boy辛苦掏粪给EXO吃了
范文一：晶面间距计算公式
晶面间距计算公式
正交晶系
22222221/d=h/a+k/b+l/c 单斜晶系
222222222β 1/d={h/a+ksinβ/b+l/c,2hlcosβ/(ac)}/ sin
立方晶系
222d=a/(h+k+l)
六角晶系
四角晶系
单斜晶系
三斜晶系
If Φ is the angle between plane (h k l) and (hkl), then for 1112 2 2
Orthorhombic
222(hha)，(kkb)，(llc)121212cos,,1/21/2 222222,,,,hklhkl111222,,,,，，，，222222,,,,abcabc,,,,Tetragonal
22,,，，(hh，kk)a，ll/c121212cos,,1/21/2 222222,,,,h，klh，kl111222,,,,，)，)2222,,,,acac,,,,Cubic
hh，kk，ll121212 cos,,1/2222222,,，，，，h，k，lh，k，l111222
Hexagonal
1322hh，kk，hk，hK，acll，，，，121212211224cos,, 1/222，，,,,,3a3a222222,,,,h，k，hk，lh，k，hk，l,,111112222222,,,,44cc,,,,，，
VOLUME:
abcOrthorhombic: =
2ac Tetragonal: =
3aCubic: =
32acHexagonal: = 2
hcp transition between (UVW) and (uvtw) U=u-t, V=v-t, W=w
u=1/3(2U-V), v=1/3(2V-U), t= - (u+v), w=W.
范文二：晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a ，b ，c ，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a ，b ，c ，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算
不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl 为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离) 各不相同。总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子) 最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越
稀疏。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现
为各向异性。
简单立方点阵晶面间距
d 与点阵常数之间的关系：
。
面心立方晶体（FCC ）晶面间距与点阵常数a 之间的关系： 若h 、k 、l 均为奇数，则
；否则，
。
体心立方晶体（BCC ）晶面间距与点阵常数a 之间的关系： 若h+k+l=偶数，则
；否则，
范文三：立方晶格晶面间距的计算_屈盛(1)
2015，24（4）：346－348云南民族大学学报：自然科学版，
doi ：12．3969/j．issn．1672－8513．2015．04．019
CN 53－1192/NISSN 1672－8513
http ：//xb.ynni. edu. cn
立方晶格晶面间距的计算
屈
盛，杨留方，刘涵哲，马雄韬，王玉林
（云南民族大学电气信息工程学院，云南昆明650500）
摘要：为了纠正补充教材和文献中有关立方晶格晶面间距的计算方法，对已有晶面间距的计算方
并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法，最后利用这些方法分法进行深入地总结与讨论，
别计算了面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距，不同方法的计算结果完全一致，从而验证了
这些计算方法的正确性．
关键词：面心立方晶格；体心立方晶格；晶面间距中图分类号：O481文献标志码：A 文章编号：1672－8513（2015）04－0346－03晶面间距是固体物理学中的一个很重要的参数，研究晶体结构时往往会用到它．在《X 射线衍射《材料科学》分析》和的不少教材中常常采用下式来
［1－3］
：计算立方晶格的晶面间距a
d =．（1）
h +k +l a 为立方系晶胞（单胞）的边长（即晶格常式中，
d 为相应的晶数），而（hkl ）是晶面的密勒指数，面间距．在教学实践中常常看到，在计算简单立
（1）式是正确无误的，但方晶格的晶面间距时，
在计算面心立方（FCC ）晶格和体心立方（BCC ）（1）式所得出的结果有时晶格的晶面间距时，
利用（1）式计算FCC 晶格的是错误的．例如，
（100）面和（111）面的晶面间距时，所得的结果即（1）式可以得出（100）面分别为a 和a /的晶面间距大于（111）面的晶面间距的结论．FCC 晶格中（111）但由晶体学知识我们知道，
面为最密排面，其晶面间距应该是所有晶面族中最大的．（1）式计算所得的结果与这个常识
可见（1）式并不适用于FCC 晶格晶面相矛盾，
间距的计算．4］文献［中指出了上述矛盾和（1）式的局限性，
然而作者通过计算却得出FCC 晶格中（100）面和（111）面的晶面间距是相等的（均为a /）．这显然
（100）面和（111）面上因为FCC 晶格中，是错误的，
