证明:由a1=1,a2=2,得a3=7,a4=29,?? ? a1?1,a2?2,a3?3(mod 4)(
设a3k,2?1,a3k,1?2,a3k?3(mod 4)(
则 a3k+1?533,332=9?1(mod 4);a3k+2?1,3=,2?2(mod 4);a3k+3?532,331=7?3(mod 4)( 根据归纳
恒成立,故an?0(mod 4)
又证:a1?1,a2?2(mod 3)(
设a2k,1?1,a2k?2(mod 3)成
当a2k,1?a2k为偶数时a2k+1?532,331?1(mod 3),当a2k,1?a2k
当a2k?a2k+1为偶数时a2k+2?531,332?2(mod 3),当a2k?a2k+1为奇数时a2k+2?1,2?2(mod 3),总之,a2k+2?2(mod 3)(于是an?0(mod 3)(故an?0(
S?PQR2
二(如图,在?ABC,P、Q、R将其周
S?ABC9
41
A
HQB
RC
1
证
3则
SPQ?RHPQAR1PQ2
=,但AB<,
CNABAC2AB3S?ABCAB?
111111AR1S2
AP?AB,PQ<,,? AR=AP,AC<,故
236362AC3S?ABC9
三(在坐标平面上,是否存
族,它满
? 点(1,1)?ln,(n=1,2,3,??);? kn+1=an,bn,其kn+1是ln+1的斜率,an和bn分别是ln在x和y轴上的截距,(n=1,2,3,??);? knkn+1?0,(n=1,2,3,??)( 并证明你的
证明:an=bn?0,即kn,1=,1,an=bn=0,即kn=1,就有kn+1=0,
42
现设kn?0,1,则y=kn(x,1)+1,得bn=1,kn,an=1, kn+1=kn,knkn+1=kn2,1(
knkn? kn1或kn<,1(从
11
? k11时,由于0<,k1k2=k1,,若k21,又有k1k2k30,依此类推,
k1k1
111
时,有k1k2k3??kmkm+10,且0<<?<<1,
k1k2km
11112m
km+1=km,km,=km,1,km,1,?<k1,(
kmk1k1k1km,1k1
mm于k1,随m的增大而线性小,故必存在一个m值,m=m0,使k1,?1,从而必存在
k1k1
m=m1?m0,使km1,1?1,
即此时不存在这
11
? 当k1<,1时,同样有,1<,得k1<k2=k1,<0(若k2<,1,又有k1<k2<k3<0,此类推,
43
k1k1
0,此时km1?km1+1<0(
km1,11
篇六:高中数学联赛试
高中数学联赛试题
44
高中数学答案
高一数学试题答案
一、填空题 1. {}
3-≤a a (或 (]3, -∞-) ; 2. 7 ; 3 . -10; -3
二、解答题 1.解:∵ A ∩ B={3, 7} ∴ 7∈ A ∴ 7242=++a a
即 15=-=a a 或
当 5-=a 时, B={0, 7, 7, 3} (舍去)
当 1=a 时, B={0, 7, 1, 3} ∴ B={0, 7, 1, 3}
2.解:
(2)由得函数 ) (x f 的递减区间 ). 1, 0(), 1, (--∞ ) (x f 递增
). , 1(), 0, 1(+∞- 值域为 {}1-≥y y
(注意:将两个区间“并”来,
1, -1, 0处写为“闭”的形式,不
3. 解:(1)当 N t t ∈<≤, 250,设="" p="at+b,将" (0,19),(25,44)代入,得="" ???+="">≤,>
a b 254419 解之得 ) , 250(19, 19
1N t t t P b a ∈<≤+=∴???== 当="" n="" t="" t="" ∈≤≤,="" 3025,同理可得="" ,="" 100+-="t" p="" 综上所:售价格="" p="" (元)和时间="" t="">≤+=∴???==>
??∈≤≤+-∈<≤+=) ,="" 3025(,="" 100)="" ,="" 250(,="" 19n="" t="" t="" t="" n="" t="" t="" t="" p="" (2)依题意,有="" q="" p="" y="" ?=",由">≤+=)>
()()()?
??∈≤≤+-+-∈<≤+-+=) ,="" 3025(),="" 40(100)="" ,="" 250(,="" 4019n="" t="" t="" t="" t="" n="" t="" t="" t="" t="" y="" 化简得="">≤+-+=)><≤++-=) ,="" 3025(,="">≤++-=)>
140) , 250(, 7602122N t t t t N t t t t y (3)由 ()()?????∈≤≤--∈<>
, 3025(, 90070) , 250(, 25. 8705. 1022N t t t N t t t y 当 N t t ∈<≤,>≤,>
t=10,或 t=11时, y 有最大值 870元
当 N t t ∈≤≤, 3025时, ∴>, 3070 y 在区间 [25, 30]
因此 t=25时, y 有
因为 1125>870,所以当 t=25时,即在第 25天,
日销售金额最大,最大值
一、填空题
1. ; 3. ; 4.
