常微分方程积分因子法

范文一：常微分方程积分因子法

§5 积分因子法

本节再来讨论§1剩下的没有解决的第三个问题. 即当方程

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

不满足条件 (5. 1) ?P ?Q 时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代换=?y ?x

发在这里是无能为力的. 但在§2对变量分离方程

X (x ) Y 1(y ) dx +X 1(x ) Y (y ) dy =0，虽然一般来说它不是恰当方程，然而用μ(x , y ) =1乘方程两侧，就得到一个恰当方程 X 1(x ) Y 1(y )

X (x ) Y (y ) dx +dy =0. X 1(x ) Y 1(y )

由以上作法我们得到启示，分离变量法可以推广而成为对方程(5. 1) 能够适用的积分因子法. 就是说，对一般的方程(5. 1) ，设法寻找一个可微的非零函数μ=μ(x , y ) ，使得方程

μ(x , y ) P (x , y ) dx +μ(x , y ) Q (x , y ) dy =0 (5. 2)

成为恰当方程，亦即

?(μP ) ?(μQ ) (5. 3) =?y ?x

满足这一条件的μ(x , y ) 称为方程(5. 1) 的一个积分因子.

由条件(5. 3) ，可以看出μ(x , y ) 应满足方程

P ?μ?μ?Q ?P -Q =μ(-) (5. 4) ?y ?x ?x ?y

虽然可证(5. 4) 的解一(5. 4) 是一阶线性偏微分方程. 对于一般的一次连续可微函数P (x , y ), Q (x , y ) ，

定存在，但要想通过解方程(5. 4) 来求积分因子，从而得到方程(5. 1) 的解，将比求解(5. 1) 本身更困难. 然而，在若干特殊情形中，利用(5. 4) 去寻求(5. 1) 的积分因子却是可行的. 也就是说，(5. 4) 为我们提供了寻求特殊形式的积分因子的一个途径.

例如，对于方程(5. 1) ，如果存在只与x 有关的积分因子μ=μ(x ) ，则?μ=0，这时(5. 4) 变成 ?y

Q d μ?P ?Q =(-) μ， dx ?y ?x

或者

?P (x , y ) ?Q (x , y ) -1d μ(x ) ?y ?x (5. 5) =μ(x ) dx Q (x , y )

由此可知，要(5. 5) 有解，其充要条件是：

?P (x , y ) ?Q (x , y ) -?y ?x =G (x ) (5. 6) Q (x , y )

即与y 无关. 当此条件满足时，便可由(5. 5) 式求得方程(5. 1) 的一个积分因子

μ(x ) =e ?G (x ) dx (5. 7)

把上面的讨论用定理的形式写出即为

定理4 微分方程(5. 1) 有一个只依赖于x 的积分因子的充要条件是：表达式(5. 6) 只依赖于x ，而与y 无关；而且由(5. 7) 所确定的函数μ(x ) 是方程(5. 1) 的一个积分因子.

同理，可以得到如下平行的结果.

定理5 微分方程(5. 1) 有一个只依赖于y 的积分因子的充要条件是：表达式

?Q (x , y ) ?P (x , y ) -?x ?y =H (y ) P (x , y )

只依赖于y ，而与x 无关；而且此时函数μ(y ) =e ?

例1 求解微分方程

(3x +y ) dx +(2x y -x ) dy =0 (5. 8)

解这里32H (y ) dy 是方程(5. 1) 的一个积分因子. ?P ?Q =1, =4xy -1，因此原方程不是恰当方程，由于 ?y ?x

1?P ?Q 2(-) =-， Q ?y ?x x

于是由定理4知，原方程有积分因子

μ(x ) =e ?(-x ) dx 2

=1. x 2

将它乘(5. 8) 式，得到一个恰当方程

3xdx +2ydy +ydx -xdy =0， 2x

由此可求得通积分

32y x +y 2-=C . 2x

值得注意的是，同一个微分方程可以有许多积分因子，例如ydx -xdy =0这么一个简单的微分方程，由于

y xdy -ydx ， d () =2x x

x ydx -xdy ， d () =2y y

x ydx -xdy ， d (arctan) =2y x +y 2

x ydx -xdy . d (ln) =y xy

于是1111, , , 等都是这个微分方程的积分因子. 由此再来看上面的例1，将(5. 8) 式的左端分x 2y 2x 2+y 2xy

成两组：

(3x 3dx +2x 2ydy ) +(ydx -xdy ) =0.

其中第二组由上述讨论知，有积分因子11111，若同时考虑到第一组，则是, , 或μ(x ）=xy x 2y 2x 2+y 2x 2两组的公共的积分因子，从而是方程(5. 8) 的积分因子.

为了使这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理.

定理6 若μ=μ(x , y ) 是方程(5. 1) 的一个积分因子，使得

μ(x , y ) P (x , y ) dx +μ(x , y ) Q (x , y ) dy =d Φ(x , y )

则μ(x , y ) g (Φ(x , y )) 也是(5. 1) 的积分因子，其中g (?) 是任一可微的非零函数.

证明 μ(x , y ) g (Φ(x , y ))(P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ) =g (Φ(x , y )) d Φ(x , y )

=d ?g (Φ) d Φ，

所以μ(x , y ) g (Φ(x , y )) 也是(5. 1) 的积分因子.

下面就介绍分组求积分因子法.

设将方程(5. 1) 的左端分成两组，即写成：

(P 1dx +Q 1dy ) +(P 2dx +Q 2dy ) =0，

其中第一组和第二组各有积分因子μ1和μ2，使得：

μ1(P 1dx +Q 1dy ) =d Φ1，μ2(P 2dx +Q 2dy ) =d Φ2.

