与双曲函数有关的
cosh^2(x) - sinh^2(x) =1
coth^2(x)-csch^2(x)=1
tanh^2(x)+sech^2(x)=1
* 加法公式:
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y) cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y) tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)] * 减法公式:
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y) cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y) tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)] * 二倍角公式:
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
* 半角公式:
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
双曲函数的恒等式都在圆角函数有相应的公。Osborn's rule指出:将圆三角数恒等式中,圆函数转成相应的双曲函数,有两个sinh 积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号,则
* 三倍角公式:
sin(3 * x) = 3 * sin(x) ? 4 * sin(2 * x)
sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函. 它
arsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]
arcosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]
artanh(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arcoth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2 arsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]
arcsch(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x <>
ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0
其中,
sqrt 为 square root 的缩
双曲函数与反双
(sinh(x))'=cosh(x)
(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)
(arctanh(x))'=1/(1-x^2) (|x|<>
(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)
双曲函数与反双曲
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2 ∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c
∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c
∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c (sgn是符号
函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数
,fxx,,,一、幂函数,,,Q*~导数公式
,,,1,若(Q*),则( fxx,fxx,,,,,,,,
推导过程
, fx,,
fxxfx,,,,,,,,lim,,x0,x
,,xxx,,,,,,lim,,x0,x
011222,,,,,,,,CCCCxxxxxxx,,,,,,,,?,,,,,,,lim,,x0,x
011222,,,,,,,,CCCCxxxxxxx,,,,,,,,? ,,,,,,,,,lim,,x0,x
11222,,,,,,CCCxxxxx,,,,,,?lim,,,,,,x0,x
1122,,,,,1,x,,,,,limCCCxxx?,,,,,,,x0,,11,,Cx,,,1,,x,
fxx,sin,,二、正弦函数的数公式
,fxx,sinfxx,cos若,
推导过程
,fx ,,
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
fxxfx,,,,,,,,lim,,x0,x
xxx,,,sinsin,,,lim,,x0,x
sincoscossinsinxxxxx,,,,,,,lim,,x0,x
xxxxx,,,,cossinsincossin,,,lim,,x0,x
cossinsincos1xxxx,,,,,,,lim,,x0,x
,,,,,xxx,,,,2xx,,,,,cos2sincossin12sin1,,,,,,222,,,,,,,lim,,x0,x
,,,xxx,,2,,xx2sincoscos2sinsin,,222,,,lim0,,x,x
,,,xxx,,,,xx2sincoscossinsin,,222,,,lim0,,x,x
,,xx,,,x2sincos,, 22,,,lim0,,x,x
,x,,sin,,,x,,2,,,xlimcos,,,,0,,x,x2,,,,,,2
,xsin,,xx2,,x0sin,,1时~~所
2
,x,,,所
fxx,cos,,三、余弦函的导数
命题
,fxx,cosfxx,,sin若,
推导过程
,fx ,,
???????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????
fxxfx,,,,,,,,lim,,x0,x
coscosxxx,,,,,,lim,,x0,x
coscossinsincosxxxxx,,,,,,,lim,,x0,x
xxxxx,,,,coscoscossinsin,,,lim,,x0,x
xxxx,,,,coscos1sinsin,,,lim,,x0,x
,,,,,xxx,,,,2xx,,,,,cos12sin1sin2sincos,,,,,,222,,,,,,,lim,,x0,x
,,,xxx,,2,,xx2sincos2sinsincos,,222,,,lim0,,x,x
,,,xxx,,,,xx2sinsincoscossin,,222,,,lim0,,x,x
,,xx,,,x2sinsin,,22,,,lim0,,x,x
,x,, sin,,,x,,2,,,xlimsin,,,,0,,x,x2,,,,,,2
,x,,,,xlimsin,,0,,x2,,
,,xsin,,
,,nxsi
所以原命题得证(
xfxa,a,1,,a四、指数函数,,0,且~的
命题
xx,a,1fxa,fxaa,lna若(,0,且),则( ,,,,推导过程
,fx ,,
???????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????
