灵儿6
范文一：不动点
在数学中, 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理, 它可应用到有限维 空间并构成了一般不动点定理的基石。 布劳威尔不动点定理得名于 荷兰 数学家鲁伊兹·布劳 威尔(英语:L. E. J. Brouwer )。布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一 定条件的连续函数 f ,存在一个点 x0,使得 f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形 式是对一个从某个圆盘 D 射到它自身的函数 f 。 而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几 里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
不动点定理 fixed-point theorem
如果 f 是 n+1维实心球 Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射 (n=1, 2,3?),则 f 存在一个不动点 x∈Bn+1(即满足 f (x0) =x0)。此定理 是 L.E.J. 布劳威尔 在 1911年证明的。 不动点问题实际上就是各种各样的方 程(如代数方程、 微分 方程、积分方程等 )的求解问题 ,在数学上非常
建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定理表明:在二维球 面上,任意映到自身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把 这一定理推广到高维球面.尤其是,在 n 维球内映到自身的任意连续映射 至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从一个复形到另一个 复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能第 一次处理一个流形上的向量场的奇点.
康托尔揭示了不同的 n 与空间 Rn 的一一对应关系. G .皮亚诺 (Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形. 这两个发现启示了, 在拓扑映射中, 维数可能是不变的. 1910年,布劳威尔对于任意的 n 证明了这个猜想—— 维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯 逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度的 概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概 念在解决重要的不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了 n 维区域; J . W .亚历山大 (Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.
不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分,该问题的研究 已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为 成功的应用。本文首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式, 然后在 H-空间中建立了新型的不动点定理、截口定理及应用。 全文共分为 三章:第一章,简要介绍本文将要用到的凸分析,拓扑空间和集值映射中 相关的概念和性质。 第二章,整合了不动点定理的一些等价形式。首先, 简单介绍了 Brouwer 不动点定理的几个重要的推广形式,然后通过一系列 证明得出不动点定理的若干等价形式:Brouwer 不动点定理 (?)KKM定理 (?)FKKM定理 (?)Ky Fan极大极小不等式 (?)Browder不动点定理 (?)Ky Fan不 等 式 Ⅰ(?)Ky Fan 极 大 极 小 不 等 式 的 几 何 形 式 (?)Ky Fan 截 口 定 理 (?)Fan-Browder不动点定理 (?)Ky Fan不等式Ⅱ。 第三章,首先,介绍了 H-空间中一些重要的概念。其次,在 H-空间中建立了新的 Fan-Browder 型
布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就,还是更多更一般的 不动点定理的基础, 在泛函分析中尤其重要。 在 1904年, 首先由 Piers Bohl 证明 n = 3 的情况(发表于《纯綷及应用数学期刊》之内)。后来在 1909年, 鲁伊兹·布劳威尔 (L. E. J. Brouwer ) 再次证明。 在 1910年, 雅克·阿 达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在 1912年提出另一个不同的证明。 这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想矛盾。 现在已知如何构造(接近)由布劳威尔不动点定理所保证的不动点,见例
这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如:取两张一样大小的白 纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面,而 另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超 出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点 的正上方。一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成 一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,那么只要它不超出原来白纸 平铺时的边界,那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。
这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几 里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。
另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此 处”的红点。如果标注足够精确,那么这个点就是把实际地形射到地图的 连续函数的不动点。
三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,那么总有一个 水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。
地球 绕着它的自转轴 自转 。自转轴在自转过程中的不变的,也就
是自转运动的 不动点 。 [1]
范文二：函数不动点
【例题1】 (2010浙江大学) 设M ={x |f (x ) =x , x ∈R }，N ={x |f [f (x )]=x , x ∈R } (1) 求证：N ?M
(2) f (x ) 单调递增时，是否有N =M ？证明你的结论 解析：(1)任取x 0∈M ，则f (x 0) =x 0
所以 f [f (x 0)]=f (x 0) =x 0，因此x 0∈N ，命题得证。 (3) 由(1)知，只需要证明M ?N 任取x 0∈N ，则f [f (x 0)]=x 0
若x 0>f (x 0) ，因为f (x ) 单调递增，所以f (x 0) >f [f (x 0)]=x 0，
这与假设矛盾，因此x 0≤f (x 0) ；同理可得x 0≥f (x 0) ；故f (x 0) =x 0，所以x 0∈M ，命题得证。
由此我们可以看出：f (x ) =x 的零点一定是f [f (x )]=x 的零点，但是反之不真（例如：设f (x ) =-x x ∈(-∞,0) ?(0,+∞) ，则易见定义域中的每个值都是f [f (x )]的不动点，但是f (x ) 没有不动点）。
由于f (x ) =x 的零点一定是f [f (x )]=x 的零点，故当f (x ) 是多项式函数时，
f [f (x )]-x 中一定含有f (x ) -x 项。特别地，如果f (x ) =ax 2+bx +c ，则f [f (x ) -]x =
a (2a +x
2
+b x ) +c
(2b +a x +b ) x + c -
c x
=a (ax 2+bx +c ) 2-ax 2+ax 2+b (ax 2+bx +c ) +c -x
=a (ax 2+bx +c -x )(ax 2+bx +c +x ) +(b +1) ax 2+(b 2-1) x +c (b +1)
222????=a ?ax +(b -1) x +c ax +(b +1) x +c +(b +1) ax +(b -1) x +c ??????? 222??=?ax +(b -1) x +c a ???x +a (b +1) x +ac +b +1??