由定理6，对任意可微函数g 1和g 2，μ1g 1(Φ1) 是第一组的积分因子，μ2g 2(Φ2) 是第二组的积分因子. 如果能够找到适当的g 1和g 2，使得

μ1g 1(Φ1) =μ2g 2(Φ2) =μ，

那么μ也就是原方程(5. 1) 的积分因子.

例2 求解微分方程

(x y -2y ) dx +x dy =0

解把方程改写为

(x ydx +x dy ) -2y dx =0 (5. 9) 不难看出，前一组有积分因子34232411和通积分，故它有更一般的积分因子xy =C g 1(xy ) ，前一组有积33x x

分因子11和通积分，故它有更一般的积分因子g 2(x ) . 为使关系式 x =C 22y y

11g (xy ) =g 2(x ) 1x 3y 2

成立，可取

g 1(xy ) =11，. g (x ) =225(xy ) x

从而得到原方程的积分因子μ=1，以它乘方程(5. 9) 的两端，得到 x 5y 2

11d (xy ) -dx =0， 25(xy ) x

积分即得通解

2x 3

y =. 2Cx 4+1

此外，原方程还有解x =0和y =0，它们是在用

例3 讨论齐次方程

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0 (5. 10) 1乘方程(5. 9) 的两端时丢掉的. 52x y

的积分因子，其中P (x , y ), Q (x , y ) 都是x , y 的m 次齐次函数，且一次连续可微.

解由§4知道，变换y =xu 能把(5. 10) 变为变量分离的方程. 事实上，由于P (x , y ) ，Q (x , y ) 的齐次性可知成立：

P (x , y ) =P (x , xu ) =x m P (1, u ) ，Q (x , y ) =Q (x , xu ) =x m Q (1, u ) .

此外，还有dy =xdu +udx ，一起代入(5. 10) 式，得：

x m {[P (1, u ) +Q (1, u ) u ]dx +xQ (1, u ) du }=0.

要把它变为恰当方程，只需在等式两边乘以积分因子

μ=11=. m +1x [P (1, u ) +Q (1, u )]xP (x , y ) +yQ (x , y )

本章关于一阶微分方程的初等积分法基本上可以分为两类：一类方法的基础是变量分离的方程，方法的特点是将所考虑的方程通过适当的变量代换化为变量分离的方程. 令一类方法的基础是恰当方程，方发的特点是，寻找适当的积分因子，将所给的方程化为恰当方程.

熟悉各种类型方程的解法，正确而又迅速地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所属类型的方法求解，这是最基本的要求. 但是一般我们所遇到的方程未必就是所讨论过的方程类型，因此我们必须对具体问题作具体的分析，善于根据方程的特点，引进适当的变换或寻找适当的积分因子，将方程化为能求解的新类型，从而求解.

范文二：常微分方程积分因子法的求解

用积分因子法解常微分方程

摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要. 此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便. 关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解

Abstract ：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations. Key Words ：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution

自变量只有一个的微分方程称为常微分方程. 常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置. 本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解. 常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].

1 恰当微分方程

1.1 常微分方程

联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.

方程

d 2y dy

+b +cy =f (t ), （1.1） dt dt

?dy ?dy

+t +y =0 （1.2） ?

??就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量.

1.2 恰当微分方程

考虑一阶方程

M (x , y ) d +x 0 （ 1.3） N (x , y ) =d y

这里假设M (x , y ) dx ，N (x , y ) dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数. 若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数u (x , y ) 的全微分，即

M (x , y ) d +x N (x , y ) =d y y （ 1.4） d (u , x

则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.

恰当微分方程（1.3）的通解就是

u (x , y ) =c , （1.5）

这里c 是任意常数.

定理1[2] 设函数M (x , y ) dx 和N (x , y ) dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是

?M (x , y ) ?N (x , y )

=. （1.6）

?x ?y

1.3 恰当微分方程的解法

方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式方法2 不定积分法：利用关系式：

M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =du (x , y )

由此，函数u (x , y ) 应适合方程组

=M (x , y ), ?x ?u

=N (x , y ) ?y

对

=M (x , y ) 关于x 积分得 ?x

u =?M (x , y ) dx +?(y )

两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得

?u ?M ?N =?+?' (y ) =?+?' (y ) =N (x , y ) ?y ?y ?x

通过对方程

?N '

+?(y ) =N (x , y ) ??x

关于y 积分，解出?(y ) ，从而可得u =M (x , y ) dx +?(y ) 的表达式，令

?M (x , y ) dx +?(y ) =c

即得方程的通解.

如果对

=N (x , y ) 关于y 积分，同理可得方程的通解为 ?x

?N (x , y ) dx +ψ(x ) =c

其中ψ(x ) 可类似于?(y ) 求解的方法得到. 方法3 公式法：方程的通解为

或其中c 是任意常数[3].

x 0x

M (x , y ) dx +?N (x 0, y ) dy =c

y 0

x 0

M (x , y 0) dx +?N (x , y ) dy =c

y 0

例1 求(x +y ) dx +(x -2y ) dy =0的通解

解这里M =x +y , N =x -2y , 在xy 平面上有连续偏导数，这时

=1, ?y

因此方程为恰当微分方程.

=1, ?x

方法1（不定积分法）现在求u ，使它同时满足如下两个方程：

（1） =x 2+y ，

（2） =x -2y .

由（1）对x 积分，得到

（3） u =x 3+xy +?(y ) ，

将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得

?u ?y =x +d ?(y )

=x -2y ，于是

d ?(y )

=-2y , 积分后得

?(y ) =-y 2,

将?(y ) 代入（3），得到

u =13

x 3

+xy -y 2.

