总有贵人想捧红我
范文一：2015乐昌中等职业技校对口升学数学一轮基础复习题：圆锥曲线
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圆锥曲线
一(基础题组
22xy,,,10a1.若双曲线的离心率为2，则等于( ) a，，2a3
33A. B. C. D.21 2
22.抛物线上的任意一点到直线的最短距离为( ) x,y,2,0y,x
72222A. B. C. D. 以上答案都不对 8
22xy,,1(a,0m3.对于任意给定的实数，直线与双曲线，b,0)最多有3x,y，m,022ab一个交点，则双曲线的离心率等于( )
3102A( B( C( D( 2
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2y2PFx,,14(双曲线的右焦点，点是渐近线上的点，且OP,2，则= . FP3
【答案】2
【解析】
,60OP,2试题分析:双曲线的渐近线为，它的一条渐近线的倾斜角是，因为、yx,,3
,OFPOFc,,2PF,2，则是等边三角形，所以.
考点:1.双曲线的渐近线，渐近线的倾斜角;2.双曲线中基本量的求解.
2xy,2(2,2)5.抛物线上点处的切线方程是 .
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22xy1.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正，若边FF,FF?MFF,,,,1(0,0)ab12121222ab
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) MF1
31，423，31,31，(A) (B) (C) (D) 2
22xy2.已知双曲线的右焦点为F(2，0)，设A，B为双曲线上关于原点对称的两,,,,1(0,0)ab22ab
37点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点在以线段为直径的圆上，直线AB的斜率为，OMN7则双曲线的离心率为 ( )
35A( B( C(2 D(4 【答案】C(
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22xy222O,,13.过双曲线，的左焦点作圆: 的两条切线，切点为b,0)(0a,x，y,aF22ab
,C，ACB,120，，双曲线左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为 ( ) AB
23A( B( C( D( y,,xy,,xy,,2xy,,3x32
,,,,RtAOF,ca,2，,,，,,,AFOAOF90906030？,OFOA2中，，，即，
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22 ？,,bca
22xyb22，故双曲线的渐近线方程为，即,,,,10,0abyx,,,,,23aaa，，，，22aba
. yx,,3
考点:直线与圆的位置关系、双曲线的渐近线
2M4.【福建省三明市2013年普通高中5月毕业班质量检查(理)】若抛物线上一点到yx,4FM焦点的距离为4，则点的横坐标为 (
2x22y,,15.设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线yx,,8的准线所围成的三角D4
zxy,，(,)xyD,形(含边界与内部)(若点，则目标函数的最大值为 ( http://www.cnzj5u.com 电话:010-51438453 Email: cnzj5u@163.com
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22xy26.已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点F与抛物线,，,,,:1(0)ab,22ab2
2的焦点重合( yx,4
(?)求椭圆的标准方程; ,
A(?)如图，设直线与椭圆交于两点(其中点在第一象限)，且直线与mmyx:2,AB,,
x,2DCAF//CACDD定直线交于点，过作直线交轴于点，试判断直线与椭圆的公x,共点个数(
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2x2故椭圆的标准方程为( ……………4分 ，,y1,2
yx,2,,22(?)联立得， x,,229xy，,22,,
,,,,222222A的坐标为(故( (,)FA,,(1,)3333
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,ABC1.已知命题:在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆xoyA(,p,0)C(p,0)22sinA，sinCxy122上，则(其中为椭圆的离心，,1(m,n,0,p,m,n),e22sinBemn
,ABC率)(试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题:在平面直角坐标系中，的顶xoy
22xy22点和，顶点B在双曲线上，,,1(m,n,0,p,m，n)A(,p,0)C(p,0)22mn
则 (
b,02.已知a,，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为A(,a,0)B(a,0)CP
2b,( 2a
(?)求曲线的方程; C
(?)设直线x与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直l:y,kx，h(k,0,h,0)yCNMl线没有公共点，求证:( ||MNab,，
22xy，,1【答案】(?)，( x,,a22ab
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22,xy,，,1,2222222222(?)由得，利用曲线与直线没l(b，ak)x，2ahkx，a(h,b),0C,ab,ykxh,，,,
h2222,,0有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定 bakh，,M(-,0)N(0,h)k
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22222hb，akb22222222222|MN|,，h,，b，ak,a，b，，ak,a，b，2ab， 222kkk
22从而， 即( ………………13|MN|,(a，b)|MN|,a，b
分
考点:1、求轨迹方程，2、直线与椭圆的位置关系，3、均值定理的应用.
ODAB,Q3(如图，为半圆，为半圆直径，为半圆圆心，且，为线段的OODABADB
AB,4PAPB，Q中点，已知，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变. CCP
(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程; C
,,,,,,,,,
EMMB,,MN,(II)过点的直线与曲线交于两点，与所在直线交于点，，ClODBE1
,，,证明:为定值. EN,,NB122
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,,,,,,,,,
EMMB,,标，利用，的关系，反求出(含)的坐标代入到,,,,yMN,EN,,NB11202
22椭圆方程中，得到，，可见,,,是方程,,，，,,10550y,,，，,,10550y12110220
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2？,,,是方程的两个根 xxy，，,,10550120
？，,,,,1012
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2Pmm0,0,4(如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两xy,4AB，，，，
点，点Q是点P关于原点的对称点.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
QPQAQB,,,APPB,,(1)设，证明:; ，，
(2)设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的xy,，,2120AB
切线，求圆C的方程.
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范文二：数学：圆锥曲线
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013年高考江西卷（理））
过点引直线l
与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点, 当?
（ ）
AOB 的面积取最大值时, 直线l 的斜率等于 A ．
B
．C
．D
．【答案】B
x 2
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））双曲线-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于
4
A ．
（ ）
2 5
B ．
4 5
C
D
【答案】C
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为
F (3,0)
,
3
离心率等于2, 在双曲线C 的方程是
（ ）
x 22
=14A
．
【答案】B
x 2y 2
-=145B ． x 2y 2
-=125C ．
x 22
=12D
．
4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线:() 的离心率为, 则的渐近
线方程为 A ．
【答案】C
（ ）
B ．
C ．y =±
1
x 2
D ．
x 2y 2
-=1与5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知0<><, 则双曲线c="">
4cos 2θsin 2θ
π
y 2x 2
C 2:2-2=1的
sin θsin θtan 2θ
A ．实轴长相等 【答案】D
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
（ ）
y 22
6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线y =4x 的焦点到双曲线x - =1的渐近线的距离是 （ ）
3
A ．
2
1 2
B
C ．1 D
【答案】B
x 2
+y 2=1与双曲线C 2的7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图, F 1, F 2是椭圆C 1:4
公共焦点, A , B 分别是C 1, C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形, 则C 2的离心率是
C ．
（ ）
A ．2
【答案】D
B ．
3
2
D ．
6 2
x 2y 2
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线与
a b
抛物线y 2=2px (p >0) 的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的
则p = A ．1
【答案】C
（ ）
B ．
3
2
C ．2 D ．3
x 2y 2
+=1的左、右顶点分别为A 1, A 2, 9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆C :
43
点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2, -1], 那么直线PA 1斜率的取值范围是 （ ） A ．??
24
【答案】B
10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线C :y
2
?13?
