偏微分方是数学中重要的研究主题,在纯数学应用数学研究中占有中地位。中国学技大学的偏微分方程的研究由于“**”而中断10年后于1978年重新开始,时的科研小组主要由沈天,陈祖墀和钱椿林三人组成。研究范围主要椭圆型方程和特征值,还涉及到发展方程。培养的研究生不少成为国内外成为著名学者,部分作还获得
偏微方程方向目前位的教师有:麻南教授,宣本金副教授,赵立丰博士。 兼职教师有陈祖墀教授,陆云光教授和庆杰教授。他们的主要研究领域
麻希
近来,麻南教授主要研究领域为完全非线性椭圆方程和几何分析。取得了以
第一面与管鹏合作给出经典何和椭圆方程中有长期历史的Christoffel-Minkowski 问题的
第二面与N.Trudinger和汪徐家合作给出最优的质量运输问题当消费函数为非二次时它在满足一定条件下的内
第三面与Caffarelli和管鹏合作给出一类完全非线性偏微分方程的一般凸性准则,及与管鹏飞及林长寿给出经典几何中预定曲率方程的凸超面
第四方面究非线椭圆型偏微分方程解的几何性质,获得了各种最
宣本金
宣本金副授主要从事非线性椭圆型方程解存在与不在性,广义Kadomtsev-Petviashvili方程解的存在与不存在性,变分法与变分理论,权Hardy-Sobolev不等式和 Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式及其在具奇异系数的非线性椭圆型方程中的应用,发表完成论
1.《变分---论与应用》,中国科学技术大学研究生教材,2006年8
2. 关奇异P-拉普拉斯方程的临界参数的研 我们较系统地研究了有临界Sobolev指数和Hardy奇异位势项P-拉普拉斯方程解的存在性与不存在性。首先,们讨论了某些极限方程解原点以及无穷远点的渐近行为;其次,用这些渐行为,我们构造适当验函数,仔细地讨论了方程中的非线性项(如超线性、渐近线性临界增长等)和求解区
3. 关于维GKP方程的研究 我们广义Kadomtsev-Petviashvili方程在高维间中孤波解以及在界区域的稳态解在不长条件下的存在性与不存在性、多重性研究,这一系列结将前人关于广义Kadomtsev-Petviashvili方程在二维间中的结果广到高维情形,揭示出该题在二维空间与高维空间中的共性与区别,特别是空间维数(与方其他参)对方程解
赵立
赵立博士的主要研究域为调和分析及其在微分方程中的应用,主要集中在非线性色波方程的整体适定性及散射。 在近几年对Hartree方程做了深入的研究,得的
1,利用频空间的单位分解,引入了一类新的函数空间E?p,q,并对这空间的性质进行研究。并在这个空间中究了Schrodinger方程、复Ginzburg-Landau方程、Navier-Stokes方程适定性。还利用这种空间研究了Ginzburg-Landau方程和Navier-Stokes方程的正则性行为。种间的优点还在于它对于究非线性项是指数型增长的方程的适定性非常合。 这空间是我们引的, 并且
2.研究Hartree方程,得到了这个方程的适定性及散射
我们的创之处就于非局部非线性项的处理,主要体现在以下几
1)在研非聚焦的H1临界的方程(HNLS), 值为径向时,关键的一步用Morawetz排除能量的聚积。由于非线性项的非局部性,这时的Morawetz估计比较复杂,用起来不是很方便,我们注意Virial恒等式中由色散来的一项可以加以利用,来排除能量的聚积。这一项以前并没有被掘出来,
2),研究一般初值的非聚焦的H1临界的方程(HNLS)时,在证明能量在频率空间的聚集时, 以前的双线性估计够, 我们利用了非常精细的频率分解技。我们还证明了频率化的Morawetz估计, 由于非线性项是非
兼职教师:
1,陈祖墀教的范围要是椭圆型方程和特征值问题。他培养的研究生不少成为国内外成为著
2,杰教授于2007获得国家杰出青基金(B类),他的主要研究领域为何分析和广义相对论的数学理论。是国际上本领域的著名专家,每年在中国大
3,云光教授的主工作集中在非线偏微分方程的研究,其中包含非线双曲守恒组弱解的存在性问题,零松驰极限现象、非线性退化抛物方程的则
非线性偏微分方程
非线性偏
目录
1、绪
1.1
1.2 现状.................................................................................................................. 7
