范文一：什么是多项式7篇

以下是网友分享的关于什么是多项式的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇1

由多项式的值与x 的值无关，到底是什么意思呀, 中段考试刚刚结束，通过调查全班只有一位同学会做24题，有3到4位同学在收卷时

间才想到如何做，但是时间却来不及。而之前我在班上已经讲过

这道题。为什们结果会和我的

预期有这么大的落差,考后，俊锛同学追着来问我这道题的解法，我让他自己思考，但是他竟然卡在“多项式的值与x 的值无关”是什么意思，这个问题上，通过在我的鼓励下他尝试当x=1时，无法求出a,b, 他最后认为x=0,这样的话，才与x 无关。而这个问题，我建议他在班上再好好讲讲，看

1

看如何去理顺这里面的奥妙。

24(已知多项式(3x 2+2ax -y +6) -(3bx 2-6x +5y -4)

(1)若多项式的值与x 的值无关，求:a , b 的值; 然而当他在班上讲到时，

镓珩同学提出，b 和x 都是未知数，为何只提x 而不提

俊锛同学说，b 就只是一个字母，比如只能等于1，

泽开同学疑问，比如当b=2时，此时就成了-6x ， 所以b 也能等于其它数

老师总结，通过讨论，说明 b 是字母，它可以取不同的值。所以，我们依然没有解决了这个问题。 陈冠羽，陈慧骄，纪晓琳同学都表达了类似的意思:其实

个时候与b 是否是字母无关，只是把相同的提出来而已。

镓珩同学仍然满脸疑问。

老师总结:我们小学学的乘法分配律, 这个时候a,b,c 尽管都是字母，这但是我们在提取a 的时候，只是考虑提取相同的，而不是它属不属于字母这个事实。那么

这个式子如何提取

学生经过一会儿思考后，指出其实应该是但是接下来=(1-3b )而此时许多学生对这个1的由来又充满困惑和疑问。但是通过逆推，学生最后还是接纳了。 在已经模糊知道了=0，这个事实后，俊锛接着讲道:，但是在错误的计算过程中，得到b=-1,他似乎意识到自己算错了，因为他已经

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知道答案是1，所以他停顿了下， 说应该是3=-3b,但是结果又是b=-1,最后他得出正确答案应该是3=3b,b=1,但是却讲不出为什么。 羽宸同学补充说明，因为当时，此时0×=0，所以与x 无关。

此时，全班同学都感觉听懂了，但是我知道，他们不是真的懂了，而是在听讲的过程，思维绕过一个障碍，而没有解决这个障碍。

老师问，我记得有一部分分学生他们的第一反应是应该x=0,我想调查下有多少同学当时是x=0.

下面有6到7位平时优秀的学生都举了手。

老师问: 先在弄清楚为什么x=0不行吗,

子晴同学:因为当x=0时，此时b 可以取很多值，但是结果都是0，所以没法把b 求出来。

刘臻同学:因为当x=0时，此时与b 无关。

老师问:刘臻和子晴同学的回答虽然表达不同，但是不是有异曲同工之妙呢,给大家讨论一下。

经过讨论，最后老师通过提问琬晴同学，确定他们可以基本上理解这个含义。 这个时候已经是水到渠成，现在也就不难理解只有当等于0时，才于x 无关。 面对学生的问题，出现的困惑，一定不能另起炉灶重新讲授或者往自己的思维方向引导，此时教师的教应该能够有效的服务于学生的学，只有学生思考和探究的成果成为教师推动学生进一步学习

3

的资源，教师的教才能真正与学生的学融合，才能避免教学擦肩而过的悲剧，才能避免课堂出现低效甚至无效的现象。而真是居于这个观念，我在这道题中慢下来，通过这道题，解决了在这课堂中学生真正出现的问题，如何合并带有字母的同类项(因式分解)，如何理解与x 无关。

篇2

什么是多项式敏感度公差分析

摘要本文展示了如何使用多项式拟合加速公差分析的方法。

作者Dan Hill

发布时间2007年5月6日

译者aka 光杆司令

减少公差分析的时间——多项式敏感度公差分析如何工作

公差分析是光学设计的一个重要环节。贯穿公差分析整个过程的是，依赖于公差对准据改变的贡献，或者公差是否在预算(budget)内，一系列公差要么放宽要么收紧。这个过程将不断重复，直到我们对性能在规格要求内感到满意，并且各项公差符合实际并且不会增加不必要的制造成本。

在不断重复改变公差设置及评估我们光学系统性能的过程

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中，更可能的情况是，只有极少的公差需要调整。因此，没有必要反复的重复计算每一个公差操作数。另外，对于那些需要调整的公差，我们可以使用拟合公式快速的计算准据的变化。这样做的好处是可以节省大量的计算时间。这就是多项式敏感度公差分析的原理。

对于大多数公差，准据值随着公差微扰而平滑变化。在大多数情况里，准据变化的曲线可以使用3项或者5项多项式准确的拟合。只有当公差过于宽松，以至于设计在优化时会找到不同的局部最小时，才会出现无法拟合的情况。

设想有一个多镜片的成像系统，如下图，我们画出了RMS 弥散圆半径随着第一块镜片偏心变化的函数曲线。

在公差范围内，这个曲线很规则，并且可以很容易的被一个多项式拟合。在ZEMAX 里，我们可以拟合实际的准据曲线得到如下形式的3项或者5项多项式:

P =A +B δ+C δ2+D δ3+E δ4

其中δ是公差微扰，P 是由此得到的准据值。对于3项拟合，一共使用了4个位于最小和最大公差值之间的不同等间距点。对于5项拟合，一共需要6个点。

使用上面的例子，3项拟合需要4个等间距公差微扰下的准据值，如下图所

示。

一旦计算出准据值，就可以拟合一个3项多项式。注意到，

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这个多项式使得对应的4个准据值与4个微扰点的误差最小。事实上，使用一个有限项的多项式，拟合式并不能经过这4个点对应的每一个实际准据值。

对于这个的例子，拟合可能看起来如下图:

这个拟合曲线(仅由4个数据点决定) 事实上与实际准据值随着公差微扰变化的函数没有差异。

美妙之处在于，一旦我们知道准据值随着公差微扰变化的函数，接下来的计算几乎可以瞬间完成。比如，如果我们收紧第一块镜片的偏心公差(像上面展示的那样) ，那么没有必要再次强制的计算准据值了。取而代之的是，我们简单的插入公差微扰到我们拟合得到的函数中得到新准据值。

使用多项式缓存

多项式(Polynomial)拟合选项在公差分析窗口(Tolerancing)

下的设置标签页(Set-Uptab) 中。

如图，可以选择3项(3-Term)或者5项(5-Term)多项式。多项式拟合可以认为是一种“缓存”选项，因为多项式拟合数据存储在内存中。缓存数据可能用于接下来的公差分析。关于其它缓存(Cache)选项，请参考文章。

初始时，对于第一次运行公差分析，缓存(Cache)选项可以设置为“重新计算所有”(RecomputeAll) 。如果接下来的公差分析中你希望使用缓存的多项式，那么就应该像上面的对话框一样，多项式(Polynomial)选项要么选择3项(3-Term)或者

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5项(5-Term)。

对于初次计算，使用多项式会更耗时，因为ZEMAX 必须计算最小和最大公差范围内的一些额外点。像前面描述的，3项多项式需要4个数据点，而5项多项式需要6个数据点。针对各个公差的多项式拟合在公差数据编辑器

(ToleranceData Editor) 完成。当各个公差的拟合完成后，多项式系数会存储在内存中。公差分析完成后，多项式将显示在输出文本窗口中:

在查看完公差分析的结果，并调整完某些公差后，接下来的公差分析可以使用缓存的多项式数据。但务必保证接下来的公差分析选择了“使用多项式”(UsePolynomial) 缓存(Cache)选项。这样做会使计算量大的公差分析节省很多时间。对一些共同问题的回答及一些小提示

多项式缓存可以通过多项式拟合准据值变化的方式为公差分析节省很多时间。对于一个已经完成优化的系统，并且对于适度的公差，准据值的微扰函数非常接近二次函数，就像我们文章前面讨论的偏心的例子。

如果你的公差太过宽松，或者目标镜头并不是最优的，那么准据值与公差可能有非常奇怪，并且无法拟合的关系。如果是这种情形，拟合多项式将不能准确的代表真实的准据值。所以，不要将初始公差设置得过于宽松，特别是执行反向敏感度分析时。使用缓存时，是不是还是会考虑补偿器,

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是的，公差计算完成后给出的数据没有考虑到补偿的影响。不过，补偿器的数据的确没有显示。

我怎么清除缓存,

如果你怀疑缓存数据的有效性，将“Cache ”选项设置为“Recompute All ”并重复公差分析过程即可。总结及参考资料

多项式拟合可以为公差分析节省非常多的时间。对于初次的公差分析，ZEMAX 可以计算定义的公差范围内的多个点。使用这些数据，准据值随公差微扰的变化可能拟合为多项式。对于接下来的计算，ZEMAX 会使用拟合多项式计算准据值，而不是反复的重复计算每个公差值。

参考资料

ZEMAX 光学设计程序的用户指导，ZEMAX Development Corporation 原文:What Is Polynomial

Sensitivity Tolerancing?

本作品采用进行许可。

篇3

式、代数式、单项式、多项式、整式的区别与联系是什么,

“式”，是数学式子(或乘解析式)的简称，是数的概念的发展。在小学数学里，已经用字母a、b、c等表示已知的但

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是不定的数，用字母x表示未知而特定的数。用字母表示数时，它不仅可以参与运算，而且在运算中适合数所具有的普遍性质，如交换律、结合律、分配律等基本运算律。从数学发展的历史来看，也正是由于算术中引进了表示数的符号，由此扩展到用字母表示数，才产生了代数这个重要的数学分支。当然，别的数学分支也普遍使用着数学式子的概念，不过代数里研究得比较直接、深刻罢了。一个数学式子就是一些数以及表示数的字母用运算符号把它们连接起来的一组符号。这组符号指示我们应该按照指定的顺序，把这些运算实施在数字和字母表示的数上，从而求得它的值。为了提法上的方便，我们也把单独用数字或字母表示的数，算作是一个数学式子。

很明显，对于数学式子的深入研究应该着眼于运算。在初等数学里所指的运算，是指有限次的加、减、乘(包括正整数次乘方)、除这四种算术运算(也称四则运算)，开方运算，指数运算，对数运算，三角运算和反三角运算等。

以上运算中的算术运算和开方运算总称代数运算。在指数运算中，当指数是有理数时，可以归结为正整数次的乘方运算和开方运算;指数为无理数的指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算统称为初等超越运算。

由于数学式子所含的运算种类不同，它可以分为两大类:

?代数式:只含有代数运算(算术运算、开方运算及指数

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是有理数的指数运算)的数学式子。

?超越式:或称初等超越式，指除了代数运算以外，还包含初等超越运算(指数为无理数的指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算)的数学式子。

数或字母间只含有乘法运算(包括正整数次幂)的代数式叫做单项式。包含加法运算的是多项式，单项式与多项式统称为整式。除式中含有字母的是分式。整式与分式统称有理式。含有开方运算的称为根式，特别地把含有字母开方的代数式称为无理式。