二、解答题 1. 13
42
2=+y x 2. 解:若 p 真,
40010m x x m x x ??=->?+=-??=>?, 2m ∴>
若 q 真,则 2216(2) 160m ?=--≥, ∴1m ≤或 3m ≥
又“ p 或 q ”为真, “ p
, ∴(2,3)m ∈; 当 p 假 q 真时,则 2m ≤,且 1m ≤或 3m ≥∴1m ≤;综上, 2m
3. 解:∵ OA 、 OB 、 OC 两两垂直,∴以 O 为标原点、 OC 、 OB 、 OA 分别为 x,y,z 轴,由 OA=1, OB=OC=2, E 是 OC 的
所以 O (0, 0, 0) , C (2, 0, 0) , B (0, 2, 0) , A (0, 0, 1) , E (1, 0, 0) ,
(0,2,1) AB =- , (2,2,0) 2(1, 1,0) BC =-=- , (0,2,0)2(0,1,0) OB == , (1,0,1) EA =- ,
(1)
n AB n BC ??=???=?? ,即 1111200y z x y -=??-=?, ∴取 1(1,1,2)n =
, 1cos , OC n <>= , OC 与平面 ABC
(2)∵ OA 、 OB 、 OC 两两垂直,∴ O B ⊥平面 OAC ,又 (0,2,0)2(0,1,0) OB == ,
取 2(0,1,0)n = 为平面 OAC 的法向
B-AC-O
(3) 3333(, , ) n x y z = 为平面 EAB 的
3300n EA n AB ??=???=?? 即 3333
020x z y z -=??-=?,∴
, 13cos , n n <>== ,又这两个法向量分别指
一、填空题
1. ; 2
; 3 . -10; -3 ; 4. 12
x =
; 5. ; 6. 二、
1. 设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 t t y 60400-+=; 令 t =x ;则 t x 62
=,即 x x y 120104002-+=40) 6(102+-=x ; ∴当 6=x ,即 6=t 时, 40min =y ,即从水开始到第 6小时,蓄水池水最
<+-x x="" ;="" 解得,="">+-x>
83
8332=-,所以每天约有 8 2. 解:(1
) 2() 2cos sin 21cos 2sin 2) 14f x x x a x x a x a π=++=+++=+++
则 () f x 的最小正周
=, 且当 222() 242
k x k k Z πππ
ππ-≤+≤+∈时 () f x 单调递增. 即 3[, ]() 88
x k k k Z ππππ∈-+∈为 () f x 的单调递增区间(写
x π+=.
所以 max () 121f x a a =+=?= 2() 4228
k x k x k Z π
π
πππ+=+?=+∈为 () f x 的对
3. 解:(Ⅰ)解法一:“放回摸两次,颜色不同”指“先白再黑”或“先黑
记“有放回摸球两次,两球恰好颜
∵“两球恰好颜色不同”共 24+42=16??种
∴ 164() 669
P A ==?. 解法二:“有回摸取”可看作独立重复实验, ∵每次摸出一球得白球的率
162==P . ∴“有放摸两次,颜色不同”的
P C p p =??-=
. (Ⅱ)设摸得白球的个数 ξ,依题
432(0) 655P ξ==?= , 42248(1) 656515P ξ==?+?=, 211(2) 6515P ξ==?=. ∴ 1812012215153E ξ=?+?+?=, 22222282116(0) (1) (2) 3531531545
D ξ=-?+-?+-?=.
4. 解:()' 232f x x ax b =-++,
因为函数 ()f x 在 1x =
所以 ()'
1323f a b =-++=-,即 20a b +=, 又 ()112f a b c =-+++=-得 1a b c ++=-。
(1)
解得 2, 4, 3a b c =-==-,
所以 ()32
243f x x x x =--+-. (2)因为函数 ()f x 在区间 []2,0-上单调递增,所以导函数 ()' 23f
x x bx b =--+在区间 []2,0-上的值恒
于零, 则 ()()' 21220, ' 00, f b b f b -=-++≥???=≥??
得 4b ≥, 所实数 b 的取值
高中数学答案
苏州名思教育2013年第次文化课考
试卷答案和评分标准
一、填空题
1.{2,3}; 2.0 ; 3.700 4.21; 5.
1
; 6.2; 7.2 ; 8.12; 12
21
9
10.2; 11
.; 12
.2 13.1006; 14
.[) .
342
二、解答题:
15.⑴因为a ⊥b ,所以4?3+5cos α?(-4tan α)=0,………………………2分
3π
,又因
所以cos α=,tan α==, ………………………………………6分
5cos 4
解得 sin α=
所以a +b =
(7,1) ,因此|a +b |=.………………………8分 ⑵cos α+?=cos αcos -sin αsin
?
?
π?4?
