球中,摆线长度不可伸缩。子弹射入后开与摆球一起
A (2 m/s o,B (4 m/s 30 vC (7 m/s
D (8 m/s
2:一质点在力F=5m(5-2t) (SI)的作用下,从
质.当t=5s时,
55 Fdt,5m(5,2t)dt,mv,0,,o0
3:一小船质量为140kg,船头到船尾的长度为4m,静止在静中。现有一质量为60kg 人从船尾走到船头时,问
解: 设人相对于地面的速度为v,质量为m;船对于地面
取
由人和船构成的系统在水平方向上不受外力,系统在水
,,,mvMV0由水平方向的动量
MVv,所以: m mM,uvVV,,,人相对于
LLmt,,所以,人从船尾走到船头所
Lm则船头移动的距离为: xVtm,,,1.2
mM,
4、一块很长的木板,下面装有活动子,静
面上,质量为m A 和m B 的
相同,则木板将:C
A)向左运动 B)静止不动 C)向右运
mmAB
1 大学物理 质点动力学 130317
y 5、质量为m 的小在向心力的作用下,在水平面内作半径R、 ,v A 率为v 的匀速圆周动,小球自 A 点逆时针运动到 B
的半周内,动量的增量为:(B) Bx,, AA)2mvjB),2mvj, vB,,
c)2mviD),2mvi
例3、质量为2kg的质点在力 (SI) F,12ti
作用下,从静止出发,沿x轴正向作直线动。求前三
A,F,dr,12tvdt ,,
tttF12t2v,v,adt,0,dt,dt,3t 0,,,000m2 33234 ?A,12t,3tdt,36tdt,9t,729J,,00
I,F,dt,12tdt,mv,,
6、一陨石从地面高为h处由静止开始落向地面,
万
解:取心为原点,引力与矢径方向
, R(R,h)
7:质量为m的小球自高为y0处沿水平方向速率v0
跳起的大高度为y0 /2,水平速率为v0 /2,则碰撞过程中 y 1)地面对小球的垂直冲量的大为 ,, ,m yv2)对小球的水平
2 大学物理 质点动力学 130317
8.一个质点同时在几个力作用下的位移为: ,,,,rijkSI456()
其中个力为恒力 , FijkSI,,,,359()则此力在该位移过程
解:A=Fr,,
,,,,,,,(456)(359)ijkijk
,,,,,12255467()J
3 大学物理 质点动力学 130317
4 大学物理 质点动力学 130317
《大学物理CI》作业--No02 质点动力学
《
习题版权归西南交大理学院
《大学物理CI》作业
No.02 质点动力学
一、选择题
1(一质点在F 5m(5,2t)(SI)的作用下,t,0时从静
质点的质量。当t,5 s时,
[ ]
(A) 25m s (B) ,50m s (C) 0 (D)
50m s ,1,1,1
:设t,5 s时质点的速率为v,
5m,5,2t,dt mv,0 05
v 5,5,2t,dt 25t,5t2
05,50 0 选C
2(空中有气球,下连一绳梯,它们的质量共为M。在梯上站
球与人均相对面静止。 当人相对于绳以速度v 向上爬,气球的速度
mvMvmv(m,M)v(m,M)v (B) (C) (D) (E) m,MMmMm,M
:以气球(包括绳梯)和人为研究对象,所受力之和为
地球为参考系,设人向上爬时气球的速度V,方向向
)相
23(质量为m,0.5 kg的质点,在Oxy坐
(C) 4.5 J (D) -1.5 J
:根据质点动能定理有从t=2 s到t=4 s这段时间
1122 A mv4,mv222
据运动方程可得各时刻质点运动
v 于是从t=2 s到t=4 s这段间内,
111122A mv4,mv2 0.5 (52,42), 0.5 (52,22) 3(J)故B 2222 4(一质点几个外力同时作用下运动时,下述哪种说
[ ] (A) 质点的量改变时,
(B) 质点的动能不变时,质点的
(C) 外力的冲量是零,外力
(D) 外力的功为零,外力的
:A 不对。 动量是矢量,动能是标量。质点的
B 不对。 质点的速度方向变化,质点的动能变,但是
C 正确。 外力的冲量为零,动量不变;能不变,
D 对。 外力的功为零,动能
故选C
5(对功的概念有以下几种说法:
[ ] (1) 保守力作正功时,
(C)只有(2)是正确的 (D)(1)、(2)是正确的
解:(1)不对。A保 , Ep,A保 0时, Ep 0,
故选C
6(一个作直线动的物体,其速度v与时间t的关系曲线如
t4间外力做功为
[ ] (A)
(C) ;时刻t2t3间外力作的功为W2;时刻t3
W1 0,W2 0,W3 0 (D)
W1 0,W2 0,W3 0 解:根据质的动能定
t1~t2间,v不变, Ek 0,所以W1 0
t2~t3间,v减小, Ek 0,所以W2 0
t3~t4v增大, Ek 0,
故选C
7(关于机械
(A) 不受外力作用的系统,其动和机械
(B) 所受合外力为零,内力都是保守的系统,
(C) 不受外力,而内力都是保守力的系统,其动量和
(D) 外力对一个系统做的功为零,则该统的机械能
解:根据机械能守恒条件A外,A
(A) V0,2 V (B) 2 (V0,V) (C) 2 V,V0 (D)
2 (V,V0)
:设小球质量为m,碰撞后速度为V1,质量为M,
略外力作用,碰撞前后动量
mV0,MV mV1,MV2
1111222mV0,MV2 mV1,MV2 2222
(1)、(2)两式相除,可得
V1,V0 V,V2
为M >> m,
(4)式简化为
二、填空题 (3) (4) M M M V1 2V, 1, V0 m mm MMMM ,1, , mmmm 选C V1 2V,V0
1(一质量为1 kg的物体,于水平地面上,物体与地面之间的静摩擦系数 ,,,0.20,滑动摩擦系 ,,0.16,现对物体施一水平拉力F ,t+0.96 (SI),则2秒末物体的速
v ,______________
v I 0.89 (m/s) m
2(个相互作用的物体A和B,摩擦地在一条水平直线上运动,物体A的动量是时间的数,表达式为pA p0,bt,式中p0、b分别为正常数,t是时间。下列两种情况,试写出物体B的动量的时间函数达
