《哥德巴赫猜想》写作时，是人民文学主动Yao请的，这是为1978年”全国科学大会”Zhao开所做的一种思想和舆论准备。可以说是时Dai所需，那时正是知识分子的转型期，从文化Da革命对知识分子的摧残到逐渐的恢复。《哥De巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以才Hui引起反响。徐迟之前曾是以诗歌而引起关注De，之后转向报告文学。但诗人的富于激情的Yu言结合科学的客观性，而成就了文学与科学De完美结合。完美的艺术，知识分子对知识的Ke求，国家对知识的重视。大环境和小环境的Xu要，正是它成功的原因。而90年代徐迟的Bao告文学，却反响平平。不是因为他的艺术水Ping的欠缺。而是当今的环境，在市场环境，消Fei主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一Qie的标准。文学，科学，知识的边缘化。人们Jia值观念的缺失。这种种的社会环境所致的啊。人类社会往往会从一个极端而走向另一个极Duan。盲目的向前

1

Fa展，而没看到事物的两面性。由极端的追求Jing神需要到极端的物质追求，在追求精神建设De时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候Hu略了精神的建设，直至出现了许多问题的时Hou才有所警醒。所以只好由缺失而警醒而改变。这种被动的去改变，发展。有时候是走走退Tui再退退走走的反复过程之中。客观而理性的Fen析，让我受益匪浅。也悟出了许多人生，社Hui的道理。 由于”哥德巴赫猜想”这一世界Shu学难题的被突破，人们知道了陈景润的名字，同时，也一样知道了王亚南的名字，知道了Hua罗庚的名字，知道了熊庆来的名字。正如《Ren民日报》在转载徐迟同志的文章时所加的编Zhe按里说的:”千里马常有，而伯乐不常有。”发现人才，选拔人才，是不十分容易的。我Men很可以这样设想，没有王亚南这位”懂得人De价值的政治经济学批判家，突破哥德巴赫猜Xiang的陈景润，很可能在50年代就为病魔缠倒，作为一个普通的中学教师默默无闻地死去～”王亚南为陈景润的进修和个性的发展，创造Liao方便的物质和生活条件，而华罗庚则从这位Qing年的数学论文中，发现了他身上的奇光异彩，立刻建议把他选调到科学院数学研究所来当Shi习研究员--正是在这里，陈景润在严师、Ming家的帮助熏陶下，得以充分发挥自己的才能，以飞速的步伐，跨上人类知识的顶峰，夺得Ju有世界水平的重大成就。如像王亚南发现陈Jing润一样，如果没有那一位也是懂得人的价值De大数学家、大教育家熊庆来的

2

Hua，作为连初中也没有念完的穷青年华罗庚，Kong怕也难跻身于世界数学权威的行列之中。虽Shuo中学教师的陈景润和数学家的陈景润，都一Yang是为人民服务，但是，实践证明，作为数学Jia的陈景润，却可以比中学教师的陈景润为人Min服务得更好，作出更大的贡献。在为实现四Ge现代化而使全民族精神大振奋的今天，我们Dan愿那些居于要津的同志，都能成为像王亚南、华罗庚和熊庆来那样的”伯乐”，把我们民Zu中的”千里马”选拔出来，让他们为我们祖Guo、为世界人类作出更大的贡献。(2/27Xie)读后感:1978年3月24日，《人民Ri报》发表一篇新华社记者述评《大家都来做Bo乐》，提出了在全国范围大胆发现、选拔人Cai的问题，指出在选拔人才中一个不利的因素Shi对人的”求全责备”。其中有一段话说:”Ming驹难免有瘢，美玉难免有瑕。十全十美、没You任何缺点的人，世界上是没有的。如果因瘢Fei马，因瑕弃玉，哪还有什么千里马可寻，还You什么杰出人才可选呢?这种求全责备的思想Ji不符合客观实际，也不符合党的知识分子政Ce。