??
B ．??
84
?33???
C ．?，1?
?1?
?2?
D ．?，1?
?3??4?
=8x 与点M (-2,2), 过C 的
（ ）
MB =0, 则k = 焦点且斜率为k 的直线与C 交于A , B 两点, 若MA
A ．
1 2
B
C
D ．2
【答案】D
x 2y 2
11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线2-2=
1则其渐近线方程为
a b
A ．y=±2x
【答案】B
（ ）
B ．
y= C ．y =±
1x 2
D
．y =±
x 2
12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线
C 1:
y =
12
x
2p (p >0) 的焦点与双曲线
x 2
-y 2=1C 2:3C C C 的右焦点的连线交1于第一象限的点M . 若1在点M 处的切线平行于2的一条渐
近线, 则p =
（ ）
A
．16
【答案】D
B
．8 C
．3 D
．3
x 2y 2
13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F (3,0), 过点F 的直线交
a b
椭圆于A , B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,-1) , 则E 的方程为
（ ）
x 2y 2
+=1 A ．
4536
【答案】D
x 2y 2
+=1 B ．
3627x 2y 2
+=1 C ．
2718x 2y 2
+=1 D ．
189
14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线C :y
2
=2px (p >0) 的焦点为
（ ）
,
点A ．C ．
在上, 或或
, 若以
为直径的圆过点
B ．D ．
或或
, 则的方程为
【答案】C
B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线, 15．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知A 、
2
垂足为N . 若MN =λAN ?NB , 其中λ为常数, 则动点M 的轨迹不可能是
A ．圆
【答案】C
（ ）
B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线
16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））已知圆C 1:(x -2)+(y -3)=1, 圆
22
C 2:(x -3)+(y -4)=9, M , N 分别是圆C 1, C 2上的动点, P 为x 轴上的动点, 则PM +PN 的
最小值为 A ．4
【答案】A 二、填空题
22
（ ）
B
1
C ．6-
D
x 2y 2
-=1的两条渐近线的方程17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））双曲线
169
为_____________.
【答案】y =±
3
x 4
2
x 2y 2
-=1相交于A , B 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线x =2py (p >0) 的焦点为F, 其准线与双曲线33
两点, 若?ABF 为等边三角形, 则P =_____________
【答案】6
x 2y 2
19．（2013年高考湖南卷（理））设F 1, F 2是双曲线C :2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点,P 是C 上一点,
a b
若PF 1+PF 2=6a , 且?PF 1F 2的最小内角为30, 则C 的离心率为___.
【答案】
20．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴, 点C 在Γ上, 且∠CBA =
π
4
, 若AB=4,BC ,
则Γ的两个焦点之间的距离为________
【答案】
. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知直线y =a 交抛物线y =
x 2于A , B 两点. 若该
抛物线上存在点C , 使得∠ABC 为直角, 则a 的取值范围为___ _____.
【答案】[1, +∞)
22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））抛物线y
=x 2在x =1处的切线与两坐标
轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界). 若点P (x , y ) 是区域D 内的任意一点, 则x +2y 的取值范围是__________.
【答案】?-2, ?
2
??
1??
23．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的标准
x 2y 2
方程为2+2=1(a >0, b >0) , 右焦点为F , 右准线为l , 短轴的一个端点为B , 设原点到直线BF
a b
的距离为d 1, F 到l 的距离为d 2, 若d 2=d 1, 则椭圆C 的离心率为_______.
【答案】
x 2y 2
24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））椭圆Γ:2+2=1(a >b >0) 的左. 右焦点分别为
a b
F 1, F 2, 焦距为2c,
若直线y =x +c ) 与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1, 则该椭圆
的离心率等于__________
【答案】
-1
x 2y 25
25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线-=1的离心率为, 则m 等于___9_____.
416m
【答案】9
x 2y 2
26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F , C
a b
与过原点的直线相交于A , B 两点, 连接AF , BF , 若AB =10, AF =6,cos ∠ABF =率e =______.
【答案】
4
, 则C 的离心5
5
7
2
27．（2013年上海市春季高考数学）抛物线y
【答案】x =-2
=8x 的准线方程是_______________
28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy 中, 设定点A (a , a ) ,
P 是函数y =
1
(x >0) 图象上一动点, 若点P ，A 之间的最短距离为22, 则满足条件的实数a 的所x
有值为_______.
【答案】-1或
2
29．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设F 为抛物线C :y =4x 的焦点, 过点P (-1, 0) 的
直线l 交抛物线C 于两点A , B , 点Q 为线段AB 的中点, 若|FQ |=2, 则直线的斜率等于________.
【答案】±1 三、解答题
30．（2013年上海市春季高考数学）本题共有2个小题, 第1小题满分4分, 第2小题满分9分.
已知椭圆C 的两个焦点分别为F ， 0)、F 2(1， 0), 短轴的两个端点分别为B 1、 B 2 1(-1
C 的方程; (1)若?F 1B 1B 2为等边三角形, 求椭圆
l (2)若椭圆C 的短轴长为2, 过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、 Q 两点, 且F 1P ⊥FQ 1, 求直线的方
程.
x 2y 2
【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0) .
a b
根据题意知?
?a =2b
22
?a -b =1
2
, 解得a =
421, b = 33
x 2y 2
+=1. 故椭圆C 的方程
为4133
x 2
+y 2=1. (2)容易求得椭圆C 的方程为2
当直线l 的斜率不存在时, 其方程为x =1, 不符合题意; 当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y =k (x -1) .
?y =k (x -1) ?2222由?x 2 得(2k +1) x -4k x +2(k -1) =0.
2
?+y =1?2
设P (x 1， y 1) ， Q (x 2， y 2) , 则
4k 22(k 2-1) x 1+x 2=2， x 1x 2=， F 1P =(x 1+1， y 1) ， FQ =(x 2+1， y 2) 1
2k +12k 2+1
因为F =0, 即 1P ⊥FQ 1, 所以F 1P ?FQ 1
(x 1+1)(x 2+1) +y 1y 2=x 1x 2+(x 1+x 2) +1+k 2(x 1-1)(x 2-1)
=(k 2+1) x 1x 2-(k 2-1)(x 1+x 2) +k 2+1 7k 2-1=2=0, 2k +1
2
解得k =
1, 即k =±. 77
故直线l 的方程为x -1=0或x -1=0.
x 2y 2
31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :2+2=1,(a >b >0) 的两个焦点分别为F ,0), F 2(1,0) , 1(-1a b
41
且椭圆C 经过点P (, ) .
33
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设过点A (0,2) 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点, 点Q 是线段MN 上的点, 且
211
, 求点Q 的轨迹方程. =+222
|AQ ||AM ||AN |
【答案】解
:2a =PF 1+PF 2==
所以
, a =
又由已知, c =1, [来源:Zxxk.Com] 所以椭圆C
的离心率e =
c ==
a 2x 2
(II)由(I)知椭圆C 的方程为+y 2=1.
2
设点Q 的坐标为(x,y).
?C l l (1)当直线与x 轴垂直时, 直线与椭圆交于(0,1), (0, -1)两点, 此时Q
点坐标为 0,2- 5??
(2) 当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为y =kx +2.