fxxfx,,,,,,,,lim,,x0,x
xxx,,aa,,lim,,x0,x xxx,aaa,,,lim,,x0,x
,x,,a,1x,,alim,,,,x0,x,,
,x,x,x,x,,x0令~则~即(且当时~~~ta,,1at,,1,,,xtog1la,1a,,10,,a
t,0即(所以原极
, fx,,
,,tx,,lima,,t,0log1t,,,a,,
,,
,,1x ,,lima,,t,01,,log1t,,,at,,
,,1x,,,,lima1t,0,,tlog1t,,,,,a,,
1tlim1et,,又因
,fx ,,
1x,,alogea
lnax,,a lne
x,aaln
所以原命题得证(
a,10fxx,logax五、对数函
的导数公式推导
1,a,10fxx,logfx,ax若(,0,
推导过程
???????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????
, fx,,
fxxfx,,,,,,,,lim,,x0,x
xxx,,,loglog,,aa,lim,,x0,x
,,,,1xx,,,limloga,,,,,,x0,xx,,,,
,,,,11xx,,,,,,,limlogxa,,,,,,,,x0xxx,,,,,,,
,,,,1xxx,,,,limloga,,,,,,x0xxx,,,,,
,,1,,,,xxx,,,,limlog,,a,,,,,,x0xxx,,,,,,,
x,,x,,,1xx,,,,,lim,loga,,,,x0,,xx,,,,
x,,x,1,x ,,,,,,,limlog1a,,x,,0,,xx,,,,
,x,,x0t,0t,令(且当时~(以原极限
,fx ,,
11,,t t,,,limlog1,,a,,,t0x,,
1tlim1e,,t又因
11lne1,,,,,,fxloge ,,axxaxalnln
所以原命题得证(
???????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????
关于球诺埃曼函数递推公式的推导
关于球诺埃曼函数递
1 2 李之杰,
1
( 1 . 内蒙古民族大学理工学院 物理系 ,内容 通
) 2 . 内容古呼伦贝尔学院 计算机系 ,内蒙古 海
1 2 摘 :球诺埃曼函数和球汉克函数的递公式 ,在一般
换 ,推了球诺埃曼函数的递推公式. 同时出此类方法
关键词 :递推公式 ;球诺埃
() 中图分
( 当物理模型为球 , 一般要采球坐标系. 对于非定常的波动和输运题 , 其未知函数为 u t , θφ) ( ) r ,,. 关于 r , 以为球贝塞尔方程 , 对于不同的边
( )( )1 2 ( ( ( ) ( ) ) ) x , hx 和 hx . 分别称之为 , 球贝塞函数 , 球诺曼函数 ,
1 sin x x 1 co s i x l 称为函数的阶 , x = k r . 这几个特殊函数 , 当 l = 0 , 分别为 , - , - i e, i等初等 - i x x x x x 函数形式. 这是数理方教学
波法等也涉及上述函数. 上述四函数都
( )Q ( x ) Q x l + 1 l 1 d ( )= - 1 l + 1 l x d x x x ( )( )1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x 代表了 j x , n x , hx 和 hx , l = 0 , 1 , 2 可以
尔函数等四个函的各个高阶函数 , 都可以过各自的零阶函逐次表示成初等
( ) ( ) ( ) 问题来方便 . 在一般的教材中可查到关于 j x 的导出. 而 n x , hx 等则仅给出
2 球诺埃曼函数递
2 . 1 球
在一般的材中 , 关于 j ( x ) 递推公式的导 , 一般是利
( )J ( x ) J x v + 1 v 1 d ( )= - 2 v + 1 V x d x x x
π ( ) ( ( ) ) 式中 J x 为 V 阶贝塞尔函数 . 取 v = l + 1/ 2 , 考虑 j x = J x , 稍加
( )j ( x ) j x l + 1 l 1 d ( )= - 3 l + 1 l x x d x x
( ) 这与 1式有
收稿日期 :2002 - 05 - 19
作者简介 :之杰 ( 1950 - ) ,男 ,副授 ,多年从
— 52 —
2 . 2 球诺埃曼函递推
一般教材球诺曼函数的递推公式不作具体推导 , 仅作与分即给出结论.
