重庆三峡
题目:行
目录
摘要 .............................................................................................................................................................. I I Abstract . ....................................................................................................................................................... I I
1引言 ........................................................................................................................................................... 1
2 行列式 ...................................................................................................................................................... 1
2.1 行列式的定义............................................................................................................................... 1
2.2行列式的性质................................................................................................................................ 1
2.3特殊行列式的值............................................................................................................................ 2
3 行列式的计算方法 .................................................................................................................................. 2
3.1 定义法 .......................................................................................................................................... 2
3.2 利用行列式的性质计算行列式 . .................................................................................................. 3
3.3化三角形法 ................................................................................................................................... 4
3.3.1箭形行列式 . ....................................................................................................................... 4
3.3.2可化为箭形的行列式 . ....................................................................................................... 5
3.3.3行(或列)和相等的行列式 . ........................................................................................... 6
3.4降阶法 ........................................................................................................................................... 6
3.5递推法 ........................................................................................................................................... 7
3.6加边法 ........................................................................................................................................... 9
3.7特征值法 ..................................................................................................................................... 10
3.8数学归纳法 .................................................................................................................................. 11
3.9拆分法 ......................................................................................................................................... 13
3.10利用拉普拉斯定理法 . ............................................................................................................... 13
4 总结 ........................................................................................................................................................ 15
致谢 ............................................................................................................................................................ 15
参考文献 .................................................................................................................................................... 16
摘要:本文在深入学习研究行列式的定义、性和各种计算方法的基础上,归纳、总结了多种行列式的计算方. 这些方法是定义法、化角形法、降阶法、加边法、递推、拆分法和数学归纳法等. 在讨各种计算方法的时,分析结了该方法应用,并给出如何根据行列式的特征,恰当的选择相的计算方法,对系统的
关键字:行列式;定义;性质;行列式的计算;
Properties and computation of determinant
XING Xiao-xia
(Grand 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics, Chongqing
Three Georges University,Wanzhou ,Chongqing ,404000)
Abstract :This calculation method ,based on studying the definition of determinant and various ,induction ,summarizes several methods of calculating the determinant,these methods are defined method,triangle method,method of reduction of order,embordering method,recursive method,formula method and mathematical induction method etc. In the discussion of various calculation methods at the same time ,analysis of the application of the proposed method,and according to the characteristics of given determinant ,corresponding calculation method of appropriate choice ,method to calculate the system master determinant can promote better.
Keywords :D eterminant ;Definition ;Quality ;The calculation of determinant;Computing method
1引言
在中学学和解析几何里,我们学习两未知量的线性方程组及其解法,在数学研究和实际题的解决过程中,经常会遇到含多个未量的线方程组. 为了解决这些具体的问题,数学家经过长期探索,莱布茨于十七纪晚期对行列式概有了最初的识,它最早出现在解线性方程中.1772年法国数学家范德首先把行列作为专门理论独立线性方程之外进行研究,列式开始作为独的数学念被研究. 十九世纪以后,列式理论得到进一步发展和完善. 在引入矩阵概念后,更多关于行列式性质被现,其应用域变得更广. 而式的计算一直是代数研究的一个重要课题,外学专已经总结了很多常用的技巧及方法,研究成果颇为丰硕. 以本文将针不同的行式,适当的方法求并归纳总结行列式的主计算方法:定义法、化角形法、分法、降阶法、加边法(升阶法)、递推法、数学归纳法等等. 由于行列式的计算方法非常的多,所以在实际的计过同的方法往往适合于不同特征的行列式,本论文主研究其中最常用的也最重要的方法.在行列式的计算过程中,每一种方法都有它们各自的优点及其独特之处,因此具有非常重要的研究价
2 行列式
2.1 行列式的定义
a 11
a 21n 定义:级行列式 a 12 a 1n a 22 a 2n = j 1j 2... j n ∑(-1) τ(j 1j 2... j n ) a 1j 1a 2j 2... a nj n
a n 1a n 2 a nn
这里j 1j 2 j n 是1, 2, , n 的
2.2行列式的性质
性质1:行列式与
性质2:互换行式的两行(列),行列
性质3:若行列式中有两行相同,则列式等于零. 更一般的,若行列式有行元素对应成比例,则
性质4:数乘行式中的一行,等于数乘这个
性质5:若行列式的某一行是两组数的,那么这个行列式就等于两个列式的和,而这个行列式除这一行以外全
性质6:若把行列式的某行(列)的倍数加到另一(列),则行列式
推论1:如果将行列式中的某一行(列)的一个元素都写成m 个数的和(m 为大于等于2的
推论2:若行列式某行(列)元素都是零,则行列式
2.3
a 11
(1)
a 11
a 21
(2)下
a n 1
d 1
(3)
00d 20 0a 12a 220 00a 22a 32 a n 20a 13 a 1n a 23 a 2n a 33 a 3n =a 11a 22a 33 a nn 00 a nn 000=a 11a 22a 33 a nn 000=d 1d 2 d n d n 0 a 33 a n 3 a nn 0 d 3 0
1
a 1
a 1(4)范德蒙德(V andermond e )行
a 1
a 121a 2a 2 a 2a 22 1a n a n 2=∏(a i -a j ) 1≤j
(范德蒙德行列式为零的充分必要件是a 1, a 2, , a n 这n 个数中至
3 行
为了系统把握行列式的计算方法,我们通过实际例子对行列式的一些计算方法进行归结和分析. 行列基本的计算方法包括:定义法、化三角形法、加、降阶法、递推、归纳法、特征值法. 但对一些复杂的行列式,我需要根据行列式
3.1 定义法
定义法就是利行列式的定义直接进行
例1 计算行
n -1 000
0 00n
解:D n 中不为零的项用一般形式表示为a 1n -1a 2n -2 a n -11a nn =n ! .
所以D n =(-1) (n -1)(n -2)
2(n -1)(n -2) , 2n ! .
0010 002
例2
000 n -1
n 00 0
解:由
D n =
j 1j 2 j n τ(j 1j 2 j n ) (-1) a 1j 1a 2j 2 a nj n ∑=(-1) τ(23 n 1) 123 (n -1) n
=(-1) n -1n !
总结:用定义计算n 阶行列式,需计算n ! 项,计算量很大,一般情用此方法. 主要应用于行列式中有许多
3.2 利
例3 n 阶行列式D n =a ij 的元素满足a ij =-a ji , i , j =1, 2, 3, , n ,称D n 为反对称行列式,证明:奇
证明:由a ij =-a ji 知,a ii =0, i =1, 2, 3, , n .
-a 12因
-a 1n a 120 a 1n a 2n T 由行列式性
D n =D n =T -a 12 -a 1n 0
a 2n 0a 120 a 1n a 2n =(-1) n D n . 0a 12 a 1n -a 2n -a 12=(-1) n 0-a 1n -a 2n
因n 为奇数,所
a 1+b 1
例4 D n =a 1+b 2 a 1+b n a 2+b 1
a n +b 1a 2+b 2 a 2+b n a n +b 2 a n +b n
解: 当n =1时,D 1=a 1+b 1
当n =2时,D 2=(a 1-a 2)(b 2-b 1)
当n ≥3时,把第1行的-1倍分别加到第i 行,i =2, 3, , n , 得
a 1+b 1
a 2-a 1
D n r i -r 1, i =2, 3, , n a 3-a 1
a n -a 1a 1+b 2 a 1+b n a 2-a 1 a 2-a 1a 3-a 1 a 3-a 12行
?a +b ?11
??综上可得,D n =?(a 1-a 2)(b 2-b 1)
??0??