(1) 开始
(2) 开始时,若B的动量为,p0,则pB2, 。 解:以A、B组成系统为研究象,则系统水平方向所受外力之和零,系统动量恒,即 pA,pB p0,bt,pB
(1)t,0时, B静止,则pA p0,pB 0;
t时刻,pA1 p0,bt,pB1待求。
p0 p0,bt,pB1
(2)t=0时,B的动量为,p0,即pB ,p0,
p0,p0 p0,bt,pB2
pB2 ,p0,bt
3(一人站在质量(连带船)为m1,300 kg的静止的船,他用F,100 N的恒拉一水平轻绳,绳的另端系在岸边的一棵树上,则船开始运后
三
则开始运动后
(2) 根据动能定理,在这段时间内拉力
A
11
mv2,0 300 12 150(J) 22
,1
4(图所示,质量m = 2 kg的物体静止开始,沿1 / 4圆弧从A滑到B,在B处速度的大小为v 6m s, 已知圆的半径R = 4m, 体从A到B的程中摩擦力对它所作的为 。 解:以B点为重力势能零点,由功能原理,摩擦作的
W
5(一质量为m=5kg的物体,在0到10秒 。 解:由图
11
mv2,mgR 2 62,2 9.8 4 ,42.4(J)22
4t,20
F(t)
20
50
0 t 5
5 t 10
5
(4t,20)dt mv
,0得5秒末速度为:
2 52,20 5
v5 30(m s,1)
5
10
5
20dt mv10,mv5得10
(m s,1)
v10
20 (10,5)
,v5 20,30 50
5
据质点的动能定理,10秒内变
112
A mv10,0 5 502 6250(J)
22
三、计算题
1(一条轻跨过摩擦可被忽略的轻滑轮,在绳的端挂一质量
有质量为m2的环。求当环相对于绳以恒定的加速a2沿绳向
于面的加速度各是多少,环与绳间的
:m1、m2受力如图所示,其中T为绳的张力,f
分别为m1、m2相对于地的加速度,竖向下为正
地球为参考系,分别对m1、m2和段轻绳应
m1g,T m1a1
m2g,f m2a2
f T
,1,,2, ,3,
1
f
a2,a1 (4) 又由
g
fa2
m2(m1,m2)g,m2a2
m1,m2m1a2,(m1,m2)g
m1,m2
(2g,a2)m1m2
m1,m2
T f
2(质量为M,1.5 kg的物体,用一根长为l,1.25 m的细绳悬挂在天花板上。今一质量为m,10 g子弹以v0 500 m/s的水平度
求: vv (1) 子弹穿出时
(2) 子弹在穿透过程中所
M
解:(1) 因子弹穿透时间极短,故可认为穿透程中物体未离开平衡位置。因此,作用于弹、物体组成的系统上的外力均在竖直方向,故系统在水平方向动量守恒。令子弹出物体的水平速度v 则由 mv0 mv,Mv 有体的平速
v
m10 10,3,1
v (v0,v) (500,30) 3.13(m s)
M1.5
v 2
T,Mg M由牛顿第二定律有 (物体作旋转运
l
动)
v 23.132
1.5 9.8,1.5 于是子弹刚穿出时绳中张力
T 26.5(N)
(2)设子弹在穿透过程中所受的冲力为f,v0方向为正
f t mv,mv0
f t 10 10,3 (30,500) ,4.7(N s)
中负号表示冲量方向与v0
3(图所示,劲度系数为k的弹,一端固定于墙上,另一端与一质量为m1的木块A相接,A又与质量为m2的木块B轻绳相连,个系统放在光滑水面上。然后以不的 力F向右m2,使m2自平衡位置由静止开始
绳的拉力T对m1所作的功,恒力F对m2所作的功。
F
k块A、B系统所受外力为零时的速度,以及此过程中 :设木块A、B系统所受
设绳的拉力T对m1和m2所作的功分别为AT1AT2,由于
相方向相反,而A和B的移相同,所以AT1 ,AT2。 设恒力Fm2作功为AF,A、B系统所合外力为零时速度为v,,簧在此过程中作功为Ak,对系统,由动能
1AF,Ak (m1,m2)v2,0(2) 2
1AF,AT2 m2v2,0 (3) 2
12F2
(4) 又弹力作功 AK ,kx1 , 22k
F2
(5) 外力作功 AF Fx1 , k
F(2m1,m2)F由以上各
,AT1 ,AT2 2k(m,m)k(m1,m2)12
大学物理实验3质点动力学
云
课: 大学理实验 学期: 2014-2015学年
专业: 学号: 姓名: 成绩:
实
一、实验目的
计机模拟水飞行的弹头击中位于一定高度的木块,根据木块飞
二、实验内容
1.根据上图、动量量守恒定律、运动学方程及相关数,证明各
g m +M d 2h m
?m vt ?x =m +M ??122.验
3.据实验程序,设不同的弹头质量(m )、弹头速(v ) 、木块质量(M ) 、台面高度(h ) 等参数,验证动量守恒
(1)将上述各参数记录入下表中:
(2)根据上述数据计算弹头击中木块前、整个系统
4.对实验结果进行简要讨论。
大学物理第2章质点动力学
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
任物体都保持静止或匀速直线运动状态,直到其他
它
二、牛顿第二定律
物所获得的加速度的大小与合外力的大小正比,
方
说明:
⑴ 物体同时受几个力f1,f2 fn的作时,合力f
=∑i=1+2+ +n 力的叠加原理
i=1n
⑵ 在直角坐标系中,牛顿方程
fx=max,fy=may,fz=maz。
⑶ 在圆周运动中,牛顿方程沿切向
ft=mat fn=man
⑷ 动量:物体质量m与运动速度的乘积,用
动
由质量是衡量,引入动量后,牛顿方程可写
d=0,d=常量,即物体的动量大小和方
此
三、牛顿第三定律:物体间的作用力和反用力大小
在同一直线上。
说:作用力和反作用力是属于同
四、国际单位制 量纲
基本量与基本单位
导出量与导出单位
五、常见的力
力
力基本类型:引力相互作用、电磁相互作用
按的性质来分,常见的力可分为引力、
六、牛顿运动定律的应用
用顿运动定律解题时一般可分为
(1) 隔离物体,受力分析。
(2) 建立坐标,列方程。
(3) 求解方程。
(4) 当力是变力时,用牛顿第二定律得微
例题
例2-1如下图所示,在倾角为30°的光滑面(固定