这里需要说明，数学式子中的字母，可能不止一个，根据它们所表示数的实际意义，不能完全把它们“等量齐观”。不能“等量”，是说有的字母所代表的数量，可以在研究过程中取固定的数值，有的字母可以取不同的数值。不能“齐观”，是说字母中有主次之分，因而有常数与变数，即常量与变量之分，在不同的场合，又有不同的命名。例如，在函数的研究中，变数有自变数与因变数之分，在方程中称为未知数，在多项式中称不定元。不定元是一个更广泛的概念，它所代表的不一定是数，可以是向量、矩阵或物理量等等。这些不同的命名完全是人为的，并不影响它们适合基本运算律，或其他变形规律。

代数式还可以根据所含的运算种类进行分类。

只含有算术运算的代数式叫做有理式。其中，除式中不含

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有字母的有理式，叫做整式;否则，叫做分式。

含有开方运算的代数式，叫做根式。其中，含有对字母进行开方运算的代数式，叫做无理式。

对于以上的分类，应该注意以下两点:

?一个代数式中所含的字母，有的可以表示常量(常数)，有的可以表示变量(变数)。代数式可划分为有理式和无理式两大类，是对在研究过程中作为主要的变数字母来说的。例如，2x，对变数字母a、x来说是分式，但是单独对x来说则是整式。又如，x，，2，都是根式。但对变数字母x来说，x，是整式，2，则是无理式。

?分类是从形式上考察的。例如，根据算术根的性质，可知=x2，1,所以实质上是一个整式，但从形式上来考察，我们仍说它是一个无理式，这一点与函数的分类是有区别的。

总之，式、代数式、单项式、多项式、整式既有区别，又有联系。它们的根本区别在于不属于同一层次，而基本联系则是同属于式的范畴。它们的关系可以简单地表示为:

数学式子

篇4

又是一个凄迷的夜晚，我依旧伏在桌上，橘黄灯下。我蓦

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地感觉好迷惘。

寂寞对望的灵魂，你是我，我是你，你不是我，我不是你，安尼宝贝的文字总让人感觉苍白又迷离，我很孤独吗,我没有答案，或许不是所有的问题都有答案。我这样想。

当希望已湮灭，当梦已经退色，当未来已渺茫，我还是我吗,

望着窗外，又是那片天空，被繁华映上色彩，那里的人们沉迷于花红酒绿的世界，或许他们很自豪，因为他们有艳丽的服饰，我总感觉他们应该很悲哀，如果他们变的贫穷。

什么是什么,未来有多远,是什么样子,我望着其他人的生活来和自己相比，寝室里，他们几个早已经进入梦乡，而我,我不知道为什么,四下死一般沉寂，夜色的世界路，孤独便是我自己。

我是在生活吗,生活又是什么,是生到死的过程,还是所谓的为了意义,我也不知道。

苍白的文字，迷离的天空，沉寂的夜晚，我开始茫然。

形形色色的人们生活在这个城市，同一个城市，不同的角落，同一个夜晚，有些在睡梦中;有些在追求金钱而忙碌;有些在花天酒地;而为什么没有见到一个与我同伍,

什么是什么,我不知道，谁知道～上帝,或许吧。

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篇5

作业4

一、填空题

2、某日傍晚，黄山的气温由中午的零上2?下降了7?，这天傍晚黄山的气温是____。 3、多项式2xy～x,

3

122

xy～1的最高次项是，三次项系数是，3

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=_______,～3的倒数为_________.

33

按x的降幂排列为______ __。

4、～ ～3 =_______,～～3

1 3

5、我国自行研制的“神舟五号”载人飞船于2003年10月15日成功发射，并环绕地球飞行590520km。将590520km四舍五入要求保留一位有效数字，则应表示为

km。

6、比较大小:～

78

13

～(填“,”、“,”、“,”) 89

7、计算:1,2，3,4，5,6，?，99,100,。

8、a2表示的生活实际意义

是: 。 19.如图,C为AB的中点,D为BC的中点,且AD=6cm,则AB=_____cm.

第19题

第20题

B

第22题

20.如图,已知MP:PQ:QN=3:2:4,T分别是MP,QN的中点,且ST=11cm,则MN=______cm.?

21.如果A,B,C在同一直线上,线段AB=5cm,BC=3cm,那么A,C两点间的距离一定是_______. 22.如图,图中有__________条不同的线段.

二、选择题

ab221

,～abc,0,～5,x～y,,中,单项式有( ) 2、在代数式33x

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

3、下列各组数中,相等的一组是( )

2322

14

A、,1和(,4)，(,3) B、?,3?和,(,3) C、3与2 D、,3与(,3) 4、若a、b为有理数,则下列说法正确的是( )

22

A、若a?b,则a,b B、若?a?,?b?,则a,b

2222

C、若a,b,则a,b D、若ab?0,则a+b,0 5、下列说法错误的是( )

A、若,a是正数,则a是负数 B、a与a的倒数同号

C、0?表示没有温度 D、若

a

,,1,则a,0 a

6、若?x?,3，?y?,2,xy,0，则x，y的值等于( )

A、5或-5 B、1或,1 C、5或1 D、,5或1

2

7、当a,,5，b,,3时,代数式2b,5a的值等于( )

A、18 B、43 C、,18 D、,43

8.如果A,B,C在同一直线上,线段AB=6cm,BC=2cm,则A,C两点间的距离是( ) A.8cm B.4cm C.8cm

或4cm D.无法确定 9.如果线段AB=5cm,BC=3cm,那

15

么A,C两点的距离是( ) A.8cm C.2cm

C.8cm或2cm D.无法确定

三.解答:

1、已知有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图2所示,化简代数式 ?a?-?a+b?+?c-a?+?b+c?