2、线性偏微分方程的
2.1
2.2 齐次平衡法.................................................................................................... 11
2.3 Jacobi椭圆函
2.4 辅助方程方法................................................................................................ 14
2.5 F-展开法 ......................................................................................................... 15
2.6 双曲正切函数展开
1、绪论
以应用目的,或以物理、力等其他学科问题为背景的分方程的研究,不仅是传统应用数学中一个最主要的容,也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实用之间的一座重要桥梁,研究工作一直十分跃,
目前微分方程研究主体是非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很意义重大的自然科学工程技术问题都可归结为非线偏微分方程的研究.现实活的许多领内数学模型都可以用NLPDE来描述,很多重要的物、学等学科的基本方程身就是NLPDE,另外,随着研的深入,有些原先可用线性微分方程似处理的问题,也必须考虑非线性的影响,所以NLPDE的研究,特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出很重要的理和应用,但是数学研究果,在目前还未提供种普遍有效的求精确解的方法.20纪50年代以来,人们对非线性现的研究中提出了“孤子”的概,进而使得对NLPDE求解的究成非线性科学中的
1.1背景
孤立子论己经成为应用数学和学物理的一个重要成部分,在流体力学,等离子物理,经典场论,量子论等领域有着广的应用。 随着近代物理学和数学的发展,早在1834年由英学家Russell发现的孤立波现象近二十多年引起
这一现的兴趣与日俱增.这是因为方面孤立子具有粒和波的许性,在自然界中有一定的普遍性,利用孤立子理论也成功地解了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面,随着孤立子问题的深入研究,孤立子的数学理论也应运而生,并已步形成
孤立子理自1965年由Zabusky和Kruskal对立子(Soliton,简称孤子)命名后得到了迅速地发展.究其原因是孤波现象所不在,从天上涡旋星系的密度波,线,超流氦一3,超导JosePhson,学,结构相变,液晶,流体动力学以及基本粒子等,都与孤子关.
第一阶段,主要是19世纪.最早讨论孤立子问题的是ScottRussell。1844年英国工程师Russell发现船在运河中快速驶着,当这条船突然停止,在船头近产生了一个光滑的、小山包一样的水波,然后这个水离船头保持它的形状和度保持不变,接着这个水波的高逐渐减少,最后在运河的一个拐弯处失掉,他把这种波称为孤立波,认为它就是流运的一个稳定解.直到1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的Korteweg教授他的学 devries成功导出了著名KdV程,求出了与Russell描述一的即具有形状不变的脉冲状的孤立解,在理论上证实了孤立波的在,并对孤立象作了较为完的分
ut?6uux?uxxx?0 (1.1)
孤立波解为:
cu1(x,t)?sech2(x?ct)) 22
后称u1(x,t)
图1.1 光滑孤立子u1在??u平面上
1965美国数学家Kruskal和abusky对KdV方程的孤立波解行数学模拟,他们现两个孤立波相撞之后,各自的动方向和大小形状都保持不变.这种性质与物理中子的性质类似,因此他们这种孤立波为孤立子.在通常情况下,们把孤立和孤立子混为一谈,它们区别开来。与此同时,在1876一1882年发现的Backlund换,成为