=[f (x ) -x ][af (x ) +ax +b +1]
以此为基础，我们可以很容易地做出下面三个题目：
题目1 设f (x ) =x +px +q ，M ={x |f (x ) =x , x ∈R }，N ={x |f [f (x )]=x , x ∈R }，如果M ={-1,3}，求N
2
解： M ={-1,3} ∴-1, 3是方程x +px +q =x 的两根，由韦达定理得p =-1, q =-3
2
f [f (x )]=x ?(x 2-2x -3)(x 2-3) =0?x =-1或3
或
所以N ={-
题目2 (2008上海交大) 已知函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ，且f (x ) =x 没有实数根，问：
2
f [f (x )]=x 是否有实数根？并证明你的结论
解：f [f (x )]=x 没有实数根 证法一：
222
??ax +(b -1) x +c a f [f (x )]-x =????x +a (b +1) x +ac +b +1??=0
于是有ax +(b -1) x +c =0或a x +a (b +1) x +ac +b +1=0．
222
?1=(b -1) 2-4ac <>
22
?2=a 2(b +1) 2-4a 2(ac +b +1) =a 2??(b -1) -4ac -4??<4a><>
故f [f (x )]=x 不存在实数根。 证法二：
若a >0，则f (x ) >x ，于是 f [f (x )]>f (x ) >x ； 若a <0，则f (x="" )="">
题目3设f (x ) =ax -1，M ={x |f (x ) =x , x ∈R }，N ={x |f [f (x )]=x , x ∈R }，且
2
M =N ≠φ，求实数a 的取值范围
解：当a =0时，M =N ={-1}，符合题意 当a ≠0时，f (x ) =x ?ax -x -1=0
2
1 M ≠φ ∴?=1+4a ≥0?a ≥-且a ≠0
4f [f (x )]=x ?(ax 2-x -1)(a 2x 2-ax -a +1) =0
因为N ?M ，故只需M ?N 即可，这等价于a x -ax -a +1=0○1无实数根或者
22
22
2与ax -x -1=0有相同的实数根或者○3以ax -x -1=0的一个实数根为二重根 ○
对于○1，?=a 2+4a (a -1) <0?a>
3
且a ≠0 4
对于○2，可得-a +1=-a ?1=0，矛盾 对于○3，?=a 2+4a (a -1) =0?a =- a 2x 2-ax -a +1=0?x =
32
，此时ax 2-x -1=0?x =-或2 43
2
，不合题意。 313
综上，a 的取值范围是(-, )
44
【例题2】(2009上海交大) 证明：若f [f (x )]有唯一不动点，则f (x ) 也有唯一不动点 证明：存在性：设x 0是f [f (x )]的唯一不动点，记f (x 0) =t ，则f (t ) =x 0，所以
f [f (t )]=f (0x =) ，t 故t 也是f [f (x )]的不动点。由f [f (x )]只有一个不动点可知t =x 0，
因此f (x 0) =x 0，即f (x ) 有不动点
唯一性：假设x 1(≠x 0) 也是f (x ) 的不动点，易见x 1也是f [f (x )]的不动点，这与已知矛盾。 【例题3】(2013四川10)
设函数f (x ) =
a ∈R ，e 为自然对数的底数) 。若曲
线y =sin x 上存在点(x 0, y 0) 使f [f (y 0)]=y 0，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[1,e ] （B ）[e -1,1] （C ）[1,e +1] （D ）[e -1, e +1] 解析：易见f (x ) 单调递增，所以f [f (y 0)]=y 0?f (y 0) =y 0○1
-1
-1
f [f (y 0)]有意义，∴f (y 0) ≥0○2 y 0=sin x 0， ∴-1≤y 0≤1○3
由○1○2○3
知f (x ) =
x
2
=x 在[0,1]上有解?e x -x 2+x =a 在[0,1]上有解