（111）面是最密排面，的原子排列情况并不相同，而
收稿日期：2014－11－05．
基金项目：云南民族大学教学质量工程基金（11601001067）
作者简介：屈盛（1976－），男，博士，讲师．主要研究方向：光伏科学与工程．
（100）面并不是最密排面，所以二者的晶面间距理
应是不相同的．鉴于教材和文献中对于晶面间距的计算（尤其是对于立方晶格的晶面间距的计算），过
本文对晶面间距的计算进行了深于笼统和不精确，
入的总结与讨论，并给出一种利用密度比来计算晶
面间距的方法，最后利用这些方法分别计算了FCC 晶格和BCC 晶格的晶面间距．如果不同方法的计算
则可以验证这些计算方法都是结果是完全相同的，正确的．
1
1. 1
晶面间距的传统计算方法
以原胞基矢描述的计算
在有关教材中，常常采用2种基本的重复单元
［5－6］
：一种是固体物来描述晶格的周期性和对称性
理学原胞，另一种是晶体学单胞（也称晶胞）．对于
原胞只在其顶角处存在原子，而晶布喇菲格子来说，
胞则在其顶角、面心、体心、底心处均可以存在原
［5－7］
．因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有简单子
布喇菲格子（例如简单立方、简单四方、简单正交等晶格）的晶胞才和它的原胞相同．参照文献中的习a 2为了便于区别，本文也将原胞的基矢记为a 1、惯，
和a 3，对应的晶面的参数记为（h 1h 2h 3），称之为面指b 和c ，数；而将晶胞的基矢记为a 、对应的晶面的参
［7］
数记为（hkl ），称之为密勒指数．利用倒格矢的性（h 1h 2h 3）晶面族的晶面间距可以由下质可以知道，式计算得到
［7－9］
：
d h 1h 2h 3=
2π．
K h 1h 2h 3
（2）
（5）式比（1）式更能准确地反映出立方显然，
（1）式只是（5）式在晶系（hkl ）晶面族的晶面间距，
（1）式只适合于计算简特定情况下的形式，或者说，
单立方晶格的晶面间距，这就是本文开始部分中所提到的矛盾所产生的原因．
（5）式简化为（1）式的晶面条需要指出的是，
件和面心（体心）立方晶格产生X 线的衍射的晶面条件相同，例如，计算面心立方（111）面的晶面间距
k 、l 均为奇数的条件，时，由于此时满足h 、故（5）式简化成了（1）式，而此时该结构的（111）晶面恰好
也是对X 线产生衍射的晶面．
***
K h 1h 2h 3=h 1a 1+h 2a 2+h 3a 3a *其中，为倒格矢，i （i
=1，2，3）为倒格子基矢．对于立方系布喇菲格子，由于a 1=a 2=a 3，故晶面间距可表示为：
d h 1h 2h 3=
a 1
1
+h +h
23
．（3）
实际工作中，常常用密勒指数（hkl ）来表征晶面，而不是用面指数（h 1h 2h 3）来表征晶面．由于晶b 、c 和原胞的基矢a 1、a 2、a 3并不一定全胞的基矢a 、同，因而对于同一族晶面，其密勒指数（hkl ）与面指而（hkl ）和（h 1h 2h 3）相数（h 1h 2h 3）并不一定相同，
［7］
（2）式和同，也并不一定表示同一晶面族．所以，
（3）式并没有直接给出以（hkl ）标记的晶面族的晶
2
2. 1
晶面间距的密度比的计算方法
密度比的计算方法
．因此，（2）式和（3）对于实际工作来说，
式的使用很有限，必须找出利用密勒指数（hkl ）来面间距
［8］表示的晶面间距d hkl 的公式．
1. 2以单胞（晶胞）基矢描述的计算
［7］
如果将晶格中单位面积内所包含的原子数目定
义为面密度σ，而将单位体积内所包含的原子数目定义为体密度ρ，则可以利用下式来计算晶格的晶面间距：
d hkl =
2. 2
σ．ρ
（6）
8］，根据文献［利用密勒指数（hkl ）表示的晶面
［8］
间距d hkl 的计算公式可以归纳为：
d hkl
12π=
αK hkl
．
（4）
FCC 和BCC 的晶面间距的计算
*
K hkl =h a *+k b *+l c *为倒格式，b *、其中，而a 、
图1给出FCC 和BCC 晶格的不同晶面上的原子
排布情况，表1则给出了对应的不同晶面上的三角形所含原子数目、计算得到的面密度、或四边形的面积、
晶格的体密度和按照（6）式计算得到的晶面间距．表1的最后一列还给出了由（5）式计算得到的结果．由
（6）式的计算结果和（5）式的计算结表1可以看到，
果完全一致，因此两式可以相互验证对方的正确性
．
c *为倒格子基矢，而α=1或者2，是与结构有关的
系数．
对于立方系布喇菲格子，由于a =b =c ，故晶面间距可表示为：
d hkl
1=α
a h +k +l ．
（5）
7－8］可知，由文献［对于简单立方晶格，α恒
k 、l 均为奇数时等于1；而对于面心立方晶格，当h 、α等于1，否则α等于2；对于体心立方晶格，当h +k
+l =偶数时α等于1；否则α等于2．也就是说，面心：立方晶格的晶面间距的计算公式为
a
d hkl =，h 、k 、l 均为奇数；
h +k +l d hkl =
12
a h +k +l ［7－10］
，其他情况．
而体心立方晶格的晶面间距的计算公
［7，10］
：式为
d hkl =d hkl
a +k +l a h +k +l ，h +k +l =偶数；，其他情况．
利用（6）式计算晶面间距时，应注意体密度和
面密度的计算要正确．计算体密度时往往取一个晶胞来计算．例如一个体心立方晶胞和一个面心立方
3
晶胞的体积均为a ，且分别含有2个原子和4个原
1
=2
子，因此体心立方晶格和面心立方晶格的体密度分
33
