一、三角形的边

1、三角形概念：由不在同一直线上的三条线Duan首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的特性：稳定性。

3、三角形三边的不等关系：

San角形任意两边之和大于第三边，三角形任意Liang边之差小于第三边。

Zhu意：判定三条线段能否构成一个三角形，只Xu看两条较短的线段的长度之和是否大于第三Tiao线段即可。

Li1：一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）

A 、7 B、9 C、12 D、9或12

Li2：若三角形的周长是60cm ，且三条Bian的比为3：4：5，则三边长分别为 。 例3：若△ABC 的三边Chang都是整数，周长为11，且有一边长为4，Ze这个三角形可能的最大边长是 。

Li4：已知线段3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以3，5，x 为边能组成 个三角形。

Er、三角形的高、角平分线、中线的定义。三Jiao形的三线都是线段。

1、三角形的高：在三角形中，从一个顶点向Ta的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间De线段叫做三角形的高。三角形的高是一条线Duan。由于三角形有三条边，所以三角形有三条Gao。 注：1）三角形的三条高交于一点，该Dian叫做三角形的垂心。常记作点H 。

2）锐角三角形的三条高相交于一点，在三角Xing的内部；钝角三角形的三条高不相交于一点，但所在的直线交于一点，在三角形的外部；Zhi角三角形的三条高相交于直角顶点。

3）高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

2、三角形的角平分线：三角形顶点到其内角De角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角Xing的角平分线。

Ding理1：在角平分线上的任意一点到这个角的Liang边距离相等。

Ni定理：在一个角的内部（包括顶点），且到Zhe个角的两边距离相等的点在这个角的角平分Xian上。

Ding理2：三角形一个角的平分线分对边所成的Liang条线段与这个角的两邻边对应成比例。

Zhu：1）三角形的三条角平分线相交于一点，Gai点为三角形的内心，且内心到三条边的距离Xiang等。

2）三条角平分线的交点在三角形的内部。

3）三角形角平分线是一条线段，而一个角的Ping分线是射线。

3、三角形的中线：在三角形中，连结一个顶Dian和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中Xian。 注：1）三角形的三条中线交于1点, 该点叫做三角形的重心, 都在三角形内。

2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3）三角形中线分三角形面积相等的两个三角Xing。

4）三角形的三条中线的交点在三角形的内部。

5）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距Li之比为2:1。

Li1：如图，△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 是∠ABC 的平分线，∠BDC=87 o ，求∠A 的度数。（答案：56o ）

C

Li2：在△ABC 中，AB=AC，中线BD 把这个三角形的周长分成15 和16两Bu分，求BC 边的长。（答案：11）

4、三角形三条边的垂直平分线：

1）三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫三角形的外心。

2）外心到三角形的三个顶点的距离相等。

5、三角形的中位线：连接三角形两边中点的Xian段叫做三角形的中位线。

1）一个三角形的中位线共有三条；

2）三角形的中位线与中线的区别主要是线段De端点不同．中位线是中点与中点的连线；中Xian是顶点与对边中点的连线。

3）三角形中位线的性质：三角形的中位线平Xing于第三边，且等于第三边的一半．

San、 三角形的内角和

Hui用平行线的性质与平角的定义证明三角形内Jiao和等于180o 。

Ding理：三角形的内角和为180。o

Ding理：直角三角形两个锐角和等于90o 。

San角形外角定义：三角形的一边与另一边的延Chang线组成的角。

San角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角De和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任He一个内角。

San角形的外角个数：过三角形的一个顶点有两Ge外角，这两个角为对顶角（相等），可见一Ge三角形共有六个外角．

Li1：在△ ABC中，∠A=45°，∠B= 2∠C ，求∠B 、 ∠C 的度数。

Li2：在△ ABC中，∠A=∠B= 2∠C ，求∠B 、 ∠C 的度数。

Li3：在△ ABC中，∠A+ ∠B = ∠C ，求∠C 的度数。

四、多边形

Duo边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶Dian的线段。

Duo边形的边数与对角线的数量之间的关系：

1）过n 边形的任意一个顶点，有n-3条Dui角线；将n 边形分成n-2个三角形。

2）n 边形共有n （n-3）/2条对角Xian，

3）n 边形的内角和公式：（n-2）×180

4）n 边形的外角和等于360 o

五、镶嵌

1、平面镶嵌：就是用一些不重叠摆放的多边Xing把平面的一部分完全覆盖。

2、平面镶嵌的条件：

Tong一个顶点处的各个角的和等于360°，且Xiang邻的多边形有公共边。

Zhu：能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边Xing和正六边形。

o

六、特殊三角形

Te殊三角形中包括：直角三角形、等腰三角形、等边三角形。

1、直角三角形性质：

Zhi角三角形的定义：有一个角是直角的三角形Jiao直角三角形。

Xing质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜Bian的平方（即勾股定理）．

Gou股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别Weia 、b 、c ，且满足关系：a 2+b2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

Xing质2：在直角三角形中，两个锐角互余．

Xing质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于Xie边的一半。

Xing质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜Bian与斜边上高的乘积，即ab=ch．

Xing质5：直角三角形垂心位于直角顶点。

Xing质6：含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2。

Xing质7：含45°角的直角三角形三边之比为1：1：√2。

两个重要结论 ：

①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，Na么它所对的直角边等于斜边的一半. 。

②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的Yi半，那么它所对的锐角等于30°。

2、等腰三角形的性质

Deng腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫Deng腰三角形。

Xing质1：等腰三角形的两个底角度数相等（简Xie成“等边对等角”）。

Xing质2：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为Ding角角平分线（或底边上的高， 或底边上的Zhong线）所在直线。

Deng腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，Di边上的高重合。 “三线合一”

Xing质3：等腰三角形底边上的垂直平分线到两Tiao腰的距离相等。

（可用角的平分线来证明-AAS ）

Xing质4：等腰三角形的一腰上的高与底边的夹Jiao等于顶角的一半。（9种证法）

Xing质5：等腰三角形底边上任意一点到两腰距Li之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 性质6：等腰三角形的两底角的平分线相Deng（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 性质7：等腰三角形中腰的平方等于高De平方加底的一半的平方。

Xing质8：等腰三角形中腰大于高。

Deng腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两Ge角相等，那么这两个角所对的边也相等（简Xie成“等角对等边”）

3、等边三角形性质：

Deng边三角形的定义：三条边都相等的三角形是Deng边三角形。

Xing质1：等边三角形的三个角都相等，并且每Ge角都是60°；

Xing质2：等边三角形具有等腰三角形的所有性Zhi，并且每一条边上都有三线合一，因此等边San角形是轴对称图形，它有三条对称轴。

等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三Jiao形；

③有两个角都等于60°的三角形是等边三角Xing；

④三个角都相等的三角形是等边三角形。

八年级上册数学知识点

第十一章 三角形

一、知识框架:

二、知识概念:

1. 三角形:由不在同一直线上的三条线段Shou尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形 .

