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范文一：数学建模的常见类型
新课标下初中数学建模的常见类型
汕头市澄海溪南中学 陈耀盛
全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生以有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力。情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。2007年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多，现分类举例说明。 一、建立“方程（组）”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决
例1（2007年深圳市中考试题）A 、B 两地相距18公里，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？ 解：设甲工程队每周铺设管道x 公里，则乙工程队每周铺设管道（x ＋1）公里。 依题意得：
1818
-=3 x x +1
解得x 1=2， x2=－3
经检验x 1=2，x 2=－3都是原方程的根。 但x 2=－3不符合题意，舍去。 ∴x ＋1=3
答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。 二、建立“不等式（组）”模型
现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。
例2 （2007年茂名市中考试题）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？ 解：（1）该采购员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x ）只，
依题意得：130x ＋100（100－x ）≤11815 解得x ≤60.5
∵x 是正整数，∴x ＝60
答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。 （2）该采购员至少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x ）只，
依题意得：30x ＋20（100－x ）≥2580 解得x ≥58
由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只， 商场可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元） 答：采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600元。 三、建立“函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。
例3 （2007年贵州贵阳市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。 （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式。 （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数
关系式。
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）y=90－3（x －50） 化简，得y=－3x ＋240
（2）w=（x －40）（－3x ＋240）
=－3x 2＋360x －9600 （3）w=－3x 2＋360x －9600
= －3（x －60）2＋1125 ∵a=－3＜0 ∴抛物线开口向下
当x=60时，w 有最大值，又x ＜60，w 随x 的增大而增大，
∴当x=55时，w 的最大值为1125元，
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元的最大利润
四、建立“几何”模型
几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决
例4 （2007年广西壮族自治区南宁市中考试题）如图点P 表示广场上的一盏照明灯。
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P 照射下的影子（用线段表示）； （2）若小丽到灯柱MO 的距离为1.5米，小丽目测照明灯P 的仰角为55°，她的目高QB 为1.6米，试求照明灯P
到地面的距离；结果精确到0.1米；参考数据：tan55 °≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574。
解：（1）如图，线段AC 是小敏的影子。
（2）过点Q 作QE ⊥MO 于E ，过点P 作PF ⊥AB 于F ，交EQ 于点D ，则PF ⊥EQ 。在Rt △PDQ 中，∠PQD=55°，DQ=EQ－ED=4.5－1.5=3（米）。 ∵tan55°=
PD
DQ
∴PD=3 tan55°≈4.3（米）
∵DF=QB=1.6米
∴PF=PD＋DF=4.3＋1.6=5.9（米）。 答：照明灯到地面的距离为5.9米。 五、建立“统计”模型
统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。
例5 （2007年后湖北省荆州市中考试题）为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为30分，得分均是整数），从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整），已知第一小组的频率为0.12。回答下列问题： （1）在这个问题中，总体
是 ，样本容量为
。
（2）第四小组的频率为 ，请补全频数分布直方图。 （3）被抽取的样本的中位数落在第 小组内。
（4）若成绩在24分以上的为“优秀”，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。
解：（1）8万名初中毕业生的体育升学考试
成绩，
60
=500。 0. 12
（2）0.26，补图如图所示。 （3）三．
130+10
?100％=28％ （4）由样本知优秀率为
500
∴估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28％×80000=22400（人）。
六、建立“概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。
例6 （2007年辽宁省中考试题）四张质地相同的卡片如图所示。将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上。
（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率
（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图。你认为这
个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由。若认为不公平，请你修改法则，使游戏变得公平。
解：（1）P （抽到2）= （2） 根据题意可列表
画树状图如下：
2
412
从表（或树状图）中可以看出所有可能的结果共有16种，符号条件的有10种，∴P （两位数不超过32）= =，∴游戏不公平。 调整规则如下。
方法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都
能使游戏公平。
方法二：游戏规则改为抽到的两位数中，不超过32的得3分，抽到的两位数超
过32的得5分。
方法三：游戏规则改为组成的两位数中，若个位数字是2，则小贝胜，反之小晶
胜。
范文二：初中数学建模的常见类型
初中数学建模的常见类型
全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求,标准强调“从学生以有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力.情感态度与价值观等方面得到进步和发展.”强化数学建模的能力,不仅能使学生更好地掌握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法.也能增强学生应用数学的意识,提高分析问题,解决实际问题的能力.2007年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多,现分类举例说明.