.

2、某市用电话拨号上网有两种收费方式,用户可任选其中一种方式:(一)计时制:0.05元/分;(一)包月制:60元/月(限一部个人住宅电话上网)。此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分。(1)某用户某月上网x小时,请分别求出两种收费方式所支付的费用;(2)若某用户估计每天上网1个小时(一个月以30天计)，你认为采用哪种方式较为合算?请加以说明。

3、如图,已知AB=20cm,D是AB上一点,且DB=6cm,C是AD的中点.求线段AC的长.

4、如图,已知C是AB的中点,D是AC的中点,E是BC的中点. (1)若AB=18cm,求DE的长; (1) 若CE=5cm,求DB的长.

5、已知线段AD上有两点B,C,且AB:BC:CD=2:3:4,若AB

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的中点M与CD的中点N的距离是3cm,求AB,BC和CD的长.

篇6

ERP是Enterprise Resources Planning(企业资源计划)的缩写，这一观念最初是由GartnerGroup公司在90年代初期提出的，并就其功能标准给出了界定。

作为企业管理思想，它是一种新型的管理模式;而作为一种管理工具，它同时又是一套先进的计算机管理系统。简单地说，EPR是用来对企业资源进行优化配置，使企业运行更有效率。

它的前生是MRPII(制造资源计划)，更前生是MRP(物料需求计划)MRP主要用来判断计划中物料的缺料计划，然后生成采购计划(采购件)和车间作业计划(自制件)，但是他的基础建立在资源无限上的。

MRPII的核心是MRP，但是他丰富了内涵，容入了企业整个的管理;ERP在MRPII的基础之上由于企业专业化的分工，强调了客户资源管理和供应链管理的内容

从大的方面来说，ERP应该也是属于MIS系统的范畴信息管理系统。

MIS是Management Information Systems的缩写，即管理

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信息系统，

是一个由人、计算机及其他外围设备等组成的能进行信息的收集、传递、存贮、加工、维护和使用的系统。

其主要任务是最大限度的利用现代计算机及网络通讯技术加强企业的信息管理，通过对企业拥有的人力、物力、财力、设备、技术等资源的调查了解，建立正确的数据，加工处理并编制成各种信息资料及时提供给管理人员，以便进行正确的决策，不断提高企业的管理水平和经济效益。

目前，企业的计算机网络已成为企业进行技术改造及提高企业管理水平的重要手段。随着我国与世界信息高速公路的接轨，企业通过计算机网络获

得信息必将为企业带来巨大的经济效益和社会效益，企业的办公及管理都将朝着高效、快速、无纸化的方向发展。MIS系统通常用于系统决策，例如，可以利用MIS系统找出目前迫切需要解决的问题，并将信息及时反馈给上层

管理人员，使他们了解当前工作发展的进展或不足。换句话说，MIS系统的最终目的是使管理人员及时了解公司现状，把握将来的发展路径。日常的商务软件、进销存软件、小型的管理系统可归入此类。

CRM (Customer Relationship Management)客户关系管理，其内含是企业利用 IT技术和互联网技术实现对客户的整合营销，是以客户为核心的企业营销的技术实现和管理实