3.3化三角形
化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某保值变形,化为上(下)三角形行列式,利用上(下)三角行列式值的特点(主对角线上元素
3.3.1箭形行列式
11 1
20 0
例5 D n =03 0
1
j =2j
0n 00 n 11 120 0c , j =2, 3, , n 解: D n =03 0c 1-1j j 00 n -∑11 120
0n 0 01=n ! (1-∑) 3 0j =2j 0 n
3.3.2可化为箭形的行列式
x 1-a 1
例6 计算n 级
x 2x 3 x 3 x n x n 的值. x 1 x 1x 3 x n -a n
解:D n 的第i 行减去1行,i =2, 3, , n . 就化为
x 1-a 1
D n =x 1
x 1x 2x 2-a 2 x 2x 3 x 3 x n x n x 1-a 1x 2a 1-a 2= a 10x 3 0 0 x n 0 x 3 x n -a n -a n
n x 3x x 1-12a 2a 3a 1-10=a 1a 2 a n 1
100x n a n 0 -1c 1+c i , i =2, 3, , n x i -1∑i =1a i 0a 1a 2 a n 0x x 2x 3 n a 2a 3a n -10 0 00 -1
=(-1) n -1a 1a 2 a n (∑i =1n x i -1) a i
3.3.3
a b b
b a b 例7 计算n 阶行列式D n =
b b a
解:此行列式每行元素之和为a +(n -1) b ,将D n 的2, 3, , n
a +(n -1) b b b a +(n -1) b a b =[a +(n -1) b ]D n =
a +(n -1) b b a b b a b b a
r i -r 1, i =2, 3, , n 1b b b 0a -b 0 0=[a +(n -1) b ](a -b ) n -1 [a +(n -1) b ]
000 a -b
总结:行列式的行与行之有较多的元素相同(或有联)时,适合用化
3.4降阶法
若行列式的某行(列)元素为零的多时,利用按行展开定理,将高阶式的计算转化为低阶
a 00 01
0a 0 00
例8 计算n
000 a 0
100 0a
n +10a 0 000a 0 00 00+(-1) n +1 0 0 a (n -1) 1a 0 000a 00 0 0 a 0(n -1) =a +(-1)
n (-1) (n -1) +1a n -2=a n -a n -2.
122 2
222 2
例9 D n =2
23 2
222 n (n )
解:
122 2222 2D n =223 2
222 n (n )
-12
r i -r 2, i =1, 3, 4, , n 0
0020 0021 0
020 n -2(n )
按第1行展开
20-0 0210 0202 0
20
=(-2)(n -2)! 0
n -2(n -1)
总结:可以利用行列式性质使行列式中出现较零元素时,适合
3.5递推法
建立同类型n 阶与n -1阶(或低阶)行列式之间的关系——递推关式,再利用递推关系式求出
a b b c a b
例10 计算n 阶行
c c a
解:将D n 的第一列视为(a -c )+c , 0+c , , 0+c ,据行
a -c +c b b a -c b b c b b 0+c a b 0a b c a b
D n ==+
0c a c c a 0+c c a
a -c b b =
c 0 0
0a b c -b a -b
+
c a c -b c -b a -b
第 7
∴D n =(a -c ) D n -1+c (a -b ) n -1 (1)
由b 与c 的对称性,不难得到D n =(a -b ) D n -1+b (a -c ) n -1 (2) (1)(2)
[]
a +b
例11 计
ab 0 00
00
1 00
a +b ab 00
00
a +b ab 0a +b
1
解:按D n 的第一行
ab
00
00
00
0a +b 00
a +b ab
a +b 0
进而得到一个递推关系式D n =(a +b ) D n -1-abD n -2,
D n -D n -1=a 2(D n -2-bD n -3) =a 3(D n -3-bD n -4) = =a n -2(D 2-bD 1)
=a n -2(a +b ) 2-ab -b (a +b ) =a n
[]
∴D n =a n +bD n -1,根据此关系式再
D n =a n +b (a n -1+bD n -2) =a n +a n -1b +b 2D n -2= =a n +a n -1b + +a 2b n -2+b n -1D 1=a +a b + +ab
n
n -1
n -1
+b
n
+β
例12 计
1
0 0
αβα+β
1 0
0 0000
αβ 0α+β 0
1α+β
解:按第一行展开,得D n =(α+β) D n -1-αβD n -2
即D n -αD n -1=βD n -1-αβD n -2=β(D n -1-αD n -2) =β(D n -2-αD n -3) = =β由此递推,即得D n -αD n -1=β (1) 由于D n 中α与β
n
n
2n -2
(D 2-αD 1)
第 8
αn +1-βn +1
当α≠β时,
α-β
当α=β
D n =βn +βD n -1=βn +β(βn -1+βD n -2) =2βn +β2D n -2= =(n -1) βn +βn -1D 1=(n +1) βn
总结:行列式的较阶也具有相同结构时,适合用
3.6加边法
对某些特殊的行列式有时为了计算方便,特把原行列式加上一行一列再进行计,且保持原列的值不变,此种方法称为加边
x +1x
例13 计
x x + x
x
12
x x
x x 1n
x x +
解:因为D n 各行中的元素大
1D n 加边0
x x x
x x x + x
n
1 2
x x x 1n (n +1) x
r i -r 1, i =2, 3, , n +1
0x +1
1
x
x
x
-110 0 1
-100
n (n +1)
x +
+∑kx x
k =1
1
c 1+c j , i , j =2, 3, , n +1
b i
0 0
1 0
1
n (n +1)
=(1+
n (n +1) 1
x ) 2n !
x +a 1
a 2x +a 2
a 2
a 3 a n a 3 a n a 3 x +a n
例14 计
a 1
a 1
第 9
x +a 1
a 1
解:D =
a 1
1
第i 行减第1
a 2x +a 2
a 2
a 1
a 3 a n a 3 a n a 3 x +a n (n ) a 2 a n 0 0
= x
1a 10x +a 1加边
... ... 0a 1a 2
a 2... a 2
... a n ... a n
... ...
... x +a n (n +1)
-1x -10
+∑ 0
a k k =1x 0
n
a 1x 0
a 2 a n 0 0
0 x
n
1n n n -1
=x (1+∑a k ) =x +x ∑a k
x k =1k =1
n
+a 1
例15 证明D n =
11 111
1
=a 1a 2 a n (1+∑
i =1n
11 1
1+a 21 111+a 3 1 1
1
1
) a i
11+a n
1
1
1
1
100
证明:
11101+a 11D n 加边011+a 2
011
+∑
i =1n
1
11 1
11 11 11
11+a n (n +1)
100
=(1+∑
i =1n
-1a 1
r i -r 1, i =2, 3, , n +1-10
-1
0 0
a 2 0 0
0a n
=
00 0
1a i
1a 10 0
10
1 0
a 2 0 0
1
) a 1a 2 a n a i
0a n
总结:若行式各行或各列元素
3.7特征值法
设λ1, λ2, , λn 是n 级矩阵A 的全部特征值,则有A =λ1λ2 λn ,故只要能出矩阵A 的全部
例16 若λ1, λ2, , λn 是n 级矩阵A 部特征值,证明:A 可逆当且
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证明:因为A =λ1λ2 λn ,则
A 是可逆的?≠0?λ1λ2 λn ≠0?λi ≠0(i =1, 2, , n ) .
11 1??1+a
?22+a 2 2 ?
例17 设A =,求A .
? ? n n n n +a ???
解:因为A =λ1λ2 λn .
11 1??1?1+a
? 22+a 2 2 ? 0A = =a
? ? n n n n +a ????0?1
2
= =aE +
n ?
?1 2矩阵
n ?
0 0??111 1?
? ?
0 0? 22+a 2 2?
+
? ?
? ?? 0 0??n n n n +a ??
1
2 n
1 1?
?
2 2?
?
?
n n ??
11 1??
22 2?
的秩为1,得到它
n n n ??
n (n +1)
λ1=a 11+a 22+ +a nn =, λ2=λ3= =λn =0,
2
n (n +1) n (n +1) ?n -1?
, a , , a ,故A =?a +a . ?22??