第二阶大致可划在1955一1975年。1955年,Fermi,Pasta,Ulam(FPU)将64个质点用非线性弹簧一条非线性振动弦,用计算机计算了一维非线晶格在各个振动模之间换。初始时,这些谐振子的所有能量都集中在一个质点
为零。按照经典的理论,要非线性效应存在,就会有能量均分,各态历经等现象出现,即任何微弱的非线性相互作用,可导系统的非平衡状态平衡状态过渡。但实际计算的结果却与经典理论是背而驰.实际上,经过相当长时间之,能量似乎又回了原来的初始分布,这就著名的FPU问题。由于FPU问题是在频域空间考的,能发现孤波解,因此该问题未得到正的解释。后来,人们发现可以把晶体具有质量的弹簧拉成的链条,这恰好是Fermi究的情。Toda究了这种模式的非线性振动,得到了孤波解,使FPU问题到正确的解答,从而进一步激发起人们对孤立波的研究兴趣。1965年,zabusky和Kxusal对等离子孤立波的相互碰撞过程进计算机数值模拟,进一步证了孤波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断,并且命名为孤立子(soliton),它是指一大类线性偏微分程的许具有特殊性质的解,及具有相的物理,它的性质具体为:(1)能比集中;(2)孤立子碰撞时具有弹性散射现象。从此孤立子理论
第三阶(1973至今),孤子概念及理论泛应用物理学,生物学,天文学等各个领域,开展了高维孤子研究.1980年非线性效应专刊PhysicaD问世,此同时,光纤中的孤子已在实验中产生出来.后的
综上述,孤立子理论的生和发展是与近代理密切相关的.孤立子理论不但包括了有关数学理论,也包括了物理理论,数学的严密性和理的启发性和实用性两者相互结合,互
相促进,孤立子论显示出强大的生命力,这也是现代自然科学发展的重要特
孤立子一词虽被广引用,但无一般性定义数学中,将孤立子理解为非线性偏微分方程的局行波解,所谓局部是微分方程的解在空间的无穷远处于零或确定常数的情况。言之,孤子指的是稳定的孤立波,即与同类孤波碰撞后不会消失,且形、波速和幅度不会变或只有微弱改变的孤立波.在物中,孤立子被理解为经典场方程的一稳定的有限能量不弥散的解,即能量集中在一狭的区域内且相互作用后不改变波形和波速。许多非线性发展方程,如KdV方程、SineGordon方程、Boussinesq方、KP方程,Toda晶格方程等都有孤立子解.孤立子除常见的钟型扭型外还有包络孤子、哨孤子、扑性孤子和扑性孤子、呼吸、孤子和暗孤子、正
1.2 现状
求解微分方是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题,示解,特别是波解可以很好的描述种物理现象,如动、传波等.但由于线性微分方程的复杂,至今仍有大量的重要方程无法求出精确解,即使己经求出精确解,也各有各的技巧,至今尚无一般求解方法。所幸的是孤立子理论中蕴涵着一系列造精确解的有方法,如反散射法(IST)、B?cklund变换、Darboux变换法、Hirota 双
解方的出现,不但过去以求解的方程得到解决,而且许多新的,具有重要物理意义的解不断被发
1967年,Gardrier等人发明了求解KdV方程的逆散射方法(也称为非线性),这一方利用量子力学的Schrodinger方程特征值问题(正散射问题)及其反问题(散射问题)之的关系,经过求解Gel’fand一Levitan一Marck一enko线性积分方而给出KdV方程初值问题的解。它不应用技术提供了崭新的方法和概念,对数.学自身的展也有深远影响。随后,Lax将方加以综合和推广,使之能够用于求解其他非线性偏微分方程的初值问题,从逐步形成一系统的求法。1972年,Zakharov和Shabat推广了这一方法,求出高阶KdV方程,立方Sehrodinger方程等的确解。Ablowitz,Kaup,NewellSegur则更一般反散射方法。李诩神、
1971年,Hirota所引进的双性变换法(Hirota方法),构造非线性偏微分方程N一孤立子解及其Backlund变换的一种重而
1975年,Wahlquit和Estabrook提出延拓结构法,以外微分形式为工具,给出寻找与反散射方法相联系的线性特征值问的
1991年,李诩神教授于对称约束提出一非线性偏微分方程的直接的变量分离方法;后,楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量离法得到了许多的(2+l)维非线发
