孤独是久治不愈的绝症丶
一、函数图象
1、对称:
y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对Cheng，例如:
与()关于y轴对称
y=f(x)与y=—f(x)关于x轴对Cheng，例如:
与关于x轴对称
y=f(x)与y=—f(-x)关于原点Dui称，例如:
与关于原点对称
y=f(x)与y=f(x)关于y=x对Cheng，例如:
y=10与y=lgx关于y=x对称
y=f(x)与y=—f(—x)关于y=—x对称，如:y=10与y=—lg(—x)关于y=—x对称
注:偶函数的图象本身就会关于y轴对称，Er奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如:
图象本身就会关于y轴对称，的图象本身就Hui关于原点对称。
y=f(x)与y=f(a—x)关于x=Dui称()
注:求y=f(x)关于直线xyc=0(Zhu意此时的系数要么是1要么是-1)对称的Fang程，只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f(x)即可，例
Ru:求y=2x+1关于直线x-y-1=0Dui称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得:x-1=2(y+1)整理即得:x-2y-3=0
2、平移:
y=f(x)y= f(x+)先向左(>0)或向右(0)或向左(y=f(x)y= f先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为Yuan来的||倍，然后再将整个图象向左(>0)或向右(3、必须掌握的几种常见函数的图Xiang
1、二次函数y=a+bx+c(a)(懂De利用定义域及对称轴判断函数的最值)
2、指数函数()(理解并掌握该函数的单Diao性与底数a的关系)
3、幂函数()(理解并掌握该函数的单调Xing与幂指数a的关系)
4、对数函数y=logx()(理解并掌Wo该函数的单调性与底数a的关系)
5、y=(a为正的常数)(懂得判断该函Shu的四个单调区间)
6、三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx(能根据图象Pan断这些函数的单调区间)
注:三角中的几个恒等关系
sinx+ cosx=11+tanx=secx1+cotx=cscxtanx=1
利用函数图象解题典例
已知分别是方程x +10=3及x+lgx=3的根，求:
分析:x +10=3可化为10=3—x，x+lgx=3可化为lgx=3—x，故Ci可认为是曲线
y=10、y= lgx与直线y=3—xDe两个交点，而此两个交点关于y=x
Dui称，故问题迎刃而解。
答案:3
4、函数中的最值问题:
1、 二次函数最值问题
结合对称轴及定义域进行讨论。
典例:设a?R，函数f(x)=x2+|x,a|+1，x?R，求f(x)的最小值(
考查函数最值的求法及分类讨论思想(
【解】(1)当x?a时，f(x)=x2+x,a+1=(x+)2,a+
若a?,时，则f(x)在,a，+?,上Zui小值为f(,)=,a
若a>,时，则f(x)在,a，+?)上Dan调递增
fmin=f(a)=a2+1
(2)当x?a时，f(x)=x2,x+a+1=(x,)2+a+
若a?时，则f(x)在(,?，单调递减，fmin=f(a)=a2+1
当a>时，则f(x)在(,?，上最小值Weif()=+a
综上所述，当a?,时，f(x)的最小值Wei,a
当,?a?时，f(x)的最小值为a2+1
当a>时，f(x)的最小值为+a
2、 利用均值不等式
典例:已知x、y为正数，且x =1，求x 的最大值
分析:x = = (即设法构造定值x =1)= = 故最大值为
注:本题亦可用三角代换求解即设x=cos ， =sin 求解，(解略)
3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的Han数值，通过比较找出最值。
4、 利用函数的单调性
典例:求t 的最小值(分析:利用函数y= 在(1，+ )的单调性求解，解略)
5、 三角换元法(略)
6、 数形结合
例:已知x、y满足x ，求 的最值
5、抽象函数的周期问题
已知函数y=f(x)满足f(x+1)= —f(x)，求证:f(x)为周期函数
证明:由已知得f(x)= —f(x —1)，所以f(x+1)= —f(x)=— (—f(x —1))
= f(x —1)即f(t)=f(t —2)，所以该函数是以2为最小正周期的函Shu。
解此类题目的基本思想:灵活看待变量，积Ji构造新等式联立求解
二、圆锥曲线
1、离心率
圆(离心率e=0)、椭圆(离心率01)。
2、焦半径
椭圆:PF=a+ex、PF=a-ex(Zuo加右减)(其中P为椭圆上任一点，F为椭Yuan左焦点、F为椭圆右焦点)
Zhu:椭圆焦点到其相应准线的距离为
双曲线:PF= |ex+a|、PF=| ex-a|(左加右减)(其中P为双曲线Shang任一点，F为双曲线左焦点、F为双曲线右Jiao点)
注:双曲线焦点到其相应准线的距离为
抛物线:抛物线上任一点到焦点的距离都等Yu该点到准线的距离(解题中常用)
圆锥曲线中的面积公式:(F、F为焦点)
设P为椭圆上一点，=，则三角形FPF的Mian积为:b
注:|PF| |PF|cos=b为定值
设P为双曲线上一点，=，则三角形FPFDe面积为:b
注:|PF| |PF|sin=b为定值
附:三角形面积公式:
S=底高=absinC==r(a+b+c)=(R为外接圆半径，r为内切圆半径)=(这就是著名的海伦公式)
三、数列求和
裂项法:若是等差数列，公差为d()则求Shi可用裂项法求解，即=()=
求导法: (典例见高三练习册p86例9)
倒序求和:(典例见世纪金榜p40练习18)
分组求和:求和:1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析:可分解Wei一个等差数列和一个等比数列然后分组求和
求通项:构造新数列法典例分析:典例见世Ji金榜p30例4——构
造新数列即可
四、向量与直线
向量(a，b)，(c，d)垂直的充要条Jian是ac+bd=0
向量(a，b)，(c，d)平行的充要条Jian是ad—bc=0
附:直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0垂直的充要条件是AA+ BB=0
直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0平行的充要条件是AB-AB=0
向量的夹角公式:
cos=
注1:直线的“到角”公式:到的角为tan=;“夹角”公式为tan=||
(“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为Zhi间的角)
注2:异面直线所成角的范围:(0，]
注3:直线倾斜角范围[0，)
注4:直线和平面所成的角[0，]
注5:二面角范围:[0，]
注6:锐角:(0，)
注7:0到的角表示(0，]
注8:第一象限角(2k，2k+)
附:三角和差化积及积化和差公式简记
S+S=SC
S+S=CS
C+C=CC
C—C=—SS
五、集合
1、集合元素个数的计算
card(A )=card(A)+ card(B)+ card(C)—card(A )—card()—card(C A)+card(A B C)(结合图形进行Pan断可更为迅速)
2、从集合角度来理解充要条件:若A B，则称A为B的充分不必要条件，(即小的可Tui出大的)此时B为A的必要不充分条件，若A=B，则称A为B的充要条件
经纬度
六、二项展开式系数:
C +C +C +…C =2 (其中C + C + C +…=2 ;C +C + C +…=2 )
例:求(2+3x) 展开式中
1、所有项的系数和
2、奇数项系数的和
3、偶数项系数的和
方法:只要令x为1或—1即可
七、离散型随机变量的期望与方差
E(a +b)=aE +b;E(b)=b
D(a +b)=a D ;D(b)=0
D =E —(E )
特殊分布的期望与方差
(0、1) 分布:期望:E =p;方差D =pq
Er项分布: 期望E =np;方差D =npq
注:期望体现平均值，方差体现稳定性，方Cha越小越稳定。
八、圆系、直线系方程
经过某个定点( )的直线即为一直线系，Ke利用点斜式设之(k为参数)
一组互相平行的直线也可视为一直线系，可Li用斜截式设之(b为参数)
经过圆f(x、y)与圆(或直线)g(x、y)的交点的圆可视为一圆系，可设为:
f(x、y)+ g(x、y)=0(此方Cheng不能代表g(x、y)=0);或f(x、y)+g(x、y)=0(此方程不能代表f(x、y)=0)
附:回归直线方程的求法:设回归直线方程Wei ,bx，a，则b,
a, ,b
高中数学笔记
第一节
San大特征：确定性、无序性、互异性。
Li：已知集合M={0,1,2}，定义集合N={ x|x∈M}，则这样的集合N 的Ge数是（）。
A.1 B.3 C.7 D.8
解析：A 。
Biao示方法：列举法、描述法、图示法。
Fen类：有限集、无限集、空集。
N 表示全全体非负整数集；N+或N*表示Chu0之外的非负整数集；Z 表示全体整数集；Q 表示全体有理数集，R 表示实数集；C 复数集。
Ji合见关系：一般地，对于两个集合，如果A 中任意一个元素都是B 的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作A ?B. 读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”. Zhe时说集合A 是集合B 的子集.
