(1)求当b =0时直线与
(2)求b 的取值范围; (3)求证:?COF 的面积为定值;
(4)当?COF 为等三角形时, 抛物线上否存在点M , 满足+=,
解:
?y 2=4x (1) 由?得两交坐分别
?y =2x
当y ≥0时, 抛物线y 2=4x 化为y =2x , 根
4=x 2
331
01-1=3
?y 2=4x (2) 由?得 (2x +b ) 2-4x =0, 即4x 2+(4b -4) x +b 2=0, ?y =2x +b
因为抛物线与直线交于
即16(b -1) -16b >0, 解得 b
(3) 设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 容易求得F (1, 0) ,
由(2)可得, x 1+x 2=1-b , y 1+y 2=2(x 1+x 2) +2b =2,
故中点C
所以S ?COF =221. 21-b , 1) , 211OF ?1=(定值). 22
(4) 设存在符
当CF ⊥OF 时, CF =OF =1, ?COF 为等腰三角形, 且C (1, 1) FA +FB =2FC , FC =(0, 1) , 设M (1212y 0, y 0) , 则=(1-y 0, -y 0) 44
?12?1-y 0=0 依题意, 2=, 得?, 所以y 0=-2, 即M (1, -2) . 4??-y 0=2
当CO =CF 时, ?COF 为等三角
21, 1) , 2
?12?1-y 0=-1 同
综上可知, 抛物线上存在点M (1, -2) 满足条件.
高三抛物线例题
2y,2x,b 已知抛物的焦点F,线交
中点为,是坐
(1)求当时直线与抛物线所
(2)求的取值范围; (3)求
(4)当为等腰三角形时,抛物线是否存点M,满
出M的坐标,若
解:
2,y,4x(0,0)(1,2)(1) 由得
2y,0 当时,抛物化为,
1S,(2x)dx,S,,0 34112,x,,1033
2,y,4x222(2) 由得 ,
因为抛物线与直线交于
122b, 即,解得 . 16(b,1),16b,02
F(1,0)(3) 设,,容易
1,b
11,,1, 所(
M(4) 设存在
(1,1) 当CF,OF时,CF,OF,1, ,COF为等腰三角形,且C
1122FC,(0,1) , , 设,
1,21,y,0,0M(1,,2) 依题, ,
,,y,20,
11CO,CF,COFC 当时, 为腰三
1,21,y,,1,0 同理可得, ,无解. 4,
,,y,20,
M(1,,2) 上
抛物线经典例题
- 1 - - 1 -
抛物线习题精选精讲
(1)抛物线——
椭圆与双线都有两种义方法,可抛物线有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等所点 的集合 . 其离心 e=1,这它既与椭圆、双线
【例 1】 P 为抛
=上任一点, F 为焦点,则以 PF
. A 相交 . B
(2)焦点弦——
有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦关 . 解并握这个
【例 2】 过抛
p px y =的点 F 作直线交抛
(1) 12AB x x p =++ (2)
p
BF AF 211=+
(3)切线——抛
有关抛物线的许多题,又与它的切线关 . 解并握抛
【例 3】证明:过抛物线 2
2y px =上一点 M (x 0, y 0)
(4)定点与定值——
抛物线中存在许多不易发现,却容易为疏忽的定和定
例如:1. 一动圆的圆
=上,且动圆恒与线 02=+x 切,则此圆必
()()()(). 4,0. 2,0. 0,2. 0, 2A B C D -
显然 . 本题是例 1的翻版,该圆过物线
2y px =的通
3. 设抛物线 2
2y px =过焦点的弦两端分别为 ()()1122, , , A x y B x y ,那么:2
12y y p =-
以下再举一例 \【例 5】 (07. 四川文科卷 .10题)抛线 y=-x2+3上存
A.3 B. 4 C.32 D.42 \
(2)几何法——
- 2 - - 2 -
\【例 6】 (07. 全国 1
4y x =的焦点为 F ,
的直线与抛 物线在 x 轴上方的部分相交
A . 4 B
. C
. D . 8
\(3)定义法——追
许多解析几何习题咋看起很难 . 但如果返朴真,用最原始定义去,反而
22
122:1(00) x y C a b a b
-=>>, 的左准线为 l ,左焦和右焦分别
焦点为 21F C ; 与 2C 的一个交点为 M ,则
1211
2
F F MF MF MF -
等于( )
A . 1- B . 1
C . 1
2
-
D .