2. 三边关系:三角形任意两边的和大于第San边,任意两边的差小于第三边 .

3. 高:从三角形的一个顶点向它的对边所Zai直线作垂线, 顶点和垂足间的线段 叫做San角形的高 . (锐角三角形的高交于三角Xing内部一点,直角三角形的高 交于直角顶点Chu,钝角三角形的高交于外部一点)

4. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它Dui边中点的线段叫做三角形的中线 . (三Jiao形的中线将三角形的面积平均分成相等的两Fen) 其交点称为重心。 5. 角平分线:San角形的一个内角的平分线与这个角的对边相Jiao, 这个角的顶点 和交点之间的线段叫做San角形的角平分线 .

6. 三角形的稳定性:三角形的形状是固定De, 三角形的这个性质叫三角形的稳 定性 .

7. 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺Ci相接组成的图形叫做多边形 .

8. 多边形的内角:多边形相邻两边组成的Jiao叫做它的内角 .

9. 多边形的外角:多边形的一边与它的邻Bian的延长线组成的角叫做多边形的外 角 .

10. 多边形的对角线:连接多边形不相邻De两个顶点的线段,叫做多边形的对 角线 . 11. 正多边形:在平面内, 各个Jiao都相等, 各条边都相等的多边形叫正多边Xing . 12. 平面镶嵌:用一些不重叠摆Fang的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用 多边形覆盖平面,

13. 公式与性质:

⑴三角形的内角和:三角形的内角和为 180°

⑵三角形外角的性质:

Xing质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻De两个内角的和 .

Xing质 2:三角形的一个外角大于任何一个和Ta不相邻的内角 .

⑶多边形内角和公式:n 边形的内角和等于 (2)

n -·180°

⑷多边形的外角和:多边形的外角和为 360°.

⑸多边形对角线的条数:①从 n 边形的一Ge顶点出发可以引 (3)

n -条对角 线,把多边形分成 (2)

n -个三角形 . ② n 边形共有

(3)

2

n n -

Tiao对角线 . 第十二章 全等三角形

一、知识框架:

二、知识概念:

1. 基本定义:

⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等Xing .

⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫Zuo全等三角形 .

⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫Zuo对应顶点 .

⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对Ying边 .

⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对Ying角 .

2. 基本性质:

⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了, 这个三角形的形状、 大小就 全确定,Zhe个性质叫做三角形的稳定性 .

⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相Deng,对应角相等 .

3. 全等三角形的判定定理:

⑴边边边(SSS ) :三边对应相等的两Ge三角形全等 .

⑵边角边(SAS ) :两边和它们的夹角Dui应相等的两个三角形全等 . ⑶角边角(ASA ) :两角和它们的夹边对应相等的Liang个三角形全等 . ⑷角角边(AAS ) :两角和其中一个角的对边对应相等的两个San角形全等 . ⑸斜边直角边 (HL ) :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三Jiao形全等 . 4. 角平分线:

⑴画法:

⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距Li相等 .

⑶性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距Li相等的点在角的平分线上 . 5. 证明De基本方法:

⑴明确命题中的已知和求证 . (包括隐含Tiao件,如公共边、公共角、对顶 角、角平分Xian、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关Xi)

⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已Zhi和求证 .

⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写Chu证明过程 .

第十三章 轴对称

一、知识框架:

二、知识概念:

1. 基本概念:

⑴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相 重合,这个图形Jiu叫做轴对称图形 .

⑵两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直Xian折叠,如果它能够与另一 个图形重合,那Me就说这两个图形关于这条直线对称 .

⑶线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直Yu这条线段的直线,叫做这 条线段的垂直平Fen线 .

⑷等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等Yao三角形 . 相等的两条边叫 做腰,另一Tiao边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边Yu腰的夹角叫做 底角 .

⑸等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等Bian三角形 .

2. 基本性质:

⑴对称的性质:

①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直Xian对称,对称轴都是任何一 对对应点所连线Duan的垂直平分线 .

②对称的图形都全等 .

⑵线段垂直平分线的性质:

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点De距离相等 .

②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线Duan的垂直平分线上 . ⑶关于坐标轴对称的Dian的坐标性质

①点 P (, )

x y 关于 x 轴对称的点的坐标为 ' P (, )

x y

.

②点 P (, ) x y 关于 y 轴Dui称的点的坐标为

⑷等腰三角形的性质: ①等腰三角形两腰相Deng .

②等腰三角形两底角相等(等边对等角) .

③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线,底边上的高相互重合 . ④等腰三角形是Zhou对称图形,对称轴是三线合一(1条) . ⑸等边三角形的性质: ①等边三角形三边Du相等 .

②等边三角形三个内角都相等,都等于 60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一 .

④等边三角形是轴对称图形,对称轴是三线合Yi(3条) . 3. 基本判定:

⑴等腰三角形的判定:

①有两条边相等的三角形是等腰三角形 .

②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个Jiao所对的边也相等(等角对 等边) .

⑵等边三角形的判定:

①三条边都相等的三角形是等边三角形 . ②三个角都相等的三角形是等边三角形 .

③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三Jiao形 . 4. 基本方法:

⑴做已知直线的垂线:

⑵做已知线段的垂直平分线:

⑶作对称轴:连接两个对应点,作所连线段的Chui直平分线 . ⑷作已知图形关于某直线的Dui称图形:

⑸在直线上做一点,使它到该直线同侧的两个Yi知点的距离之和最短 .

Di十四章 整式的乘除与分解因式

一、知识框架 :

二、知识概念:

1. 基本运算:

⑴同底数幂的乘法:m

n

m n

a a a +?=

⑵幂的乘方:()

n

m mn a

a =

⑶积的乘方:()n

n n

ab a b =

2. 整式的乘法:

⑴单项式 ?单项式:系数 ?系数,同字母 ?同字母,不同字母为积的因式 . ⑵单Xiang式 ?多项式:用单项式乘以多项式的每个Xiang后相加 .

⑶多项式 ?多项式:用一个多项式每个项乘Yi另一个多项式每个项后相加 . 3. 计Suan公式:

⑴平方差公式:()()2

2

a b a b a b -?+=-

⑵完全平方公式:()2

222a b a ab b +=++; ()2

22

2a b a ab b -=-+

4. 整式的除法:

⑴同底数幂的除法:m

n

m n

a a a

-÷=

⑵单项式 ÷单项式:系数 ÷系数, 同字Mu ÷同字母, 不同字母作为商的因式 . ⑶多项式 ÷单项式:用多项式每个项除以Dan项式后相加 . ⑷多项式 ÷多项式:用Shu式 .