一、建立“方程(组)”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界.诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方程(组)”模型,通过列方程(组)加以解决 例1(2007年深圳市中考试题)A、B两地相距18公里,甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里,甲工程对提前3周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道?
设甲工程队每周铺设管道x公里,则乙工程队每周铺设管道(x，1)公里. 依题意得:
解得x1=2, x2=,3
经检验x1=2,x2=,3都是原方程的根.
但x2=,3不符合题意,舍去.
?x，1=3
答:甲工程队每周铺设管道2公里,则乙工程队每周铺设管道3公里.
二、建立“不等式(组)”模型
现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系.诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析,将实际问题转化成相应的不等式问题,利用不等式的有关性质加以解决.
例2 (2007年茂名市中考试题)某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只,付款总额不得超过11815元.已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表,试解答下列问题:
品名\x09厂家批发价(元/只)\x09商场零价(元/只)
篮球\x09130\x09160
排球\x09100\x09120
(1)该采购员最多可购进篮球多少只?
(2)若该商场能把这100只球全部以零售价售出,为使商场获得的利润不低于2580元,则采购员至少要购篮球多少只?该商场最多可盈利多少元?
(1)该采购员最多可购进篮球x只,则排球为(100,x)只,
依题意得:130x，100(100,x)?11815
解得x?60.5
?x是正整数,?x,60
答:购进篮球和排球共100只时,该采购员最多可购进篮球60只.
(2)该采购员至少要购进篮球x只,则排球为(100,x)只,
依题意得:30x，20(100,x)?2580
解得x?58
由表中可知篮球的利润大于排球的利润,因此这100只球中,当篮球最多时,商场可盈利最多,即篮球60只,此时排球平均每天销售40只,
商场可盈利(160,130)×60，(120,100)×40=1800，800=2600(元) 答:采购员至少要购进篮球58只,该商场最多可盈利2600元.
三、建立“函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律.现实生活中,诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题,常可建立函数模型求解. 例3 (2007年贵州贵阳市中考试题)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式. (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? (1)y=90,3(x,50)化简,得y=,3x，240
(2)w=(x,40)(,3x，240)
=,3x2，360x,9600
(3)w=,3x2，360x,9600
= ,3(x,60)2，1125
?a=,3,0 ?抛物线开口向下
当x=60时,w有最大值,又x,60,w随x的增大而增大,
,w的最大值为1125元, ?当x=55时
?当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得最大利润1125元的最大利润 四、建立“几何”模型
几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何模型,把实际问题转化为几何问题加以解决 例4 (2007年广西壮族自治区南宁市中考试题)如图点P表示广场上的一盏照明灯. (1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示);
(2)若小丽到灯柱MO的距离为1.5米,小丽目测照明灯P的仰角为55?,她的目高QB为1.6米,试求照明灯P到地面的距离;结果精确到0.1米;参考数据:tan55 ??1.428,sin55??0.819,cos55??0.574.
(1)如图,线段AC是小敏的影子.
(2)过点Q作QE?MO于E,过点P作PF?AB于F,交EQ于点D,则PF?EQ.在Rt?PDQ中,?PQD=55?,DQ=EQ,ED=4.5,1.5=3(米).
?tan55?=
?PD=3 tan55??4.3(米)
?DF=QB=1.6米
?PF=PD，DF=4.3，1.6=5.9(米).
答:照明灯到地面的距离为5.9米.
五、建立“统计”模型
统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用.诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题,常要将实际问题转化为“统计”模型,利用有关统计知识加以解决.
例5 (2007年后湖北省荆州市中考试题)为了了解全市今年8万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况(满分为30分,得分均是整数),从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩
制成下面频数分布直方图(尚不完整),已知第一小组的频率为0.12.回答下列问题: (1)在这个问题中,总体是 ,样本容量为
.