12
\
(4)三角法——
三角学蕴藏着丰富的解题资源 . 利用三角手段,可以比较将异名异角的角函数转为同名
因此,在解析几何解题中,恰当地引三资
\\【例 8】 (07. 重庆科 .21题) 如
线 x y 82=的焦点 F ,与
(Ⅰ)求抛物线的焦 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)
x 轴于点 P ,证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。
\
(5)消去法——合理
避免解析几何中的繁杂运,是革新、创新的永恒课 . 其中最得推荐优秀方法
【例 9】 是否存在同时满足列两条的直
=有两个不同的交点 A B ; (2)线段 AB 被直线 1l :x+5y-5=0
\
A
M
抛物线经典例题
抛物线
(1)抛物线——二次曲线
【例1】P为抛物线y2=2px上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定 【解析】如图,抛物线的焦点为F
?p?
,0?,准线
p
.作PH⊥l于H,交y轴
p
且QH=OF=.作MN⊥y
2111
中位线,MN=(OF+PQ)=PH=PF.故以
222l:x=-
lPF为直径的圆与y轴相切,选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双线
(2)焦点弦——
有关抛物线的试题,许多都与它的焦点有关.解并握这
【例2】 过抛物线y2=2px(p 0)的焦点F作直线
112+= AFBFp
【证明】(1)如图设
p
AA1⊥lA1,BB1⊥l于B1,则AF=AA1=x1+,
2
p
BF=BB1=x2+.两式相加即得:
2
AB=x1+x2+p
(2)当AB⊥x轴时,有
YA11
∴AF=BF=p,
112
+=成立; AFBFp
2
l
当AB与x轴不垂直时,
p??
y=k x-?.
2??
p22p?2222?k=0k x-?=2px.
42??
k2
∵方程(1)之二根为x1,x2,∴x1?x2=.
4
x1+x2+p111111
+=+=+=
pp2 AFBFAA1BB1x+px+p
x1x2+(x1+x2)+12
2224x1+x2+px1+x2+p2
==. p2pp2p(x1+x2+p)+(x1+x2)+
2424
112
故不论弦AB与x轴是
AFBFp=
(3)切线——
2
【例3】证明:过抛物线y2=2px上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 【证明】对方程y2=2px两边取导数:2y?y'=2p,∴y'=
p
.切线的斜率 y
k=y'
x=x0
=
pp.由点斜式方程:y-y0=(x-x0)?y0y=px-px0+y02y0y0
(1)
2
y0y=p(x+x0) y0=2px0,代入()即得:1
(4)定点与定值——
例如:1.一动圆的圆在抛物线y2=8x上,动圆恒与直
A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)
显然.本题是例1的翻版,该圆必过物线的点,
3.设抛物线y=2px过焦点的弦两
2
以下再举一例
【例4】设抛物线y=2px的焦点弦AB在其准上的
【分析】假这条焦点弦就是抛物的通径,那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此们猜:一切样的都过抛物线的焦.以下我们对AB的一情形给于证明. 【】如图焦点
2
2
22
1
∴?A1FB1中CF=CA1?CB1.故∠A1FB1=90?.
这就说明:以A1B1为直的
● 通法
(1)解析法——为
解析几何是用代数的方法研究几何,所以它能解决何方法不易解的几何题(
2
y=-x+3上存在关于直线x+y=0对称的异两
A.3 B.4 C.3 D.42 【分】直线AB必与直
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程
B
+为:y=x
m.
X?y=x+m由??x2+x+m-3=0(1) 2
?y=-x+3
l?x+y=0
设方程(1)之两根为x1,x2,则x1+x2=-1.
x+x211
=-.代入x+y=0:y0=.故有AB的
222
2
从而m=y-x=1.直线AB的
?11?M -,?. ?22?
x=-2,1,从而y=-1,2,故得:A(-2,-1),B(1,2).∴AB=,选C.