所以A 的
3.8数学归纳法
数学归纳法是计算行列式的用方法. 首先建立递推关系,当递推关系仅两阶行列式时,采用归纳. 但是数学归纳
2-1
例18 证
-12-1
-12
-1-1
2-1
-12
=n +1
证明:当n =1时,D 1=2.
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行列式的性质与计算
重庆三峡学院毕
题目:行列式的性质与计算
年 级:2010级
学 号:201006034149
作 者:幸晓霞
指导老师:姜友谊(教授)
完成时间:2014年5月
目录
摘要 ............................................................................................................................................................... I
Abstract ........................................................................................................................................................ II
1引言 ........................................................................................................................................................... 1
2 行列式 ...................................................................................................................................................... 1
2.1 行列式的定义............................................................................................................................... 1
2.2行列式的性质................................................................................................................................ 1
2.3特殊行列式的值............................................................................................................................ 2 3 行列式的计算方法 .................................................................................................................................. 2
3.1 定义法 .......................................................................................................................................... 2
3.2 利用行列式的性质计算行列式 ................................................................................................... 3
3.3化三角形法 ................................................................................................................................... 4
3.3.1箭形行列式 ........................................................................................................................ 4
3.3.2可化为箭形的行列式 ........................................................................................................ 5
3.3.3行(或列)和相等的行列式 ............................................................................................ 6
3.4降阶法 ........................................................................................................................................... 6
3.5递推法 ........................................................................................................................................... 7
3.6加边法 ........................................................................................................................................... 9
3.7特征值法 ..................................................................................................................................... 10
3.8数学归纳法 .................................................................................................................................. 11
3.9拆分法 ......................................................................................................................................... 13
3.10利用拉普拉斯定理法 ................................................................................................................ 13 4 总结 ........................................................................................................................................................ 15
致谢 ............................................................................................................................................................ 15
参考文献 .................................................................................................................................................... 16
行列式的
幸晓霞
(重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2010级 重庆万 404000) 摘要:本文在深入习研究行列式的定义、性质和各种计算方法的基础上,归纳、总结了多种行列式的计算方法.这些方是定法、三角形法、降阶法、加边法、递推法、拆法和数学归纳法等.在研讨种算方法的同时,分析总结了该方法应用,并何根据行列式特征,恰当的选择相应的算方法,对系统的掌握列计算方法具有较好
关键字:行列式;定义;性
I
II
Properties and computation of determinant
XING Xiao-xia
(Grand 2010, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics, Chongqing
Three Georges University,Wanzhou,Chongqing,404000)
Abstract:This calculation method,based on studying the definition of determinant and various,
induction,summarizes several methods of calculating the determinant,these methods are defined method,
triangle method,method of reduction of order,embordering method,recursive method,formula method
and mathematical induction method etc. In the discussion of various calculation methods at the same time,analysis of the application of the proposed method,and according to the characteristics of given determinant,corresponding calculation method of appropriate choice,method to calculate the system
master determinant can promote better.
Keywords:Determinant;Definition;Quality;The calculation of determinant;Computing method
II
2014届数学与应用数学(
1引言
在中学数和解析几何里,我们学习过两个未知量的线性方程组及其解法,在数学研究和实际问题解决过程中,经常会遇到多个未知的性方程组.为了解决这些具体题,数学家们经过长期的探索,莱布尼茨于十七世纪晚期对行列式概念有了最初的认识,最早现在解线性方程组.1772年法国数学家范德蒙先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外进行研究,行列式开始作独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论得到进一步发展和完善.在引入矩阵概念,更多关于行列式的质被发现,其用领域变得更.而行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题,国内外学者专家已经总结很多常用的技巧及方法,究成果颇为丰硕.所本文将针对不同的行式,选取适当的方求解并纳结出行列式的主要算方法有:定义法、化三角形法、拆分法、降阶法、加边法(升法)、递推法、数学归纳等.由行列式的计算法非常的多,所在际的计算过程同的方法往往适合于不同特征的行式,本文主要研究其中最常用的也是最重要的法(在行列式的计过程中,一种方法都有它们各自的优点及其独特之,此具有非常重要的研究价
2 行列式
2.1 行
aa?a11121n
aa?a21222n(jj...j),12nn 定义:
aa?an1n2nn
这里jj?j是的一个排
2.2行
T性质1:行列式与它的
性质2:互换行列式的
性质3:若行列式中两行相同,则行列式等于零. 更的,若行列式中有两行元素对应
性质4:数乘行列式中的
性质5:若行列式的一行是两组数的和,那么这个行列式就个行列式的和,而这两个行列式除
性质6:若把列式的某一行(列)的
推论1:如果将行列式的某一行(列)的每一个元素都写成m(m为大于等于2的整数),则此行
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幸晓霞:行列
推论2:若行式中某行(列)元素都是
aaa?a1112131n
0aa?a22232n
,aaa?a00a?a (1)
????
000?ann
a00?011
aa0?02122
aaa?aaaa?0,(2)下三
????
aaa?an1n2n3nn
000d?1
0d0?02
,dd?d00d?0(3)对角形行列式 12n3
????
000?dn
111?
aaa?12n222aaa?12nVandermondeD,,,(a,a)(4)范德蒙德()行
n,2n,2n,2aaa?12nn,1n,1n,1aaa?12n
(范德蒙德行列为零的充分必要条件是这n
3 行列式
为了系把握行列式的计算方法,我
分析.行列式基的计算方法包括:定义法、
特征值法.但对些复杂的行列式,我们需
3.1 定义法
定义法就是利用
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2014届数学与应用数学(
0?010
0?200
例1 计算
n,1?000
0?00n
解:D
(n,1)(n,2)该项列标排列
(n,1)(n,2)2D,(,1)n!所以. n
010?0
002?0
D,???? 例2 计算n
,000?n1
n00?0
解:由
,(jjj)?12nD,(,1)aaa?,n1j2jnj12njjj?12n
(23n1),? ,(,1)123(n,1)n?
n,1,(,1)n!
n! 总:用定义计算n阶行列式,需
于行列式中有许
3.2 利用行列
nDa,,a,i,j,1,2,3,?,n 例3 列式的元素满足,则称为反对称行
证明:奇数阶反
a,,a 证明:由知, a,0,i,1,2,3,?,n.ijjiii
0a?a121n
,a0?a122nTD,DDD,因
,a,a?01n2n
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幸晓霞:行列
0a?a,?,0aa121nn121
?,a0a,a0?aT122nn122nn,,,,DD(1) ,(,1)D.nnn??????
?aa0,a,a?0nn121n2n
nD,0因为奇数,所
a,ba,b?a,b11121n
a,ba,b?a,b21222n 例4 D, n???
a,ba,b?a,bn1n2nn
n,1 解:
n,2 当时, D,(a,a)(b,b)21221
,1n,3 当时,把第1行
a,ba,b?a,b11121n
a,aa,a?a,a212121
Dr,r,i,2,3,?,n第2行与第3
???
a,aa,a?a,annn111
,a,bn,111,
,,D,(a,a)(b,b)n,2综上可得, ,n1221
,
,n0,3,,
3.3化三角形法
化三角形法是先利用行列式的性将原行列式作某种保值变形,化为上(下)三角形行式,用上(下)三角形行列式值的点(主对角线上元
,??
称除一行第一列和对角线以外
??
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2014届数学与应用数学(
??,????它还有其
????,,??计算箭形行列式,是利用主对角线
三角行列式.
111?1
120?0
例5 D,103?0n
????
100?n
n1111?1,111?1,jj,2120?0n020?011D 解: ,c,c,j,2,3,?,nn103?0,!(1,),n1jj003?0j,2j????????