精确求解线性发展方程的工作具有重复性、固的套路和规、计算量大的点,计算机代的出使人们摆脱了刻板、大量而重的计算,提高了速度保证了准确率.1996年,Parkes和Duffy出了求非线性发展方程孤立波解的双正切函数的Mathematiea程序包。王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则,将非线性方齐次化、
近年来提出并展起来的齐次平衡方法,实际上是求非线性偏微分方程确解的一种指原则,故也称为齐次平原则。依据该原则,可事先判某类非线性偏微方程是否有一定形式的确存在,如果回答是肯定的,则可按一定的步骤求出它来,并同时得到其足某些条件Backlund变换。因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点,者,还适用于计机的符号计算统进行计算,得 到的是精确的结果.至今,齐次平衡原则在非线性数学物理中已得到广泛的应用,且其应用围正在不断扩,己成为处理
所以,近来在齐次平衡原则下又发展了多种解非线偏微分方程精解的方法:Tanh一函数法,Sine一Cosine方法,Jacobi椭圆函数展开法,Riccati方程法及F一展开法等。这些方法一般借助于计机代数系统(Mathematica或Maple),求解方便、直接,而且可以对解进数值模
2、非
2.1逆算符法
据算符方法基本思,把偏微分方程Au?A(u,ut,ux,uxx,...)?0
Lu?Ru?Nu?0 (2.1)
其L和R是性微分子,Nu是非线性项。算子L是可逆的,作用逆算子L于上式两边得
u?f?L?1(Ru)?L?1(Nu) (2.2)
其中f满足(2.1)及初始条件,根据逆算符方法u可以分解为一系列
u??un (2.3)
n?0??
利用
u0?f(x),uk?1??L?1(Ruk)?L?1(Nuk) (2.4) 非线性项F(u)= Nu可以表示
??
F(u)??An (2.5) n?0
其中An
??1dn
iAn?[F(?ui)]??0,n?0,1,2... (2.6) ?nn!d?i?0
利(2.3)和(2.4)可以依次解出u0,u1,u2,....,从而得到
u?u0?u1?u2?..... (2.7)
业已证明Adomian分解法是收敛的,而且收敛速度相当快,能够得到
2.2 齐次平衡法
齐次平法是一种求解非线性偏分方程非常重要方法,它非线性发展方程的求解问题转化为纯代数运算。利用这种法不仅可以得到方程的Backlund变换,而且能得到非偏微分方程的新解.该方法的大致步骤如下:对给定一
(2.8)
这里P一般其变的多项式,其中含有非线性项及线性出现的最高阶偏
一个数w?w(x,t)称为是方(2.8)的拟解,如果存在单变元函数f?f(w),使得f(w)关于x,t的一些偏导数的适的
(2.9)
精确满足(2.8)(2.9)中的非整数m,n,单位元函数f?f(w)及函数w?w(x,t)都是待定的,将(2.9)代入(2.8)中可以通过下
首先,使阶偏数项中包含的w?w(x,t)的偏导数的
次非线性项包含的关w?w(x,t)的偏导数的最高幂次相等,来决定非负整数m,n
其次,集合w?w(x,t)的偏导数的最高幂次的全部项,使其系数为
数函数。
第三,将f(w)满足的ODE,解之可得f?f(w),一般是对f(w)的各阶导数的非线性项,用f(w)
f(w)各阶
数为
最,若前三的解答肯定的,将这些结果代入(2.9),经过一些计算就得(2.8)的
从(2.9)中以看出,如
2.3 Jacobi椭圆函数方法
考虑非线性微分方程(2.8),寻求它的行
u?u(?),??k(x?ct) (2.10)
其中k
将u(?)展开下列Jacobi椭圆正弦函数sn?的
u??ajsnj? (2.11)
j?0n
它的最高阶数为
O(u(?))?n (2.12)
因为
ndu??jajsnj?1?cn?dn? (2.13) d?j?0
其cn?dn?别为Jacobi椭圆余弦函数和第三种Jacobi椭圆
cn2??1?sn2?,dn2??1?m2sn2? (2.14)
m(0?m?1)为模数,且
dddsn??cn?dn?,cn???sn?dn?,dn???m2sn?cn? (2.15) d?d?d?
由(2.13)式,可以认为
O(du最高阶
类似地,有
dud2ud3uO(u)?2n?1,O(2)?n?2,O(3)?n?3 (2.17) d?d?d?