通滑轮相连,已知m1=3kg,m2=2kg,且滑轮和绳
一体的加速度a及绳子的张力FT(重力加
解 分别取m1和m2为研究对象,受力分析如上图。利用顿第二定律列
FT'-m1gsin30o=m1a
绳
代
例2-2 如图所示,长度为l的柔软细绳端固定于
端一个质量为m的小球。先使绳保持水平,球静止,
小
m
mg
解:v=ldα dt
牛
mgcosα=mat=m(切向) T-mgsinα=man=m(法向) dtl
把
gcosα·ldαdv=·v dtdt
约
对式积分,注意角度从0增大到α的时,速
gl?cosαdα=?vdv, glsinα=00αv12v 2
得
代牛顿方程的法向分量式,得绳
T=m+mgsinα=3mgsinα l
可出,当α=π2时,即小球运动到最低点
例2-3 质量为m的小球在水中由静止开下沉,设
其动速率成正比,即fτ=kv,其中k为比常数,水
球
y
解、小球受重力P、粘滞力fτ及水的浮力B的作用,
方
P-fτ-B=ma
即 mg-kv-B=ma=m
两边
-tmg-B由此求得:v=(1-em) kk
当t→∞时,v→
2.2 mg-B ------小球的终极速度,
一、质点和质点系的动量定理
1.冲量和质点动量变化定理
● 冲量:力的时间累积,即力对时间的积分,称为力的冲量。
=?fd tt1t2
● 质点动量变化定理
根
d==d
表,在dt时间内质点所受合力的冲量,于在这
量。
将
=?fdt=?d=2-1 t1p1t2p2
表,质点在一段时间内所受合力的冲量,于在这
量。称为质点动量变化定理。
应
在些过程中(如碰撞),作用力随时间剧变化,
f?=t2t1fdt
t2-t1=p-p1 =2t2-t1t2-t1
例 质量为m=3000kg的重锤,从高度h1=1.5m处自由落下,打击被
锻的工件后起的高度h2=0.1m。设作用时
均冲击力。
解:设竖直向上为正方向。
重与工件刚接触时的速度,等于从h1=1.5m
v1=-2gh1
重与工件作用?t=0.01s后,弹起的速度
速度。
v2=2gh2 以f代表在?t时内工件对 重锤的平均反冲力,按动量
理 (f-mg)?t=mv2-mv1
=mg(2
gh1+h2+1) ?t
重
=-=-3?103?9.8?(
2.质点系的
由
● 内力与外力
j
内力:质点系内各质点之的作用力叫内力。图中fij和fji是一对内力。根据牛顿第三律,由于它们大小相等向相反,所以ij+ji=0。由内
是对出现,所以质点系内所有内力的矢量
i,j(i≠j)∑fij=f12+f21+ +f23+f32+ =0 这是内力一个重要性质。
外:质点系以外的物体或场(如重力场)系统内
力。
F
i
● 质点系的动量
质系内所有质点的动量的矢量和称为质点系
=∑pi=∑mivi
ii
● 质点系中外力与动量的关系
根据牛顿第二定律
∵ =m=mdd =m = dtdt
又∵ F外=∑f=f1+f2+
i
∴ 外=
d dt
质点系动量变化定理
把
?t2
t1外dt=?d=1-1 p1p2
系
说:内力可以改变质点系内各质点的动量,但对系
例2-6 如图,一辆拉煤车以速率v=3m·s-1从煤
车内的煤为500kg。若使车厢的速率不变,应用多大
厢
vdm
解:用m代表在t时刻已落入
车
经dt时间又有质量为dm的煤
取m和dm作为质点系。取车厢行驶的
系
系
在dt时间内系统动量的增量
dP=(m+dm)v-mv
按质点系动量变化定理,注意到车
F=dPdm=v dtdt把v=3m·s-1和dt=500kg·s-1代入上式得:
F=3?500=1.5?103N
二、动量守恒定律
若
d=0, =常矢量 dt
表在惯性系中,当质点系不受外力作用或受外力
的量大小和方向都保持不变——
应
(1)合外力是指系统所受外力的矢量和。
(2)若合外力的矢量和不为零,但外力沿一方向
上
(3)在诸如碰撞、爆炸等问题中,由于冲
一
(4)动量守恒定律是自然界最重要、最普的定律之
物,也适用于原子、分子、光子等微观粒
例 如图,一颗质量为m的子弹以速度v沿平方向
质为M的物体,并留在物体中。设子弹从入物体到
求
解:取子弹和物体为质点系。
系
方
设
度为V。水平向右为坐标轴正向。 mv=(m+M)V, V=
当M→∞时,V→0
mv m+M
2.3 功、机械能和机械能守恒定律
一、功和功率
1.功
初时功的计算:W=FS 恒力的方向与
高时功的计算:W=FScosα 力与物体
(1)功的定义:作用于物体的力在物体位移方上的分量
(2)元功:作在质点上的力一般与质点的位置有关(如抛运动中,质点
在
的过程,可以认为力f的大小和方向 都不发生变化。 把f和dr的标量积称为f对质点 做的元功,用dW表
dW=?dr=fdrcoαs
(3)功的计算:
W=?b
a(L)?d=?ba(L)fcosα=?ba(L)ftds
式ft为切向分量,ds是与d
2.功率
力
平
瞬时率:当?t→0时,平均功率的极限值即为t时刻的瞬时功率,简
由
f?dr P==f?v=fvcosθ dt
瞬功率等于力在速度方向的投影和速度大
矢
3.常见力的功
① 力的功 质量为m的物体在地球表附近(重力加速度g变)从a经c
dW=?d=-?(dx+dy)=-mgdy
物
W=?-mgdy=-(mgyb-mgya) yayb
若体从a→d→b,重力的功仍然是上述结
只与始末位置有关。
② 弹力的功
弹性数为k的轻质弹水平放置,一端固定,一端系一小
原
=-kx
对位移dx的元功为
dW=?d=-kx?dx=-kxdx
小
b1212W=dW=-kxdx=-(kxb-kxa) ??a22
结
③ 保守力
某些(重力、弹力、万有引、静电力、分子力等),他们对物体做的功与径无关,只由物体的末位置决定。若物体沿任一闭合路运动一周,这些力做功为零,这类力称为
摩力等做的功与路径有关,称为非保
二、动能和质点的动能定理
1.动能和质点动能定理
● 质点的动能表达式:Ek=
● 质点的动能定理 若把看成是作用在质点上合力,则
ft=mdvds 由于 v=
W=?b