x
x
记g (x ) =?e -x +x ，则g '(x ) =e -2x +1，g ''(x ) =e -2 所以当x ∈(0,ln2) 时，g ''(x ) <0；当x ∈(ln2,1)="" 时，g="" ''(x="" )="">0 所以g '(x ) ≥g '(ln2) =3-2ln 2>0，因此g (x ) 在[0,1]上单调递增 所以g (0)≤a ≤g (1)，故选A
【例题4】(2013江西21) 已知函数f (x )=a (1-2x -
1
) ，a 为常数且a >0. 2
(1) 证明：函数f (x ) 的图像关于直线x =
1
对称； 2
(2) 若x 0满足f [f (x 0)]=x 0，但f (x 0) ≠x 0，则称x 0为函数f (x ) 的二阶周期点，如果f (x )
有两个二阶周期点x 1, x 2, 试确定a 的取值范围；
(3) 对于(2)中的x 1, x 2和a ， 设x 3为函数f [f (x )]的最大值点，A (x 1, f [f (x 1)]) ，
B (x 2, f [f (x 2)]) ，C (x 3, f [f (x 3)]) ，记△ABC 的面积为S (a ) ，讨论S (a ) 的单调性.
解析：(1)(3)略
1?
2a (1-x ) x >??2
(2)f (x ) =?
1?2ax x ≤
??2
1?2
-4a x +2a x >?1?2
当0
12?4a 2x x ≤
??2
由f [f (x )]=x 解得x =0，而f (0)=0，故x =0不是二阶周期点， 所以0
1
不合题意 2
1?
-x +1x >?1?2
当a =时，f [f (x )]=?
12?x x ≤
??2
111
f [f (x )]=x 有解集{x |x ≤，而当x ≤时，f (x ) =x 恒成立，故a =不合题意
222?224a -4a x ??
?4a 2x +2a (1-2a ) ?1
当a >时，f [f (x )]=?
2?2a -4a 2x
???4a 2x ?
4a -14a 14a -1
11
1x ≤
4a x >
4a 22a 2a
由f [f (x )]=x 解得x =0或 或或 22
1+4a 1+4a 1+2a
4a 24a 22a 2a 2a 2a
又f (0)=0，f (，f (，f ( ) ≠) ≠) =2222
1+4a 1+4a 1+4a 1+4a 1+2a 1+2a
所以f (x ) 恰有两个二阶周期点。 综上，a 的取值范围是(, +∞)
例 已知f (x ) =6x -6x ，设g 1(x ) =f (x ), g 2(x ) =f [g 1(x )],……g n (x ) =f [g n -1(x )],.... (1) 求证：如果存在一个实数x 0，满足g 1(x 0) =x 0，则对一切n ∈N +有g n (x 0) =x 0成立 (2) 若实数x 0满足g n (x 0) =x 0(n ∈N +) ，则称x 0为不动点，试求出所有的不动点 (3) 是否存在区间I ，使得对任意x ∈I ，当n ≥2(n ∈N +) 时，都有g n (x ) <0? 解析：(1)用数学归纳法证明，当n="1时g" 1(x="" 0)="x" 0显然成立；="" 假设当n="k" 时g="" k="" (x="" 0)="x" 0(k="" ∈n="" +)="">
则当n =k +1时，g k +1(x 0) =f [g k (x 0)]=f (x 0) =g 1(x 0) =x 0也成立。命题得证。 (2)由(1)可知：x 0为不动点当且仅当g 1(x 0) =x 0，即f (x 0) =x 0 由f (x 0) =6x 0-6x 0=x 0解得x 0=0或
2
2
1
2
2
5 6
(3) f (x ) <0?6x -6x=""><0?x><0或x>1
∴g n (x ) <0?f [g="" n="" -1(x=""><0?g n="" -1(x="" )=""><0或g n="" -1(x="" )="">1
因此要使对一切n ≥2(n ∈N +) 都有g n (x ) <0成立，只需g 1(x="" )=""><0或g 1(x="" )="">1 而g 1(x ) <0?x><0或x>1
?