在(2.11))式中选择n,使非线性偏微分方程(2.8)中的非线性项和最高阶数项平衡,将(2.11)代入非线性
isn置?各次幂次系数为零,得关于a0,a1,...,aN,k,c的代数
解上方程组,将结代入(2.11)中,得(2.8)Jacobi椭
u??ajtanhj? (2.18)
j?0n
所以此方
2.4 辅助方程方法
考虑非线性微分方程(2.8),寻求它的行
u?u(?),??k(x?ct) (2.19)
其中k
将(2.19)代入方
G(u,u?,u??,...)?0 (2.20)
设u(?)表示为z(?)的有限幂
u(?)??aizi(?) (2.21)
i?0N
这的ai待定参数,N为一常数,由非线性偏微分方程(2.8)中具有支配地位
项和最高阶数项衡得到,z(?)满足如下新的辅助常微
(dz2)?Az(?)2?Bz(?)4?Cz(?)6 (2.22) d?
其中A,B,C为待定参数。
将(2.21)代入NODE(2.20)中,利用(2.22)可将方程(2.20)左边变成z(?)多项式。令z(?)的各幂次的系数为零,可得关于a0,a1,...,aN,k,c的代数方程组。解
a0,a1,...,aN,k,c,将结果代入(2.21)中,得(2.8)的行波解的一
利用表2.1,适选取A,B,C,?的值,可得方程(2.8)的一些
2.5 F-展开法
考虑非线性微分方程(2.8),寻求它的行
u?u(?),??k(x?ct) (2.23)
其中k
将(2.23)代入方
P(u,u?,u??,...)?0 (2.24)
设u(?)可表示为F(?)有限幂级数:
u(?)?a0??aiFi(?)(aN?0) (2.25)
i?1N
这里ai是待常数,F(?)满足下列一阶常微分
F?2(?)?pF4?QF2?R (2.26)
这p,Q,R是待定数,正整数N是由具有支配地位的非线性项与最高阶偏导数项平
将(2.25)代入NODE(2.24)中,利用(2.26)可将方程(2.24)左变成的多项式,置F(?)的各次幂次的系数为零,得关于a0,a1,...,aN,k,c
求解述方程组,可解得a0,a1,...,aN,k,c,将结果代入(2.25)中,得到(2.8)的行波解的
利表2.2,适当选p,Q,R的值,可得方程(2.8)的由Jacobi函数表示的周
F-开法与辅助程方法的约束方不同。由于约束方程的不同,根据相应约束方程和特解的对照表,在求解偏微分方程时得到相应的特的
2.6 双曲正切函数展开法
考虑非线性微分方程(2.8),寻求它的行
u?u(?),??k(x?ct) (2.27)
其中k
将式(2.27)代方程(2.8)中,则(2.8)化为u(?)的非线
方程(NODE):
P(u,u?,u??,...)?0 (2.28)
设u(?)表示为?(?)的有限幂
u(?)??ai?i(?)(aN?0) (2.29)
i?0N
这里ai是待常数,?(?)满足下列一阶常微分
??(?)?b??2(?) (2.30)
并且
这里b为常,正数N是由具有支配地位的非线性项与最高阶偏导数项平
将(2.29)代入NODE(2.28)中,利用(2.30)、(2.31)可将方程(2.28)左边变成?(?)的多项式.置?(?)的各次幂次的
求解述方程组,可解得a0,a1,...,aN,k,c,将结果代入(2.29)中,得(2.8)的行波解的
双曲切函数展法与上面所的辅助方程方法的约束方程不同。由于约束方程的不同,根据相应约束方程和特解的对
解偏微分方时得到相应的特解的形式也
非线性偏微分方程
第一讲 概论
一、非线
又称线性数学物方程又称非线演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域如物理化学、生物,大气空间科学等中的非线性现