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3

黎曼猜想或被证明

Kan过《美丽心灵》的人应该知道，纳什在得了Jing神分裂症之后开始研究黎曼猜想，并孜孜不Juan。现在，他也许要改行了：

21世纪七大数学难题之一的黎曼猜想可能已Jing被证明，而发表了这篇长达40页的论文的Shu学家名叫XIAN-JIN LI，可能是Yi名华裔。

7月2日，Brigham Young大学De数学家XIAN-JIN LI在预印本网Zhanarxiv上发表了一篇论文， 宣称证明Liao黎曼猜想。这是一篇长达40页的完整证明，没有摘要，同行可能需要花点时间去验证和Jian验。黎曼猜想是克雷数学研究院的千禧年七Da难题之一，它提 供了百万美元奖励给证明Zhe。而在3个月前，Bristol大学的学ShengCe Bian首次证明了有助于解决黎曼Cai想的3维超L函数。

黎曼猜想：

ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点Du在ReZ＝1／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。

Li曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯Wen纳顿―戴尔猜想、纳威厄―斯托克斯方程、Yang―米尔理论、Ｐ对ＮＰ问题被称为21世纪Qi大数学难题

黎曼猜想证明

黎曼猜想证明

李联忠

（营山中学 四川营山 637700）

Zhai要：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是? ，1901年瑞典数学家Helge von Koch证

x

Ming了黎曼猜想与强条件的素数定理?(x)?

x

?ln

2

dtx

?O(xlnx)等价 ，本文通过证明

?(x)?

?ln

2

dtx

?O(xlnx)是正确的，间接证明黎曼猜Xiang。

Guan键词：数论；素数；黎曼猜想

Zhong图分类号：015 文献标识码： 文章编号： 黎曼猜想：黎Manζ函数非平凡零点的实数部份是? ，1901年瑞典数学家Helge von Koch

x

Zheng明了黎曼猜想与强条件的素数定理?(x)?

x

?ln

2

dtx

?O(xlnx)等价 ，下面证明

?(x)?

?ln

2

dtx

?O(xlnx)是正确的。

先证引理

Yin理1：若p1?2,p2?3，…pj…,pi,为连续素数，且pj| n ， 则 n≠o (modpj) 的 数的个数

i

yi(n)?n??(1?

j?1

1pj

).

Zheng明：I.当i=1时,

∵ p1=2 , p1|n ∴ yi(n)?n?结论成立。

Ⅱ.假设i=k时，结论成立，即：

k

n2

?n?(1?

12

)?n?(1?

1p1

)

yk(n)?n??(1?

j?1

1pj

) 成立。

当i=k+1时，

∵ p1|n，p2|n，…， pk|n，据归纳假设

k

∴ yk(n)?n??(1?

j?1

1pj

)

You ∵ pk?1|n

∴ n≠o (modpk?1) 的数You

npk?1

个，即是pk?1的

1 、2 、3 、… 、

npk?1

这

npk?1

个倍数。而这

npk?1

Ge数在去了p1,p2,?,pk的倍数后，Ju归纳假设还余

npk?1

k

??(1?

j?1

k

1pj

)

∴ yk?1(n)?n??(1?

j?1k

1pj1pj

)?

npk?1

k

??(1?

j?1

1pj

k?1

)

?n??(1?

j?1

)?(1?

1pk?1

)?n??(1?

j?1

1pj

)

∴ i=k+1时，结论

k?1

yk?1(n)?n??(1?

j?1

1pj

) 成立。

YouI、Ⅱ可得，当i为任何正整数，结论都成Li。

Suo以， 若p1?2,p2?3，…pj…,pi,为连续素数，且pj| n ， 则 n≠o (modpj)

i

De数的个数yi(n)?n??(1?

j?1

1pj

).

Yin理1证毕。 引理2：若?(x)?

?

p?x

(1?

1p

?x?

)?

k?1

1k

，则 e

??

≤?(x)≤0.75

?x?

Zheng明：设 ?(x)?

?x?

?

k?1

1k

?lnx??