g 1(x ) >1
33+
所以，取区间B =(1,+∞
) 或B =
即可满足题意
范文三：不动点数列求通项
递推数列通项公式之求法
段顺强
山西省孝义市第三中学, 山西孝义, 032300
在《数列》这章中，如何求数列的通项是一个重要的问题，同时又是学生需要掌握的难点。在实际中，往往有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，再给出数列的首项和递推公式后，如何求此数列的通项公式是关键所在。下面就常见的递推数列类型及各类型中通项公式的求法作一分析，以使数列明确化，从而解决相关问题。
一、迭加法
aaaaaaaa,,，,，,,,，,，()()()迭加法即利用恒等式来求递推关系nnnnn，，,111211
aafn,，()为的数列通项公式的方法。由于均可求，因此 fffn(1),(2),,(),,,nn，1
afnfnfa,，,，,,,，，()(1)(1)，此时要注意验证时的情形。 n,1n，11
a,1aan,，,23{}a{}a例1 已知在数列中，，()，求的通项公n,,,,2,3,4,n1nn,1n
解析:由代换可得，aan,，,23式。 nn,1
aan,,,23 nn,1
aan,,,,()213 nn,,12
aan,,,,()223 nn,,23
,,,,,,
aa,,3 32
aa,,1 21
迭加得:aaaaaaaaaa,,,，,，,,,，,，,()()()() nnnnn1113221，,
,，，，,,,，,13523n
()nn,,，1231()22 ,,,,,，()nnn1212
2 又，所以aann,,,，122.n1
二、累积法
aaann,12,，，,,,，，aa所谓累积法即利用重要的数列恒等式来求递推关系为n1aaann,,121
an，1,()fn的数列通项公式的方法。注意验证时的情形。 n,1an
1
1n{}aa例 2已知数列满足，，求。 ,a,aann1nn，11，2n
n 解析:由代换可得:,aann，11，n
aaann,,1221ann,132 ,,,,,,,，，，，ananaa,132nn,,1221
aaaannn,12累乘得:,，，,,,， aaaa1121nn,,
nn,,12211 ,，，,,,，，,nn,132n
11 又，所以aa,,.1n22n
三、取倒数法
san，1,若递推关系为a(为常数，且)，用求倒数的方法可得st,st,0n，1，tasn
,,11t1,，，然后将构造成等差数列。 ,,aasann，1n,,
an,1{}aa,2a,例 3 已知数列，，a，求。 n1nn21，an,1
a11n,1解析:由取倒数可得:，,,，2a n21，aaannn,,11
,,11 又，所以是首项为，公差为的等差数列a,.22,,1a2n,,
114n-32,，,(2.n-1)=，a na224n-3n
四、不动点法
{}afxaxbaa()(0,1),，,,fx() 定理1 设，s是的不动点，数列的递推关系为n
asaas,,,()afa,(){}as,()，则，即数列是一等比数列，公比为a。 n,2nn,1nn,1n
axb，{}a 定理 2 设，满足递推关系fxcadbc()(0,0),,,,ncxd，
afa,()afa,()()，且，则 n,2nn,111
,,112c1,,kfx()(1) 若只有唯一不动点s，则，其中，即数列k,,,asas,,as,ad，nn,1n,,
2
是公差为的等差数列。 k
asas,,asc,nn,1(2) 若有两个相异的不动点、，则，其中，即数列,,ktfx()sk,atat,,atc,nn,1
,,as,n是一公比为的等比数列。 k,,at,n,,
*aanNn,，,,23(,1)a,,1{}a例 4 若 ，，求数列的通项公式。 nn，11n解 令，由知函数的唯一不动点为，则 fxx()23,，fxx(),fx()x,,3
2aaa,,,，,,,，(3)23(3)2(3)a，,32，所以是以为首项、为公比的a，3,,nnn，11n
na，,32a,,1{}a等比数列，则当时，。又满足此式，所以的通项公式为n,2n1nn a,,23n
n，21*a,0{}a例 5 若，，求数列的通项公式。 aanN,，,()1nnn，1nn
n，211解 令，由知，函数仅有一个非零不动点，则fxx(),fx()x,,fxx(),，2nn
111,,aa，，a，nn，1n,,121121nn，，222，所以，故,aaa，,，，,，(),,nnn，1nnnn，，，(1)(2)(1)nn，(1)222nnn,,
,,
11aa，，n111222a,0是一个常数列，所以，即。又满足上式，ann,，,,,(2)1nnn，，，4(1)1(11)4
12{}a所以的通项公式为。 ann,，,(2)nn4
34a,na,5{}aa,例 6 已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式。 1nn，1a,1n
34x,解 令，由fxx(),知，函数的唯一不动点为，则fxfx,x,2，，，，x,1
,,342aa,,111nna,,,,22,，1，整理得，即数列是首项为,,，1naa,,22aa,,11a,2nn，1nnn,,
12131,,n，公差为的等差数列，所以，即。 a,，2na,233n,32n
a,1816250(1)aaaan,，，,,{}a例 7 (重庆市高考题) 设数列满足，，求n1nnnn，，11
3
{}a数列的通项公式。 n
25a，25x，n解 由已知可得，a,。令，由知，函数的fxx(),fxfx,，，，，n，1168,a168,xn
15a,a,6()12()nn155142不动点为或，所以，， x,a,,a,,，1，1nn4,a2,a41682168nn
