范文一：三个“二次”之间的关系
三个二次的关系问题
◎复习目标：（1）掌握二次函数的对称性、增减性及其图像与性质的关系 （2）理解二次函数与二次方程、二次不等式之间的内在联系 ◎知识梳理：
（1）二次函数的解析式的三种形式：一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ，其中(h , k ) 为二次函数的图像的顶点坐标。
两根式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，其中(x 1,0),(x 2,0) 为二次函数的图像与x 轴交点的坐标。 （2）二次函数的图像是一条抛物线，当a >0时，图像开口朝上；当a <>
b 2
。当判别式?=b -4ac >0时，二次函数的图像与x 轴有两个交点，当?=0时，二次2a
函数的图像与x 轴有且仅有一个交点，当?<0时，二次函数的图像与x>
称轴为x =-
（3）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间有紧密的关联。一元二次不等式
ax 2+bx +c >0(a >0) 的解集就是二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图像中在x 轴上方的点的横坐标x
的集合，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根就是相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。 ◎例题精讲：
例1、设abc >0, 二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像可能是（
）D
变式训练：设b >0，二次函数y =ax
的图象如下图所示之一，则a 的值为（ ）B
2
2
A 、1
B 、－ C D 、
2
例2、二次函数f (x ) =2x +bx +5，若p ≠q ，使f (p ) =f (q ) ，则f (p +q ) = 5
22
变式训练：已知函数f (x ) =x +2x +a , f (bx ) =9x -6x +2，其中x ∈R , a , b 为常数，则方程
f (ax +b ) =0的解集为 ?
?x 2-4x +6, x ≥0
例3、设函数f (x ) =?则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）
?x +6, x <>
A ．(-3, 1) ?(3, +∞) B. (-3, 1) ?(2, +∞) C ． (-1, 1) ?(3, +∞) D. (-∞, -3) ?(1, 3)
x ≤0?x +2,
变式训练1：已知函数f (x ) =?，则不等式f (x ) ≥x 2的解集是（ ）A
x >0?-x +2,
A 、[-1,1] B、[-2, 2] C、[-2,1] D、[-1,2]
变式训练2：函数f (x ) =?
?4x -4, x ≤1
的图像和函数g (x ) =log 2x 的图像的交点个数是 2
x -4x +3, x >1?
?x (x +4), x ≥0
例4、已知函数f (x ) =?，求f (1)、f (-3) 、f (a +1) 的值.
?x (x -4), x <>
变式训练1：设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的最大值为-2, f (1)=-6, f (0)=-3, 求f (x ) 的表达式。
?
?a +b +c =-6??
解：依题意知?解得a =-9, b =6, c =-3或a =-1, b =-2, c =-3 c =-3
?4ac -b 2?=-2??4a
故所求二次函数解析式为f (x ) =-9x 2+6x -3或f (x ) =-x 2-2x -3
变式训练2：已知二次函数f (x ) 的图像关于x =2对称，其图象顶点为A ，图象与x 轴交于点B (-1,0) 和C 点，且?ABC 的面积为18, 求此二次函数的解析式。
解：因为对称轴为x =2，故B 、C 关于x =2对称，∴C (5,0)∴f (x ) =0有两根－1,5, 可设
f (x ) =a (x +1)(x -5) =a (x -2) 2-9a ，由S ?ABC =18得
f (x ) =
228102810x -x -或f (x ) =-x 2+x + 333333
2
12
?6?|9a |=18，∴a =±，故所求为23
例5、已知不等式ax +bx +c >0的解为α
2
变式训练：若不等式ax +bx +c >0的解集为(-4,1) ，则不等式b (x -1) +a (x +3) +c >0的解集为（A ）
2
2
A 、(-
4
,1) 3
B 、(-∞, -1) ?(, +∞)
43
C 、(-1, 4) D 、(-∞, -2) ?(1, +∞)
三个二次的关系问题专题训练
1. 已知函数y =x 2-4ax (1≤x ≤3) 是单调递增函数, 则实数a 的取值范围是 ( ) A
133222
2、下列图中y =ax 2+bx 与y =ax +b (ab ≠0) 的图像只可能是 ( ) D
A. (-∞, ] B. (-∞, 1] C. [, ] D. [ , +∞)
3. 函数y =x 2-2x ，x ∈[0，3]的值域是
（ ）B
A、[-1, +∞) B 、[－1，3] C 、[0，3] D、[－1，0] 4. 不等式ax +bx +2>0的解集是(-
2
12
11
, ) , 则a -b 等于 ( ) C 23
A. －4 B. 14 C. －10 D. 10