Li：在（1）{0}；（2）{?}；（3）{ x|3M0}，B={（x,y ）|x+y-n≤0}，那么点P(2，3) ∈A ∩（C U B ）的充要条件是（）。
A.m ＞-1，n -1，n ＞5
解析：
Li：设U={（x,y ）| x∈R ，y ∈R }，M={（x,y ）|(y-3)/(x-2)=1 },N={（x,y ）|y≠x+1}，求C U （M ∪N ）。
解析：
B. m5 且A ∩R +，求实数a De取值范围。
Zhu：集合这个考点在高考中所占比重并不大，Nan度小，属于送分题目。一般以选择或填空题Chu现，切基本是该类考题的第一题，占5分左You。
高中数学笔记
Gao中数学笔记 --------⑵函数
1基础概念 基本性质：
Zhu意：①函数图像与x 轴上的垂线至多一个Gong共点, 但与y 轴上的垂线的分共点可能Mei有, 也可任意个; ②函数图像一定是坐Biao系中的曲线, 但坐标系中的曲线不一定能Cheng为函数图像 2, 常见函数图像： 1. y=f（x ）=x+2.y=
x 4
ax +bcx +d
（a ，c ≠0）；3. ｜x ｜+｜y ｜=2；4. ｜x +1｜+｜y ?1｜=2
1 2
3 4
4指数函数与对数函数的图象与性质 ○
Zhu意: ①指数函数与对数函数, 当a>1Shi, 都是其定义域上的单调增函数, 当0Shu函数的图象都过点(0,1),对数函数的Tu象都过点(1,0).
2
②设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c ) (a≠0), 记?=b -4ac , 若f(x)的定义域WeiR, 则a>0,且?<0,>
R, 则a>0, 且?≥
0.
. 幂函数:
Zhu意：幂指数大于0时, 幂函数在(0,+∝) 上单调递增; 幂指数小于0时, 幂Han数在(0,+∞)上单调递减, 所有幂函Shu的图象都过点(1,1). 3图形变换：
Gao中阶段主要学习了种函数：常数函数，n Ci函数，幂函数（x a ），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对Zhi的函数）
①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的Yuan则（其中上加下减是在X 一方变换的，如Guo也针对y 则为“下加上减”即y=f（x ）按向量（a ，b ）平移为y-b=f（x-a ）。） ②伸缩变换：y=f(x)→y=f（ax ）即沿x 轴方向向y Zhou变为原来的a。
3绝对值的变换：y=f（x ），y=f（｜x ｜），y=｜f （x ）｜，｜y ｜=f（x ）的相互转换。 ○
4，函数的常见性质
1若函数y=f（x ）满足f(a+bx)=f(c-bx),则f （mx ）的图像Guan于x=a+bx+c?bx =a+c ○2m 2m
2对一函数y=f（x ），有y=f（a+bx）与y=f（c-bx ）的图像关于a+bx=c-bx，即x=，对称 ○2b 3若y=f（x+a）的图像关于y 轴对称，则有f （x+a）=f（-x+a），及f （x ）关于x=a对称 ○
4函数f （x ）=ax +b（a ，c ≠0）值域为 x ｜x ≠a ，图像关Yu点（?d a ○
cx +d
c
c
c
c ?a
1
（其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩Bian换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心Dui称。） 5若f （x ）=ax+b （a ，c ≠0）则f -1（x ）==dx ?b ，（a ，d 对调） ○cx+d?cx +a
1, x为有理数
6周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷Han数D(X)=f x = ○这是一个Zhou期函数，任何正有理数都
0, x为无理数是它的周期，但是它不存在Zui小正周期。
7原函数与反函数的奇函数性和单调性相同，Yuan函数与导函数的奇偶性相反。 ○
8设a 为非0常数，若f （x ）在定义Yu内恒有下列条件之一 ：I ，f （x+a）=--f(x)，II ，f （x+a）f(x)=1,III，f （x+a）○=
f （x ）+1f （x ）?1
，f （x+a）=f（x —a ）。则f （x ）为周期函数，2a 为其周期。
9若f （x ）同时关于x=a和x=b对Cheng，则2b-2a 为一周期 ○
Ruof （x ）关于x=a对称，且关于点（b ，0）对称（a 与b 不相等）则4b-4a 为其一周期 若f （x ）同Shi关于点（a ，0）和点（b ，0）对称，则2b-2a 为其一周期。
Chou象函数问题的”原型”解法例析
Li1，设函数f (x ) 满足f (x ) +f (y ) =2f (函数，并指Chu它的一个周期。
Fen析与简证：由f (x ) +f (y ) =2f (
x +y x -y π
) f () ，且f ()=0，x 、y ∈R ；求证：f (x ) 为周期222
x +y x -y ) f () 22
x 1+x 2x 1-x 2
Xiang：cos x 1+cos x 2=2coscos
22
原型：y =cos
x ，为周期函数且2π为它的一个周期。
Cai测：f (x ) 为周期函数，2π为它De一个周期 令x 1=x +π，x 2=π 则f (x +π) +f (x ) =2f (x +∴f (x +π) =-f (x ) ?f (x +2π) =f (x ) ∴f (x ) 为周期函数Qie2π是它的一个周期。 例2，已知函数f (x ) 满足f (x +1) =
π
) f () =0
22
π
1+f (x )
，若f (0)=2004，试求f (2005)。
1-f (x ) 1+f (x )
Fen析与略解：由f (x +1) =
1-f (x )
Xiang：tan (x +
π1+tan x )= 41-tan x
π
x 为周期函数且周期为4×=π。
4
原型：y =tan
Cai测：f (x ) 为周期函数且周期为4×1=4
1+1-1+f (x +1)
∵f (x +2) =f [(x +1) +1]==
1+1-f (x +1)
1-1-
1+
∴f (x +4) =f [(x +2) +2]=
f (x ) f (x ) 1
=-
f (x ) f (x ) f (x )
1
=f (x ) ?f (x +4)=f (x )
f (x +2)
∴f (x ) 是以4为周期的周期函数 You∵f(2)=2004
∴f (2005)=f (2004+1) =∴f(2005)=-
1+f (2004)1+f (0)1+20042005
===-
20031-f (2004)1-f (0)1-2004
2005
2003
Li3. 已知函数f (x ) 对于任意实Shux 、y 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，且当x ＞0时，f (x ) ＞0，f (-1)=-2，求函数f (x ) 在区间[-2，1]上的值域。
Fen析与略解：由：f (x +y ) =f (x ) +f (y ) 想：k (x +y )=k 原型：y ＝k
x +k y
x （k 为常数）为奇函数。k 0时为增函数。