因此，方程的通解为

1x 3

+xy -y 23

=c , 这里c 是任意常数.

方法2 （公式法）取(x 0, y 0) =(0,0) 因此

u (x , y ) =?x

M (x , y ) dx +?y

N (x , y ) dy

=?x

(x 2

+y ) dx +?y

(x -2y ) dy

x 132y =(x +xy ) -y 003

=x 3+xy -y 2 3

因此，方程的通解为

x +xy -y 2=c , 3

这里c 是任意常数.

方法3（凑微分法）将方程重新“分项组合”，得到

x 2dx +ydx +xdy -2ydy =0

即

d x 3+dxy -dy 2=0 3

或者写成

d (x 3+xy -y 2) =0 3

因此，方程的通解为

x +xy -y 2=c , 3

这里c 是任意常数.

2 用积分因子法解常微分方程

恰当微分方程可通过积分求出它的通解, 但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子, 化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。

2.1 积分因子的基本概念

如果存在连续可微的函数μ=μ(x , y ) ≠0，使得

μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0 （2.1）

为一恰当微分方程，即存在函数υ，使

，（2.2） μM d x +μN d ≡y υd

则称μ(x , y ) 为方程（2.1）的积分因子.

因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当微分方程转化为恰当微分方程的求解问题.

性质1 只要方程（1.3）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，通解可能具有不同的形式.

性质2 方程（1.3）的任意两个积分因子μ1(x , y ) 和μ2(x , y ) 之间必有函数关系. 性质3 若方程（1.3）的有两个积分因子μ1(x , y ) 和μ2(x , y ) ，且

μ1(x , y )

≠常数，

μ2(x , y )

则该方程的通积分为

μ1(x , y )

=c .

μ2(x , y )

注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检查.

2.2 积分因子的存在的充要条件

根据微分方程

μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0

为全微分方程的充要条件是

?[μ(x , y ) M (x , y )]?[μ(x , y ) N (x , y )]

?y ?x

即

μ(x , y )

令

?M (x , y ) ?μ(x , y ) ?N (x , y ) ?μ(x , y )

+M (x , y ) =μ(x , y ) +N (x , y )

?y ?y ?x ?x

μ=μ(x , y ) ，M (x , y ) =M ，N (x , y ) =N .

整理上式即

?μ?μ?M ?N

. (2.3) -M ) =-

?x ?y ?y ?x

故μ=μ(x , y ) 为方程（1.3）的积分因子的充要条件是μ=μ(x , y ) 为方程（2.3）的解[4].

2.3 积分因子法解常微分方程

积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件的形式各异. 函数μ(x , y ) 为方程（1.3）的积分因子的充要条件是

?μ?μ?M ?N -M ) =(-) μ ?x ?y ?y ?x

（1） μ(x , y )=μ(x ) 有关的积分因子充要条件是

?M ?N

-?y ?x

=?(x )

?(x ) dx ?此时，积分因子为μ(x ) =e .

例2 求(y +2ye ) dx +(2y +e ) dy =0的积分因子及通解.

解这里M =y +2ye , N =2y +e , 在xy 平面上有连续偏导数，这时

2x x

=2y +2e x , ?y

?M ?N

因为 -=2y +e x

?y ?x

=e x , (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-?y ?x 2y +e x

==1 与x 有关，所以 x

N 2y +e

积分因子为μ(x ) =e ?

=e x ，将积分因子同时乘以方程两边得

(y 2e x +2ye 2x ) dx +(2ye x +e 2x ) dy =0

即

d (y 2e x +ye 2x ) =0

因此，方程的通解为

y 2e x +ye 2x =c

这里c 为任意常数.

（2） μ(x , y )=μ(y ) 有关的积分因子充要条件是

?M ?N

-?y ?x

=ψ(y )

-M

此时，积分因子为μ(y ) =e ?

ψ(y ) dy

例3 求xydx +(x +y ) dy =0的积分因子及通解

解这里M =xy , N =x +y , 在xy 平面上有连续偏导数，这时

=x , ?y

因为

=2x , (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-=-x ?y ?x

?M ?N -

-x 1?y ?x == 与y 有关，所以

-M -xy y

1?y dx

=y ，将积分因子同时乘以方程两边得积分因子为μ(y ) =e

xy 2dx +(x 2y +y 2) dy =0

即

122

d (x y ) +y 2dy =0 2

因此，方程的通解为

122

x y +y 2=c 2

这里c 为任意常数.

（3） μ(x , y )=μ(xy ) 有关的积分因子

充要条件是

?M ?N

-?y ?x

=f (xy )

Ny -Mx

此时，积分因子为u (x , y ) =e ?

f (xy ) d (xy )

例4 求方程ydx +(x -3x 3y 2) dy =0的积分因子及通解

解这里M =y , N =x -3x 3y 2, 在xy 平面上有连续偏导数，这时

=1, ?y

因为

=1-9x 2y 2, (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-=9x 2y 2 ?y ?x

Ny -Mx =-3x 3y 3

?M ?N -

3?y ?x

=- 与xy 有关，所以

Ny -Mx xy

积分因子为μ(xy ) =e

?xy d (xy )

-3

，将积分因子同时乘以方程两边得 3

(xy )

1x -3x 3y 2

dx +() dy =0 3233

x y x y

此时是恰当微分方程. 即

d (

因此，方程的通解为

+3ln y ) =0 22

2x y

+3ln y =c 22

2x y

这里c 为任意常数.

（4） μ(x , y )=μ(x ±y ) 有关的积分因子充要条件是

?M ?N

-?y ?x

=f (x ±y )

N M

此时，积分因子为u (x , y ) =e ?