利用贝尔函数
π ( ) ( ) 取 v = l + 1/ 2 , 考虑 j x = J x , 则
d l + 1 l + 1 ( )( x j x ( )) x j x = 5 l l - 1 d x
) ( 考球诺
贝塞尔函数和球诺埃曼函数
d( ) - k + 1+ 1 ( ) - k + 1 () j ( ) x ( ) x ( ) x j - k + 1l 6 x = (- 1 - k + 1 ) d x
( ) 这一个中间 结 果 , 接 下 来 我 们 分 析 球 贝 塞 尔 函 数 球 诺 曼 函 数 的 关
[ 1 ] π( ) ( ) co s vJ x - J x v - v ( ) ( ), N x v 阶 诺
( ) π( ) ( )co s l + 1/ 2J x - J ( ) x l + 1/ 2 - l + 1+ 1/ 2 π π ( ) ( ) ( ) ( ) J x ,. 考虑到 n x = N x , j x =l l + 1/ 2 l l + 1/ 2 π2 x 2 x sin v
( )- j x π - ( l + 1) π l + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 则有 n x =, 即 n x = - 1j ( ) x , 令 l = k , 则有 n x = - l - l + 1k l l2 x 2 x ( ) - 1 k + 1 k + 1 k + 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1j x , 可 j = - 1n , j = - 1n . 把上述结带入 6
( n ( x ) ) n x 1 dk + 1 k 到 , = - , 令 k = l , 最终导出公
n ( x ) ( ) n x l l + 1 1 d ( )= - 7 l + 1 l x d x x x
( ) ( ) 7式即球诺埃曼函数的递推式 ,
( ) ( ) 12( ) ( ) 关 h x h x 的递
( 1) ( 2) h ( x ) 和 h ( x ) 的递推公式. ( ) ( ) 有了 3式及 7式 , 再由汉
( ) ( ) 3式加减 7式两边乘以 i 的结果 , 得
( ) ( ) ( ) 8, 9两式为球汉克函
结论4
本文利用贝塞尔数的递推公 、诺埃曼函数的定义式 、贝塞尔函数和球贝塞尔函数与诺埃曼 数和球诺埃函数的关系式及球汉克函数的式 , 用
完整的导球诺埃曼函数的递推公式 , 并简明的
( ) 下转
— 53 —
意志训练是决心克服各困难 ,以实现既目标的心理过程. 培养意志品质主要是通过动实践 本身的困难和教练员有意出难进行的. 一般多用鼓励法 、诱法 、刺激法 、强法和处罚法. 该训 练键是运动员本人是对意品
果 . 3 . 7 增强
投篮的准确性是取得比胜利的关键 . 若在比赛中 ,投篮机会不少 ,而不能确地命中 ,那么就会 打消全队进攻取胜的性. 一般可采用由到远投篮 ,在自己惯的位置上投篮 ,定 、定数 、定 中率
4 结论
篮球运动员的心理训练是队有系统的训练的要内容之一 . 随着篮球运动的迅速发展 ,运动 员的心理训练就提出了更高的要求. 实践证 ,心理练对培养篮球运员在训练和比赛中具有定 的 、适宜的心理状态 ,促进训练质量的高 ,及运动员竞技能力得到充分的发挥 ,创
参 考 文 献
1 王光华. 篮球教练员艺术M . 武汉 :中师范大学出
体育学院专修用教材编组. 篮球M . 北京 :人民体育出版社 ,1997 . 2 孙民. 篮球M .