∴

?

k?1

1k

?lnx????(x)

?x?

∴ ?(x)?

?

p?x

(1?

1p

)?

k?1

1k

=?(1?

p?x

1p

)?(lnx????(x))

Gen据Mertens定理3

?

p?x

(1?

1p

?x?

)?

e

??

lnx

?O(

1ln

2

x

)

∴ ?(x)?

?

p?x

(1?

1p

)?

k?1

1k

=?(1?

p?x

??

1p

)?(lnx????(x))

=(

e

lnx

?O(

1ln

2

x

))?(lnx????(x))

=e

??

?

e

??

(???(x))lnx

?O(

lnx????(x)

ln

2

x

)

∴ ?(x)是波动减小的，波幅也减小。

∵

lim

x???

?(x)?

lim?

x???

(1?

1p

?x?

)?

k?1

1k

p?x

=lim(

x???

e

??

lnx1p

?O(

?x?

1ln

2

x

))?(lnx????(x))=e

??

∴ e 即

??

≤?(x)?

?

p?x

(1?

)?

k?1

1k

≤?(2)=0.75

e??≤?(x)≤0.75 引理2证毕。

Yin理3（素数连乘积分布定理）：若p1?2,p2?3，…pk…,pi,pi?1为连Xu素数，

pi?n＜pi?1 则不大于n的素数个数Gong式为

sk

?21?2

（S） π(n)=??(pk?1?pk)?(1?)??O(?(n)) （??log

pj?k?1?j?1??

i

2

2

pk

psk）

或

l

（L） π(n)=n??(1?

j?1

1pj

)?O(?(n)) （??logpipl）

2222

Zheng明： ∵ n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+(pk?1?pk)+…+(pi?1?pi)

22

∴ 根据引理1，区间［pk,pk?1）De素数个数可近似表示为

k

(p

2k?1

?p)?

2k

?

j?1

(1?

1pj

)

因为 pk到

pk?1pk

2

Zhi间的数，去p1?2,p2?3，?pu?pt…pj…,pk?1的倍数后，

pk?1pk

2

余下的数的个数大于

1pk

，这不是因为p?n导致的，而是因为当pj=pt>

3

p

2k?1

时，pk到

Zhi间的数没有pj的倍数，所以在去掉p1?2,p2?3，?pu?pt…pj…pk?1,的倍数后，余下数中，pk的倍数个数不Shi

pi?1?pi

pi

2

2

t?1

??(1?

u?1

1pu

k?1

)??(1?

j?t

1pj

)

而是

pi?1?pi

pi

2

2

t?1

??(1?

u?1

1pu

)

Zhe不是p是否整除n的问题，而是n受p?n＜p

2k2k?1

限制，而使pk到

pk?1pk

2

之间的数

Mei有达到有pj…,pk?1的倍数的范围，Qian面证明引理1时，去p1?2,p2?3，…pj…, pk?1的倍数后，再去pk的Bei数，减去的是

pi?1?pi

pi

2

2

t?1

??(1?

u?1

1pu

k?1

)??(1?

j?t

1pj

)

22

Ern受pi?n＜pi?1限制，实际是

pi?1?pi

pi

2

22t?1

??(1?

u?1

1pu

)

∵

pi?1?pi

pi

22t?1

??(1?

u?1

1pu

)>

pi?1?pi

pi

2

t?1

??(1?

u?1

1pu

k?1

)??(1?

j?t

1pj

)

Suo以，少减了，为了与引理1有相吻合的表达Shi，也避免向后演绎导致麻烦，采取让

pk后的去素数倍数因子(1?

1pk?1

)、(1?

1pk?2

)、…、(1?

1psk

)提前进入，来平衡少减的

22

Liang。所以，区间［pk,pk?1）有较精确De素数个数表达式

sk

(p

2k?1

?p)?

2k

?

j?1

(1?

1pj

) (1)

又 ∵ p3

23?5?

p4?1?