(x ±y ) d (x ±y )

例5 求方程(x 2-xy -2y 2) dx +(2x 2+xy -y 2) dy =0的积分因子及通解. 解这里M =x 2-xy -2y 2, N =2x 2+xy -y 2, 在xy 平面上有连续偏导数，这时

=-x -4y , ?y

因为

=4x +y , (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-=-5x -5y =-5(x +y ) ?y ?x

N -M =x 2+2xy +y 2=(x +y ) 2

?M ?N

-5?y ?x -5(x +y )

==所以与x +y 有关， 2

N -M (x +y ) x +y

积分因子为μ(x +y ) =e

?x +y d (x +y )

-5

，将积分因子同时乘以方程两边得 5

(x +y )

x 2-xy -2y 22x 2+xy -y 2() dx +() dy =0 55

(x +y ) (x +y )

此时是恰当微分方程. 所以

x 2-xy -2y 2u (x , y ) =?dx +?(y ) 5

(x +y )

(x +y ) 2-3y (x +y ) =?dx +?(y ) 5

(x +y )

=?=

13y

dx -dx +?(y ) 34

(x +y ) (x +y )

-1y

++?(y ) 23

2(x +y ) (x +y )

?u (x , y ) 1x -2y 2x 2+xy -y 2'

=++?(y ) =又， 345

?y (x +y ) (x +y ) (x +y )

那么

?' (y ) =0

则

?(y ) =0，

故

u (x , y ) =

因此，方程的通解为

-1y

， +23

2(x +y ) (x +y )

-1y

+=c 23

2(x +y ) (x +y )

这里c 为任意常数.

(5) μ(x , y )=μ(x 2±y 2)形式的积分因子[5] 充要条件为

?M ?N

-?y ?x

=f (x 2±y 2)

2(Nx My )

(x ?此时，积分因子为u (x , y ) =e

±y 2) d (x 2±y 2)

例6 求方程(x 2+y 2+y )dx -xdy =0 的积分因子及通解.

解这里M =x 2+y 2+y ， N =-x ，在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、

y 的多项式，这时

=2y +1, ?y

因为

=-1, (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-=2y +2?y ?x

Nx -My =-x 2-x 2y -y 3-y 2=-(x 2+y 2)(y +1)

?M ?N

2(y +1) 1?y ?x 22

=-=-所以与有关， x +y 2222

2(Nx -My ) 2(x +y )(y +1) x +y

积分因子为μ=e

?-x 2+y 2d (x

+y 2

)

将积分因子同时乘以方程两边得 22

x +y

y x

dx -dy =0 x 2+y 2x 2+y 2

此时是恰当微分方程. 凑微分将方程为

d (ln(x 2+y 2)) =0 2

因此，方程的通解为

ln(x 2+y 2) =c 2

这里c 为任意常数.

（6） μ(x , y )=μ(x y ）（α、β为待定常数）有关的积分因子的充要条件是

?M ?N αβ

-=N -M ?y ?x x y

且积分因子为u (x , y ) =x y （α、β为待定常数）.

此结论适用于M 、N 均为x 、y 的多项式.

例7 求方程(3y +4xy ) dx +(2x +3x y ) dy =0的积分因子及通解.

解这里M =3y +4xy ), N =2x +3x y , 在xy 平面上有连续偏导数，M 、N 均为x 、y 的多项式，这时

=3+8xy , ?y ?N

=2+6xy , (不是恰当微分方程) ?x

?M ?N

-=1+2xy 因为 ?y ?x

?M ?N αβ-=N -M ?y ?x x y

所以

?2α-3β=1

?3α-4β=2

解得

?α=2

?β=1

积分因子为μ=x 2y ，将积分因子同时乘以方程两边得

(3x 2y 2+4x 3y 3) dx +(2x 3y +3x 4y 2) dy =0

此时是恰当微分方程. 凑微分将方程为

d (x 3y 2+x 4y 3) =0

因此，方程的通解为

x 3y 2+x 4y 3=c

这里c 为任意常数.

（7）分组组合法[6]. 分组组合方法的原理：若方程（2.1）可进行下列分组组合

[M 1(x , y ) dx +N 1(x , y ) dy ]+[M 2(x , y ) dx +N 2(x , y ) dy ]=0

并且 μ1(x , y )(M 1(x , y ) dx +N 1(x , y ) dy ) =du 1(x , y ) μ2(x , y )(M 2(x , y ) dx +N 2(x , y ) dy ) =du 2(x , y )

寻找适当的可微函数?1(t ) 和?2(t ) 使得μ1(x , y ) ?1(u ) =μ2(x , y ) ?2(u ) ，则原方程的积分因子为μ1(x , y ) ?1(u ) =μ2(x , y ) ?2(u ) .

例8 求方程(x y 2-2y ) dx +x dy =0的积分因子及通解解将方程重新组合为

(x ydx +x dy ) -2y dx =0，（1）

前一组有积分因子3和通积分xy =c ，后一组有积分因子2和通积分x =c ，

y x

可为函数G 1(xy ) 和G 2(x ) 使

G (xy ) =G 2(x ) ， 312x y

取

G 1(xy ) =

11，， G (x ) =2225

x y x

从而得到方程的积分因子 μ=52，

x y

将积分因子同时乘以（1）两边，得到

(

即

112dx +dy ) -dx =0 22225

x y x y x

y 1

d () +4dx =0 x 2x

因此，方程的通解为

y 1

+4=c x 2x

这里c 为任意常数.