100?n000?n3.3.2可化为箭形的行列式
xx?xx,a23n11
xx,ax?x223n1D,
xx?x,ax23nn1
iD :的第行减去第1行,.
x,axx?xxx?xx,an112323n11
,a0?0axx,ax?x223n121D,,n????????
xx?x,axa00?,a23nn1n1
nxxxxxxxxn3n3122i??,1,1,aaaaaaaai,1123n23ni
1,10?0,10?00,??aaac,c,i,2,3,?,naaa n12n12i1
????????
100?,100?,10
nxn,1i,(,1)aa?a(,1) ,12nai,1i
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幸晓霞:行
ab?b
ba?b 例7 计
bb?a
解:此行式每行元素之和为,将D的
a,(n,1)bb?b1b?b
a,(n,1)ba?b1a?bD, ,,,a,(n,1)bn??????
a,(n,1)bb?a1b?a
1bb?b
0a,b0?0n,1(a,b) r,r,i,2,3,?,n,,a,(n,1)b,,,a,(n,1)bi1????
000?a,b
总结:列式的行与行之间有较多
3.4降阶法
若行列式的某行(列)元素为零的较多时,
阶行列式的计算.
a00?01
0a0?00
00a?00 例8
000?a0
100?0a
a00?00a0?0
0a0?000a?0
n,1按第行展开,,解:Da(1) 00a?0????1n
?????a000
000?a100?0(n,1)(n,1)
nn,1(n,1),1n,2nn,2 . ,a,(,1)(,1)a,a,a
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2014届数学与应用数学(
122?2
222?2
例9 D,223?2n
????
222?n(n)
解:
122?2,100?0
222?2222?2
r,r,i,1,3,4,?,nD,001?0223?2ni2
????????
000?n,2222?n(n)(n)
222?2
010?0
按第行展开, 002?01,(,2)(n,2)!
????
000?n,2(n,1)
总结:可以利用行列式的性质使
3.5递推法
n,1 立同类型n阶与阶(或更低)
式求出原行
ab?b
ca?b 例10 计算n阶行
cc?a
解:将第一列视为,据行列式的
a,c,cb?ba,cb?bcb?b
0,ca?bca?b0a?bD, ,,n?????????
0,cc?acc?a0c?a
c0?0a,cb?b
c,ba,b?00a?b ,,??????
c,bc,b?a,b0c?a
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幸晓霞:行列
n,1 (1) ?D,(a,c)D,c(a,b)nn,1
n,1 (2) 由b与c的对称,
,1nn,,
a,bab0?00
1a,bab?00
例11 计算n
000?a,bab
000?0a,b
1ab?00
0a,b?00
D,(a,b)D,ab 解:
ab00?a,b
a,b00?0
进而得到一个递推关式D,(a,b)D,abD,变形
232n, D,D,a(D,bD),a(D,bD),?,a(D,bD)1233421nn,n,n,n,n,
n,22n ,,,a(a,b),ab,b(a,b),a
n?D,a,bD,根据
nn,1nn,12nn,12n,2n,1D,a,ba,bD,a,ab,bD,,a,ab,,ab,bD()??nn,2n,21 nn,1n,1n,a,ab,,ab,b?
,,,,,0?00
,,,,1,?00
,,, 例12 计
?????
000?1,,,
解:按第一行展开,得 D,(,,,)D,,,Dnn,1n,2
22n,即D,,D,,D,,,D,,(D,,D),,(D,,D),?,,(D,,D) 112122321nn,n,n,n,n,n,n,
nD,,D,,由此递推,即得 (1) ,1nn
nD,,D,,D中,与,由于对
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2014届数学与应用数学(
n,1n,1,,,,当时,由(1)(2)得 ,,,Dn,,,
当时,由(2)式有,,,
121nnn,nnn,n D,,,,D,,,,,(,,D),2,,,D,?,(n,1),,,D,(n,1),1221nn,n,n,
总结:行列式的较低阶也具有
对某些殊的行列式有时为了计算方,
行列式的值不变,此种方
x,1xx?x
1,?xxxx2D, 例13 计算阶行列式 nn????
1?,xxxxn
解:因为D各行中的元素大多数为,在
1xx?x
1xx?x01x,x?x
1,1100?0xx,?x加边Dr,r,i,2,3,,n,1?ni12????
????1100,?1n0,xx?x(n,1)n(n,1)
n
,1kxx?x,k,1
01?01 ?c,c,i,j,2,3,,n,11jbi???
100?n(n,1)
n(n,1)1,(1,x) 2n!
x,aaa?a123n
ax,aa?a123nnD, 例14 计算阶行列式 n????
aaa?x,a123n
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幸晓霞:行列
x,aaa?aaaa1...123nn12
ax,aa?ax,aaa0...123nn12D, 解: 加边????...............
aaa?x,aaax,a0...123nn12(n)(n,1)
nakaaa1?,1aa?a12n,12nxk1,,x10?00x0?0,第i行减第1行,i,2,3,?,n,1????????
,x100?000?x
nn1,1nnn,x(1,a),x,xa ,,kkx,1,1kk
1,a11?111
11,a1?112n1D,111,a?11 例15 证明 aa?a,(1,)n3,12na,1ii?????
111?11,an
证明:
1111?11111?11
01,a11?11,1a0?0011D,,?,,2,3,,1011,a1?11,10a?00加边rrin2n21i
???????????
,100?0a0111?11,ann(n,1)
n1,111?11,a,1iin0a0?0011, ,(1,)aa?a,12n00a?002a,i1i
?????
000?0an
总结:若列式各行或各列元素相同的
A,?,,, 设是n级矩阵A的全部特征值,
部特征值,那么就
例16 ,,,,?,,是n级矩阵A的特征值,证明:A可逆当且仅
不为零.
第 10
2014届数学与应用数学(
A,?,,,
,A,0,,,?,,0,,,0(i,1,2,?,n)A是可逆的. 12ni
1,a11?1,,,,22,a2?2,,A
A,?,,, 解:因为. 12n
1,a11?110?0111?1,,,,,,,,,,,,22,a2?200?022,a2?2,,,,,, A,,a,,,,,,,???????????,,,,,,,,,,,,nnn?n,a00?0nnn?n,a,,,,,,
111?1,,,,222?2,, ,?,aE,,,????,,,,nnn?n,,
111?1,,,,222?2,,矩阵的秩为1,
(,1)nn, ,,,,?,,,,,,,?,,,0aaa11122nn23n2
n(n,1)(1)nn,,,n,1AAaa所
3.8数学归纳法
数学归纳法是计行列式的常用方法.首先
时,采用归法.但是数学归纳法
2,1
,12,1
,12,1 例18
,12,1
,12
n,1 证
第 11
幸晓霞:行列
n,kn,k,1假设
,1,1
02,1
,12,1D按r展开2D, ,2D,Dk,k1kk,11???
,12,1
,12
由归纳法假设,所以 D,k,1,D,kkk,1
D,2(k,1),k,(k,1),1k,1
n,k,1于是
命题得证.
,2cos10?00
,12cos1?00
,012cos?00,sin(,1)n,
,000?2cos1
000?12cos,
,sin(11),,2cos
,2cos1,sin(21),2,4cos1 D,,,,212cos,sin,
结果显然成立.
n,1 假设
,,sin(21)sin(11)n,,n,,,有: D,D,n,2n,1sin,sin,
D将按第1
,,2cos1?002cos0?00
,,12cos?0012cos?00,2cosD,,,????????n
,,00?2cos100?2cos1
00?12cos,00?12cos,(n,1)(n,1)
,,,,,sin(11)sin(21)2cossinsin(1)n,,n,,,n,n,,,2cos2cos ,,D,D,,,,n,1n,2sin,sin,sin,
第 12
2014届数学与应用数学(
,,,,,,,,,,,2cos,sinn,sinn,cos,cosn,sinsinn,cos,cosn,sinsin(n,1),,, sin,sin,sin,所以对于时,等式也成立. n
3.9拆分法
把行列式的某行(或列)的各元素均写成两
和,使问题简
,a,a?a112n
,aa,?a122n例20 计算行列式D, n???
aa?a,,12nn
解:将D的
,aa?aa?a12n12n
,,aa?a0a,?a,122n22nD,,n??????
aa?a,0a?a,,,12nn2nn
?aaa12n
,0?a2n r,r,i,2,3,?,n,,Dn,1i1???