72

?1

∴ 1≤k

?pk

k≥4时，sk?k 即 psk

?pk

Sui着k的增大，（sk?k）波动地增大，当n→+∞时，（sk?k）达到最大值。 调整每个区间的sk值，理论上就可Yi得到不大于n的素数个数公式

i

s(S) π

(n)=??k

?(p22

1?k?1?pk)?(1?)??O( （??log

pk

psk）

k?1??j?1p?

j??

知道了n受p22

i?n＜pi?1限制，所导致偏差的原因，Tong理可得另一形式的

Bu大于n的素数个数公式

l

（L） π

(n)=n??(1?

1j?1

p)?O(? （??log

pi

pl）

j

You分析不难得到公式（S）和公式（L）中相Ying量的关系： ?i?? si?l

Xia面说明(1)式、（S）式、（L）式，与Shi际素数个数的误差。 设(1)式、（S）式、（L）式，与实际素数个数De误差为w(k), w(S)、w(L)，Ze

sk

w(k)= |(p

2

2k?1

?pk

)?

?

(1?

1)－π［p22

k,pk?1)|

j?1

pj

i

w(S)=| ??sk

?(p2?p2

1?k?1k)?(1?k?1??j?1p)???(n)|

j??

l

w(L)= |n??(1?

1)??(n)|

j?1

pj

（上式中的π［p2222

k,pk?1）表示区间［pk,pk?1）De素数个数）

22

22

（1）式误差w(k)应小于

?［pk,pk?1)

p的一半。下面计算

?［pk,pk?1)

sk

p。

sk

Gen据素数定理 ?(x)?

2k

xlnx

2k?1

pk?1?pklnpk

2

2

2

2

∴ π［p,p）?

∴

?［pk,pk?1)

pk

22

?

pk?1?pkpklnp

2k

2

She pk?1?pk?m，根据素数定理Ke得

pk?1?pk?m?pk?lnpk

∴ pk2?1?pk2?(pk?lnpk)2?pk2?2pklnpk?ln

2

pk

∴

?［pk,pk?1)

pk

k

22

?

pk?1?pkpklnpk

2

22

?

2pklnpk?ln

pklnpk

2

2

pk

?1?

lnpkpk

You ∵ ps?pk

∴

?［pk,pk?1)

psk

22

?［pk,pk?1)

pk

22

?1?

lnpkpk

∴ w(k)

Gong式(S)是i个区间素数个数之和，所以公Shi(S)的误差

w(S)

Kao虑到这i个区间sk取值的整体一致性，这i个区间中可能存在区间误差w(k)大于1，而导致w(S)>?(n)的情况,这时，Zhi需将每个区间的sk加1或减1，就可使w(S)

?(n)

pl

pk

psk微减），又保证

Gong式（L）的误差w(L)应小于 Gen据素数定理 ?(x)?

?(n)

pl

xlnx

的一半，下面计算

?(n)

pl

.

n2pl

nln

n

n2pl

∴ ?

npllnn

?????(n)

∵ pi2?n＜pi2?1 ∴ 2pl?pi?1? ∴

n2pl

?1

n

∴

?(n)

pl

∴ w(L)

1?(n)1

?(n)

2pl2

Suo以，公式（S）、公式(L)中误差O（?(n)）是正确。 下面引入素数分布密度函Shu

Gong式（S）是小区间素数个数之和，公式（L）是把计算范围看着整体计算素数个数。设公Shi（S）,公式（L）的素数分布密度函数分Bie为s(x) ,l(x).

sk?21?2

∵ (S) π

(n)=??(pk?1?pk)?(1?)??O(?

pk?1?j?1j???

i

（??log

pk

psk）

∴ psk?pk ∴ s(x)=?(1?

p?pk

?

?

1p

)

22

She pk?x?pk?1

∴ pk?(x) 根据引理2，De S (x)=?(1?

p?pk

?

??

1p

)?

?

p?(

x)

(1?

?

1p

?

)

?

?(pk)

lnpk????(pk)

?

?

?

2?((x))/?lnx?2??2?((x))

?

