上硬下软双层地基的非线性沉降

范文一：上硬下软双层地基的非线性沉降分析

第30卷第1期三峡大学学报(自然科学版) V01(30 No(1 of China Three Feb(2008 J 2008年2月Gorges Univ((Natural Sciences)

上硬下软双层地基的非线性沉降分析

李仁平 (三峡大学土木水电学院，湖北宜昌443002) 摘要:以秦皇岛地区地基条件为例，根据当地软土及砂土的载荷试验结果确定出各自的修正切线

模量方程，然后按修正切线模量沉降计算法分析了上硬下软双层地基中条形基础的非线性沉降特

性，最后对双层地基中条形基础的沉降变形控制设计方法进行了探讨(分析结果表明:硬土持力层

及下卧软土层厚度、基础宽度对双层地基的沉降变形特性有显著影响，硬土持力层厚度增加会大

幅增加地基的承载力，而软土厚度变化对承载力的影响不明显(与采用压缩模量的修正分层总和法相比，采用修正切线模量法得到的计算结果更加准确(

关键词:软土; 双层地基; 载荷试验; 修正切线模量; 条形基础; 变形控制设计

文献标识码:A 文章编号:1672-948X(2008)01—0072—04 中图分类号:TU470

of Nonlinear Settlement Foundation Analysis Two—layer

with Firm Stratum and Soft SublayerBearing

Li Renping

Three of (College Civil&Hydropower Engineering，China Gorges Univ(，Yichang 443002，China) Abstract Correction and soft soil of sand were established tangent modulus(CTM)equations layers according to their area(Nonlinear settlement characteristics of tests(PLT)in plate loading Qinhuangdao strip footing stratum and were on foundation with firm soft their of twO—layer bearing sublayer parameters analyzed using

method settlement foundation was the of of on CTM;and design controlling strip footing two-layer The result showed that the settlement characteristic of foundation effected are analytical discussed( ness of hard soft soil and width of thick— strip footing(The bearing stratum，underlying obviously by hard of bearing stratum effects the foundation a the thickness of thickness lot;while capacity bearing

soft soil effects a lit— result calculated with CTM method is more accurate tle(By comparison，the underlying than the modified sum— marion method with modulus( compressibility layerwise

soft modulus; foot- test;correction Keywords soil;two-layer foundation，plate loading strip tangent

of settlementing;design controlling

软土在我国广大沿海及三角洲冲积平原地区广载力计算基底尺寸，并对软弱下卧层进行承载力验算

及地基的变形验算(对于人工双层地基，则需要确定泛分布，在软土的最上层常形成硬壳层，当硬壳层厚

度大于1(5 m时一般可作为低层或多层建筑物的地垫层的厚度和宽度( 基持力层;在无硬壳层或硬壳层

按地基承载力设计基础的本质是将地基的变形厚度不足时设计人员控制在线弹性变形范围以内(对于上硬下软的双层地常采用换填垫层等处理方法在地基上部人为制造一基，在进行浅基础设计时，地基承载力容易满足设计个“硬壳层”，形成人工双层地基(这二类双层地基都要求，但下卧软土层可能会产生较大的沉降或差异沉具有上硬下软的特点，设计时一般按上部硬土层的承收稿日期:2007—10—31 通讯作者:李仁平(1965一)，男，副教授，高级工程师，博士，主要研究方向为岩土工程(

万方数据

73第30卷第1期李仁平上硬下软双层地基的jE线性沉降分析降，因此，采用按变形控制的设计方法是非常必要的( (3)As=P:警

变形控制设计需要有准确可靠的沉降分析方法

式(3)中的P。是依据弹性理论公式计算得到的，土体做保证(Bowles认为[1】，基础的实际沉降量与设计人

是一种由土颗粒、水、气组成的分散介质体系，与弹性员的计算数值完全吻合的情况是十分罕见的，沉降

介质有很大差异，此外基础形状、埋深及土层性质等 ?H的实测值与计算值的比值一般在0(5,2(0范围

因素也会对地基中的应力分布P:产生影响，为了考内变化，目前的算法一直在致力于缩小上述范围以使虑这些影响，在式(3)中引入一个附加应力修正系数得大多数比值位于0(8,1(2之间(地基沉降分析中 p对P:进行修正: 数，二是获得荷载作用下可靠的应存在二个主要问题需要解决:一是获得可靠的变形参 (4)力分布(现有的沉A炉肋。譬,(卜卢幼z)2 一P:，Ah 降计算方法如我国的地基规范法，是按照压缩模量指其中: 标及Boussinesq弹性应力解计算地基沉降，然后采

用经验系数对计算结果进行修正(压缩模量是依据钻孔取样由室内试验确定的，由于在取样、运输

E!tp :pE坠掣:姐掣(5)及试验

过程中土样受扰动影响，试验结果离散性较大，导致式中，E 7。称为修正切线模量;E;=a,d称为初始切线

模量;d为承压板的直径或边长(0跟压板形状及土该参数可靠性较差;Boussinesq应力解是依据弹性体假定推求得到的，土体具有非线性非均质性，因此按体泊松比I-t有关，对于方形压板，n一 Boussinesq弹性应力解计算得到的应力分布与实际岸2)，对圆形压板理论上有0(886d(1一情况有偏差( 者通过大量试算发现采用n一0(785d(1+岸2)计0—0(785d(1一户2)(但笔载荷试验一直被认为是最可靠的现场原位试验，算，能够得到与试验曲线更加吻合的结果，修正系数p可因以根据末级荷载(或其它某一级荷载)下的沉降计算此依据载荷试验确定的变形参数是最可靠的(根据

载荷试验可以确定地基土体的变形模量、弦线模值与试验值相等为条件计算得到(量[2]、切线模量[3]或修正切线模量，修正切线模量是根附加应力分布P:采用Boussineq弹性体应力解

的修据载荷试验曲线反求得到的，考虑了对弹性应力解原始积分公式直接求解，假设地基压缩层共分扎层，正( 各分层厚度为Ah;，分层中间点附加应力为Pd，修正

目前对于上硬下软双层地基研究较少，其研究主切线模量为E7。，则地基总的沉降计算公式为

要集中在双层地基的极限承载力方面[4-53(以秦皇岛A 广hl(6) 沪??&=?下pd 市区地基地层条件[6]为例，用修正切线模量法分析了

双层地基的沉降特性，并对按变形控制设计条形基础在分层总和法中，分层厚度和压缩层厚度取值会影响的方法做了初步探讨( 沉降计算结果的精度(由于采用原始积分公式计算附

加应力分布，分层厚度及压缩层厚度可以不受限制，

In，而压缩层厚度取l 本文以下的算例分层厚度取0(1 修正切线模置及沉降计算公式 5倍的基础宽度( 正常的载荷试验少s曲线可以用

笔者采用上述方法计算不同土类不同尺寸压板双曲线来拟在各级荷载下的沉降值，得到的荷载沉降曲线与试验合‘71，其方程为曲线完全吻合，见图1( a)P 2南式中，口、b为双曲线拟合参数，当s—o。时，得到最大旨吕世破坏荷载户f=1,b(假定地基极限承载力为P。，且P。, 好似pt=bp。一Rr，Rr称为破坏比(相应的切线模量方程为嚣蟠幽 E一“1一?2)警=“1叫 )掣(2) 假设地基深度z处计算得到的地基附加应力为

相应的切线模量为E，在z处上下各取分P:，层土厚度 ?^的一半，该分层土在附加应力作用下产生的压缩图l 不同尺寸压板载荷试验拟合沉降曲线

及计算p-s曲线的比较变形舢为

万方数据

74 三峡大学学报(自然科学版) 2008年2月各载荷试验的附加应力修正系数』9介于0(85,

0(95之间(而采用切线模量法得到的计算沉降总是偏大的，偏

昌大程度随压力的增加而增加[8]( 昌

盘我国的地基规范法是以压缩模量E。作为变形参赔锻数计算地基最终沉降，并采用沉降经验系数识进行艟蜷修正，计算公式如下: 硝

(7) 5一乒。?As;=妒。?1p=A— hl一s‘f—l i=1 式中沉降经验系数以的取值范围在0(2,1(4之间( 压力,kPa 图2软土载荷试验曲线及计算沉降曲线 2双层地基的沉降分析正切线模量方程

E7。=36(35×(1—0(004 0p:)2，卢一0(910(8)2(1地基地层条件 X(1—0(003 E7。=19(41 5p:)2，p=0(905(9)秦皇岛滨海一带分布着范围较大的饱和软土[6]，利用上述修正切线模量按分层总和法计算各级上部硬壳层为中砂，厚度2(0,6(5 m，下卧软土层为荷载下压板的沉降，由图2可以看出，计算得到的沉粉质粘土，厚度为2(0,5(0 m，其下为厚度不小于10 降曲线与圆形压板试验拟合曲线完全吻合，说明上述 m的粗砂砾(该地区建筑(普通住宅楼6+1层)多采修正切线模量方程能够精确描述软土的非线性变形用条形基础或十字交叉梁基础，当地建筑调查资料显特性，并能够对压板加载至极限状态的全过程进行精 mm，但在示:建筑建成初期的沉降量一般为40,60确分析(若采用变形模量或压缩模量计算，其沉降曲建成使用后不久，就发现沉降变形有明显增加现象，线为直线，无法得到与试验拟合曲线相吻合的结果( 有时多达90,100mm(地基不均匀沉降引发了不少由于缺少硬土层中砂及粗砂砾的载荷试验资料，建筑工程质量事故，包括建筑物裂缝、基础连续梁断笔者选择秦皇岛市境内某公路浅层中粗砂路基的载裂等，给基础设计人员带来恐惧，说明按传统的设计m×0(5荷试验资料凹1进行分析(载荷板尺寸为0(5 方法设计该类基础存在隐患(该文采用修正切线模量kPa，m，载荷试验得到地基土的承载力特征值为325 法对该地区的地基沉降进行分析( 对应的地基沉降为7 mm，极限承载力为650 kPa，对文献E6]对该软土进行了载荷试验、静力触探试应的地基沉降为30 mm(采用二点双曲线拟合法可得验及室内压缩试验的对比分析，试验结果见表1( 到如图3所示砂土的载荷试验曲线(袭1 土样的基本性质指标统计裹

