另一类是面?板数据(panel? data)或者纵列数?据(longi?tudin?al data),类数据通?过对同一个?横数据?的个体随时?点化进?行跟,连续观察而?得到。同一对象的?不同时点观?察,不能保证这?类数据的独?立性。本章讨论面?板数据分析?较为简单的?特殊模
使独立混?合横截面数?据的一个理?由是增加样?本容量,并且若因变?量和部分?变量保持不?间而?变化的关?,就以得到?更为确的?和更有功效?的检验统计?量。而为了反映?总体分布随?时间变化的?特征,就需要对模?型进
1) 引入时虚?拟变量(例如,年度虚拟变?
可以时?变;
2) 引时间虚?拟变量和某?些自变量?交
3) 若误
,
在节问题?中,邹至庄检验?验的是跨?时前后模型?的结构是否?发生了改变?。此,约束模型的?残平方和?可以通过?合后数?据回归后计?,而无约?型的残差平?方和可以通?过对两个时?期的数据分?别回归后所?得残差平方?和加总得到?。构造方法见?C7.4和C8.2(异方差-稳健
构邹至庄?检的另一?种方法是,引入时间虚?拟量,并其和所?有(分)自变量
对期的邹?至庄检验,假定有T个?时期和k个?解释变量,那么约束模?中的待估?参为k+T,残差和?为SSR?,其F检验的?自由度为n?-k-T;而无约束模?型的待估参?数为T(k+1),残差平
个期?分别
由度为n?-T(k+1);如此可
SSR?SSRur?n?T(k+1)rF=. SSRur?(T?1)k
当该检验?异方差不?能保持稳健?性。如果得到?异差-稳健的
13.2 利用混合横?
混合横截面?分析对于评?价某一事件?或者政策的?影响可非?常重要。某外生?事件(通常是政府?的政
experiment?)?或者被为?准实验(quasi?-exper?iment?)。在一个自然?实验中总有?不受政策变?化影响的对?照组(contr?ol group?)和受政策改?变影响的处?理组(treat?ment group?),不同于真实?实验(true exper?iment?)的是自然实?验的这个?组的划分依?是是否受?所研究的政?策影响,而真实验?中则通过随?机的方式确?定。为了控制好?这两个组之?间的系统差?,我们需要政?策变化前后?的两年数据?。如此实际?本
策变化前?年份 d2=0 政策变化后?的年份 d2=1 对
处
则我
y=β+δd2+βdT+δ1d2d?T+其它因素. 001
δ1控了?政策效应,在没有其它?因
(difference?-indif?feren?ces ?
?),
政策变化前?的年份 政策
对照
处
,,,,,,,,,,由上表可知?,δ=y,?y,?y,?y,=y,?y,?y,?y,,这就是12,T2,C1,T2,T1,T2,C1,C1,C或者δ1?
倍?的来源。于倍差估?计用y的平?均值来处理?政策效应,因此δ1也?称为平均?处
,果模型中?含了其它?控制变量,那么δ1没?上面两?简洁的估计?式,但其含
Neari?nc这个虚?变量将样?本分为住房?靠近垃圾焚?化炉的样本?组(处理)和远离垃圾?的样?本组(对),例以3英?里为划分?。焚化炉是在?81年动工?的,所以选取了?1978年?和1981?两个年份?的数据。实证
13.3 两期面板数?据的分析
如对一横?截面数中?的个体,进行连续两?期的观测,那就得了?两期面数?据。对于数?据,我们可从?误差项中分?离出随时间?不变的不可?观测因素,一般被称为a??为非观
(unobserved? effec?t?)或者固定?应(fixed? effect?),即因个体而?异但随时间?固定的不可?观测因素的?综合效应,或被称为?非观质unobs?性(erved? heter?ogene?ity?). 从误差项中?分离出随时?间变但?随个体变化?的不可测?素可由?时虚拟变?量来画。在面板数据?分析中,误差会随?着个体和时?而变,从而其被称?为特质误差idios?yncra?(?tic error) ?或时变误差?(time-varying error?),?并记为ui?。这样,一个两年份?的面板数据?模型
,=,+,,,+,,+?+,,+,+,, t=1,2 ,,,0011,,,,,,,,,,,,,,
,,是时间?虚变量,当t=2,取值为1,否则为0;v=,+,
对上述模型?两种估计?方法,一是:直接把两期?的数据混合?起来,也就是v?进行,,,为动项?OLS?估
的。这种偏误被?称为质性?偏误heter(ogene?ity bias?)。由ai的?存在,不关的假?设很难得到?保证。也正因为考?虑到非观测?效应ai和?解释变量的?相关性,我们才引入?面板数
另种估计?方法是差?法,即由于非观?测效应ai?时不变,所以两期?方程差?能消去该因?素,得差分方?
,,,,,?,=,+,,?,+?+,,?,+,?,, ,,2,,1011,,,21,,,1,,,,,2,,,,1,,2,,1
或者
?y=,+,?x+?+,?x+?,. i01i,1,i,k,
这估计方?需要要求?和?,?x(j=1,2,…,k)不相关,
相(严格外性?假设,????)?,这个条件就?足了。该计方法?的
计被?称
上估计的?另一个要?是满足ML?R.3,就是?xj必须随?时有所变?化。此,我们一般就?以假一?阶差分
一差分法?的价是减?少了x的变?异,有时这会造?严重的问?;二是减少
,
通用两个?变量来标示?一个样本,一个是个体?变量(
year)。见下表:
13.4 用两期面板?
