范文一:两直线夹角的空间推广
两直线夹角的空间推广
余 亮
(福建省厦门集美中学 361021
e-mail:TerryPerfect@126.com 电话:13806045464) 摘要:我们通常把三维空间的问题转化到二维平面来解决,比如运用平移的方法去求两异面直线的夹角(同样,我们可以把二维平面中的许多知识推广到三维空间,从而帮助我们解决空间几何中的问题(
关键词:两直线的夹角 空间推广
在平面几何中,若求两直线、的夹角,可以通过直线上任意两点、分别,ABlll211
|AB|11作直线作垂线,垂足为、,则(特别地,若,则有直线上cos,,ll,lABl212111|AB|
、重合(这个结论,可以推广到空间几何中( AB11
定理 已知两条异面直线,、,其夹角为,过直线上任意两点、分别向直ABlll211
|AB|11线作垂线、,垂足分别为、,则( cos,,lAABBAB21111|AB|
l1证明:不失一般性,如图,,已知与异面,过作一个 lll221
平面,,过点作直线平行于直线,再分别过点 l,ol:,,olA312
B、作的垂线、,垂足分别为、( lAABBABAB312122211
Ao2B2l3?l,则l,AA,又?AA,l,有 l,?l33112332l2AB11a平面,则(同理,( l,AAl,BBAAA323212
易证:四边形是平行四边形,则有( ABBA|AB|,|AB|11221122 图 ,
|AB||AB|2211cos,cos,AoA,,l?,则 ,?l312|AB||AB|
例, 求证:两异面直线的公垂线段有且只有一条(
,已知:两异面直线、,其夹角为,是直线与的公垂线( ABllll2211
求证:是直线与唯一的公垂线( ABll21
CD证明:(反证)如图,,若是直线与的异于AB的公垂线, ll21
图 ,
|AB||CD|由定理,得,则( |AB|,|CD|cos,,,|CD||AB|
,,,0因此,,即,有?,与已知与异面矛盾( cos,,1llll2211
推论 已知异面直线、,若,则有直线上任意两点向作垂线,其垂足重合(反ll,llll212211
之也有,若直线上存在两点向作垂线,其垂足重合,则有( ll,ll2121
例, 如图,,已知长方形ABCD,将其沿对角线BD
折成二面角A,BD,C( DA求证:无论采取怎样的折法,均不与AC垂直( BD
F分析:分别过点C、向作垂线,垂足为、, ABDEF
CF,BD无论采取怎样的折法,均有、,且AE,BD
AC点、不重合,由推论,不可能垂直于( EFBDE
CB 图 , CD推广 对于两直线,和,两直线的夹角为,连结AB
2222(|AC|,|BD|),(|AD|,|BC|)ACBC、、、,则 cos,,ADBD2|AB|,|CD|
|EF|CD分析:分别过点、向边作垂线、,其垂足为、,由定理知: cos,,ABAEBFEF|AB|
A,ACD证明: 由余弦定理,在中,
222 ? |AC|,|CD|,|AD|,2,|AC|,|CD|,cos,ACD
,BCD在中,
222 ? |BC|,|CD|,|BD|,2,|BC|,|CD|,cos,BCD
D
2222F?,? 得: (|AC|,|BD|),(|AD|,|BC|),EC
2,|AC|,|CD|,cos,ACD,2,|BC|,|CD|,cos,BCD B
图 , Rt,AEC|CE|,|AC|,cos,ACD在中
Rt,BCE|CF|,|BC|,cos,BCD在中
|EF|,|CE|,|CF|
2222?(|AC|,|BD|),(|AD|,|BC|),2,|EF|,|CD|
2222(|AC|,|BD|),(|AD|,|BC|)|EF|则( cos,,,|AB|2|AB|,|CD|
通常,我们通过,把异面直线转化为相交直线,即三维转化为二维(在平面几何范围内,解决异面直线夹角问题(但由推广,在我们处理一些不好运用平移方法的题目中,此推广起着通解的作用(
例, 如图5,在正四面体中,、分别为棱、的中点,、分别ABCDCDNQMPAD
A是面BCD、ABC的中心,求直线MN与所成的角( PQ
分析:?这道题目中出现的平行关系很少,用平行直线
M有一定的难度(
?由推广,选择适当的平面,运用余弦定理,不难求出
aaQ,, |PM|,|MQ|,|MN|,|PQ|,|QN|,B23D
P3aNABCD|NP|,((为正四面体的棱长) a 6C 图 ,
1则( ,arccos,18
三维与二维的相互联系和相互推广,是解决空间几何问题的有力方法(
参考文献:
, 沈文选 唐立华《奥赛经典?分级精讲与测试系列?高二数学》湖南师范大学出版社~2004
范文二:空间两直线夹角公式
3.1.5空间向量运算的坐标 表示一、向量的直角坐标运算设
a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b a 1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a 1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 R a b a1b1 a2 b2 a3b3 a // b a1 b1 a2 b2 a3 b3
R a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 . a b a1b1 a2 b2 a3b3 0 已知,3-24,,
-25-3,则 ab_______ a b _________ 3a 5b __________ ______ a b __________ 2a b a 2b ____二、距离与夹角 1.距离公式 (1)
向量的长度(模)公式 2 a a a a12 a2 2 a32 2 b b b b12 b2 2 b32注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。(2)
空间两点间的距离公式 终点坐标减 在空间直角坐标系中,
已知 A x1起点坐标 y1 z1 、B x2 y2 z2 ,则 AB x2 x1 y2 y1
z2 z1 AB AB AB x 2 x1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 d A B x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2 22.两个向量夹角公式 a b a1b1 a2 b2 a3b3 cos a b a b a1 a2 a3 b1 b2 b3 2 2 2 2 2 2注意: (1)当 cos a b 1 时,
与 b 同向; a (2)当 cos a b 1 时, 与 a b 反向; (3)
当cos a b 0 时,a b 。思考:当 0 cos a b 1 及 1 cos a b 0时,
的夹角在什么范围内,练习一:1.求下列两个向量的夹角的
余弦: 1 a 2 3 3 b 1 0 0 2 a 1 1 1 b 1 0 1 2.求下列两点间的距
离: 1 A1 1 0 B 1 1 1 2 C 3 1 5 D 0 2 3 .三、应用举例例1 已
知 A3 3 1、B 1 0 5 ,求:A M (1)线段 AB 的中点坐标
和长度; B解:设 M x y z 是 AB 的中点,则 1 1 3 OOM
OA OB 3 3 1 1 0 5 2 3 2 2 2 3?点 M 的坐标是 2 3 . 2d A B
1 3 2 0 3 2 5 1 2 29 .(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P x y
z 的坐标 x y z 满足的条件。 解:点 P x y z 到 A 、B 的
距离相等,则 x 3 2 y 3 2 z 1 2 x 1 2 y 0 2 z 5 2 化简整理,得
4 x 6 y 8 z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 x y z
满 足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0例2 如图,在正方体 ABCD A1
B1C1 D1 中, 1 E1 B A1 B1 D1F1 4 ,求 BE1 与 DF1 所
成的角的余弦值。 z 解:设正方体的棱长为1,如图建 D1 F1
C1 立空间直角坐标系 O xyz ,则 A1 E1 B1 3 B 1 1 0 E1 1 1 4 D y 1 O C D0 0 0 F1 0 , 1 . 4 A B 3 1x BE1 1 1 1 1 0 0 1 4 4例2 如图,在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, 1 E1 B A1 B1 D1F1 4 ,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。 z 1 1 D1 F1 DF1 0 ,1 0 0 0 0 ,1 . 4 4 C1 A1 E1 B1 1 1 15 BE1 DF1 0 0 1 1 4 4 16 17 17 D O C y BE1 DF1 . 4 4 15 A B BE DF1 16 15x