3 常见一阶微分方程的积分因子解法

根据微分方程

μ(x , y ) M (x , y ) dx +μ(x , y ) N (x , y ) dy =0

μ=μ(x , y ) 为分方程的积分因子的充要条件是

?μ?μ?M ?N

. (N -M ) =-

μ?x ?y ?y ?x 1

积分因子的形式各异，用形式简单、易行的方法解出常见的一阶微分方程，相比传统的解法更快捷、省时. 下面给出常见的几种一阶微分方程的积分因子存在形式.

3.1 一阶线性方程的积分因子解法

形如

3.1） +p (x ) y =f (x ) （

的方程为一阶线性微分方程. 将方程改为对称式为

[p (x ) y -f (x ) ]dx +dy =0

令p (x ) y -f (x ) =P (x , y ), Q (x , y ) =1，那么

?P ??y -Q ?x

=p (x ) 是关于x 的函数, 此时，积分因子为μ(x ) =e ?p (x ) dx .

例9 求方程

dy dx +y x =

cos x

的积分因子及通解解这里p (x ) =

, 在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子 μ(x ) =e ?

p (x ) dx

1=e ?

将积分因子同时乘以方程两边得

xdy +ydx -cos xdx =0

凑微分得

d (xy ) -d (sinx ) =0

两边积分得

xy -sin x =c

因此，方程的通解为

x 3y 2+x 4y 3=c

这里c 为任意常数.

3.2 伯努力微分方程的积分因子解法

形如

=P (x ) y +Q (x ) y n 的方程，称为伯努力微分方程，这里P (x ) ，Q (x ) 为x 的连续函数，方程两边同时乘以y -n

(y ≠0) 并令z =y

-n

得

（3.2）

n ≠0,1是常数.

+(n -1) P (x ) z =(1-n ) f (x ) （3.3）

由线性方程的积分因子知方程（3-3）的积分因子为

μ(x , y ) =y -n e

(n -1) ?

p (x ) dx

例10 求方程

+y =(sinx -cos x ) y 2的积分因子及通解解这里P (x ) =-1, 在xy 平面上有连续偏导数，这时积分因子

μ(x , y ) =y -2e 1?

-dx

=y -2e -x

将积分因子同时乘以方程两边，并化对称式为：

y -2e -x dy +y -1e -x dx =(sinx -cos x ) e -x dx

凑微分得

d (-e x y -1) =d (-e -x sin x )

两边积分得

-e -x y -1=-e -x sin x

因此，方程的通解为

-e -x y -1+e -x sin x =c

这里c 为任意常数.

3.3 可分离变量方程的积分因子解法

形如

p 1(x ) q 1(y ) dx +p 2(x ) q 2(y ) dy =0 用观察法可以求得可分离变量方程的积分因子，方程两边同时乘以1

p 2(x ) q 1(y )

得

p 1(x ) q (y )

p x ) dx +2q dy =0 2(1(y )

这里P (x , y ) =

p 1(x ) p (x ) , Q (x , y ) =q 2(y ) q (y )

213.4）

（

因此

?P ?Q ==0 ?x ?y

p 2(x ) q 1(y )

可分离变量方程的积分因子为

μ(x , y ) =

例11 求方程(xy +x -y -1) dx +(xy -x ) dy =0的积分因子及通解. 解将方程变形为(x -1)(y -1) dx +x (y -1) dy =0 方程的积分因子为

μ(x , y ) =

1p x ) q y ) =1

x (y +1)

2(1(将积分因子同时乘以方程两边，并化为：

x -1x dx +y -1

y +1

dy =0 凑微分得

d (x -ln x ) -d (y +ln(y +1)) =0

两边积分得

x -ln x -y -2ln(y +1) =0

即

x -y -ln x (y +1) =0

因此，方程的通解为

x -y -ln x (y +1) =c

这里c 为任意常数.

3.4 齐次方程的积分因子的解法

设

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0 的方程为齐次方程. 将方程化为：

-P (x , y ) x

Q (x , y ) =f (y ) dy y

（形如dx =f (x

) ） 3.5）

3.6）（（

将方程（3-6）两边同时乘以

，并令μ=代入得

Q (x , y ) x

[u -f (u ) ]d x +

（3.7） x d =u 0

方程（3-7）为可分离变量方程，其积分因子为：μ=

x [u -f (u )]

将μ=代入并乘以得齐次方程（3-5）的积分因子为：

Q (x , y ) x

μ=

注：当

xP (x , y ) +yQ (x , y )

dx x

=g () 时有相同的积分因子. dy y

例12 求方程(1+2e ) dx +(1-解方程的积分因子为

) dy =0的积分因子及通解. y

1x +2ye

x y

μ(x , y ) ==

xP (x ) +yQ (y )

将积分因子同时乘以方程两边得

x y x y

1+2e

dx +

2e (1+)

y x +2ye

x y

dy =0

x +2ye

取(x 0, y 0) =(0,1) 因此，由全微分公式得

u (x , y ) =?P (x , y ) dx +?Q (x , y ) dy

x y

1+2e

x y x y x y

x +2ye

dx +?

22y

x y

=ln(x +2ye ) +ln y

=ln(x +2ye ) -ln 2

因此，方程的通解为

x y

ln(x +2ye ) -ln 2=ln c 1

即

x y

x +2ye =c （c =2c 1）

这里c 是任意常数.

一般说来, 对于以上常见的四种类型的微分方程, 均可以找到以上类型的积分因子从而化为全微分方程求解.

参考文献

[1]王高雄，朱思铭，周之铭，王寿松. 常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]周义仓，靳祯，秦军林. 常微分方程及其应用-方法、理论、建模、计算机[M].北京：科学出版社，2003.