二、
分 常微分程 抛物
三、关于NPDE究有重要科学意义及广泛应用背景。主要研究内容
个方面:
一是定性。主要研究解得存在性及状态。
二是定量。主要研究构建科学的精确解。
四、化繁为简
化偏微为常微
化高阶为低阶
化非线性为线性
第三讲 非性偏微分方程行波解的直接
一、
p u,ux,ut,? =0 (3.1)
通过行波变换
ζ= ni=0kixi+wt (3.2)
n是空间维 k是波矢 w
可将NPDE化为常微分方程(ODE)
p u,uζ,uζζ,? =0 (3.3)
如对(3.3)直接积分与可直接积分求
二、对KDV方程孤波解
KDV方
引
(3.4)代为
u?c
积分一次得
β
再乘u积分得
2βu2+6u3?2cu2?Au=β (3.8) 111?2u?ζ?u?ζ+β?2u?ζ=0 (3.6) +2u2?cu=A (3.7) 1
写成
2u2+r u =0 (3.9) r u =6β(u3?3cu2?6Au?6β) (3.10) 11
完全非线性偏微分方程及其应用国际研讨会
完全非线
会
的探,会议议包括多光谱像的获取和处理,影像分析技术,模式识别和计算机视觉,SAR影像分析,建模和应用虚
境下遥感影,数据挖掘知识发现,空间信息标准遥感和地理信息系统在资源,环境和城市规划方面的
本次议受到国光学工程学,国际摄影测量与遥感学会,国家遥感中心,湖北省人民政府,中国科学院,华中科
机构高度重视大力协助.国科学院陈述彭院士,武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室主任李德仁院士分
次会的名誉主和执行主席.湖北省副省长郭生练,国家遥感中心主任张国成,武汉大学校长刘经南院士等领导出席
开式并致.大会宣读了由主办方之一的国际光学工程学会(SPIE)发来的
开幕后,来自中,瑞士,奥地利,意大利,美国,荷兰等国家的知名专家,如李德毅院士,Al"lalinGruen教授,Franz
教授,FabioRocca教授,狄平教授,张力博士,GeorgeVosselman教授,林晖教授和AndrewSkidmore教授分作
影像理和模式识领域相关问题特邀报告,报告会分别由李德仁院士和荷兰ITC学院的JohnvailGenderen授
瑞士卡测量系股份有限公,武汉武大吉奥信息工程技术有限公司和武汉立得空间信息技术发展有限公司的代表
航空影测量和感新技术方的报告,报告会由来自日本NaraSangyo大学的FujiwaraNobom教
本次议从600篇投稿中选100多个口头报告,分16个分会场进行;180多个张贴报告,分4个分会场进行.择
324篇论全文收到由SPIE组织并出版的会议论文集(共3卷5册),
EI检索.
本次议的主办位之一,汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,是我国测绘学科唯一的一所国家级重点
2000年和2005年连续被为优秀国家重点实验室.实验室在遥感,模式识别,地理信息科学等研究方向取得了不
研成.例如,实验室利用先的模式匹配技术开发的数字测图系统VirtuoZo是国际着名的三大软件系统之一;
影像理系统GeoOmager,地理信息系统GeoStar,移动道路测量系统LD2000等已文泛地诮用于农业,地质,测绘,智
力,国防等领域.
多光影像处理模式识别信息科学和计算机科学的—个重要分支,近几年来发展迅速.随着遥感技术,工业自
术,航技术,境监控技术,医学影像和诊断技术的发展,多光谱影像处理和模式识别将在21世纪得到迅猛发展并得
用本会议是多谱影处理和式识别的一个专门会议,是一个与会代表展示研究成果,发表各自学术观点和与世界
也是武汉大和世各国的同行学者互相了解,加深交进行广泛交流的重
流的—个良好契机.