面板数据可?用于政分?析,特别是项目?评价。在一个最简?单的项目评?价案例中,一时期得?到有关?、企业、城市等单?的一个?;然后让其?的部分横截?面单位(处理组)参与一个期?间内举办的?某个项目,其余单位作?为对组;最后,取得第二个?时
记prog?与的虚拟变?量,d2t为第?个时期?虚拟变
型为:
y=β+δ0d2t?+β1pro?g+a+u, i,t0i,kii,t
如项目参?与仅发生在?第二个时期?,那该差分?
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,β=?ytrea???ycont?, 1trol
不于混合?横截面数据?的是,此时允许个?体
,目参与如?两期生,β1没有上?述明显的含?义但是其意?义变即代?表因目?与所致的y?的平均值变?化;引入随时间?而变化的因?素,特别是那些?和项目参与?相关的随时?间变化的自?
,会
13.5 多期面板数?据的差分法?
如果N个?截面单位中?,都有T期的?数据,则该据被?称平
,=,+,2,2,?+?+,,,,,?+,,+?+,,+,+,,t=1,2,3,…,T, ,,,011,,,,,,,,,,,,,,
,2,…,,,,为时?期虚拟变量?,是当取值?为1,否则取
第期的?减去第一期?,第三期的减?去二期
?,=,?,2+?+,?,,+,?,+?+,?,+?,,t=2,3,…,T, ,,,2,,,11,,,,,,,,,,,,,
由于该程?没有截距项?,
?,=,+,3,3,?+?+,,,,,?+,?,+?+,?,+?,,t=2,3,…,T. ,,,011,,,,,,,,,,,,,
(13.1)
要估(13.1) 式需
假1:严
假
假设3: {?,}是序
假3并不?总立,事实上即使?原序列不相?关,也并意味?着分序?列不
,Step1?: 估计(13.1)得
,,Step2?: 建立?,=,?,+error?,
Step3?: 用t统计量?或者异方差?-健的t?计量,
成。需要采用具?异方差和?AR(1)序列相关的?FGLS方?法对(13.1)进行计,其本质是利?用ρ进行了?,一个Pra?is-Winst?en变化,然后进行异?方
若原假
邹庄检验?也可以用于?检验一差?分模型。很多时候我?们预期截距?会变化,从而很少?验它是否?相同;而检验斜率?相同则有?义。在一阶差分?模型,虽然不能?计随时间不?变解释变?量的系数,但却可以检?验其偏效应?是否随间?变化。假定有三期?数据,t=2000,2002和?2004,则可以建立?
;,,,,?=,,
,+,1,02?+,2,04?+,1,,,?,;,+,1,02?;,+,2,04?;,+0,,,,,,,,?,,,,,,?,,,,,,?,;变量++,,. ,,,,
如,可检验H?: ,=0或,: ,=0
, 阶差分面?板数据
潜在陷的?来源: 1)解释变量随?时间化的?假; 2)严
?); 3)变量存在?测度误差,那么FD估?计可能比?合OLS?
c13 跨时横截面的混合简单面板数据分析方法1
第13章跨横截面的混合 时时时时时时-时时面板数据分析方法摘要: 本章引入两数,一独立混合横截数据类类类类类类类类类类类类(independently pooled cross section): 由不同点的两随机独立抽取的横截面数据混合而成,保持类类类类类类类类类类类类类类类
独性是数的一个特点。因此,在保持其它条件,排类
除差之的性。不同点,可能意味着体分布已类类类类
生化,所数据的分析可用于价政策的化。类类类类类类类类
类类类类类类另是面板数据(panel data)或者列数据类类类类(longitudinal data),类类类类类类数通同一个横截面数据的个体随点的化行跟踪,察而得到。同一象的类类类类类类类类类类类类类类类类类
不点察,能保数据的独立性。本章面板数据分类类类类
析的殊模型和方法。类类
13.1 跨独立横截面的
使独立混横截面数据的一个理由是增加本量,并且因量和部
随而化的,就可以得到更精确的和更有功效类类类类
类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类
1,引入虚类类类类类类(例如,年度虚量
距可以,类类类
2,引入虚和某些自量的交互效,也就是允斜可以,类类类类
3,若差随,仍可以使用异方差类类类类类类类类类类类类类
,跨
在中,至的是跨前后模型的构是否生了类类类类类类
改。此,束型的残差平方和可以通基于混合后数类类类类
回算,而束模型的残差平方和可以通两个期的类类类类
数分回后所残差平方和加得到。构造方法类类类类类类类类类类类类类
构至庄的另一方法,引入虚量,并其和所有类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类(分)自量行类类类类类互,然后虚量和所有交互是否合著的。类类类类类类类类类类类类类类类
类类类类类类类类多期的庄,假定有T期和类类类k个解量,那束模型中的待估参数类类类类类类类类类类类类类类类类k+T,残差平方和SSRr,其类类F类类类的自度n-k-T;而无束模型的待估参数类类类类类类T(k+1),残差平和类T个期类类分做回,回后的残差平和之和类类类类类类类类类类类类类类类(SSRurSSR1SSR2SSRT=++…+),F类类类的自由度n-T(k+1),如此可
FSSRrSSRurSSRurn-=-Tk1T1k(+)(-).