别为2/a和4/a．而计算面密度时则稍微复杂些．例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的（100）面的面积均为a 2，且分别含有1个原子和2个原子，如图1所示，因此，体心立方晶格和面心立方
22
晶格（100）面的面密度分别为1/a和2/a．故由（6）式计算得到的体心立方晶格和面心立方晶格（100）面的晶面间距均为a /2．
由上面的计算还可以知道，利用（6）式计算晶面间距比利用（5）式计算要复杂一些．但是（6）式没有使用条件，可以应用于任何一个晶面族的计算，而（5）
表1
结构
晶面（100）（110）（111）（100）（110）（111）
式应用于不同晶面族的计算时，系数α有所不同，如
果记不住其使用条件，那么有可能会计算错误．
3结语
文中的（1）式并不能正确地计算所有立方晶格
在计算面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距，
的晶面间距时，应该使用（5）式来计算或者采用本
（1）式只是（5）式在特文给出的（6）式来进行计算，
（5）式和定情况下的形式．从本文的例子可以看到，
（6）式的计算结果是一致的，它们可以相互验证对方的正确性．
利用密度比的方法来计算FCC 和BCC 的晶面间距时所得到的结果
所含原子数目222121/2
面密度2/a2/a24/（2）1/a2/a21/（2）
2/a34/a3体密度
按（6）式计算所得晶面间距
a /2a /（2）a /a /2a /a /（2）
按（5）式计算所得晶面间距
a /（2+0+0）=a /2a /（2+1+0）=a /（2a /+1+1=a /a /（2+0+0）=a /2a /+1+0=a /a /（2+1+1）=a /（2三角形或四边形的面积
a 222/2a 222/2面心立方
体心立方
参考文献：
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［2］陈建，M ］．北京：化学工严文，刘春霞．材料研究方法［
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J ］．物理通报，2012（2）：15－17．学的几个基本概念［
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1988：6－11．社，
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1980：13－31．学技术出版社，
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［8］冯家显．面间距公式的一点探讨［J ］．浙江师范大学学
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［9］冯双久，．大张晓红．有心立方晶格面间距的计算［J ］
2005，24（9）：33－34．学物理，
［10］宫秀敏，朱勇，周一志．关于FCC 和BCC 点阵晶面间
J ］．武汉工学院学报，1991，13（1）：距计算式的证明［51－57．
Calculation of theinterplanar spacing of cubic crystal lattices
QU Sheng ，YANG Liu-fang ，LIU Han-zhe ，MA Xiong-tao ，WANG Yu-lin
（School of Electrical and Information Engineering ，Yunnan Minzu University ，Kunming 650500，China ）
Abstract ：In order to improve the calculation of the interplanar spacing of cubic lattices in the textbooks and exist-ing literatures ，the paper discusses and summarizes the existing calculation methods forinterplanar spacing ，and pro-poses a calculation method based on the density ratio．Then ，theinterplanar spacing of the face －centered cubic lat-tice and the body －centered cubic lattice are calculated by these methods．The results of the different methods are the same ，which proves that all these calculation methods are correct．
Key words ：face-centered cubic （FCC ）lattice ；body-centered cubic （BCC ）lattice ；crystal interplanarspacing
（责任编辑
庄红林）
范文四：在立方晶系的晶胞图中画出以下晶面和晶向
1. 在立方晶系的晶胞图(图1)中画出以下晶面和晶向:(102)、(11)、(1)、
[110]、[11]、[10]和[21]。
图 1
2. Mark the indices of every crystallographic plane and orientation in the cubic unit cell
as shown in figure 2.