00?,n
n,,ai,,,,,,,,,,,,,???1 aD,12n1n,112n,,,i,1i,,
3.10利用
kkk拉普拉斯理:在n阶行列式D中任意
kk,2子式与们的代数余子式的乘积之和
元素为零的较多
120000
340000
765400例21
512673
275341
第 13
幸晓霞:行列
5400
450012(1,2),(1,2)A,(,1)解:选1、2行,只有一个二阶不为零
5341
5400
4500DD为代数余子式,选定的余子式
5341
5400
73544500(1,2),(1,2),(1)
5341
125473(1,2),(1,2)(1,2),(1,2) (1)(1)?D,,,,,,,344441
125473. ?D,,,,(,2),9,(,5),90344541
2034
12,12D,
3156
解:选定第1、3行 ,得到6个二阶子式
23032024N,,2N,,14N,,8N,,,3,,, 1234,21,20,24140434N,,,4N,,,16, 561040
对应的6个代
,1222(13)(12)(13)(13),,,,,,, A,(,1)M,,,16A,(,1)M,,1011221656
2,112(13)(14)(13)(23),,,,,,, A,(,1)M,,,,11A,(,1)M,,,033441536
1,112(13)(24)(13)(34),,,,,,, A,(,1)M,,8A,(,1)M,,,555663531
第 14
2014届数学与应用数学(
13D按第、行展开NA,NA,NA,NA,NA,NA112233445566
,2,16,14,10,8,(,11),(,3),0,(,4),8,(,16),5
,,28
ab
??
ab 例23 计算2n阶行列式 D,(n)2nba
??
ba
解:
ab
??
abab(1,2n),(1,2n)D按第1、2n行展开(,1),(n,1)2nbaba
??
ba
ab
??
n,12abababab22n,n,,,n,12(1)12(1),,,(a,b) ,(,1),(n,2),?babababa
??
ba
总结:当行列式中的某一某一列含有较多零元素时,利用拉普拉斯定,选定某一行某一列计算,但对于零元素较少
4 总结
本文通过若干例子,系统介绍和讨论了行列式的多种计算方法,如定义法、化三角形法、降阶法、加边法、递推法、拆分法和数学归纳法等.且进行了深入的分析和总结,这深入习握行式各种计算方法有很大的帮助和启作用.计算一个行列可多种计算方法进行,有时计算一个行列要几种方法合使用,应根据行式的特点,灵活选用方法,多加分析和总
感谢我的指导老姜友谊教授在我论文写作过程
第 15
幸晓霞:行列
参考文献
[1]北京大学数学几何与代数教研室前代数小组.高(第三版)[M].北京:高
[2]张禾.高等代数[M].
[3]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武:华中科技大学出版社,2000.3 [4]甫华.高等代数解题方法[M].武汉:华中理工学出社,2003.34-40 [5]李永.研究生入学考试性
[7]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002 [8]徐仲.线性代数典题[M].2版.西安:西北工业大学出社,2000 [9]王品
[10]刘金,吴明芬.线性代数解题
第 16
线性代数行列式的计算与性质
线性代数行列
行列式在数学中,是一个函
或的矩阵,取值为
。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一的欧几里得空间中的推广。或者说,在 维欧几里得空间中,行列式描述的是一线性换“体积”所造成的影响。无论在线性代数、多式理论,还是在微积分学中(比换元积法中),行列式作为基本的数学工
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,孝和与莱布尼茨的著作中已经使行列式来确定线性程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独的数概念研。十九世纪以后,行列式理论进一步到发展和完善。矩阵念的入使得更多有关行列式的性质被发现,式在许多领都逐渐显现出重要的义和作用,出现了线性自态和矢量组的行
行列式的特性可以被括为一个多次交替线性形式,这个使得行列式在欧几里德空间中可
矩阵A 的行列式有时记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使法,有可能和行列式的记法混淆。不
(如:
),且可以使用下标。此外,矩阵的绝值是没有定义的。因此,行列式经使用垂直线记法(例如:克莱姆法和子)。
d
A=b e h c f i , g
即把矩阵的方括
行列式的概念最初是伴随着方组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十世,初的雏形由日本数学家关孝与德国数学家戈特弗
一、行列式
一个n 阶方块矩阵 A
其中, 是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体,{ 1, 2, ..., n }到
表示对 全部元
,
在加法算式
对于每一对满足
的数对
, 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
表示置换 的
足
但
的有序数对
称为 的一个逆序。
,如果共
。
举例来说,对于3元置换 (即是说
,,)而言,由于1在2后,1在3
,从而3
的符号是正的。但对于三元置换
(即是说
,
,)而言,可以数出共
,从而3
的符号是负的。
注意到对于任意正数n , 共拥有n! 个元素,上式中共有n! 个求和项,
对于简单的2阶和3阶的矩阵,行列式的表达式相对简单,而且恰好是每条主对角(右下)元素乘积之和减去条副对角线(右上至
2阶矩阵的行列式:
3阶矩阵的行列式:
a 11
a 21
a 31a 12a 22a 32a 13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 21a 32a 13-a 13a 22a 31-a 33
a 21a 12a 33-a 11a 32a 23
但对于阶数
n 条,由于
A 的主、副对角线总条数的素个数 的方阵A ,这样的主对角线和副对角线别此,行列式的相加项中除了样的对角线乘积之
就不是任何对角线的元素乘积。不过,2、3阶行列式情况相同的是,n 阶行列式中的每一项仍然是从阵取n 个元素相乘得到,且保证在每行每列中都恰好只选取一个
另外,n×n 矩阵的一行或每一列也可以看成是一个n
二、行列式的性质
行列式的一些基本性,可以由它的多线性以及交替性推。 在行列式中,一行(列)元素
a 21
a n 10a 22 0 a 2n a n 2 a nn
在行列式中,某一行(列)
在行列式中,某行(列)的每个元素是两
行列式中的两行(列)互换,
在行列式中,有两行(列)对应
将一行(列)的k 倍加进另
注意:一行(列)的k 倍加
将行列式的行列换,行列式的值不变,其
例如
行列式的乘法定理:方块矩阵
。特别的,若将
上的数都乘以个常数r ,那么所得
。。
以上的乘法公式还可以进一步广为所谓柯西–比内公式,从而使得只要两个矩阵的积矩阵,就有类似于以上的结
是
中具有 m 个元素的子
集
记 AS 为 A
记 BS 为 B 中行指标位于 S
这里求
遍
有 C(n,m) 个)。
如果 m = n,即 A 与 B 是同样小的方块矩阵,则只有一个容许集合 S,柯西–比内公式退化为通常行列式的乘法式。如 m = 1 则有 n 容集合 S,这个式退化为点积。如果 m > n,没有容许
若A 是可逆矩阵,
由行列式的
行列式定义
若将方块矩阵中元素取共轭,得到的是矩阵的
若两个矩阵相似,那么它们的行列式同。这是因为两个相似的矩之间只相差一个基底变换,而行式的矩阵对应的线性映射对体积的影,而不是体积,所以基
如果两个矩阵A 与B 相
,所以
行列式是所有特征值(按数重数计)的乘积。这可由矩阵必和其若型相似推导出。特殊地,三角矩阵的行
由于三角矩阵的行列式计算简便,当矩阵的数为域时,可以通过高斯消去法将矩变换成三角矩阵,或者将矩阵分解成三角阵乘之再利用行列式的乘法定进行计算。可以明,所有的矩阵A 都可以分