[3]窦霁虹. 常微分方程考研教案第二版[M].西安：西北工业大学出版社，2006. [4]阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J].河北：邯郸师专学报，2004，（14）. [5]李君士. 积分因子的求法[J].九江师专学报：自然科学版，1989，8（2）：64-68 [6]孙清华，李金兰，孙昊. 常微分方程内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.

范文三：常微分方程积分因子法的求解

摘要

微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。

人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。

所以我们必须能够求出它的解。

同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。

对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；

一阶微分方程积分因子的求法探讨

数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：郑丽丽职称：教授

摘要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．

关键词：一阶微分方程；积分因子

The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary

Differential Equation

Abstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently．When the differential equations meet some conditions， therefore ， the common method we can get from it．

Key Words：the first order ordinary differential equation；integral factor

０前言

一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量

可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．

1 积分因子的定义

若对于一阶微分方程

M (x , y )dx +N (x , y )dy =0 （1）

其中M (x , y )，N (x , y )在矩形域内是x , y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数μ(x , y )≠0，使得

μ(x , y )M (x , y )dx +μ(x , y )N (x , y )dy ≡0，

为一恰当方程，即存在函数V ，使

μMdx +μNdy =dV ．

则称μ(x , y )为方程的积分因子．（1）

通过计算可得，函数μ(x , y )为Mdx +Ndy =0积分因子的充要条件为：

?(μM )?x

=?(μN )?y

，

即

?μ?μ??M ?N ?

-M = - ?μ （2）?x ?y ??y ?x ?

这是个以μ为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程(2)来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．

2 积分因子存在的充要条件

定理1[5] 方程M (x , y )dx +N (x , y )dy =0具有形如μ=μ??φ(x , y )??的积分因子的充要条件为：

??M ?N ???φ?φ?

-M -N φ(x , y )? ???=f ???． ?y ?x ?x ?y ????

-1

证明因为M (x , y )dx +N (x , y )dy =0有积分因子的充要条件为

?μ?μ??M ?N ?

-M = -?μ． ?x ?y ??y ?x ?

令μ=μ??φ(x , y )??，则有

d μ?φd μ?φ??M ?N ?-M = -?μ(φ)， d φ?x d φ?y ??y ?x ?

即

d μ

??M ?N ???φ?φ?= -N -M φ(x , y )?． ???=f ???μ??y ?x ???x ?y ?

-1

并由此得出其积分因子为

μ(x , y )=e ?

f (φ)d φ

．

根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件． 2.1 具有μ=μ(x )形式的积分因子[1]

方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(x )的充要条件为

?M ?N

-?y ?x

=?(x )， N

这里?(x )仅为x 的函数．于是积分因子为μ=e ?

?(x )dx

．

例1[2] 求(y -x 2)dx -xdy =0的积分因子．

?M ?N

2?M ?N ?y ?x

解因为M =y -x 2，N =-x ，且=1，=-， =-1，则

?y N x ?x

于是积分因子为μ=e

?x 2

=x -2．

2.2 具有μ=μ(y )形式的积分因子[1]

方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(y )的充要条件为

?M ?N

-?y ?x

=ψ(y )，

-M

这里f (y )仅为y 的函数．于是积分因子为μ=e ?

例2

[5]

ψ(y )dy

．

求(y cos x -x sin x )dx +(y sin x +x cos x )dy =0的积分因子．

?M ?N

-?y ?x

解因为M =y cos x -x sin x ，N =y sin x +x cos x ，且=1，

-M

于是积分因子为μ(x , y )=e ?=e y ．

2.3 具有μ=μ(x ±y )形式的积分因子

[8]

方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(x ±y )的充要条件为

??M ?N ?-1

- ?(M ±N )=f (x ±y )． ??y ?x ?

例3[3] 求方程(2x 3+3x 2y +y 2-y 3)dx +(2y 3+3xy 2+x 2-x 2)=0的积分因子．解因为

M =2x 3+3x 2y +y 2-y 3， N =2y 3+3xy 2+x 2-x 2，

??M ?N ?2-1

-N -M =-且，只与x +y 有关，于是有积分因子 ()??y ?x x +y ??

μ(x , y )=e

2.4 具有μ=μ(x 2±y 2)形式的积分因子[8]

?-x +y d (x +y )

． x +y

方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(x 2±y 2)的充要条件为

??M ?N ?-122

-Nx ±My =f x ±y ()()． ??y ?x ??

例4[3] 求方程(x 2+y 2+y )dx -xdy =0的积分因子．

??M ?N ?1-1

-Nx -My =-解因为M =x 2+y 2+y ， N =-x ，且， ()?22?y ?x x +y ??

于是积分因子为μ=e

?-x +y d (x

+y 2

)

． x 2+y 2

推广[7] 方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(x α+y β)的充要条件是：

-1??M ?N ?α-1β-1

-αx N -βy M =f (x α+y β)． ) ?(??y ?x ?

2.5 具有μ=μ(x αy β)形式的积分因子

方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(x αy β)的充要条件为

1??M ?N ??αN βM ?αβ

--???=f (x y )． αβ x y ??y ?x ??x y ?

-1

由此又可分为二种类型：

(1) 方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ(xy )的充要条件为

??M ?N ?1-1

-Nx -My =-; ) ?(xy ??y ?x ?

(2) 方程Mdx +Ndy =0具有特殊因子μ=μ

?x ?

?的充要条件为 y ??

-1

??M ?N ??M Ny ??y ?

- -+=f ?? ?． 2??y ?x x x ??x ????

例5[4] 求方程(2y 2+4x 2y )dx +(4xy +3x 3)dy =0的积分因子．解设积分因子为x p y q ，于是有

?x p y q (2y 2+4x 2y )?=?x p y q (4xy +3x 3)?，

??x ???y ?

