灑脫-cola
范文一：几个分数单位之和等于一个分数单位
几个分数单?位之和等于?一个分数单?位 几个定理:
1:n个互不相?等的非零自?然数之和大?于其中最小?的一个数的
?n倍;小于其中最?大的一个数?的n倍; 2:如果一个非?零自然数大?于另一个非?零自然数，那么，这
个数的倒?数一定小于?另一个数的?倒数。 例如 1,,,，1,,,，1,,,,1,2
即 1,X，1,Y，1,Z,1,2(X,Y,Z为互不相?等
的非零自?然数)写出满足条?件的所有的?值。 根据条件设?:1,X,1,Y,1,Z
?1,X，1,Y，1,Z,3,X ,定理1, ?1,X，1,Y，1,Z,1,2
?1,2,3,X 即3,X,1,2
得X,6
?X,1或2不满?足题意
所以X只能?取3 ，4 ，5
一:当X,3时 1,Y，1,Z,1,2,1,3,1,6 ?1,Y，1,Z,2,Y
1,Y，1,Z,1,6
?2,Y,1,6 Y,12
Y,1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6不满足题?意
?Y只能取7?， 8 ，9,10,11
1:当Y,7时
1,Z,1,6,1/7,1,42,X,3 Y,7 Z,42 2:当Y,8时
1,Z,1,6,1/8,1,24,X,3 Y,7 Z,24 3:当Y,9时
1,Z,1,6,1/9,1,18,X,3 Y,7 Z,18 4:当Y,10时
1,Z,1,6,1/10,1,15,X,3 Y,7 Z,15 5:当Y,11时
1,Z,1,6,1/11,5,66,无解
二:当X,4时
1,Y，1,Z,1,2,1,4,1,2
? 1,Y，1,Z,2,Y
1,Y，1,Z,1,2
? 2,Y,1,2 Y,4
Y,1 ，2 ，不满足题意?
?Y只能取3?
1:当Y,3时
1,Z,1,2,1,3,1,6,X,4 Y,3 Z,6 三:当X,5时
1,Y，1,Z,1,2,1,5,3,10,无解
?满足条件的?值有五组。
范文二：案例 将一个分数拆为几个单位分数之和
教学案例
——将一个分数化为几个单位分数之和
一、 背景
分子为1的真分数叫单位分数，也叫埃及分数。记录埃及分数成果的《莱因德草纸书》是公元前1650年左右的埃及数学著作。据书中记载，书中关于单位分数的许多结论在公元前2700年左右的古埃及人就已知道。古埃及人为什么要把分数拆为一些不同的单位分数之和呢？他们又是采用什么方法把一个分数拆为不同的分数之和的呢？这都是谜，但我们从中可以触摸到古埃及人的智慧，感受到它谜一般的魅力！
二、 教学内容分析与学生主体分析
“将一个分数拆为几个单位分数之和”这个内容在新教材中是一个探究活动内容，也是新课程标准确定的专题研究内容。但是课本上的这块内容相当宽泛，有将单位分数拆分的，有将非单位分数拆分的，也有将1拆分的，并且没有给出一般的拆分方法。但是课只有四十分钟，所以我觉得要抓住一两个重点，并且这些内容可以使课堂活起来，学生动起来，从而符合这次学校展示周的主题。我选择了两个内容：将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和；将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用。内容不多，因此在深度上我对同学们提出了更高的要求，第一点：经历一个从特殊到一般的研究过程；第二点：能够自己找出将一个单位分数拆为两个不同单
位分数之和的规律并运用。
之所以选择这两个内容也有从学生角度考虑的，在探索将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和的规律时要用到两个前期知识，一个是因数，一个是分数的基本性质，而这两个知识，他们预备班的学生这学期刚学，所以这个规律如果老师加以适当的引导同学们还是能够自己探索出来的。另外一点，在平时教学的过程中，我发现预备的学生普遍对于抽象的东西比较难理解，比如说式子中出现个字母等等，所以在本课中我有意要渗透这样一种思想，比如叫他们把拆分，并理解这个式子所表达的含义，这是本节课需要去突破的一个难点。
三、教学目标
知识与技能：1、会将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和