当异方差不能保健性。如果要得到异方差类类类类类类类类类类类类类类类类类类类-
13.2 利用混合横截面做政策分析
类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类混横面分析于价某一事件或者策的影响可能非常重要。当某些外生事件(通常是政府的政策)改了个人、家庭、企或城市的运行境,就生了自然类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类(natural experiment)或者被准类类类(quasi-experiment)。在一自然有不策化影响的照类类类类类类类类类类类类类类(control group)政策改影响的理类类类类类类类(treatment group),不同于真类类类(true experiment)的自然的两个类类类类类类类类划分依据是是否受所研究的政策影,而真中通随机的方式确定。了类类类类类类类类类类类类类类类控制好两个之的系差异,我需要政策化前后的两年数类类类类类类类类类类类类
据。此本可分四个:类
政策化的年份类类类类类类 政
d2=0d2=1
类 照(C) dT=0,dT=0,d2=0,,dT=0,d2=1,类类类
类类
yβ0δ0d2β1dTδ1d2dT其它因素=++++.
δ1控制
差量
estimator),下表
类类类类类政策化前的年份政策
类
类类理β0β1+β0β1δ0+++δ1 δ0+δ1
类类
由
差来源。由于倍估用类类y的平均来理政策效,因此δ1类类类类类类类类也被称平均理
如模型中包含了它控制量,那δ1类类类类类没有上面的估式,但似。类类类类类类类类
Nearinc类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类个虚量将本分住房靠近圾焚化炉的本(类理)和离垃圾焚化炉类类类类类类类类类(类类照),如以3英里划。焚化炉是在类类类类类类类类类类81年工的,所取了类类类类类类类类类1978年和1981年两个年份的数据。果如下表
13.3 两期面板数据的分析
如一横截数据中的个体,行两期的,那就得类类类
到两期板数据。于面板数据,可以从差中离随不的不可因a类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类i,一般被称效类类类类类类类(unobserved effect)或固定效类(fixed effect),即因个体异随类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类定的不可因素的效,或者被称非异性(unobserved heterogeneity). 从差中分离出随化但不随个体化不可因素可以类类类类类类类类类类类类类类类类类类类
由量来类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类刻画。在面板数据分析中,差随着个和而,从而被称特差类类类类类类类类类类类类(idiosyncratic error) 或差类类类类(time-varying error),并类类uit,。,一个两年份的面板数据模型以表类类类类类类类类类类类类类类
yit,=++,,+…+,,++,β0δ0dTβ1x1itβkxkitaiuit, t=1,2
dT是虚量,当类类类类类类类t=2,取类类1,否类
类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类上述模型有两估方法,一是:直接两期的数据混合起,就是以vit,类类类类OLS估,但需一个前类类类类类类类类类类类类类类类类类类提,那就是自量和vit,不相。若相,所得估是有类类类类类类
heterogeneity bias)。由于ai的存在,不相类偏
的类类类类类类类类类类类类类类类类类类类很得到。也正因非效ai
另估方法是差分法,类类类类类类类类类类类类类类类类类即由于非效ai类类类类类类类类类类类不,将两期方程做差消去因,所得差分方
yi,-,=+,,-,,+…+,,-,,+,-,2yi1δ0β1x1i2x1i1βkxki2xki1ui2ui1,
或者
?yi=+,+…+,+δ0β1?xi1βk?xik?ui.
类类类类类类类估方法需要要求?ui和?xj(j=1,2,…,k)不相,而类类类类类类类类类类类类类类类类类个期差和所有期自量不相只要(类格外生性假,strict exogeneity assumption),个条件就类类类类类类类类类类类足了。估方
上估的另
类类类类类类类类一般就可以假一差分模型足CLM者高斯-类类类类类
一分法的类类类类类类类类类类代价是减了x的异,有类类类
少本量,得面板数据,可能需要类类类类类类类类类
,
通用两个量类类类类类类类类类类类类类类类类示一个,一个是个
year)。下表类类类:
13.4 用两期面板数据作政策分析
类类类类类类类类类类类类类类类类类类类面板数据可用于政策分析,特是目价。在一个最的目价例中,第期得到有个、企、城市类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类等位的个本,然后其中的部分横截面位(类理)参与一个期类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类内的某个目,其余位作照,最后,
类progi,k类类类类类类目参与的虚量,d2t类类类类类类类
yit,=++,β0δ0d2tβ1progik+ai+,uit,
如类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类参与生在第个期,那差
β1=-?ytreat?ycontrol,
不于混合横面数据的是,此允个体类类类类类类类类类类类类类类类
类类类目参与如两期生,β1没有上述明类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类的含但是意不即代表因目参与y的平均化,引入化的因素,是那些和类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类目参与相类类类类类类类类类类类类类
13.5 多期面板数据的差分法
如果N横截面位中,类类类类类类都有T的数据,据被称平类类类类类类类
基于
yit,=++…++,,+…+,,++,β0δ2d2tδTdTtβ1x1itβkxkitaiuit,t=1,2,3,…,T,d2t,…,dTt类类类类类类类类期虚量,是期取1,否取类类类类0.我类类类T个方程类类类类类类类类行差分,即第二期的减去第一期,第三
?yit,=+…++,,+…+,,+,δ2?d2tδT?dTtβ1?x1itβk?xkit?uit,t=2,3,…,T,由于方类类类类类类类类类类类类类类类类类类程没有截距,其的一个
?yitα,=++…++,,+…+,,+,0α3d3tαTdTtβ1?x1itβk?xkit?uit,t=2,3,…,T. (13.1)
要估,类类13.1,式需
假1:格外
假2:x1,,it是的,其要类类类
假类3: {,}?uit是序列无的。类类类
假3并不成立,上类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类即使序不相,也不意味着其差分
Step1:估, 类类13.1,
Step2: 建立?uitρ?,=,-+uit1error,并行回类类类类,t=3,…T,
Step3: 用t类类量或异方差-类健的t类类类类量,H0:=ρ0.若原假类类类类类类类类类拒,表明假3不立。要采用具有异方差AR(1)相的类类FGLS方法类(13.1)类类类类类类类类类行估,其是利用ρ类行了一个Prais-Winsten类类类类类类类类类化,然
若假没被类类类类类类类类类类类类类类类类类
类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类至庄也可用于一差分型。很多候我期距会类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类化,从而很少它是否相同,而斜率相
在差分模中,然不能估随不的解量的系数,类类类类
但可以其类类类类类类类类类类类类类类类类类类类类偏是否随化。定有三期数
lwageit=++++++β0δ1d02tδ2d04tβ1femaleiγ1d02tfemaleiγ2d04tfemaleicontrol类量+ai+uit,.