Cai测：f (x ) 为奇函数且f (x ) 为R 上的单调增函数，且f (x ) 在[－2,1]上有f (x ) ∈[－4,2] 设x 1 ∴f (x 2) -f (x 1) =f (x 2-x 1+x 1) -f (x 1) =f (x 2-x 1) +f (x 1) -f (x 1) =f (x 2-x 1) ＞0 ∴f (x 2) >f (x 1) , ∴f (x ) 为R 上的单调增函数。 Lingx =y =0,则f (0)=0,令y =－x ，则f (－x )=－f (x ) ∴f (x ) 为R 上的奇函数。 ∴f (-1)=-f (1)=-2 ∴f (1)=2，f (-2)=2f (-1)=-4 ∴-4≤f (x ) ≤2(x∈[-2,1]) Guf (x ) 在[-2,1]上的值域为[-4，2] Li4. 已知函数f (x ) 对于一切实Shux 、y 满足f (0)≠0，f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，且当x <> f (x ) ＞1；（1）当x ＞0时，Qiuf (x ) 的取值范围 （2）判断f (x ) 在R 上的单调性 分析与略解：由：f (x +y ) =f (x ) f (y ) 想：a x +y =a x a y x Yuan型：y =a （a ＞0, a ≠1），a =1≠0。当a ＞1时为单调增函数，且x ＞0时，y ＞1，x 1，x ＞0时，00时，00，则-x 1 又f (0)=f (x -x )=f (x ) f (-x ) =1 ∴f (-x ) =1 f (x ) ＞1 ∴01且 f (x 1) f (x 1-x 2+x 2) f (x 1-x 2) f (x ==f (x 2) =f (x 1-x 2) ＞1 2) f (x 2) f (x 2) ∴f (x 1) >f (x 2) ， ∴f(x)在R 上为单调减函数 Li5. 已知函数f (x ) 定义域为(0,+∞) 且单调递增，满足f (4)=1，f (xy ) =f (x ) +f (y ) （1）证明：f (1)=0；(2)求f (16)；（3）若f (x ) +f (x -3) ≤1，求x 的Fan围； （4）试证f (x n )=n f (x ) （n ∈N ） Fen析与略解：由：f (xy ) =f (x ) +f (y ) Xiang：log a xy =log a x +log a y （x 、y ∈R +） 原型：y =log a x （a ＞0，a ≠0） 猜测：f (x ) 有f (1)=0，f (16)=2，…… （1）令x =1，y =4，则f (4)=f (1×4)=f (1)+f (4)∴f (1)=0 （2）f (16)=f (4×4)=f (4)+f (4)=2 (3)f (x ) +f (x －3)=f ［x (x －3) ］≤1=f (4) f (x ) 在（0，+∞）上单调递增 ?x (x -3) ≤4 ∴ ? ?x -3>0 ??-1??≤x ≤4?3 x >0 ?x >3∴ x ∈（3，4] （4）∵f (xy ) =f (x ) +f (y ) ∴f (x n ) =f ( x ?x ? x ? ? x ) =nf (x ) n 个 Li6. 已知函数f (x ) 对于一切正Shi数x 、y 都有f (xy ) =f (x ) f (y ) 且x ＞1时，f (x ) 0；（2）求Zheng：f (x -1 ) =[f (x )]-1 （3）求证：f (x ) 在（0，+∞）Shang为单调减函数 （4）若f (m ) =9，试求m 的值。 分析与简证：由f (xy ) =f (x ) f (y ) ， n n Xiang：(x 1x 2) n =x 1x 2 Yuan型：y =x n （n 为常数（y =x ） Cai测：f (x ) ＞0，在（0，+∞）Shang为单调减函数，…… (1)对任意x ＞0，f (x ) =f )=[f 2≥0 假设存在y ＞0，使f (y ) =0，则对任意x ＞0 -2 x x f (x ) =f(f (?y ) =f () f (y ) =0，这与已知矛盾 y y Gu对任意x ＞0，均有f (x ) ＞0 （2）∵f (x ) =f (x ?1) =f (x ) f (1)，f (x ) ＞0, ∴f (1)=1 ∴f (x ) f ( 11 )=f (·x )=f (1)=1 ∴f (x -1) =[f (x )]-1 x x (3)x 1、x 2∈(0,+∞) ，且x 11，∴f (2) 0在[-2，2]上恒成立 2 ?f (-2) >0??x -4x +3>0易得 ?即?2 ??f (2) >?x -1>0 ?x >3或x <> ?x >1或x <> ∴x<-1或x>3. II ，转化为二次函数，利用实根分布解决。 Li2、 不等式sin x ＋acosx ＋ a ≥1＋cosx 对一切x ∈R Heng成立，求负数a 的取值范围。 解：原不等即cos x ＋（1－a ）cosx －a ≤0 Lingcosx=t，由x ∈R 知t ∈[-1，1]， 设f(t)=t＋（1－a ）t －a Ze原题转化为f(t)=t＋（1－a ）t －a ≤0 在 t ∈[-1，1]上恒Cheng立 2 2 2 2 2 2 2 2 ?a <0?a><> ?? Yi得 ?f (1) =1+1-a -a 2≤0??a ≤-2或a ≥1?a ≤-2 ?a ≤0或a ≥1?f (-1) =1-(1-a ) -a 2≤0 ?? Gu所求的a 的范围为(-∞,-2]. III ，分离变量，借助不等式性质和函数Zui值解决。 例3．已知数列{a n }中，a n =6n -5(n ∈N *) ，设b n =所有n ∈N 都成立的最小Zheng整数m 。（06 湖北卷） * m 3 ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <> 20a n a n +1 m m Heng成立<=>＞T n max 问题转化为QiuT n 的最大值。若求出T n 的最大Zhi，则问题迎刃而解。 2020 311?11? Jie：依题可知b n === -?， a n a n +1(6n -5) 6(n +1) -52?6n -56n +1? 分析：T n ＜ 1??1??11?1???1 =b =1-+-+... +- ? ? ?? T n ∑?2??7??713??6n -56n +1??1=11?1?= 1-?。 2?6n +1?1?1?1易Zhi 1-? 2?6n +1?2 1m 1?1?m n ∈N ∴ 要使 1-﹤恒成立，必须Man足≤，即m ≥10。 )?20(2202?6n +1? 故 Ce略四、数形结合，直观求解。 n Li4、不等式(x-1)2 =(x-1)2,y 2=loga x, 如右图所示 Yao使对一切x ∈(1,2),y1 ∴1 ②能成立问题; Neng成立问题与恒成立的不同在于恒成立对给定Qu间内任何一个数都成立，而能成立则是只要Cun在一个数使得不等式成立即可。 Chang用方法是变量分离 。 Li如变量分离后是a>f(x)，则其解为a> f(x) min 同理，若是a ≤f(x),则其解为a ≤ f(x) max Ruo不能分离变量，化为f(x,a)>0,则Qi解为f(x,a)min >0 Li5. 若x 在区间（1，+∝） 上一定Cun在一点使得xlnx-ax+1<0成立，qiua 的范围。="" 解；因为x="">1。所以变量Fen离的a>lnx+1. ? a>( lnx+1min 设g(x)= lnx+1 g x =11x?1x x x ? x2 +x = x2 Yin为x>1,所以g , (x)>0.所以g(x)的最小值为g(1); 所以a>1. 高中数学笔记（3） -----------------三角函Shu 基本概念： 1、 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。。 （其中A >0，ω>0）2，函数y =A sin(ωx +?) +B 的最大值是A +B ，最小值是B -A ，周期是T = 频率是f = 2π ω ， ωπ ，相位是ωx +?，初相是?；其图象的对Cheng轴是直线ωx +?=k π+(k ∈Z ) ，凡是该图象2π2 Yu直线y =B 的交点都是该图象的对称中Xin。（若未告知ω>0，则要讨论） 3，三Jiao函数的单调区间： π3π?ππ??? Di减区间是?2k π+，y =sin x 的递增区间是?2k π-，2k π+?(k ∈Z ) ，2k π+?(k ∈Z ) ；y =cos x 22?22??? De递增区间是[2k π-π，2k π(k ∈Z ) ，递减区间是[2k π，2k π+π(k ∈Z ) ，y =tgx De递增区间是 ππ?? k π-，k π+?(k ∈Z ) ，y =ctgx 的递减区间是(k π，k π+π)(k ∈Z ) 。 22?? 4、sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β tg (α±β) = tg α±tg β 1 tg α?tg β 5、二倍角公式是：sin2α=2sin α?cos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α tan2α= 2tg α 。 