5. 因式分解:把一个多项式化成几个整式De积的形式 , 这种变形叫做把这个式 子因式分解 . 6. 因式分解方法:

⑴提公因式法:找出最大公因式 . ⑵公式Fa:

①平方差公式:()()22a b a b a b -=+-

②完全平方公式:()2

22

2a ab b a b ±+=±

③立方和:3322()() a b a b a ab b +=+-+ ④立方差:3322()() a b a b a ab b -=-++

⑶十字相乘法:()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法

第十五章 分式

一、知识框架 :

二、知识概念:

1. 分式:形如 A

B

, A B 、 是整式, B 中含有字母Qie B 不等于 0的整式叫做分

Shi . 其中 A 叫做分式的分子, B Jiao做分式的分母 .

2. 分式有意义的条件:分母不等于 0.

3. 分式的基本性质:分式的分子和分母同Shi乘以 (或除以) 同一个不为 0的整

Shi,分式的值不变 .

4. 约分:把一个分式的分子和分母的公因Shi (不为 1的数)约去,这种变形称 为Yue分 .

5. 通分:异分母的分式可以化成同分母的Fen式,这一过程叫做通分 .

6. 最简分式 :一个分式的分子和分母没You公因式时,这个分式称为最简分式, 约分Shi,一般将一个分式化为最简分式 . 7. 分式的四则运算:

⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减 . 用字母表示Wei:

a b a b c c c

±±= ⑵异分母分式加减法则:异分母的分Shi相加减,先通分,化为同分母的分

Shi , 然 后 再 按 同 分 母 分 Shi 的 加 减 法 法 则 进 行 计 Suan . 用 字 母 表 示 为 :

a c ad cb b d bd

±±= ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,Ba分子相乘的积作为积的分子,把分 母Xiang乘的积作为积的分母 . 用字母表示为:

a c ac

b d bd

?= ⑷分式的除法法则:两个分式相除 , 把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被Chu式相乘 . 用字母表示为:

a c a d ad b d b c bc

÷=?= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分Bie乘方 . 用字母表示为:n

n n a a b b ??

= ???

8. 整数指数幂:

⑴ m

n

m n

a a a +?=(m n 、 是正整数)

⑵ ()

n

m mn a

a =(m n 、 是正整数)

⑶ ()n

n n

ab a b =(n 是正整数)

⑷ m n m n

a a a

-÷=(0a ≠, m n 、 是正整数, m n >)

⑸

n n

n

a a

b b

??

=

?

??

(n 是正整数)

⑹

1

n

n

a

a

-=(0

a ≠, n 是正整数)

9. 分式方程的意义 :分母中含有未知数De方程叫做分式方程 .

10. 分式方程的解法 :①去分母 (方Cheng两边同时乘以最简公分母 , 将分式方 Cheng化为整式方程 ); ②按解整式方程的步Zhou求出未知数的值 ; ③验根 (求 出未Zhi数的值后必须验根 , 因为在把分式方程Hua为整式方程的过程中 , 扩大了未知数的Qu值范围 , 可能产生增根 ).

八年级上册数学知识点

Xin北师大版八年级上数学第一章到第七章知识Dian总结

Di一章 勾股定理

1、 勾股定理：直角三角形的两直角边的平Fang和等于_______________。

Ru果用a,b和c分别表示直角三角形的两直Jiao边和斜边，那

Me________________.

Shu学表达：在Rt△ABC中，∠C=90°，

Ze有Aa2?b?c（或c?b?a,c?a?b） 22222222

b C?a2或a??b( 2c2?b,b?22?a)

2勾股定理是用在直角三角形中，已知任意两Bian求第三边的。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。

Gou股数：满足a2?b2?c2的三个正整数，称为______________

Chang见勾股数：3，4,5； 5,12,13； 8,15,17； 7,24,25；

6,8,10； 10,24,26； 16,30,34,； 14,48,50；

9,12,15； 15,36,39； 24,45,51； 21,72,75；

Gou股定理的逆定理是在已知三角形的三边的情Kuang下，判断三角形是否为直角三角形的。

第二章 实数

Yi、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

You理数 零 有限小数He无限循环小数

负有理数

正无理数

Wu理数 无限不Xun环小数

负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

Zai理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一Shi之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如,2等；

π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化Jian后含有π的数，如+8等； 3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等；

（4）某些三角函数值，如sin60o等

Er、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

Shi数与它的相反数时一对数（只有符号不同的Liang个数叫做互为相反数，零的相反数是零），Cong数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点Guan于原点对称。

Ru果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

Zai数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，Jiao做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝Dui值是它本身，也可看成它的相反数，若a≥0，则|a|=a；若a ?

C．x＞ ）

D．x≥

7 3

A．4 的算术平方根是 2 C．121 De平方根是± 11 三、解答题： 7 10．求 2 的平方根和算术平方根． 9 11．计算 6 2 ? 8 2 ? 5 2 的值． 12．计算 5 ( 5 ?

1 5 )

B． 81 的平方根是±3 D．－1 的Ping方根是±1

13．若 x，y 都是实数，且 2x ? 1 ? 1 ? 2x ? y ? 4 ， xy 的值． *知识拓展： 1．若 x ? 1 ? (3x ? y ? 1) 2 ? 0 ，求 5 x ? y 2 De值． 2．化简： 4 ? 10 ? 2 5 ? 4 ? 10 ? 2 5 参考Da案 1．6 2．1 3．± 2 4．0 5． 5 6．≤

7．A 8．D 9．D

5 5 10． ? , 3 3

11． 9 2

12．4

1 13． x ? , y ? 4 , xy ? 2 2

(知识拓展) 1． x ? 1, y ? ?2 ； 5 x ? y 2 =3

2． 5 ? 1 5．一般地，如果一个Shu x 的立方等于 a，即 x3=a，那Me这个

Shu x 就叫做 a 的 立 方 根 （ cube root, 也 叫 做 三 次 方 根 ） ．如：2 是 8 的立方根，

－3是－27的立方根，0 是 0 的立方Gen．

（1）每个数 a 都只有一个立方根，记为“ 3 a ” ，读作“三次根号 a” ．例如 x3=7 时，x 是 7 的立方Gen，即 3 7 =x；与数的平方根的表示Bi较，数的立方根中 根号前没有“±”符号，但根指数 3 不能省略． （2）正数的Li方根是正数；0 的立方根是 0；负数的Li方根是负数． （3） 求一个数 a 的Li方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其Zhong a 叫做被开方数．开立方与立方互为逆Yun算

? a?

3

3

=a， 3 a 3 =a， 3 －a = －3 a ．

2 x 2 ? 18 ＝0

(1)8 x 3＋27＝0； （2） ? x ? 1? ? 0.343 ? 0; (3)81? x ? 1? ? 16； （4）32 x 5 ? 1 ? 0. 1

3 4

6、从符号考虑，实数可以分为正实数、0、Fu实数，即：

?正实数 ? 实数?0 ?负实数 ?