如,可
,一差面板数据分析的类类类类类
潜在缺陷的来源: 1)解量随化的假定,类类类类类类类类类类类类 2)类类格外生
c13跨时横截面的混合简单面板数据分析方法
第13章 跨时横截面的混合-简单面板数据分析法 摘要: 本章入类数据,一类独混合横截面数据(independently pooled cross section): 由不同时点的两个随机独立抽取的横截面数据合而成,保持独立性是该数据的一特点。因此,在保持其它件不变,排除了误差项之的相关性。不同时,可能意味着总体布已经发生了变化,所以该类数的分析可用于评
另一类是面板数据(panel data)或者纵数据(longitudinal data),该类数据通过对同一个横截面数据的个体随时的变化进行跟踪,连续而得到。同一对象的不同时点观察,不能保证这类数据的独立性。本章讨论面板据分析较为简单的特殊模型
13.1 跨时独立横截面的混合
使用独立混合横截面数据一个理由是加样本容量,并且变量和部分自变量保不随着时间而变化的关系,就可得到更为精确的更功效的检验统计量。而为了反映总体分布随时间变化的特,就需要对模型进行
1) 引入时间虚拟量(例
可以时变;
2) 引入时虚拟量和某些自变量的
3) 若误差项时间时,仍可以使用异
, 跨时
在本节问题中,邹至庄检验检验是跨时前后的结构是发生了改变。此,约束模型的残差平方可以过基于混合后数据回归后计算,而无约束模的残差平方和可以通对个时期的数据分别回归后所得残差平方和加总得到。构造方法见C7.4和C8.2(异方差-稳健的形
构造邹至庄检验的另一种法是,引入间虚拟变量,让其和所有(部分)变量进行交
对多期的邹至庄检验,定有T个期和k个解释变量,么约束模型中的待参数为k+T,残差平方和记为SSR,其F检
个时期分别做回归,回归后的差平方和之和(SSR=SSR+SSR+?+SSR),其F检验的
SSR?SSRn?T(k+1)rurF=. SSR(T?1)kur
当然该检验对异方不能保持健性。如果要得到异方差-健的检
13.2
混合横截面分析对于评价某一事件或者政策影响可能非常重要。当些生事件(通常是政的政策)改变了个人、家、业或城市的运行环境时,就产生了自实验(natural experiment)或者被称为准实验(quasi-experiment)。在一个自然实验总有受政策变化影响的照组(control group)和受政策改影响的处理组(treatment group),不同
的这两个组的划分依据是是否受研究的政策影响,真实实验中则通随机的方式确定。为了控制好两个组之间统差异,我们需要政策变化前后的两年数据。如此
政策变化前的年份 d2=0 政策
则我们
y=β+δd2+βdT+δd2dT+其它因素. 0011
δ控制了政策效应,没有其它
),见下了
政变
对照组 β β+δ δ 0000
处理组 β+β β+β+δ+δ δ+δ 01010101处
,,,,,,,,,,由上表知,δ=y,?y,?y,?y,或者δ=y,?y,?y,?y,,这就是倍12,T2,C1,T1,C12,T1,T2,C1,C差的来源。由于倍差估计用y的平均值来处理政策效应,因此δ也被称为
). treatment effect
,如果模型中包了其制变量,那么δ没有
例子13.3 垃圾焚化炉的区位对住房的价格的影响
Nearinc这个虚拟变将样本分为房靠近垃圾焚化炉的组(处理组)和远离圾焚化炉的样本组(对照组),例如3英里为线划分。焚炉是在81年动工的,所以选取了1978年和1981年两年份的数据。实证结果
13.3 两期面板数据的分析
如果对一横截面数据中的个体,进行连续两期的测,那就得到了期面板数据。对于面板数据,我们可以从项中分离出随时间不变的不可观测因素,,一
()或者固定效应(),即因个体
素的综合效应,或者被称为非观测异质性(unobserved heterogeneity). 从误差项分出随时间变化但不随个体变化的可观测素可以由时间虚拟变量来刻画。在面板数据分析中,误差项会随着个和时间而变,从而其被称为特质差(idiosyncratic error) 或时变误差(time-varying error),并记为,。样,一个两年的面板数据模型可以表
,=,+,,,+,,+?+,,+,+,, t=1,2 ,,,0011,,,,,,,,,,,,,,
,,是时间虚拟变量,当t=2,值为1,否则为0;v=,+,常被称为
). error
对上述模型有种估计方,一是:直接把两数据混合起来,也是以v为扰动项进行,,,OLS估计,但这要个前提,那就是自变量和v不相关。若相关了,所得
的。这种偏误被称为
证。也正因为虑到非测效应,和解释变量
另一种估计方法差分法,即由于非观测效应,时
所得差分方程被为一阶
,,,,,?,=,+,,?,+?+,,?,+,?,, ,,2,,1011,,,21,,,1,,,,,2,,,,1,,2,,1
或者
?y=,+,?x+?+,?x+?,. i01i,1,i,k,
这种估计方法需要要?,和?x(j=1,2,…,k)不关,而只
关(严格外生性假设,strict exogeneity assumption),这个条件就满足了。该估方法的估计量称
上述估计的另一要求是MLR.3,就是?x
设一阶差分模型足CLM者高斯-马尔科夫假