2、会将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，
能自己寻找规律并运用
过程与方法：1、从将一个单位分数拆为两个相同单位分数之和到
将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，体会由
简单到复杂的研究过程
2、从特殊分数到这样的一般分数，体会由特殊到
一般的研究过程
情感态度与价值观：体会到问题对于数学探究的重要性，学会自己提
出问题
1n 1n
四、重难点
将一个单位分数拆为两个不同单位分数之和，能自己寻找规律并运用
五、教学过程
1、引入
老汉分马问题：一个老汉在弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。 11匹马的二分之一是5匹半马，总不能把马杀了吧，老汉应该怎么分呢？
先给同学们思考少量时间，再揭晓答案
正在老汉无奈之际，邻居把自己家的一匹马牵来，则有了12匹马，老大二分之一，牵走了6匹；老二四分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹。一共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。即11/12=1/2+1/4+1/6。
2、给出课题
将一个分数化为几个单位分数之和
提问：什么叫单位分数？并给出单位分数的一般表达形式
3、从最简单的情况入手 请你把拆成两个相同的单位分数之和
提问：你是如何拆分的
试一试 请把下列各数拆成两个相同的单位分数之和 ,
12151, 121(n 为正整数）n
提问：对于任意一个单位分数，是否都能拆成两个相同单位分数之和？
4、情况复杂一些 你能把拆成两个不同的单位分数之和吗？
提问：你们是怎么拆分的？继续提问：难道就一个答案吗？请同学继续找 对拆分情况的研究
1x ＋y x y 11＝＝＋＝ 22x ＋y 2x ＋y 2x ＋y ※＋※. 1212
⑴ x 、y 不能相等；⑵ x 、y 必须是分母2的因数
引导学生思考，让学生自己总结出这两条规律
试一试 把下列分数拆成两个不同的单位分数之和
1111, , , 3456
提问：可以拆成几种情况？你能把它们都写出来吗？
提问：对于任意一个单位分数，是否都能拆成两个不同的单位分数之和？如果能，共有几种拆分组合？ 引导学生思考，解决（n 为大于1的正整数）的拆分问题，从大于1的正整数的因数角度入手
5、回顾本课
本课其实是围绕两个问题展开的：
（1）、对于任意一个单位分数，是否都能拆成两个相同的单位分数之和？
（2）、对于任意一个单位分数，是否都能拆成两个不同的单位分数之 1n
和？如果能，共有几种拆分组合？
6、一起提问题
问题是数学的心脏。提出问题比解决问题更重要。杨振宁说过：学问学问，就是学会提出问题。
观察下列等式：
111＝＋6248
老师提出了许多问题：（你们能提出多少）
（1）等式右边的两个分母可以同是奇数吗？
（2）等式右边的两个分母可以是相邻的两个整数吗？
（3）等式右边的两个分母可以是相邻的两个奇数吗？
（4）可以拆为3个、4个、5个、…单位分数之和吗？
（5拆为3个单位分数之和时，3个分母可以是3个连续的整数吗？可以是3个连续的奇数吗？
六、教学反思
在上完课之后，数学组的各位老师一起进行了评课，同时我自己也进行了课后反思。总的来说，在各位数学组老师的帮助，特别是戴老师平常悉心的指导下，这节课在某些方面比上一次公开课有了进步，但还有不少地方需要改进。
进步的地方主要在教态方面，对学生亲和了，少了批评，从而使课堂的气氛活跃起来，与学生之间的互动也较之上节课有了提高，学生的积极性也得以调动。
111＋61891616
1
21x ＋y x y 11＝＝＋＝＋22x ＋y 2x ＋y 2x ＋y ※※. 不足之处：第一个，在对将拆为两个不同单位分数之和进行研