5. 若二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像的顶点坐标为(2, -1)，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则（ ）D A ．a =1, b =-4, c =-11 B ．a =3, b =12, c =11 C ．a =3, b =-6, c =11 D ．a =3, b =-12, c =11
6. 已知f (x ) =ax 2+bx +c (a >0) 的对称轴方程为x =2, 则下列判断正确的是 ( ) C
222
) x +x 22 ) 等于（ ）D 7. 设二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ，若f (x 1) =f (x 2) （其中x 1≠x 2），则f (12 A. f (π-2) =f (π) B. f ( 4ac -b 2b B. － C. c D. 4a a 2 8. 不等式(a -2) x +2(a -2) x -4<0对一切x ∈r="" 恒成立，则a=""> b A. － 2a 3 8 2 10. 已知f (x ) =ax +bx ，满足1≤f (-1) ≤2且2≤f (1) ≤4，求f (-2) 的取值范围. [6,10] 9. 已知二次函数f (x ) =ax 2+2ax +1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为－3或 2 11. 已知函数f (x ) =ax +4x +b (a <0) ，设关于x="" 的方程f="" (x="" )="0的两实根为x" 1,="" x="" 2，f="" (x="" )="x"> 根为α, β （1）若a , b 均为负整数，|α-β|=1，求f (x ) 的表达式 （2）若a 为负整数，f (1)=0，求证：1≤|x 1-x 2|<> 44 f (x ) =-x 2+4x -2,|x 1-x 2|=|2+|=2+ [1,2) a a 《三个二次之间的关系探究》教学设计 原州区第五中学 田风高 一、教学内容 人教版九年级上第二十六章《二次函数》后续探究——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。 二、教材分析 1、教材的地位和作用 函数是中学数学的经络，函数思想贯穿着中学数学教学的始终，也是微积分、泛函分析等高等数学的基础。同时在现实生活及其它学科中具有广泛的应用，比如：物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁殖、经济学中生产成本的核算、Excle 中的数据处理、花园中喷水池的建造、拱形桥的设计、导弹的路径??，可以说，函数在现实生活中无处不在，无时不有。 2、学情分析 学生已经掌握了一次函数、二次函数的图像与性质，已有数形结合思想，会用图像说话。对于新知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望。因此，本节课学生在教师的引导下，自主探三个二次之间的关系，不仅能巩固二次函数的图像和性质，而且对他们的数形结合思想、二次函数模型的应用意识也有了一定的提高。 三、教学目标 1、掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。 2、通过绘制二次函数的图像体会一元二次方程的根与函数图像与x 轴的交点的关系，一元二次不等式的解集与二次函数图像上的点的关系。 3、培养学生的识图、绘图、用图能力，体会数形结合思想及普遍联系的辩证观。 四、教学重点、难点 因为，数形结合是函数学习的基本方法，所以熟练地绘制二次函数的大致图像及图像的变换是掌握二次函数的性质的基石。因此，本节课的重点是二次函数的图像、性质及三个二次之间的关系。由于学生的试图能力有限，对函数处理的方法不完整，没有形成模式，故而，在三个二次之间的关系探究中需要教师的指导，是本节的难点。通过学生观察、讨论分散难点。 五、教法、学法分析 义务教育《数学课程标准》（实验稿）指出“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”根据课堂学习的内容特点，本节课主要采用“启发诱导”、“以形助数”的教学方法，充分调动学生积极参与探究。在学法的指导上注重学生直观影响，诱导学生观察图形，自主探究，合作学习。善意归纳总结，做到做一题，学一法，会一类，通一片。 六、教学过程设计 活动一：在同一坐标系中绘制出下列函数的图像 Y=x2-2x+1 Y=-x2+2x-3 Y=x2-2x-3 思考：（四人小组合作，交流） 1、总结二次函数图像的画法 2、上述图像之间有什么关系？ 3、结合上述图像，归纳二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0) 各项系数a,b,c, 及⊿符号的确定。 成果展示： 1、五点法。“先画轴再找点，顶点交点得齐全。再找一对对称点， 连接即成抛物线。” 2、图像的平移与旋转 3、略 活动二：“我说你比划” 教具：两根50cm 铁丝（一根制成直线型，另一根制成抛物线形），一块有坐标系的磁性小黑板。 游戏规则：请同学摆放抛物线及其它的对称轴的位置，另一个同学说明a,b,c, 及⊿符号。反过来，一个同学说出a,b,c, 及⊿符号，然后，另一个同学根据图像确定a,b,c, 及⊿的符号。经过反复训练，培养学生数形结合思想。 思考：（四人小组合作，交流） 1、a,b,c, 及⊿的符号根据抛物线的哪些因素确定。 2、你知道二次函数的图像与x 轴交点的坐标怎么求吗？二次函数与一元二次方程有什么关系？ 