一阶差分法的代价是减了x的变,有时这会成严重的问题;二是少了样本
, 面
通常用两个变量标示一
year)。见下表:
13.4
面板数据可用于政策析,特别是评价。在一个最简单的评价案例中,第一时得有关个体、企业、城市等单位的一个样本;然后让其中的部分截单位(处理组)参与一个期间内举办的某个项目,其余单位作为对照组;最后,取得第二个时期
记prog为项目与的虚变量,d2为第二个时期
为:
y=β+δd2+βprog+a+u, i,t00t1i,kii,t
如果项目参与仅发在第二时期,那么该差分方程中
,,,,,,,,,β=?y??y, 1treatcontrol
不同于混合横截数据的,此时允许个体固定
,项目参与如两发生,β有上述明显的含义但
值变化;引入随时间变化的,特别是那些和项目参与关的随时
13.5 多期面板数据的差分法
如果N个横截单位中,T期的数据,则该数据被称为衡面板数
基于平衡面
,=,+,,2+?+,,,+,,+?+,,+,+,,t=1,2,3,…,T, ,,,02,,,11,,,,,,,,,,,,,,
,2,…,,,为期虚拟变,是当期取值为1,否则值为0.
期的减去第一,第期的减去第二期
?,=,?,2+?+,?,,+,?,+?+,?,+?,,t=2,3,…,T, ,,,2,,,11,,,,,,,,,,,,,
由于该方没
?,=,+,,3+?+,,,+,?,+?+,?,+?,,t=2,3,…,T. (13.1) ,,,03,,,11,,,,,,,,,,,,,
要估计(13.1) 式需要进一步的假设.
假设1:严格外生性
假设2:,时
假设3: {?,}是序列无关的。 ,,,
假设3并不总成立,事上即使原序不相关,也不意味着其差分序不相关。下
,Step1: 计(13.1)
,,Step2: 建立?,=,?,+error,并进行回归,t=3,…T; ,,,,,,?1
Step3: t统计量者异方差-稳健的t统计
不成立。需要采用具有异方差AR(1)序列的FGLS方对(13.1)进行估计,本质是利用,,进行了一个Prais-Winsten变化,
若原假设有被
邹至庄检验也可以用于检验一阶差模型。很多时们预期截距变化,从而很检它们是否相同;而检验率相则更有意义。在一阶差分模型中,虽然不能估计时间不变的解释变量的数,但却可以检验其偏效应是否随时间变化。假定有三期数据,t=2000,2002和2004,则可以建立如下
;,,,,=,,
,+,,02+,,04+,,,,,;,+,,02,,,,;,+,,04,,,,;,+,,,,,,;变量+,+,. 01,2,1,1,,2,,,,,,
如此,可以检
, 一阶差
潜在缺陷的源: 1)释变量随时间变化的假定; 2)严格外
); 3)若变量存测度误差,么FD估计量可能比混合OLS估计量更
c13 跨时横截面的混合-简单面板数据分析方法
c13 时
第13
摘要: 本章引两类数据,一类独立混
pooled cross section): 不同时点的个随机独立抽的截面数据混合而成,保独立是该数据的一个特点。因此,在保持其它条件不,排除了误差项之间的关。不同时点,可能意味着总体分布已经发生了变化,所以该类数据的分析可用于评
另一类是面板数据(panel data)或者纵数据(longitudinal data),该类数据通过对同一个横截面数据的个体随时的变化进行跟踪,连续而得到。同一对象的不同时点观察,不能保证这类数据的独立性。本章讨论面板据分析较为简单的特殊模型
13.1 跨时独立横截面的混合
使用独立混合横面数据的一理由是增加样本容量,且若因变量和部分自量保持不随着时间而变化的关系,就以得到更为精确更有功效的检验统计量。而为了反映总体分布随时间变化的特,就需要对模型进行
引入时间虚拟量(例如,
2) 入时拟变量和某些自变
3) 若误项随时间而变时,
量或者WLS。 ? 跨时结构变化的邹至庄检验
在本节问题中,邹至庄检验检验的是跨前后模型的结构是否生改变。此时,束模型的残差平方和可以基于混合后数据回归后计算,而无束模型残差平方和可以通过对两个时期的数据分别回归后所得残差平方和加得到。构造方法见C7.4和C8.2(方差-稳健的形式)。 构造邹至庄检验的一种方法是,引时间虚拟变量,并其和所有(部分)自变量进行交,然后检验该虚变量和所有交互项是否
对多期的邹至庄检验,假定有T个期和k个解释变,么约束模型中待估参数为k+T,平方和记为SSRr,其F检的自由为n-k-T;而无约束模型的待估参数为T(k+1),差平方和为T个时期分别做回,回后的残差平方和之和(SSRur=SSR1+SSR2+?+SSRT),其F检验的自由度为n-T(k+1);如可以得到F检验统计
F=SSRr?SSRurn?T(k+1)
SSRur(T?1)k当然检验对异方差能保持稳健性。如果
13.2 利用混合横截面做政策分析
混合横截面分析对于评价某一事件或者政策影响可能非常重要。当些生事件(通常是政的政策)改变了个人、家、业或城市的运行环境时,就产生了自实验(natural experiment)或者被称为准实验(quasi-experiment)。在一个自然实验总有受政策变化影响的照组(control group)和受政策改影响的处理组(treatment group),不同
的这两个组的划依据是
y=β0+δ0d2+β1dT+δ1d2dT+其它因素.