a(L)ftds=m?bdv1212ds=m?vdv=b-mva a(L)dta(L)22b
用Ek=12mv代表动能,则有 2
W=Ekb-Eka
即力对质点所做的功等于质点动能的增量,为质点动
(1)功与动能增量密相关。外力对物体做正功,物体能增大;外力对物体做功,物体动能减小;外力对物体不做功,物体动能
(2)功是过程量,动能是状态量。无论通过什过程做功,只要始两状态一定,
(3)动能与功有相同的单位,即焦耳(J)。但这
(4)凡是用动能变化理能解决的问题,原则上用牛顿二定律也能解决,但涉及置与速率关系方面问题,通常用动能变化定理比较
例2-12 用动能变化定理解例题2-2中小球的速率。
解:小球下落过程中,绳子的张力垂直于小球的运方向,因此
W=?m?d=mg?oαs=mg?lcoαsdα=mgslinα 0α
根
α= mglsin12mv 2
的
三、质点系动能变化定理
对
Wi=Eik-Eik o 式中Eik和Eik0分别代表点的末状态和初状态的动。 Wi是合力做的,它等于外力和内力对质点做功之
Wi=Wi外+Wi内
对
∑W
ii外+∑Wii内=∑Eik-∑Eik0 ii
所外力和所有力对整个质点系所做的功之和,等于系统
说明:在质点系中,力的矢量和等于零,但它们作在不同的质点上,各点的位移可能不
四、势能
保守做的功与路径无关,意味保守力的功只由系统的始、末状态决定。引入势能(Ep)的概念,系统在、末状态势能的差值表达了保守力所做功。并定义:保守力所做的功,等于系统势能
W
1. 引力和引力势能
质量别为m1和m2两个质点,m1作用在m2上的引
m1 r m2
引做功与路径无,只与质点的始末位置有。因此引力是保守。 与引力对应
Ep=-Gm1m2 r
引势能属于质点m1和m2所组成的系统。质点相距
2. 重力和重力势能
重
与力对应的势能是重力势能,重力势能就是面附近的
Ep=mgh
重势能属于物体和地球组成的系统所。通常
3. 弹性力和弹性势能
f
0 xa xb 上图所示,小球由xa移动到xb的程中,弹性力对它做了功。设簧的劲度系为k,小球在任一位置x时,弹性f=-kx。球由xa移动到xb的过程中,弹性力它
W=?fdx=?(-kx)dx=xaxaxbxb1212kxa-kxb 22
可,弹性力的与弹簧伸长的路径无关,只决定于弹的始、末伸长
与
把
五、功能原理 机械能守恒定律
若点系在运动过程中只有保守内力做功,而力和非保守
E=E0=常量
表:在只有守内力做功的过程中,质点系的机械保持不变。
例 用机械能守恒定律重解例2-2。
解:在小球下落过中,绳的张力不做功,只重力做功。重力是守力,因此机
根
小
2.4 质点的角动量和角
矢量乘法:
1.乘:乘号用个点表示,两个矢量点乘结为一个标量,称为
C量值:C=ABcosα α为方向
在
2.叉乘:乘号用“×”来表示,两个矢量叉结果为一
如:?= 、和均为矢量。
的值:C=ABsinα α为方向与
的
在
而
若 =k
则
一、质点的角动量
如上,某质点质量为m,对于0点的位置矢量为,动量为m。 将质点的位置矢量和动量量积,定义为质点对于0
角
角量的方向:当θ<180°时,按
角动量又叫动量矩。
如
按
动量方垂直于圆周平面,大小 为: l=mrv=mr2ω m 其中ω=vr为圆运的角
注:在定义一个质点的角动量时,必明确指
二、质点角动量变化定理
惯
用点对于0点的位置矢量叉乘
?f=?d dt
因
?=?dddd(?)d+?=?+?== dtdtdtdtdt
矢
=? 上式即为
=d dt
力
? ?为与小于180°的夹角。 M=rfsin
若= 0,则d= 0,dt= 常矢量
表明:在惯性系中当质不受力,或对某一固定点所受合力为零时,这个质点对该固点的角动量的大小和向都保持不变——叫角动量守恒
例2-17 证关于行星运动的开普勒第二定律:行星相对阳的位置矢量
θ
行星在力作用下,绕太阳运动。设行星位矢量为在dt时间内扫过的面积为dS。由于太阳作用在行星上的力对太阳的力矩为零,所以行太阳的角动量大小和方向都不变。角动量的方向不变沿平面运动轨道动,而且轨道平面的方位不变;角动量的大不
l=rmvsinθ==常量
其
dS=常量 dt
即星的位置矢量在相等的时间内扫
三、质点系角动量变化定律和角
1.质点系的角动量
质点系的角动量
=∑li=∑?mivi 为
ii
2.质点系角动量变化定理
外 = d dt
质系角动量变化定理化率,等于这个质点所受对
3.角动量守恒定律
若
角量守恒定外力矩等于零时,这个质点系对该固点的角动量
例2-18 在光滑水平面
上
簧,端各系一质量为m 小球,开始时弹簧处于然 长l0,两小球静止。今 时打击两小球,让们
直于簧轴线方向得等值反向的初速度v0。果在以后的运动过中 弹簧的最
解:弹簧和两个小作系统。因系统在垂直方向受为零,水平方向不受外,则质心C点固定
初
L0=l0lmv0+0mv0=l0mv0 22
弹达到最大长2l0时,小球只能沿垂直于弹簧轴线方运动,设此时
L=2l02lmv+0=2l0mv 22
由角动量守恒L0=L,得v=v02。系统
121212121mv0+mv0=mv+mv+k(2l0-l0)2 22222
把v=v02代入上式,整理后得到初速度
v0=
2kl0 3m
大学物理质点动力学总结
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大学物理质点动
一、
1(用铁锤把质量很小的钉子敲入木,设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正。在铁锤敲打第一次时,能把钉子敲入1.00cm。如果铁第二次敲打的速与第一次完全相同,
0.41cm; 0.50cm; 0.73cm; 1.00cm。 答案:A
12
解: f??kxAf??Ek??mv0
2
x11
Af??fdx???kxdx??kx12
02
1
??2?A?mv0f??Ek??
2
??v0v0
?
fdx??
?
x2
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x1
kxdx?