3、你知道二次函数图像在x 轴上方（或下方）的部分有什么特点？ 成果展示： 1、a 决定图像的大小和开口方向。b 决定对称轴的位置（左同右异）。c 表示图像在y 轴上的截距。⊿决定图像与x 轴交点的个数。 2、一元二次方程的根就是函数图像与x 轴交点的横坐标 3、当y>0时图像为x 轴上方的部分。y<0时函数图象在x> 活动三：归纳总结（四人一组，独立完成后讨论）（借助投影呈现） 借助实物投影展示结果，并作解说。 活动四：练习（学生板演，学生评讲） 1、已知y ＝f (x ) 是二次函数，且对称轴为x=，且方程f (x ) ＝0 3 2 的两实根之差等于7，求此二次函数的解析式 2、用一条长为Ｌ米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？ 课堂小结 通过本节学习，你的最大收获是什么？最感兴趣的是什么？你还想研究点什么？ 作业布置 解下列不等式：?? 板书设计 教后反思 本节课是初中数学与高中数学的衔接，也是二次函数的图像再次认识。本着数形结合的思想开展的一系列研究，有利于学生创新思维的培养，也有利于满足学生心理需求。 “三个代表”之间的关系 代表中国先进生产力的发展要求、代表中国先进文化的前进方向、代表中国最广大人民的根本利益，这三个“代表”是一个统一的整体，体现了生产力与生产关系、经济基础与上层建筑的统一，体现了物质与精神、经济政治与文化的统一，也体现了历史发展规律与历史创造主体的统一。生产力是社会发展进步的决定力量，文化对经济和政治的发展起着巨大作用，而人民又是创造生产力和先进文化的主体力量，推动着历史的发展。三者有机地统一于建设中国特色社会主义的全过程。 (1)代表中国先进生产力的发展要求，在“三个代表”中居于基础地位。生产力在社会发展中起最终的决定作用，全党同志的一切奋斗，归根结底都是为了解放和发展社会生产力，党的一切方针政策都要最终促进社会生产力的不断发展，促进国家经济实力的不断增强。从先进生产力与先进文化之间的关系看，先进生产力是发展先进文化的物质基础，有什么样的生产力和经济基础，就有什么样的文化;作为先进生产力发展要求的代表，必然也是先进文化前进方向的代表，这二者是紧密联系着的。从先进生产力与人民根本利益之间的关系看，代表先进生产力是代表最广大人民根本利益的必要前提和基本保证。没有先进的生产力，人民的物质文化生活就不能得到满足，人民的利益就不能实现，代表最广大人民的根本利益就是一句空话。 (2)代表中国先进文化的前进方向，在“三个代表”中地位同样重要。先进文化对社会生产力的发展具有巨大的促进作用。人类社会的文明进步，集中表现在生产力的发展和文化的发展。一个政党是先进还是落后，是推动历史进步还是阻碍社会发展，关键要看它是否代表先进生产力的发展要求和先进文化的前进方向。社会文化在自身不断发展的同时，也推动社会生产力的进一步发展。作为上层建筑的组成部分，社会文化必然与生产力状况相适应，但同时通过经济基础对生产力产生巨大的反作用。 (3)代表中国最广大人民的根本利益，是“三个代表”的落脚点。全心全意为人民服务是我们党的惟一宗旨。作为工人阶级的先锋队、中国人民和中华民族的先锋队，党的纲领、路线、方针、政策都是以为人民谋利 益为根本出发点和落脚点的。不断发展先进生产力和先进文化，归根结底都是为了满足人民群众日益增长的物质文化生活需要，不断实现最广大人民的根本利益。能否代表最广大人民的根本利益，是区分一个政党是进步还是落后的根本标志。中国共产党既是中国先进生产力发展要求的忠实代表，又是中国先进文化前进方向的忠实代表，也必然是中国最广大人民根本利益的忠实代表;同时，只有真正代表中国最广大人民的根本利益，才能代表中国先进生产力的发展要求和先进文化的前进方向。 “三个代表”是相互联系、相互促进的统一的整体，体现了党的建设中继承优良传统与不断发展创新的统一，改造客观世界与改造主观世界的统一，保持自身先进性与联系群众广泛性的统一，完成根本任务与实践根本宗旨的统一。“三个代表”既是规律括又是明确要求，既是经验总结又是深刻警示。只要全党能够切实做到深刻理解与把握“三个代表”的内在统一，在思想上和行动上有着贯彻落实“三个代表”的高度自觉性，我们就会更加适应新的形“三个代表”之间的关系势和任务的要求，各方面的工作就能做得更好。 两个方程根之间的关系及其推论 9一数学教学2007年第9期 两个方程根之间的关系及其推论 210017江苏省南京市建邺高级中学丁兴春 设函数:y(x),=g(x)的反函数分别 为:=y-1(),=9一(). 记方程y(x)=g(x)及,()=9()的 根分别为,.若F()=y(x)一g(x)是单调 函数,则有:,()=9(). 证明:是方程y-1()=9-1()的根. 所以y-1()=9(f1),于是 Y(g())=Y(Y(()) ==g(9()), 即Y(g一())一g(g一())=0,(1) 又Ol是方程f(X)=g(X)的根, 所以,()一9()=0,(2) 比较(1),(2)可得: F()=F(g()), 而F(x)=y(x)一g(x)是单调的. 所以Ol=9(f1),即=9()=,(). 下面给出它的两个有趣的推论. 推论1:设函数=f(x)的反函数为= ,(z),记方程x+y(x)=0及方程+,(z)= 0的根分别为Ol,,若F(x)=+y(x)一0是 单调的,则有Ol+=0. 证明:设g(x)=0一,则 9-1()=0一. 由于f(X)=g(X)及,()=9-1()的根 分别为Ol,,且 F(x)=y(x)一g(x)=y(x)+一0 是单调的. 所以=9()=0一O1.从而+=0. 推论2:设函数=y(x)的反函数为= ,(z),记方程xy(x)=0及方程,(z)= 0的根分别为,,若F(x)=f(x)一是单调 的,则有=0. 证明:设if(x)=,则 g-1(z)=. 