因为M , N 在直线l 上, 可设点M , N 的坐标分别为(x 1, kx 1+2),(x 2, kx 2+2) , 则
AM =(1+k 2) x 12, AN =(1+k 2) x 22. 又AQ =x 2+(y -2)=(1+k 2) x 2.
由
2222
2AQ
=
1AM
+
1AN
, 得
211
, 即 =+222222
1+k x 1+k x 11+k x 2
211(x 1+x 2)-2x 1x 2
① =+=22222
x x 1x 2x 1x 2
x 2
+y 2=1中, 得 将y =kx +2代入2
2
(2k
2
+1)x 2+8kx +6=0 ②
2
由?=(8k )-4?2k +1?6>0, 得k >
2
(
2
)
3. 2
8k 6
, x x =, 12
2k 2+12k 2+1
182
代入①中并化简, 得x = ③ 2
10k -3
y -222
因为点Q 在直线y =kx +2上, 所以k =, 代入③中并化简, 得10(y -2)-3x =18.
x
由②可知x 1+x 2=-
2
由③及k >
?33??2
0
即x ∈ ?? .
22????
又 0,2?
??22
10y -2-3x =18满足,
故. x ∈() ???
由题意, Q (x , y )在椭圆C 内部, 所以-1≤y ≤1,
2
又由10(y -2)=18+3x 有
2
(y -2)
2
?1?99?
,2∈?, ?且-1≤y ≤1,
则y ∈ . 2?54???
??122
10y -2-3x =18所以点Q 的轨迹方程是(, 其中
, x ∈ ) , y ∈ 2,2
??
??
32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））椭圆C :
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别2
a b
是F 1, F 2,
过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点, 连接PF 1, PF 2, 设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ,0) , 求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, 过P 点作斜率为k 的直线l , 使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点, 设直线
PF 1, PF 2的斜率分别为k 1, k 2, 若k ≠0, 试证明
11
+为定值, 并求出这个定值. kk 1kk 2
x 2y 2b 2
+2=1y =±2222
c =a -b x =-c a a b 【答案】解:(Ⅰ)由于, 将代入椭圆方程得2b 2c e =
==12
a 由题意知a , 即a =2b 又
x 2
+y 2=1
所以a =2, b =1 所以椭圆方程为4
232
量坐标代入并化简得:m(4x 0≠4, -16) =3x 0-12x 0, 因为x 0
x x 011+=-4(0+=-8为定值. kk 1kk 2x 0x 0
x 2
-y 2=1, 曲线C 2:|y |=|x |+1,P 是33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分) 如图, 已知曲线C 1:2
平面上一点, 若存在过点P 的直线与C 1, C 2都有公共点, 则称P 为“C1—C 2型点”.
(1)在正确证明C 1的左焦点是“C1—C 2型点”时, 要使用一条过该焦点的直线, 试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y =kx 与C 2有公共点, 求证|k |>1, 进而证明原点不是“C1—C 2型点”;
22
(3)求证:圆x +y =
1
内的点都不是“C1—C 2型点”. 2
【答案】:(1)C1的左焦点为F (
0) , 过F 的直线x =与C 1交于(, 与C 2交于(±1)) , 故C 1的左焦点为“C1-C 2型点”,且直线可以为x =(2)直线y =kx 与C 2有交点, 则
?y =kx
?(|k |-1) |x |=1, 若方程组有解, 则必须|k |>1; ?
|y |=|x |+1?
直线y =kx 与C 2有交点, 则
?y =kx 1222
k <, 若方程组有解,="" 则必须="" ?(1-2k="" )="" x="">
2x -2y =2?
故直线y =kx 至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点, 即原点不是“C1-C 2型点”.
22
(3)显然过圆x +y =
1
内一点的直线l 若与曲线C 1有交点, 则斜率必存在; 2
根据对称性, 不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(t , t +1)(t ≥0) , 则
l :y =(t +1) =k (x -t ) ?kx -y +(1+t -kt ) =0
22
直线l 与圆x +y =
1内部有交点,
2212
(k +1) ............① 2
2
化简得, (1+t -tk )
若直线l 与曲线C 1有交点, 则
?y =kx -kt +t +1
12?222?(k -) x +2k (1+t -kt ) x +(1+t -kt ) +1=0 ?x 2
2-y =1?
?2
1
?=4k 2(1+t -kt ) 2-4(k 2-)[(1+t -kt ) 2+1]≥0?(1+t -kt ) 2≥2(k 2-1)
2
化简得, (1+t -kt ) ≥2(k -1) .....②
2
2
12
(k +1) ?k 2<1>
但此时, 因为t ≥0,[1+t (1-k )]≥1, (k +1) <1,>
2
12
当k =时,①式也不成立
2
122
综上, 直线l 若与圆x +y =内有交点, 则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,
2
122
即圆x +y =内的点都不是“C1-C 2型点” .
2
34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图, 在正方形OABC 中, O 为坐标原点, 点A 的坐
22
由①②得, 2(k -1) ≤(1+t -tk )
标为(10,0), 点C 的坐标为(0,10). 分别将线段OA 和AB 十等分, 分点分别记为A 1, A 2,.... A 9和
B 1, B 2,.... B 9, 连结OB i , 过A i 做x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9) .
*
(1)求证:点P i (i ∈N ,1≤i ≤9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E 的方程;
(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点M , N , 若?OCM 与?OCN 的面积比为4:1, 求直线的
方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意, 过A i (i ∈N
*
,1≤i ≤9) 且与x 轴垂直的直线方程为x =i i
x 10
B i (10,i ) , ∴直线OB i 的方程为y =
?x =i
12?
y =x , 即x 2=10y , 设P i 坐标为(x , y ) , 由?得:i
10y =x ?10?
∴P i (i ∈N *,1≤i ≤9) 都在同一条抛物线上, 且抛物线E 方程为x 2=10y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在, 设直线的方程为y =kx +10
?y =kx +102
由?2得x -10kx -100=0 ?x =10y
此时?=100k +400>0, 直线与抛物线E 恒有两个不同的交点M , N 设:M (x 1, y 1) N (x 2, y 2) , 则?
2
?x 1+x 2=10k
x ?x =-100?12
S ?OCM =4S ?OCN ∴x 1=4x 2
又 x 1?x 2<0, ∴x="" 1="-4x" 2="">
?y =kx +103k =±, 解得 2
x =10y 2?
直线的方程为y =±
3
x +10, 即3x -2y +20=0或3x +2y -20=0 2
2
35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线E :x
=2py (p >0) 的焦点F 作斜率分别为k 1, k 2的两条不同的
直线l 1, l 2, 且k 1+k 2=2, l 1与E 相交于点A,B, l 2与E 相交于点C,D. 以AB,CD 为直径的圆M, 圆N(M,N为圆心) 的公共弦所在的直线记为l .