cos BE1 DF1 1 . BE1 DF1 17 17 17 4 4 练习二:正方体
A1B1C1D1,ABCD ,E、F分别是 C1CD1A1的中点, 求
AB EF 12求点 A到直线 EF的距离。用向量方法) D1 C1 F
A1 B1 E D C A B 练习三:如图 :直三棱柱 ABC A1 B1C1
底面 ABC 中,CA , CB ,1, BCA ,90 ,棱 AA 1,
2, M 、 oN 分别为 A 1 B1、 AA 1的中点,1 求 BN 的
长; C12 求 cos BA1 CB 1 的值; A 1 B1 M3 求证: A 1
B C 1 M 。 N C A B四、课堂小结: 1.基本知识: (1)
向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹
角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题时,可以
先建立直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助向量的直
角坐标运算法则进行计算或证明。 思考题:已知A(023、
B( 216 C 115 用向量方法求ABC的面积S。
范文三:两直线的夹角
三 两直线的夹角 7.10 点到直线的距离 一、选择题
21、若直线的斜率分别是方程的两根,则的夹角等于( ) 6x,x,1,0l,ll与l1221
0000A、 B、 C、 D、 15304560
,2、已知两直线,,其中为实数,当这两条直线的夹角在(0,)l:y,xl:ax,y,0a1212
内变化时,的取值范围是( )(2001 全国) a
33A、 B、 C、 D、 (,3)(,1):(1,3)(0,1)(1,3)33
l3、直线关于直线对称的直线的方程是( ) l:x,y,2,0l:3x,y,3,012
A、 B、 7x,y,220,0x,7y,22,0C、 D、 7x,y,22,03y,x,3,04、点到直线的距离是( )(99 全国) (0,5)y,2x
3555A、 B、 C、 D、 2225、直线关于点对称的直线L的方程是( ) 3x,y,4,0P(2,,1)
A、 B、 3x,y,10,03x,y,10,0C、 D、 x,3y,10,0x,3y,10,06、两平行直线的距离为( ) l:3x,4y,10和l:3x,4y,1512
A、2 B、1 C、3 D、4 7、两直线的夹角平分线方程是( ) l:4x,3y,1,0和l:12x,5y,13,012
A、或 B、 2x,16y,13,056x,7y,39,02x,16y,13,0
C、 D、 56x,7y,39,056x,7y,39,0
0158、把直线绕点逆时针旋转后,所得的直线L的方程是( ) x,y,3,1,0(1,3)
A、 B、 (2,3)x,y,2,0y,3xC、 D、 y,3x,3y,,3x
二、填空
229、方程表示两条直线,它们的夹角是 x,xy,6y,5y,1,0
0ll10、过点作与直线成的直线,则45l:x,y,3,0M(3,3)1
的方程为
k11、直线的交点在第二象限,则的取值范围是( ) kx,y,k,1和ky,x,2k
ll12、已知直线与直线平行且距离为2,则直线的方程是 3x,4y,1三、解答题
,BAC13、如图,如果,A为轴负半轴上一点,问A在何处时,有最大xB(0,6),C(0,2)
值,并求最大值。
l14、直线过点且被两平行线截得的线段长为l:3x,4y,7,0和l:3x,4y,8,0A(2,3)12
l32,试求直线的方程。
范文四:两直线的夹角
年级:_________班级:_________组号:_________姓名:_____________
2.5.1直线间的夹角
主备人:李秀丽 徐斗军 审核:高二数学组
一:目标与问题
学习目标:1.理解空间中 直线夹角的概念 ;
2.熟练掌握直线夹角的向量求法。
二、自学与尝试
请认真阅读教材 p43
页的内容,然后关上教材,独立完成以下内容。
三、探究与练习
1.设直线 m 的方向向量为(1,1,1),直线 n 的方向向量为(-2,2,-2),则 m,n 夹角 的余弦值为_____________.
2.如图,在棱长为 2的正方体 1111D C B A ABCD 中,求异面直线 1BA 和 AC 的夹角。若该正 方体棱长为 a
呢?