由于y(x)=g(x)及,()=9-1()的根 分别为Ol,,且 F(x)=,()一9()=,()一= 是单调的. 所以=9()=.从而=0. 运用上述结论及其推论,很多数学竞赛题均 可方便地获解.下面是一组竞赛题,供参考. 例1设Ol是方程+2=10的根,是方 程+log2=10的根,求+的值. 略解:由于F(X)=+2一10是单调递增 的,由推论1可得+=10. 类似地可解如下几题: 1.设是方程++1=0的根,是方 程++1=0的根,求+的值. 2.已知是方程z+sinz=1的根且? 10,l,是方程+arcsinz=1的根,求+ 的值. 例2设方程?10=2006及方程?lg= 2006的根分别为,,求的值. 略解:F():10z一—20— 06 ,则有 F/(z):10zIn10+—2006>0 , 于是F(x)是单调递增的,由推论2可知 =2006. 类似地可解如下几题: 1.设sin=,z?『0,71"]的根为, zarcsinz=的根为,求的值. 2.设方程?3=5,??=5的根分别为 ,且,>0,求的值. /1, 例3设方程I言)一2z=3的根为,方 \/ 1 ~log~z一言=一若的根为,求2—的值. 解:由已知可得 2007年第9期数学教学9—25 反例构造新探 400030重庆市南开中学谢长庚201700上海市青浦高级中学易固强 一 . 它对概念,定理的理解和掌握起着不可替代+6,(0)形式上的对称性,从而想到对其 遵 量祟:掣+.令tx):(?0些知识的理解和掌握是不完全的,也是不深刻的,1?十?'一 =-z产u,则 于任意的0,6?R/~=f(ab)=af(b)+bf(a),一【0,=0.,,IIJ 明;若不是,请举出反例.. 上'八10,=0, = {.c,.xlogaIzl,翥耄(ab)=af'?+ f,1:2+3,1og:—3.于是&,分别是方程,():=:夕(),,-1) ,,, ,,/ 3是单调递减的.f- 1(一 2+3j 夕一()=1 一互 3 ,故2一=一3. 平面的基本性质 平面是无限伸展的； 平面的表示： 通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。 平面的画法： ①通常把水平的平面画成锐角为45。，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示．②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2 所示， 平面的性质： （1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 用符号语言表示公理1： 应用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号语言：P??，且P???????l，且P?l。 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法； ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点； ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 立体几何问题的重要方法： 根据平面的基本性质，把空间图形转化为平面图形来解决，这是立体几何中解决问题的重要思想方法．通常要解决以下四类问题： (l)证明空间三点共线问题：证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两个点在某两个平面上，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个。 平面内，当然必在两平面的交线上． (2)证明空间三线共点问题：证明这类问题一般根据公理l和公理3，把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线，然后证明两条直线的交点在此直线上． (3)证明空间点共面问题：可根据公理2，先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内． (4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论，先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合． 基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面，证明此类问题，常用的方法有： ①纳入法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内． ②同一法：先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内，另一些点和直线在另外一个确定的平面内，……，最后证明这些平面重合． ③反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论 例题1.在空间，下列命题中正确的是（ ） A．对边相等的四边形一定是平面图形 B．有一组对边平行的四边形一定是平面图形 C．四边相等的四边形一定是平面图形 答案：B 例题2.下列说法中正确的是（ ） A．经过两条平行直线，有且只有一个平面 B．如果两条直线同平行于同一个平面，那么这两条直线平行 C．三点唯一确定一个平面 D．不在同一平面内的两条直线相互垂直，则这两个平面也相互垂直 答案：A 例题 3. D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形 例题4.