，这边的分子分母同乘以一个（x+y），这对于预备的同学来说比较抽象，式子出来后，我是直接叫同学们回答“为什么同乘以一个（x+y）”，同学们的反应也是有些茫然失措的，所以这一部分的教学效果也不是很好，郑老师提出了不错的建议，可以先让同学们先看一会，或者打印在纸上先发下去，然后再让他们有不懂得地方问我。第二个是最后的提问环节，虽然同学们的积极性被调动起来了，但是提的问题创新性不足，模仿为主，有比较散，效果不是很理想，王敏杰老师在这里给我提出了几个很好的建议，可以限定一下条件，这样提的问题就比较集中了，然后在同学们提的问题中找出一两个进行解决，这样就更能提高同学提问题的积极性。
每一次开课对于我这样的新老师来说，都是一个很好的锻炼机会，都能学到很多东西。我会谨记各位老师的意见，好的地方要保持，不足之处要多注意多思考，争取尽快改进。
范文三：案例将一个分数拆为几个单位分数之和
教学案例
——将一个分数?化为几个单?位分数之和? 一、 背景
分子为1的?真分数叫单?位分数，也叫埃及分?数。记录埃及分?数成果的《莱因德草纸?书》是公元前1?650年左?右的埃及数?学著作。据书中记载?，书中关于单?位分数的许?多结论在公?元前270?0年左右的?古埃及人就?已知道。古埃及人为?什么要把分?数拆为一些?不同的单位?分数之和呢?,他们又是采?用什么方法?把一个分数?拆为不同的?分数之和的?呢,这都是谜，但我们从中?可以触摸到?古埃及人的?智慧，感受到它谜?一般的魅力?～
二、 教学内容分?析与学生主?体分析
“将一个分数?拆为几个单?位分数之和?”这个内容在?新教材中是?一个探究活?动内容，也是新课程?标准确定的?专题研究内?容。但是课本上?的这块内容?相当宽泛，有将单位分?数拆分的，有将非单位?分数拆分的?，也有将1拆分的，并且没有给??出一般的拆?分方法。但是课只有?四十分钟，所以我觉得?要抓住一两?个重点，并且这些内?容可以使课?堂活起来，学生动起来?，从而符合这?次学校展示?周的主题。我选择了两?个内容:将一个单位?分数拆为两?个相同单位?分数之和;将一个单位?分数拆为两?个不同单位?分数之和，能自己寻找?规律并运用?。内容不多，因此在深度?上我对同学?们提出了更?高的要求，第一点:经历一个从?特殊到一般?的研究过程?;第二点:能够自己找?出将一个单?位分
数拆为?两个不同单?位分数之和?的规律并运?用。
之所以选择?这两个内容?也有从学生?角度考虑的?，在探索将一?个单位分数?拆为两个不?同单位分数?之和的规律?时要用到两?个前期知识?，一个是因数?，一个是分数?的基本性质?，而这两个知?识，他们预备班?的学生这学?期刚学，所以这个规?律如果老师?加以适当的?引导同学们?还是能够自?己探索出来?的。另外一点，在平时教学?的过程中，我发现预备?的学生普遍?对于抽象的?东西比较难?理解，比如说式子?中出现个字?母等等，所以在本课?中我有意要?渗透这样一?种思想，比如叫他
1们?把拆分，并理解这个?式子所表达?的含义，这是本节课?需要去突n
破?的一个难点?。
三、教学目标
知识与技能?:1、会将一个单?位分数拆为?两个相同单?位分数之和?
2、会将一个单?位分数拆为?两个不同单?位分数之和?，
能自己寻找?规律并运用?
过程与方法?:1、从将一个单?位分数拆为?两个相同单?位分数之和?到将
一个单?位分数拆为?两个不同单?位分数之和?，体会由
简单?到复杂的研?究过程
1 2、从特殊分数?到这样的一?般分数，体会由特殊?到n
一般的研?究过程
情感态度与?价值观:体会到问题?对于数学探?究的重要性?，学会自己提
?出问题
四、重难点
将一个单位?分数拆为两?个不同单位?分数之和，能自己寻找?规律并运用?
五、教学过程
1、引入
老汉分马问?题:一个老汉在?弥留之际，将家中11?匹马分给3?个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。 11匹马的?二分之一是?5匹半马，总不能把马?杀了吧，老汉应该怎?么分呢,
先给同学们?思考少量时?间，再揭晓答案?
正在老汉无?奈之际，邻居把自己?家的一匹马?牵来，则有了12?匹马，老大二分之?一，牵走了6匹?;老二四分之?一，牵走了3匹?;老三六分之?一，牵走了2匹?。一共11匹?，分完后，邻居把自己?的马牵了回?去。即11/12=1/2+1/4+1/6。
2、给出课题
将一个分数?化为几个单?位分数之和?