18

现。它的目的在于建立一个系统,使企业在客户服务,市场竞

争,销售及支持方面形成彼此协调的全新的关系实体,为企业

带来长久的竞争优势。

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篇7

什么是什么

什么是什么:野生动物

什么是什么:野生花卉

什么是什么:恐龙世界

什么是什么:树木和森林

什么是什么:史前哺乳动物

什么是什么:探索大自然

什么是什么:濒灭动物

什么是什么:动物迁徙

什么是什么:动物感官

什么是什么:热带雨林

什么是什么:我们的地球

什么是什么:宇宙中的天体

什么是什么:太空航行

什么是什么:月球秘密

19

什么是什么:冰河世纪

什么是什么:空气和水

什么是什么:古生物化石

什么是什么:自然灾害

什么是什么:太阳的奥秘

什么是什么:夜空中的星座

什么是什么:能源之谜

什么是什么:化学世界

什么是什么:微观世界

什么是什么:光线与色彩

什么是什么:认识时间

什么是什么:建筑学探秘

什么是什么:发明与创造

什么是什么:人体之谜

什么是什么:遗传和基因

什么是什么:神奇的仿生学

什么是什么:远古人类

什么是什么:消失的城市

什么是什么:古罗马帝国

什么是什么:维京人之谜

什么是什么:古代德国

什么是什么:古代希腊

20

什么是什么:海盗传说

什么是什么:消亡的骑士

什么是什么:音乐和乐器

什么是什么:忠诚的狗

什么是什么:马的秘密生活

什么是什么:有趣的昆虫

什么是什么:极地世界

什么是什么:鸟的家族

什么是什么:各种各样的鱼

什么是什么:蝴蝶王国

什么是什么:神秘的猫

什么是什么:蜘蛛王国

什么是什么:鲸和海豚

什么是什么:认识天气

什么是什么:岩石和矿物

什么是什么:火山探奇

什么是什么:溶洞奇观

什么是什么:世界未解之谜

什么是什么:无尽的宇宙

什么是什么:欧洲风情

什么是什么:山峰和山脉

什么是什么:全球气候

21

什么是什么:狂野沙漠

什么是什么:人类的秘密

什么是什么:航空探趣

什么是什么:数学的魅力

什么是什么:什么是电

什么是什么:自然科学

什么是什么:神奇的海洋

什么是什么:计算机和机器人

什么是什么:电磁奇观

什么是什么:有趣的力学

什么是什么:医学奇迹

什么是什么:伟大的探险家

什么是什么:美国西部

什么是什么:印第安人

什么是什么:神秘的金字塔

什么是什么:货币的故事

什么是什么:世界七大奇迹

什么是什么:角斗士史话

什么是什么:奥林匹克

什么是什么:古老的城堡

什么是什么:蜜蜂和蚂蚁

什么是什么:爬行动物

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什么是什么:真菌世界

什么是什么:软体动物

什么是什么:大象王国

什么是什么:猿类趣话

什么是什么:狼的故事

什么是什么:企鹅世界

什么是什么:蛇的秘密生活

什么是什么:宠物天地

什么是什么:船舶的历史

什么是什么:声学探秘

什么是什么:汽车史话

什么是什么:火车秘史

什么是什么:现代物理

什么是什么:桥梁和隧道

什么是什么:犯罪探秘

什么是什么:多媒体世界

什么是什么:神秘的大脑

什么是什么:电视改变生活

什么是什么:体育运动

什么是什么:邮票的故事

什么是什么:十字军东征

什么是什么:游牧民族

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什么是什么:古塔与高楼

什么是什么:木乃伊的秘密

什么是什么:寻宝传奇

什么是什么:啮齿动物

什么是什么:世界上的宗教

什么是什么:中世纪史话

什么是什么:鹦鹉王国

什么是什么:鲨鱼和鳐鱼

什么是什么:熊的故事

什么是什么:电子科技

什么是什么:摄影的历史

什么是什么:烈火消防队

什么是什么:热闹的农场

什么是什么:矿物开采趣话

什么是什么:美食和营养

《大英儿童百科全书1》

AESOP 伊索 一个讲动物故事的人

AFRICA 非洲 非洲在学习

AFRICA 非洲 艾沫斯在大赛中获胜

AFRICA 非洲 再谈非洲

AGE 年龄 生日的愿望

24

AGE 年龄 多少个生日

AIR 空气 这是什么

AIR 空气 污染的空气

AIR 空气 再谈空气

AIRPLANES 飞机 在发明飞机之前

AIRPLANES 飞机 中途不停的飞机

AKLAVIK 阿克拉维克 熊出没的地方

ALCOTT, LOUISA MAY 路易莎? 梅? 奥尔科特 幸福之家的故事

ALEXANDER THE GREAT 亚历山大大帝 制伏马的男孩

ALIKE AND DIFFERENT 异与同 太矮，太高 太肥，太瘦

ALONE 独自一人 寻找躲藏的地方

AMAZON 亚马孙河 亚马孙河探险

AMAZON 亚马孙河 再谈亚马孙河

ANIMALS 动物 你能发现它吗,

ANIMALS 动物 特别长的睡眠

ANIMALS 动物 关于尾巴的故事

ANIMALS 动物 怎么捕捉长颈鹿

ANIMALS 动物 动物的伙伴

ANTHONY, SUSAN B. 苏珊? 安东尼? 布奈尔 女人的权

25

利不能少

ANTS 蚂蚁 昆虫城堡的建筑师

APPETITES 食欲 有趣的食物——真的是吗,

AQUANAUTS 海底观察员 生活在水的下面

海底宝藏

ARMOR 盔甲 曼弗雷德爵士从马背上摔下

ART 艺术 看我画的是什么

ART 艺术 现在的绘画与以前的不同

ASTRONAUTS 宇航员 做这种工作

ASTRONAUTS 宇航员 在太空中行走

ASTRONAUTS 宇航员 再谈宇航员

ATHENS 雅典 文明古城

ATLAS 阿特拉斯 他终究没有使自己脱身

ATLAS 阿特拉斯 阿特拉斯和地图

ATTILA THE HUN 匈人阿提拉 马背上的战士

AUSTRALIA 澳大利亚 辽阔的土地

AUTOMOBILES 汽车 在有汽车以前

《大英儿童百科全书2》

BABIES 婴儿 婴儿的头一年

BABIES 婴儿 最大的家庭

BACH, JOHANN SEBASTIAN 约翰? 塞巴斯蒂安? 巴赫

从小热爱音乐的人 BALLET 芭蕾舞 那么多要记住的

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BALLET 芭蕾舞 再谈芭蕾舞

BALLOONS 气球 形形色色的气球

BAMBOO 竹子 最高的草

BANANAS 香蕉 热带丛林中的金子

BANKS 银行 小猪上银行

BANNEKER, BENJAMIN 本杰明? 班纳克 记性好的人

BARNUM, PHINEAS TAYLOR 菲尼亚斯? 泰勒? 巴纳姆 去看看骗人的把戏 BASEBALL 垒球 投球手怎样迷惑击球手

BATS 蝙蝠 它会飞，但绝不是鸟

BEACH 海滩 沙子城堡

……

《大英儿童百科全书3》

《大英儿童百科全书4》

《大英儿童百科全书5》

《大英儿童百科全书6》

《大英儿童百科全书7》

《大英儿童百科全书8》

《大英儿童百科全书9》

《大英儿童百科全书10》

《大英儿童百科全书11》 《大英儿童百科全书12》 《大英儿童百科全书13》 《大英儿童百科全书14》 《大英儿

27

童百科全书15》 《大英儿童百科全书16》

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范文二：什么是多项式敏感度公差分析

什么是多项式敏感度公差分析

摘要本文展示了如何使用多项式拟合加速公差分析的方法。

作者Dan Hill

发布时间2007年5月6日

译者aka 光杆司令

减少公差分析的时间——多项式敏感度公差分析如何工作

公差分析是光学设计的一个重要环节。贯穿公差分析整个过程的是，依赖于公差对准据改变的贡献，或者公差是否在预算(budget)内，一系列公差要么放宽要么收紧。这个过程将不断重复，直到我们对性能在规格要求内感到满意，并且各项公差符合实际并且不会增加不必要的制造成本。