设 l、m、n 为不同的直线，α、β为不同的平面，则正确的命题是（ ） A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β B．若α⊥β，l?α，则l⊥β D．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n C．若l⊥m，m⊥n，则l∥n 解答：由l、m、n 为不同的直线，α、β为不同的平面，知： 若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故A不正确； 若α⊥β，l?α，则l与β相交、平行或l?β，故B不正确； 若l⊥m，m⊥n，则l与n相交、平行或异面，故C不正确； ∵m⊥α，n∥β且α∥β， ∴m⊥β， ∴m⊥n，故D正确． 故选D． 例题5.设α、β表示两个平面，m，n表示不在α内也不在β内的两条直线，给出下列四个论断； ①如果m∥n、α∥β、n⊥α，则m⊥β；②如果n⊥α、m⊥β、α∥β，则m∥n；③如果m∥n、n⊥β、m⊥α，则α∥β；写出你认为正确的命题______． ∵α、β表示两个平面，m，n表示不在α内也不在β内的两条直线， ∵α∥β、n⊥α，∴n⊥α，∵m∥n，∴m⊥β，即①正确； ∵n⊥α，α∥β，∴n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，即②正确； ∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，∵m⊥α，∴α∥β，即③正确． 故答案为：①②③． 例题6.已知直线a∥直线b，直线c与a，b分别相交于点A，B，求证：a，b，c三条直线共面． 证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α， ∵a∩c=A，b∩c=B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α， ∴AB∈α，即c∈α， ∴a，b，c∈α， ∴a，b，c三条直线共面 例题7.如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 证明：∵A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面． 又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD．同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 空间中直线与直线的位置关系 异面直线： 不同在任何一个平面内的两条直线。 空间中直线与直线的位置关系有且只有三种 ： 异面直线的判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。 用符号语言可表示为： 异面直线的画法： 公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 异面直线的性质： 既不平行，又不相交； 证明线线平行的常用方法： ①利用定义，证两线共面且无公共点； ②利用公理4，证两线同时平行于第三条直线； ③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转化思想在立体几何中贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面问题； ④三角形的中位线； ⑤证两线是平行四边形的对边． 例题1.下列说法正确的有______． ①直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线； ②直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线； ③直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线； ④直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M 解析：①直线a平行于平面M，则a平行于M内的无数条直线，但是不是平行于所有的直线，故①不正确， ②直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线；它与平面内的直线是相交或异面关系，故②正确， ③直线a不垂直于平面M，但a垂直于M内的无数条直线，故③不正确， ④直线a不垂直于平面M，则过a的平面有可能垂直于M，故④不正确， 综上可知，只有②正确， 故答案为：② 例题2.设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α∥β，l?α，则l∥β； ④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n． 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误； 由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误； 由面面平行的性质定理，易得③正确； 由线面平行的性质定理，我们易得④正确； 故选B 例题3.两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 解析：因为线面平行时，直线的位置关系是不确定的，所以同时和平面平行的两条直线可能是相交的，也可能是异面的，也可能是平行的． 故选D． 例题4.