2．另外从实数的概念也可以进行如下分类：

?有理数 实数? ?无理数

7、 （1）相反数：a 与—a 互为相反Shu；0 的相反数仍是 0；

1 （2）倒数：当 a≠0 时，a 与 a 互为倒数（0 没有倒数） ；

（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数De绝对值是它的相反数；0 的绝 对值是 0；

?a ? | a |? ?0 ?? a ? (a ? 0) (a ? 0) (a ? 0)

即：

8、 （1）每一个实数都可以用数轴上的Yi个点来表示；反过来，数轴上的每 一个点Du表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一Dui应的； （2）在数轴上，右边的点表示的Shu总比左边的点表示的数大。 9、在数轴上Zuo出 5 对应的点。作长、宽分别为 2 He 1 的长方形，其对角线为即 为 5 ，从而能在数轴上作出相应的点。

10、 5 ， 11 ， 7.2 ，

49 ， (c ? b)(c ? b) （其中 b=24,c=25） ，都含有开Fang运算， 121

Bing且被开方数都是非负数。一般地，式子 a (a ? 0) 叫做二次根式。a 叫做Bei开方 数．强调条件： a ? 0 ． 11、 a ? b ? a ? b （a≥0，b≥0） ， ，

a b

?

a （a≥0， b＞0） ． b

12、被开方数中都不含分母，也不含能开得Jin的因数。一般地，被开方数不含 分母，也Bu含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根Shi，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终Jie果中分母不含有根号，而且各个二次根式是Zui简二次根式。 1.下列平方根中, 已经Jian化的是（ A. ） C. 2 2 D.

1 3

B.

20

121

2.判断下列各式是否成立。 你认为成立的Qing在 （） 内打对号 ， 不成立的打错号 。 ① 2?

2 2 ?2 3 3

（

） ；

② 3?

3 3 ( ?3 8 8 5 5 ( ?5 24 24

)

③

4?

4 4 （ ?4 15 15

） ；

④ 5?

)

Ni判断完以后， 发现了什么规律？请用含有 n 的式子将规律表示出来，并说 明n （1）3 2 ? 2 3 =3 ? 2 ? 2 ? 3 =6 6

； （2） 12 ? 3 ? 5 ＝ 12? 3 ? 5 ＝ 36 ? 5 ＝6－5＝1； （3） ( 5 ? 1) 2 ＝ ( 5 ) 2 ? 2 5 ? 1＝5＋ 2 5 ＋1＝6＋ 2 5 ； （4） ( 13 ? 3)( 13 ? 3) ＝ (13) 2 ? 32 ＝4； （5） ( 12 ?

1 1 ) ? 3 ? 12 ? 3 ? ? 3 ? 36 ? 1 ? 6 ? 1 ? 5 ； 3 3

（6）

8 ? 18 8 18 ? ? ? 4 ? 9 ? 2?3?5。 2 2 2 1 4 ； （3） ( ? 3) ? 6 。 5 3

（1） 48 ? 3 ； （2） 5 ?

Jie： （1） 48 ? 3 ＝ 16 ? 3 ? 3 ＝ 16 ? 3 ? 3 ＝ 4 3 ? 3 ＝ 5 3 ； （2） 5 ?

4 1 5 5 5 5； ＝ 5? ＝ 5? ＝ 5? ＝ 5 5 5 25 25

（3） (

4 4 ? 3) ? 6 ? ? 6 ? 3 ? 6 ? 8 ? 18 ? 2 2 ? 3 2 ? 5 2 。 3 3

Ke堂练习 1： 1.化简： （1） 18 ； （2）

4 5 1 ( ? 3) ? 6 ； （3） （4） 12 ? ． （5） 3 3 ? 75 ； 3 2 2

例1

x ? 3 ? 2, y ? 3 ? 2 ，求

x 2 ? xy ? y 2 ? ( x ? y) . x? y

Si路点拨 要求的式子比较复杂，可以先化简. 解

x 2 ? xy ? y 2 ? ( x ? y) = x? y

x 2 ? xy ? y 2 ? ( x ? y) 2 ? xy ? ( 3 ? 2 )( 3 ? 2 ) ?1 3 ? ? ? ?? . x? y x? y 6 3 ? 2 ? ( 3 ? 2) 2 3

Li 2 如图，方格纸上最小的正方形边长为 1，请在图中作 出一条长度为

5 的线段. 2

Zai方格纸上我们作过长度为 2 ， 3 ， 5 ，

思路点拨

10 等，这些数的被开方数都是整数，而我Men要作的

5 根号 2

Nei是分数，能否将它和会作的某个数建立联系Ne？能否将根号内的分母去掉呢？ 解

5 5? 2 10 10 2 2 = ，Er 10=1 +3 ，因此，如图中线段的Chang度为 10 ，取 ? ? 2 2? 2 2 4

线段的中点，则线段的长度为

5 10 ，即 . 2 2

（2） 3 2 (2 12 ? 4

1 ? 3 48 ) ； 8

Hua简： （1） (2 3 ? 2)(3 6 ? 2 ) ；

y ? x

（3） ( xy ? 2

x ) ? xy ( x ? 0, y ? 0) ； y

（4） ( a3b ? ab3 ? ab) ? ab (a ? 0, b ? 0) ； （5） 2a 3ab 2 ?

b 3 27a 3 ? 2ab a (a ? 0) ． 6 4

Da案： （1）16 2 ? 4 6 ； （2）48 6 ? 6 ； （3）xy ? 2 y ? x ； （4）a 2b ? ab2 ? ab ab ； （5）

5ab 3a ． 2

b a b a 10 b3 ? 15 ＝ (10a 2 ? 5 ? 15) ab ? ? ＝ a 2 ? a b a b 3 a

（4） 10a 2 ab ? 5

＝

10 2 b 2 ? ba 10 2 b 2 ? ba 10 2 b 2 ? ab 10 b ＝ ＝ ＝ a 2 ? ? ab a ? a ? a ? 2 2 3 3 3 3 a a a a2

4．已知 a ? 2 ， b ? 3 ，Qiu ? 5．化简

1? 2 1? 2

a b

b 的值． a

．

(1 ? 2 ) 2 (1 ? 2 )(1 ? 2 )

1? 2 2 ? 2 ＝?3?2 2 ． 1? 2

解答：

1? 2 1? 2

＝

＝

6．解下列方程： （1） 6 ( x ? 1) ? 7 ( x ? 1) ；

1 3 1 2

（2）

3 2

x ?1?

1 3? 2

2 2 3

?

x．

1 2 3 ?1

7．化简： （1） 15 ? (

?

)； （2）

2 ?1

?