的乘积:
。这时,矩阵A 的行列式可以写成:
分块矩阵的行列式不能简单地表示成每个分块的行的乘积组合。对于分块的三角
,矩
阵的行列式等于对
对于一般情况,对角元素中有一个是可逆
。
矩阵的行列式和矩的迹数有一定的关联,当矩阵的为域时,在定义了矩阵的指数
理解行列式的定义与性质;掌握三阶行列式的对角线计算方法;
第一章 行
1) 理解行列式的定义与质;掌握三阶行列式的对角线计算方法; 2) 性质和展开定理会计算阶行列式以及简单
1.1 阶、三阶行列式 知
一、2阶、3阶行列式
2由个数,按下列形式排
aa1112 , 记作 D2aa2122
aa1112其被定
3由个数组的3行3列的3阶行
aaa111213
aaa,aaa,aaa,aaa212223112233122331132132= D3aaa313233
,aaa,aaa,aaa132231112332122133一般2阶, 3阶行列式
12,4111
2,34,249x
11112,4
解 (1) (2) ,221,,1423x,(x,2)(x,3),0
2,34,249x
三阶行列式
(1) 共有3~=6
1
(2) 每项有3个数相乘: ,而每个数取自
123,列
,(ppp)123(3) 每项的符号由列足标
故三阶行
aaa111213(ppp),123 D,aaa,(,1)aaa,32122231p2p3p1233!aaa313233
1.2 全排列与逆序数 知识点: 排列; 逆序。
一、 排列
定义1(排列) (不同)自然数 组成的一
为级排列,其中每个自然数
如213是一个3级排
那么1,2,3可以有多少种不同的
3个自然数共有 种不同
用表示所有n级不同排列的种数。
= . n(n,1)?2,1,n!Pn
二、 逆序
标准顺序 个同自然数按从小到大自然
如 123是一个(3
定义2(逆序) 在 中,若有,则称与构成
个逆序(数);个排列中,所有逆序的总数,
奇排列 当 ,(pp?p)为奇数时,称 pp?p为奇排列。 12n12n排列 当 为偶数或
例如231是偶排
2
逆序数的计算方: 设 是一个级排列。
中比 大的数,记为。于是
n
= . t,t,?,t,t,(pp?p),1212nni,1i例2 计算
n(n,1)(n,(n,1),(n,2),?,2,1),0,1,2,?,(n,2),(n,1),。 ,2
1.3 N阶列式的定义 知识点: 阶行
一、概念的引入
三阶行列式:
aaa111213
aaa,aaa,aaa,aaa212223112233122331132132= D3aaa313233
,aaa,aaa,aaa132231112332122133说明:(1)三阶
(2)每项都是位于
(3)项的正负号都取决于
例如: 列标列的逆序数为,为偶排列、+
列
aa?a11121n
aa?a21222n(ppp),?12n所以: ,(,1)aa?a,1p2pnp12n????n!
aa?an1n2nn
二、阶行列式 n
3
2定义4(行列
aa?a11121n
aa?a21222n(ppp),?12n , ,(,1)aa?a,1p2pnp12n????n!
aa?an1n2nn
,表示对所有 排列 的种数进行相加,共有
位置上的元素用示。称作对角元素。一般可
强调: (1)阶行列式的定
(2)位置与位上的元素区别。 特别,
例4 在六阶行列式
a00011
aa002122 D,,aaaa411223344aaa0313233
aaaa41424344证明 由定义
(pppp),1234D,(,1)aaaa。 ,41p2p3p4p12344!
考察 的取值,有形如 aaaa的项才可能不为,
取定,故,p, 只有在2,3,4中取值。
又由于 ,(1234),0,从而成立 。 D,aaaa411223344例4的结论可推广
4
a?0011
aa?02122 aa?a,1122nn????
aa?an1n2nn类似地,上三角行
1,302
000,2 例如 ,1,0,(,2),3,000,21
0003
阶(反对角)行列
00?0d1
00?d02(1)nn,
2,D?????=, d,d,?,d(,1)12n
0d?00,1n
d0?00n
(ppp),?12nD,(,1)aa?a解
只有 的项 才能不为零,其它都为零。….
n(n,1)
2下一项: 。由
例7 利用行
a00011a?a222naa?a21222n Da???,,11????a?an1nnaa?an1n2nn
(ppp),?12nD,(,1)aa?a
只有 取1的项可能不为零,这些不为零的项有。
为1时, 只能在中
(1pp)(pp),?,?2n2n= D,(,1)aa?aa(,1)a?a,,112pnp112pnp2n2n,,(n1)!(n1)!
5
a?a222n
= a???11
a?an1nn
1.4 对换
知识点: 对换。
一、对换
定义5(对换) 在某个阶排列中,任意对
其余元素不动,称作该
(p,p)st . p?p?p?pp?p?p?p,,,,1tsn1stn
二、对换与排列
定理1 对换
(1,2)例如:,
(p,q) . a?apqb?b,,,,a?aqpb?b1l1m1l1m
并设 对
,,,spqspq1,,,,21,,tt ,,,,12l,l,,,,spqspq,1,21,,两个元素逆序数之
(2)任意位置
(p,q) . a?apc?cqb?b,,,,a?aqc?cpb?b1l1m1k1l1m1k
该对换可
先作 次相
次相邻元素的对换: 再作a?aqc?cpb?bm1l1m1k共次相置,由(1),两个排列的奇
6
推论1 任意排列,都可以对换成标准顺
具有相同的奇偶
例8 把32415
(1,3)(3,4)解 是一个偶排列。 32415,,,,12435,,,,12345强调:不一定成立,事实上,。 ,(32415),2,(32415),4定理2 阶行列式也可定义为
aa?a11121n
aa?a21222n, ,(,1)aa?a,pqpqpq1122nn????!n
aa?a12nnnn
其中,是两个级列, 为行标排列逆序数与列
例9 试判断和是
aaaaaa142331425665解 下标
aaaaaa142331425665所以 是六阶行列式中的项。
下标的逆序数为, ,(452316),8,aaaaaa324314512566
所以不是六阶行列式中的
三、小结
1. 一个排列的任意两个元素对换,排
,D,(,1)aa?a ,1p2pnp12nn!
,D,(,1)aa?a ,p1p2pn12nn!
,D,(,1)aa?a ,pqpqpq1122nn!n
其中,是两个级列, 为行标排列逆序数与列
7
1.5 行列的性质 知识点: 行列式
aa?aaa?a11121n1121n1
aa?aaa?a21222n1222n2T DD,,????????
aa?aaa?an1n2nn1n2nnn
T转置行列 行列式的行与
T若记中位置
T性质1 。 D,D
T证明 记 , 则 . 由
ppppppT,(?),(?)12n12n. D,(,1)bb?b,(,1)aa?a,,ppnppppn121212n12nnn!!
交换和式中各 的因子 的位置,
= 。 aa?aaa?ap1p2pn1q2qnq12n12n假设这因子经过次的位置对换而
同时 也是经次对换
22次位置对换而
有相同奇偶性。
(ppp)(qqq)T,?,?12n12n ? D,(,1)aa?a,(,1)aa?a,D,,p1p2pn1q2qnq12n2n1n!n!
性质表明,对行成立的行
性质2 任意对换行列的两行(或两列)元素,其值变号。 证明 行与第行元素,得到的
8
bb?b11121n
bb?b21222n , D,????
bb?bn1n2nn其中 。于是 b,a(i,s,t,,j),b,a,b,a,(,j)ijijsjtjtjsj
(pppp)(pppp),???,???1stn1stnD,(,1)b?b?b?b,(,1)a?a?a?a,,1psptpnp1ptpspnp1stn1stnn!n!
(pppp),???1stn ,(,1)a?a?a?a,1psptpnp1tsnn!
由定理1, ,
(pppp),???1tsn。 ? D,,(,1)a?a?a?a,,D,1psptpnp1tsnn!