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形， (1)证明直线BC∥EF； (2)求棱锥F-OBED的体积． (1)证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点， 由于△OAB与△ODE都是正三角形， 所以 OBDE，OG=OD=2， 同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2， 又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED 和△GFD中，由OBDE和OCDF， 可知B，C分别是GE和GF的中点， 所以BC是△GEF的中位线， 故BC∥EF。 (2)解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知 而△OED是边长为2的正三角形，故， ， 所以， 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q， 由平面ABED⊥平面 ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且， 所以。 例题5.如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2． （1）求证：PC⊥BD； （2）求点Q到BD的距离． 解： （1）连接AC ∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A ∴PA⊥平面ABCD ∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影 ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD（4分） ∴PC⊥BD（6分） （2）设AC∩BD=O，连接OQ ∵Q为PA中点，O为AC中点 ∴OQ∥PC ∵PC⊥BD ∴OQ⊥BD ∴OQ的长就是点Q到BD的距离（9分）∵AB=2， PA=4 例题6.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E、F分别是棱BB′与面对角线B′D′的中点，求证：直线EF⊥直线A′D． 例题7.（理）如图，P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A作垂直于PC的截面ADE，截面交PC于点D，交PB于点E． （Ⅰ）求证：BC⊥PC； （Ⅱ）求证：DE∥平面ABC； （Ⅲ） 若点M为△PBC内的点，且满足M到AD的距离等于M到BC的距离，试指出点M的轨迹是什么图形，并说明理由． （Ⅰ）证明：∵P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC ∴平面PAC⊥平面ABC ∵∠ACB=90°， ∴BC⊥AC ∵平面PAC∩平面ABC=AC ∴BC⊥平面PAC ∵PC?平面PAC ∴BC⊥PC； （Ⅱ）证明：∵PC⊥截面ADE，DE?截面ADE ∴PC⊥DE ∵BC⊥PC ∴DE∥BC ∵DE?平面ABC，BC?平面ABC ∴DE∥平面ABC； （Ⅲ） 连接MD ∵PC⊥截面ADE，AD?截面ADE ∴AD⊥BC ∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC ∴AD⊥平面PBC ∵MD?平面PBC ∴AD⊥MD ∴MD为M到AD的距离 ∵点M为△PBC内的点，且满足M到AD的距离等于M到BC的距离 ∴根据抛物线的定义，可知点M的轨迹是抛物线的一部分． 空间中直线与平面的位置关系 1、直线在平面内——有无数个公共点； 2、直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3、直线与平面平行——没有公共点。 直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。 例题1..设m为直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若m∥α，α⊥β，则m⊥β C．若m?α，α∥β，则m∥β B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ 若m∥α，α⊥β，则m⊥β，m与β相交，m?β都有可能，即A不正确； 若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m?β，即B不正确； 根据面面平行的性质，可得线面平行，即C正确； 若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ或β、γ相交，即D不正确 故选C 例题2.下列正确的是（ ） A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α D．若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个 解：在长方体ABCD-HEFG中：记平面HEFG为平面α． 对于A：AB∥α，AD∥α， 但AB∩AC=A，所以其为假命题； 对于B：BC⊥DC，BC⊥CF， 但DC∩CF=C不平行，所以其为假命题； 对于C：HE平行于α内的无数条直线，但HE在平面α内，所以其为假命题； 对于D：因为直线平行于两个平面的交线所以直线要么在其中一个平面内，平行于另一平面；要么直线在两个平面的外面，和两个平面都平行，即其为真命题． 故选：D． 例题3.