1212
kx1?kx22
A?f?Af
121212
kx1?
kx2??kx1222
x2?2x1
?x2?x2?x1?1)x1?0.41x1?0.41cm
2( 一轻绳跨过一定滑轮,两各系一重物,它们的质量分别为m1和m2,且m1?m,此时系统的速度大小为a,今用一竖直向下恒力F?m1g替m1,系统的
a??a; a??a; a??a; 条
解:m1g?T?m1a T?m2g?m2a
g?a
m?m2a?g
m1?m2
F1?m2g?m2a? F1?m1g
2m1
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?a
m121
a??
m1?m2
g,所以,a??a。 m2
3(对质点组有以
质点组总动量的变与内力无关;质点组总动的改变与保守内力无关;质点组机能的改变
]
只有是正确的; 、是正确的; 、是正
,(如所示,系置于以g/2加速度上升的升降内,A、B两物块质量均为m,A所处桌面是水平的,绳子和定滑轮质量略不计。 若忽略一切摩,则绳中张力为 [ ] mg;mg/2;2mg;3mg/4。 若A与桌面间擦
3?mg/4;
、是
a?
g
2
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3mg/4;mg/4。 案:D;C。 解:力
A:T?ma?,N?mg?ma mg?T?ma?ma?
m?T?T,2T?m,
a?
g2
T?
m3?mg a4
B:mg?T??m?a??a? ?, A:T??f?ma f??N N?mg?ma
a?
g2
N?m?g?a??
3mg
?mg?T??ma??ma
?
??T??N?ma?
?m?g?a??T??ma?
3333?
????,gm?T?T??mg2T?mg1??,T????1???mg ?3
224?T???mg?ma?2
?2
5( 沙子从h = 0.8m高处落到3m/s速度水平向右运动的送带
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传送带予沙子的作用力
与水平夹角53?向下; 与水平夹角53?向上; 与水平夹角37?向上; 与
v解:
h?0.8m0?
??????
v1?v0??v0j,v2?v?vi ??????
I?
m?v?m?v2?v1??m?vi?v0j?
??v0
??53?向上
tan??
v04???,v3
二、
1(如图,已知水深为1.5m,水面至街道的距离为5m。把水从面积50m2的地下室
解:该功数值上等于一过程中重力做的
dAP???Sgzdz
o
AP????Sgzdz???Sg?zdz
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z1
z1
z2z2
z1z
?1?103?50?9.8?zdz??4.23?10
65.0
6.5
z2
抽水所需的功A??AP?4.23?106J
2(质量为m的质点在变,=F0 作用下沿ox轴作直线运。若t =,时,点在坐标原点,速度为v0,则质点运
FF0?213?12?d2xFt?ktvt?答
解: F?F0?1?kt?
t?0,x?0,v?v0
d2xd2xF0
?1?kt? F?ma?m2,所以,微
dvF0
??1?kt?dtm
dv?
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F0
?1?kt?m
?
v
v0
dv???
F0
?1?kt?dt 0m
t
所以,速度为:v?v0?
F0?12?
?t?kt? m?2?
F?1dx??v0?0?t?kt2?dtm?2?
?
x
dx??[v0?
t
F01
]dt m2
运动
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x?v0t?
F0?213?
?t?kt?m?3?
3(量为m的子弹,以水平速度v0射入于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱,子弹在砂箱中前进离l后停在砂箱中,同时砂向前运动的距离为S,此后子弹与砂箱一起
mMv02Mm2
答案:f?;。 ?E?v0
2
22
解:设共同运动的
mmv0?v,v?v0
m?n
v
v
子弹停止时相对地面移动距
?121212?m2
?f?mv?mv0?mv0??1?
222??
2
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1212?11mMv0
?f?mv0
l?s2222
能量损失
2
121121m2v01Mm22
?E?mv0?v?mv0??v0
2222M?m2M?m
??
4( 如图示,质量m =2.0kg的质点,受合力F?12ti 的
??
已知t =,时x0=0,v0=0,则从t = 0到t =s这段时间内,力F的
质点的末速度大小为v? 。
??F?12ti解:m?2kgdvF
a???6t
dtm
v
t
v0?0
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t?0,
x0?0,v?3t2
?dv??6t
v0
t1?0,t2?3,v1?v0?0v2?3?9?27m/s;I?m?v?2?27?54N?s
5(一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m,用手推
把弹簧压缩
到离平衡位置为x1 = 0.02m,如图所示。放手后,物体水平面移动距离x= 0.1m后停止。求物体与平面间的滑动
1
解:在x1处,物体和弹簧分离,在物体整个运动过程中,性力
2
kx1212
?0.??mgx2,根
2mgx22
三、
1( 图中A为定滑轮,B为滑轮,三个物体m1=200g,m2=100g,m3=50g,滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略计。求:注意m1和动滑轮在同
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对动滑轮有相
每个物体的加速度; 两根绳子的张
答案:a1?g,a2?g,a3?g;
555
B
2
T2
T1?0.16g?1.568N,T2?0.08g?0.784N。
解:设两根绳子的张力分
?m2、m3相对B轮
m3
m1、m2、m3的加速
m1g?T1?m1a1;
??a1) m2g?T2?m2a2?m2;T2?T1?0 m3g?T3?m3?m3: a?0,
变
1.圆
a?a?x?a?a?v?,
匀速圆周运
变速圆
R,
a??const,
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v
v?const,
dv,dt
S?vt
a??
t
v?ds?S?S?t?
dt
dv?a?dt
v0
?dv??a?dtv?v?t?
2.一般曲线运动,叠加理 基本
1. 已知:r?r?t? 求: v, . 已知:a
???
?a,?
?r?求导.
?
?
or:v
求: r?r?t??积分.
注意积分技
tv
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dv
a?const,a?,adt?dv,?adt??dv,v?v0?a?t?t0?
dtt0v0
??
1).2).
3).
a?a?t?,
a?a?v?,
dva?t??,
dt
dva?v??,
dt
a?t?dt?dv,
dv
?dt,avv
t0
?a?t?dt??dv,
v0
t
tv
v?v0??a?t?dt
t0
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t
dv
??dt?avv0t0
4).
a?a?x?,
dvdvdxdv
a?x????v,
dtdxdtdx
x
a?x?dx?vdv
x0
?a?x?dx??vdv
v0
xv
1?v2?v2??a?x?dx 0?
2
x0
基本方法:运用叠加原
第二章
研究对象:质点运
因果律——确定论
? 有这样的动力 ?产生这样
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叠加、微积分 研究内容: 一、基本
三、动能定理、功能原
律
四、动量定理、
章以牛顿三定律为依,通过数学演释的方法,得到动能、量、角动量的概念和质点运动的有关定理及守恒定律,这一切构成动学内容。 一、基本概念:
1(定义:物体之间的相互作用(三要素:大小、方向、作
2)瞬时
?const F??F?,F??F?,,F?