2
(I)若k 1>0, k 2>0, 证明; FM FN <2p>
(II)若点M 到直线l
【答案】解: (Ⅰ) F (0,
, 求抛物线E 的方程. p
). 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3), D (x 4, y 4), M (x 12, y 12), N (x 34, y 34) ， 2p
直线l 1方程：y =k 1x +, 与抛物线E 方程联立，化简整理得：-x 2+2pk 1x +p 2=0
2
?x 1+x 2=2k 1p , x 1?x 2=-p 2=0?x 12=同理, ?x 34=
x 1+x 2p 22
=k 1p , y 12=k 1p +?=(k 1p , -k 1p ) 22
x 1+x 2p 22
=k 2p , y 34=k 2p +?FN =(k 2p , -k 2p ) . 22
2
2
??=k 1k 2p 2+k 1k 2p 2=p 2k 1k 2(k 1k 2+1)
k 1>0, k 2>0, k 1≠k 2, 2=k 1+k 2≥2k 1k 2?k 1k 2≤1, ∴FM ?FN =p 2k 1k 2(k 1k 2+1)
所以, ?<2p 2成立.="" (证毕)="">
1p p 1p 22
设圆M 、N 的半径分别为r 1, r 2?r 1=[(+y 1) +(+y 2)]=[p +2(k 1p +)]=k 1p +p ,
22222
?r 1=k 1p +p , 同理2r 1=k 2p +p ,
2
设圆M 、N 的半径分别为r 1, r 2. 则M 、N 的方程分别为(x -x 12) 2+(y -y 12) 2=r 1,
22
(x -x 34) 2+(y -y 34) 2=r 2，直线l 的方程为：
2
2(x 34-x 12) x +2(y 34-y 12) y +x 12-x 34+y 12-y 34-r 1+r 2=0.
?2p (k 2-k 1) x +2p (k 2-k 1) y +(x 12-x 34)(x 12-x 34) +(y 12-y 34)(y 12-y 34) +(r 2-r 1)(r 2+r 1) =0
?2p (k 2-k 1) x +2p (k 2-k 1) y +2p 2(k 1-k 2) +p 2(k 1-k 2)(k 1+k 2+1) +p 2(k 2-k 1)(k 1+k 2+2) =0
?x +2y -p -p (k 1+k 2+1) +p (k 1+k 2+2) =0?x +2y =0
2
2
2
2
222222
22
2222222222
11
2(-) 2+(-) +1
x +2y 122k +k 1+17p 7点M (x 12, y 12) 到直线l 的距离d =|12|=p ?|1|≥p ?==5585
2
?p =8?抛物线的方程为x 2=16y .
x 2y 2
36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图, 点P (0, -1) 是椭圆C 1:2+2=1(a >b >0)
a b
的一个顶点, C 1的长轴是圆C 2:x +y =4的直径. l 1, l 2是过点P 且互相垂直的两条直线, 其中l 1交圆C 2于两点, l 2交椭圆C 1于另一点D
(1)求椭圆C 1的方程; (2)求?ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.
2
2
（第21题图）
x 2
+y 2=1; 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b =1, 且2a =4∴a =2, 所以椭圆的方程是4
(Ⅱ)因为直线l 1⊥l 2, 且都过点P (0,-1) , 所以设直线l 1:y =kx -1?kx -y -1=0, 直线
l 2:y =1
x -1?x +k y +k =0, 所以圆心(0,0)到直线l 1:y =kx -1?kx -y -1=
0的距离为k
d =
所以直线l 1被圆x +y =
4所截的弦AB =22=
;
?x +ky +k =0?222由?x 2?k x +4x +8kx =0, 所以
2
?+y =1?4
8k x D +x P =-2∴|DP |==所以
k +4k +4S ?ABD
11=|AB ||DP |===22k +4k +44k +3+
13=
32
2+
=
32
≤
=
当=
?k 2=
5,
此时直线l 1:y =-1 ?k =±
237．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如题(21)图, 椭圆的中心为原点O
, 长轴在x 轴上,
离心率e =
, 过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A , A '两点, AA '
=4. 2
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于
x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P , P ', 过P , P '作圆心为Q 的圆, 使椭圆上的其余
点均在圆Q 外. 若PQ ⊥
P 'Q , 求圆Q 的标准方程.
[来源:Z*xx*k.Com]
【答案】
x 2y 2
=1的焦点在x 轴上 38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））设椭圆E :2+2
a 1-a
(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1, 求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆E 上的第一象限内的点, 直线F 2P 交y 轴与点Q , 并且F 1P ⊥FQ 1, 证明:当a 变化时, 点p 在某定直线上.
58x 28x 2
=1
. 【答案】解: (Ⅰ) a >1-a , 2c =1, a =1-a +c ?a =，椭圆方程为：+
853
2
2
2
2
2
2
(Ⅱ) 设F 1(-c , 0), F 2(c , 0), P (x , y ), Q (0, m ), 则F 2P =（x -c , y ), QF 2=(c , -m ) . 由1-a >0?a ∈(0, 1) ?x ∈(0, 1), y ∈(0, 1) .
2
?m (c -x ) =yc
F 1=(x +c , y ), F 1=(c , m ). 由F 2//QF 2, F 1⊥F 1得：?
?c (x +c ) +my =0
?x 2y 2
=1?2+2
a 1-a ??
?(x -c )(x +c ) =y 2?x 2-y 2=c 2. 联立?x 2-y 2=c 2解得
?a 2=1-a 2+c 2???2x 22y 222
?2+=1?x =(y ±1) . x ∈(0, 1), y ∈(0, 1) ∴x =1-y 222
x -y +11-x +y
所以动点P 过定直线x +y -1=0.
39．（2013年高考新课标1（理））已知圆:, 圆:, 动圆与外切
并且与圆内切, 圆心的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)是与圆, 圆都相切的一条直线, 与曲线C 交于A,B 两点, 当圆P 的半径最长时, 求|AB|.
【答案】由已知得圆
的圆心为(
,
(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆(Ⅰ)∵圆
的圆心为与圆
), 半径为R.
内切,∴|PM|+|PN|=
=
=4,
的椭圆(左顶点除外),
外切且与圆
由椭圆的定义可知, 曲线C 是以M,N 为左右焦点, 场半轴长为2, 短半轴长为
其方程为.
(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(, ), 由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P 的半径最长时, 其方程为当的倾斜角为当的倾斜角不为
时, 则与
,
.
轴的交点为Q, 则
=
, 可求得
轴重合, 可得|AB|=
时, 由≠R知不平行轴, 设与
Q(-4,0),∴设:, 由于圆M 相切得, 解得.
当=时, 将代入并整理得, 解得=
,∴|AB|==.
当=-时, 由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
x 2y 2
40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F, 离心率
a b
, 过点F 且与x
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D两点. 若
AC ·DB +AD ·CB =8, 求k 的值.
【答案】
x 2y 23141．（2013年高考江西卷（理））如图, 椭圆C 2+2=1(a >b >0)经过点P (1,), 离心率e =, 直线l 的方
22a b
程为x =4.
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA , PB , PM 的斜率分别为k 1, k 2, k 3. 问:是否存在常数λ, 使得k 1+k 2=λk 3. ? 若存在求λ的值; 若不存在, 说明理由
.
【答案】解:(1)由P (1,) 在椭圆上得,
3219+=1 ① a 24b 2
依题设知a =2c , 则b =3c ② ②代入①解得c =1, a =4, b =3.