思考并总结:
四、小结与测评
1.如图,长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AB =AA 1=2, AD =1, E 为 CC 1的中点,则 A 1E 与 BD
所成角的余弦值为__________________
2.(2014·新课标Ⅱ理 ) 直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中,∠ BCA =90°, M 、 N 分别是 A 1B 1、 A 1C 1的中点, BC =CA =CC 1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 (
) A . 10B . 5C . 10D . 2
3. 在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中,若 AB =2BB 1,求 AB 1与
C 1B 所成角的大小。 链接高考 (2015,全国卷 1)
范文五:两直线的夹角
课题:
两条直线的夹角
教学目的:1、掌握两条直线夹角的概念,能推导并掌握夹角公式;
2、培养学生分类讨论的数学思想;
3、培养学生研究性学习的能力。
教学重点:两条直线的夹角公式
教学难点:夹角公式的推导
教学过程:
一、 设置问题情境,引入新课:
我们已经学习了与直线有关的一些概念,如直线的方向向量、法向量和直线的倾斜角、斜率,并能够根据条件选择写出相应的直线方程。反之亦然。
对于两条直线,重合、平行和垂直是比较特殊的位置关系。如何刻画一般情况下两条直线的位置关系呢?
引入课题:两条直线的夹角。
概念:(1)相交直线的夹角;(2)重合或平行直线的夹角。
显然,直线的夹角和直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率好象都有点关系。那么给你两条直线的方程,你能否推导出求两条直线的夹角公式呢?
二、 自主解决:
第一种情况:已知L1:a1x+b1y+c1=0(a1、b1不全为零),L2:a2x+b2y+c2=0(a2、b2不全为零),求L1与L2的夹角。
第二种情况:已知L1:y―y1=k1(x―x1),L2:y―y2=k2 (x―x2),求L1与L2的夹角。
让学生自己选择一种,在独立研究的基础上进行小组讨论。
第一种情况的注意点:向量的夹角并不等于直线的夹角。
第二种情况的注意点:倾斜角的差并不等于直线的夹角;直线的斜率是否存在。 公式一:cosα=|a1a2+b1b2|
a1+b1?a2+b22222
公式二:tanα=k2-k1 1+k1k2
应提醒学生注意公式推导过程中的分类讨论和公式适用的条件。
反思:(1)研究过程中要善于运用已有的知识和技能、数学思想;
(2)懂得分工、合作、交流、共享。
三、 知识应用:
[例1] 已知两条直线的方程分别是L1:3x+y+2=0,L2:2x-y-3=0,求L1与L2
的夹角α。
变式:若L2改为y=3呢?给为x=-2呢?
反思:(1)懂得选择合适的公式;(2)注意运用数形结合思想。
[例2] 已知直线L经过点P(-2,),与直线L0:x-y+2=0的夹角为
直线L的方程。
反思:利用斜率求解时要注意斜率不存在是否满足要求(夹角非900时应有两解)。
四、 学生总结,教师归纳:
(1) 两条直线的夹角的概念;两条直线的夹角公式。
(2) 在推导公式和应用公式过程中的体会。
五、 布置作业:练习册
补充题:(1) 已知直线L经过点P(0,3),与直线L0:y=2x+1的夹角为
直线L的方程。
教案说明:
1、如何在课堂教学中培养学生的研究性学习能力是教师面临的新课题。研究性学习的关键是培养学生的信息处理能力,通过营造模拟科学研究的情境,关注学生的创造性及主体性人格培养,重在学习过程而非研究结果。数学问题解决能力是数学的综合能力,是研究性学习能力在数学学科的具体表现。本节课运用“问题解决”课堂教学模式,力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程,激发了学生数学学习兴趣,让学生主动参与,能在独立思考的同时积极展开讨论,始终处于思考、尝试的动态活动之中,形成以学生为中心的研究性学习氛围。
2、在教材处理过程中,根据学生已有的知识准备和学生学习能力较强的特点,设计了两种不同情况下的直线夹角公式推导要求。教师以指导者的身份充分挖掘学生的学习潜能,在学习基础知识和基本技能的同时,培养学生的自主学习能力、合作学习能力和科学研究意识,在问题解决的同时,让学生体验到了数学学习的快乐。
π,求3π,求4
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