昌皇世 js 馊嚣蜷出注:周结试验压力为lOO,200kPa(

平板载荷试验共9组，试坑深度均为2(5 m，宽

m，压板为刚性圆形承压板，面积为0(5 m2(钻孔取3 样及静力触探试验均在附近进行，根据试验结果，对应

190 kPa压力，地基沉降量为50(18,57(32 mm，试验图3砂土载荷试验曲线及计算沉降曲线得出的软土极限承载力为165 kPa，相应的承载力特征按同样方法求得砂土的修正切线模量方程为

值取82(5 kPa，对应沉降量为5(52,9(70 mm(由 E。=32(71×(1一O(000 97p:)2，卢一于软土地基载荷试验数据可以用双曲线进行很好的从图3可以看出，用上述修正切线0(904(10) 得到方形压板的沉降曲线与试验拟合拟合，因此对上述试验数据采用二点双曲线拟合法即模量方程计算 2(2地基附加应力计算可确定出软土地基载荷试验曲线，见图2(曲线完全吻合( 取极限荷载下的沉降计算值与试验值相等为条地基附加应力分布按照条形基础作用均布荷载

时的情况计算，假定条形基础宽度为B，且有z,B件可确定出附加应力修正系数p，计算得到软土的修

一

万方数据

75 李仁平上硬下软双层地基的非线性沉降分析第30卷第1期 m，根据Boussinesq应力解求得条形基础中点下深度中几种地层组合情况地基的极限承载力在330-'一

kPa间( 640 z的附加应力P。为可以看出，双层地基的地基极限承载力的大小与户;=针2arctan去+赢驾锌‰], p。软硬土层的厚度有关，其中软土层厚度变化对极限承‘ (11) 载力影响较小( 2(3沉降计算与分析 2(4沉降变形控制设计方法探讨当地通常采用的

条形基础宽度B为2(0,2(4根据地层条件调整基础尺寸或基底压力，使基础m，基础埋深按0(5 m考虑，持力层厚度等于硬土层沉降处处相等，或保证基础差异沉降近似为零，即可 m，下卧软实现以沉降变形控制为目标的基础设计( 厚度减去基础埋深，硬土持力层厚度M为1(5,6(0 m( 土层厚度N为2(0---5(0 假定某建筑场地存在图4所示的4种地层条件，双层地基在进行基础设计时需对软弱下卧层进基础采用条形基础型式，且每延米长度条基需要承担

行承载力验算，要求基础传递到下卧软弱层顶面处的的荷载P为400 kN，现要求将沉降控制在40,

下卧层附加应力与硬土持力层的自重应力之和不超过软弱 mm，试确定不同地层条件的场地条基宽度( 60 图5表示地基在上述4种地层条件下根据修的承载力(根据软土地基承载力特征值82(5kPa可反算出2(0 m宽条基的基底设计压力为163 切线模量法计算得到的条基宽度与沉降的关系曲正 kPa(采用压缩模 kPa，2(4m宽条基的基底压力为151 可以看出，条基宽度增加到一定的程度，土质条线， mm，显然偏大( 量按规范法计算得到沉降均超过120 好，增加基础宽度对于减小沉降的作用效果越件越不明图4表示不同基础宽度及不同地层条件下根据显，因此在设计时应尽量采用小宽度条基以降低基础 mm造价(根据该图曲线，当基础设计沉降控制在40 修正切线模量法计算得到的基础沉降曲线，软土及硬

土的修正切线模量分别取式(9)及(10)计算，分析该 ITI、时，4种地层条件应采用的条基宽度分别为1(50 图，可得到如下结论: 1(70 ITI、2(70 In及3(30 rn，而当基础设计沉降控制在

60mm时，3种地层条件应采用的条基宽度分别为

0(82m、0(85m、1(28121及1(50in，其基础宽度大大减

小，因此，容许基础有较大的沉降变形能够大幅减小基量条基宽度，大大降低基础工程造价，这也正是采用沉盘婚首降变形控制设计方法的价值所在( 醐昌暑逝好删图4不同宽度条形基础沉降曲线殛酋 (1)相同基底压力下基础宽度越大，发生的沉降 :目 {l越大(

(2)硬土持力层厚度越大，基础沉降越小;与硬土

相比，软土层厚度变化对基础沉降影响较小(

(3)考虑硬土层厚度M=1(5 m，软土厚度N一图5不同地层条件下条基宽度与沉降关系曲线4(0 m的情况，2(0 m及2(4 m宽条基在基底压力163 对于没有硬土持力层可以利用的软土地基，采用kPa和151 kPa对应的沉降均为40 mm;根据当地建换填垫层设计可以达到同样的效果，参照上述方法可筑调查资料，其建筑竣工初期沉降一般在40,60 以确定出合理的垫层厚度及基础尺寸( ITlm，如考虑相邻基础荷载的应力叠加作用，其沉降计算值会跟实际沉降值很吻合( (4)采用修正切线模量可以计算出基础加载3 结论至极限状态的全过程沉降，因此根据沉降曲线可以确定出

(1)采用修正切线模量计算压板沉降能够得到与不同基础宽度及不同地层条件下地基的极限承载力(

载荷试验曲线完全吻合的结果， (下转第83页)如取300 mm作为地基极限承载力下的沉降值，则图

万方数据

第30卷第1期83李运江等 Rosenbrock函数全局最大值的免疫算法求解

Immune D(Artificial 口工业出版社，1999，12:73-78( ] Dasgupta and Their Systems Ap- plieations[M](Berlin Heidelberg:Springer-Verlang， [10]黄文华，王仁明(用遗传算法求解全系数模糊证券投资

1999( 组合模型[J](三峡大学学报:自然科学版(2006，28(2):

190—192(K ] 储理才(基于Matlab的遗传算法程序设计及TSP问题

求解FJ](集美大学学报:自然科学版，2001，6(1);14—19( [11]刘好斌，王浚岭(互补问题的几种可行内点算法的计算口 ] 殷铭(张兴华，戴先中(基于Matlab的遗传算法实现机实现[J](三峡大学学报:自然科学版，2007，29(4):

[J](电子技术应用，2000(1):9-11( 375-378(

凹 ] 陈丽安，张培铭(免疫遗传算法在Matlab环境中的实现 [责任编辑周文凯]

[J](福州大学学报，2004。32(5);555—559(

周 D] 明，孙叔栋(遗传算法原理及应用[M](北京:国防

(上接第75页) Bowles E(Foundation and 口 ] J 说明修正切线模量能够精确描述地基的非线性变形 Design，5th[M]( Analysis China Press。2004(Architecture,Building 特征，是一种理想的变形参数，可用于地基加载至极

口 ] 焦五一(地基变形的新参数一弦线模量的原理和应用限状态的全过程分析( [J](水文地质与工程地质，1982(1)t30-33( (2)算例计算得到的附加应力修正系数在0(90 I竺] I 杨光华(地基非线性沉降计算的原状土切线模量法[J]( tO(91之间，说明软土及砂土层根据Boussinesq弹岩土工程学报，2006，28(11):1927-1931( 性应力解求得的应力分布较实际应力偏大约10,(of Radoslaw L，Lei Over卧 ] S(Bearing Capacity Footings (3)对于上硬下软的双层地基，硬土层的存在能Soils of GeotechniealTwo-Layer Foundation[J](Journal 显著地增加地基的承载力，硬土层厚度越大，相应的 and Geoenvironmental Engineering，ASCE，1995，121

地基承载力越大，而软土层厚度变化对地基承载力的 (5):421-428(ofShiau J A V，Sloan S 影响较小( 口 ] S，Lyamin W(Bearing Capacity

Sand Finite Element Limit a Analysis[J](Ca- (4)增加条基宽度能够减少地基沉降，但增加到 Layer by nadian Geotechnieal Journal，2003(40):900-一定程度，增加基础宽度对于减小沉降的效果不明 915( 王风江(秦皇岛滨海饱和软土的试验研究[J](岩石力邸 ] 显，特别是对于土质条件较好的情况(

学与工程学报，2005，24(2):5880-5884( (5)采用变形控制修正切线模量法设计基础，可口 ] 谢树彬(姬安宁，廖胜贤(用双曲线模拟载荷试验曲线使基础差异沉降为零或足够小，从而避免地基不均匀方法探讨口](岩土工程学报，1999，21(6)1707-710( 沉降(I竺 ] I李仁平(对。地基非线性沉降计算的原状土切线模量 (6)与采用压缩模量的修正分层总和法相比，采法”的讨论[J](岩土工程学报，2007，29(7):1108—1109(

用修正切线模量法得到的计算结果更加准确( 凹 ] 赵海辉，刘小川(重型动力触探仪检测中粗砂地基承载 ‘力的探讨[J](公路。2002(9):99-100(

参考文献: [责任编辑王康平]

万方数据

范文二：上硬下软型地基强度和变形特性研究

第 29卷第 6期

V ol. 29N o. 62008青岛理工大学学报 Journal of Qingdao T echnological University

上硬下软型地基强度和变形特性研究

刘秀军

(中国石油大学 (华东 ) 规划建设办公室 , 青岛 266555)

摘要 :通过对工程实例的有限元分析 , 研究了有软弱下卧层的双层体系地基的应力和变形特性 . 计算结果表

明 , 地基中塑性区首先出现在交界面处的上层土中 ; 随着荷载的增加 , 塑性区向交界面处上下土层均有扩展 ;

由于下层土较软 , 塑性区扩展较快 , 最后当塑性区到达基础底面时 , 地基达到极限承载力 . 为区域性多层建筑

基础设计中更好的把握软土强度和变形特性提供一种有效的分析方法 , 对特定条件下的地基评价具有理论

和现实意义 .

关键词 :双层地基 ; 有限元 ; M ohr -Coulo mb; 沉降

中图分类号 :T U 471. 4 文献标志码 :A 文章编号 :1673) 4602(2008) 06) 0037) 05

收稿日期 :2008) 09) 02

作者简介 :刘秀军 (1968- ) , 男 , 山东海阳人 . 工程师 , 研究方向 :工程造价、工程施工、地基基础、工程测量 . E -mail:Liuxj @upc. edu. cn. Strength and Stability Analysis of the Double -Layer

Subgrade with Rigid Upper and Soft Lower

LIU Xiu -jun

(Planning and Co nstr uction Administr ative O ffice, China U niversity o f Petro leum(East China) , Qing dao 266555, China)

Abstract:In this paper, the stress and defo rmation proper ties o f a double -layer subgrade

w ith a so ft under lay er ar e studied in terms of FEM. T he r esults indicate that the plastic

zone of subg rade appear s in the upper layer soil of the interface, and then, it expands to the

interface and both upper and low er layer w ith the increase of lo ad, as the low er layer soil is

so ft, the plastic zone expands rapidly. Finally, w hen the plastic zone reaches the foundation

botto m, the subgr ade reaches its ultim ate bearing capacity. A cco rding to the fo undation de -

sign for the r eg io nal m ult-i storey building s, this research pro vides an effective analytical

metho d for a better understanding to the soft soil strength and defor mation characteristics.