(2)第四小组的频率为 ,请补全频数分布直方图.
(3)被抽取的样本的中位数落在第小组内.
(4)若成绩在24分以上的为“优秀”,请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数.
(1)8万名初中毕业生的体育升学考试成绩, =500.
(2)0.26,补图如图所示.
(3)三(
(4)由样本知优秀率为 100,=28,
?估计8万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为28,×80000=22400(人). 六、建立“概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛,诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题,常可建立概率模型求解.
例6 (2007年辽宁省中考试题)四张质地相同的卡片如图所示.将卡片洗匀后,背面朝上放置在桌面上.
(1)\x09求随机抽取一张卡片,恰好得到数字2的概率
(2)\x09小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏,游戏规则见信息图.你认为这个游戏公平吗?请用列表法或画树状图法说明理由.若认为不公平,请你修改法则,使游戏变得公平. (1)P(抽到2)=
(2)\x09根据题意可列表
\x092\x092\x093\x096
2\x0922\x0922\x0923\x0926
2\x0922\x0922\x0923\x0926
3\x0932\x0932\x0933\x0936
6\x0962\x0962\x0963\x0966
画树状图如下:
从表(或树状图)中可以看出所有可能的结果共有16种,符号条件的有10种,?P(两位数不超过32)= =,?游戏不公平.
调整规则如下.
方法一:将游戏规则中的32换成26,31(包括26和31)之间的任何一个数都能使游戏公平.
方法二:游戏规则改为抽到的两位数中,不超过32的得3分,抽到的两位数超过32的得5分. 方法三:游戏规则改为组成的两位数中,若个位数字是2,则小贝胜,反之小晶胜.
范文三：中学数学建模的常见类型
中学数学连摸‘的市见类型
宁夏大学教育科学学院赵鑫
宁夏大学生命科学学院江佰阳
摘要：数学建模是中学阶段培养学生数：
学应用能力的一个重要方面，而开发研究适合：
的根本保汪。笔者总结了中学数学知识与建模?
特征和教学注意事宜。
关捷词：中学数学建模类型特征萋＝巡’２２ｎ举例：建筑学规定，民主住宅的窗户面积必：须小于地板地积，但按采光标准，窗户面积与地、?住宅的采光条件越好，问：同时增加相等圈尸囿：变坏了？分析：设原住宅的窗户面积和地板面积分溅髫冀譬嚣鬻冀瑟蠹由戡删戡咫的角的紫、篙震凳萎淼，淼篇篇蒜麓，。，、后。＝—羔——一＝芝；兰｝旦．ｌ础础甩…１＋竺耋坠殳．善－－．６４＿＿＿＿００■，．“
并对此结果进行解释和验证，若通过。则可投入：干５．不等式建模
不等式建模也是中学数学建模的重要内使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改－２８８达到最小。
当且仅当＃坐旦笋盟时：蓑篙蒜裳黧嵩然囊星磊舞、６４。０６４一－２８８当且仅当＃等等时ｒ端黑嚣一部手机想肌朋友介种简单的、自然而然就实现的事情，数学的应用：、举例：小周购买了一部手机想入网，朋友介
薹◆薹｛◆｝薹季茎◆ｉ孽。纂曩黧≥薰戮罄蓊一瓣圣薰◆器◆雯一＝１…。举冽：某人在一山坡Ｐ处观看对面山项上ｉ考登套慧氘也是数学应用于实际生活的｛赫盖荔鑫描ｊｉ描：淼崭茗万方数据
中学数学建模的常见类型作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：赵鑫， 江佰阳赵鑫(宁夏大学教育科学学院)， 江佰阳(宁夏大学生命科学学院)新课程（中学版）XINKECHENG 2010(1)
参考文献(10条)
1. 张奠宙 数学教育学导论 1998
2. 郑毓信 问题解决与数学教育 1994
3. 兰永胜 数学思想方法与建模技巧 1999
4. 张雄;李得虎 数学方法论与解题研究 2003
5. 戴再平 开放题-数学教学的新模式 2004
6. 戴再平 问题解决
7. 李士锜 数学教育心理 2001
8. 张国杰 数学学习论 1995
9. 张乃达 数学思维教育学 1990
10. 杨庆余 中学数学教学 1998
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xkc-zx201001104.aspx
范文四：初中数学建模的常见类型
初中数学建模的常见类型
初中数学教与学2007年
初中数学建模的常见类型
韩树红
(江苏省常州市第四中学,213011)
《全13制义务教育数学课程标准》对数学
建模提出了明确要求.实践证明,强化数学建
模的能力,不仅能使学生更好地掌握数学基
础知识,学会数学的基本思想和方法,也能增
强学生应用数学的意识,比较全面的认识数
学及其与社会,科学和技术的关系,提高分析
问题,解决实际问题的能力.本文就2006年全
国各地中考试卷中出现的考查学生建模思想
和意识的题目,分类研究如下.