(立特李晓,武汉大
完全非线性微分方程及其应用国际研
完全线性偏微方程来源
一
步研和理解完非线性偏
学生尽可能短时间内赶上一学科的最前沿,浙江大学数学科学研究中心于2005年5月23日至6月10日举办
非线性偏
3年,着名数家陈省身生和丘成桐先生共同倡议,委托国际着名数学家,英国皇家学会会员,澳大利亚国立
Tmdinger和我校杰出校,国际数学家大会特邀报告人,南开大学长江讲座教授,澳大利亚国立大学教授汪徐家
"完全非线
本次动为期3,包括两部分.第一部分是为期两周的暑期学校.通过精心挑选,中心邀请了4位着名学者为
年轻者开设基讲座.这些讲基本上涵盖了近几年完全非线性偏微分方程领域的重要成果,主要包括:Hessian
方程正则性和变性质,共形几中完全非线性意义下的Yamabe问题,以及Monge—Ampere方程的正则性及其
面的Benstein问,Plateau问和最优化运输问题方面的应用. 第二部分为期1周的学术研讨会.中心邀请世界各地的2O位国际一流的完全非线性偏微分方程面
一
探讨并展了下步的研究方向和研究内容. 领域的最新研究
此次会代表有自美国,拿大,澳大利亚,俄罗斯等地的近2O位国际着名数学家,其中来自澳大利亚国
Tmdinger教和汪徐家教授,尼苏达大学的Krylov和Safonov教授,多伦多大学的RobertMeCann教授,麻省理工院
Viaclovsky教授等都自在大会上作了精彩的主旨演讲.来自中国内地的青年数学家及海内外的青年学生近6O人
也进行
这次全非线性微分方程其应用国际研讨会,是近几年国内举办的众多同类型研讨会中最高水平的学术研讨
了学界高度重与关注.本研讨会所追求的务实的精神和态度,必将对与会者,特别是青年学生,产生积极影响.同
研会对加完全非线偏微分方程领域在国内以及海外的发展也将产生积极而深远的
(浙江
关于一阶完全非线性偏微分方程Cauchy问题的解
() 文
3 关于阶完非线性偏微分方程 Ca uc hy 问题
1 陈名中, 揭爱民
2
()1 . 咸宁学院 数学系 , 北 咸宁 437005 ; 2 . 咸宁市中等职业技术学校 , 湖北 咸宁 437005 摘 要 :运用特征概念给出一阶完全非线性偏微分方程的 Ca uchy 问题的一法及其原理 . 关键词 : 一阶 ;完全非线性 ;特征方
中图分类号 : O175文献标识码 : A
5 u 5 u ,线性方及拟线性方程比完全非我们知道 ( ( ) ) 例 1 :求方 y - u+ u - x= x - y 的x 5 y 5 性方程要简单些. 完全非线方
通解 . 及拟性方程的解往往要复杂得多 . 但是 ,我
解 :该方程拟线性微分方程 , 其对应的线 以充分利用线性方程及拟线性方程的相关
性齐次方为 结
5 v 5 v 5 v 题的解. ( ) ( ) ( ) y - u+ u - x+ x - y= 0 5 x y 5 u 5 1 预备知识
特征方程是 方便起见 ,我们只讨论含有两个自变量的情 d x d y d u 形 . 先讨论一阶拟线性微分方的通解 ,其一 = = y - u u - x x - y 形式为 得到两个相互独立的
故原方程通解为 ( ) ( ) ( )这里假定 A i x , y , ui = 1 , 2和 f x , y , u 2 2 2 Φ( )x + y + u , x + y + u = 0 都是其变量的连续可微函 , 且 A 不同时为零.
( ) 下面 , 在上 述 拟
5 v 上 , 讨论两个自变量的完全非线性偏 微分方程 ( ) 0 且 v x , y , u对 x , y , u 都有连偏导数 , ?05 u 的 Ca uc hy 问解的一般求法 ,设含两个自变量的 则 ( 1) 为关于 v 的线性齐偏微分程 完全非线性方程的一般形式为 5v 5v 5v ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )Ax , y , u+ Ax , y , u+ f x , y , u= 02 F x , y , u , p , q= 0 4 1 2 5 x y 5u 5 5 u 5 u ( 2) 的特征方程是 ( ) 其中 p = , q = , 且函 F x , y , u , p , q在所讨 5 x 5 y d x d y d u ( )= = 3 论的区域内有二阶连续偏导 . ( ) ( )( )A x , y , uA x , y , uf x , y , u 1 2 ( ) 关于 4
( ) F x , y , u , p , q= 0 φ( ) φ( ) x , y , u= c,x , y , u= c1 1 2 2 ( )5 φ( )( ) u x, y=y0 则 ( 2 ) 的通解为 v = Φ(φ,φ) 1 2
先假设 Φ其中 为任意连续可微函数 , 从而得到下述定理 .