The r esults serv e the engineering design as references.

Key words:do uble -layer subg rade; FEM ; M ohr -Coulom b model; settlem ent

0 引言

冲积成因的软土地区 , 上硬下软的土层组合是极为常见的地基类型之一 . /宽基浅埋 0在充分利用天然地基土强度的同时 , 也存在着产生较大沉降的隐患 , 特别是 , 当软弱土层位于地基主要受力层范围内时 , 情况更是如此 . 在工程实践中认识到 , 存在着软弱下卧层的双层体系的地基强度 , 不仅取决于上部土层 (持力层 ) 的强度 , 而且受到下部软弱层的应力应变特性的影响和控制 [1-4]. 针对上述问题 , 笔者利用大型有限元

青岛理工大学学报第 29卷程序 Abaqus 对这一类地基进行了弹塑性分析 , 研究了荷载作用下该类地基中塑性区的产生和发展规律 . 1基本理论

1. 1双层地基承载力计算方法

双层地基是层状地基的一种特例 , 对于层状地基 , 当各层地基土的强度相差不太悬殊时 , 先按式 (1) 近似确定持力层的最大剪切深度 z max , 即

z max =K B (1) 式中 :B 为基础宽度 , m ; K 为系数 , 012[K [2, 根据各土层平均内摩擦角和荷载倾斜角查表确定 .

其次 , 按式 (2) 计算持力层范围内土性指标 C 、 c 、 U 的加权平均值 , 即

y = E n

i=1

y i h i

z max

(2)

式中 :

y 为地基土性质指标 (C 、 c 、 U ) 的加权平均值 , m ; n 为 z max 范围内土层数 ; y i 和 h i 分别为各层地基土的性质指标 (C 、 c 、 U ) 和厚度 , m.

最后 , 用 z max 范围内地基土性质指标的加权平均值 C 、 c 和 U 计算确定层状地基的承载力 .

对于坚实土层下部埋藏软弱土层的情况 , 当基底下部土层厚度与基础宽度之比较小时 , 此时在上部土层中将发生冲剪破坏 , 在下部土层中将发生整体剪切破坏 , 层状地基的承载力则由上、下部土层联合给出 [5].

1. 2Mohr -Coulomb (莫尔 -库仑 ) 屈服准则

Mohr -Coulomb 屈服准则能较好的描述土、岩石等材料的破坏行为 , 在岩土工程领域得到了广泛的应用 , 土力学中的边坡稳定、土压力和地基承载力这三大经典问题都直接或间接地借助这一准则 . 同时 , 该准则能反映岩土类材料的抗拉、抗压强度不同的 SD 效应和对静水压的敏感性 [6].

莫尔 -库仑失效模型建立在绘制摩尔圆的基础上 , 破坏线是一条直线并且与摩尔圆相切 . 莫尔 -库仑模型可以定义为 :

S =c -R tan <(3) 其中="" ,="" 规定="" r="" 在压缩的情况下为正值="" .="" 对于摩尔圆="" ,="" 有="">

S =s cos <(4) r="R" m="" +s="" sin=""><(5) 由式="" (3)="" )="" 式="" (5)="" 可得="">

s +R m sin <-c cos=""><>

式中 :s =13 2 ; R m =13 2 .

2算例分析

2. 1有限压缩层地基模型

土体颗粒在沉积过程中的取向决定了土体在水平与竖向性质的不同 , 呈各向异性 . 但在每一层土体中 , 这种竖向不均匀性比各层之间的差异要小得多 , 为了计算的简便可假定土体在每一层中各向同性 . 对土来说 , 只能近似假定 , 土是松散的颗粒体 , 不能承受拉力 . 它在受压后 , 变形是由弹性变形和塑性变形组成的 , 并且塑性变形大于弹性变形 . 按地基的工作条件 , 主要是加载 , 通常总是受压的 , 同时 , 在基础的设计中 , 地基的承载力是有限制的 , 塑性变形只能在很小的范围内发生 [7].

2. 2计算模型的建立

研究对象为上硬下软型双层地基 , 各层的计算参数如图 1所示 , 上层土厚度为 z =0172m. 利用对称性只取模型的一半来计算 , 基础长 B =1144m , 计算模型的宽度和高度取 712m.

2. 3弹性分析

计算参数如下 :E 1=9819kPa, L 1=0135, k 01=0153; E 2=940kPa, L 2=014, k 02=0133.

第 6期刘秀军 :

上硬下软型地基强度和变形特性研究图 1 地基计算模型由有限元算得基础中心点下地基土的最大沉

降为 01146m . 根据地基土的变形模量 , 可利用

式 (7) 和式 (8) 求得两层土的压缩模量 :

E s1=E 1/k 01=9819/0153=18526kPa (7)

E s2=E 2/k 02=940/0133=2848kPa (8)

地基的最终变形量 s 按 5建筑地基基础设计

规范 6(GB 5007-2002) 中给出的公式计算 , 即 :

s =W s

E n

i=10E s i

(z i A i -z i-1 A i-1) (9) 式中 :W s 为沉降计算经验系数 , 取为 114; p 0为基础底面附加压力 , 取为 100kPa; E s i 为第 i 层土的压缩模量 ; z i 为基础底面至第 i 层土底面的距离 ; A i 为第 i 层土的平均附加应力系数 , 可按 5建筑地基基础设计规范 6(GB 5007-2002) 附录 K 中查取 .

取 n =2, 按照式 (9) 即可计算出基础中心点的沉降量 s =01129m.

矩形均布载荷作用下土中竖向附加应力 s z 的计算公式为 :

s z =k z p 0

(10)

式中 :k z 为附加应力系数 ; p 0为基础底面附加压力 , 取为 100

kPa.

图 2 地基沉降分布云图根据式 (10) 可以求得双层地基分界面中点

的最大附加应力 . 双层地基力学性质参数 v =

1E 2221-L 1=940@21-0135=10, 而 B /2

=0172=1, 查 5建筑地基基础设计规范 6

(GB 5007-2002) 可得分界面中点最大附加应力

系数 k z =0158, 所以 s z =0158@100=58kPa,

有限元计算值为 591521kPa, 计算值和精确解

相近 .

根据图 1所示的地基计算模型 , 利用大型

有限元程序 Abaqus 计算得到图 2) 图 4所示

的分布云图 , 由分布云图可以看出 :在沿基底中心点 z 向 , 水平应力的分布在两层地基交界面处发生显著变化 , 上层土水平应力为拉应力 , 而下层土水平应力变为压应力 ; 竖向应力在上层土中变化坡度较陡 , 而在下层土中变化坡度较为平缓 , 可看出在两层地基交界面处应力出现扩散现象

. 39

青岛理工大学学报第 29卷

2. 4 弹 -塑性分析

弹 -塑性分析采用的地基模型和计算模型见图 5和图 6, 计算参数如下 :D f =115m , Z =0172m; E 1

=9819kPa, L 1=0135, C 1=18kN/m 3, c 1=2912kPa, U 1=14b ; E 2=940kPa, L 2=014, C 2=18kN/m 3,

c 2=7kPa, U 2=13b

采用 Mo hr -Coulomb 屈服准则 , 经过有限元运算得到 :当基底压力接近 52kPa 时 , 地基土出现塑性的临界状态 , 当基底压力大于 66kPa 时 , 计算结果开始不收敛

当基底压力为 25kPa 时塑性区开始出现 , 如图 7所示 , 随着基底压力的增大 , 塑性逐渐增大 . 图 8和图 9分别为基底压力为 50kPa 和 60kPa 时地基的塑性区分布图 , 可以发现 :地基中塑性区首先出现在交界面处的上层土中 (硬土层 ) ; 随着荷载的增加 , 塑性区向交界面处上下土层均有扩展 ; 由于下层土较软 , 塑 40

第 6期刘秀军 :上硬下软型地基强度和变形特性研究性区扩展较快 , 最后当塑性区到达基础底面时 (见图 10) , 地基达到极限承载力而丧失稳定性 , 当基底压力为 66kPa 时计算开始不收敛 .

此外 , 经过计算 , 得到各级荷载作用下基础中心的沉降和地基的最大塑性应变 , 并作出如图 11和图 12所示的 P u -u 和 P u -E max 曲线 . 由图 11可以看出 , 当荷载较小时 , 基础中心沉降值与荷载成线性关系 , P u -u 曲线为直线 , 随荷载的增加 , 由于地基土的塑性发展 , P u -u 曲线偏离直线成为曲线 , 基础中心沉降值与荷载变为非线性关系 . 由图 12可以看出 , 当荷载较小时 , 地基土塑性应变处于稳定发展阶段 , 随着荷载的增加 , 塑性区扩展加快 , 塑性应变处于不稳定发展阶段 , 最终演变为不收敛

3 结论

(1) 有限元法对于研究双层地基是可取的 , 能反映一定的规律 , 具有一定的参考性 , 但有一定的误差 , 没有考虑固结影响 .

(2) 拉应力区出现在交界面处的上层土中 , 随着荷载的增加 , 拉应力区继续向上层土扩展 , 当荷载达到一定大小的时候 , 交界面处下层土层开始出现拉应力区 .

(3) 地基中塑性区首先出现在交界面处的上层土中 , 随着荷载的增加 , 塑性区向交界面处上下土层均有扩展 .