2 1-tg α 33 8、三倍角公式是：sin3α=3sin α-4sin αcos3α=4cos α-3cos α 9、半角公式是：sin tan -cos α+cos ααα=±cos =± 2222 -cos α1-cos ααsin α=±==。 sin α1+cos α21+cos α 2 10、升幂公式是：1+cos α=2cos α 2 1-cos α=2sin 2 α 2 。 2 11、降幂公式是：sin α= 1-cos 2α1+cos 2α cos 2α=。 22 12、万能公式：sin α= 2tg 1+tg α 2α cos α= 1-tg 2 α tg α= 2tg 1-tg α 2α 1+tg 2222 13、sin(α+β)sin(α-β)=sin α-sin β， cos(α+β)cos(α-β)=cos 2 2α 2 α-sin 2β=cos 2β-sin 2α。 14、4sin αsin(600-α) sin(600+α) =sin 3α； 4cos αcos(600-α) cos(600+α) =cos 3α； tg αtg (600-α) tg (600+α) =tg 3α。 15、ctg α-tg α=2ctg 2α。 16、sin180= 5-1 。Sin150=sin750= 44 4 Bei注；1，注意值为1的公式的使用。在圆锥Qu线中参数方程的设定，不等式证明中换元的Shi用。 2，角的变换；α=（α+β）?β=（α?β）+β= （α+β）+（α?β） ∕2= （β+α）?（β?α） ∕2； （β+α）∕2=（α?β∕2）-（α∕2?β） 18、正弦定理是（其中R 表示三Jiao形的外接圆半径）：a sin A =b sin B =c sin C =2R 19、由余弦定理第一形式，b 2=a 2+c 2-2ac cos B You余弦定理第二形式，cosB=a 2+c 2-b 2 2ac 20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆Ban径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半Zhou长用p 表示则： ①S = 12a ?h S =1 a = 2 bc sin A = ； ③S =2R 2 sin A sin B sin C ；④S =abc 4R ； ⑤S =；⑥S =pr 21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，b =a ?cos C +c ?cos A ， 22、在△ABC 中，A sin A +B C 2=cos 2cos A +B 2=sin C A +B C 2tg 2=ctg 2 tgA +tgB +tgC =tgA ?tgB ?tgC 24、积化和差公式： ①sin α?cos β=1 2[sin(α+β) +sin(α-β)]， ②cos α?sin β=1 2[sin(α+β) -sin(α-β)]， ③cos α?cos β=1 2[cos(α+β) +cos(α-β)]， ④sin α?sin β=-1 2 [cos(α+β) -cos(α-β)]。 25、和差化积公式： ①sin x +sin y =2sin x +y 2?cos x -y 2， ②sin x -sin y =2cos x +y 2?sin x -y 2， ③cos x +cos y =2cos x +y x -2?cos y 2 ， ④cos x -cos y =-2sin 26，反三角函数 x +y x -y ?sin 。 22 ππ 1○ 、y =arcsin x 的定义域是[-1，1]，值域是[-22 ]，奇函数，增函数； y =arccos x 的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]，非奇非偶，减函Shu； y =arctgx 的定义域是R ，值域Shi(-ππ 22 ) ，奇函数，增函数； y =arcctgx 的定义域是R ，值Yu是(0，π) ，非奇非偶，减函数。 2○、当x ∈[-1，1]时，sin(arcsinx ) =x ，cos(arccosx ) =x ； sin(arccosx ) =-x 2，cos(arcsinx ) =-x 2 arcsin(-x ) =-arcsin x ，arccos(-x ) =π-arccos x arcsin x +arccos x =π 2 Dui任意的x ∈R ，有： tg (arctgx ) =x ，ctg (arcctgx ) =x arctg (-x ) =-arctgx ，arcctg (-x ) =π-arcctgx arctgx +arcctgx = π 2 Dangx ≠0时，有：tg (arcctgx ) =1x ，ctg (arctgx ) =1 x 。 3○，反三角函数的图像： 27、最简三角方程的解集： a >1时，sin x =a 的解集为φ； a ≤1时，sin x =a 的解集为x x =n π+(-1) n ?arcsin a ，n ∈Z a >1时，cos x =a 的解集为φ； {} {x x =2n π±arccos a ，n ∈Z }；a ≤1时，cos x =a 的解集为{x x =n π+arctga ，n ∈Z }；a ∈R ，方程tgx =a 的解集为 {x x =n π+arcctga ，n ∈Z }。a ∈R ，方程ctgx =a 的解集为 28，常见函数性质 y=sinx+cosx 易错题； Li1．关于函数f (x ) =4sin(2x + π 3 1y=f(x)图象关于直线x =-)(x ∈R ) 有下列命题，○ π 6 2 y=f(x) 的表达式对称 ○ Ke改写为y =4cos(2x - π 6 3 y=f(x)的图象关于点(-) ○ π 6 4由f (x 1) =f (x 2) =0可得x 1-x 2必是π的整, 0) Dui称 ○ Shu倍。其中正确命题的序号是。 答An：23 错解：234 Cuo因：忽视f(x) 的周期是π，相邻两零Dian的距离为 23 T π=。 22 ππ2 Dui称，当x ∈[-，π]时，函数 366 Li2．已知定义在区间[-π，π] 上De函数y=f(x)的图象关于直线x= -f(x)=Asin(ωx+?)(A>0, ω>0,-ππ <><) ，其图象如图所示。=""> (1)求函数y=f(x)在[-π，2 3 π]的表达式； (2)求方程f(x)= 2 De解。 解：(1)由图象知A=1，T=4(2π3-π 6 )=2π， 在x ∈[-π6，2π3 ]时 将( π 6，1) 代入f(x)得 f(π6)=sin(π 6+?)=1 ∵-ππ2<><2 ∴?=""> ∴在[-π6，2π3 ]时 f(x)=sin(x+π 3 ) ∴y=f(x)关于直线x=- π 6 Dui称 ∴在[-π，- π 6 ]时 f(x)=-sinx ? πx ∈[-π2π Zong上f(x)=??sin(x +) 6, 3] ?3 ?-sin x x ∈[-π, -π6 ](2)f(x)= 2 2 在区间[-π6，2π 3]内 Ke得x 1=5x 12 x 2= -π 12 ∵y=f(x)关于x= - π 6 对称 ∴x 3=-π3π 4 x 4= -4 ω= 2π T =1 ∴f(x)= 23πππ5π的解为x ∈{-,-,-, } 4121242 1 ，求sin βcos α的取值范围。 2 Jie：令α=sin βcos α，则有 ?1 +a =sin(α+β) ??2∴?(1) 1?-a =sin(α-β) ??2 1?-1≤+a ≤1??2∴?(2) ?-1≤1-a ≤. 1?2?11∴-≤a ≤ 22 3．若sin αcos β= Shuo明：此题极易只用方程组（1）中的一个条Jian，从而得出- 3113 ≤a ≤或-≤a ≤。原因是忽视了正弦函Shu的有2222 Jie性。另外不等式组（2）的求解中，容易让Liang式相减，这样做也是错误的，因为两式中的Deng号成立的条件不一定相同。这两点应引起我Men的重视。 高中数学笔记 ----------4-数列 1基本概念： 1. 