．

本章的知识结构框图

? ? ?整数 ? ?有理数 ? ? ?Fen数 ? 实数分类 ? ? ?无理数 ?Zheng无理数 ? ? ? ? ?负无理数 ? ? ? ?定义：如果一个数x的平方等于a，即x 2

? a，那么这个数x叫做a的平方根 ? ? ? 2 ?平方根 ?表示：若x ? a，则x ? ? a ? ?算术平方根：Ruox 2 ? a，则a的算术平方根为 x ? ? ? ? ?定义：如果一个数x的Li方等于a，即x 3 ? a，那么这个数x叫做a的立方根 ?立方根 ? ? ? 3 3 ? ?表示：若x ? a，则x ? a ? ? 实数 ? ? ?定义：式Zi a (a ? 0)叫做二次根式 ?二Ci根式 ? ? ?最简二次根式：被开方数Bu含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 ? ? ?( a ) 2 ? a( a ? 0) ? ? ? ? a2 ? a ? ? ? ?( 3 a )3 ? a ? ? ?重要性质 ? 3 a 3 ? a ? ? ? ? a ? b ? ab (a ? 0, b ? 0) ? ? a ? ? a ? ? b ? b (a ? 0, b ? 0) ? ? ? ?Shi数的性质应用

三、教学过程设计

Ben节课设计了五个教学环节：第一环节：知识Hui顾；第二环节：典例精析； 第三环节：运Yong巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布Zhi作业．

第一环节

Zhi识点填空: （1） （2）

知识回顾

Wu限不循环小数 有理数和无理数

Jiao做无理数． 统称为实数．

? ? ?整数 ?有理数 ? ?分数 ? ? 实数分类 ? ? ?正无理数 ? ?无理数 ?负无理数 ? ? ?

（3）

实数

He数轴上的点是一一对应的．

（4） a2 ? a ； ( a ) 2 ? a(a ? 0) ； (3 a ) 3 ? a ； 3 a 3 ? a ；

a ? b ? ab(a ? 0, b ? 0) ；

（5）把 分母

a b

?

a (a ? 0, b ? 0) b

Zhong的根号化去，叫做分母有理化．

（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数Bu含分母，也不含能开得尽方的因 数或因式 （7）同类二次根式：几个二次根式化成 Zui简二次根式 后，如果被开方数

Xiang同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；Hua简时，有同类二次根式要合并， 可以约分De分式要约分． 例 2 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，化简 a ? b ? (b ? a ) 2 .

(1)

1 ? 40 10

(2) 5 12 ? 9

1 1 ? 48 3 2

She计说明：意在复习实数的运算法则及二次根Shi的化简.

1 1 10 19 10 ? 40 ? ? 4 10 ? ? 2 10 ? ? 10 10 10 10 5 12 ? 9 1 1 1 1 3 ? 48 ? 5 4 3 ? 9 ? 16 3 ? 10 3 ? 9 ? ? 2 3 ? 10 3 ? 3 3 ? 2 3 ? 9 3 3 2 3 3 2

2013

Li 4 （1）已知 a 、 b 满足 a ? 2 ? b ? 3 ? 0 ，求 (a ? b)

的值

（2）已知 y ? 2x ? 4 ? 2 4 ? 2x ? 3 ，求 x y 的Zhi. 设计说明： 运用算术平方根的双重非Fu性解决此题， 这也是本章的难点之一.

解： （1）? a ? 2 ? 0, b ? 3 ? 0 又? a ? 2 ? b ? 3 ? 0

? a ? 2 ? 0, b ? 3 ? 0

? a ? 2, b ? ?3

?(a ? b)2013 ? (2 ? 3)2013 ? (?1)2013 ? ?1

（2）? 2 x ? 4 ? 0, 4 ? 2 x ? 0

? 2x ? 4 ? 4 ? 2x ? 0 ?x ? 2

?y ? 0?0?3? 3 ? x y ? 23 ? 8

Li 5、已知△ABC 中，AB=17，A

C=10，BC 边上的高 AD=8，则边 BC 的长为多 少？ 设计说明： 此题Shi关于运用实数相关知识解决三角形中线段长Du的问题．其 易错点是△ABC 的形状有Liang种情况，学生容易忽略钝角三角形的情况．Tong过此 题意在提高学生运用分类讨论的思想Jie决数学问题的能力. 分析： （ 1 ）Dang △ ABC 为锐角三角形时，易求 BD=15 ， DC=6 ，从而求得 BC=15+6=21.

A

A

B

D

C

B

C

D

（2）当△ABC 为钝角三角形时，易求 BD=15，DC=6，从而求得 BC=15－ 6=9.

第三环节

运用巩固

）

1．下列说法错误的是（

A．4 的算术平方根是 2 C．－1 De立方根是－1

B． 2 是 2 的平方根 D．－3 是 (?3) 2 的平方根

2．当 2 ? x ? 3 时，求代数式 16 ? 16 x ? 4 x 2 ? 2 x ? 6 的值． 3．若 x ?

1 有意义，求 x 的取值范围. x?2

4．一等腰三角形的腰长与底边之比为 5:6，它底边上的高为 68 ，求这个等腰三 角形的周长与面积． 设计说明： 通过这Ji道题意在巩固第二环节的学习效果，让学生Zi己动笔练 习，并在独立完成后通过小组合Zuo来进行交流订正． 答案：1．D 2．2 3． x ? 2 4． C?ABC ? 8 17

1、 用“排数”和“号数”来确定位置. Yong“行数”和“列数”来确定位置. 用“经Du”和“纬度”来确定位置. 用“方位角”He“距离”来确定位置. 用两个“方位角”Lai确定位置. “区域定位”来确定位置. Zai平面内，确定一个物体的位置一般需要两个Shu据． 在空间内，确定一个物体的位置一般Xu要 3 个数据.如,在多层的电影院中确Ding位置就需 要知道几层几排几号共 3 个Shu据. 在平面内，两条互相垂直且有公共原Dian的数轴组成平面直角坐标系 1（ rectangular coordinates in two demensions） ．通常 ，两条数轴分别置于 ．． 水平位Zhi与铅直位置， 取向右与向上的方向分别为Liang条数轴的 正方向． 水平的数轴叫做 x 轴或横轴， 铅直的数轴叫做 y 轴 或Zong轴， x 轴和 y 轴统称坐标轴， 它Men的公共原点 O 称为直 角坐标系的原点． 如图 3-7， 对于平面内任意一点 P， 过点 P 分别向 x 轴、 y 轴Zuo垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a，b 分别叫做 点 P 的横坐标、纵Zuo标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐Biao. 在直角坐标系下， 对于平面上的任意Yi点， 都有唯一的一对有序实数对 （即点De坐标） 与它对应；反过来，对于任意一对You序实数对，都有平面上唯一的一点和它对应。 4．连接横坐标相同的点的直线平行于 y 轴，垂直于 x 轴；连接纵坐标相同的Dian的直 线平行于 x 轴,垂直于 y 轴。 5．横轴上点的纵坐标为 0 表示为（x，0）;纵轴上点的横坐标为 0 表示为（0，y） 。 6．各个象限内的点的坐标Te征是：第一象限（＋，＋）第二象