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(5) :30-33. (英文校审高嵩 ) 41

范文三：上硬下软型双层路基动力稳定性影响因素

? 上硬下软型双层路基动力稳定性影响因素上硬下软型双层路基动力稳定性影响因素

曹海莹，武贺，吴吉贤，李雨浓

(燕山大学建筑工程与力学学院，河北秦皇岛 066004)

摘要：为了研究上硬下软型双层路基动力稳定性在交通运营期内多个影响因素排序的技术问题，在室内模型试验、动三轴试验以及扫描电镜试验的基础上，将试验数据、专家打分法与三标度法相结合，以车辆荷载参数、土层分布特征及力学参数、土体物理参数和循环作用参数为准则层，构建出层次结构模型。借助MATLAB程序对判断矩阵进行计算处理，获得各影响因素的权重大小，其重要性程度由大到小依次为荷载循环次数、硬壳层厚度、荷载循环频率、车重、硬壳层硬度、软土含水率、行车速度和硬土含水率，软土层是控制路基稳定性的关键层。

关键词：道路工程；影响因素排序；三标度法；双层路基；动力稳定性；室内模型试验

0 引言

上硬下软型双层路基是一种典型的路基土分布形式，由于其硬壳层具有应力扩散等力学性质，一直被工程技术人员广泛关注。目前，国内外学者对上硬下软型双层路基的动力响应[1]、应力扩散作用[2]、破坏模式[3]、沉降特性[4]以及极限承载力[5]等进行了深入的研究。在稳定性方面，文献[6]针对上覆硬壳层软土夹层路基稳定性缺乏判定标准的问题，提出了填筑期与非填筑期分阶段研究模式；文献[7]通过室内循环三轴试验，进行了路基动态条件下稳定性的研究；文献[8]采用二维有限差分法对碎石桩加固软土地基的桩基础和等效面积模型进行了评价，并对其深层次的破坏因素进行了估算。由于影响因素众多，且不易被量化处理，有关上硬下软型双层路基动力稳定性影响因素方面的研究还鲜见报道。

层次分析法属于一门交叉学科，目前已经应用到各个领域[9-11]。在岩土工程领域，文献[12]运用层次分析法和模糊数学理论确定了冻土区路基稳定状况的模糊综合评价模型，提出了基于安全可靠度的用于评价多年冻土区路基稳定的模糊综合评价方法；文献[13]针对目前常用的风险识别方法存在的问题，提出采用专家调查法与层次分析法相结合的大跨浅埋公路隧道施工风险识别方法。一般情况下，传统层次分析法都是通过专家打分法得到判断矩阵，该方法具有主观性，受人为因素影响较大，针对这一不足，在室内模型试验、动三轴试验以及扫描电镜试验的基础上，将试验数据、专家打分与三标度法相结合，构建出层次结构模型，以获得各影响因素的权重排序。

1 三标度法

传统的层次分析法采用1～9个标度将各个影响因素量化，9个标度跨越度太大，已经超过了人的正常判断能力，会给判断结果带来很大的误差。而三标度法采用0,1,2共3个标度来衡量综合评价指标体系各个因素之间的相互关系，可以减小判断的难度，从而提供较为准确的数据。三标度法的分析步骤如下：建立层次分析模型；构造三标度矩阵；计算排序指数；构造层次分析法的间接判断矩阵；求解各因素权重并进行一致性检验[9]。

2 模型构建与计算处理

2.1 层次模型的建立

根据上硬下软型双层路基的工程特点，将车辆荷载参数、土层分布特征及力学参数、土的物理参数以及循环作用参数4个方面入手，将这4个方面作为层次结构的准则层。

(1)车辆荷载参数

车辆荷载参数主要包括车重和行车速度。车辆在行驶的过程中，随着车重的变化，动应力、沉降和剪应力也会发生相应的变化。车辆运动过程中会产生较大的震动，速度的改变也会使动应力等产生相应的改变。故车重和行车速度是影响路基稳定性的两个主要车辆荷载参数。

(2)土层分布特征及力学参数

土层分布特征主要考虑硬壳层厚度，土层力学参数主要指硬壳层硬度。硬壳层的厚度和硬度是硬壳层的两个重要指标，硬壳层的厚度和硬度越大，其应力扩散作用越明显，越有利于路基的稳定性。其中硬壳层硬度是土体力学参数的综合反映，主要受土体动弹性模量、压实度及抗剪强度指标等多种因素的影响。

(3)土的物理参数

土体含水率是影响路基稳定性的重要因素，可能会引起土体膨胀导致土体密实度降低，同时引起强度下降[14]，因此土的物理参数主要考虑含水率。上硬下软型双层路基分为上覆硬壳层和下伏软土层，又将含水率细分为硬土含水率和软土含水率。

(4)循环作用参数

交通运营期是一个相当长的过程，路基土在荷载反复作用下变形会逐步积累[15]。对交通运营期的路基进行稳定性分析要考虑循环作用参数，主要涉及荷载作用频率和荷载作用次数两个方面。

综上所述，构建的层次结构模型如图1所示。

图1 层次结构模型

Fig.1 Hierarchical structure model

其中，上硬下软型双层路基动力稳定性评价为目标层，用A表示；车辆荷载参数、土层分布特征及力学参数、土的物理参数和循环作用参数为准则层，分别用B1，B2，B3和B4表示；车重、行车速度、硬壳层厚度、硬壳层硬度、软土含水率、硬土土含水率、荷载作用次数和荷载作用频率为因素层，分别用C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7和C8表示。

2.2 构造三标度矩阵

(1)准则层三标度矩阵的建立

由于准则层无法用试验模拟，故准则层采用专家打分法来确定其三标度矩阵。通过对多位专家进行咨询，专家通过将准则层4个因素进行两两比较，使得这4个因素之间的相对重要性按照三标度进行量化，为了使得到的结论更为准确，在咨询专家之前，为专家提供与上硬下软型双层路基动力稳定性有关的信息，使专家能有足够的依据做出合理的判断。为了减少专家主观因素对判断矩阵的影响，将多位专家的意见和结论进行汇总和筛选，最后得出准则层因素的重要性程度从高到低依次为循环作用参数、土层分布特征及力学参数、车辆荷载参数和土的物理参数。

(2)因素层三标度矩阵的建立

① B1和B2中因素层的比较

室内模型试验以邢临高速K33+650～ K33+800区间为工程背景，模型土体为现场采集的原状土。路堤顶宽取26 m，路堤高度取2.0 m，按照1∶1.5放坡；选取横断面宽度为60 m，纵断面长度为120 m，路基土厚度为15 m。综合考虑经济条件、试验设备及空间条件，几何相似常数定为1/100，即室内模型尺寸长1.2 m×宽0.6 m×高0.17 m(含路堤高度)，为了消除边界效应，最终模型箱尺寸长1.3 m×宽0.7 m×高0.30 m。为保持土体的原状特性，试验模型土体在模型箱内静置3个月，密封完好。沿路基土埋深方向埋设多个微型动态土压力盒，以监测车辆荷载产生的动应力。试验分别采用不同的硬壳层厚度、硬壳层硬度(用动弹性模量表征)、车重和行车速度，测得路基土中硬软土层交界面处的动应力峰值。动应力峰值越大，路基越容易失稳，故在确定B1和B2中因素层的判断矩阵时，采用动应力峰值作为评价准则。室内模型试验如图2所示。

图2 室内模型试验

Fig.2 Laboratory model test

将试验所得数据通过正交分析法进行处理，处理结果如表1所示。

表1 正交分析表

Tab.1 Orthogonal analysis table

试验号因素abcd硬壳层厚度/cm动弹性模量(硬壳层硬度)/MPa车重/kg行车速度/(m·s-1)动应力峰值/kPa11.512080.180.20221.5140100.230.25831.5170120.320.25342.5120100.320.17452.5140120.180.20062.517080.230.11273.5120120.230.14083.514080.320.08793.5170100.180.096Rj0.1300.0280.0640.005—

在表1中，Rj为极差，通过比较Rj的大小可以判断出各因素变化对动应力峰值影响的重要性程度，Rj越大，表示该因素对动应力的影响越大，即因素越重要。由表1可知，硬壳层厚度和硬壳层硬度相比，前者较为重要；车重和行车速度相比，车重较为重要。从另一个角度讲，Ra>Rc，Rb>Rd，这说明整体上土层分布特征及力学参数较车辆荷载参数更为重要，进一步证实了准则层判断矩阵的准确性。

② B3中因素层的比较

从微观的角度分析了不同含水率软土和硬土的微观特性，采用Hitachi-3400N型扫描电镜观察动三轴试验后的土样的微观特征，经观察发现当放大倍数为1 000 倍时，土体中土颗粒和孔隙形态最为清晰。

扫描电镜典型图片如图3、图4所示。

图3 硬土放大1 000倍图像

Fig.3 Picture of hard soil magnified 1 000 times

图4 软土放大1 000倍图像

Fig.4 Picture of soft soil magnified 1 000 times

对图像通过MATLAB进行剪裁、灰度处理、对比度调整、图像二值化以及图像降噪等一系列处理后，求得不同含水率状态下的孔隙率和分形维数如图5、图6所示。

图5 不同含水率硬、软土的孔隙率比对曲线(单位：%)

Fig.5 Comparison curve of void ratio of hard and softsoil with different moisture contents(unit:%)

图6 不同含水率硬、软土分形维数比对曲线

Fig.6 Comparison curve of fractal dimension of hard andsoft soil with different moisture contents

由图5可知，硬、软土的孔隙率与含水率均呈线性增长趋势，其中软土的变化极差大，为1.662%；而硬土的变化极差较小，为1.02%。由图6可知，软土的分形维数随着含水率的增大而呈线性增大，而硬土则有下降的趋势，但是下降得较为缓慢。综上所述，可得硬土含水率与软土含水率相比，软土含水率更为重要。

③ B4中因素层的比较

同样利用邢临高速K33+650～K33+800区间原状土，采用静压法取样，将取样器分别下沉至硬土层(硬土层顶部以下0.5 m处)和软土层(软土层顶部以下0.5 m处)取样。借助动三轴试验，模拟了不同频率下荷载作用次数与土体累积变形的关系曲线。试验土样如图7所示，不同频率下硬、软土累积变形如图8(a)、(b)所示。由图8可知，当频率为1 Hz时，荷载作用50 000次后硬、软土累积应变分别为0.12%和0.2%；频率为2 Hz时，荷载作用50 000次后硬、软土累积应变分别为0.10%和0.16%；频率为3 Hz时，荷载作用50 000次后硬、软土累积应变分别为0.06%和0.12%。当荷载作用次数为50 000次时，随着荷载作用频率的变化，硬、软土累积应变的变化量分别为0.06%和0.08%之间。显然，荷载作用次数与荷载作用频率相比，荷载作用次数更为重要。