?

∵ e

??

≤?(x)≤0.75

γ=0.577216649…

??logpps ps?pk

k

k

k

Suo以，S (x) 除随x的增大而减小外，Huan随λ微减(pk≥7)而微增。

分析l(x)。

l

∵（L） π

(n)=n??(1?

j?1

1pj

)?O(? （??log

pi

pl）

∴ pl?pi? ∴ s(x)=?(1?

p?pi

?

1p

)

She pi2?x?pi2?1 ∴ pi??(x)? 根据引理2，得

l(x) =?(1?

p?pi

?

1p

)?

p?(

x)

(1?

?

1p

)

?

?((pi)

lnpi????((pi)

?

?

?

?

2?((x))/?lnx?2??2?((x))

?

?

∵ e??≤?(x)≤0.75 γ=0.577216649… ??logppl ε增函数

i

（ε增函数是因为第i个区间素数分布平均密Du总小于前面（i-1）个区间素数分布平均Mi度）

Suo以，l(x) 除随x的增大而减小外，还Suiε微增而微减。

Yin入相应素数分布密度函数后，公式（S）和Gong式（L）可表示为

i

22

(S) π

(n)=??(p?p)s(x)?k?1k???O(?

k?1

（ S (x)=?(

1?

p?pk

?

1p

) ?

?

）

（L） π

(n)=n?l(x)?O(? （ l(x) =?(

1?

p?pi

?

1p

)?

）

引理3证毕。

引理4：

xlnx

x

??(x)?

?lnt

2

dt

x

?(x)?

?dt

lnt?O

?())

2

Zheng明：根据引理3（素数连乘积分布定理），De

i

(S) π

(n)=??sk

?(p22

?(1?1)?k?1?pk)??O(?

（??log

pk

psk）

k?1??j?1pj??

或

l

（L） π

(n)=n??(1?

1?O(? （??log

pi

pl）

j?1

p)j

根据素数定理，得

lim

?(x)?

x

x???

lim

x???

lnxi

∴

lim?(x)?x

lnx?lim??sk

?(p22

1?1?k?1?pk)x???

lim

x???

x????(k?1??j?1p)? j??

l

=limx??(1?

1)

x???

j?1

pj

l

∵

lim

?(x)?

(1?

1)

x???

lim

xx???

lnx

?

lx?imx???

?j?1

pj

l

∴

lim1x???

ln

x

=lim

?

1x???

?(1j?1

p)

j

You ∵ ??logpi

pl ， pi?x （素数Fen布定理里所设）

∴ p??

l?pi?(x)

Gen据引理2，3，得 ?x?

e

??

≤?(x)?

?(1?

11p?x

p

)?

k?1

k

≤?(2)=0.75

1 l(x) =?(

1?

p?p?

i

p

)

l

∴

lim1ln

=x???

x

lim

x???

?

(1?

1)=j?1

plim

2e

??

/?

j

x???

lnx

∵ ε随pi的增大而微增 ?(x)≥e

??

?

∴

2))/

?

1

lnx

∴ ?(x)?

xlnx

x

下面证明：?

dt2

lnt

??(x)

x

?(x)?

?dt

lnt?O

?( ))

2

∵

l1l

(1?

1)=/?

x?im??

ln

x

=lim

x???

?

j?1

plim

2e

??

j

x???

lnx

Jix→+∞的ε为?max

∴

2e

??

??1

m

ax

∵ ??logpk

psk

（公式（S）中所设）

Jix→+∞的λ为?max ∵ ?i>ε

∴ ?max>?max ??

?

∴

2e

??

2e

?max

?=1

max

i

∵

lim?(x)?x

lnx?lim??sk

?(p2p2

1?k?1?k)x???

lim

x???

x????(1?k?1??j?1p)?j??

l

=limx??(1?

1x???

1

p)

j?j

∵ λ微减(pk≥7),

Suo以，各区间素数分布率平均而言，与减函数1lnx

比较，略小，

x→+∞ S (x)=?(

1?