??
3)独立性:F??Fi 个
4(作用:1)产生加速
1)重力)弹性力
3)
二、基本规律:牛顿三定律 1.内容:
牛一律:惯性定律 牛
核心
矢量性:Fn?man Ft?matFx?max Fy?may Fz 瞬时性:
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F??maz
?const a?
?const
F??ma?
代数方程
F??F? F??F? F??F?
F???m?d2? dv
rdt F?mdt
微
牛三律:作用反作用定律.应
原则上可解决一切质
方法:
动力学两类问题:1) 已
F?
?求导
2) 已知力F?,求
加速度是联结运动学和动力
通过例题体会解题的基本方,基本步骤,两类问的
r?kt2?i?bt?j 求F?
解:v??dr
??dt
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?2kti?bj
a??dv??2k?i
F?dt?ma?
?2km?i
运动结果 ? 运
以上属第一类问题,下面通过例
例:m?2kg F??4?i?24t2?
j t?0,
v0?0,x0?0 y0?0, 求运动方程析:
第
步骤:1.取
2.选坐标系:直角坐标系 .受力分析
4.理论依据 ?F??ma?
?
??a?dv?dt ??
v?
dxdt ?叠加原理
5.写分量式 .积分求
解:F???m
dv
F??a??dv? a??2?i?12t2?dt
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mdtj
advx
?vx?
tx?2?dt
0dvx?02dt vx?2t a??12t2
dvy
?vy?
t2y?dt
0dvy?0?12tdt vy??4t vdxdx
?x?
tx?dt t?dt
0dx?02td tx?t2
vdyytdt?4t3
?
dydt
?0dy??
0?4t3y? dt y??t4
运动方程:??x?t ?y??t
r??t2?i?t4?
4j
讨论:轨迹方程 y??x y
速度公式 ??vx
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?2t?v3y
??4t
x 加速度公式 ?
?ax?2?ay??12
3(范围
宏观、低速、惯性系 强调:矢量性、微积分应
用
地面: 小球 静止 ?
F??0 a?
?0 惯
性系
车厢: 小
F??0 a?
?0 非惯性系 相惯性系作加速运动的参照系—非性系 在非惯性系中牛二律不立。要使用二律须加
大小:ma
方向:?a?
作用
惯性力 ?假想力,没有施力者
三(动能定理、功能原理、机械能守恒定律
1(动能定
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?定义:
A?F???r??Fcos??r
元功:dA?F??dr?
?Fcos?dr
Fcos?dr
?说明: ?功是标量,只有大,无方向 功有正负,
???
?2
A?0 F做功为零
mmg M F
摩擦力做功
?合力的功=F??F??
1?F2?F3?A??F??dr???dr
??F???
??dr?
1?dr?F2???A1?A2??
A?
?Ai
iv.作用力的功?反作用力的功
m: 受力 mg 位移 h mgh M:受
2)动能:EK?
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12
mv?定义:因运动而具
?说明:
? 动能是标量 m,v相同,EK相同, v有相对性,EK有
?功与动能区别 EKA
态函数 过程量
做功的本领 能变化的量度) 质点
F???mdv
dt
Fdvxdvdxdv
x?mdt?mxdxdt?mvxxdx
Fdx?mv?12
?xxdvx?d??2
mvx??
同理: F?1?
ydy?d??2mv2y??
F?12?
zdz?d??2
mvz??
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即 F?dr?
?d?dEK 微
F?
?dr?
?
12mv212
2?2
mv1 积分式 说明:?
功?, ?EK?;反之亦然
?空间累积效应,只与始末状态
2.保守力的功、势能 1)重力的功:
2)弹力的功: )引力的功:
非保守力:做功与径有关 保守力
4)势能
?定义:由具有相互作的物体之间的相
重力、弹力、引、静电力、分子力均为保力,相关势能为:重力势能、弹势能、
?属于系统 ?相对
形式:mgh
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12
kx2
?GMmr2
零点:h?0 x?0 r?? ? A保??
保守力的功 = 相关势能增量
数 做功的本领,能量的概念比力的概
3(质点系的
?A
内
?EK2?EK1 ?A内
??A保内
?
?A
非保内
?A
保内
?? ?A外
??A
非保内
??
E?EK?EP 机械能
?A外
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??A
非保内
?E2?E1 功能原理
说明:?
?实质:质点系动能
4(机械
条件:
?A外
??A
非保内
?0
结论:E2?E1?const 注意与中学区别。
例:求M从B?C, A重 A弹、Ec动 解:研究对象:m
受力
确定系统: 势能
A2A重???mglsin?
A??2?0)??1
弹02
k2
A弹?0 why,
理论依据:A外+A非保内=0 E=const 初态:E1?EK1?EP1?0?0?0 末态:E2?EK2?EP2
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?1mv2?mglsin??1
k
ECK
?11
2mv2?mglsin??2
k 四( 动量定理、
力的瞬时
F??mdv
?dt
力的时间
?
F?dt?
?
v2
mdv?v?mv??2?mv1
1
冲量 动量 1(冲量和动量
1)冲
F?
?dt 矢量
2)动量 mv?
物体在一定运动状态下所具有的
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精品文档 动所能产生的机
矢量 相对性
2(动量定理: F?dt?mdv?
?d?mv?? 微分形式 ?
F?
dt?mv??
2?mv1 积分形式
1)
??Fxdt?mvx2?mvx
1
分量
??Fydt?mvy2?mv?
y1
???
Fz
dt?mvz2?mvz1
3(动量
?
F?
?0
?
m?
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ivi?const
内力>>外力
注意使
??F?
?0
??F
x
?0
?miv
ix
?const
刚体定轴
运动
质点: 刚体:
x,?x,v?dxdvd2x
dt,a?dt?dt2线量
?,??,??d?dt,??d?d2?
dt?dt
2角量
矢量.一维用正负表
正负表示方向.
运动
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x?x?t?