推论2 两行(或两列)元
aa?aaa?a11121n11121n
????????
,,,,,aa?aaa?a性质3 。 (
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn证明 由定义。
推论3 若列式中某行(或等列)
性质4 列式中若有两行(
321
例如 。 ,6,4,2,0
12,1
性质5 行
9
aa?aaa?aaa?a11121n11121n11121n
????????????
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. aaaa?aaaa?aaa?as1s1s2s2snsns1s2sns1s2sn
????????????
aa?aaa?aaa?an1n2nnn1n2nnn1n2nn(强调:只拆一行,其余行不变)例如
301301301301
1,50,1,50,1,50,1,50
12,10,11,1,2,101,2111证明 由行列式的定义即得结论。 ? 利用性质5
性质6 来表这一过程;若是列,则用记
aa?aaa?a11121n11121n
????????
aa?aaa?as1s2sns1s2snrr,,ts
????????,,,,,
aa?aaaaa?aa,,,,,,t1t2tnt1s1t2s2tnsn
????????
aa?aaa?an1n2nnn1n2nn
301
如 ,第二的元素加上第三行元素的
12,1
301
不改变值),则
12,1
2,11,1
004,1例10 计算行列式 的
,2032
D解 将至上三角行列式。这
10
1234
5678例11 计算行列式 的值。 (特征:行之间有公差) D,9101112
13141516
1234123456784444解 。 (r,(,1)r;r,(,1)r),0214391011129101112131415164444
a,bb,cc,aabc111111111
例12
a,bb,cc,aabc333333333
证明 第一元素分别加上第二、
a,b,cb,cc,a1111111
D,2,a,b,cb,cc,a(c,(,1)c;c,(,1)c)22222222131
a,b,cb,cc,a3333333
a,b,c,a,bc,a,babc11111111111
。 2,a,b,c,a,b(c,c;c,c)2,c,a,b,2,abc222221213222222
abca,b,c,a,bc,a,b33333333333
xaa?a
axa?a
例13
?????
aaa?x
n解 第一列元素分别加上第二列、?、
1aa?a
1xa?a
D,[x,(n,1)a]1ax?a。
?????
1aa?x
n,1上三
11
a?a?00111k
????a?ab?b111k111ma?a?00k1kk例14 证
c?cb?bm1mkm1mm
3200
,1100322,1 例如, ; ,,5,2,10122,1,1101
1,101
证明 记上式左端行式为 ,右端行列式分别记为和。 B,det(b)A,det(a)Cijij将行
p011ss ; A,(,1)??,(,1)p?p11kk
p?pk1kk同样,将
q011tt 。 B,(,1)??,(,1)q?q11mm
q?qm1mm对的前行元素作与化A为下三
的元素作与B为下三角的同样
p?11
???O?
p?p?k1kk,,ststC,(,1),(,1)p?pq?q11kk11mmd?dq111k11
????
d?dq?qm1mkm1mm
12
1.6 行列式按行(列)展开 知识点: 余子式(每一个位置); 代数余子式; 展
定义6(余子式) 在阶行列中,划去位置(,)上元素所在的第行和第列Djjaniiij元素,余下的元素按原顺组成的阶行列式,称
ij,式,记作; 为(所在)位置(,)的
aaa111213aa111223,例如 ,则 和 。 D,aaaA,(,1)MM,232321222323aa3132aaa313233
引理1 若列式的某行(或某列)
D,aA 。 ijij
aaaa11121314aaa111314aaaa21222324aA,,aaaa
证明 (1)当 ,这是例6
?a0011?aan222?aaan2122211,???D,,a,aM,a(,1)M,aA11111111111111?????aannn2?aaannnn12
(2)一
a?a?a111j1n ?????
00?a?,D 。 ij
?????
a?a?an1njnn先对D进行交换
13
a??0000ij
aa?aa?a1j111j,11j,11n
???????
i,j,2aa?aa?aD,,(1) , i,1ji,11i,1j,1i,1j,1i,1n
aa?aa?ai,1ji,11i,1j,1i,1j,1i,1n
???????
aa?aa?anjn1nj,1nj,1nn
ijij,,2,由例6,可得 。 ? D,(,1)aM,a(,1)M,aAijijijijijij
定理3(展开定理)
(按第行展开) D,aA,aA,?,aA,1,i,nii1i1i2i2inin
或
(按第列展开) D,aA,aA,?,aA,1,j,nj1j1j2j2jnjnj
例15 利用行列式的展
2,11,1
004,1。 D,0241
,2032
解 一般应选零元素最多的行或列进行
aa?a11121n
????
Da?a???a,,0,,00,,,00,0,, i1i2in
????
aa?an1n2nn
aa?aaa?aaa?a11121n11121n11121n
????????????
,,,?,000000a?a??a。 i1i2in
????????????
aa?aaa?aaa?an1n2nnn1n2nnn1n2nn
14
由引理2,得 ? D,aA,aA,?,aA.1,i,ni1i1i2i2inin
若展开式中元素与代数余子式所处
或 aA,aA,?,aA,0,i,j1i1j2i2jninj
例16 取例12的行列
解 取 。 i,2,j,3
证明 由展开定理,
a?a111n
???
a?ai1in
,,,,, . DaAaA?aA???j1j1j2j2jnjn
a?aj1jn
???
a?an1nn式中对第行元素的任意取值
,由行列式性质推论2,右端行列式为零。
例17 计算阶
2,10?00
,12,1?00
0,12?00D ,n??????
000?2,1
000?,12 将行列式按第一列展开,
,n,3,4,?, D,2,D,Dnn,1n,2
15
其中 。事实上,我们可以进
, D,D,D,D,D,D,?,D,D,1nn,1n,1n,2n,2n,322即 成一等差数列,其公
对于一般的对角行列式,可建立类似于式(9)
11?1
xx?x12n222V,,(x,x)xxx?, ,nij12n1,j,i,n????
n,1n,1n,1xx?x12n
其中连乘积号对满足的所有因子的
如 n=3, . (x,x),(x,x)(x,x)(x,x)ij,213132,j,i,13
111
例如, . 235,(3,2),(5,2),(5,3),1,3,2,6
222235
证明 用归纳法证
11, V,,x,x,(x,x)221ij,xx1,j,i,212
结论成立。假设结论对阶成
把 第一列上
111?1
0x,xx,x?x,x2131n1
V,0x(x,x)x(x,x)?x(x,x)。 n221331nn1
?????
,,,n2n2n20x(x,x)x(x,x)?x(x,x)221331nn1按第一列展开;在余下的阶行
16
?111
xx?x23n , Vxx?xx,,,,,()()n21n1????
n,2n,2n,2xx?x23n上式右端的行列一个 阶范德姆行列式。根
。 V,(x,x),?,(x,x)(x,x),(x,x)n21n1ijij,,2,j,i,n1,j,i,n
1.7 克
ax,ax,?,ax,b,1111221nn1,axax?axb,,,,,2112222nn2, ,???,
,axax?axb,,,,n11n22nnnn,
线性的含义是方程组关于未知量都是
aa?a11121n
aa?a21222n
aa?an1n2nn第行元素为第个方程的系数;第列元素即为第个未知量前的系数。 jjxiij定理4 (Cramer法)如果元线性方程组
Dj x,,j,1,?,njD
其中,
a?aba?a111j,111j,11n
a?aba?a212j,122j,12n D. ,j???????