图7 动三轴试验土样

Fig.7 Soil samples for dynamic triaxial test

图8 不同频率硬土和软土累积变形

Fig.8 Cumulative deformation of hard soil and soft soil atdifferent loading frequencies

2.3 求解间接判断矩阵与因素权重

由以上结论可得到准则层A和因素层B1、B2、B3和B4的三标度矩阵，将三标度矩阵经过处理可得其间接判断矩阵

和

通过MATLAB分别编写子程序求解间接判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，并进行归一化处理，对层次单排序进行一致性检验，求解层次总排序即权重向量。由于间接判断矩阵

和

都为2阶矩阵，即n=2，运筹学规定当n

和

和总排序进行一致性检验，仅需对

进行一致性检验即可。将判断矩阵输入编制的MATLAB计算程序中，求解得出因素层各因素所占权重向量为(0.088 1，0.029 4，0.196 7，0.065 6，0.041 5，0.013 8，0.423 8，0.141 3)。因此，各因素的重要程度由大到小分别为荷载循环次数、硬壳层厚度、荷载循环频率、车重，硬壳层硬度，软土含水率，行车速度和硬土含水率。准则层以及因素层的间接判断矩阵及权重分别为表2～表3(篇幅所限，因素层B2，B3，B4的判断矩阵不再列举)。

表2 准则层A的间接判断矩阵及权重

Tab.2 Judgment matrix and weights of criterion layer A

DAijA1A2A3A4权重A111/331/50.1175A23151/30.2622A31/31/511/70.0553A453710.5650λ=4.1170，CI=0.039，RI=0.9，CR=0.0433

表3 因素层B1的间接判断矩阵及权重

Tab.3 Judgment matrix and weights of factor layer B1

DB1ijC1C2权重C1130.75C21/310.25

2.4 工程指导意义

依据各因素的分类及权重大小，可以把准则层B1和B4统一归结为交通荷载对于路基稳定性的影响，继而做出如下判断：交通荷载的作用次数权重最大，车重排在第4位，而行车速度影响很小，故在运营期内可通过控制车流量和超载来延长路基使用寿命，控制车速对于保障路基稳定性意义不明显。同理，可以把准则层B2和B3统一归结为地基土对于路基稳定性的影响，继而做出如下判断：硬壳层厚度所占权重位于第2位，而硬壳层硬度权重仅排第5位，因此，对于硬壳层厚度不足(小于1.5 m)的断面，即使土层力学性质很好，也存在较大的失稳破坏隐患，在设计和施工阶段应引起足够重视；软土含水率的权重虽然排在第6位，但是其权重值却为硬土含水率的3倍，可见下卧软土层对于路基稳定性的影响不容忽视，对于长期运营状态下的路基而言，由于下卧软土层抗剪强度低、孔压逐渐累积，极有可能成为控制稳定性的关键层。

3 结论

(1) 在三标度法中将不易量化的准则层采用专家打分法确定排序，利用试验数据进一步确定各影响因素的权重大小，该思路较传统方法，较大限度地消除人为因素的干扰，计算结果具有较高的可信度。

(2) 依据各影响因素的权重排序可以对运营期高速公路长期稳定性和寿命评估提供有益借鉴和指导，以便采取相应措施有效控制可能存在的隐患。

(3) 经验判断在土木工程中的地位不可忽视，本文方法得出的结论需结合具体工程加以修正和改进。在试验方法中出现了宏、细观两种维度数据的综合运用模式，而传统的层次结构模型并未提及其适用性，这也是今后需要进一步研究的领域。

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Influencing Factors on Dynamic Stability of Two-layered Soil Subgrade with Upper Dry Crust and Underlying Soft Layer

CAO Hai-ying, WU He, WU Ji-xian, LI Yu-nong

(School of Architectural Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao Hebei 066004, China)

Abstract： In order to study the technology of multiple influencing factor ordering about the dynamic stability of 2-layered soil subgrade with upper dry crust and underlying soft layer in traffic operation period, the hierarchical structure model is built by virtue of three-mark method combining experimental data and expert scoring on the basis of laboratory model test, dynamic triaxial test and scanning electron microscope test, in which the criterion layer consists of vehicle load parameters, soil layer distribution feature and mechanical parameters, soil physical parameters and cyclic action parameters. The weight order of multiple influencing factors is obtained after the judgment matrix is calculated by MATLAB procedure, the order from large to small are load cycles times, dry crust thickness, load cycles frequency, vehicle weight, dry crust hardness, soft clay moisture content, driving speed and dry crust moisture content, and the soft soil layer is the key one to control the subgrade’s stability among them.

Key words： road engineering; influencing factor ordering; three mark method; two-layer subgrade; dynamic stability; laboratory model test

References：

收稿日期：2015-12-05

基金项目：国家自然科学基金项目(51308486)；河北省博士后择优科研项目(D2014003010)；燕山大学博士基金项目(B712)

作者简介：曹海莹(1979-)，男，河北文安人，博士后,副教授.(chyysu79@126.com)

doi：10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.002

中图分类号：U416.1

文献标识码：A

文章编号：1002-0268(2016)11-0008-06

范文四：变荷载下双层不排水桩复合地基一维固结分析

? 变荷载下双层不排水桩复合地基一维固结分析变荷载下双层不排水桩复合地基一维固结分析

赵明华，吴岳武，郑玥

(湖南大学土木工程学院，湖南长沙 410082)

摘要：假定弱排水桩复合地基中的桩体不排水，同时考虑地基土的成层性与荷载随时间任意变化两个条件，导出了变荷载下双层不排水桩复合地基的一维固结控制方程，得到了此类地基中超静孔隙水压力的一般解析解，并给出了瞬时加载和单级等速加载两种常见情况下超静孔隙水压力和固结度的解答；然后，通过将本文解退化为经典解和与算例分析两种途径验证了本文解析解的合理性；最后，利用编程计算分析了双层不排水桩复合地基的固结规律。结果表明：随着桩径比的减小、桩体刚度的增大和加荷速率的增大，固结速率会增大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，则固结越快；分别按平均孔压和按沉降定义的双层不排水桩复合地基固结度会有差别，差别大小与各层土体的压缩模量有关。

关键词：道路工程; 复合地基；不排水桩；固结；双层；变荷载

0 引言

采用弱排水桩作为竖向增强体的复合地基法是软土地基处理中的主要方法之一，例如水泥土搅拌桩复合地基和灰土桩复合地基等，已被广泛应用于工程实践中。与粗砂、碎石等散体材料不同，水泥土、灰土等属于胶凝材料，胶凝材料的渗透性很小，在设计计算中一般予以忽略。研究表明[1]，水泥土搅拌桩的渗透系数可达到10-8～10-9 cm/s数量级，通常比桩周软土的渗透系数低1～3个数量级。因此，在分析弱排水桩复合地基的固结问题时，可简化地将水泥土搅拌桩、灰土桩等胶凝材料桩视为不排水桩，即不考虑桩的渗透性，以期获得解析解。

目前，关于砂桩、碎石桩等散体材料桩复合地基的固结理论已有较深入的研究，获得了能够考虑变荷载、地基成层和涂抹作用、桩未打穿以及半透水边界等较为复杂条件下的固结解析解[2-5]。但迄今为止，不排水桩复合地基的固结理论研究则较少。杨涛等[6-8]将真实的非均质复合土体替代为等价均质复合土体，采用复合模量法对变荷载下不排水桩复合地基的固结问题进行了研究，但此方法缺少严格的理论推导；卢萌盟等[9]证明了不排水桩复合地基只会产生竖向渗流，获得了瞬时加载和单级加载两种情况下的单层不排水端承桩复合地基的一维固结解析解，但此理论没有给出其他加载条件下的解析解；杨涛等[10]研究了当软土地基较厚时复合地基分为上层加固区与下卧层的情况，给出了瞬时加载条件下不排水悬浮桩复合地基固结计算的解析公式，随后，龚晓南等[11]导出了线性加载条件下不排水悬浮桩复合地基固结计算的简化公式，发展了不排水桩复合地基固结理论。目前已提出的不排水桩复合地基固结计算模型，考虑了荷载线性施加和桩体悬浮，但没有考虑地基土的成层性，而实际工程中，常会遇到桩体穿越成层软土地基而嵌入持力层的情况,这便涉及成层不排水桩复合地基的固结度计算问题。在计算成层地基的固结度时，常将成层的非均质地基替代为均质地基，再利用太沙基一维固结公式计算，然而，采用这种加权平均的简化计算方法一般难以得到合理结果[12]，因此，在建立固结计算模型时应考虑地基土的成层性。成层地基的固结理论研究历来受国内外岩土工程界所关注，经过众多学者多年研究，目前已有较多有关成层天然地基、成层砂井地基和成层散体材料桩复合地基固结理论的有益成果[12-15]，但迄今尚缺少关于成层不排水桩复合地基固结问题的解析解。另外，实际工程中复合地基上部荷载并不是瞬时施加，有必要根据实际工程的加载曲线，在复合地基固结分析中考虑施工荷载随时间任意变化条件。

为此，本文拟在前人的研究基础上，假定弱排水桩复合地基中的桩体不排水，同时考虑变荷载和地基土的成层性，研究了变荷载下双层地基中不排水桩复合地基(简称双层不排水桩复合地基)的固结问题，在证明此类双层地基系统正交公式的基础上，获得了其解析解答，并通过将本文解退化为经典解和算例分析两种途径验证了本文解析解的正确性，以期为施工时间控制和工后沉降控制提供一些指导。

1 固结模型的建立与分析

1.1 计算模型

图1为变荷载下双层不排水桩复合地基固结模型。其中，hi，kri(r)，kvi和Ei分别为土层i(i=1、2，分别表示上、下层)的厚度、径向渗透系数、竖向渗透系数和复合压缩模量，Ec为桩体压缩模量，H为双层地基总厚度，rc，rs和re分别为桩体、扰动区和影响区半径；q(t)为大面积均布荷载，可随时间任意变化。其排水条件为地基顶面透水，底面不透水。

图1 双层不排水桩复合地基固结模型

Fig.1 Consolidation model of double-layered compositefoundation with impervious pile

本文采用如下假定：

(1)等应变条件成立，即桩体与土体均受侧向约束，并且任意深度处竖向变形相等；

(2)土体完全饱和，土体中水的渗流规律服从达西定律；

(3)复合地基中的桩体不排水；

(4)所加荷载随时间任意变化；

(5)在任意时刻两层交界处的竖向渗透速率和孔隙水压力处相等。

1.2 固结方程

对上述模型，由平衡条件、等应变假设和桩体不排水假设可得

(1)