(a) (b)
图 2
3. 在六方晶胞图(图3)中画出以下晶面和晶向:(0001)、(010)、(110)、
(102)、(012)、[0001]、[010]、[110]、[011]和[011]。
图 3
4. 标注图中所示的六方晶胞中的各晶面及晶向指数。
(a) (b)
图 4
范文五：MATLAB在推导任意晶系晶面间夹角公式中的应用
基于MATLAB的通用晶面间夹角公式之推导与求解
刘 健
(广东科技学院，东莞，523083)
摘 要 充分利用倒易点阵基矢与正点阵基矢互为倒易的特点，推导出通用晶面间夹角求解公式。同时利
用MATLAB语言的核心-矩阵与数值计算编制了求解通用晶面间夹角的程序。并介绍了如何利用该程序求解
任意类型晶体的各晶面间夹角,再对程序求解的晶体的晶面间夹角进行了验证,证明该程序在晶体学研究中
有较好的应用价值。
关键词 晶面夹角，倒易点阵，MATLAB，向量
Derivation and solution of General Formula solving the angle between two crystal planes of arbitrary crystal systems based on MATLAB
Liu jian
(Guangdong university of science&technology, Dongguan , 52308) Abstract Make full use of the reciprocal lattice basis vectors and punctuality array vector
mutually reciprocal characteristics, deduces the general solution formula of crystal plane
angle, and, the use of MATLAB language core matrix and numerical calculation for solving
general crystal plane angle program, and introduces how to use the program to solve the
arbitrary type crystals crystal plane angle, then the procedure of solving crystal plane
angle was verified, it is shown that the program is in crystallographic studies have good
application value.
Kewords crystal plane angle , reciprocal lattice, MATLAB , vector
晶面与晶面在空间的几何关系是材料科学和晶体学等研究领域中的重要参数，其中晶面
间夹在许多实际应用，如晶体光学、晶体结构分析以及多晶体择优取向等方面都有广泛应用。
对于晶面夹角问题，几乎所有教材均只给出正交、立方、六方三种简单晶系的最后求解公式，
没有推导过程，对于其他晶系则几乎从未提及。因各大晶系晶格参数不同，其晶面间夹角公
式也不尽相同，如果每遇到一种晶系都去用不同的公式求解的话，则非常麻烦而且难于记忆。
如果有一个通用公式适合于任意晶系晶面间夹角的计算，显然会为晶体学研究领域带来前所
未有的好处。对于晶体学问题的求解通常局限于晶体投影法和用晶面与晶向指数表示的解析
[1]法。前者因涉及到球面投影、极射投影、乌氏网、极式网、标准投影等多方面晶体投影学
知识，当遇到高指数晶面时，不但操作过程比较复杂，而且其结果准确性较差。绝大多数教
材与资料都采取解析法，并且都引进倒易点阵的概念，但因其涉及到倒易矢量相乘等计算，
[2]实际求解很不方便而且过程特别复杂，所以往往只给出最后结果，并无完整的推导过程。
[3]对此，文献用C语言编写了任意晶系晶面间夹角的计算程序，但并没有给出具体公式，也
没有推导过程，而且该程序比较复杂。有鉴于此，笔者充分利用倒易点阵基矢与正点阵基矢
互为倒易的特点推导出该通用公式，并用MATLAB语言编写了相应的计算程序。
1( 任意晶系晶面间夹角通用公式的推导
晶面间夹角指的是两晶面矢间的交角，在晶体学中通常用两晶面法向(一般用晶向代表)
间的交角来表示。设任意两晶面(h1 k1 l1) (h2 k2 l2) ，正点阵基矢为 a 、b、 c ，倒易
点阵基矢为 a,、 b,、 c,,两晶面对应的倒易点阵为g1, 、g2, 。
[1] 建立晶轴矢量
设有任一晶体坐标系，其晶格参数为a、b、c、α、β、γ，三晶轴与直角坐标系按图
1 刘健，男，1978年12月，硕士研究生
1所示安置。令三轴矢量依次为a=(Xa Ya Za) b=(Xb Yb Zb) c=(Xc Yc Zc) 显然有a=(a 0 0) b=(bcosγ bsinγ 0) Xc=ccosβ 对于Yc由b? c=bccosα以及b? c=XbXc+YbYc+ZbZc
2221/2 = bccosγcosβ+bYcsinγ可以解得 Yc=c(cosα-cosβcosγ)/sinγ Zc=(c-Xc-Yc)22221/2=c[bsinγsinβ-(cosα-cosβcosγ)]
axayazax00
bxbybz[2] 利用倒易点阵的性质求解出晶胞的体积 v= ?(aΧb)?c?==bxby0
cxcyczcxcycz[3] 再次利用倒易点阵基矢与正点阵基矢互为倒易的特点求出倒易基矢的向量值:
Z
c
βα
YO
X
γa
b
图1 晶轴坐标与直角坐标的转换
Figure 1 axial coordinate and Cartesian coordinate conversion
ijkax00ijkax00
bxbybzbxby0cxcyczbxby0a,= (b×c)/v =? b,=(c×a)/v=?