1111n,1aa,,aa,,n,1nn，1n125，114,,2222a所以 ，即，,。 ,,,,,,n,,nn555524，222,,aa,,aa,,nn，1n14444
五、特征值法
apaqa，，,0{}a若数列的递推关系为，则其对应的特征方程为nnnn，，21
nn2ast,，,,,,，，,pq0,,,，当特征方程有两个不同的实根时，可得，其中st,n1212
为待定系数，由初始值确定。
aa，*nn，1a,1a,2{}a例 8 (陕西省高考题) 已知数列满足，，,()anN,,n12n，22{}a求的通项公式。 n
aa，1，,12nn，1,,1解 对应的特征方程为，解此方程，得到，， ,,,,a,,12n，2222
51,,s,st,,1n,,1,,,,32a,1a,2ast,，,于是。将，代入，得到，求得，所以数,,12n,,142,,,,st，,2t,,,,43,
n541,,a,，,,列的通项公式为。 ,,n332,,
参考文献
[1]. 张书琼, 陈本平. 利用函数的不动点求数列的通项[J]. 数学学习与研究, 2010, 11:71-71.
[2]. 钱祥征. 常微分方程解题目方法[M]. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1984. [3]. 曲一线. 最新5年高考真题详解[M]. 北京: 首都师范大学出版社, 2009.
4
范文四：不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。从具体的空间（如L 空间或l 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。可以说成果丰富。迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展
p
p
一 算子
1 T 称为非扩张的，如果
Tx -Ty ≤x -y ，?x , y ∈C 。
2 T 称为压缩的，如果存在α∈(0,1)，使得
Tx -Ty ≤αx -y , ?x , y ∈C
T :D (T ) →E
k n =1，使得 3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{k n }∈[0,∞) ，lim n →∞T n x -T n y ≤k n x -y , x , y ∈D (T ), n ≥1
4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{k n }∈[0,∞), lim k n =1，
n →∞
，对任意给定的x , y ∈D (T ) 存在j (x -y ) ∈J (x -y ) ，使得
5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{k n }∈[0,∞), lim k n =k ∈(0,1)， n →∞ 2 ，对任意给定的x , y ∈D (T ) 存在j (x -y ) ∈J (x -y ) ，使得 2 如果k n =1, ?n ≥1, T 称为伪压缩的。 6 T 称为中间意义的渐进非扩张的，如果 limsup{sup (T n x -T n y -x -y )}≤0 n →∞ x , y ∈D (T ) 7 T 称为一致L -Lipschitz 的，如果存在常数L ≥1，使得 T n x -T n y ≤L x -y , ?x , y ∈D (T ), n ≥1 T :K →K 8 T 称为强伪压缩的，如果对?x , y ∈K ，存在j (x -y ) ∈J (x -y ) 和常数k ∈(0,1)，满 足 2 9 T 称为 ?-强伪压缩的，如果对?x , y ∈K ，存在j (x -y ) ∈J (x -y ) 和一个严格增的 函数?:[0,+∞) →[0,+∞) ，满足?(0)=0使得 2 10 T 称为Φ-伪压缩的，如果对?x , y ∈K ，存在j (x -y ) ∈J (x -y ) 和一个增的函数 Φ:[0,+∞) →[0,+∞) ，满足Φ(0)=0使得 2 11 T 称为拟Φ-伪压缩的，如果对?x , y ∈K ，q ∈F (T ) 存在j (x -y ) ∈J (x -y ) 和 一个样增的函数Φ:[0,+∞) →[0,+∞) ，满足Φ(0)=0使得 2 Let B :K →H be a mapping. Then B is called 12 monotone if 13 v -strongly monotone if there exists a positive real number v such that 2 for constant v >0 . This implies that Bx -By ≥v x -y , that is, B is v -expansive and when v =1 , it is expansive. 14 ξ- Lipschitz continuous if there exists a positive real number ξsuch that Bx -By ≤ξx -y , ?x , y ∈E 15 m -cocoercive, if there exists a positive real number m such that 2 clearly, every m - cocoercive map A is continuous. 