(2)几法——为解析法添扬威 虽然解析法使几学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这使得多考生解几何习题望而畏.针对这种现状,人们研究出多种计量大度减少的优秀方法,其中最有成效的就
2
上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂
B
. C
. D.8
【解析】如
AFX=60°. △AFK为正三形.设线lx轴
°,∴KF=4,S?AKF=
Y2
4=选C. 【评注】(1)面
2面积用公式S?=计算.
°
(2)本题如果用解析法,需先列方组求点A坐标,,再
(3)定义法——追
许多解析几何习题咋起来很难.但如果返朴真,用最原的定去做,
x2y2
C1:2-2=1(a>0,b>0)的准线为l,左焦和右焦
ab
FFMF1
等于( ) F2;C1
MF1MF2
11
A.-1 B.1 C.- D.
22
【分析】 这道题如果用解析法去做,算会特繁杂,而平
方面去寻找出路吧.
如图,我们先做必要的准备工:设双曲线的半 焦距c,
MF1MH
=MF1MF2
=r1
=e, r2
|MF1|
这就是说:的实
|MF2||FF|
其次,12与离心率e
|MF1|
F1F22ce?2ae(r1+r2)?1?
====e 1-?=e-1. MF1r1r1r1?e?
这样,最后的答案就自
|F1F2||MF1|
-=(e-1)+e=-1.∴选 A..
|MF1||MF2|
(4)三角法——
三角学蕴藏着丰富的解题资.利用三角手段,可以比较容将异名异角的角函数转为同名
因此,在解析几何解题中,恰地引入三角资源,常可以摆脱困,化计算. 【例8】(07.重庆文
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的标及准线l的方程; (Ⅱ)a为锐角,作线AB的垂平分线m
AM
线y2=8x的
【解析】(Ⅰ)焦点F(2,0),准线l;x=-2. (Ⅱ)直线AB:y=tanα(x-2)
(1).
(2)
y2x=代入(1),整理得:y2tanα-8y-16tanα=0
8
8?
y+y=?2
设方程(2)之二根为y1,y2,则?1tanα.
??y1?y2=-16
y1+y24?
==4cotα?y0=
设AB中点为M(x0,y0),则? 2tanα
2??x0=cotα?y0+2=4cotα+22
AB的垂直平分线方程是:y-4cotα=-cotα(x-4cotα-2).
22
令y=0,则x=4cotα+6,有P4cotα+6,0
222
故FP=OP-OF=4cotα+6-2=4cotα+1=4cosα
()
()
于是|FP|-|FP|cos2a=4csc
2
α(1-cos2α)=4csc2α?2sin2α=8,故为定值.
(5)消去法——合理
避免解析几何中的繁杂算,是革新、创新的永题.其中最值推荐优秀方
【例9】 是否存在同时满下列两条件的直线l:(1)l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B;(2)段AB直l1:x+5y-5=0垂直分.若不存在,理由,若存在,求出直线l的方程. 【解析】假定在抛物线y2=8x上存在这样
?y12=8x1(y1-y2)=8
?k=?y+yy-y=8x-x()()()?2AB121212
y=8xx1-x2y1+y2?22
18∴kAB=5,即∵线段AB被直
?y1+y2=.
5
y+y24
=.代入x+5y-5=0得x=1.于是: 设
25
?4?
AB中点为M 1?.故存在符
?5?4
25x-5y-21=0 y-=5(x-1),即:
5
(6)探索法——奔向
有一些解析几何题,初看起来好“树高荫深,叫夫难以下手”.这时就得冷静析,探索规,不断地猜想——证明——再想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 【例10】(07.安徽.14题)如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交点A,线段OA的n等分点从左至右依次记P1,P2,?,Pn-1,这点分别作x的垂线,
1
【解析】∵OA=1,∴图中
n
k2?k?2
设OA上第k个分点为P0?.代入y=-x+1:
y=1-2. k ,
nn??