2
2
2
22
x 2y 2
+=1. 故椭圆C 的方程为43
(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为y =k (x -1) ③
代入椭圆方程3x +4y =12并整理, 得(4k +3) x -8k x +4(k -3) =0, 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则有
2
2
2
2
2
2
8k 24(k 2-3)
x 1+x 2=2, x 1x 2= ④
4k +34k 2+3
在方程③中令x =4得, M 的坐标为(4,3k ) .
333
y 2-3k -
, k =, k ==k -1. 从而k 1=23x 1-1x 2-14-
12
y 1-
注意到A , F , B 共线, 则有k =k AF =k BF , 即有
y 1y
=2=k . x 1-1x 2-1
33
y 2-+=y 1+y 2-3(1+1) 所以k 1+k 2=
x 1-1x 2-1x 1-1x 2-12x 1-1x 2-2
y 1-
x 1+x 2-23
⑤ =2k -?
2x 1x 2-(x 1+x 2) +1
8k 2
-223④代入⑤得k 1+k 2=2k -?=2k -1, 228k 24(k -3) -+1
4k 2+34k 2+3
1
又k 3=k -, 所以k 1+k 2=2k 3. 故存在常数λ=2符合题意.
2
方法二:设B (x 0, y 0)(x 0≠1) , 则直线FB 的方程为:y =
y 0
(x -1) , x 0-1
令x =4, 求得M (4,
3y 0
) , x 0-1
2y 0-x 0+1
,
2(x 0-1)
从而直线PM 的斜率为k 3=
y 0?y =(x -1) ?x 0-15x -83y 0?联立? ,得A (0, ) ,
222x 0-52x 0-5?x +y =1??43
则直线PA 的斜率为:k 1=
2y 0-2x 0+52y 0-3
, 直线PB 的斜率为:k 2=,
2(x 0-1) 2(x 0-1)
所以k 1+k 2=
2y 0-2x 0+52y 0-32y 0-x 0+1+==2k 3,
2(x 0-1) 2(x 0-1) x 0-1
故存在常数λ=2符合题意.
37．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点
F (0, c )(c >0)到直线l :x -y -2=
0的距离为
条切线PA , PB , 其中A , B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
. 设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两2
(Ⅱ) 当点P (x 0, y 0)为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时, 求AF ?BF 的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意, 设抛物线C 的方程为x
2
=4cy , =
结合c >0, 解得c =1. 2
所以抛物线C 的方程为x 2=4y . (Ⅱ) 抛物线C 的方程为x 2=4y , 即y =
121x , 求导得y '=x 42
x 12x 2211, y 2=设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)(其中y 1=), 则切线PA , PB 的斜率分别为x 1, x 2,
2244x 1x 12x 1
x -+y 1, 即x 1x -2y -2y 1=0 所以切线PA 的方程为y -y 1=(x -x 1), 即y =
222
同理可得切线PB 的方程为x 2x -2y -2y 2=0
因为切线PA , PB 均过点P (x 0, y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0, x 2x 0-2y 0-2y 2=0 所以(x 1, y 1), (x 2, y 2)为方程x 0x -2y 0-2y =0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF =y 1+1, BF =y 2+1, 所以AF ?BF =(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1
?x 0x -2y -2y 0=0222
联立方程?2, 消去x 整理得y +(2y 0-x 0)y +y 0=0
?x =4y
由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02-2y 0, y 1y 2=y 02 所以AF ?BF =y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 0+x 0-2y 0+1
2
2
又点P (x 0, y 0)在直线l 上, 所以x 0=y 0+2,
1?9?
所以y 0+x 0-2y 0+1=2y 0+2y 0+5=2 y 0+?+
2?2?
2
2
2
2
所以当y 0=-
19
时, AF ?BF 取得最小值, 且最小值为. 22
中, 过椭圆
38．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系
的右焦点作直交于两点, 为的中点, 且
的斜率为
.
(Ⅰ)求(Ⅱ)
【答案】
的方程; 为
上的两点, 若四边形
的对角线
, 求四边形
面积的最大值.
39．（2013年高考湖北卷（理））如图, 已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O , 长轴均为MN 且在x 轴上,
短轴长分别为2m , 2n (m >n ), 过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1, C
2的四个交点按纵坐标从大
到小依次为A , B , C , D . 记λ=
m
, ?BDM 和?ABN 的面积分别为S 1和S 2. n
(I)当直线l 与y 轴重合时, 若S 1=λS 2, 求λ的值;
(II)当λ变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线l , 使得S 1=λS 2? 并说明理由.
第21题图
m +1
λ+1
∴λ==
λ-1-1
S =λS 2?m +n =λ(m -n ), n 【答案】解:(I)1
解得
:λ=
+1(舍去小于1的根)
x 2y 2x 2y 2
(II)设椭圆C 1:2+2=1(a >m ), C 2:2+2=1, 直线l :ky =x
a m a n
?ky =x 222a +m k 2?2
2 ?
y =1?y =?x y A 22a m +=1??a 2m 2
同理可得
, y B =
又 ?BDM 和?ABN 的的高相等
∴
S 1BD y B -y D y B +y A === S 2AB y A -y B y A -y B
如果存在非零实数k 使得S 1=λS 2, 则有(λ-1)y A =(λ+1)y B ,
22222
a λ-2λ-1λ+1)()(λ2(λ-1)λ+1)(2
即:2, 解得k = =
4n 2λ3a +λ2n 2k 2a 2+n 2k 2
∴
当λ>1+时, k 2>0, 存在这样的直线l ;
当1<λ≤1+时, k="" 2≤0,="" 不存在这样的直线l="">
x 2
+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. 40．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W:4
(I)当点B 是W 的右顶点, 且四边形OABC 为菱形时, 求此菱形的面积;
(II)当点B 不是W 的顶点时, 判断四边形OABC 是否可能为菱形, 并说明理由.
x 2
+y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形, 所以AC 与OB 【答案】解:(I)椭圆W:4
相互垂直平分. 所以可设A(1,m ), 代入椭圆方程得
1+m 2=1,
即m =. 所以菱形OABC 的面
4积是
11
|OB |?|AC |=?2?2|m |=22
(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点, 且直线AC 不过原点, 所以可设AC 的方程为
y =kx +m (k ≠0, m ≠0) .
?x 2+4y 2=4由?消去y 并整理得(1+4k 2) x 2+8kmx +4m 2-4=0. ?y =kx +m
x 1+x 2y 1+y 2x 1+x 24km m
=-=k ?+m =, . 21+4k 2221+4k 24km m
所以AC 的中点为M(-, ).
1+4k 21+4k 2
1
因为M 为AC 和OB 的交点, 所以直线OB 的斜率为-.