[ 1 ] ( )6 ( )u = u x , y Φ定理 1对于任意连续可微函数 ,
( ) ( ) 是 4的任一个解 , 且 u x , y具有二阶连续偏 ( ) (φφ)Φ2 的通解 , 则 1 ,2 = 0 是拟性
导
对 ( 4) 式分求关于 x 与 y 的偏导数 , 有 互独立的初
3 收
第 6 期陈中 ,揭
5 u 5 p 5 q ( ) 从 17式的积分曲线中可得到 Fx + Fu + Fp + Fq = 0 5 x 5 x 5 x ( ) ( ( ) ( )x = x t , r, y = t , r, u = u t , r 其中 t , r 为参 ( )7 5 u 5 p 5 q )数 ( )18 F+ F+ F+ F= 0y u p q 5 y 5 y 5 y ( ) ()参数形式 .18式即为 Ca uchy 题 5 2 2 5 u u5 q 5 p 5 由 = , 有 = , 代入上式有 结论 :以过程 ,是在应了线
性方程求解法的基础上 ,运用特征概念从而给出 5 p 5 p Fx + Fu p + Fp + Fq = 0 一完全非线性偏微分方程的 Ca uchy 问题的一 5 x 5 y ( )8 般解法及其原理 . 该方法具有一定的行性. 在下 5 q 5 q Fy + Fu q + Fp + Fq = 0 5 x 5 y 述例子中 ,我们再进
) ( 显然 , 8式拟线性偏微分方程组 , 其特征方 上述解法也可应用到含多个自变量
[ 3 ] 程为 线性偏微分方程中去. d x y p d d 3 具体例子 = = - = d rF p F q F x + Fu p 2 :求 Ca uchy 问题 q d d x y d = = -p q = u = d r 5 u 5 u F p F q F y + Fu q 的解 , 其中 p = , q = . 3 5 x 5 y u| = yx = 0 即 解 :先将条件写成参数形
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 由 u’t= ptx’t+ qty’t, 得到 q=0 0 0 0 0 0 故 t 2 pd x qd y pd x + qd y( ) , 与 12相应的方为3 t, 代方
d x y p q ud d d d ( ) 由全微分公式 d u = pd x + qd y , 代入 10式 , 有 = = = = = d r q p p q 2 p q d xd u ( )= 11 t 3 2p F p + q Fq F p 当 r = 0 时 , x0 = 0 , y0 = t , u0 = t, p0 = , q0 = 3 t 3 ( ) ( ) 联立 9, 11式 , 得到 故解得 d x y dd p d q d u ( )= = -= -= = d r 12 t 2 r rF p F q F x + Fu p F y + Fu q p pF + q Fq eq = 3 te, p = 3 [ 2 ] ( ) ( ) 12式称为程 4的特方程. t 2 r r ( ) ( )x = 3 te- 1, y = e+ 2 ( ) 若 Ca uc hy 问题 5的初始条件用参数形 3 出 3 2 ru = te ( ) ( ) ( )( )0 = x0 t, y0 = y0 t, u0 = u0 t 13 x从
即3 2 r u = te ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u’t= ptx’t+ qty’t( )0 0 0 0 0 14
又显然 ( 13) 式必满 ( 4) 式 , 即 参考文献 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( )F xt, yt, ut, pt, qt= 015 0 0 0 0 0 [ 1 ]朱长 ,邓引斌 . 偏微分方程教程 [ M ] . 北京 : ( ) ( ) 联立 14, 15可得到函数表达式 科学出版社 ,2005 . ( )( ) ( )16 p= pt, q= qt0 0 0 0 [ 2 ] 丹 ,黄海洋. 偏微分方程 [ M ] . 北京 : 高等 ( ) ( ) ( ) 综合 12, 13,16且当 r = 0 时 教育
( ) ( )p= pt, q= qt0 0 0 0