第k个三角形
k=
11?k?? 1-2?. 2n?n?
2
12+22++(n-1)1?
∴Sn-1=?(n-1)-2
2n?n?
?(n
-1)(4n+1)
. ?=2
12n??
(n-1)(4n+1)=1lim?1-1??4+1?=1
故这些三角形的面积之和的极限S=lim ???n→∞12n212n→∞?n??n?3
抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题求解,若能巧妙地用定义思考,常能繁为
一、求轨迹(或方程)
例1. 已知动点M的坐标满足方程
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
,则动点M的
解:由题意
到直线
的距离等于它到原点(0,0)的距离
为准线的抛物线。
由抛物线定义可知:动点M的轨迹以
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的点在原点,焦点在y上,抛物线一点解:设抛物
解得:
∴抛物线方程为把
三、求角
代入得:
到焦点距离为5,求m的值。
例3. 过抛物线焦F的直线与抛物线于A、B两,若A、B
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
,则
图1
解:如图1,由抛
则由题意知:
即 故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点,F为抛线的焦且PQ为过
,点
、点
,
。求△OPQ的面积。
图2
则由抛物线定
,则得:
又PQ为过焦点
所以,
点评:将焦点弦分成两,利用定义将焦点弦用两端点横标表示,结合抛
例5. 设P是抛物线上的一个点。 (1)
的距离之和
(2)若B(3,2),求的最小值。
解:(1)如图3,知抛物线的焦点为F(1,0),线是 抛物
于是,问题转化为:在曲线求一点P,使点P到点A(-1,1)的距与点P
,即为
。
图3
,则
(2)如图4,自点B作BQ垂
,则有
即的最小值为
4
图4
点评:本题利用抛物线的义,将抛物线上的点到的距离转化为点到
例6. 求证:以抛物线
过焦点的弦为直径的圆,
证明:如图5,设抛物的准线为,过A、B点分别作AC、BD直于,
图5
由抛物线的定义有:
∵ABDC
即为圆的半径,而准线过半径MH的外且与径
抛物线与面积相结的题目是近来中考数学中常见的问题。解答此时,要充分利用物线和面的有关知
例1. 如图1,二次函的图像与x轴交于A、B,其中A点坐
图1
(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB的面积。
解:(1)设抛
,根据题意得
,解得
∴所求的抛物
(2)∵C点坐标为(0,5),∴OC=5 令
,则
,
解得
∴B点坐标为(5,0),OB=5 ∵
∴顶点M的坐标为(2,9) 点M
,
例2. 如图2,面为18的等腰直角三角OAB的一直角
的
图2
(1)求出这个二次函
(2)在坐标轴上是否存一点P,使△PMA中PA=PM,在,写出P点坐标,如不存在,
∵M是斜边OB
∴点A的坐标为(6,0) 点M的
∴,解得
∴解析式为, 对称轴为
(2)答:在x轴、y轴上都存点P,使△PAM中PA=PM。 ①P在x轴上,且足PA=PM时,点P
例3. 二次函
的图像一部分如图3,已知它的顶点M在二
图3
(1)请判断实数a的
(2)设此二次函的图像与x轴另一个交点为c,当△AMC的为△ABC面积的倍,求a的
时,应有
,则代入
。 ,
,
可求得
。
的图象以及分别过C(1,0)、D(4,0)
得,即所以,实数a的取值
例4. 如图4,在同一直角标
两点且平行于y轴的两条直线所成
图4
(1)求K的值;
(2)求过F、C、D
(3)段CD上的个动点P从点D发,以1单位/秒的速度沿DC的方向移(点P不重合于点C),
解:(1)∵点A、B在一次函数∴
且 ∵四边形ABDC的面积为7 ∴
的图象上,
∴。
(2)由F(0,4),C(1,0),D(4,0)得
(3)∵PD=1×t=t ∴OP=4-t ∴
即
抛物线
2
。
x2y26
1已知抛物线D:y=4x的焦点与椭圆Q:2+2=1(a>b>0)的右焦点F1重合,且点P(2,)在椭圆Q
2ab
上。(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率;(Ⅱ)若斜角
A,B两点,求△ABF1的面积。
解:(Ⅰ)由题意知,抛物线y2=4x的焦点为(1,0)
22
∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1,0)。∴a-b=1 ①
又点P(2,
(2)6
+)在椭圆Q
a2
2
2
2
(
2
)
23=1+=1 ② 即 222
ba2b
x2y2cb21