平面α∩平面β=a，平面β∩平面γ=b，平面γ∩平面α=c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是（ ） A．c与a，b都异面 B．c与a，b都相交 C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行 例题4.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点， 四边形B1BCC1是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：A1B平面AC1D； （Ⅱ）求证：平面A1CE⊥平面AC1D． 解：（Ⅰ）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD． ∵△A1BC中，O、D分别为AC1和BC的中点， ∴ODA1B． 又∵OD平面AC1D，A1B平面AC1D， ∴A1B平面AC1D． （Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵BB1⊥平面ABC，AD平面ABC， ∴B1B⊥AD． ∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点， ∴AD⊥BC． 又∵BC∩B1B=B，BC、B1B平面B1BCC1 ∴AD⊥平面B1BCC1． ∵CE平面B1BCC1，∴AD⊥CE． ∵四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC、BB1的中点， ∴Rt△CBE≌Rt△C1CD，可得∠CC1D=∠BCE． ∴∠BCE+∠C1DC=∠CC1D+∠C1DC=90°，可得C1D⊥CE． ∵AD∩C1D=D，AD、C1D平面AC1D ∴CE⊥平面AC1D． 又∵CE平面A1CE， ∴平面A1CE⊥平面AC1D． 平面与平面的位置关系 1、两个平面平行——没有公共点； 2、两个平面相交——有一条公共直线。 两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表： 例题1.设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m∥n，n?α，则m∥α ②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β ③若α∥β，m?α，n?β，则m∥n ④若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，则n⊥β； 其中正确命题的序号为______． 当m∥n，n?α，则m?α也可能成立，故①错误； 当m?α，n?α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误； 若α∥β，m?α，n?β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误； 若α⊥β，α∩β=m，n?α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确 故答案为：④ 例题2.设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是______（填序号） ①X、Y、Z是直线； ②X、Y是直线，Z是平面； ③Z是直线，X、Y是平面； ④X、Y、Z是平面． 解析：①当直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时，不正确． ②因为垂直于同一平面的两直线平行，正确． ③因为垂直于同一直线的两平面平行，正确． ④如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时，不正确． 故答案为：②③ 例题 点，AB=AC=BE=2，CD=1 （1）求证：DC∥平面ABE； （2）求证：AF⊥平面BCDE； （3）求证：平面AFD⊥平面AFE． （1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， ∴DC∥EB， 又∵DC?平面ABE， EB?平面ABE， ∴DC∥平面ABE， （2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF， 又∵AF⊥BC， ∴AF⊥平面BCDE， （3）由（2）知AF⊥平面BCDE， ∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由计算知DF⊥EF， ∴EF⊥平面AFD，又EF?平面AFE， ∴平面AFD⊥平面AFE． 例题4*.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等； （2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积。 解：（1）将直线A1A4三等分，其中另两个分点依次为作平行于同理，过点的平面，分别过作平面，即为，连接； ， ，即可得出结论。 （2）现设正方体的棱长为a ，若，则有， ， 由于那么，正四面体的棱长为得， ， 其体积为（即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）。 转载请注明出处范文大全网 » 三个“二次”之间的关系范文二：三个二次之间的关系探究
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