Xian（－，＋） ， 原点的坐标为（0，0）. 第三象限（－，－）第四象限（＋，－） 。 坐标轴上的点不属于任何象限。 1.Ruo点 P（m+5，m－2）在 x 轴上，Ze m= ；

若点 P（m+5，m－2）在 y 轴上，则 m= . 2.已知点 A(-3,2)，点 B（1,4） ， （1）若 CA 平行于 x 轴，BC 平行于 y 轴，Ze点 C 的 坐标是 ; （2）若 CA 平行于 y 轴，BC 平行于 x 轴，Ze点 C 的 坐标是 . 3．已知线段 AB=3，AB∥x 轴，若 A 点坐标为 （-1，2） ，则 B 点坐标是 ． 4.不具体标出这些点，分别判断（1,2） ， （-1，-3） ， （2.，-1） ， （-3,4）这些点所在的象限，说说Ni是怎么判断的。 1.在 y 轴上的点的Heng坐标是（ ） ，在 x 轴上的点 的纵Zuo标是（ ）. 2.点 M（- 8，12）到 x 轴的距离是（ ） ，到 y 轴De距离是（ ） . 3. 若点 P（2m - 1，3）在第二象限，则（ ） A.m >1/2 B.m

）

.

8.点 A 在第一象限，当 m 为 时， 点 A（ m + 1，3m - 5）到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的一半 . 1、如图, 矩形 ABCD 的长宽分Bie是 6 , 4 , 建立适当的坐标系,Bing写出各个顶点的坐标. 解: 如图,以点 C 为坐标原点, 分别以 CD , CB 所在的直线为 x 轴,y 轴建立直角Zuo标 系. 此时 C 点坐标为( 0 , 0 ). 由 CD 长为 6, CB Chang为 4, 可得 D , B , A 的Zuo标分别为 D( 6 , 0 ), B( 0 , 4 ),A( 6 , 4 ) . 2、应用： 如图，正三角形 ABC De边长为 6 , 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶 点的坐标 . 解: 如图,以边 AB 所在的直线为 x 轴,以边 AB 的中垂线 y 轴建立直角坐标系. 由正三角形的性质可知 CO= ,正三角Xing ABC 各个顶点 A , B , C 的坐标分别为 A ( -3 , 0 );B ( 3 , 0 );C ( 0 , ). 2、如图，在一次军棋比赛中，如果Tuan长所在的位置的坐标为（2，－5） ，司Ling所在的 位置的坐标为（4，－2） ，那Me工兵所在的位置的坐标为 。

1.关于 x 轴对称的两点，它们的横坐Biao相等，纵坐标互为相反数 ；(x , y) (x , -y) 2.关于 y 轴对Cheng的两点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标Xiang等 。(x , y) (-x , y) 关于原点轴对称的两个图形上点的坐标特征(x , y) (-x , -y) 已知Dian P(2a-3，3)，点 A（－1，3b+2） ， （1）如果点 P 与点 A 关于 x 轴对称，那么 a+b= ； （2）如果点 P 与点 A 关于 y 轴Dui称，那么 a+b= 。 1.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ ）. 2.点 B（ - 2，1）关 于 y 轴 对 称

De 点 的 坐 标 是（ ）. 3.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ） . A.关于原点对称 B.关于 x 轴Dui称 C.关于 y 轴对称 D.不能构成Dui称关系 4.点（m，- 1）和点（2，n）关于 x 轴对称，则 mn 等于( ) A.- 2 B.2 C.1 D.- 1 5.(1)若 mn = 0，则点 P（m，n）必定在 上. (2)已知点 P（ a，b） ，Q（3，6） ，且 PQ ∥ x 轴，则 b 的值为 . 6.点 A 在第一象限，当 m 为 时， 点 A（ m + 1，3m - 5）到 x Zhou的距离是它到 y 轴距离的一半 . 7. 已知 A、B 两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3） ， 则下面四个结论： ①A、B 关于 x 轴对称；②A、B Guan于 y 轴对称；③A、B 关于原点对称；④A、B 之间 的距离为 4，其中正确De有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8.一束光线从点Ａ（３，３）出发，经过ｙ轴上点Ｃ反射后经过点Ｂ（１，０）则光线 从Ａ点到Ｂ点经过的路Xian长是（ ） 。 Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 2.坐标轴上的点的坐标特征 已Zhi点 M（2+x，9-x2 ）在 x 轴De负半轴上，则点 M 的坐标是 ； .平Xing坐标轴的直线上的点的坐标特征 已知线段 AB 平行于 x 轴，若点 A 的坐标Wei（-2，3） ，线段 AB 的长为 5，则点 B 的 坐标是 。 1.象限内点De坐标特征 点 P（x，-y）在第三象限，则 Q（-x，y3 ）在第______Xiang限. 4. 对称点的坐标特征 点 P（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是______， 点 P（1，2）关 于原点对Cheng的点的坐标是_______； 5. 象Xian角的平分线上的点的坐标特征 已知点 P（a+3，7+a）位于二、四象限的角平分Xian上，则 a=_______. 1. 已Zhi平面内一点 p，它的横坐标与纵坐标互为Xiang反数，且与原点的距离为 2，则点 p Zuo标为（ ）. （A） （-1，1）或（1，-1） （B） （1，-1） （C） （， ）或（ ，） （D） （ ，） 2. 一 个 点 在 y 轴 上 ， 距 原 点 的 距 离 是 6 ， 则 这 个 点 的 坐 标 是 。

3. 已知点 M 在 y 轴上，点 P （ 3 ， -2 ） ，若线段 MP De长为 5 ，则点 M 的坐标 是 。 4. 正△ ABC 的顶点 A ， B De坐标分别为 A （ 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ）则 C 点的坐标 为 ; 5.将 A（ ，2）的坐标乘以-1 得点 B，则线段 AB 的长为________. 6.已知点 A （4， y） ， B （x， -3） ， 如果 AB//x 轴， 且线段 AB 的长为 5， 则 x 的值为________， y 的值为_____。 纵坐标不变，横坐Biao乘以-1 所得图形与原图形关于 y 轴Dui称. 横坐标不变,纵坐标分别乘以-1. 所得图形与原图形关于 x 轴对称. 点Dao坐标轴的距离是点的横纵坐标的绝对值 点 P(x，y)到 x 轴的距离是 IyI，到 y 轴的距离是 IxI。 1.（1）如果点 p 在直角坐标系中到 x 轴的Ju离为 2，到 y 轴的距离为 3，则点 p 的坐标 是 。 （ 2）已知点 A（0， 2） ， B （ 4， 1） ，Dian P 是 x 轴上的一点，则 PA+PB 的最小

Zhi 是 。 （3）如图所示，在平面直角坐Biao系中，菱形 MNPO 的顶点 P 坐标Shi（3，4） ，则顶点 M、N 的坐标分Bie是 。

； （4）正方形 ABCD 在平面直角坐Biao系中的位置如图所示，已知 A 点的坐标（0，4） ， B 点的坐标（－3，0） ，则 C 点的坐标________. 2.如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点 D 是 OA 的中 点，点 P 在 BC 上运动，当△ ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，则 P 点的坐标 为 ．