　　，

(2)

式中，

　　和

　　分别为土体、桩体中任意深度处的平均总应力和土体的平均超静孔压；εvi为复合地基任一深度处的体积应变(或竖向应变)。

由式(1)和(2)可得:

(3)

式中，n为桩径比，n=re/rc；Yi为桩土模量比，Yi=Ec/Ei；Ei为土体的复合压缩模量，按面积比加权法可求得其计算式为

　　，其中，Ee和Es分别为土体扰动区和非扰动区的压缩模量，s=rs/rc。

土体内径竖向渗流的固结方程为[9]

(4)

式中，usi为土体内任一点处的超静孔隙水压力；γw为水的重度。

其边界条件、连续条件和初始条件分别为

边界条件:

r=rc, r=re时，

　　，

(5)

z=0时，

　　； z=H时，

　　。

(6)

连续条件:

z=h1时，

　　。

(7)

初始条件:

t=0时，

　　，

(8)

式中，σ0为土体内的初始孔压。

利用边界条件式(5)，参考文献[9]，可推导得到变荷载下双层不排水桩复合地基的一维固结控制方程为

(9)

式中，

　　其中，

　　为加载速率；cvi为土体的竖向固结系数，

　　。

1.3 方程求解

首先，定义无量纲参数如下：

　　。

参考文献：[10]，设式(9)的解形式如下：

(10)

(11)

式中，βm,μ,λm,Am,Bm和Cm均为待定系数；Tm(t)项由式(9)中的R(t)项引起，为时间t的待定函数。

式(10)、(11)显然满足边界条件式(6)，将式(10)、(11)代入连续条件式(7)可得

(12)

式(12)也可以转化为

μasin(μcλm)sin(λm)-cos(λm)cos(μcλm)=0，

(13)

式(13)即为确定特征值λm的特征方程。式(13)为超越方程，不能直接求解，可采用二分法编程求解。

再将式(10)、(11)代入式(9)，可得

(14)

以及待定系数Cm应满足方程

(15)

类似于成层散体材料桩复合地基固结理论中的正交证明[15]，可证明双层不排水桩复合地基的正交关系式在形式上与双层散体材料桩复合地基固结理论的一致(证明略)：

(16)

利用式(15)和正交关系式(16)可得

(17)

最后由初始条件式(8)有

(18)

用确定Cm的同样方法可得

(19)

现已求出所有待定系数，可写出满足一切求解条件的变荷载下双层不排水桩复合地基的一般解答为:

(20)

代入荷载条件后，即可求得双层不排水桩复合地基在不同加载条件下的固结解答。限于篇幅，本文仅给出瞬时加载和单级等速加载两种常见情况下的解答，以供参考。

(1)瞬时加载情况下的解答

图2为本文研究的两种情况下的荷载施加曲线。如果荷载为瞬时施加时，σ0=n2qu/(n2-1), q(t)=qu, R(t)=0，由一般解答式(20)，可得瞬时加载情况下双层不排水桩复合地基固结解为

(21)

式中，

　　为时间因子。

(2)单级等速加载情况下的解答

如图2(b)所示，如果荷载为单级等速施加，则初始孔压σ0=0,且

(22)

将式(22)代入一般解答式(20)，可得单级等速加载情况下双层不排水桩复合地基固结解为：

加载阶段(0≤t≤tc)：

(23)

竣工后(t≥tc)：

(24)

上述式中，

　　。

如果令tc→0，式(23)和式(24)即退化为瞬时加载情况下的固结解表达式(21)。

图2 荷载施加曲线

Fig.2 Curves of loading

1.4 固结度计算

地基的平均固结度可按沉降定义和按平均孔压定义[16]，当地基为双层时，其计算公式分别为

(25)

式中，

　　为土体内最终平均总应力。

由式(1)、(2)可得

(26)

当t→∞时，由式(26)可得土体内最终平均总应力为

(27)

将式(26)、(27)代入式(25)，可得

从式(28)、(29)可看出，只有当E1=E2时，即当上、下土层的复合压缩模量相等时，才有

　　，这与双层天然地基一维固结理论[12]一致。

(1)瞬时加载情况下的平均固结度

将式(21)分别代入式(28)、(29)，可得瞬时加载情况下双层不排水桩复合地基的平均固结度为

(30)

(31)

式中，

(2)单级等速加载情况下的平均固结度

将式(23)、(24)分别代入式(28)、(29)，可得单等速加载情况下双层不排水桩复合地基的的平均固结度为

　　，

(32)

(33)

最后，对固结度解析解表达式(30)～(32)和(33)进行了讨论：

(1)当地基为单层天然地基时有

a=b=d=1,c=0，且n→∞，

(34)

则

(35)

将式(34)代入式(13)可以求得

(36)

最后，将式(35)、(36)代入式(30)、(31)可求得

(37)

因此，本文解可退化为经典的太沙基一维固结解。

(2) 同理，当地基为双层天然地基时，即当d=1,n→∞时，本文解可退化为双层天然地基固结解[12]。

(3) 同理，当地基为单层不排水桩复合地基时，即当a=b=d=1且c=0时，本文解可退化为单层不排水桩复合地基固结解[9]。

2 算例验证

杨涛等[6-8]将非均质复合地基替代为等价均质复合土体，采用复合模量法研究了不同加载条件下单层不排水桩复合地基的固结问题。该法采用提出的复合模量公式计算等价均质复合土体的模量后，再运用太沙基一维固结公式计算均质复合土体的固结度，其解答与有限元解具有较好的一致性。本文拟将获得的双层不排水桩复合地基固结解析解与文献[6-7]的解答进行对比验证，以期反映本文解析解的合理性。

由于目前鲜有关于双层不排水桩复合地基固结问题的研究成果，在利用本文方法计算文献[6、7]中单层不排水桩复合地基固结度时，人为地将单层地基划成双层地基，并且上、下层地基土参数均相同，即a=b=d=1，h1，h2可任意取值并满足H=h1+h2。

本文的参数与文献[6-7]的参数取值相同，如表1所示。其中，当荷载为大面积瞬时施加时，q0=100 kPa；当荷载为单级等速施加时，tc=12 d，荷载为大面积4 m厚填土。边界条件为地基顶面透水，底面不透水。

表1 算例参数取值一览表

Tab.1 List of parameter values in calculation example

数据来源加载方式Kv/(cm·s-1)E/MPaKc/(cm·s-1)Ec/MPaH/m置换率m文献\[6\]瞬时10-5310-7见图3120.15文献\[7\]单级等速2.12×10-61.6910-760200.15

图3给出了瞬时加载时不同桩土模量比情况下的两种方法获得的复合地基固结度随时间变化的比较曲线。图3表明，本文解析解与文献[6]解有很好的一致性。

图3 瞬时加载时复合地基固结度比较

Fig.3 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under instantaneous loading

图4给出了单级等速加载情况下本文方法和文献[7]的复合模量法获得的低透水桩复合地基固结度随时间变化的比较曲线。图4表明，单级等速加载条件下，本文方法获得的固结度与文献[7]的复合模量法获得的固结度也具有很好的一致性。

图4 单级加载时复合地基固结度比较

Fig.4 Comparison of consolidation degrees of compositefoundation under single-stage loading

文献[6-7]中基于等价均质土体的复合模量法可以认为是一种经验方法，而本文解析解有严格的理论推导，更能反映固结的本质规律。另外，本文计算模型不仅可以计算双层不排水桩复合地基的固结问题，也可以计算单层不排水桩复合地基的固结问题与双层天然地基的固结问题，因此，本文方法更具普遍适用性。

3 参数分析

本文通过编程计算，探讨了双层不排水桩复合地基固结的一般规律。由本文解析解可以看出，双层不排水桩复合地基固结计算主要取决以下无量纲参数: a=kv2/kv1,c=h2/h1,Y1=Ec/E1,Y2 =Ec/E2,n和加载时间t，本文对以上参数进行了探讨。此外，还将分别按沉降和按平均孔压定义的固结度曲线进行了比较。各图计算参数的取值见表2，表中，tc=0代表荷载瞬时施加，E1=3 MPa，h1=10 m，k1=10-6cm/s，图5～图9中的总平均固结度均按平均孔压定义。

表2 各图计算参数取值一览表

Tab.2 List of parameter values in each figure

图序acY1Y2ntc50.51.02010见图5060.51.0见图6见图63.0070.51.020103.0见图78见图81.020103.009见图9见图920103.00100.51.020103.00

图5 桩径比对固结过程的影响

Fig.5 Influence of pile-diameter ratio on consolidationprocess

图6 桩土模量比对固结过程的影响

Fig.6 Influence of pile-soil modulus ratio on consolidationprocess

图5、图6分别反映了桩径比n和桩土模量比Y1, Y2对固结过程的影响。由图5、图6可得，根据本文给出的计算模型，在复合地基设计参数取值范围内(通常n≤7)，随着桩径比的减小，固结速率会增大；桩、土模量的增大和桩土模量比的增大会加快固结速率；其他条件相同时，双层不排水桩复合地基在双层土是上软下硬时固结更快，而当双层土是上硬下软时固结更慢。

图7给出了不同加荷历时下复合地基固结度随时间变化曲线。图中，加荷历时越短，表示加荷速率越大，tc=0代表瞬时加荷的情况。从图7中可以看出复合地基固结速率与加荷速率有关，复合地基的固结速率随加荷速率的增大而增大，而瞬时加荷情况下复合地基固结速率最大，这反映了本文考虑施工荷载为变荷载是有必要的。

图7 加荷速率对固结过程的影响

Fig.7 Influence of loading rate on consolidation process

图8、图9分别反映了渗透率之比和层高比对固结速率的影响。由图8、图9可得，kv2/kv1越大，固结越快；由图9可知，层高比越小，固结越快。总之，kv2/kv1越大，h2/h1越小，E2/E1越大，则双层不排水桩复合地基的固结速率越快。

图8 上下土层渗透率之比对固结速率的影响

Fig.8 Influence of ratio of soil layers’ permeability onconsolidation rate

图10对分别按平均孔压和按沉降定义得到的固结度曲线进行了比较。此图表明，对于所给计算参数，按两种不同定义分别得到的固结度会有差别，由式(25)可知，差别大小与各层土体的压缩模量有关，仅当各层土体的压缩模量相等时，按两种不同定义分别得到的固结度才会相等，而对于单层不排水桩复合地基，则不存在这种差别，图10从侧面反映了考虑地基土的成层性是有必要的。因此，在计算成层不排水桩复合地基的固结问题时，应对固结度的定义予以区别。