第2章质点
2-1 如图所示,电作加速度大小为a运动。物体质量为m,簧的弹性系数为k,?求图示三种情况下物体所受电梯支持力电梯所受的弹簧
N?m
mg?N?ma
N?m
F?mg?ma
F?m
22- 如图所示,质量为10kg物体,?所受拉力为变
止。该物体与地面的摩擦系数为?s?0.20,滑
解:最大静摩擦力fmax??smg?20
F?fmax,t?0
F??mg?ma,a?F??mg?0.3t2?1.1 m
t?1s时,a?1.4
?a?vtdv2,dv?adt,?dv??0.3t?1.1dt 00dt
v?0.1t3?1.1t
t?1s时,v?1.2
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t?02- 一质点质量为2.0kg,在Oxy平面内运动,?其所受
????时,速度v0?2j,矢r0?2i。求:t?1s时,
t?1s时质点的速度和位
ax?32t,v0x?0,x0?2
t?vx
032t3dvx??tdt,vx? 022
tt?x
2t4t3dx??vxdt??dt,x??0028
ay?t,v0y?2,y0?0
?
?vy2t2dvy?tdt,vy??02?ty
0t3t2dy??vydt??dt,y??2t 0026tt
t?1s时,a??3??i?j
??1?5?t2?t3?i?j,t?1s时,v?i?j v?2222
?t3??17?13?t4?i?j r?i?j,t?1s时,r?8686
2- 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹的重力,:子弹射入沙后,速度随时间化的关系;子弹射入沙土的最大深
解:依题意f??kv,
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?tvdvtdvkvk??,???dt,解得:v?v0em a?v0v0dtmmk
根据动量
0dt???kdx?0?mv0,解得: x?0xmv0 k
即子弹射入沙土的最大深
2- 一悬挂软梯的气总质量为M,软梯上站着一个质量为m人,共同在气球受浮力F作用下加速上升。若该人相对
解:设气球开始时的加速度a,当人相对软梯以加
当人相对软梯以加速度am上升时,有:
?F?Mg?T?Ma? ???T?mg?m
解以上两式可得:F?g?a??mam??
开始时刻:F?g?a??
两种式比较可知,a??a,
2- 如图所示,在一列以加速a行驶的车厢上装有倾角??30的斜面,并斜面上放一物体,已物体与斜面间的最大静摩擦系数?S?0.2,欲使物体相对斜止,则车厢的加速度应有怎样限
解:静摩擦力满足:0?f??sN
当最大静摩擦力的向沿斜面向上
?Nsin???sNcos??mamin ?Ncos???Nsin??mgs?
解以上两式得:amin?g?3.39 cos???ssin?
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当最大静摩擦力的方向沿斜面
?Nsin???sNcos??mamin ?Ncos???Nsin??mgs?
解以上两式得:amin?g?8.80 cos???ssin?
22欲使物体相对斜面静止,则
2- 棒球质量为0.14kg,用棒击打棒球的力随时间的变关系如图所示。棒被击打前后速度增量大为70 m/s,求力的
解:根据面积法可
I?1?0.08?Fmax?0.04Fmax
根据动量定理,有I?mv2?mv1?m?v
代入数据解得:Fmax?245
2- 子弹在枪筒中前进时受到的
时的速度为300 m/s,设子弹飞出枪口时力刚好为零,求子弹的质量。 解:子弹飞
I?4?105t?0,t0?3.75?10?3?t0
0Fdt?500t0?22?105t0?0.94
根据动量定理I?mv?mv0?mv,计算得
m?I?3.1?10?3?kg??3.1 v
2- 两个质量均为m
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道的平板车,平板车质量为M。当他们从上沿相同方向跳下后,车获得了一定的速度。设两个跳下时相对于车的水平速度均为u。试比较两个人同时跳下两个人依次跳这两种情况下,车的速度的大小。 解:两人同时跳
在地面参考系中,设平板车的末速度为v,两个人跳下时相对地面的速度为v?u
v?2mu
一个人跳下,另
设第一个人跳下车后车
0?v0?m
v0?mu M?2m
设另一个再跳下车后车速度为v,以车
v0?Mv?m
v?v0?mumm?u M?mM?mM?2m
2-10 质量为m的人拿着质量为m0的物体跳远,设起跳速度为v0,仰角为?,到最高点时,此人将手中的物体以相对速度u水平后抛出,问此人的跳远成绩因此而增多少, 解:人不向后抛出物体所能跳的距为x?v0t0cos?,式中t0为
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222vsin?cos?v0sin2? x?v0t0cos??0?gg
大学物
第一篇
质点
一、描述物体运动
考系:由于自然界体的运动是绝对的,只能在相对的义上讨论运动,因此,需要引入参考系,为定量描述体的运动又
理型:真实的物理世界是非常复杂的,在具体处理时必须分析各种因素对所涉及问题的影响,忽次要因素,突出主要因素,提出理想化模型,质点和刚体是我们在物学中遇到的最初的个模型,以后我们还遇许多其他理想化模型。 质点适用的范
1.物体自身的线度l远小于物体运动
果一个物体在运动,上述两个条件一个也不满足,我可以把这个物体看成是由许多个都能满第一个条件
果在所讨论的问题中,体的形状及其在空间的方位取向是不忽略的,而物体的小形变是可以忽略不计的,则须引入刚模型,刚体是
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初始条件:指开始计时时刻物体
动物体的初始状。在建立了物体的运动方程之后,若要预知未来某个时物体的位置及其运动速度,还必须知道某个已知时
二、描述质点运动和运
位置矢量:坐标原点引向质点所在的有向线段,通常用r表示,简称位
r?xi?yi?zk
在自然
r?r
在平面极
r?rr0
位移:由超始位置指终止位置的有向线
?r?r2?r1
位移是矢量,只与始、末位置关,与质点运动的轨迹质点
程是质点在空间运动经历的轨迹的长度,恒为正,用符?s表示。路程的大小与质点运动的轨迹关有关,与点在其往返
?r??s
但是在?t?0时,有
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dr?ds
速度v与
平均速度
?
平均速率
?r?t
?s?
?t
平均速
?r?s??
?t?t
质点在t时刻
v?
质点在t
drdt
v?
则
ds
dt
v?
在直角
drds??vdtdt
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v?
式中vx?
dxdydz
i?j?k?vxi?vyj?vzkdtdtdt
dxdydz
,分别称为速度在x,y轴,z轴的分
dtdtdt
在自然
v?v?0
式中
?0是轨道切线方
位矢r和速度v是描述质点机
dvd2ra??2
dtdt
加速度是描述质点度变化率的物理
dvydvxdvzd2xd2yd2z
a?i?j?k?2i?2j?2k?axi?ayj?azk
dtdtdtdtdtdt
dvyd2ydvxd2xdvzd2z
式中ax??, ay??,az??2,分别称为加速度在
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dtdtdtdtdtdt
x轴、y轴,z轴的分量。 在自然坐标中
dvv2
a??0?n0?ax?an
dt?
dvv2
n0,是加速度a是轨道切方向和法线方向的分量。
dt?