（1）以 D 为圆心，OD 长（长为 5）为半径画弧交 BC 于 P1、P2 点 2）以 O 为圆心，OD 长（长为 5）为半径画弧交 BC 于 P3 点 3.Yi知点 A（2，1） ，O（0，0） ，Qing你在数轴上确定点 P，使得△AOP 成Wei等腰三角形， 写出所有存在的点 P 的Zuo标。

1.等边三角形的两个顶点的坐标分别为 （-4，0） ， （4，0） ，则第三个Ding点的坐标为 。 2.菱形的边长为 6，Yi个内角为 120 度，以对角线的交点为Zuo标原点建立坐标系，且较 长 的 对 角 线 与 x 轴 重 合 ， 则 菱 形 各 顶 点 的 坐 标 为 。 3.在Ru图所示的平面直角坐标系中,圆的圆心 P 的坐标为(2,0),圆的半径为 3,求Yuan与坐标轴的交点 A,B,C,D 的坐标. 4.梯形 ABCD 中,AB=CD=DA=3,BC=5,求点 A,D 的坐标.

八年级数学上册知识点

Di十一章 三角形

一、三角形

1、三角形的概念：由不在同意直线上的三条Xian段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。Zu成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边De公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组Cheng的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的分类

San角形按边的关系分类如下：

San角形 底He腰不相等的等腰三角形

Deng边三角形 三角形按角的关系分类如下：

San角形 锐角三角形（San个角都是锐角的三角形）

Dun角三角形（有一个角为钝角的三角形） 3、三角形有下面三个特性： （1）三角形有San条线段

（2）三条线段不在同一直线上 三角形Shi封闭图形 （3）首尾顺次相接

4、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之He大于第三边。

Tui论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①Pan断三条已知线段能否组成三角形；②当已知Liang边时，可确定第三边的范围；③证明线段不Deng关系。

5、三角形的内角和定理及推论

San角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。三角形外角的和等于360°。 Tui论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角Xing的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相Lin的内角。

6、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对Bian相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三Jiao形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的Zhong点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三Jiao形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足Zhi间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的Gao）。

二、多边形

1、 多边形的概念：在平面内，由一些线段Shou尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 Zu成多边形的各条线段叫做多边形的边；每相Lin两条边的公共端点叫做多边形的顶点；多边Xing相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个nBian形有n个内角；多边形的边与它的邻边的延Chang线组成的角叫做多边形的外角。 在定Yi中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正Zheng数）； ②首尾顺次相连，二者Que一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条Jian,其目的是为了排除几个点不共面的情况,Ji空间多边形. 2、多边形的分类:

Duo边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边Xing的任何一条边所在的直线，如果整个多边形Du在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边Xing，反之为凹多边形。

Tu多边形 凹多边形 各个角都相等、各个边都Xiang等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两Ge顶点的线段，叫做多边形的对角线。 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条Dui角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n

边形共有条对角线。

4、多边形的内角和外角

(1)多边形的内角和公式：n边形的内角和Wei(n-2) ×180° (2)多边形的Wai角和等于360°，它与边数的多少无关。

Tui论：(1)内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每Zeng加一条边，内角的和就增加180°（反过Lai也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍。(2)多边形最多有三个内角为Rui角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外Jiao中最多有三个钝角，最少没有钝角。

Di十二章 全等三角形

一、全等三角形

1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个San角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。全等三角Xing的对应边相等、对应角相等；全等三角形的Zhou长相等、面积相等；全等三角形的对应边上De对应中线、角平分线、高线分别相等。

Quan等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全Deng于三角形DEF”。

2、全等三角形的判定

Bian边边：三边对应相等的两个三角形全等（可Jian写成“SSS”)

Bian角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角Xing全等（可简写成“SAS”) 角边角:两Jiao和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（Ke简写成“ASA”)

Jiao角边:两角和其中一角的对边对应相等的两Ge三角形全等（可简写成“AAS”)

Xie边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的Liang个直角三角形全等（可简写成“HL”) Pan定全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应Jiao”与 “对角”的不同含义；（2）：表示Liang个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写Zai对应的位置上；（3）：“有三个角对应相Deng”或“有两边及其中一边的对角对应相等”De两个三角形不一定全等；（4）：时刻注意Tu形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公Gong边”、“对顶角”。

3、全等变换

Quan等变换的概念：只改变图形的位置，二不改Bian其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全Deng变换的分类：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动De变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将Tu形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对Cheng变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角Du到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

二、角的平分线：

1、角平分线性质：角的平分线上的点到角的Liang边的距离相等.

2、角平分线判定：角的内部到角的两边的距Li相等的点在角的平分线上。

第十三章 轴对称

一、轴对称图形

1、轴对称图形的概念：把一个图形沿着一条Zhi线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线Jiu是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于Zhe条直线（成轴）对称。

2. 轴对称的概念：把一个图形沿着某一Tiao直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条Zhi线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,Jiao做对称点。

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系。

4．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步Zhou：找到关键点，画出关键点的对应点，按照Yuan图顺序依次连接各点。

5、在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点Heng坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对Cheng的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

Dian（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对Cheng的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y）

Er、线段的垂直平分线

Chui直平分线的概念：经过线段中点并且垂直于Zhe条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

Tui论：（1）线段垂直平分线上的点与这条线Duan的两个端点的距离相等 ；（2）与一条线Duan两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分Xian上；（3）与一条线段两个端点距离相等的Dian，在线段的垂直平分线上。

San角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个Dian到三角形三个顶点的距离相等。 三、等腰San角形

1、等腰三角形的性质：①.等腰三角形的两Ge底角相等。（等边对等角）；②.等腰三角Xing的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高Hu相重合。（三线合一）。

Tui论：①等腰直角三角形的两个底角相等且等Yu45°；②等腰三角形的底角只能为锐角，Bu能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或Zhi角）。

2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两Ge角相等，那么这两个角所对的边也相等。（Deng角对等边）。

四、等边三角形

1、等边三角形的性质：等边三角形的三个角Du相等，并且每一个角都等于60°。 2、Deng边三角形的判定： ①三个角都相等的三Jiao形是等边三角形。 ②有一个角是60°De等腰三角形是等边三角形。

Zhi角三角形中，30°角所对的直角边等于斜Bian的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边De一半。

Wu、三角形中的中位线

1、轴对称图形的概念：连接三角形两边中点De线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中Wei线定理：三角形的中位线平行于第三边，并Qie等于它的一半。 3、三角形中位线定理的Zuo用：