在不断重复改变公差设置及评估我们光学系统性能的过程中，更可能的情况是，只有极少的公差需要调整。因此，没有必要反复的重复计算每一个公差操作数。另外，对于那些需要调整的公差，我们可以使用拟合公式快速的计算准据的变化。这样做的好处是可以节省大量的计算时间。这就是多项式敏感度公差分析的原理。

对于大多数公差，准据值随着公差微扰而平滑变化。在大多数情况里，准据变化的曲线可以使用3项或者5项多项式准确的拟合。只有当公差过于宽松，以至于设计在优化时会找到不同的局部最小时，才会出现无法拟合的情况。

设想有一个多镜片的成像系统，如下图，我们画出了RMS 弥散圆半径随着第一块镜片偏心变化的函数曲线。

在公差范围内，这个曲线很规则，并且可以很容易的被一个多项式拟合。在ZEMAX 里，我们可以拟合实际的准据曲线得到如下形式的3项或者5项多项式：

P =A +B δ+C δ2+D δ3+E δ4

其中δ是公差微扰，P 是由此得到的准据值。对于3项拟合，一共使用了4个位于最小和最大公差值之间的不同等间距点。对于5项拟合，一共需要6个点。

使用上面的例子，3项拟合需要4个等间距公差微扰下的准据值，如下图所

示。

一旦计算出准据值，就可以拟合一个3项多项式。注意到，这个多项式使得对应的4个准据值与4个微扰点的误差最小。事实上，使用一个有限项的多项式，拟合式并不能经过这4个点对应的每一个实际准据值。

对于这个的例子，拟合可能看起来如下图：

这个拟合曲线(仅由4个数据点决定) 事实上与实际准据值随着公差微扰变化的函数没有差异。

美妙之处在于，一旦我们知道准据值随着公差微扰变化的函数，接下来的计算几乎可以瞬间完成。比如，如果我们收紧第一块镜片的偏心公差(像上面展示的那样) ，那么没有必要再次强制的计算准据值了。取而代之的是，我们简单的插入公差微扰到我们拟合得到的函数中得到新准据值。

使用多项式缓存

多项式(Polynomial)拟合选项在公差分析窗口(Tolerancing)下的设置标签页(Set-Uptab) 中。

如图，可以选择3项(3-Term)或者5项(5-Term)多项式。多项式拟合可以认为是一种“缓存”选项，因为多项式拟合数据存储在内存中。缓存数据可能用于接下来的公差分析。关于其它缓存(Cache)选项，请参考文章。

初始时，对于第一次运行公差分析，缓存(Cache)选项可以设置为“重新计算所有”(RecomputeAll) 。如果接下来的公差分析中你希望使用缓存的多项式，那么就应该像上面的对话框一样，多项式(Polynomial)选项要么选择3项(3-Term)或者5项(5-Term)。

对于初次计算，使用多项式会更耗时，因为ZEMAX 必须计算最小和最大公差范围内的一些额外点。像前面描述的，3项多项式需要4个数据点，而5项多项式需要6个数据点。针对各个公差的多项式拟合在公差数据编辑器(ToleranceData Editor) 完成。当各个公差的拟合完成后，多项式系数会存储在内存中。公差分析完成后，多项式将显示在输出文本窗口中：

在查看完公差分析的结果，并调整完某些公差后，接下来的公差分析可以使用缓存的多项式数据。但务必保证接下来的公差分析选择了“使用多项式”(UsePolynomial) 缓存(Cache)选项。这样做会使计算量大的公差分析节省很多时间。对一些共同问题的回答及一些小提示

多项式缓存可以通过多项式拟合准据值变化的方式为公差分析节省很多时间。对于一个已经完成优化的系统，并且对于适度的公差，准据值的微扰函数非常接近二次函数，就像我们文章前面讨论的偏心的例子。

如果你的公差太过宽松，或者目标镜头并不是最优的，那么准据值与公差可能有非常奇怪，并且无法拟合的关系。如果是这种情形，拟合多项式将不能准确的代表真实的准据值。所以，不要将初始公差设置得过于宽松，特别是执行反向敏感度分析时。使用缓存时，是不是还是会考虑补偿器？

是的，公差计算完成后给出的数据没有考虑到补偿的影响。不过，补偿器的数据的确没有显示。

我怎么清除缓存？

如果你怀疑缓存数据的有效性，将“Cache ”选项设置为“Recompute All ”并重复公差分析过程即可。总结及参考资料

多项式拟合可以为公差分析节省非常多的时间。对于初次的公差分析，ZEMAX 可以计算定义的公差范围内的多个点。使用这些数据，准据值随公差微扰的变化可能拟合为多项式。对于接下来的计算，ZEMAX 会使用拟合多项式计算准据值，而不是反复的重复计算每个公差值。

参考资料

ZEMAX 光学设计程序的用户指导，ZEMAX Development Corporation 原文：What Is Polynomial Sensitivity Tolerancing?