一
,建立”方程(组)”模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等
关系.”方程(组)”模型是研究现实世界数量
关系的最基本的数学模型之,,它可以帮助
人们从数量关系的角度更准确,清晰的认识,
??…??…??…?…??…??…??…??…??…
.
?
.
PP=3(一
1).
.
?
.
Y与的函数关系式为:
),:
?×譬(3一)×3(一1)
一
警+3)(1<?丢);
?当P点在EF之间运动时,过P点作
PP3LAB,垂为P3.
在RtAPMP3中,
PB=+(2x一3)=3(一1),
..
PP3=?(一1),
.
.
?
.
Y与的函数关系式为:
),=×
譬(3一)×3(一11
=一
学地+3)(3?3).
.
‘.
描述和把握现实世界.诸如分期付款,打折销
售,增长率,储蓄利息,工程问题,行程问题,浓
度配比等问题,常可以抽象成”方程(组)”模
型,通过列方程(组)加以解决.
例1(2006年漳州市中考题)根据十届
全国人大常委会第十八次全体会议《关于修
改(中华人民共和国个人所得税法)的决定》
的规定,公民全月工资,薪金所得不超过1600
元的部分不必纳税,超过1600元的部分为全
月应纳所得额,月个人所得税按如下方法计
算:月个人所得税=(月工资薪金收入一
1600)X适用率一速算扣除数.
注:适用率指相应级数的税率.
月工资薪金个人所得税率表:
.
‘
一
学(.2)+鱼8,
-
?
?
当=2时,),最大=詈?
而当P点在D点时,
:
1
×
3
YT×2=843××’
?
.
詈>字,故当P点在D点时,APMN
的面积最大.
通过以上两侧可以看到,解答这类问题
的关键在于,要弄清楚:?图形在运动的过程
中,存在哪些不变量,以及不变的关系;?由
于图形位置的变化,引起线段长度的变化,这
些变化后的长度与不变量之间的关系.抓住
了i文两点.也.就找到了解答问题的方法.
第2期
速算扣除级数全月应纳税所得额税率%
数(元)
1不超过500元5
超过500元至2000元的2
lO25
部分
超过2000元至5000元的
315125
部分
某高级工程师2006年5月份工资介于3700
,
4500元之间,且纳个人所得税235元,试问
这位高级工程师这个月的工资是多少?
解3700—16O0=21O0,
45O0—1600=29O0.
.
.
.
该工程师应纳税所得额在2000,5000
元的部分,其税率为15%,速算扣除数为125
元..
设这位高级工程师这个月的工资是元,
依题意,得
(一1600)×15%一125=235.
解得:=4000.
答:略.
例2(2006年广东省实验区中考题)将
一
条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段
铁丝的长度为周长做成一个正方形.
.(1)要使这两个正方形的面积之和等于
17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别
是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于
12cm吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不
能,请说明理由.
解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,
则另一段为(20一)cm,由题意得:
(寺)+().
解得:i=16,2=4.
当l=16时,20一=4;
当2=4时,2一=16.
答:要使这两个正方形的面积之和等于
17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别
是4cm和16cm.