等差数列{an }中: (1)an =a+(n－1)d=am +(n－m)d; p+q=m+n ? ap +aq =am +an . (2)a1+a2+…+am , ak +ak+1+…+ak+m－1, …仍成等差数列. (3)ap =q,aq =p (p≠q) ? ap+q=0; S p =q,Sq =p (p≠q) ? Sp+q=－(p+q); Sm+n=Sm +Sn +mnd ⑷S 2n-1=an (2n-1) （常用于数列的比较中和代换中）; 3. 等比数列{an }中; (1) m+n=r+s, am ·a n =ar ·a s (2) a1+a2+…+am , ak +ak+1+…+ak+m－1, …仍成等Bi数列 Sn n d ∕2 ?na 1 (q =1) ? (4) S n =?a 1-a n q a 1(1-q n ) ?1-q =1-q (q ≠1) ? Zhu意:①an －b n =(a－b)(an －1+an －2b+an －3b 2+…+abn －2+bn －1) ②S m+n=Sm +qm S n =Sn +qn S m . 4. 等差数列与等比数Lie的联系 (1)如果数列{an }成等差数列, 那Me数列{A n }(A n 总有意义) Bi成等比数列. (2)如果数列{an }Cheng等比数列, 那么数列{log a |a n |}(a>0,a≠1)必成等差数列. (3)如果数列{ an }既成等差数列也Cheng等比数列, 那么数列{ an }是非零Chang数数列; 数列{an }是常数数列仅是Shu列既成等差数列又成等比数列的必要非充分Tiao件. (4)如果两等差数列有其公共项, 那么由Ta们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 且新等差数列的公差是原两等差数列公差De最小公倍数. 5. 数列求和的常用方法. (1)公式法: ①等差数列求和公式, ②Deng比数列求和公式 ③常用公式: , I；12+22+32+…+n2= 11 n(n+1)(2n+1), II；13+23+33+------+n3= n （n +1） 2 46 a a III ；1，3，6，10，15，------ 则该数列 a n =n（n+1）∕2=C2n+1；S n =n（n+1）（n+2）∕6=C3n+2 (2)分组求和法: 在直接运用公式法求和You困难时, 常将" 和式" 中" 同类项" 先合并在一起, 再运用公式法求和. (3)倒序相加法: 在数列求和中, 若和Shi中到首尾距离相等的两项和有其共性, 则Chang考虑选用倒序相加法, 发挥其共性的作用Qiu和. (4)错位相减法: 如果数列的通项是由一Ge等差数列的通项与一个等比数列通项相乘构Cheng, 那么常选用错位相减法, 将其和转化Wei" 一个新的等比数列的和" 求解". (5)裂项相消法: 如果数列的通项可" Fen裂成两项差" 的形式, 且相邻项分裂后Xiang关联, 那么常选用裂项相消法求和, 常Yong裂项形式有: 1111111 =-=(-) ② n (n +1) n n +1n (n +k ) k n n +k 1111n 11 =[-]④=-③ n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) (n +1)! n ! (n +1)! ① （注意:运用等比数列求和公式时, 务必检Cha其公比与1的关系, 必要时应分类讨论. Lie项相消法更多的用于数列中不等式的证明） 2. 数列的通项的求法:（11-2=9Zhong类型） 类型1a n +1=a n +f (n ) ；（累加法） Jie法：把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ) ，利用累加法(逐差Xiang加法) 求解。 11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n 1111 Jie：由条件知：a n +1-a n =2 ==- n +n n (n +1) n n +1 Li1:已知数列{a n }满足a 1=分 n =1, 2, 3, ??????, (n -1) ，代入上式得(n -1) (a 2-a 1) +(a 3-a 2) +(a 4-a 3) +??????+(a n -a n -1) 11111111=(1-) +(-) +(-) +??????+(-) 所以a n -a 1=1- 22334n -1n n 11131 a 1=，∴a n =+1-=- 22n 2n 别 令 个等式累加之，即 Bei注：此题目还有一种更为简便的方法。 a n +1-a n = 111111 ==-；?a +=a+……. n+1n 2n+1n n +n n (n +1) n n +1 a 1+1=1.5；然后即可求得通项 类Xing2 a n +1=f (n ) a n （ 累乘法） a n +1 =f (n ) ，利用累乘法(逐商相乘法) 求解。 a n 2n a n ，求a n 。 例2:已知数列{a n }满足a 1=，a n +1= 3n +1 a n Jie：由条件知n +1=，分别令n =1, 2, 3, ??????, (n -1) ，代入上式得(n -1) 个等式累乘Zhi，即 a n n +1a a a 2a 3a 4123n -11 ??????????n =???????????n = n a 1a 2a 3a n -1234a 1n 22 You a 1=，∴a n =； 33n Jie法：把原递推公式转化为同样该题也有更为Jian便的方法； n a n ?（n +1)a n+1=nan =a1 n +1 3n -1 a n (n ≥1) ，求a n 。 例3:已知a 1=3，a n +1= 3n +2 3(n -1) -13(n -2) -13?2-13-1 ???????a 1 解：a n = 3(n -1) +23(n -2) +23?2+23+23n -43n -7526=?? ??3=3n -13n -4853n -1。 a n +1= Bian式:（2004，全国I, 理15．）已Zhi数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+???+(n -1) a n -1 (n ≥2) ，则{a n }的 n =1?1 n ≥2___? Jie：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+???+(n -1) a n -1+na n ，用此式减去已知式，得 通项a n =? Dangn ≥2时，a n +1-a n =na n ，即a n +1=(n +1) a n ，又a 2=a 1=1， ∴a 1=1, a a a 2a n ! =1, 3=3, 4=4, ???, n =n ，将以上n 个式子相乘，得a n =(n ≥2) 2a 1a 2a 3a n -1 Xiao结：很多题目他不会告诉你是哪种类型，往Wang要通过一步或两步的变形。而这题所用的两Shi相减是非常常见的也 Shi非常有效的。常用于关系式不只是a n Hea n+1的关系。 类型3 an+1=pan +f（n ）；（构造法） 通常构Zao为a n+1+bn+1=p（a n +bn ）； ①： a n +1=pa n +q （其Zhongp ，q 均为常数，(pq (p -1) ≠0) ）。 Xing如a n +1=pa n +q （p ≠1且q 为不等于0的常数）的数列，可令a n +1+x =p (a n +x ) 即a n +1=pa n +(p -1) x 与a n +1=pa n +q 比较得x = q （最好记住这个系数，以加快速度），从而构Zao一个以p -1 a 1+ ?q q ? Wei首项以p 为公比的等比数列?a n +? p -1p -1?? Li4:已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n . Jie：设递推公式a n +1=2a n +3. ?a n +1+3=2(a n +3) （直接心算出系数）, 令b n =a n +3，则b 1=a 1+3=4, 且 b n +1a n +1+3==2. 