3、运动学中
已知运动方程求质点的速度、加速,这类问题主要是利用求导的方
x?x
则质点的位移、速度、加速度分别为
dxdvd2x
?x?x2?x1;v?;a??2
dtdtdt
已知质点
a?a
以及初始条件,建立点的运动方程,这
设初始条件为:t=0时,v?v0,x?x0 若a?a,则因a?
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v0
v
t
dv, dt
即
v?v0??0adt
若a?a,
v
t
dv
?a, dt
v0
tdv
??dt,a0
求出t??
v
v0
dv
,再解出v?v,即可求
若a?a,
dv
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?a,
?
4、曲线运动中的两类
V
V0
vdv??xadx
x
若以抛出点为原点,水平前方向为x轴正向,向上为y
x?v0cosθt??
?y?vsin?t?1gt2
??2
速度
?vx?v0cos??
?vy?v0sin??gt
在最高点时vy?0,故
v0sin?tH?
g
第二章 质点动力学
2,1一物体从一倾角为30?的斜面底部以初速v0=10m?s?1向斜面上方冲,到最高点后又沿斜面滑下,当滑到底部时率v=7m?s?1,求该物体与斜面间的
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数。
解:物体与斜面间
物体向斜面上方冲又回到斜面底
121
mv?mv02??f?2s22
物体向斜面上方冲到最高点
1
0?mv02??f?s?mgh??f?s?mgssin30?
2
?s?
把式代
2
u?
2,2如本题图,一质为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点,然后沿圆弧ADCB下滑,试求小球在C点时的角度和对圆弧表
解:小球在动的过程中受到重力G轨道对它的支持力T.取图所示
2
20.198
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??
?dvFt??mgsin??m
dt
??v2Fn?T?mgcos??m2
R
由v?
dsrd?rd??,得dt?,代
习题2,2图
并据小球从点A运动到
?
v0
vdv???d?
90
?
得v?则小球在点C的角速度为
v
r
?,?mv2
由式得 T??mgcos??3mgcos?
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r
由此可得小球对园
?
T'??T??3mgcos?,方向与en反向
2,3如本题图,一倾角为? 的斜面置于光滑桌面上,斜面
者间摩擦系数为?,为木块相对斜面静止,求面的
解:
a1?asin?,a2?acos??N?mgcos??ma1?masin?mgsin??uN?m?a2
macos?
?2?
m
?u?得,g?a
gg
?amin??
1?utg???u得,g?a
gg
?amax??
1?utg?
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gg??a?1?utg?1?utg?
习题2-3图
2,4如本题图,A、B两物体质量均为m,用质量不的滑轮和细绳连接,并不计摩擦,则A和B的加速度小各为多少 。 解:如图由受力分析
mg?TA?maATB?mg?maB2aA?aBTA?2TB
1
解得aA,,g
52aB,,g
5
aA
aB
习题2-4图
2,5如本
运动,求物体B与桌
解:分别对物体和滑受力分析,由牛
mAg?FT?mAaF'T1?Ff?mBa'2a?a'FT'?2FT1mA?mB?mFT,FT'F'T1?FT1解得Ff?
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?5?
?6??7?
习题2,5图
mg?a
?7.2N
2
2,6质量为M的三角木块,放在光滑的水平桌面上,另质量为m的木块放在斜面上。如果所有接面的摩擦可忽略不计,求M的加速度和m相对M的
速度。
?,则 解:m相对M的
??am?cos?,amy??am?sin?, amx
在水
??amx?aMxamx
??aMx??am?cos??aM?amx?amx
在竖
习题2-6图
??amyamy
?sin??amy?am
由牛顿定
?cos??maM?Nsin??mamx??mam
?sin?mg?Ncos??mamy?mamNsin??MaM
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解得aM?
mgsin?cos?gsin?
a,, m22
M?msin?M?msin?
2,7在一只半径为R的半球碗内,有一粒质量为m小钢
水平面内沿碗内壁匀速圆周运动
解:取钢球为隔离体,受分析如图所示,在
Fsin??man?mR?2sin?Fcos??mgcos??/R
解得钢球距
h?R?
g?2
2,8光滑的水平面上放置一半径R的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,摩擦系数为μ。物体初速率为v0,求:t时刻物体的率;当物体速率v0减少到v0/2,物体所经历的时间及经过的路
解:设物体质量为m,取图示的自然
v2
FN?man?m2
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RFf??mat??mFf?uFN
v2dv
由上三式可
Rdt对式积分
0t
dvdt
Rvdvu?v0v2
?v?
Rv0
R?v0?t
?
Rv0
可得物体所
R?v0?t
当物体速率从v0减少到v0/2时,由上式?v
t??
经过
R v0?
s??vdt,?
t?t?
Rv0R
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dt,ln2
R?v0?t?
2,9从实验知道,当物体速度
的阻力正比于物体的
设其比例常数为k。将质量为m
速度v0抛出。 试证明
?tmg?mt
v??v0em
k
k
k
证明物体将达到
mv0m2gkvH??ln
kkmg
证明到达最大
tH?
证明:由牛
kvm
ln kmg
dv
-mg-kv=m,
dt
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?
t
dt??
?mdvv0mg?kv
v
m
t?tmmg?kv0mg?m
?t?ln,v??v0ek
kmg?kvk
dvmvdv
-mg-kv=mv,dx??
dxmg?kv
y
v
令mg?kv?u,du?kdv
xkmgkmgdumgdu
dx??mdu?,?dx??
0mg?kv0mumu
mv0m2gkv?x??ln将已知条件y,,
b
?0.4m?1,v?0.1v0代入上式得,m
mv
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ln,5.76mbv0
2,11一物体自地球表面速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻的值为f,,kmv2,其中k为常量,m为物质量。试求:该物体能上升高度;物体返回地面时速度的
解:分别对物体上抛和下
-mg-kmv2=m
?
y
dy???
v
v0
dvmvdv
,,dtdyvdvg?kv2
1g?kv2
?y??ln2
2kg?kv0
?物体达到最高点时,v,0,故g?kv021
h=ymax,ln
2kg下落过程中,-mg+kmv2=m
dvmvdv
,dtdy
?
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h
dy???
v
vdv
g,kv2
2,12长为60cm的绳子悬挂在
为1kg的小球,已
kv20,1/2
?v=v01?
g
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