O N the Psycholgical Tra in ing f or Ba sketball players
J I X ue2w u
( )P. E Dept ,J ilin No r mal U niversit y ,Siping 136000 ,China Abstract :In view of t he paychological of t he basket ball players and t he passible p sychological ranges in raining and matches ,it’s necessary to use different materials and met ho ds fo r p sychological t raining so as to imp rove t he players’p sychological stabilit y and ensure t heir perfo r mance in t he matches. Key words :basket ball ;player ;p sychological t raining
()上接第 53 页
参 考 文 献
1 梁淼. 数学物理方法M . 北京 :高等教育出
2 吴试. 数学物理方法M . 北京 :北京大学出
Deduction of Recurrence Formula
f or Spherical Neumann’s Function
1 2 1L I Zhi2j ie, T IA N W en2w u , W A N G Ze2h ui
( 1 . Inner Mo ngolia U niversit y fo r Natio nalitiest y , Inner Mo ngolian To ngliao 028043 ,China ;
)2 . Inner Mo ngolian Hulunbeier College , Inner Mo ngolia Hailaer 210008 ,China
Abstract :Deductio n of recurrence fo r mulas fo r sp herical Neumann’s f unctio n and sp herical Hankel f unc2 tio n aren’t given in co mmo n literat ure . In t his paper , using a simple replacement we deduced recurrence fo r mula fo r sp herical Neumann’s f unctio n and sp herical Hankel f unctio n .
Key words :recurrence fo r mula ; Sp herical Neumann’s f unctio n ; Sp herical Hankel Functio n
— 59 —
三角函数公式的推导
诱导公式
目录2
诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角
2同角角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2公
2万能公式推导 2三
2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2
2和差化积公式推导
诱导公式
★诱导公式★
常用的诱导公式有以
公式一:
设α为任意角,
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin (-α)=-sin α cos (-α)=cos α tan (-α)=-tan α cot (-α)=-cot α
1
公式四:
利用公式二和公三可以得到π-α与α的三角函数
公式五:
利用公式一和公三可以得到2π-α与α的三角函数
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关
sin (π/2-α)=cos α cos (π/2-α)=sin α tan (π/2-α)=cot α cot (π/2-α)=tan α
sin (3π/2+α)=-cos α cos (3π/2+α)=sin α tan (3π/2+α)=-cot α cot (3π/2+α)=-tan α
sin (3π/2-α)=-cos α cos (3π/2-α)=-sin α tan (3π/2-α)=cot α cot (3π/2-α)=tan α
(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以
对于k2π/2±α(k∈z)的个角
2
①当k 是偶数时,得到α的同名函数值,即数
②当k
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符
例如:
sin(2π-α) =sin(42π/2-α) ,k =4为偶数,以
当α是锐
上述的记忆口诀是:
奇变偶不变,符号
公式右边的为把α视为锐角时,角k2360°+α(k∈z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可忆 平
各种三角数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 十二字
第一象限内任何个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四内只余弦
其他三角函数知识:
同角三角函数基
⒈同角三角函数的基本关系式
tan α 2cotα=1 sin α 2cscα=1 cos α 2secα=1 商的关系:
sin α/cosα=tan α=sec α/cscα cos α/sinα=cot α=csc α/secα 平方关系:
sin^2(α) +cos^2(α) =1 1+tan^2(α) =sec^2(α) 1+cot^2(α) =csc^2(α) 角
3
六角形记忆法:(参看图片或参考
构造以" 上弦、中切、下割;左正、右余、中间1" 的正六边形为模型。 (1)倒数关系:线上
(2)商数系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值积)。
(3)平关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶上的
两角和差公式
⒉两角和与差的三角
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β
tanα+tan β tan (α+β)=—————— 1-tan α 2tanβ
tanα-tan β tan (α-β)=——————
1+tan α 2tanβ
倍角公式
⒊二倍
cos2α=cos^2(α) -sin^2(α) =2cos^2(α) -1=1-2sin^2(α)
2tanα tan2α=————— 1-tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降扩
1-cos α sin^2(α/2)=————— 2
1+cos α cos^2(α/2)=————— 2
4
1-cos α tan^2(α/2)=————— 1+cos α
万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2) sin α=—————— 1+tan^2(α/2)
1-tan^2(α/2) cos α=—————— 1+tan^2(α/2)
2tan(α/2) tan α=—————— 1-tan^2(α/2) 万能公式推导
附推导:
sin2α=2sinαcos α=2sinαcos α/(cos^2(α)+sin^2(α))......*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦
⒍三倍角
3tanα-tan^3(α) tan3α=—————— 1-3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导:
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcos α+cos2αsin α)/(cos2αcos α-sin2αsin α)
=(2sinαcos^2(α) +cos^2(α)sin α-sin^3(α))/(cos^3(α) -cos αsin^2(α) -2sin^2(α)cos α)
5
上下同除以cos^3(α) ,得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α) =sin2αcos α+cos2αsin α =2sin αcos^2(α) +(1-2sin^2(α))sin α =2sin α-2sin^3(α) +sin α-2sin^2(α) =3sin α-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α) =cos2αcos α-sin2αsin α =(2cos^2(α) -1)cos α-2cos αsin^2(α) =2cos^3(α) -cos α+(2cosα-2cos^3(α)) =4cos^3(α) -3cos α 即
sin3α=3sin α-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α) -3cos α
记忆方法:谐音、联想
正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数) ,所要“挣钱”(音似“正弦”)) 余弦三倍角:4元3角
☆☆注函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦
⒎三角函数的和差
α+β α-β sin α+sin β=2sin —----2cos—--- 2 2
α+β α-β sin α-sin β=2cos —----2sin—---- 2 2
α+β α-β
cos α+cos β=2cos —-----2cos—----- 2 2
α+β α-β cos α-cos β=-2sin —-----2sin—----- 2 2 积化和差公式
⒏三角函数的积化
6
sin αcos αcos α
sin α 2cosβ 2sinβ 2cosβ
2sinβ=0.5[sin(α+β)+sin (α-β)] =0.5[sin
(
α+β)-sin (α-β)] =0.5[cos(α+β)+cos (α-β)] =- 0.5[cos(α+β)-cos (α-β)]
和差化积公式推导
附推导:
首先, 我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式
同理, 若把两式相减, 就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的, 我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以, 把两式相加, 们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得
同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 样, 我们就得到了积化和差
好, 有了积化和差的四个公式以后, 们只需一个变形, 就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述个公式中的a+b设为x,a-b 设为y, 那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b 分别用x,y 表示就可以得到差化积
利用变角思想.
A=(A+B)/2+(A-B)/2 B=(A+B)/2-(A-B)/2
sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]+sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2] =2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
其它的同理可得 回答:2008-09-21 15:32 提者
其他回答 共1
评论 ┆ 举报
7
[学长
]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右
sinx+siny=1/2*[sin(x+y)/2cos(x-y)/2]这就是和差化积 仿
三角函数相关公
关键词: 三角公式 三角函数
最近复习积分, 几个三角函数的转换弄得我晕头转向, 本来高中的时候就没记熟, 在又
好郁闷, 进度太慢
1 三角函数的定义
1.1 三角形中
图1 在直角三角形中定义三角函
在直角三角形ABC ,如下定义六三
正弦函数
8
?
余弦函数
? 正切函数
? 余切函数
? 正割函数
? 余割函数
1.2 直角坐标系
9
图2 在直角坐标系中定义三角
在直角坐标系中,如下定义六个
?
正弦函数
? 余弦函数
? 正切函数
? 余切函数
? 正割函数
? 余割函数
2 转化关系
2.1 倒数关系
10
2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半
3.1 倍角公式
11
3.2
半角公式
3.3 万能公式
12
4 积化和差、和
4.1 积化和
4.2 和差化
13
14
三角函数的公式推导
三角函数的公式推导
首先, 我们知sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相
所以,sina*cosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
同理, 若把两式相减, 就得到cosa*sinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
同样的, 我们还道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以, 把两式相加,
所以我
同理, 两式相减我们就得到sina*sinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
这样, 我们就得到了积化和差的
sina*cosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosa*sinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
cosa*cosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sina*sinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
好, 有了积和差的四个公式以后, 我们只需个变形, 就可以得到和差化积的个公式. 我们 上述四个公式中的a+b设为x,a-b 设为y, 那
把a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化的
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)