+=1 ∴离心离 e==-2= 由①②,解得 a=4,b=3∴椭圆Q的方程为 43a2a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(-1,0)∴线l的
?y=x+1
88?2
消y整理,得 7x+8x-8=0,∴x1+x2=-,x1x2=- A(x1,y1),B(x2,y2)由方程组 ?x2y2
77=1?+
3?4
∴|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=
又点F1到直线l的距离 d=
122
7
|1+1|+(-1)2
=2∴S?ABF1=
11212|AB|d=??2= 2277
π
4
的直线l与线段OA
2如图所示,抛物线y2=4x的顶为O,
或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面最
?y=x+m
解法一由题意,可设l的方程为y=x+m,
?y=4x
-4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线两个同交
4m2=16(1-m)>0,得m0必成立,
∴
S△=
4(
-11(5-m)|y1-y2|=(5-m 221m)252
51(-m)=(1+m)即m=1 2S≤8,当且当≤=△22
23已知O为坐标原,P(a,0)(a>0)为x轴一动,过P
S△AOB=t?tan∠AOB,试:a为何
解:交AB与x轴不重叠时,设AB的方程为y=k(x-e)
合??y=k(x-a)
2?y=2px 消y可得:kx-2(ka+p)x+ka=0 22222
设A(x1,y1) B(x2,y2)
时,上述结
11SOAOB=OA?OBsin∠AOB=OA?OBcon∠AOB?lin∠AOB∴ 22
t= 1OA
?
OBcon∠AOBcon∠AOB=OA?OB=x1x2+y1y2∴ 2p21121212t=(x1x2+y1y2)=(a-2ap)=(a-p)-p≥-当a=p时 取“=”, 综上 当 22222
e=p时 tmin
p2=- 2
抛物线典型例题
典型例题
例1 出抛物线的焦点坐标、准
(1) (2)
分析:(1)先根抛线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦坐标和准
(2)先把方程化标准程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求及焦点标与准线
解:(1) ,?焦点坐标是(0,1),准
2)原抛
?当 时, ,抛物线开口向右,
?焦
?当 时, ,抛物线开口向左,
?焦
综合上述, 时,抛物线 的焦点坐标为 ,准线
例2 若直线 抛线 交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线
分析:由直线与抛物线相利用达定理列k的方程求解(另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,也可利用“作
解法一:设 、 ,则由: 可得:
(
?直
?AB中点横坐标为: ,
解
故
解
两
,
则
例3 求证:以物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线
分析:设抛物线方程为 (如图所
,则以AB为直径的圆,必与抛物线
证明:作 于 (M为AB中点,作 于 ,则由抛物线
,故以直径的圆,必与抛物线的准线
说明:类似有:以椭焦点为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的与相应的准
例4(1)设抛物线 被直线 截得的弦长为 ,求k值(
(2)以(1)中弦为边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P
分析:(1)题可用长公式求k,(2)题可利用面积求高,再用点到直距离求P
解:(1)由 得:
设直与抛物线交于 与 两
,即
(2) ,底边长为 ,?三
?点P在x轴上,?设P点坐标是
则点P到
或 ,
例5 已知定直线l及定点A(A不l上),n为过A垂于l直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对点为P,求证P的轨
分析:要证P的轨为抛物线,有两个途径,一个证明P点的轨迹符合线的定,二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A为定点,l为定直线,我们提供了利用定义的信
即可(
证明:
由已知条件知:PB垂直平分NA,且B关于AN的
?AN也直分PB(则四边形PABN为菱
则P点符合抛物线点条件:到定点A的距离与到定直线的距离相等,所以P点的轨迹