提问:什么叫单位?分数,并给出单位?分数的一般?表达形式 3、从最简单的?情况入手
1请你把拆成?两个相同的?单位分数之?和 2
提问:你是如何拆?分的
试一试 请把下列各?数拆成两个?相同的单位?分数之和 111,,(n为正整数)
512n
提问:对于任意一?个单位分数?，是否都能拆?成两个相同?单位分数之?和,
4、情况复杂一?些
1你能把拆成?两个不同的?单位分数之?和吗, 2
提问:你们是怎么?拆分的,继续提问:难道就一个?答案吗,请同学继续?找
1对拆分情况?的研究 2
1x，yxy11,,，,，. ，，，，，，22x，y2x，y2x，y※※
? x、y不能相等?;? x、y必须是分?母2的因数? 引导学生思?考，让学生自己?总结出这两?条规律 试一试 把下列分数?拆成两个不?同的单位分?数之和 1111
,,,
3456
提问:可以拆成几?种情况,你能把它们?都写出来吗?, 提问:对于任意一?个单位分数?，是否都能拆?成两个不同?的单位分数?之
和,如果能，共有几种拆?分组合,
1引导学生思?考，解决(n为大于1?的正整数)的拆分问题?，从大于1n
的?正整数的因?数角度入手?
5、回顾本课
本课其实是?围绕两个问?题展开的:
(1)、对于任意一?个单位分数?，是否都能拆?成两个相同?的单位分数?之和,
(2)、对于任意一?个单位分数?，是否都能拆?成两个不同?的单位分数?之和,如果能，共有几种拆?分组合,
6、一起提问题?
问题是数学?的心脏。提出问题比?解决问题更?重要。杨振宁说过?:学问学问，就是学会提?出问题。
观察下列等?式:
111111 ,，,，
66248189
老师提出了?许多问题:(你们能提出?多少)
(1)等式右边的?两个分母可?以同是奇数?吗,
(2)等式右边的?两个分母可?以是相邻的?两个整数吗?, (3)等式右边的?两个分母可?以是相邻的?两个奇数吗?,
1(4)可以拆为3?个、4个、5个、…单位分数之?和吗, 6
1(5)拆为3个单?位分数之和?时，3个分母可?以是3个连?续的整数吗6
?,可以是3个?连续的奇数?吗,
六、教学反思
在上完课之?后，数学组的各?位老师一起?进行了评课?，同时我自己?也进行了课?后反思。总的来说，在各位数学?组老师的帮?助，特别是戴老?师平常悉心?的指导下，这节课在某?些方面比上?一次公开课?有了进步，但还有不少?地方需要改?进。
进步的地方?主要在教态?方面，对学生亲和?了，少了批评，从而使课堂?的气氛活跃?起来，与学生之间?的互动也较?之上节课有?了提
高，学生的积极?性也得以调?动。
1不足之处:第一个，在对将拆为?两个不同单?位分数之和?进行2
1x，yxy11,,，,，.研究时?，刚开始有这?个式子: ，，，，，，22x，y2x，y2x，y※※，这边的分子?分母同乘以?一个(x+y)，这对于预备?的同学来说?比较抽象，式子出来后?，我是直接叫?同学们回答?“为什么同乘?以一个(x+y)”，同学们的反?应也是有些?茫然失措的?，所以这一部?分的教学效?果也不是很?好，郑老师提出?了不错的建?议，可以先让同?学们先看一?会，或者打印在?纸上先发下?去，然后再让他?们有不懂得?地方问我。第二个是最?后的提问环?节，虽然同学们?的积极性被?调动起来了?，但是提的问?题创新性不?足，模仿为主，有比较散，效果不是很?理想，王敏杰老师?在这里给我?提出了几个?很好的建议?，可以限定一?下条件，这样提的问?题就比较集?中了，然后在同学?们提的问题?中找出一两?个进行解决?，这样就更能?提高同学提?问题的积极?性。
每一次开课?对于我这样?的新老师来?说，都是一个很?好的锻炼机?会，都能学到很?多东西。我会谨记各?位老师的意?见，好的地方要?保持，不足之处要?多注意多思?考，争取尽快改?进。
范文四：将几分之一拆分成两个分数单位之和
将几分之一拆分成两个分数单位之和
一个裂项公式： 111 = - + n(n+1)n n+1
111例1：在 = + 的括号里填上适当的自然数，使等式成立。 5( ) ( )
11111111根据公式： = + 可得：= + = + n n+1n(n+1)55+16305（5+1）
111例2：在 = + 的括号里填上适当的自然数，使等式成立。 3( ) ( )
111111=+0=- 。 333344
11111由于 -= + 343124
例3：在
把111= + 的括号里填上适当的自然数，使等式成立。 14( ) ( ) 11拆成两个分数单位之和，要先把 的分子和分母同时扩大相同的倍数，且这个扩大的倍数1414
能使拆分后的两个分数约分后分子是1。因为14的约数有1、2 、7、 14，所以可得到：
1×（1+2）11+21211= = += 1414×（1+2）14×314×314×34221
练习：
1．
1112．在 = + 的括号里填上适当的自然数，使等式成立。 4( ) ( )
3．在 111 = + 的括号里填上适当的自然数，使等式成立。 21( ) ( ) 1111111 + + + + +……++ 2000×20012001×20022002×20032003×20042004×20052012×20132013
1111114．算一算： + ++ ++ 2612203042
111115．算一算： + + +…… 1×44×77×1010×1397×100
范文五：将分数表为三个单位分数之和的一些讨论
将分数表为三个单位分数之和的一些讨论
,
若要使5la+b,则b=3,当k=/-3t??2)时,
3n,矛盾,故不一定.