1m Lipschitz 16 Relaxed m -cocoercive, if there exists a positive real number m such that 2 17 Relaxed (m , v ) cocoercive , if there exists a positive real number m , v such that 2 2 for m =0 , B is v - strongly monotone. This class of maps is more general that the class of strongly monotone maps. It is easy to see that we have the following implication: v - strongly monotonicity implying relaxed (m , v ) cocoercivity. 18平衡问题 混合平衡问题（简记为MEP ）是求x ∈C 使得下面的不等式成立： F （x,y ）+x , y -x ≥0, y ∈C . 这里F :C ?C ??（MEP ）的解集定→H 是一个非线性算子。→R 是二元函数并且?:C ??义为： MEP (F ):={F （x,y ）+x , y -x ≥0, y ∈C }. 如果?=0则成为下面的平衡问题，即求x ∈C 使得下面的不等式成立： F （x,y ）≥0, y ∈C . 它的解集定义为EP （F ）。 19半群 （1）非扩张半群，设G 是R +上的一个非有界集，我们称序列M:=W (s )个非扩张半群，若它满足下面的条件： () s ∈G 是C 上的一 (1)W (0)x =x , ?x ∈C ; (2)W (s +t )=W (s )T (t ), ?s , t ∈G ; (3)(s )x -W (s )y ≤x -y , ?x , y ∈C , s ∈G ; →W (s )x 是连续的。 (4)对每一个x ∈C ，s ?? 我们用F W (s ) 表示W (s )的不动点集，用F (M)表示M的不动点集，i.e., () F (W )=?s ∈G F (W (s ))。 （2）Lipschitzian 半群，含参量序列Γ:=T (x ),0≤T <∞称为c 到c="" 上的一个（连续）lipschitzian=""> {} (1)T (0)x =x , ?x ∈C ; (2)T (s +t )=T (s )T (t ), ?s , t ≥0; (3) →[0, ∞)使得对每一个t > 0, 存在一个有界可测函数L t :(0, ∞)?? T (t x )-( T ) ≤y L -, x ?, y ∈x ; y C →C 是连续的。 (4)对每一个x ∈C ，映射T (?)x :[0, ∞)?? 一个Lipschitzian 半群Γ称为是非扩张的(压缩的), 若对所有的t > 0， L_{t} = 1; 另外, 称为 p t ≤是渐进非扩张的，若l i m s u L x →∞ 1我们用F(T) 表示半群Γ的不动点集, i.e., 。 F (T ):={x ∈C , T (x )=x , ?, t ≥0}. 其次，我们看一下算法的发展， 二 算法 1 Man 迭代序列 (1) Man 迭代序列 x n +1=(1-αn ) x n +αn Tx n (2) 修正的Man 迭代序列 x n +1=(1-αn ) x n +αn T n x n (3) 带平均误差的修正的Man 迭代序列 x n +1=(1-αn -γn ) x n +αn T n x n +γn u n 2 Ishikawa 迭代序列 (1) Ishikawa 迭代序列 ?x n +1=(1-αn ) x n +αn Ty n ? ?y n =(1-βn ) x n +βn Tx n (2) 修正的Ishikawa 迭代序列 ?x n +1=(1-αn ) x n +αn T n y n ?n ?y n =(1-βn ) x n +βn T x n (3) 带平均误差的修正的Ishikawa 迭代序列 ?x n +1=(1-αn -γn ) x n +αn T n y n +γn u n ?n ?y n =(1-βn -δn ) x n +βn T x n +δn v n 3 Happern 迭代 x n +1=(1-αn ) x 0+αn Tx n 4 粘性迭代 x 0∈C ? ? ?x n +1=αn f (x n ) +(1-αn ) Tx n 5修正的Reich-Takahashi 型迭代序列 如果 T 是具有序列 {k n }?[0,∞), k n →1 的渐进非扩张映象，则 由下式定义的序列 {x n }?D ?? x 0∈D , ? ?1n j ? T y n +αn x n +γn u n , ?x n +1=(1-αn -γn ) ∑n +1j =0? ?1n j T x n +βn x n +δn v n , ?y n =(1-βn -δn ) ∑n +1?j =0? 称为修正的Reich-Takahashi 型迭代序列， 其中 {αn },{βn },{γn },{δn } 是区间 [0,1] 中满足某些限制的实数序列， {u n },{v n } 是 D 中的 有界序列。 6 渐进非扩张映射的三步迭代 ?z n =(1-γn ) x n +γn T n x n ?n ?y n =(1-βn ) x n +βn T z n ?x =(1-α) x +αT n y n n n n ?n +1 7 有限个非映射族的隐式迭代过程 x 1=t 1x 0+(1-t 1) T 1x 1??x 2=t 2x 1+(1-t 2) T 2x 2?? ? x =t x +(1-t ) T x N N N -1N N N ? ?x N +1=t N +1x N +(1-t N +1) T N +1x N +1? ? 