本作品采用进行许可。

范文三：9 有理系数多项式

§9 有理系数多项式

教学目的：讨论有理系数多项式因式分解问题

教学重点：本原多项式

课时：3

教学方式：讲授式

教学内容：

对于任一个多项式，要具体做出其分解式很困难。在此之前，我们主要先解决两个问题：一是有理系数多项式的因式分解问题可归纳为整系数多项式的因式分解问题；二是有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

一、

1、f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 1x +a 0∈Q [x ]，

选取适当的c ∈Z 乘f (x ), 总可使cf (x ) 是一整系数多项式，如果cf (x ) 的各项系数中有公因子，就可提取出来，得：

cf (x ) =dg (x ), 即f (x ) =d g (x ) c

其中是整系数多项式，且各项的系数无异于1的公因子。 222例：x 4-2x 2-x =(5x 4-5x 2-3x ) 3515

2、本原多项式：如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于1的公因子，就称该多项式为一个本原多项式。

3、任一非零的有理系数多项式均可表成一个有理数与一个本原多项式的积，并且这种表法除了相差一个正负号是唯一的。如果 f (x ) =rg (x ) =r 1g 1(x )

其中g (x ), g 1(x ) 都是本原多项式，那么必有

r =r 1, g (x ) =±g 1(x )

因为f (x ) 与g (x ) 只差一个常数倍，所以有理系数多项式f (x ) 的分解问题可以归结为本原多项式g (x ) 的分解问题。为此，我们先引入：

二、高斯引理（定理10）：两个本原多项式的积还是本原多项式。

证明：设 f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+.... +a 1x +a 0

g (x ) =b m x +b m -1x m m -1+.... +b 1x +b 0

是两个本原多项式，而

h (x ) =f (x ) g (x ) =d n +m x n +m +d n +m -1x n +m -1+... +d 0 是它们的乘积。我们用反证法。如果h (x ) 不是本原的，也就是说h (x ) 的系数d n +m , d n +m -1,..., d 0有异于±1的公因子，那么就有一个素数p 能整除h (x ) 的每一个系数。因为f (x ) 是本原的，所以p 不能整除f (x ) 的每一个系数。令a i 是第一个不能被p 整除的系数，即

p |a 0,..., p |a i -1，p |a i 。

同样地，g (x ) 也是本原的，令b j 是第一个不能被p 整除的系数，即 p |b 0,..., p |b j -1，p |b j 。

我们来看h (x ) 的系数d i +j ，由乘积的定义

d i +j =a i b j +a i +1b j -1+a i +2b j -2+...... +a i -1b j +1+a i -2b j +2+...... 由上面的假设，p 整除等式左端的d i +j ，p 整除右端a i b j 以外的每

一项，但p 不能整除a i b j 。这是不可能的。这就证明了h (x ) 一定也是本原多项式。

三、定理11：如果一非零的整系数多项式能分解成两个次数较低的有理系数多项式的积，则一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

证明 设整系数多项式f (x ) 有分解式 f (x ) =g (x ) h (x )

其中g (x ), h (x ) 是有理系数多项式，且

?(g (x ))

这里f 1(x ), g 1(x ), h 1(x ) 都是本原多项式，a 是整数，r , s 是有理数。于是 af 1(x ) =rsg 1(x ) h 1(x ) 。

由定理10，g 1(x ) h 1(x ) 是本原多项式，从而

rs =±a ，

这就是说，rs 是一整数。因此，我们有

f (x ) =(rsg 1(x )) h 1(x )

这里rsg 1(x ), h 1(x ) 都是整系数多项式，且次数都低于f (x ) 的次数。

推论：f (x ), g (x ) 是整系数多项式，且g (x ) 是本原多项式，如果f (x ) =g (x ) h (x ) ，其中h (x ) 是有理系数多项式，则h (x ) 一定是整系数多

项式。

四、求整系数多项式的全部有理根

定理12：设f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 1x +a 0是一个整系数多项r 式，而是它的一个有理根，r , s 互素，则s a n , r a 0。特别地，若a n =1，s

则f (x ) 的有理根都是整数，且是a 0的因子。

r 证明 因为是f (x ) 的一个有理根。因此在有理数域上 s

r (x -) |f (x ) s 从而

(sx -r ) |f (x ) 。

因为r , s 互素，所以sx -r 是一个本原多项式。根据上述推论， f (x ) =(sx -r )(b n -1x n -1+... +b 0) ，

式中b n -1,..., b 0都是整数。比较两边系数，即得

a n =sb n -1, a 0=-rb 0。

因此s |a n , r |a 0。

给了整系数多项式f (x ) 。设它的最高次项系数a n 的因数是v 1, v 2,... v , k ，它的常数项a 0的因数是u 1, u 2,..., u l 。那么根据定理12，欲求f (x ) 的有理根，只需对有限个有理数u i 用综合除法来进行验证。 v j

当有理数u i 的个数很多的时候，对它们逐个进行验证还是比较麻烦v j

的。按照下面讨论的方法我们能够简化计算。首先，1与-1永远在有理

数u i 中出现，而计算f (1) 与f (-1) 并不困难。另一方面，若是有理数v j

α(≠±1) 是f (x ) 的有理根，那么由定理12，

f (x ) =(x -α) q (x ) ，

而q (x ) 也是一个整系数多项式。因此商

f (1) f (-1) =q (1), =-q (-1) 1-α1+α

都应该是整数。这样，我们只需对那些使商

来进行试验。

例：求2x 4-x 3+2x -3=0的有理根 u f (1) f (-1) 与都是整数的i 1-α1+αv j

13解：这个方程的有理根可能为±1, ±3, ±, ±。我们算出22

f (1) =0, f (-1) =-4，所以1是f (x ) 的根，-1不是f (x ) 的根。另一方面 -4-4-4-4-4-4 , , , , , 11331+31-31-1+1-1+2222

-1-313-4-4中不是整数，所以, 不是f (x ) 的根，而±3, , 在试验, 1322221+1+22

13之列。用综合除法可以得出±3, , 都不是它的根。 22

经验证x =1才是方程的根。

定理13：Eisenstein 判别法

设f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 1x +a 0是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得：