δ1控制了政策效应,在没有其它因素候,δ1就是倍估计量(difference-indifferences estimator),见
112,T2,C1,T1,C2,T1,T2,C1,C差的来源。于倍差估计用y的平均值来处理策效应,因此δ1
1没有面两种的估计式,但其含义类
例
Nearinc这虚拟变量将本分为住房靠近垃圾焚的样本组(处理组)和离垃圾焚化炉的样本组(对照组),例以3英里为线划。化炉是在81年动工的,所以选取了1978年和1981年两个份的数据。实证结果
13.3 两期面板数据的分析
如果对一横截面数据中个体,进行连续的观测,那就得到两期面板数据。对于面板数,我们可以从项中分离出随时间不变的不可观测因素????,
(unobserved effect)或者定应(fixed effect),因个体而异但随时间固定不可测因素的综合效应,或者被称为非观测异质性(unobserved heterogeneity). 从误差项中分离出随时间变化但不随体变化的不可观测因素可以由时间虚拟变量刻画。在面数据分析中,误差
和时间而变,从其被称
(time-varying error),并记为????,??。这样,一个两年份的面板数据模型可以表示为:
????,??=??0+??0????+??1??1,??,??+?+????????,??,??+????+????,??, t=1,2
????是时间虚拟量,当t=2,取值为1,否则
对上述模型有两估计方法,是:直接把两期的数合起来,也就是以v??,??为扰动项进行OLS估计,但这需要一个前,那就是自变量和v??,??不相关。若相关了,所得估计是偏的和不一致的。这
称为异质性偏误(heterogeneity bias)。由于????的存在,不相关的假设很难到保证。也正考虑到非观测效应????和解释变量的相关性,我
另一种估计方是差分法,于非观测效????时不变,所将两期方
(first-differenced equation):
????,2?????,1=??0+??1 ??1,??,2???1,??,1 +?+???? ????,??,2?????,??,1
+????,2?????,1,
或者
?yi=??0+??1?xi,1+?+?????xi,k+?????.
这种估计方法需要要求?????和?xj(j=1,2,…,k)不相关,而只要每个时的误差项和所
assumption),个条件就满。该估计方的估计量被称为一阶差
上述估计的另个要求是足MLR.3,就?xj必须随时间所变化。如此,我们一般就可以设一阶差分模足CLM或者高斯-马尔科夫假设。所建立的估计量
一阶差分法的价是减少了x变异,有时会造成严重的问题;是减少了
? 面板数据的数据结构
通常用两个变来标示一
13.4 用两期面板数据作政策分析
面板数据可用于政策析,特别是评价。在一个最简单的评价案例中,第一时得有关个体、企业、城市等单位的一个样本;然后让其中的部分截单位(处理组)参与一个期间内举办的某个项目,其余单位作为对照组;最后,取得第二个时期
记progi,k为项参与的虚拟变量,d2t为第个时期
yi,t=β0+δ0d2t+β1progi,k+ai+ui,t,
如果项目与仅发生第二个时期,那么该差分方
1= treat? control, β?y?y
不同混合截面数据的是,
差分对
1没有上明显的但是其意义不变即代表
值变化;引随时间而变的因素,特别是那些和项目参相关的随
13.5 多期面板数据的差分法
如果N个横截面单位,都有T期的,则该数据被
????,??=??0+??2??2??+?+??????????+??1??1,??,??+?+????????,??,??+?
???+????,??,t=1,2,3,…,T,
??2??,…,??????为时期虚拟变,是当期取值为1,否则取值为0.我们对这T个方进行连环差分,第二期的减去第一期,第三期的减去第二期的,…,
?????,??=??2???2??+?+???????????+??1???1,??,??+?+?????????,??,??+?
????,??,t=2,3,…
,T,
于该
?????,??=??0+??3??3??+?+??????????+??1???1,??,??+?+?????????,??,?
?+?????,??,t=2,3,…,T. (13.1) 要估计(13.1) 式需要进一步的假设.
即??????(????,??,????,??,??)=0,j=1,2,..k,s=1,2,…T;
假设2:??1,??,??是时变
假
假设3并不总成,事实上即序列不相关,也并不意味着其差分序不相关。下
??,??}; Step1:
??,??=????? ??,???1+error,
Step3: 用t统量或者异方-稳健的t统量,检验H0:??=0.若原假设被拒,则明假设3不成立。需要采用具有异方差和AR(1)序列相关的FGLS方对(13.1)进行估计,其本质是利用?? 进行了一个Prais-Winsten变化,然后进行异方
若假设有被拒绝,则
邹至庄检验也可以用于检一阶差分模型。很时候我们期截距会变化,而少检验它们是否相同;检验率相同则更有意义。在一阶差分模型中,虽然不能计随时间不变的解释变的数,但却可以检验其偏效应是否随时间变化。假定有三期数据,t=2000,2002和2004,则可以建立如
??????????????=
??0+??1??02??+??2??04??+??1??????????????+??1??02??????????????