即 x n =t n x n -1+(1-t n ) T n x n ，T k =T k (modN ) , k ∈I ={1,2, , N } 8 杂交迭代 (1)非扩张映射 x 0∈C ? ?y n =αn x n +(1-αn ) Tx n , ?? ?C n ={z ∈C :y n -z ≤x n -z ?Q ={z ∈C : n 0n ?n x n +1=P C n Q n ?? (2)渐进非扩张映射 x 0∈C ? ?n y =αx +(1-α) T x n , n n n n ? ?22 ?C n ={z ∈C :y n -z ≤x n -z +θn }, ?Q ={z ∈C : n 0n ?n ?x n +1=P C n Q n , ? 其中θn =(1-αn )(k n 2-1)(diamC ) 2→0，当n →∞ 9 包含平衡问题的迭代 ?x ∈C , ?1 1? F z , y +x , y -z +y -z n , z n -x n , ?y ∈C , ()?n n n r n ? ?x =βx +(1-β)T ?αu +(1-α)z ?, n ≥1; n n n n n ??n ?n +1 ∞∞ , β?0,1r 其中，x n ，z n 是由x 1∈C 产生的序列，{αn }∞，{}(){}n n =1n n =1?[0, 2u ]。 n =1 10 包含半群的迭代 ?x 1∈C , ? 1? x =I -αA ()n ?n +1 t n ? t n ? T (s )x n ds +αn γf (x n ), 三，不动点方向的文章 1. G. Cai, C.S. Hu, Strong convergence theorems of modified Ishikawa iterative process with errors for an infinite family of strict pseudo-contractions, Nonlinear Analysis . 71 (2009) 6044-6053. (SCI, 二区, 2011IF=1.536) 2. C.S. Hu, G. Cai, Viscosity approximation schemes for fixed point problems and equilibrium problems and variational inequality problems, Nonlinear Analysis . 72 (2010) 1792-1808. (SCI, 二区, 2011IF=1.536) 3. G. Cai, C.S. Hu, On the strong convergence of the implicit iterative processes of a finite family of relatively weak quasi-nonexpansive mappings, Applied Mathematics Letters. 23 (2010) 73-78. (SCI, 二区, 2011IF=1.371) 4. G. Cai, C.S. Hu, On strong convergence by the hybrid method for equilibrium and fixed point problems for an infinite family of asymptotically nonexpansive mappings, Fixed Point Theory and Applications . Volume 2009, Article ID 798319, 20 pages, doi:10.1155/2009/7 98319. (SCI, 二区, 2011IF=1.643) 5. G. Cai, C.S. Hu, Strong convergence theorems of general iterative process for a finite family of strict pseudo-contractions in q-uniformly smooth Banach spaces, Computers and Mathematics with Applications. 59 (2010) 149-160. (SCI, 三区, 2011IF=1.747) 6. C.S. Hu, G. Cai, Convergence theorems for equilibrium problems and fixed point problems of a finite family of asymptotically k-strictly pseudocontractive mappings in the intermediate sense, Computers and Mathematics with Applications . 61 (2011) 79-93. (SCI, 三区, 2011IF=1.747) G. Cai, C.S. Hu, A hybrid approximation method for equilibrium and fixed problems for a family of infinite nonexpansive mappings and a monotone mapping, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems . 7. Shuang Wang, Changsong Hu*, Guoqing Chai, Strong convergence of a new composite iterative method for equilibrium problems and fixed point problems, Applied Mathematics and Computation, 215 (2010) 3891-3898. (SCI 收录) 8 . Shuang Wang*, A Note on Strong Convergence of a Modified Halpern’s Iteration for Nonexpansive Mappings, Fixed Point Theory and Applications, 1 (2010) 1-2.