π4π
…………………………………12分
4
43.…………………………………………………14分 =-=
525210
16.⑴取BC 中点G ,连
因为E 是B 1C 的中
B 1A 1
∥1,而D 是AA 1的
所以EG ∥=AD ,…………………………4分 所以四边形EGAD 是平行四边, 所以ED ∥AG ,又DE ?平
1
2
1
D
B A
AG ?平面ABC
所以DE ∥平面ABC . ………………………7分 ⑵因为AD ∥BB 1,所以AD ∥平面BCE ,
所以V E -BCD =V D -BCE =V A -BCE =V E -ABC ,………………………………………10分
由⑴知,DE ∥平
所以V E -ABC =V D -ABC =AD ?BC ?AG =?3?6?4=12.…………………14分
17.⑴由题意得x 2+4xy =4800,
131216
4800-x 2
即y =,0
4x
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2
2
4800-x 21
⑵铁皮
4x 4
3
V /(x ) =-x 2+1200,
4
因为x ∈(0,40),V /(x ) >0,V (x ) 是
x ∈(40,60),V '(x ) <0,v (x="" )="">0,v>
1
所以V (x ) =-x 3+1200x ,在x =40时取得极大
4
答:该
18.⑴因为O 点到直线x -y +1=
0, ………………………2分
所以圆O
故圆O 方程为x 2+y 2=2. ………………4分 ⑵设直线l 的
x y
+=1(a >0, b >0) ,即bx +ay -ab =0, a b
111
=+=, ……………6分 由直线l
a b 211
DE 2=a 2+b 2=2(a 2+b 2)(2+2) ≥8,
a b
当且仅a =b =2时取等,此时直线l 的方程
⑶设M (x 1, y 1) ,P (x 2, y 2) ,则N (x 1, -y 1) ,x 12+y 12=2,x 22+y 22=2,
x 1y 2-x 2y 1x y -x y
,0) ,m =1221,
y 2-y 1y 2-y 1x y +x 2y 1x y +x y
,0) ,n =1221, …………………14 直线NP 与x 轴交
y 2+y 1y 2+y 1
x 1y 2-x 2y 1x 1y 2+x 2y 1x 12y 22-x 22y 12(2-y 12) y 22-(2-y 22) y 12
mn ====2,
y 2-y 1y 2+y 1y 22-y 12y 22-y 12
直线MP 与x 轴交点(
故mn 为定2. …………………16分 19.⑴
又因为a <0,所以不等式可化为x (x="" +)="">0,所以不等式可化为x><>
所以不等式f (x ) >0的解集为(0,-) .………………………………………4分 ⑵f '(x ) =(2ax +1)e x +(ax 2+x )e x =[ax 2+(2a +1) x +1]ex ,
①当a =0时,f '(x ) =(x +1)e x ,f '(x ) ≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x =-1 取等号,a =0符合要求;………………………………………………………6分 ②当a ≠0时,令g (x ) =ax 2+(2a +1) x +1,因为?=(2a +1) 2-4a =4a 2+1>0, 所g (x ) =0有两个不相等的实数根x 1,x 2,不妨设x 1>x 2, 此f (x ) 有极大值有
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1
a
1a
若a >0,因为g (-1) ?g (0)=-a <0,所以f (x="" )="" 在(-1,1)="">0,所以f>
1]上单调.………………………………………………………8分 故f (x )
若a <0,可知x 1="">0>x 2,
因为g (x ) 的图象开口向下,要f (x ) 在[-1,1]单调,因为g (0)=1>0, 必须
?g (1)≥0, ?3a +2≥0, 2
即?所以-≤a <>
3?g (-1) ≥0. ?-a ≥0.
综上可知,a 的取范围是[-,0].………………………………………10分 ⑶a =0时, 方程即为x e x =x +2,由于e x >0,所x =0不是方程解, 所以原方等价
2
3
2x 2
-1, x
2
>0对于x ∈(-∞,0) (0, +∞)恒成立, x 2
所以h (x ) 在(-∞,0)和(0, +∞)内是单调增函数,……………………………13分 又h (1)=e -3<0,h (2)="e" 2-2="">0,h (-3) =e -3-<0,h (-2)="e" -2="">0,
13
2]和[-3,-2]上, 所以方f (x ) =x +2且只有两个实数根,且分别在
所以整
1?
?S 2=pa 1+q , ?3=2p +q , ?p =,
20.⑴由题意,知?即?解之得?2 …………… 4分
S =pS +q , 3+q -3p =3p +q , ?2?3??q =2.1
⑵由⑴知,S n +1=S n +2,①
21
当n ≥2时,S n =S n -1+2,②
21
①-②
2
111
又a 2=a 1,所以a n +1=a n (n ∈N *),所以{a n }是首项为2,公比为等比
222
1
所以a n =.…………………………………………………………………… 8分
2
1) n S n -m 12m =4(1-n ) ,由⑶由⑵得,S n =,得 <2s n="" +1-m="">2s>
2(1-
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1
) -m 2n (4-m ) -42m 2m n
2(4-m ) -22+12+14(1-) -m 24(1-
即
21
>,因为2m +1>0,所以2n (4-m ) >2, n m
2(4-m ) -22+1
所以m <><2n (4-m="" )="">2n><2m>2m>
因为m ∈N *,所以m =1或2或3.……………………………………………… 12分 当m =1时,由(*) 得,2<2n>2n><8,所以n =1;="" 当m="2时,由(*)">8,所以n><2n>2n><12,所以n =1或2;="" 当m="3时,(*)">12,所以n><2n>2n><20,所以n =2或3或4,="">20,所以n>
(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).…………………………………………… 16分
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