a?aba?an1nj,1nnj,1nn证明 分二步证:
17
Dj1) 证明 是方程组的解,即代入第个
Dj2) 对于方程组
n
D,bA,bA,?,bA,bA,,1122jjjnnjkkj,1k
n1把 代入方组左端第个方程,得(需要讲
nnnnnn1111 ,b,D,b,abA,abA,b(aA)(),,,,,,iikijkjijkkjijkkjDDDD,1,1,1,1,1,1kjjkjk
nn(上面等号是当时,
ac,ac,?,ac,b,1111221nn1,acac?acb,,,,,2112222nn2 , ,???,
,acac?acb,,,,n11n22nnnn,
个等式分别依乘,再把个等式的两端
nnnn
(aA)c,?,(aA)c,?,(aA)c,bA. ,,,,11iijijijjinijniij,1,1,1,1iiii
nn
cD上式左端只有系数aA=,其余项的系数都为零,
Dj。, 。 ? Dc,Dc,,j,1,?,n,jjjD
例19 利用Cramer法则,求下列方程组的解。
18
2x,x,2,12,,x,2x,x,0,123 。 ,xxx,,2,,,3234,
,,x,2x,334,
解 系数行列式例14中 的行列式,故 。
齐次线性方程组 在方
ax,ax,?,ax,0,1111221nn,axax?ax,,,,0,2112222nn , ,???,
,axax?ax,,,,0n11n22nnn,
显然,齐次程组的零解无条件存
由Cramer法则,得:
定理4 若齐次方组有非零解,则系数行列式 。 D,0定理5 齐次方程组有非零
该定理的充分性证明见第五章的推论5.3(a)。 例20 下列齐次方程组中的参数为
,xxx(5,),2,2,0,123,,xx2,(6,),0 。 ,12
,x,x2,(4,),013,
,522,
,D260, 解 (5,,)(2,,)(8,,),,,
204,,
如果方程组有非
即=2、=5、或=8 ,,,
19
本章小结:
排列; 逆序; 对换 行
,
行列式性质与行列式展开 行
行列式的
1)按定义; 2)三化; 3)展开(阶); 4)拆行拆列; 5)边; 6)利用Van.
20
行列式的计算与应用
第二节 行列
【教学内容】行列
【教学目的】掌握拉普拉斯展开定;会利用行列式的性质计算行列式。 【教学重点】1.拉拉定理;2.克莱姆法则。 【教难点】利用行列式的性
一、行列式的计算
定理9.1(拉普斯展开定理) 行列式D中任一行()的各个元素与其代数余子式
a11
a12a22a32
a13
a23?a11A11?a12A12?a13A13(按第一行展开) a33
例如,D?a21
a31
?a21A21?a22A22?a23A23(按第二行展
推论 行列式D任一行(列)元素与另一
a11
a12a12a32
3
4按第三列展
22
?10?8
32
?9?8
32
?9?10
a13
a13,则
例如,若D?a11
a313
?9?10?8
例1 将行列式2
2
3
?9?10?8
3
解 2
2
4?3???1?4
3?1
?4???1?
3?2
?4???1?
3?3
?3???16?20??4???24?18??4???30?18???12 ?5
27?3
10. ?9
例2 计算D?0
8
?521
解 070??5?(?1)1?1
7000078
?3
?9
?3
?9
?2?(?1)
1?2
8
?9
?1?(?1)
1?3
8
?3
??5?(?63)?2?0?1?56?259(按第一行展开)
?521
070??5?(?1)1?1
708
?3
?9
?3
?9
?8?(?1)
3?1
217
??5?(?63)?8?(?7)?259(按第一列展开)
?521
070?7?(?1)2?2
?518
?3
?9
8
?9
?7?(45?8)?259(按第二行展开)
提问:如何
00a14例3 计算行列式
00a2300a.
3200a41
00
000a14
0解
00a2300a320a0
41
?a14a23a32a41(
0?0a1n0
?0a2,n?1提示:
0?a2,n?1
0?1)
1?n
0?a3,n?2
0?????a1n(????
an1
?
an1
?0
?0a3,n?2
?a)?[1?(n?1)]
0?a4,n?3
01na2,n?1(?1)
(1?n?????? an1
?
0an?1,2?a(1?n)?[1?(n?1)]???(1?3)
1na2,n?1?an?2,3(?1)
a
n1
?a(1?n)?[1?(n?1)]???(1?3)?(1?2)?(1?1)
1na2,n?1?an?2,3an?1,2an1(?1)
?(?1)
n?(1?2?3??n)
a1na2,n?1?an?2,3an?1,2an1
?(?1)
n?
n(n?1)n(n?3)
2
a2
1na2,n?1?an?2,3an?1,2an1?(?1)a1na2,n?1?an?2,3an?1,2an1
111例4 计算35
3734 232625
1
11
1
01
1
00解 35
3734c2?c135234c3?c1352?1 23
26
25
23
3
25
23
3
2
?1?2?1?0?35?13523
2
23
2
?0?23
3
?7
本题方法:通过行列换使得某行或某列只有一个元素非零,展开定理.提问:如何通过行列
?1
?9?43例5 计算行列式
?553?2?12?611.
9
0?2
1
?1?9?43?1
?923解 D?
?553?25?1?2?12?611c3?2c?54
?12?631
9
0?219
1?28
?923c5?1?2?28
?92?4
1?9c134
?21?631按第4行展开
??1?
4135?1 0
1
?21
?6
3
?2
10?210r1?2r213
5?1r3?3r2135?1 ?21
?6
3
19
9
按第3列展开??1???1?2?3
?2118
9
???2??9?18?1??36
提问:如何通过行列变
总结行列
对角线法则(二
直接使用展开定理
行列变换?某行(列)
行列变换?上三角行列式(下
课堂练习:
计算下列行列式
4
1251
2021
4207
2
1?120
4236
1122
(1)
10
;(2)
315
11bb
2
1c;(4)c
2
a?100
1b?10
01c?1
001d
;(3)a
a
2
解 (1)0;(2)0 ;(3)(a?b)(b?c)(c?a) ;(4)abcd?ab?cd?ad?1. 二、克莱姆法则
含有n个未知数x1,x2,?xn的n个线性方程的方程组
?a11x1?a12x2
?
?a21x1?a22x2??
?ax?ax
n22?n11
???a1nxn?b1???a2nxn?b2?
???annxn?bn
(非齐次
将线性方程组的系数
a11
D?
a21?an1
a12a22?an2
????
a1na2n?ann
用常数项b1,b2,?bn代替D
a11
Dj?
a21?an1
????
a1j?1a2j?1?anj?1
b1b2?bn
a1j?1a2j?1?anj?1
????
a1na2n?ann
?j?1,2?,n?
定理9.2(克莱姆法则) 若线性方程组的系数行列式
a11
D?
a21?an1
a12a22?an2
????
a1na2n?ann
?0
DDD则此方程组
,x2?
2D
,?,xn?
nD
.
例6 解线性方程组
?2x1?x2?5x??1 ?
3
?x1?3x2??5
??
2x2?3x3?12
1?5解 因为 D?1
?3? 11
2?3
?11?5
2
?1?5
2
1?1D1??5
?30?11,D2?1?50?22,D3?1?3?5?111
2
?3
01
?3
2
1
所以 xD1D2D31?D
?1,x2?
D
?2,x3?
D
?1.
?a11x???a?
1?a12x2
1nxn?0?a???a?21x1?a22x22nxn?0?
?
(齐次线性方程组)
??an1x1
?an2x
2???annxn?0
推论 若齐线性方程组的系数
如果齐次线性方程组有非解,则其系数行列式D必等于零. 例7 问?为
只有零解.
解 当D?0时,方程组只有零解,由
D?
1???2?3
2??
?(1??)(2??)?6
即得 (1??)?(?2??) 6 ?2
?3??4?0
得???1,??4.所以???1,??4时,方程组只有零解. 课堂练习:
??1???x1?2x2?4x3?0
问?为何值时,
?2x1?(3??)x2?x3?0只有零解.
??x1
?x2?(1??)x3?0
解 ??0,??2,??3时,方程组只有零解.
本堂课小结:
主要内容:行列式的计算,莱姆法则 重点:拉普拉斯展开定理;克莱姆则 :利用行列式的性质变