??+??2??04????????????????+??????????????变量+????+????,??.
如此,可
?
潜在陷的来: 1)解释变量
(Wooldridge (2002, Section 11.1); 3)若变量存在测度误差,那么FD估计量
可能比混
纳米压痕数据分析的混合方法研究
纳米压痕
机械度2009,31(5):857860
?研究简报?
纳米压痕
?vEsTIIST1IONOFHYBRIDMETHODFORANAIYZ?
NANCIINDEM'AI'I1]lNDATA
蒋锐胡
(中国科学技大学中科学院材料力学行为
JIANGRuiHUXiaoFangXUFengWUXiaoPing
(ChineseAcademyofScienceKeyLaboratoryofMechanicalBehaviorandDesignofMaterials,
Unwe~ityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230027,China)
摘要在Oliver-Pharr方法的基础上,提出一种新的纳米压痕数据分析方法称为混和
方法.该
理论分析,得压痕程中相关物理量之
加卸载曲
验计算得到随人深连续变化的硬度和
确的,
关键词纳
中图分
AbstractBasedonOliver-Pharrme~od,anewme~odforanalyzingnanoindentationdatawaspresented,whichiscalledhybrid
me~od.Byuseofdimensionalanalysisandtheoreticalillation,severallinearrelationshipsamongthevariablesduringnanoindentation
wereattained.3hroughanalyzingthewholeloading-unloadingculTes,hardllessandelasticmodulusvaryingwithindentationdepthann
bemeasu/~dbyafewnanoindentationtests.Reliabilityofthelinearrelationshipsandthehybr
idmethodwereverifiedbyexperimental investigation..
KeywordsNanoindentation;Dimensionalanalysis;Contactst媚 Correspondingauthor:HUXiaoFang,E-mail:huxf@UStC.edu.cn,Tel:+86—551—3600564
TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(No.10472113).
Manuscriptreceived20070925.inrevisedform20080625.
1引言
随着微机电系统(micro.electro.mechanicalsystem,
MEMS)以及
验揭示出料
观块体材有显
计和力学能
性能参数不
下的材料学
有效的微度
用].该术
记录压人样
卸载部分,通
出材料的性
析方法从点
压入深度)的
观硬度并是
硬度值较;
趋近一恒
(indentationsizeeffect)随].为研究该现象,必须首先得
到硬度一入
法[7]1(continu0usstiffnessmeasurement)可以从单点
压痕实验到
般的未配备该技术的仪器,想要得到日一关系,通常 只能过测试大量一系列不同深度点来实现. 这种法不仅耗时长,而且大量的重实验加速对 压针等部件的损耗,需要对仪器行频繁的准. 本文首先通过量分析』1瓣?和理论分析,得到 压痕过程中相关物理量之间尺度系.利用这些结 论,在O&P方的基础上,提出一种新分析方法, 称为混合方法,即析整个卸载曲线,可从少量的 压痕试验得到压人深度连续变化的材料硬度和弹性 量.这为深刻揭示P—Ilz曲线中富含的信息提供
2量纲分析
如图1所示,考虑一个三维圆锥形刚性
目.
*睾蒋锐,男,19817月生,安徽省无为
度实验力学.
机械强
于常用的Berkovich压,可以等效为一锥形压 针)的痕问题】l狲,半锥角为.针垂直压人含
:
n当e?Y/E(
其中,是应力,e是应变,是性模量,l,服强 度,凡是工硬化指数,是刚度系数,K=y(E/y). 进一步假定压头与材料接触表面之间无
深度深度
DepthContact
depth
图1压痕示意图
Fig.1Sketchofneamindenta6on
2.1
对于加载段,感兴的两个
n=hctan0(2)
:
P/ua(3)
对于各向同性的满足本构关系(1)的含加工化的弹 塑性材料两变量P和h,然是所有独立自由变 (弹性模量,泊松比,屈服强度Y,加工硬指数 n,压人深度h和压针的半锥角0)的函数. P=A(E,,Y,n,h,0)(4) h=g(E,,',,n,h,0)(5) 在上述个独立自由变量,E和h具有独的量纲. ,,,,n,0,Ph.的量纲可
[]:[].[h].