所Yi{b n }是以b 1=4为首项，2为Gong比的等比数列，则b n =4?2n -1=2n +1, 所以a n =2n +1-3. b n a n +3 Bian式:（2006，重庆, 文,14） （Da案:a n =2n +1-3） ②，I ，a n+1=Pan +an+b；IIa n+1=pan +an2+bn+c； I 构造a n+1+x（n+1）+y=P（a n +xn+y）；则新数列b n = an +xn+y，为等比数列，其中x=II 构造a n+1+x（n+1）2+y(n+1)+z=p（a n +xn2+yn+z）；然后同上 ③：a n +1=pa n +q n （Qi中p ，q 均为常数，(pq (p -1)(q -1) ≠0) ，pq 不相等）。 （或a n +1=pa n +rq n , 其中p ，q, r 均Wei常数） 。 Jie法：构造a n+1+xqn+1=p（a n +xqn ） ④；a n+1=pan +rpn ； Jie法；两边同时除以p n+1，转化为类型1 a p ?1 Zai数列{a n }中，若a 1=1, a n +1=2a n +3(n ≥1) ，则该数列的通项a n =_______________ y 由具体数值求 511n +1 , a n +1=a n +() ，求a n 。 632 11n +12n n +1n +1 Jie：在a n +1=a n +() 两边Cheng以2得：2?a n +1=(2?a n ) +1 323 22n Lingb n =2n ?a n ，则b n +1=b n +1, 解之得：b n =3-2() 33 b 1n 1n =3() -2() 所以a n =n n 232 Li6(2005重庆卷) 数列{a n }Man足a 1=1且8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0(n ≥1) 1 Jib n =(n ≥1) 1a n - 2 (1) 求b 1, b 2, b 3, b 4的值 Li5:已知数列{a n }中，a 1= (2) 求数列{b n }的通项及数列{a n b n }的前n 项和s n Jie析:(1)由于b n = 1a n - 12 4463 Zheng理得-+=0即b n +1=2b n - 由a 1=1有b 1=2 3b n +1b n b n b n 820 Suo以b 2=, b 3=4, b 4= 33 4 ⑵由b n +1=2b n - 3 4442 ∴b n +1-=2(b n -) b 1-=≠0 3333 24?? ∴?b n -?是以为首项以2为公比的等Bi数列 33?? 411411n n Gub n -=?2即b n =?2+由b n =得a n b n =b n +1 133332a n - 2 Gus n =a 1b 1+a 2b 2+……+a n b n 1 =(b 1+b 2+……+b n ) +n 21 (1-2n ) 5 =3+n 1-231n =(2+5n -1) 3例7（第十三届希望杯）设函数y =3-0. 6x 与函数y =0. 6x 的图Xiang交于点p 1(x 1, y 1) ，对Ren意（n ∈N , N >1） Jiang过点（0，3）和点(x n -1, 0) 的直线与直线y =0. 6x 交点坐Biao记为P n (x n , y n ) ，则p 1, p 2, p 3坐标依次为_______ 解析：过点（0，3）和点(x n -1, 0) 直线方程为y =3- 得a n = 11 +代入递推关系8a n +1a n -16a n +1+2a n +5=0 b n 2 3x n -1 x ，将它与y =0. 6x 联立，得 x n = 3x n -1111 ，取倒数=+ x n x n -153+0. 6x n -1 ?1?1 Shi公差为的等差数列 ?x 5?n ? 即数列? 53 , y 1= 22 1111n +1153因而，故 =+(n -1) , ==, y = x n x 15x n 5x n n +1n +1 55353 , ) 于是得p 2(, 1), p 3(, ), p 2002( 34420032003 You由y =3-0. 6x 与y =0. 6x 联立，得x 1=对于类型3 令 a Yi可以通过构造数列： n +1 p n +1 a n f (n ) =n +n +1 p p b n +1=b n + f (n ) p n +1 b n +1 a n +1= p n +1 ；则 You此转化为类型1，先求出b n 在求出a n Lei型4，递推公式为S n 与a n 的关Xi式。(或S n =f (a n ) ) 解法：利用a n =? ?S 1????????????????(n =1) Yua n =S n -S n -1=f (a n ) -f (a n -1) 消QuS n (n ≥2) 或与 ?S n -S n -1???????(n ≥2) 12n -2 . （1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n . S n =f (S n -S n -1) (n ≥2) 消去a n 进行求解。 Li7：数列{a n }前n 项和S n =4-a n -解：（1）由S n =4-a n - 12 n -2 De：S n +1=4-a n +1- 12 n -1 Yu是S n +1-S n =(a n -a n +1) +(所以a n +1=a n -a n +1+ 12n -2 1 ?a n +1n -12 n +1 （2）应用类型4（a n +1=pa n +q n （其中p ，q 均为常数，(pq (p -1)(q -1) ≠0) ））的方法，上式两边同乘以2 De：2n +1a n +1=2n a n +2 ) 2n -111=a n +n . 22- 1 1n ?a =1. 于是数列2a n 是以2为Shou项，2为公差的等差数列，所以11-2 2 n 2n a n =2+2(n -1) =2n ?a n =n -1 2 a n +1=pa n +q ，再利用待Ding系数法求解。 12 Li8：已知数列｛a n ｝中，a 1=1, a n +1=?a n (a >0) ，求数列{a n }的通项公式. a 121 Jie：由a n +1=?a n 两边取对数Delg a n +1=2lg a n +lg ， a a 112n -1 Lingb n =lg a n ，则b n +1=2b n +lg ，再利用待定系数法Jie得：a n =a () 。 a a r Lei型5， a n +1=pa n (p >0, a n >0) Youa 1=S 1=4-a 1- {} （两边取对数） Jie法：这种类型一般是等式两边取对数后转化Wei类型3. 这里就不在出例题了。 类型6Di推公式为a n +2=pa n +1+qa n （其中p ，q 均为常数）。（Te征方程） 形如a n +2=pa n +1+qa n (p , q 是常数）的Shu列 Xing如a 1=m 1, a 2=m 2, a n +2=pa n +1+qa n (p , q 是常数）的二阶递推数列都可Yong特征根法求得通项a n ，其特征方程为x 2=px +q …① Ruo①有二异根α, β，则可令a n =c 1αn +c 2βn (c 1, c 2是待定常数） 若①有二重根α=β，则可令a n =(c 1+nc 2) αn (c 1, c 2是待定常数） Zai利用a 1=m 1, a 2=m 2, 可求得c 1, c 2，进而求得a n 当p+q=1时： 由此转化为类型1. Guan于其中的构造思想，即特征方程的来源现介Shao如下： ?a n +1-a n =(-q ) n -1(a 2-a 1) Dangp+q≠1时；则可构造 an+1?x1=x2(an?x1) ?a n +1=(x 1+x 2) a n - x 1x 2a n -1∴x 1+x 2=p , x 1x 2=-q Jix 1 ，x 2 是上述特征方程的两根 Li6: 数列{a n }：3a n +2-5a n +1+2a n =0(n ≥0, n ∈N ) ， a 1=a , a 2=b , 求a n 解（特征根法）：的特征方程是：3x 2-5x +2=0。 x 1=1, x 2= 2, 3 2n -1 =A +B ?() n -1。又由a 1=a , a 2=b ，于是 ∴a n =Ax 1n -1+Bx 2 3 ?a =A +B ?A =3b -2a 2n -1? a =3b -2a +3(a -b )() 故?2??n 3b =A +B ?B =3(a -b ) ?3? 