4k
1
) ≠-1, 所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形, 与假设矛盾. 因为k ?(-4k
设A (x 1, y 1) ,C (x 2, y 2) , 则
所以当点B 不是W 的顶点时, 四边形OABC 不可能是菱形. 41．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(x , y ), MN 线段的中点为E ，由几何图像知ME =
MN
, CA 2=CM 2=ME 2+EC 22
?（x -4) 2+y 2=42+x 2?y 2=8x
(Ⅱ) 点B(-1,0), 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 由题知y 1+y 2≠0，y 1y 2<0, y="" 1="8x" 1,="" y="" 2="8x">
2
2
?
y 1-y 2y -y
=?21=22?8(y 1+y 2) +y 1y 2(y 2+y 1) =0?8+y 1y 2=0直线PQ x 1+1x 2+1y 1+8y 2+8
方程为:y -y 1=
y 2-y 112
(x -x 1) ?y -y 1=(8x -y 1)
x 2-x 1y 2+y 1
2
?y (y 2+y 1) -y 1(y 2+y 1) =8x -y 1?y (y 2+y 1) +8=8x ?y =0, x =1
所以, 直线PQ 过定点(1,0)
42．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图, 抛物线C 1:x
2
=4y , C 2:x 2=-2py (p >0),
点M (x 0, y 0)在抛物线C 2上, 过M 作C 1的切线, 切点为A , B (M 为原点O 时, A , B 重合于O )
x 0=
1, 切线MA . 的斜率为-.
(I)求p 的值;
(II)当M 在C 2上运动时, 求线段AB 中点N 的轨迹方程. A , B 重合于O 时, 中点为O .
1
2
()
【答案】
x 2y 2
43．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >0)的左、右
a b
焦点分别为F 1，F 2, 离心率为3，直线y =2与C
(I)求a , b
; ;
(II)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A , B 两点, 且AF 1=BF 1, 证明:
AF 2AB BF 2成等比数列.
【答案】
44．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案) ）本题共有2个小题, 第1小题满分6分, 第2小题满分6分.
已知抛物线C ： y =4x 的焦点为F .
2
A 、 P (1)点满足AP =-2FA . 当点A 在抛物线C 上运动时, 求动点P 的轨迹方程;
(2)在x 轴上是否存在点Q , 使得点Q 关于直线y =2x 的对称点在抛物线C 上? 如果存在,
求所有满足
条件的点Q 的坐标; 如果不存在, 请说明理由.
【答案】(1)设动点P 的坐标为(x ， y ) , 点A 的坐标为(x A ， y A ) , 则AP =(x -x A ， y -y A ) , 因为F 的坐标为(1， 0), 所以FA =(x A -1， y A ) ,
由AP =-2FA 得(x -x A ， y -y A ) =-2(x A -1， y A ) .
?x -x A =-2(x A -1) ?x A =2-x 即? 解得?
y -y =-2y y =-y ?A A ?A
代入y 2=4x , 得到动点P 的轨迹方程为y 2=8-4x .
(2)设点Q 的坐标为(t ， 0). 点Q 关于直线y =2x 的对称点为Q '(x ， y ) ,
31??y
x =-t =-???x -t ?52
则? 解得? ?y =x +t ?y =4t ??5?2?
2
若Q '在C 上, 将Q '的坐标代入y 2=4x , 得4t +15t =0, 即t =0或t =-
15. 4
所以存在满足题意的点Q , 其坐标为(0， 0)和(-
15
， 0). 4
范文三：数学-圆锥曲线
圆锥曲线
1、椭圆
x 2y 2y 2x 2
1）椭圆的标准方程：2+2=1，2+2=1 （a >b >0）
a b a b x 2y 2
2）椭圆的性质：由椭圆方程2+2=1(a >b >0)
a b
范围: -a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b ，椭圆落在x =±a , y =±b 组成的矩形中。 对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的
椭圆共有四个顶点： A (-a , 0), A 2(a , 0) ，B (0, -b ), B 2(0, b )
加两焦点
F 1(-c , 0), F 2(c , 0) A 1A 2叫椭圆的长轴，B 1B 2叫椭圆的短轴．长分别为
2a , 2 a , b 离心率:e =
b c
?e =-() 2 (0
椭圆形状与e 的关系：e →0, c →0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e =0e →1, c →a , 椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2，此
时也可认为圆为椭圆在e =1时的特例
典型例题：
x 2π
+y 2=1，过左焦点F 作倾斜角为的直线交椭圆于A 、B 两点，例1 已知椭圆：
69
求弦AB 解：a=3,b=1,c=22; 则F （-22，0）
x 2
+y 2=1联立消去y 得： (x +22) 与由题意知：l :y =
91
4x 2+2x +15=0
设A （x 1, y 1) 、B （x 2, y 2) ，则x 1, x 2是上面方程的二实根，由违达定理，x 1+x 2=-32
x 1?x 2=
x +x 23215
，x M =1又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， =-422
所以|AB|=+?|x 1-x 2|=
1
3
23
?(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=
23
-15=2
点评：也可让学生利用“焦半径”2、双曲线
平面内到两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值为常数（小于F 1F 2）的动点的轨迹叫双曲 即MF 1-MF 2=2a 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔两
定点间距离较短（大于定差）双曲线的形
1）双曲线的标准方程及特点：
x 2y 2
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a >0, b >0) ；
a b y 2x 2
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a >0, b >0)
a b a , b , c 有关系式c 2=a 2+b 2成立，且a >0, b >0, c >其中a 与b 的大小关系:可以为a =b , a 2）焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x 2、y 2项的分母的大小来确定，而双曲线是根
据项的正负来判断焦点所在的位置，即x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；y 项的系数是正的，那么焦点在y 22
3）双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
x 2y 2
由标准方程2-2=1，从横的方向来看，直线x =-a , x =a 之间没有图象，从纵的
a b
方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像
（2）顶点
顶点：A 1(a ,0), A 2(-a ,0)，特殊点：B 1(0,b ), B 2(0, -b ) 实轴：A 1A 2长为2a ,
a 虚轴：B 1B 2长为
2b ，b
（3）渐近线
x 2y 2b x y
过双曲线2-2=1的渐近线y =±x （±=0）
a a b a b
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e =
2c c
=范围：e >1 2a a
b c 2-a 2c 22
双曲线形状与e 的关系：k ===-1=e -1，e 越大，即渐近线的斜2
a a a
由此可知，双曲线的离心率越
5）等轴双曲线
其性质：（1）渐近线方程为：y =±x ；（2）
渐近线互相垂直；（3）离心率e =
6）共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y =±
b kb
x =±x (k >0) ，那么此双曲线方程就一a ka
x 2y 2x 2y 2
-=±1(k >0) 或写成2-2=λ定是：22
a b (ka ) (kb )
7）共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 区别：三量a , b , c 中a , b 不同（互换）c 双曲线和它的共轭双
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为
2
8 d =典型例题
y 2
=1，例1 已知双曲线x -过点 A （2，1）的直线与已知双曲线交于P 、Q 1）2
2
求PQ 中点的轨迹方程；（2）过B （1，1）能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于两点M 、N ，且B 为MN 的中点，若存在，求出l 解：（1）设P （x 1,y 1）、Q(x2,y 2), 其中点为（x ，y ）,PQ 的斜率为k,
若PQ 的斜率不存在显然（2，0若PQ 的斜率存在，由题设知：
y y 2
x 1-1=1…（1） x 2-2=1…（2）
22
2
22
（2）-（1）得：(x 1+x 2)(x 2-x 1) - ∴
(y 1+y 2)(y 2-y 1)
=0
2
x 1+x 2k x k
=，即=…（3）
y 2y 1+y 22
y -1
代入（3）整理得：2x 2-y 2-4x +y =0 x -2
又k =
（2）显然过B 点垂直X l 的方程为y-1=k(x-1)
y 2
=1，整理得： 代入双曲线方程x -2
2
(2-k )x
2
2
-2k (1-k )x -k 2+2k -3=0…※
2k (1-k )=k =2 22-k
设M （x 1,y 1）、N(x2,y 2) 则有x 1+x 2=又直线与双曲线必须有两不同交点，
所以※式的?=4k 2(1-k )+42-k 2把k =2代入得?=-8<0， 故不存在满足题意的直线l="">
()(k
2
-2k +3)>03、抛物线
1）抛物线的准线方程： (1)y =2px (p >0) , 焦点:(
2
p , 0) ，准线l ：x =2
p ) ，准线l ：y =2
p (3)y 2=-2px (p >0) , 焦点:(-, 0) ，准线l ：x =2p (4) x 2=-2py (p >0) , 焦点:(0, -) ，准线l ：y =2(2)x 2=2py (p >0) , 焦点:(0,
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
1
，即4
2p p
= 42
不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为±2px 、左端为y 2；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为±2py ，左端为x 2
（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右
端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取
2）抛物线的几何性质 （1）范围
因为p ＞0，由方程y 2=2px (p >0)可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x，y) 满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y 代y ，方程y =2px (p >0)不变，所以这条抛物线关于x 轴对称。
2
（3）顶点
在方程y =2px (p >0)中，当y=0时，x=0，因此抛物线y =2px (p >0)的顶点就是
2
2
坐标原点．
（4）离心率：e=1．
3）直线与抛物线 （1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）将l :y =kx +b 代入C :Ax +Cy +Dx +Ey +F =0，消去y ，得到
2
关于x 的二次方程ax +bx +c = （*）
22
若?>0，相交；?=0，相切；?