1?

1p?p?

k

p

) ?

→

lnx

x

∴ ?lnt2dt??(x)

1

lnx 因为公式(S)的误差w(S)

Yi内的误差没有超过?，10

Yi后就不可能超过?。

x小得越多点，10

∴

?(x)??lnt?O(?2dt （π(x)含1）

∴ x

lnxx??(x)?

x?lnt （π(x)Han1） 2dt

?(x)?

引理4证毕。

x?lnt?O(?2dt （π(x)含1）

Ding理：?(x)??ln2dtx?O(xlnx)

Zheng明：根据引理3，得

x

?(x)??lnt?O

2dt?() ) （π(x)含1）

You ∵ xln

x是比O(?高阶的无穷大

x

∴ ?(x)?

Ding理证毕。 ?ln2dtx?O(xlnx)

x

Yin为黎曼猜想与强条件的素数定理?(x)?

Shi正确的。 ?ln2dtx?O(xlnx)等价，所以黎曼猜想

Suo以，黎曼猜想：黎曼ζ函数非平凡零点的实Shu部份是1

2是正确的。

11

黎曼猜想证明新进展

CliffBao @ 2017.04.14 , 12:00

Yan究者发现著名的黎曼zeta函数的解相当Yu另一个不同类别的函数的解，这可能有助于Geng简单地解决数学中的重大问题之一——黎曼Cai想。如果该结论能得到严格的证明，那么就You可能最终证明黎曼猜想，赢得克雷数学研究Suo悬赏的百万美元千禧年奖。先前有一些传言Cheng证明了黎曼猜想，但克雷数学研究所均未正Shi承认并授予奖金。

Li曼zeta函数及本研究提出的算子

Li曼猜想在1859年提出，在过去150年Li数学家认为正确的算子函数是证明的关键一Bu，因而均试图找到合适的算子函数，最新的Fa现即为找到的一种。

Ying国布鲁内尔大学数学物理家、该研究的共同Zuo者Dorje Brody说道：“据我们Suo知，这是首次明确的以及可能是相对简单的Suan子，其特征值正好对应于黎曼zeta函数De非平凡零点的虚部。”

Reng待证明的是关键的第二步：所有特征值均为Shi数而不是虚数。如果未来可证实这一点，那Jiu最终证实了黎曼猜想。

Brody和他的共同作者、圣路易斯的华盛Dun大学的数学物理家Carl BenderYi及加拿大西安大略大学的Markus Müller等一起在近期的物理评论快报上发Biao了该成果。

质数的位置

Li曼假设之所以如此诱人是因为其与数论联系Jin密，特别是质数。德国数学家波恩哈德·黎Man在1859年的论文中，研究了质数的分布，或者更准确地说，给定一个整数N，比它小De数里面有多少质数？

Li曼推测质数的分布与某个函数的非平凡零点You关，该函数现今被称为黎曼zeta函数(Sui然很容易发现负偶数为方程的零解，但这些Ling点被认为是平凡零点，并非方程中有意思的Bu分)。黎曼的假设是所有的非平凡零点都位Yu一条复平面的垂直线(1/2+it)(被Cheng为临界线)上。

Li曼zeta函数位于临界线上的值，即随着Lin界线的虚部值的变化，黎曼zeta函数的Zhi

Guo去150年里，数学家逐个发现了万亿的非Ping凡零点，均位于这条直线上，正如黎曼所想De那样。现在学术界广泛认为黎曼的猜想是正Que的，并在此假设基础上进行了大量的工作。Jin管如此，黎曼假设——所有无限个零点均位Yu该直线上——仍未被证明。

等价解

Zheng明黎曼假设的最有用的线索之一来自于函数Lun，揭示了零点的虚部值为离散值。这表明非Ping凡零点形成了离散数的集合，类似于物理中Guang泛应用的微分算子的特征值。