或写成

2(2+q )x p y 1+q +4(q +1)x 2+p y q =4(p +1)x p y 1+q +3(3+p )x 2+p y q ．

上式对任意x 和y 都满足时，必须有2(2+q )=4(p +1)，4(q +1)=3(3+p )，解之得p =1，

q =2．于是有积分因子μ=xy 2．

注此种类型中α，β的确定可用待定系数法．

以上所讨论的是微分方程具有特殊因子的求法．而有些方程具有特殊结构，我们可根

据其特殊结构求出其积分因子．

3 特殊结构方程的积分因子[6]

定理2 方程M (x )N (y )dx +P (x )Q (y )dy =0有积分因子：

μ=

．

N y P x 定理3 如果xM +yN ≠0，而M 和N 皆为m 次齐次函数，则方程Mdx +Ndy =0有积分因子：

μ=

．

xM +yN

4 分组求积分因子法[9]

对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子．

例如分成两组：

(M 1dx +N 1dy )+(M 2dx +N 2dy )=0

可分别求出各组的积分因子μ1和μ2，也就是如果有u 1，u 2使：

（3）

μ1M 1dx +μ1N 1dy =du 1，μ2M 2dx +μ2N 2dy =du 2．

于是借助μ1，μ2常可求得Mdx +Ndy =0得积分因子．

定理4[4] 如果μ是Mdx +Ndy =0的一个积分因子，且μMdx +μNdy =du ，则μ?(u )也是M d +x

N =d 0y 的积分因子．此处?(u )是u 的任一连续函数．而

μ?(u )Mdx +μ?(u )Ndy =?(u )(μMdx +μNdy )=?(u )du =d φ(u )，其中φ是?的一个原函数．

据此知，对任意的函数?(u )，ψ(u )，μ1?(u 1)及μ2ψ(u 2)都分别是(3)的第一组和第二组的积分因子．函数?、ψ有着广泛选择的可能性，若能选择?、ψ使：

μ=μ1?(u 1)=μ2ψ(u 2)，

则μ就既是(3)的第一组也是第二组的积分因子．因而也就是Mdx +Ndy =0的积分因子．

例6[9] 求方程(x 3y -2y 2)dx +x 4dy =0的积分因子．解原方程改写为(x 3ydx +x 4dy )-2y 2dx =0，显然μ1=

u 2=x ．为使

u =xy ，，，μ=1223

y x

1111

g xy =，只需取，．于是求的原方程g xy =g x g x =()()()()11222325

x y x (xy )

的一个积分因子：

μ=

． 52

x y

综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性．

参考文献：

[1] 焦宝聪，王在洪，时红廷．常微分方程[M]．北京：清华大学出版社，2008．

[2] 孙清华，李金兰．常微分方程内容、方法和技巧[M]．武汉：华中科技大学出版社，2006． [3] 钱伟长．常微分方程的理论及其解法[M]．北京：国防工业出版社．1992． [4] 丁同仁，李承浩．常微分方程教程[M]．北京：高等教育出版社．1991． [5] 王高雄，周之铭，王寿松．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社．2006．

[6] 潘鹤鸣．几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用[J]．巢湖学院学报，2003（3）：

18-22．

[7] 李德新．两类特殊微分方程的积分因子解法[J]．福建农林大学学报，2004，33（2）：269-271． [8] 李君士．积分因子的求法[J]．九江师专学报：自然科学版，1989，8（2）：64-68

[9] 吴淼生．关于非恰当方程Mdx +Ndy =0积分因子的求法[J]．宜春师专学报，1994，2（2）：15-23．

Abstract

Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..

Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in

accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear

So we must be able to find its solution. Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.

For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor

Keywords:

Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential

第1章绪论………………………………………………………………1

1.1 常微分方程………………………………………………………………………1 1.2 恰当微分方程……………………………………………………………………1

第2章积分因子的存在性………………………………………………2

2.1 各种形式积分因子存在的充要条件……………………………………………2 2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子…………………………………………5

第3章积分因子求法的推广……………………………………………7

?P ?Q P -=Qf (x ) -

y 的积分因子求法………………………………7 3.1 满足条件?y ?x

m +1m -123422m

???(m +3) x +mx y +3xy dx +6y +3x y +3x y ????dy =0积分因3.2 方程?

子…………………………………………………………………………………………9

m m -1m ??3x +m (x +y ) x dx +3x dy =0?3.3 方程?积分因子……………………………11

m m -1m ???(4+m ) x +mx y +4y dx +x +4x +5y ????dy =0积分因子…………12 3.4 方程?

参考文献……………………………………………………………………15 致谢…………………………………………………………………………16

第1章绪论

1.1 常微分方程

数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的。

常微分方程的发展史大致可分为五个阶段：第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段。第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段。这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式。这个阶段可化为积分的方程的基本类型巳被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解。第三阶段是十九世纪上半期。

这个阶段数学分析的新概念（如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等）和新方法，大大影响了微分方程理论的发展。这是建立常徽分方程基础的阶段。第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段。第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段。

1.2 恰当微分方程

第2章积分因子的存在性

2.1 各种形式积分因子存在的充要条件

定义对于一阶微分方程 M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0如果存在连续可微的函数

u =u (x , y ) ≠0，使得u (x , y ) M (x , y ) dx +u (x , y ) N (x , y ) =0为一恰当微分方程，即存在函数U ，

使得uMdx +Ndy =dU ，则称u (x , y ) 为方程的积分因子。

引理函数u (x , y ) 为方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的积分因子的充要条件是

d (uM ) d (uN )