<>
联立?
?y =kx +b 2
，得关于x 的方程ax +bx +c =0 2
?y =2px
当a =0（二次项系数为零）当a ≠0，则
若?>0?=0?<0，无公共点 （2）相交弦长：="" 弦长公式：d="">
d =2p ?
+k 2， a
（4）若已知过焦点的直线倾斜角θ
2p p ??
2p ?y =k (
x -) ?y 1+y 2=22
y -p =0??则?k 2?y -k 22
???y =2px ?y 1y 2=-p 12p 4p 22p 2
?AB =y -y = ?y 1-y 2=+4p =12
sin θsin 2θsin θk 2
（5）常用结论：
p ?
k 2p 22p ?y =k (x -) 22222
y -p =0和k x -(k p +2p ) x +=0 ?2?y -k 42
??y =2px
?y 1y 2=-p 2和x 1x 2=
典型例题
例1已知抛物线方程为y =2p (x +1)(p >0) ，直线l :x +y =m 过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值．
解：设l 与抛物线交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则|AB |=3.
由距离公式
2
|AB|=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2y 1-y 2|=y 1-y 2|
则有 (y 1-y 2) 2=9.
2
p ?
x +y =-1+, ?由消去x , 得y 2+2py -p 2=0. 2?
?y 2=2p (x +1). ?
?=(2p ) 2+4p 2>0.
∴y 1+y 2=-2p , y 1y 2=-p 2.
从而(y 1-y 2) 2=(y 1+y 2) 2-4y 1y 2, 即(-2p ) 2+4p 2=9. 由于p>0，解得p =
2
3 4
范文四：文科数学圆锥曲线
20. (2013四川,文 20)(本小题满分 13分 ) 已知圆 C 的方程为 x 2+(y -4) 2=4,点 O 是 坐标原点,直线 l :y =kx 与圆 C 交于 M , N 两点.
(1)求 k 的取值范围;
(2)设 Q (m , n ) 是线段 MN 上的点,且 222211||||
||OQ OM ON =+,请将 n 表示为 m 的 函数
21、 (本小题满分 12分 )
如 图 , 动 点 M 与 两 定 点 (1,0) A -、 (1,0)B 构 成
M A B ?,且直线 MA MB 、 的斜率之积为 4,设动点 M 的
轨迹为 C 。
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程;
(Ⅱ) 设直线 (0) y x m m =+>与 y 轴交于点 P , 与轨迹 C
相交于点 Q R 、 ,且 ||||PQ PR <,求>
||PR PQ 的取值范围。
21、 (本小题满分 12分 ) 已知定点 (1,0), (2,0)A F -, 定直线 1:2
l x =,不在 x 轴上的动 点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2倍,设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于 B 、 C 两点,直线 AB 、 AC 分别交 l 于点 M 、 N.
(Ⅰ ) 求 E 的方程;
(Ⅱ) 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F, 并说明理由。
21. (本小题共 12分)
过点 (0,1)C 的椭圆 22221(0) x y a b a b +=>>
的离心率为 2
,椭圆与 x 轴交于两点 (, 0) A A 、 (,0) B a -,过点 C 的直线 l 与椭圆右焦点交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直 线 AC 与直线 BD 交于点 Q 。
(I )当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长;
(Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证:OP OQ ?为定值。
范文五：高三数学圆锥曲线
总题数:22 题
第1题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷?))
22题目 已知F、F为双曲线C:x,y,1的左、右焦点，点P在C上，?FPF,60?，则|PF|?|PF|等于( ) 121212A(2 B(4 C(6 D(8 答案 B 在?中， PFF12
222|FF|,|PF|，|PF|,2|PF|?|PF|?cos60? 121212
2,(||,||)，||?||， PFPFPFPF1212
22即(2),2，|PF|?|PF|， 12
解得|PF|?|PF|,4. 12
第2题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国卷?))
22题目 已知F、F为双曲线C:x,y,1的左、右焦点，点P在C上，?FPF,60?，则P到x轴的距离为( ) 1212A. B. C. D.
答案 B 在?PFF中， 12
222|FF|,|PF|，|PF|,2|PF|?|PF|?cos60? 121212
2,(|PF|,|PF|)，|PF|?|PF|， 1212
22即(2),2，|PF|?|PF|， 12
解得|PF|?|PF|,4. 12
设P到x轴的距离为h，
由S?FPF,|PF|?|PF|?sin60?,|FF|?h， 121212
解得h,
第3题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷?))
题目 已知椭圆:，,1(,,0)的离心率为，过右焦点且斜率为(,0)的直线与相交于、两CabFkkCAB
点，若,3，则k等于( )
A(1 B. C. D(2 答案
B 如图，过，，过于A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为ABB作BM?AAM. 111
由椭圆的第二定义得:,e，,e，
?|BB|,，|AA|,. 11
又?,3，
?,3，
?||,， AA1
?|AM|,|AA|,|MA|,|AA|,|BB|,，而|AB|,|AF|，|FB|,4|FB|， 1111
在Rt?BAM中，cos?BAM,,,,，
?sin?BAM,，?k,tan?BAM,.