cxcyczcxcyczaxayazcxcycz
ijkax00
axayazbxby0c,=(a×b)/v=?
bxbybzcxcycz
[4] 用向量表示出代表两法线的晶向 :
g1= h1a,+k1b,+l1c,
ijkax00ijkax00ijkax00
bxbybzbxby0cxcyczbxby0axayazbxby0 =h1?+k1?+l1?
cxcyczcxcyczaxayazcxcyczbxbybzcxcyczg2= h2a,+k2b,+l2c,
ijkax00ijkax00ijkax00
bxbybzbxby0cxcyczbxby0axayazbxby0=h2?+k2?+l2 ?
cxcyczcxcyczaxayazcxcyczbxbybzcxcycz
[4][5] 再利用两向量夹角余弦公式就可以求出所求交角的余弦值:
2 刘健，男，1978年12月，硕士研究生
cosφ=(g1?g2)/(|g1||g2|)
2、MATLAB求解
以上方法充分体现了倒易矢量在晶体学中的应用，但计算过程比较复杂，如果充分利用
[5]MATLAB语言的核心- 矩阵计算，则可大大简化计算过程。下面即为用MATLAB语言以M函 数文件形式编写的程序:
Function[G]=jiajiao(a,b,c,o,p,q,h1,k1,l1,h2,k2,l2)
Xa=a; /*将已知数代入求得各矢量坐标值
Xb=b*cos((q/180)*pi);
Xc=c*cos((p/180)*pi);
Yb=b*sin((q/180)*pi);
Yc=(c*b*cos((o/180)*pi)-Xb*Xc)/Yb; Zc=sqrt(c.^2-Xc.^2-Yc.^2);
v=det([Xa 0 0;Xb Yb 0;Xc Yc Zc]);/* 求解晶胞的体积
t1=chacheng(Xb,Yb,0,Xc,Yc,Zc)/v ; /* 利用叉乘法求出三倒易基矢的向量值 t2=chacheng(Xc,Yc,Zc,Xa,0,0)/v; t3=chacheng(Xa,0,0,Xb,Yb,0)/v;
g1=h1*t1+k1*t2+l1*t3; /* 用向量表示出代表两法线的晶向
g2=(h2*t1+k2*t2+l2*t3);
M=g1*g2';/*两向量的点乘
N=sqrt(((g1(1,1).^2+g1(1,2).^2+g1(1,3).^2)*(g2(1,1).^2+g2(1,2).^2+g2(1,3).^2)))
G=((acos(M/N))/pi)*180;/* 利用两向量夹角余弦公式求所求交角的余弦值 function[t]=chacheng(A1, B1, C1, A2, B2, C2)/* 利用函数嵌套将叉乘计算单独编成一 t=[B1*C2-C1*B2 C1*A2-A1*C2 A1*B2-B1*A2]; 个子函数，然后主函数调用它来求解
b×c、c×a、a×b
下面是经过调试的例子:
[G]=jiajiao(1,1,1,90,90,90,1,0,0,1,-1,0)
G =
45.0000
[G]=jiajiao(3.2088,3.2088,5.2095,90,90,120,1,1,0,1,0,1)
G =
40.1722
3(结论
本文首先推导出求解任意晶系晶面夹角的通用公式，然后用MATLAB编写了相应的程序，简单易懂。求解不同晶系晶面夹角时，只要将对应的数据代替程序中的参数输入即可马上得到结果。尽管例子相对简单,但我们仍可从中领悟到通用公式的强大功能以及MATLAB在具体求解过程中的独特魅力。
3 刘健，男，1978年12月，硕士研究生
参 考 文 献
[1] 潘金生，仝健民，田民波，材料科学基础，清华大学出版社，北京，1998 [2] 李树堂，金属X射线衍射与电子显微分析技术，冶金工业出版社，北京，1980 [3] 余永宁，金属学原理，冶金工业出版社，北京，2000
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4 刘健，男，1978年12月，硕士研究生