21 Lian习:已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=a n +1+a n ，求a n 。 33 731 key :a n =-(-) n -1。 443 Bian式:（2006，福建, 文,22） Yi知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *). 求数列{a n }的通项公式； （I ）解： ∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +... +(a 2-a 1) +a 1 =2n -1+2n -2+... +2+1 n * =2-1(n ∈N ). f (n ) a n Lei型7 a n +1= g (n ) a n +h (n ) （Liang边取倒数） Jie法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元Zhuan化为a n +1=pa n +q 。 a n -1 , a 1=1，求数列｛a n ｝的通项Gong式。 3?a n -1+1 13?a n -1+11 Jie：取倒数： ==3+ a n a n -1a n -1 Li9：已知数列｛a n ｝满足：a n = ?1?111 ∴??是等差数列， =+(n -1) ?3=1+(n -1) ?3?a n = a 3n -2a a ?n ?n 1 Bian式:（2006，江西, 理,22） 33na n －1 ，且a n ＝ 求数列｛a n ｝的通项Gong式； n ≥2，n ∈N *）22a n －1＋n －1 11n －1n n 11 Jie：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，1－） 3a n －1a n 3a n a 13 Yi知数列｛a n ｝满足：a 1＝ n ?3n 1n Cong而1－＝，据此得a n ＝n （n ≥1） 3－1a n 3n Aa n +B Lei型8、形如a n +2=的数列；（不动Dian特征方程） Ca n +D Aa n +B Dui于数列a n +2=，a 1=m , n ∈N *(A , B , C , D 是常数且C ≠0, AD -BC ≠0） Ca n +D Ax +B 2 Qi特征方程为x =，变形为Cx +(D -A ) x -B =0…② Cx +D a -αa -α Ruo②有二异根α, β，则可令n +1（其Zhongc 是待定常数），代入a 1, a 2De值可求得c 值。 =c ?n a n +1-βa n -β 这样数列? ?a n -α?a -α ，公比为c 的等比数列，于是这样可求得a n ?是首项为1 a 1-β?a n -β? 11 =+c （其中c 是待定常数），代入a 1, a 2的值可求得c 值。 Ruo②有二重根α=β，则可令a n +1-αa n -α 这样数列? ? 1?1 ?a α?? 是首项为 ，公差为c 的等差数列，于是这样可求得a n n -a n -α例3已知数列{a a n -1+2 n }满足a 1=2, a n =2a 1 (n ≥2) ，求数列{a n }的通项a n n -1+解：其特征方程为x = x +2，化简得2x 2-2=0，解得x 1，令a n +1-1a -1 1=1, x 2=-1=c ?n 2x +1a a n +1+n +1 由a 41 1=2, 得a 2=5，可得c =-3 ， ∴数列??a a n -1 n -1?1-11a n -11?1?3n -(-1) n ?a n +1?? 是以a =1 Wei首项，以-为公比的等比数列，∴=? -?，∴a n =n 1+133a n +13?3?3+(-1) n Li4已知数列{a 2a n -1 *n }满足a 1=2, a n +1=4a +6 (n ∈N ) ，求数列{a n }的通Xianga n n 解：其特征方程为x =2x -14x +6，即4x 2+4x +1=0，解得x 111 1=x 2=-2 ，令a =+c n +1+2a n + 2 Youa =2, 得a 3 12=14 ，求得c =1， ?∴数列??1??是以1=2为首项，以1Wei公差的等差数列，∴1=2+(3 ， ??n -1) ?1=n -?a +555n 2??a 1+2a n + 2∴a 13-5n n =10n -6 Lei型10周期型；（找规律） Jie法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 ?例10：若数列{2a , (0≤a ≤1a n }满足a n +1 =??n n ) ?2，若a 61=，则a 20的值为___________。 ??? 2a n -1, (12≤a 7n <> Bian式:（2005，湖南, 文，5） 已知Shu列{a n }满足a 1=0, a n +1=a n -33a (n ∈N *) ，则a 20= （） n +1 A ．0 B ．- C ． D ． 2 Fu：其他典型的数列递推题目； ①， n(n+1)an+1=n（n-1）an -（n-2）a n-1? a n+1-an n ?2 n+1=n+1n -a n-1∕n); ②，2S n =an +1/an ? 21 2s1 n=sn?sn?1? nn?1 Xian求出S n ，后求出a n ③，na n+1=（n+1）a n +2? an+1a=n+2 Ran后转化为类型1即可 3，数列与不等式； II 放缩为可裂项相消的式子； Xian整理了一些常用的裂项类型，提供参考 ①1k 2<1k 2-1="12(1k"> 111111k +1) ; k -k +1 ) ④1n (n +1)(n +2) =12[1n (n +1) -1(n +1)(n +2) ]⑤n 11 (n +1)! =n ! -(n +1)! ⑥ 22 Huang冈市高中数学三角函数状元学习笔记 Di一讲:任意角的三角函数 Yi、基本知识点 . (掌握从特殊到一般的Fang法 和 扩散法 ) 1. 正角, 负Jiao, 零角, 象限角 . (例 1)若角 α是第二象限角,则 (1) 2α Shi哪个象限角? (2) α2是哪个象Xian角? (例 2)若 α是第四象限角,Ze πα-是第 象限角, 2 π α-是第 (例 3)已知下列各个角:πα7111- =, πα6 5112=, 93=α, ?-=8554α 其中是第三象限的角是 ;将它们化为另一种度量制下De数量分别是多少? 2. 终边相同的角 . a. 角 α和 β终边相同:Z k k ∈?+=, 2παβ b. 3. 弧度制 (单位是“ a. 弧度制定Yi:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角Jiao 1弧度角 b.角度制与弧度制的Hu化 . 依据 : Ba角度化成弧度:360 = ; 180 = ; 1 = ; 把弧度化成角度:π= ; 32π= ; 5 7 π- = ; 1弧度 = ; c r l ||α= (α是圆心角的弧度Shu) 4. 任意角的三角函数定义: Yi角 α的顶点为坐标原点,始边为 x 轴Zheng半轴建立直角坐标系,在角 α的终边上任Qu一个异于原点的 Dian ) , (y x P ,点 P 到原Dian的距离记为 (0) r r ==>,那Me Zheng弦 : sin y r α= 余弦 : cos x r α=; 正切 : tan y x α=; Yu切 : cot x y α= Zheng割 : sec r x α=; 余割 : csc r y α= . (例 1)已知角 α的终边经过点 P (2, -3) ,求 α的六个三角函数值 . (例 2)求下列各角的六个三角函数值:(1) 0; (2) π; (3) 3 2 π; (例 3)若 23 cos 4m m α-= -,且 α为二、三象限角,则 m (例 4)已知角 α De终边上一点 () P m ,且 sin 4 α=,求 cos ,sin αα的值。 (例 5)已知点 P (3,-4) r r (0) r ≠,在角 α的终边上,Qiu sin α、 cos α、 tan α的值。 (例 6)特殊角的三角函数值 (很重要 ) : 5. 三角函数的符号:(口诀:“一全正,Er正弦,三正切,四余弦” 。 ) 正弦在 : 余弦在 : 正切在 : 余Qie在 : 6 7. 倒数关系: tan cot 1αα?= Shang数关系: sin tan cos ααα= (cos cot sin α αα=) 平方关系:22 sin cos 1αα+= (例 1)已知 sin α= 4 5 ,并且 α是第二象限角,求 cos α, tan α, cotα的值 . (例 2)知 , 2tan =α求下列各式的值 . ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--αααα2 222cos 9sin 4cos 3sin 2-- αααα2 2cos 5cos sin 3sin 4-- (例 38. 诱导公式 . 方法:奇变偶不变,符号看象限 . (例 1) cos ( 32π -α) = 步骤:1、把 32π写成 2 k π De形式 . 若 k 为奇数,则变为 sin α; 若 k 为偶数,则不变,仍为 cos α. 2、把 α看成一个锐角,确定角(32 π -α)所在的象限,以及这个角在原三角函数Ming下的正负 . (例 2)用诱导公式化简 . sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)= sin( 2 π α-)= cos( 2 π α-)= tan( 2 π α-)= sin(πα-)= cos(πα+)= sin(2 π α+)= cos( 2π α+)= sin(πα+)= cos(πα-)= sin(32πα+)= cos(32πα-)= sin(2002 π+ )= cos(2πα-)= sin(52πα+)= cos(5912 π- )= 二、学生练习 . (例 1)已知:tan 3α=,求 2cos() 3sin() 4cos() sin(2) παπααπα--+-+-的值 (例 2) sin(180) sin() tan(360) tan(180) cos() cos(180) αααααα-++--+++-+- sin120cos330sin(690)cos(660) tan675cot 765?+--++ (例 3(例 4)已知 3 sin 5 α=- ,且 α是第四象限角,求 tan [cos(3) sin(5)]απαπα--+De值 1 Huang冈市高中数学必修 4状元学习笔记 Ke题 1: 弧度制与任意角的三角函数 1.任意角的概念:设角的顶点在坐标原点,Shi边与 x 轴正半轴重合,终边在坐标平面Nei . 终边绕顶点旋转即可产 生正角、负Jiao和零角 . 象限角:若角 α的终边在第 k 象限,则称 α为第 k 象限角;终Bian相同的角所有与 α终边相 同的角连同 α在内构成集合为 {}360, S k k Z ββα==+??∈ 2.弧度制的概念:与半径等长的圆弧所对的Yuan心角称为 1rad (弧度)的角 . Jiao度与弧度的互化公式:1rad = 180 π ? () 57.35718' ≈?=?; 1?= 180 π rad 3扇形的弧长公式:l = r (扇形的圆Xin角为 α弧度,半径为 r ) ;扇形的Mian积公式:S = 211 22 lr r == 4. 任意角的三角函数De定义:在角 α的终边上任取点 (, ) P x y ,设 (0) OP r r =≠ 则 sin α= y r ; cos α=x r ; tan α=y x cot ,sec ,csc x r r y x y ααα=== 5. 三角函数在各象限的Fu号:sin α上正下负横轴零, cos α左负右正纵轴零, tan α 交叉正Fu横轴零. 1. 重点:掌握任意角的三角函数的定义和Hu度制处理三角式的化简,求值等问题。 2. 难点:确定三角函数值的符号,理解弧Du的概念及其与角度的关系 3. 重难点:理解弧度的意义,正确地进行Jiao度与弧度的换算 . 掌握终边相同的角的Biao示方法和扇形弧长和面积的 计算 . 2 Zhong难点 (1)角的范围的确定应用不Deng式的性质和结合终边相同的角的表达式。 Wen题 1:若 αα2 α 3 的范围 . (2)扇形弧长和面积的计算严格按公式进行Zhuan化。 Wen题 2. 一个扇形 OAB 的面积是 1平方厘米,它的周长是 4厘米,求∠ AOB 和弦 AB 的长 . Re点考点题型: 考点 1 角的Gai念问题 题型 1: 终边相同的角的表Shi方法 [例 1] 写出 (0) y x x =±≥所夹区域内的角的集合。 Ti型 2:象限角的表示 . [例 2]已Zhi角 α是第二象限角,求:(1)角 2 α Shi第几象限的角; (2)角 α2终边的位Zhi。 【新题导练】 1.设 M ={小于 90?的角}, N ={第一象限的角},则 M N ?=( ) A 、 {锐角 } B、 {小Yu 90?的角} C、 {第一象Xian的角} D、以上都不对 2.写Chu -720°到 720°之间与 -1068°终边相同的角的集合 ___________________. 3.已知 {|180(1) 45}k k θαα∈=??+-??,判断 θ所在的象限. Kao点 2 弧度制与弧长公式 题型 1:角度制与弧度制的互化 Li 3. (1)设 0012570, 750αα=-=,用弧度制表示它们,并指出Ta们各自所在的象限. (2) 设 1237, 53 βπβπ==-, 用角度制表示它们, 并Zai 00720~0-范围内找出与它们有相Tong终边的所有角. Li 4]设扇形的周长为 8cm ,面积为 24cm 4. 0300-化为弧度为( ) A 、 43π- B、 53π- C、 74π- D、 76 π - 5.三角形三内角的比是 7∶ 8∶ 15,各内角的弧度数分别是 _______. 3 Kao点 3 三角函数的定义与三角函数的符号 题型 1:判断三角函数值的符号 例 5. 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° (2) sin (-π4 ) (3) tan (-672°) (4) 11π 3 Ti型 2:由三角函数的定义求值 [例 6]已知角 α终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶ 4(且均不为零) , 求 2sin α+cosα的值. 【新题导练】 6.(佛山市三水中学 2009届高三上学期期中考试 ) 如图,角 α的顶点原点 O ,始边在 y 轴的正半Zhou、 终边经过点 ) 4, 3(--P . 角 β的顶点在原点 O ,始边在 x 轴的正半轴,终边 OQ 落在第二象限,Qie 2tan -=β,则 POQ ∠cos 的值为 A . 5 B . 25- C . 255 D. 5 - 7. (20082深圳市高三年级第一次调Yan考试 ) 若 π 02α-<,则点 (cos,="" sin="" )="" q="" αα位于(=""> A. 第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 1.已知角 α的终边上一点的坐标为 22(sin,cos ) 33 ππ ,则角 α的最小正角是( ) A 、 56π B、 23π C、 53π D、 116 π 2.若 α是第二象限的角,且 |cos |cos 2 2 α α =-,则 2 α Shi( ) A 、第一象限角 B、第二象限角 C、第三Xiang限角 D、第四象限角 3Yi知角 α的终边与函数 ) 0(, 0125≤=+x y x 决定的函数图象重合,求 α ααsin 1 tan 1cos -+ 4. (湛江市实验中学 2009届高三第Si次月考)已知 3 5 cos θ= ,且角 θ在第一象限,那么 2θ在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.(2008广东省佛山市普通高中高三教Xue质量检测 ) Ru图 A 、 B 是单位圆 O 上的点,Qie B 在第二象限 . C是圆与 x 轴Zheng半轴的交点, A 点 的坐标为 34, 55?? ??? ,△ AOB 为正三角形 . (1)求 sin COA ∠; (2)求 cos COB ∠. 转载请注明出处范文大全网 » 理科状元刘智昕的高中数学笔记黄冈市高中数学三角函数状元学习笔记
黄冈市高中数学必修4状元学习笔记