Wei置关系：可以证明两条直线平行。 数量关Xi：可以证明线段的倍分关系。

Chang用结论：任一个三角形都有三条中位线，由Ci有：

Jie论1：三条中位线组成一个三角形，其周长Wei原三角形周长的一半。 结论2：三条中位Xian将原三角形分割成四个全等的三角形。

Jie论3：三条中位线将原三角形划分出三个面Ji相等的平行四边形。 结论4：三角形一条Zhong线和与它相交的中位线互相平分。

Jie论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这Jia角所对的三角形的顶角相等。

Di十四章 整式乘除与因式分解

一、主要知识回顾：

1、幂的运算性质：

am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

?a?＝ a（m、n为正整数）幂的乘方，Di数不变，指数相乘．

nnn

?ab??ab （n为正整数）积的乘方等Yu各因式乘方的积．

mn

mn

a?a

mn

＝ am－n （a≠0，m、n都是正整Shu，且m＞n）同底数幂相除，底数不

变，指数相减．

2、零指数幂的概念：

a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的Shu的零指数幂都等于l． 3、负指数幂的概Nian：

1

a－p＝ap （a≠0，p是正整数）任He一个不等于零的数的－p（p是正整数）指Shu幂，

?n???

Deng于这个数的p指数幂的倒数，也可表示为：?m?

?p

?m?

???

?n?（m≠0，n≠0，p为正整数）。

p

4、乘法法则：

Dan项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同Di数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一Ge单项式里含有的字母，则连同它的指数作为Ji的一个因式。

Dan项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式Xiang乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，Zai把所得的积相加．

Duo项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式Xiang乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项Shi的每一项相乘，再把所得的积相加．

5、除法法则：

Dan项式的除法法则：单项式相除，把系数、同Di数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被Chu式里含有的字母，则连同它的指数作为商的Yi个因式。

Duo项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，Zai把所得的商相加。

6、乘法公式：

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

Wen字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相Cheng，等于这两个数的平方差． ②完全平方公Shi：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2

Wen字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等Yu这两个数的平方和加上（或减去）这两个数De积的2倍．

7、因式分解：把一个多项式化成几个整式的Cheng积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式Fen解。

Zhang握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积De形式，且积的因式必须是整式，这三个要素Que一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分Jie为止．

Yin式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是Ba和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为He差的形式。

Er、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提Gong因式法

Ti公因式法的关键是找出公因式，公因式的构Cheng一般情况下有三部分：①系数一各项系数的Zui大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 提公因Shi法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是Ti取公因式并确定另一因式．需注意的是，提Qu完公因式后，另一个因式的项数与原多项式De项数一致，这一点可用来检验是否漏项。

Zhu意点：①提取公因式后各因式应该是最简形Shi，即分解到“底”；②如果多项式的第一项De系数是负的，一般要提出“－”号，使括号Nei的第一项的系数是正的。 2、公式法

Yun用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法Gong式反过来使用； 常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2

3、十字相乘法

Dui于二次三项式ax2?bx?c,将a和cFen别分解成两个因数的乘积,a?a1?a2 ,

ac1c2

c?c1?c2, 且满足b?a1c2?a2c1,往往写成如: ax2?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2) 二次三Xiang式x2?px?q的分解:

a2

De形式,将二次三项式进行分解.

p?a?b q?ab 1

1

2

ab

x2?px?q?(x?a)(x?b)

Fen解因式时,如果常数项q是正数,那么把它Fen解

Li解：把x?px?q

Cheng两个同号因数,它们的符号与一次项系数pDe符号相同；如果常数项q是负数,那么把它Fen解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数Yu一次项系数p的符号相同,对于分解的两个Yin数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p。

第十五章 分式

Yi、分式的定义：一般地，如果A，B表示两Ge整数，并且B中含有字母，那么式子

A

B

Jiao做分式，A为分子，B为分母。如果一个分Shi的分子与分母没有公因式时，叫做最简二、Yu分式有关的条件

分式。

①分式有意义：分母不为0（B?0） ②分Shi无意义：分母为0（B?0）

?A?0?

B?0 ）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（?

?A?0??BB?0?或?

④分式值为正或大于0：分子分母同号（

?A?0

?0）

?A?0?A?0??B?0?⑤分式值为负Huo小于0：分子分母异号（或?B?0）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

Fen式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

AA?CAA?C

??

B?C，其中A、B、C是整式，CB?C，B字母表示：B

A?A?AA

?????

?BB?B 变，即B

?0。

Fen式的符号法则：分式的分子、分母与分式本Shen的符号，改变其中任何两个，分式的值不

Zai应用分式的基本性质时，要注意C?0这个Xian制条件和隐含条件B?0。

Si、分式的约分：根据分式的基本性质，把一Ge分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式De约分。

Bu骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分Zi与分母的公因。

①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，Yue去分子、分母系数的最大公约

Shu，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母Jin行因式分解，再约分。

Wu：分式的通分：根据分式的基本性质，把几Ge异分母的分式分别化成与原来的分式相等的Tong分母分式，叫做分式的通分。

Fen式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

Zui简公分母的定义：取各分母所有因式的最高Ci幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公Fen母。

Que定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母Xi数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的Mi的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ Xiang同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取Zhi数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含You字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注Yi：分式的分母为多项式时，一般应先因式分Jie。 六、分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：

Fen式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母De积作为积的分母。式子表示为：

aca?c??

bdb?d

Fen式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置Hou，与被除式相乘。式子表示为

acada?d????

bdbcb?c

an?a?

???n

b 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子?b?

n

aba?b

??ccc 分式的加减法则：同分母分式加Jian法：分母不变，把分子相加减。式子表示异Fen母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

acad?bc

??bdbd

Zheng式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

Fen式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运Suan顺序：先乘方、再乘除、后加减，同级运算Zhong，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

Zhu意：在运算过程中，要明确每一步变形的目De和依据，注意解题的格式要规范，不要

Sui便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原Yin。加减后得出的结果一定要化成最简分式（Huo整式）。

七、整数指数幂

Yin入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就Tui广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对Dui负整数指数幂一样适用。即

★

a

m

?a

n

n

n

?a

n

m?n

?a? ★

m

n

?amn

m?n

（

★

?ab?

?ab

an

?

bn

n

★

a

m

?a?a

1?n

a

n

a?0）

?a?

??★?b?

a

★

?n

（

a?0）

0a?1 （a★?0）

（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

n

Qi中m，n均为整数。

Ba、科学记数法：若一个数x是0

n

a?10的数则可以表示为（1?

-7

1?a?10

，即a

De整数部分只有一位，n为整数）的形式，nDe确定n=从左边第一个0起到第一个不为0

：若一个数x是x>10

a?10

，即a的整数部分只有一位，n为整数）的

8

1.2?10形式，n的确定n=比整数部分De数位的个数少1。如

Jiu、分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公Fen母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，De到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分Mu中：

Ru果最简公分母为0，则原方程无解，这个未Zhi数的值是原方程的增根；如果最简公分母不Wei0，则是原方程的解。

Chan生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

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