[//]:[].[ho…
:
[].?.(6)
[P]:[E][^]
[h]=[h]
运用量纲
1I(E,,n,0)=P/(Eh)…
172(?En,):hc/h(7)
基于以上
1)载荷P压入
2.2
加载到最大载荷P一时,压深度达到最压入 深度一,此后开载到无载荷.卸段载荷P是 以下七个独立自由变量的函,弹性模量E,松 ,屈服强度y,加工硬化指数11,,压入深度h,最大压人 深度^,和压针的半
,)(8) P=fu(E,,Y,11,,h,^,
运用量
P=Eh.113(r/E,/一,v,n,0)(9) 对式(9)求导,得
:
=Eh,II'3(Y/E,1'+
2//3(y/E,1,,11,,)J 令无量纲函数
?(】,/E,v,n,)=11(y/E,1,,n,)+
211(E,1,v,n,0)
得S=一
=Eh一//4(Y/E(10)
基于以上的量纲分析结果_】狲,得出以下结论 1)与加载段不同是,载荷P不再是简单地与 入深度的
3理论推
如图2a所示,首先虑理想压情况.总的压 痕深度可以
h=h+h(11)
压头投影接触面积
=
c:(12)
其中,C是半
硬度定义
h=?PCH13
Oliver和Pharr的研究结果表明
iP
I
(a)尖
压针示意图
(a)Thesketchofideal indenterwithr=O \,
,
(b)尖
压针示意图
(b)Thesketchof
indenterwithr?0
图2压头,J意图
Fig.2Thesketchotindenter
P
??,??????f
第31卷第5期
h=aP/S(14)
其中,是与压针状有几何常数,圆锥形
接触刚度与合
联合式(12),式(14),式(15)得l1们
:,—
~/nP
『_
H(16)
再将式(13),
(?%+e),
,再由 由此可见,载荷P与痕深度的平h成正比式(13)和式(15),可得接触深度h与压深度成正 比,接触刚度S与最大压人深成正比. 如图2b所,再考察实际使用中钝化的压头.对 于这种情况,压头投影接触面积可
其中,为压头的钝化偏差.(18)在h>d时成立, 本述试验中所使用的针端曲率半径r约为 100nm,计算d约为6am,h>d在一般的压痕试验 中总是满足的,即式(18)恒成立.类于理想压针的 分析过
P
(+,),
代人式(13)并简化,可得
h=a+(20)
代入式(15)并简化,可得
S=m+n(21)
这里a,b,和都是常.由式(20)和式(21) 见接触深度与压深度成线性,接触刚度与压入度 成线性,论与前文的量纲分析相吻合. 由前文的量纲分析和
一
种新的纳米压痕数据分析方法,称为混合方法.通过 少量的几个不同压入度测点的结果,首先O&P 方法计出几个压入深度下的接触深度和接触刚 ,得到度和弹性模量值.用式(20)和式(21)拟 合出接触深度,接触刚与人深度之间的线性关系. 对于O&P方法校准过压头投影接触面积,重新用 式(18)进行拟合.将拟合的一关系式(20)代人式 (18),由任意一加载曲线的尸一线,依据硬度定 义可计
(22)
再将拟合的.s一关系
?
4实验验证
测试样品为用溶胶一凝方法制备的锆钛酸铅 (Pbzr0,Tio钾03,PZT)铁电薄膜,薄膜制详见 献[11].薄膜的厚约为1m,晶粒直径约为100nIn, 沿(100)晶向强烈取向.测试仪器为TriboIndenter (HysitronInc,USA),力的分辨率为1nN,深度分辨率 为0.04nm.所用压针为正三锥形波氏压针 (Berkovichtip),针尖端曲率半径约为100am.测 试点为4×4的正方形阵列,点之问的问为50肚m.加 载方式为载控制,各测试点的最大载荷从9000N 开始依次递减500N,加卸载速率均500/zN/s,保载 时问都是5S,用以获得不同压入深度
所有测试点的加卸曲线见
递减到82nm.各测试点的加段基本重合,明薄膜 均匀性良好,测点的力学性能无显着异.压入 点的间距为50m,远大于压入直径20倍,各测试点 不
i
,
0
柱
舔
图3所有
Fig.3Theloading-unloadingcurvesofalltestedpositions
验证量纲分析和理论推中各尺度关系.以最大 载荷为9000ttN的试点为例,由图4b可见,在载 曲线中,载荷平方根与深成线性关系,这与式(19) 吻合.测点的一关系,5一关系如图5所示, 亦成线性关系,式(20),式(21)吻合.述几个性 关系都与理论推导的结果完全吻合,而与量纲分析中 的简单地成正比关略有不,这是由于量纲分析中 考虑得是理的压头,而理论导过程中考虑了针尖 的钝化.以最大载荷为9000N的测试点(该处的最 压人深度为242nm)为例,由混合方法计算出压 入深度连续变化的材料硬度和弹性模量,如图6所示, 该结果与O&P方法计算的结果基本吻合.
深度Depthh/tim
(a)加卸载曲线
(a)Theloading—unloadingcurve
深度Depthh/nm
(b)相
(b)Thesquarerootofloadvs.depthcurve
correspondtotheloadingsegement
图4最大
Fig.4Positionwhichthemaxlmun loadis9000"N
5结论
压人深度Depthh/am
(a)^^关系
(a)hvs.h
压入深度Depthh/nm
(b)S—h关系
fbSvs.h
图5hc一^,s一^关系
Fig.5hvs.handSvs.h
本文通过量纲分析和理论推导,得到压痕过程中 相关物理量之间的性系,在这些结和O&P方法 的础上,提出一种新的混合方法,为O&P方法的 推论和改进,克服了O&P方法通过大量痕实验才能 得到随压入深度连变化硬度和弹性模量缺点, 实现从少量的压试验,得到随压人度连续变化的 材料硬度和弹性模量.实验研究验了线性关系的 在,证实混合方法的
致谢
感谢国家自然科学基金上项目(10472113)的 助.感谢中国科学术大学精密机械与精密仪器系许 晓慧同学在薄膜中的大力协助,感谢中国科学院 材料力学行为和设计重
痕实验中的帮助.
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山
0
芒
士
世
罄
兰
与
E
?
8
弓0
?
寸?
深度Depthh/nm
(a)一^曲线
(a1vs.h
深度Depthh/nm
(b)E一^曲线
(b)vs.h
图6由混和
变化的日
Fig.6Hvs.handEvs.hcalculatedfrom
hybridmethod
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暑g\《鲁q0四lu0u
Eg\.《世聪摇辎
一Lu\Z
一,u,z3趟萎摇鞋
z《.挥;痒
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