(2)不能.理由:
设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段
初中数学教与学
为(20一)cm,由题意得:
(+()=12.
整理得-’X一20x+104=0.
?
.
.
?=b一4ac=一16<0.
故此方程无解,即不能剪成两段使得面
积和为12cm.
二,建立”不等式(组)”模型
现实生活中同样也广泛存在着数量之间
的不等关系.诸如市场营销,生产决策,统筹
安排,核定价格范围等问题,可以通过给出的
一
些数据进行分析,将实际问题转化成相应
的不等式问题,利用不等式的有关性质加以
解决.
例3(2006年青岛市中考题)”五一”黄
金周期间,某学校计划组织385名师生租车旅
游,现知道出租公司有42座和60座两种客车,
42座客车的租金每辆为320元,60座客车的租
金每辆为460元.
(1)若学校单独租用这两种车辆各需多
少钱?
(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可
以坐不满),而且要比单独租用一种车辆节省
租金.请你帮助该学校选择一种最节省的租
车方案.
解(1)385?429.2.
.
.
.
单独租用42座客车需10辆,租金为
320×10=32O0(元).
385?606.4.
故单独租用60座客车需7辆,租金为460
×7=3220元.
(2)设租用42座客车辆,则60座客车
(8一)辆,由题意得:
r42x+60(8一)?385,
I320+460(80一)?3200.
解之得:3???518?
‘
.
‘
取整数,...=4或5.
当=4时,租金为
320×4+460×(8—4)=3120(元);
当=5时,租金为
320×5+460×(8—5)=2980(元).
?33?
初中数学教与学2007年
答:当租用42座客车5辆,60座客车3辆
时,租金最少.
三,建立”函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系,揭示了
现实世界众多的数量关系及运动规律.现实
生活中的许多问题,诸如计划决策,用料造
价,最佳投资,最小成本,方案最优化等问题,
常可建立函数模型求解.
例4(2006年聊城市中考题)一家用电
器开发公司研制出一种新型电子产品,每件
的生产成本为l8元,按定价40元出售,每月可
销售20万件.为了增加销量,公司决定采取降
价的办法,经市场调研,每降价1元,月销售量
可增加2万件.
(1)求出月销售量Y(万件)与销售单价
(元)之间的函数关系式(不必写的取值范围);
(2)求出月销售利润z(万元)(利润=售
价一成本价)与销售单价(元)之间的函数
关系式(不必写的取值范围);
(3)请你通过(2)中的函数关系式及其
大致图象帮助公司确定产品的销售单价范
围,使月销售利润不低于480万元.
解(1)Y=20+2(40一)=一2x+100.
(2)z=(一18)Y
=
(一18)(一2+100)
=一2+136一1800.
(3)令z=480,得
480=一2x+136x一1800.
整理得一68x+1140:0,
解得1=30,=38.
将二次函数解析式变形为
z=一2(x一341+512.
画出大致图象如图1,由图象可知,要使
月销售利润不低于480万元,产品的销售单价
应在30元到38元之间(即30??38).
?
34?
图1
(兀)
四,建立”几何”模型
几何与人类生活和实际需要密切相关,
诸如航海,建筑,测量,工程定位,裁剪方案,道
路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需
建立”几何”模型,把实际问题转化为几何问
题加以解决.
例5(2006年青岛市中考题)在一次数
学活动课上,老师带领学生去测一条南北流
向的河宽,如图2所示,某学生在河东岸点A
处观测到河对岸水边有一点c,测得c在A北
偏西31.的方向上,沿河岸向北前行20米到达
处,测得c在北偏西45.的方向上,请你根
据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽
度.
1
(参考数值:tan31.一?,sin31.一?)
C
图2
解过点c作CD上AB,垂足为D,设CD
=
米,在Rtl~BCD中,CBD=45.,
..D=CD=.
在Rtl~ACD中,LDAC=31.,
AD=AB+BD=(20+),
CD=.
?
.
-tanLDAC=,
.
三一
5—20+’
.
‘
.=30.
答:这条河的宽度为30米.