(1) p 不能整除a n

(2) p a n -1, a n -2, , a 0 a n -1

(3) p 2不能整除a 0

则f (x ) 在有理数域上不可约。

证明 如果f (x ) 在有理数域上可约，那么由定理11，f (x ) 可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：

f (x ) =(b l x l +b l -1x l -1+... +b 0)(c m x m +c m -1x m -1+... +c 0) (l , m

因此

a n =b l c m , a 0=b 0c 0

因为p |a 0，所以p 能整除b 0或c 0，但是p 2不能整除a 0，所以p 不能同时整除b 0及c 0。因此不妨假定p |b 0但p 不能整除c 0。另一方面，因为p 不能整除a n ，所以g (x ) 的系数不能全被p 整除。假设b 0, b 1,..., b l 中第一个不能被p 整除的是b k ，比较f (x ) 中x k 的系数，得 a k =b k c 0+b k -1c 1+... +b 0c k

式中a k , b k -1,..., b 0都能被p 整除，所以b k c 0也必须能被p 整除。但是p 是一个素数，所以b k 与c 0中至少有一个被p 整除。这是一个矛盾！

例：x n +2在Q 上不可约，取 p =2即可。

练习：27、（3），28、（1）（4）；作业：27、（1），28、（2）（3）。

范文四：正射纠正RPC有理多项式系数

RPC Background

Sensor models are mathematical models that define the physical relationship between image coordinates and ground coordinates, and they are different for each sensor. Rational polynomial coefficients (RPCs) are one type of replacement sensor model, which replaces the rigorous sensor model with an approximation of the ground-to-image relationship. The accuracy of RPCs depends on the accuracy of the original sensor model and the quality of the imagery.

Most modern high-resolution sensors such as QuickBird include pre-computed RPCs with the imagery. If your file has RPC information, you can automatically derive RPC-based geolocation information for individual pixels in an image. This method is not as geographically accurate as performing a full orthorectification, but it consumes less memory and disk space.

RPCs are not the same as a map projection; rather, they relate pixel locations in an image to the corresponding latitude, longitude, and elevation, using a third-order rational polynomial of the following form:

(x,y) = f(latitude, longitude, elevation)

To determine the pixel location of a corresponding point on the ground, the ground point must have accurate values for the following:

, Latitude (degrees)

, Longitude (degrees)

, Elevation (meters)

To find the horizontal geographic location of a ground point, you need accurate values for the following:

, X and Y pixel coordinates

, Ground point elevation (meters)

If you do not know the ground elevation, then the coordinate transform assumes an elevation of zero (on the surface of the WGS-84 ellipsoid) or it estimates a mean height from the RPC height offset. This positioning is not accurate except near sea level. With two images of the same area (taken from two different

viewing angles), parallax effects will be visible, meaning that geographic coordinates of the same feature will not be the same in the two images. To ensure more accurate ground coordinates, you should orthorectify all images by:

, Using ground control points (GPCs) to refine the RPCs, and

, Supplying an accurate digital elevation model (DEM)

The RPC Orthorectification workflow takes you through these steps.

References

Grodecki, J., and G. Dial. “Block adjustment of high-resolution satellite images

described by rational polynomials,” Photogrammetric Engineering and Remote

Sensing 69, no. 1 (2003): 59-68.

McGlone, J. C., editor. Manual of Photogrammetry, Fifth Edition, Bethesda, MD:

American Society for Photogrammetry and Remote Sensing, 2004.

范文五：有理多项式判别法及插值法

Eisenstein 判别法

设f (x )=a n x n + +a 1x +a 0，是一个次数大于0的整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得

1)p /|a n

2)p |a i , i =0, 1, , n -1; 3)p 2/|a 0;

则f(x)在有理数域上是不可约的。

Sturm 定理

设f(x)是一个次数大于0的实系数多项式，对f(x)与f ’(x)做辗转相除法，

f (x ) =q 1(x )f ' (x )-f 2(x )

f s -1(x )=q s (x )f s (x )

f ' (x )=q 2(x )f 2(x )-f 3(x )

f 0=f , f 0=f ' , f 2(x ), , f s (x )为f (x )的标准序列。

在区间[a,b]中，使f (a )≠0, f (b )≠0，则f(x)在（a,b ）内不同的实根的数目为V a -V b ，其中V c 为序列f 0(c ), f 1(c ), , f s (c )的变号数。（变号数是一个序列中正负号变化的次数，如1，-1,1变号数为2, 而1，-1，-1变号数为1）

n

实系数多项式f (x )=a n x + +a 1x +a 0，

M =a n -1, a n -2, a 0}

则f(x)的复根全在以原点为圆心，以1+M 为半径的圆内。实

a n

根则在区间（-1-M ，1+M ）内。

a n

a n

插值法

建立c i 与d i ，i=0,1,2...n间的一个函数f(x) 令f(x)为小于等于n 次多项式，f (c i ) =d i 拉格朗日插值公式

(x -c 0) (x -c i -1)(x -c i +1) (x -c n )f (x )=∑f i (x )=∑d i

c i -c 0 c i -c i -1c i -c i +1 c i -c n i =0i =0

n

n

牛顿插值公式

f (x )=u 0+u 1(x -c 0)+ +u n (x -c 0) (x -c n -1)

其中系数u 0, u 1, , u n 可以通过把x 逐次用c 0, , c n 代入求得。

n

另外亦有令f (x )=a n x + +a 1x +a 0，代入c i , d i 组成线性

方程组，根据Cramer 法则求得a i 。（原理简单，但实际操作相较于上述方法略复杂）

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