图9 层高比对固结速率的影响

Fig.9 Influence of soil height ratio on consolidation rate

图10 分别按平均孔压和按沉降定义的固结曲线的比较

Fig.10 Comparison of consolidation curves defined by

average pore pressure and settlement respectively

4 结论

(1)本文的计算模型同时考虑了地基土的成层性和施工荷载随时间任意变化两个条件，不仅适用于变荷载下双层不排水桩复合地基的固结计算问题，而且在一定条件下可以方便地转化为单层不排水桩复合地基和双层天然地基的固结计算问题，因此具有普遍适用性。

(2) 参数分析结果表明：随着桩径比的减小和桩体刚度的增大，固结速率会增大；加荷速率越大，固结速率则越大，在瞬时加载情况下固结速率达到最大；kv2/kv1越大，E2/E1越大，h2/h1越小，则固结越快。

(3)分别按平均孔压定义和按沉降定义得到的双层不排水桩复合地基固结度会有一定程度的差别，差别大小与各层土体的压缩模量有关，仅当各层土体的压缩模量相等时，按两种不同定义分别得到的固结度才会相等。

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Analysis of 1D Consolidation of Double-layered Composite Foundation with Impervious Pile under Time-dependent Loading

ZHAO Ming-hua，WU Yue-wu，ZHENG Yue

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha Hunan 410082, China)

Abstract： Assuming that the weak drainage piles are undrained in composite foundation, considering both layered soils and time-dependent loading, we derived the 1D consolidation control equations of double-layered composite foundation with impervious pile under time-dependent loading, and obtained the general analytical solutions of the excess pore water pressure of such foundation. Then, we gave the analytical solutions of the excess pore water pressure and the consolidation degree in the common cases of instantaneous loading and single-stage constant loading respectively. After that, we verified the reasonableness of the analytical solution through the ways of numerical example and the degradation of the solutions in this article to classical solutions. Finally, we investigated the consolidation rule of double-layered composite foundation with impervious pile by programming computation. The result shows that (1) the consolidation rate will increase when the pile stiffness increases and loading rate increases while the pile diameter ratio decreases; (2) when kv2/kv1 is greater, h2/h1 is smaller and E2/E1 is greater, the consolidation rate is greater; (3) the consolidation degrees are different when defined by average excess pore water pressure and settlement respectively, and the size of difference is related to the soil’s compression modulus of each layer.

Key words： road engineering; composite foundation；impervious pile；consolidation；double-layer；time-dependent loading

References：

收稿日期：2016-06-12

基金项目：国家自然科学基金项目(51478178)

作者简介：赵明华(1956- )，男，湖南洞口人，教授，博士生导师.(mhzhaohd@21cn.com)

doi：10.3969/j.issn.1002-0268.2016.11.007

中图分类号：TU

文献标识码：A

文章编号：1002-0268(2016)11-0042-08

范文五：冲击荷载作用下Winkler 地基上横观各向同性

第 39卷第 3期中南大学学报 (自然科学版 ) V ol.39No.3 2008年 6月 J. Cent. South Univ. (Science and Technology) Jun. 2008冲击荷载作用下 Winkler 地基上横观各向同性

浅球壳的动力分析

文明才 1,戴振东 2

(1. 湖南城市学院土木工程学院,湖南益阳, 413000;

2. 南京航空航天大学仿生结构与材料防护研究所,江苏南京, 210016)

摘要:对冲击荷载作用下 Winkler 地基上横观各向同性浅球壳的非线性动力响应进行研究。考虑壳的几何非线性,建立适合任意边界的 Winkler 地基上浅球壳受冲击荷载作用下的非线性运动微分方程;通过分析冲击荷载与浅球壳之间的弹性接触效应和利用正交配点法, 研究冲击荷载作用下 Winkler 地基上壳体中点位移响应随 Winkler 地基刚度、撞击物的初始速度、撞击物接触点位置、壳体几何性质的变化规律。计算结果表明:随着撞击物体初速度增大, Winkler 地基上浅球壳中点的位移响应随之变大,且浅球壳体几何性质的变化会引起壳中点位移的变化;撞击作用接触点位置亦对 Winkler 地基上浅球壳中点位移响应的影响很大。

关键词:浅球壳; Winkler 地基;横观各向同性;正交配点法

中图分类号:O322 文献标识码:A 文章编号:1672-7207(2008)03? 0629? 06

Dynamic analysis of transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force

WEN Ming-cai1, DAI Zhen-dong2

(1. School of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China;

2. Institute for Bio-inspired Structures and Surface Engineering,

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract: The nonlinear dynamic behavior of transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force was studied. Based on the nonlinear theory of shallow shells, a set of nonlinear equations of motion for transversely isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to an eccentric impact force were founded. Considering the effect of contact between the striking object and the shallow shells, using the orthogonal point collection method, the effects of striking object’s initial velocity, the point of contact, Winkler foundation and shell’ geometrical parameters on the dynamic response of shell were discussed. The numerical results show the deflection of transversely isotropic shallow spherical shells increases with the increase of striking object’s initial velocity, and the dynamic behavior of transversely isotropic shallow spherical shells changes with the shell’ geometrical parameters and the different positions of the point of contact.

Key words: shallow spherical shells; Winkler foundation; transversely isotropic; orthogonal point collection method

在仪表工业、航空航天工业、石化工业以及其他许多领域中都会遇到冲击荷载作用下结构非线性动力响应问题, 但研究这类问题难度较大。国外关于这类问题的研究起步较早, 1966年 W. Goldsmith[1]对物体撞击

收稿日期:2007? 12? 01; 修回日期:2008? 03? 11

基金项目:国家自然科学基金资助项目 (50675160)

通信作者:戴振东 (1962? ) ,男,陕西三原人,教授,博士生导师,从事仿生结构与材料、摩擦学、振动研究;电话:025-84892581-802; E-mail: zddai@nuaa.edu.cn

中南大学学报 (自然科学版 ) 第 39卷 630

构件的线性动力响应问题进行了系统研究; J. R. Willis[2]

对各向异性体的弹性碰撞进行了分析; J . R. Turner[3]获得了横观各向同性半空间接触问题的接触应力及变形的解析解。我国对这方面的研究起步相对较晚。邓梁波等 [4? 5]研究了各向同性板在撞击作用下的非线性动力响应;黄伟等 [6]讨论了黏弹性地基上弹性板受撞击的动力响应问题。尹邦信 [7]提出了碰撞过程中碰撞反力的模拟表达式,对撞击物不作任何假设,研究了弹性板受撞击时的动力响应分析;宁建国等 [8]通过等度量变换,给出了球壳的变形模态,研究了平头圆柱体冲击下球壳的动力变形。这些研究成果大多局限于各向同性材料的梁、板、圆柱壳,较少涉及到冲击荷载作用下浅球壳的非线性动力响应问题。虽然傅衣铭等 [9? 10]对开孔浅球壳的动力屈曲问题进行了研究,高正强 [11]对撞击物作用下层合中厚壳的非线性动力性能进行了分析,刘人怀等 [12? 14]对复合载荷下圆底扁球壳动力稳定性及其应用都进行了相应的研究,但对不同基础上的浅球壳非线性动力问题的研究较少。为此, 本文作者对冲击荷载作用下 Winkler 地基上横观各向同性浅球壳的非线性动力响应进行研究,考虑壳的几何非线性,建立任意边界条件浅球壳受冲击荷载作用下的非线性运动微分方程;通过分析冲击荷载与 Winkler 地基上浅球壳之间的弹性接触效应和利用正交配点法,研究冲击荷载作用下 Winkler 地基上壳体中点位移响应随弹性地基刚度、撞击物的初始速度、撞击物接触点位置、壳体几何性质的变化规律。

1 模型及方程的建立

冲击荷载作用下 Winkler 地基上浅球壳力学模型如图 1所示。考虑横观各向同性浅球壳,其厚度为 h , 中曲面曲率半径为 R 。低圆半径为 a ,壳高为 H ,质量密度为 ρ。壳体在距顶点距离为 b 的位置受一速度方向沿壳中面法线的弹性球体撞击。壳上任意一点的位置由中面上正交曲线坐标 φ和 θ及沿中面法线方向指向壳体凹侧的坐标 z 确定; φ为纬度补角,从旋转角计量起; θ为经度,从任一平行圆半径计量起; z 为 h /2和 ? h /2分别表示浅球壳的内表面和外表面; k s 为弹性地基沿 z 向的刚度系数。取壳的中曲面主曲率坐标半径 R 1=R2=R , 中曲面上任一点的拉梅系数为 A 1=R , A 2=Rsin φ。根据经典的非线性扁壳理论,壳中任一点在任一时刻 t 沿 φ, θ和 z 方向的位移分量 u , v 和 w 可表示为:

图 1冲击荷载作用下 Winkler 地基上浅球壳力学模型 Fig.1Model of isotropic shallow spherical shells of Winkler foundation subjected to impact force

t z

) ,

(

) ,

(

) ,

(0;

sin

) ,

(

) ,

(

) ,

v ;

) ,

(

) ,

w θ

?=。 (1) 式中:u 0, v 0和 w 分别为球壳中曲面上相应点的位移分量。设浅球壳中任一点的应变分量为 ?ε, θε和 ?θε, 则其应变 ? 位移关系为:

εz

=; 0

εz

?θ

εz

=。 (2) 式中:0?ε, 0θε和 0?θ

ε分别为壳中曲面上相应点的应变;

κ, 0θκ和 0?θ

κ分别为壳中曲面上相应点的曲率和扭率改变量。在轴对称变形的情形下,位移 v =0,且所有变量与坐标 θ无关。由 0?θ

ε=0,对于浅球壳在底圆的平行圆半径方向引入新的坐标 r ,且有如下的近似关系:?

r ≈, ?

?≈

sin , 1

cos ≈

?,则:

ε;

ε; ?

κ;

r ?

κ。 (3) 若横观各向同性浅球壳以 θ

??平面为各向同性面,根据经典的板壳理论,壳中应力的合力 ?

N , θN 和 ?θ

N 与合力矩 ?