五,建立”概率”模型
概率在社会生活及科学领域中用途非常
广泛,诸如抽奖游戏,彩票中奖问题,股票走
势,预测球队胜负等问题,常可建立概率模型
求解.
例6(2006年菏泽市中考题)将编号依
次为1,2,3,4的四个同样的小球放进一个不
透明的袋子中,摇匀后甲,乙二人做如下游
戏:每人从袋子中各摸出一个球,然后将这两
第2朝
个球上的数字相乘,若积为奇数,则甲获胜;
若积为偶数,则乙获胜.请问:这样的游戏规
则对甲,乙双方公平吗?请用概率的知识说明
理由.
解这种游戏规则对甲,乙双方不公平.
理由:不妨设甲先摸,则甲,乙所摸得球的情
况如下:
升始
——\
一
-i’/I\/I\/I\/I\
乙:234l34l24l34
积:(2)(3)(4)(2)(6)(8)(3)(6)02)(4)(8)02)
图3
由图可见总共有12种情况,每种情况发生
的可能性相同,其中积为奇数的情况有2种,积
为偶数的情况有l0种,所以甲获胜的概率为
=
吉,乙获胜的概率为=5.因吉<詈,所
以这样的游戏规则对甲,乙双方不公平.
六,建立”统计”模型
统计知识在自然科学,经济,人文,管理,
工程技术等众多领域有着越来越多的应用,
诸如人口统计,公司的财务统计,各类投票选
举等问题,常要将实际问题转化为”统计”模
型,利用有关统计知识加以解决.
例7(2006年东营市中考题)某单位欲
从内部招聘管理人员一名,对甲,乙,丙三名
候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的
测试成绩如下表所示:
测试成绩/分
测试项目
田乙丙
笔试758090
面试937068
根据录用程序,组织200名职工对三人利
用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票
率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如
扇形统计图所示,每得一票记作1分.
(1)请算出三人的民主评价得分;
(2)如果根据三项测试的平均成绩确定
初中数学教与学
录用人选,那么谁将被录用(精确到0.O1分)?
(3)根据实际需要,单位将笔试,面试,民主评
议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成
绩,那么谁将被录用?
图4
解(1)甲的民主评议得分为:
200×25%=50(分),
乙的民主评议得分为l
200×40%=80(分),
丙的民主评议得分为I
200×35%=70(分).
(2)甲的平均成绩为:
:
72.67(分),
乙的平均成绩为:
:76.67(分),
JJ
丙的平均成绩为:
::76.0o(分).
JJ
由于76.67>76>72.67,所以候选人乙
将被录用.
(3)如果将笔试,面试,民主评议三项测
试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么
甲的个人成绩为:
4×75+3×93+3×50
4+3+3
乙的个人成绩为:
4×80+3×70+3×80
4+3+3
丙的个人成绩为:
=
72.9(分),
:
77.4(分).4+3+3’.,
由于丙的个人成绩最高,所以候选人丙
将被录用.
?
35?
范文五：浅谈初中数学建模类型
浅谈初中数学建模类型
作者:用户上传 文章来源:用户上传 点击数: 909 更新时间:2010-4-12 23:42:10
浅谈初中数学建模类型
一、问题提出的背景
新课程标准中明确指出:“在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程.”
二、概念界定
那么什么是数学建模呢,数学建模就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并运用所学的数学知识与技能求得问题解决的一种数学思想和方法.它有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力.
三、数学建模的主要类型
1、向量的模型
现实生活中存在着很多既有大小又有方向的量如:速度、重力、位移等，通常需要建立向量的模型来解决.
2、函数模型
当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识来解决.
3、直角三角形模型
当涉及测量高度、测量距离、航海、拦水坝等应用型问题时，可考虑建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知识使问题获得解决.
4、方程(组)模型
现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程施工、行程
问题等，通常都需要建立方程(组)的模型来解决问题.
5、不等式(组)模型
生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式(组)的模型来解决.
6、几何模型
生活中诸如边角余料加工、拱桥计算、修复残破轮片等问题，涉及应用一定几何图形的性质需建立几何模型，用几何知识加以解决.