Zai1900年代早期，这种相似性使得某些数Xue家研究是否存在一个这样的微分算子，其特Zheng值正好对应于黎曼zeta函数的非平凡零Dian的虚部。现今这个想法被称为希尔伯特-波Li亚(Hilbert-Pólya )猜想，以David Hilbert和George Pólya之名命名，尽管他们并未发Biao任何与该想法相关的成果(HilbertWei曾将其录于文字，但波利亚在一封信件中以Ge人回忆的方式肯定了这一猜想的存在性。1981年12月8日，欧德里兹科给波利亚发Qu了一封信，询问希尔伯特-波利亚猜想的来Long去脉。当时波利亚已是九十四岁的高龄，卧Bing在床，基本不再执笔回复信件了，但欧德里Zi科的信却很及时地得到了他的亲笔回复。毕Jing，对一位数学家来说，自己的名字能够与伟Da的希尔伯特出现在同一个猜想中是一种巨大De荣耀。波利亚在回信中这样写道：

“很感谢你12月8日的来信。我只能叙述一Xia自己的经历。

1914年初之前的两年里我在哥廷根。我打Suan向郎道学习解析数论。有一天他问我：‘你Xue过一些物理，你知道任何物理上的原因使黎Man猜想必须成立吗？’我回答说，如果zeta函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样Yi种关联，使得黎曼猜想等价于该物理问题中Suo有本征值都是实数这一事实，那么黎曼猜想Jiu必须成立。”)

Brody说道：“由于Hilbert或者Pólya并未发表相关论文，希尔伯特-波Li亚猜想的准确表述某种程度上依赖于个人理Jie，但可以大致上说由两个步骤组成：a)找Dao一个运算符，其特征值对应于黎曼zetaHan数的非平凡零点的虚部；b) 判断特征值Shi否为实数。我们目前为止工作重点是第一步。我们已经鉴定了一个运算子，其特征值正好Dui应于黎曼zeta函数的非平凡零点的虚部。我们刚开始思考第二步。我们现在还无法推Ce，完成这一步到底是困难还是容易，这需要Jin一步的工作。”

运算子

Xin发现的运算子一个有意思的方面是它与量子Wu理紧密相关。

1999年，数学物理家Michael Berry和Jonathan Keating正研究希尔伯特-波利亚猜想，提出了另一Ge重要的猜想。如果存在这样的运算子，那应Gai对应于具有特殊属性的理论量子系统，这在Jin天被称为贝里－基廷(Berry-Keating)猜想。但在此之前无人找到这样的Xi统，这是该新研究第二个重要的方面。

Brody说道：“我们为贝里-基廷哈密顿Han数鉴定了一个量子化条件，从本质上确认了Bei里-基廷猜想的正确性。”

Ha密顿算符常被用于描述物理系统的能量。新De运算子似乎并不描述任何物理系统，而是相Dang于一个纯粹的数学函数。

Brody说道：“这可能令人失望，但这样De一个哈密顿算符似乎并不明显代表物理系统，或者说至少目前我们没有发现任何迹象可以Biao明该哈密顿算符对应于某个物理系统。那么You人可能要问‘为什么要在物理评论快报上发Biao？’答案就是，我们的论文中用于某些启发Shi分析的各种技术借鉴于过去15年中发展的Wei厄米时空反演对称量子理论。希尔伯特-波Li亚猜想的传统理解是运算子(哈密顿算符)Ying该是厄米共轭的，并自然将其联系到量子理Lun中，由此哈密顿算符照理必须是厄米共轭的。我们提出了希尔伯特-波利亚猜想的伪厄米Xing式，值得我们深入研究。”

实数解

Xian在剩下最大的挑战就是证明该运算子的特征Zhi是实数。

Tong常，研究者乐观认为特征值是实数，并在文Zhang中基于量子物理中的时空反演对称性说明这Yi点。大体上，时空反演对称性说如果改变时Kong的四个成分的标志(三维空间和一个时间维)，对于具有时空反演对称性的系统，结果与Zhi前相同。