M , θ

M 和 ?θ

M 可表示为:

?θ

H v

。 (4)

第 3期文明才,等:冲击荷载作用下 Winkler 地基上横观各向同性浅球壳的动力分析

631

?????

?????????????????=??

????????000

010

1) 1(12?θθ??θθ?κκκH H H H v v

v v Eh M M M 。 (5)

式中:E 为横观各向同性材料的弹性模量。

根据浅球壳体的非线性理论,浅球壳非线性运动微分方程可表示为 [10? 12]:

0d ) (d =?θ?N r rN ; 0d )

(d =???θ?rQ M r rM ; =??+?????

???????++w k b r p r w R r N Q r s ) (d d π2δ??

∫r

tt r r w h 0

, d π2ρ。 (6)

式中:p 为冲击力; δ为弹性球壳接触后两球心相互靠近的距离。

引入以下无量纲:

h w W =, a r =, 20h au u =, Rh a 2

, Ea k π2s s =, a h S =

, Eah E t ρτ=, Eah

p π2=, W s s =。 (7) 将式 (7)代入式 (3)~(6)得到以无量纲位移分量表示的轴对称横观各向同性浅球壳的非线性运动控制微分方程:

??????+?????????+???W

U W v U U H 222

21 02

2=????+??W

W W H ,

????

????????????+??+???223

211W W U v U v S H H H

+???

??+???????????????+322222311) 1(12W W W v S W H W 0

, s ∫=?ττ。 (8)

式中:当 0→时,浅球壳的非线性运动控制方程退化为圆板的非线性运动控制方程。

2 冲击力方程

在低速碰撞情况下,设浅球壳在壳顶任一处 (r =b ) 沿法向受到球形物体撞击,其受到的冲击荷载可表示为 [1? 2]:

2/32/3)], () ([) (t b w t s t p ?==ζζδ。 (9)

式中:s (t ) 为撞击物体与壳体接触后产生的位移; w (b , t ) 为壳体在 r =b 处由于撞击所产生的位移 ;

) , () (t b w t s ?=δ; ζ为一常数,它与碰撞物体的几何尺寸及材料特性有关,其表达式如下 [14]:

R R R R ′+=

ζ????????+′′+2) 1(2γαE v 。

其中:

/12

21???

???=H V

v v λα; ???

???????

????+=E v H ) 1(2222

/1βαγ;

)

1() 1() 1(2

H H V v v v v ?+?+=β。设撞击物与浅球壳接触的瞬间其初始速度为 v 0, 位移为 0,则:

∫∫′?

=t t t t p t m t v t s 0

0 0d ) (d 1) (。 (10) 式中:m ′为撞击物的质量。

由式 (9)和 (10),可得到冲击力方程为: ) , (d ) (d 1) ( 0

0 03

/2t b w t t p t m t v t p t t

?′?

=???

????∫∫ζ。 (11) 将式 (11)转化为无量纲形式,为:

?????????

?=ρζτE ah v Eah 0

3/2π2) ( 2

/33

/2 0 3

/23/1π2d ) ) π2(??

?????

??′∫hW Eah E m ah

Eah ζττρζ

。 (12)

联立式 (8)与 (12)得到任意边界条件下弹性地基上浅球壳在任意位置处受到冲击荷载作用下的非线性运动方程。

作为力学模型的特例之一,下面分析浅球壳的边界条件取周边固支。其初始条件为:W W =) 0 (,

0) 0 (=τ

;无量纲的边界条件为:

0=时, 0) , 0(=τU , 0=??W

;

1=时, 0) , 1(=τU , 0) , 1(=τW , 0=??W

。

显然,不能求解此运动方程的解析解。为此,根

据时间增量法将冲击荷载分段线化,对于时间增量 ]) 1(, [], [1ττττΔ+Δ=+n n n n ,则式 (12)可以写成如下形式:

??Δ???????

???=3

/23/10

3/2) π2(π2) ζτρζτEah n E ah v Eah

/33

/21

1) , 0(π2??

???

?′∑=+?τζ

ρhW Eah D E m ah

i i i n 。

(13)

中南大学学报 (自然科学版 ) 第 39卷

632式中:∑=+?n

i i i n D 1

1由式 (12)右端的第 2项积分产生,

其展开式为

∑∑∑∑==?=?=+??+??=n i n

i i i n i

j j j

i n i i i n i n D 1

1) 1(31)

1() (2。

(14)

考虑到冲击物体与浅球壳刚接触的瞬间,其作用时间极短,主要在接触位置产生局部变形,因而可忽略结构的位移,则由式 (13)可得到:

/301π2???

?????Δ=

τρζ

E ah v Eah 。 (15)

将无量纲位移函数 W 和 U 在空间域和时间域内离散,求其近似解。在空间上采用正交配点法,选用

Chebyshev 多项式的零点作为配置点:

????????????+=M i i 2π) 12(cos 121。 (16)

式中:i =1, 2, … , M 。对于 M 个配置点,位移函数展开为:

m M m m a U ∑+=?=

(, m M n m b W ∑+=?=

1(。 (17)

式中:0≤ r ≤ 1。

在时间上将外荷载作用的时间 τ等分为小时间段

τΔ,采用迭代法求解,在任一迭代步 J 中,方程和

边界条件中的非线性项采用如下形式线性化:

p J J J y x y x ) () () (?=?。 (18)

式中:p J y ) (是前 2次迭代值的均值。对于初始迭代步, 可以应用二次外推法求解。方程中的加速度项则采用平均加速度法处理。

3 参数分析

3.1 方程及程序的验证

为便于与文献 [4]中的结果相比较, 取浅球壳的曲率半径 ∞→R ,则 0=,此时,浅球壳退化为圆板。且设浅球壳的周边固支。设钢球撞球作用在壳的顶点

(b =0)且忽略弹性地基的影响, 则此时本文的模型退化为文献 [4]中模型。

图 2和图 3所示分别为本文获得的圆板所受冲击荷载、板的位移时程响应曲线与文献 [4]中相应曲线的比较结果。可以看出,两者较吻合。

1—本文结果; 2—文献 [4]结果

图 2 冲击荷载随时间变化规律的比较

Fig.2 Comparison of time course with impact factor

1—本文结果; 2—文献 [4]结果

图 3 圆板中点位移时程响应曲线的比较

Fig.3 Comparison of time course with plate deflection

3.2 算例分析

作为本文力学模型的特例之一,结合已有文献取

Winkler 地基上横观各向同性浅球壳各力学参数为:E =50.81 GPa, v H =0.31, v V =0.06, v =0.31, ρ=1.61×103 kg/m3, k s =3.3×107 N/m, λ=4.31, a =40 mm, R =30 cm, h =4 mm。

撞击物力学参数为:E ′=200 GPa, v ′=0.33, v 0= 4 m/s, ρ′=7.97×103 kg/m3, R ′=15 mm。

撞击物作用点位置在无特别说明情况下, 取 b =0,

k s =3.3×107 N/m。

图 4所示为有无地基对壳中点位移的影响。当浅球壳有 Winkler 地基支承刚度为 K S 时, 中点最大位移

W 0=0.384 mm,而当没有地基支承时, W 0=0.591 mm。由此看出 Winkler 地基减小了壳中点的位移; 而当地基支承刚度为 K S /3时,则 W 0=0.515 mm。由此看出,不

同 Winkler 地基刚度对壳中点的位移产生很大的影响。

第 3期文明才,等:冲击荷载作用下 Winkler 地基上横观各向同性浅球壳的动力分析 633

1— k s ; 2— k s /2; 3— k s /3; 4—无地基刚度

图 4不同地基刚度对壳中点位移响应的影响

Fig.4Effect of foundation stiffness on deflection of shallow spherical shells

图 5所示是撞击物的初速度 v 0分别为 2, 4和 6 m/s时,对 Winkler 地基上壳中点位移响应随时间变化的响应曲线。从图 5可以看出,随着撞击物体初速度的增大,壳中点的位移响应都会变大。如 v 0=2 m/s时, W 0=0.285 mm,而当 v 0=4 m/s时, W 0=0.384 mm。而图 6所示是对 Winkler 地基上浅球壳的厚度 h 分别为 4, 6和 8 mm时, 壳中点位移随时间变化的时程曲线。由图 6可见,随壳厚度增大,其位移响应减小。图 7所示为曲面曲率半径不同时对 Winkler 地基上壳中点位移响应的影响。从图 7可以看出,壳中点的位移随中曲面曲率半径的增大而减小。当 R =20 cm时, W 0=0.491 mm;当 R =40 cm时, W 0=0.306 mm。图 8所示是当地基为 Winkler 地基,且支承刚度为 K S ,接触点位置不同时对壳中点位移响应的影响。

v 0/(m·s? 1): 1— 2; 2— 4; 3— 6

图 5撞击速度对壳中点位移响应的影响 Fig.5Effect of striking object’s initial velocity on deflection of shallow spherical shells

h /mm: 1— 4; 2— 6; 3— 8

图 6壳厚对壳中点位移响应的影响 Fig.6Effect of shells thickness on deflection of shallow spherical shells

R /cm: 1— 20; 2— 30; 3— 40

图 7曲面曲率半径对壳中点位移响应的影响 Fig.7Effect of curvature on deflection of shallow spherical shells

1— b =0; 2— b =1/2; 3— b =a /3

图 8接触点位置对壳中点位移响应的影响 Fig.8 Effect of point of contact on deflection of shallow spherical shells

中南大学学报 (自然科学版 ) 第 39卷 634

可见,当作用点 b =a /2时, W 0=0.231 mm;当 b =0时, W 0=0.384 mm。由此看出接触点的不同对壳中点的位移影响很大。

4结论

a. 地基支承刚度为 K S /3时所对应的壳中点位移为支承刚度是 K S 时的 1.38倍, 故 Winkler 地基有减小壳中点位移的作用,且随着地基的刚度增大,减小的效果越明显。

b. 当撞击物初速由 2 m/s增大到 4 m/s时,壳中点的位移随之增大 1.35倍,故随撞击物初速增大, Winkler 地基上浅球壳中点的位移响应会随之变大。 c. Winkler地基上浅球壳体几何性质的变化会引起壳中点位移的变化。

d. 撞击作用接触点位置不同对 Winkler 地基上浅球壳中点位移响应的影响很大,如当作用在中点时的位移为作用在 a /2时的 1.66倍。

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