(SCI 收录) 9. Shuang Wang, Changsong Hu*, Guoqing Chai, Hongchang Hu, Equivalent theorems of the convergence between Ishikawa-Halpern iteration and viscosity approximation method, Applied Mathematics Letters, 23 (2010) 693-699. (SCI 收录) 10. Shuang Wang*, Changsong Hu, Two new iterative methods for a countable family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, Fixed Point Theory and Applications, 2 (2010) 1-12. (SCI 收录) 11. Y. L. Song, Strong Convergence Theorems of a New General Iterative Process with Meir-Keeler Contractions for a Countable Family of _i-Strict Pseudocontractions in q-Uniformly Smooth Banach Spaces, Fixed Point Theory and Applications Volume 2010, Article ID 354202, 19 pages doi:10.1155/2010/354202. 12. Y. L. Song, A general iteration scheme for variational inequality problem and common ?xed point problems of nonexpansive mappings in q-uniformly smooth Banach spaces, Journal of Global Optimization. 13. Meng Wen, Changsong Hu, Strong convergence of an new iterative method for a zero of accretive operator and nonexpansive mapping，Fixed Point Theory and Applications , 15 June 2012 DOI: 10.1186/1687-1812-2012-98.（SCI 收录）. 14. Meng Wen, Changsong Hu, Convergence of Implicit and Explicit Schemes for an Asymptotically Nonexpansive Mapping in q-Uniformly Smooth and Strictly Convex Banach Spaces, Journal of Applied Mathematics, vol. 2012, Article ID 474031, 15 pages, 2012. doi:10.1155/2012/474031. （SCI 收录）. 15. Meng Wen, Changsong Hu, Common fixed points of strict pseudocontractions by iterative algorithms in Hilbert spaces, Journal of Global Optimization ( SCI 收录已接收正在出版中). 16. An iterative method for approximating the common solutions of nonexpansive semigroups, a system of variational inequalities ,variational inequalities and equilibrium problems，British Journal of Mathematics and Computer Science, 2013, 3(1): 24-43.（SDI 收录） 17. 文萌，胡长松，非扩张半群，变分不等式和均衡问题的混合迭代算法，湖北师范学院学报,2013,1(33):52-59. 我曾看过一场不曾放映的电影。 我为它流泪，尽管我并不想卷入那场战争。 日与夜的隔绝让我彻底配得上自己的孤独， 正如这些伤痕令我更加完整。 我深知疾病和贫穷的滋味， 却没有理由仇恨自己的童年。 今天我已经很知足了，可惊惶失措的生活 让我更依赖于工作和沉默。 但是我在这里，为有一个人活着。 我要在这里等她，像一个坚硬的不动点。 当我在冬天无故地微笑和流泪， 我的大地上奔跑着两条性格迥异的大河。 当瞌睡把我的头重重地砸在书桌上， 你午后的安静也一起受到惊扰。 当且仅当你像一团炉火坐在身边的时候， 幸福才像水仙无声地开放。 本文来源：黑龙江新闻网 作 ? ? ? ?者：阿九 思考的乐趣美哉数学爱上高数数学名家关键词爱数学 微信号：imath365邮箱：imath365@126.com 点击下方“阅读原文”查看精华文章.360pskdocImg_3范文五：【精选】不动点