Sui然自然界通常并非时空反演对称的，物理学Jia构造的运算子却是的。不过现在研究者想证Shi这种对称性被打破了。他们在论文中解释道，如果可以证明运算子的虚部不具备时空反演Dui称性，那么就可说明特征值均为实数，最终Gou成黎曼假设的证明。

Yi般认为黎曼猜想的证明对于计算机科学，特Bie是密码学具有重要的意义。研究者还想确认Ta们的成果对理解基础数学原理的意义。

Brody说道：

“我们现在所探究的内容对数论没有多少意义，然而鉴于黎曼猜想在数论中的重要性，黎曼Cai想证明的任何成功进展必然会带来数论上的Jin一步理解。也许在这种情况下无需这样，但Tan索我们的哈密顿算符描述的假设系统的动态Fang面是否与某些数论结论相关，也是蛮有意思De。从这方面来讲，对我们的哈密顿算符的半Jing典分析也可成为下一步的研究目标之一。”

Wei了便于理解，最后总结一下就是黎曼猜想的Mu的是证实黎曼zeta函数的零解在一条复Ping面的垂直直线上，证明思路是构造一个等价Yun算子，其特征值对应于这条直线的虚部。现Zai找到了这样的运算子，但还需要证明特征值Shi个实数就大功告成了。

[CliffBao via phys]

黎曼猜想的逻辑属性决定猜想无法证明

Li曼猜想的逻辑概念属性决定了猜想无法证明 王晓明

Zhai要：众所周知，一个数学定理必须是一个全Cheng判断，全称判断的主项必须是普遍概念，命Ti如果是一个集合概念的主项必然无法证明。Er黎曼猜想却是一个集合概念的命题。 关键Ci：黎曼猜想，集合概念。 一，如何判断一Ge公式是普遍概念还是集合概念？ 普遍概念：普遍概念反映的是一个对象以上的概念，反Ying的是一个“类”，这个词项的内涵由为了包Han在词项外延所必须具有的事物的性质组成。Li如：工人，无论“石油工人”，“钢铁工人”，还是“中国工人”，“德国工人”，它们Bi然地具有“工人”的基本属性。数学中的普Bian概念有例如“素数”，“合数”，等。 集He概念：集合概念反映的是集合体，这个词项De外延由词项所应用的事物集合组成，例如“Zhong国工人阶级”，集合体的每一个个体不是必Ran具备集合体的基本属性，例如某一个“中国Gong人”，不是必然具有“中国工人阶级”的基Ben属性。

Er，一个公式是否集合概念或者普遍概念

Ji合概念命题的公式：“某个事物或者某种形Shi的若干个元素具有某种性质的判断“。 普Bian概念命题的公式：“若干个具有这种性质的Yuan素都是这种事物”。 公式中没有变量，是Pu遍概念命题公式，例如勾股定理公式，椭圆Gong式，.... 。 公式中变量n 可以无Qiong大，但是计算结果限定，仍然是普遍概念。

Ji合概念的公式，例如，欧拉在1772年素Shu公式，是一个集合概念公式：

De值都是素数。对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3...，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61,

71... 。当n 等于40时，多项式的Zhi是1681=41×41，是一个合数。实Ji上，当n 能被

41整除的时候，P(n)也能被41整除，Yin而是合数. 。这个公式是一种形式上的集He，就是全部具备这种形式，但是每一个个体Bu是必然具有素数的性质。欧拉公式是一个集He概念。

San，黎曼猜想是一个集合概念的命题

Fei平凡零点（在此情况下是指s 不为-2、-4、-6???等点的值）的实数部分是1/2。即所有的非平凡零点都应该位于直线1/2+ti（“临界线”）上。t 为一实数，而 i 为虚数的基本单位。

Li曼猜想是属于集合概念命题的公式：某个事Wu或者某种形式的若干个元素具有某种性质的Pan断“。

Zhi线1/2+ti（“临界线”）上”的性质Pan断。

Dang我们得知黎曼猜想是一个集合概念命题以后，也就明白了黎曼猜想无法得到证明。

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