第4题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(全国卷?)) 题目 已知椭圆:，,1(,,0)的离心率为，过右焦点且斜率为(,0)的直线与相交于、两CabFkkCAB
点，若,3，则k等于( )
A(1 B. C. D(2 答案 B 如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，过B作BM?AA于M. 111
由椭圆的第二定义得:,e，,e，
?|BB|,，|AA|,. 11
又?,3，
?,3，
?|AA|,， 1
?|AM|,|AA|,|MA|,|AA|,|BB|,，而|AB|,|AF|，|FB|,4|FB|， 1111
在Rt?BAM中，cos?BAM,,,,， ?sin?,，?,tan?,. BAMkBAM
第5题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(北京卷)) 题目 极坐标方程(ρ,1)(θ,π),0(ρ?0)表示的图形是( ) A(两个圆 B(两条直线 C(一个圆和一条射线 D(一条直线和一条射线 答案 C 由方程得ρ,1,0或θ,π,0，即ρ,1或θ,π，其中ρ,1表示圆，θ,π表示一条射线(
第6题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(天津卷))
2题目 已知双曲线 (a,0，b,0)的一条渐近线方程是y,x，它的一个焦点在抛物线y,24x的准线上，
则双曲线的方程为( )
A. B. C. D. 答案 B ?双曲线 (a,0，b,0)的渐近线方程为y,?，
?. ?
2?抛物线y,24x的准线方程为x,,6，
?,c,,6. ?
222又c,a，b. ?
由???得a,3，b,3.
22?a,9，b,27.
?双曲线方程为.
第7题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(上海卷)) 题目 直线l的参数方程是 (t?R)，则l的方向向量d可以是( ) A((1,2) B((2,1) C((,2,1) D((1, ,2)
答案 C 消去参数t，得直线l的方程为x，2y,5,0，
其斜率k,,，?l的一个方向向量a,(1，,)，
?ta(t?0)也为l的方向向量，当t,,2时，d,(,2,1)(
第8题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(辽宁卷))
2题目 设抛物线,8的焦点为，准线为，为抛物线上一点，?，为垂足(如果直线的斜率为,，那么yxFlPPAlAAF
|PF|,( )
A(4 B(8 C(8 D(16
答案 B 直线AF的方程为y,, (x,2)，
联立，有y,4，
所以P(6,4)(
|,6，2,8. 由抛物线的定义可以知道|PF
第9题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(辽宁卷)) 题目 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心
率为( )
A. B.
C. D.
答案 D 如图，不妨设双曲线的方程为 (a,0，b,0)(
?B(0，b)，F(c,0)，渐近线为y,?x，
则k,,,， BF
由BF与渐近线垂直得:
k?k,,1，即,?,,1， BFl
2?b,ac，
22?c,ac,a,0，
2?,1,0， e,e
解得:e,或e, (舍)(
第10题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类学(辽宁卷))
2题目 设抛物线y,8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA?l，A为垂足(如果直线AF的斜率为,，那么
|PF|,( )
A(4 B(8 C(8 D(16
答案 B 直线AF的方程为y,, (x,2)，
联立，有y,4，
所以(6,4)( P
由抛物线的定义可以知道|PF|,6，2,8.
第11题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类学(辽宁卷)) 题目 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心
率为( )
A. B. C. D.
答案 D 如图，不妨设双曲线的方程为 (a,0，b,0)(
?B(0，b)，F(c,0)，渐近线为y,?x，
则k,,,， BF
由BF与渐近线垂直得:
k?k,,1，即,?,,1， BFl
2?b,ac，
22?c,ac,a,0，
2?e,e,1,0，
解得:e,或e, (舍)(
第12题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(浙江卷))
题目 设O为坐标原点，F，F是双曲线,1(a,0，b,0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足?FPF,60?，1212
|OP|,a，则该双曲线的渐近线方程为( )
A(x?y,0 B. x?y,0 C(x?y,0 D. x?y,0
222答案 D 在?中，4,||，||,2||?||?cos60?， PFFcPFPFPFPF121212
224c,(|PF|,|PF|)，|PF||PF|， 1212
2224,4，||||，所以||?||,4. caPFPFPFPFb1212
又S?PFF,|PF||PF|sin60? 1212
,||?||， FFy12P
所以|y|,，代入,1，得 P
2x,a，，由|OP|,a，知
222x，y,7a，a，，,7a，化简得b,a，故渐近线方程为x?y,0.
第13题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(浙江卷)) 题目 设F、F分别为双曲线,1(a,0，b,0)的左、右焦点(若在双曲线右支上存在点P，满足|PF|,|FF|，12212
且F到直线PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) 21
A(3x?4y,0 B(3x?5y,0 C(4x?3y,0 D(5x?4y,0 答案 C 由已知:|PF|,|FF|,2c， 212
F到直线PF的距离为2a，易求|PF|,4b. 211
由双曲线的定义|PF|,|PF|,2a， 12
?4b,2c,2a，即c,2b,a.
222又c,a，b，
?,2b,a，
整理得.
?双曲线的渐近线方程为y,?x，
即4x?3y,0.
第14题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(湖南卷))
题目 极坐标方程ρ,cosθ和参数方程 (t为参数)所表示的图形分别是( )
A(直线、直线 B(直线、圆 C(圆、圆 D(圆、直线
22答案 D ?ρ,cosθ，?x，y,x表示圆( ??y，x,1表示直线(
第15题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(湖南卷))
2题目 设抛物线y,8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A(4 B(6 C(8 D(12 答案 由题意知P到抛物线准线的距离为4,(,2),6， B
由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
第16题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(湖南卷))
题目 极坐标方程ρ,cosθ和参数方程 (t为参数)所表示的图形分别是( ) (圆、直线 B(直线、圆 A
C(圆、圆 D(直线、直线
22答案 A ?ρ,cosθ，?x，y,x表示圆(
?，?y，3x,,1表示直线(
第17题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(广东卷))
题目 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 答案 B 由2a,2b,2c成等差数列，
所以2b,a，c.
222又b,a,c，
222所以(a，c),4(a,c)(
所以a,c.
所以e,,.
第18题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷))
22题目 双曲线方程为x,2y,1，则它的右焦点坐标为( )
A((，0) B((，0) C((，0) D((，0)
2答案 C 双曲线方程化为标准式为x,,1，
22?a,1，b,.
222?c,a，b,.
?c,，故右焦点坐标为(，0)(
第19题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类(安徽卷)) 题目 设曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的方程为x,3y，2,0，则曲线C上到直线l距离
为的点的个数为( )
A(1 B(2 C(3 D(4
22答案 B 曲线的标准方程为(,2)，(，1),9，它表示以(2，,1)为圆心，半径为3的圆，其中圆心(2，,1)到直线Cxy
x,3y，2,0的距离d,且3,,，
故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点(
第20题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(山东卷))
2题目 已知抛物线y,2px(p,0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A(x,1 B(x,,1 C(x,2 D(x,,2
22答案 B 过焦点F(，0)且斜率为1的直线方程为y,x,，与抛物线方程联立可得y,2py,p,0，所以y，y,2p12,4.所以p,2，故准线方程为x,,1.
第21题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(江西卷))
2题目 函数y,sinx，sinx,1的值域为( )
A([,1,1] B([,，,1] C([,，1] D([,1，]
22答案 C 令t,sinx，则t?[,1,1]，y,t，t,1,(t，),，t?[,1,1]，?y?[,，1]( 第22题(2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(四川卷))
2题目 抛物线y,8x的焦点到准线的距离是( )
A(1 B(2 C(4 D(8
2答案 C 抛物线y,8x的焦点为(2,0)，准线为x,,2，所以焦点到准线的距离为4.
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