若a或b是5k-4形,不妨取a5k4,
若要使5La+b,则b4,当k取奇数时,n也
41l1
一
Y
都有正整数解.目前关于该猜
想验证了n<10时猜想成立,而并没有完
全的解决该猜想.类似的关于猜想:n>l,
n?,:
1
+
?t=1N都有正整数解.到目前n?,都有正整数解.到目前
也尚未解决.
我们首先有
引理111J:任一个正分数罟(m>o,n>
0)能表成两个单位分数的和的充分必要条
件是:
存在正整数a和b满足:
lIq,bin,mlc【+b
引理2:分数罟(m>0,n>0)能表示成
两个不同的单位分数的和的充分必要条件
是:
存在不同的正整数a和b满足:
In,bin,mlc【+b
2.主要结论及证明
定理3:设n>1,(5,n)=1,表为两个
单位分数和的充分必要条件是n有一个形
如5k1形状的因数.
证明:对于,n>l,(5,n)1,由定理
l可给出:
为奇数,4,n,矛盾,故也不一定.
.
?
.
a或b必是5k1形.
反过来,当a或b是5k一1形时,取
a5k1,b=l,51a+b成立.
.
?
.
当n>l,(5,n)=1时,可表为两个单
位分数之和的充分必要条件是n有一个形
如5k1形状的因子.
证毕;
因为5kl?4,所以这也是表为两
个不同单位分数的和充分必要条件.
3.一些猜想和注记
猜想1:对于每一个n>l的整数,方程
三:一
“JZ
总有正整数解,X,y,z.
对与这个猜想,我们由定理3可知n>
l,(1”1,5)=1,且n中含有形如5k一1形状的因
子云时,可表为两个不同的单位分数之和,
即:
5l1
npq
因为所以上式可写成
三个单位分数之和,即:
+一+—一
Pq+1gtq+1)
设x=p,y=q+l,zq(q+1)
.
t
.
5
=
1
+
?+l有整数解,x=p,y=q+l,
274
I~ATIONNov.2008
zq(q+1)
同理,我们可以证明当n为偶数时,
可表为两个单位分数之和的充分必要条件
是:n有形如5kl或5k一2形状的因子.
.
?
.
当rl为偶数时,n有形如5k1或5k一
2形状的因子时,猜想也成立.
另外,..?5是素数,若(n,5)?1,则一
定有(n,5)=5,即:n5k,(K?z)
:::一+—一:___1,
“5kk七+1k(k+l1k+2
+!一
(+1)(+2)k(k+1)
猜想也成立.
综上所述:对于猜想我们得出结论:
n>l,(n,5)=1且n含有5k1形的因子
时猜想成立.
n>l,2In(n,5)=l且n含有5kl或5k一
2形的因子时猜想成立.
n>l,(n,5)5时猜想成立.
气
我们容易验证,吾都可以表成三个单
位分数之和,所以可以提出一个更强的猜
想.
猜想2:对于每一个n>l的整数,方程
三:
YZ
总有不同的正整数解,X,Y,z.
致谢:作者衷心感谢阿坝师范高等专
科学校数学系杨仕椿老师的悉心指导与热
情帮助!
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