=dy dx 。

积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。

结论1 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有只与x 有关的积分因子的充要条件是

1dM dN *(-) N dy dx ，且积分因子为u =exp(?(x ) dx ) 。

结论2 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有只与y 有关的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) M dy dx ，且积分因子为u =exp(?(x ) dy ) 。

结论3 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (x +y ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =f (x +y ) u =exp(?(x +y ) d (x +y )) N -M dy dx ，且积分因子为。

du du du

x +y =u du dx dy ，证明令，则假设u (x +y ) 为方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的d (uM ) d (uN )

dx ，所以积分因子，则由引理有充要条件dy u *(

dM dN du du du du du

-) =N -M =N -M =(N -M ) *dy dx dx xy du du du ，所以，

du 1dM dN 1dM dN =*(-) du *(-) =f (x +y ) u N -M dy dx dy dx ，当且仅当，N -M 时可以解出u ，故

方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (x +y ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =f (x +y ) N -M dy dx 。

结论4 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (x -y ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =f (x -y ) u =exp(?(x -y ) d (x -y ) N -M dy dx , 且积分因子。证明类似结论3的证

明。

结论5 方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (xy ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN *(-) =f (xy ) u =exp(?(xy ) d (xy ) Ny -Mx dy dx , 且积分因子。

du du dv du du du dv du

=*=y *=*=x *

dv dy dv dy dv ，假设u (x , y ) 为方程证明 xy =v ，则dx dv dx

d (uM ) d (uN )

M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的积分因子，则有充要条件dy dx ，所以u (

dM dN du du du du du

-) =N *-M =Ny -Mx =(Ny -Mx ) *dy dx dx dy dv dv dv ，所以，

du 1dM dN 1dM dN =*(-) *dv *(-) =f (v ) u Ny -Mx dy dx dy dx ，当且仅当Ny -Mx 时, 可以解出u , 故

方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (xy ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =f (xy ) u =exp(?(xy ) d (xy ) Ny -Mx dy dx , 且积分因子。

a b

u (x +y ) 的积分因子的充要条件是M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0结论6 方程有形如

1dM dN

*(-) =f (x a +y b ) a -1b -1u =exp(?(x a +y b ) d (x a +y b )) dy dx Nax -Mby ，且有积分因子。

du du du du du a -1du du b -1du =*=ax =*=by a b x +y =u ，则dx du dx du dy du dy du ，假设证明令

u (x a +y b ) 是方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的积分因子，则由引理有充要条件：

d (uM ) d (uN ) dM dN du du du

=u *(-) =N -M =(Nax a -1-Mby b -1) dy dx ，所以，dy dx dx dy du ，从而，du dM dN =(Nax a -1-Mby b -1) -1*(-) =f (u ) u dy dx 时，可以解出u ，得方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0 有形如u (x a +y b ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =f (x a +y b ) a -1b -1u =exp(?(x a +y b ) d (x a +y b )) dy dx Nax -Mby ，即可得积分因子。

a b

u (mx +ny ) 的积分因子的充要条件是M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0结论7 方程有形如

1dM dN a b

*(-) =f (mx +ny ) a -1b -1

dy dx N max -Mnby ，且积分因子u =exp(?(mx a +ny b ) d (mx a +ny b ))

。证明类似结论3 的证明。

a b

u (x y ) 的积分因子的充要条件是M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0结论8 方程有形如

1dM dN a b

*(-) =g (x y ) a -1b -1u =exp(?g (x a y b ) d (x a y b )) dy dx x y (ayN -bxM ) ，且积分因子。

du du dv du dv a -1b du du a b -1du =*=ax y =*=bx y a b

x y =v dx dv dx dv dy dv dy dv ，假设证明令，则有u (x a y b ) 是方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的积分因子，则由引理有充要条件：

d (uM ) d (uN ) =dy dx ，所以，u *(

dM dN du du du du

-) =N -M =(Nax a -1y b -Mbx a y b -1) =x a -1y b -1(Nay -Mbx ) *dy dx dx dy dv dv ，所以，

du dM dN =[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1*(-) dv u dy dx ，当且仅当[x a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1*(

dM dN

-) =g (v ) dy dx 时可以解出u 。故方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0

1dM dN a b

*(-) =g (x y ) a -1b -1a b

dy dx 有形如u (x y ) 的积分因子的充要条件是x y (ayN -bxM ) ，且积

分因子

u =exp(?g (x a y b ) d (x a y b ))

。

a a b b

u (mx +hx y +ny ) 的积分因子的充M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0结论9 方程有形如

1dM dN *(-) =φ(mx a +hx a y b +ny b ) a -1b -1a -1b -1

dy dx 要条件是N max -Mnby +hx y (ayN -bxM ) ，

且积分因子

u =exp(?(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b ))

。

a a b b

mx +hx y +ny =t ，则证明令

du du dt du du du dt du

=*=(maxa -1+hax a -1y b ) *=*=(nby b -1+hbx a y b -1) *dx dt dx dt dy dt dy dt ，假设u (mx a +hx a y b +ny b ) 是方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0的积分因子，则由引理有充要条件

d (uM ) d (uN )

=dy dx ，所以，u *(

dM dN du du du

-) =N -M =[N (maxa -1+hax a -1y b ) -M (nby b -1+hbx a y b -1)]*dy dx dx dy dt ，

du dM dN =[N (maxa -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(nay -Mbx )]-1*(-) dt dt dy dx ，当且仅当[N max a -1-Mnby b -1+hx a -1y b -1(Nay -Mbx )]-1＝φ(t ) 时可以解出u , 故方程

M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0有形如u (mx a +hx a y b +ny b ) 的积分因子的充要条件是

1dM dN

*(-) =φ(mx a +hx a y b +ny b ) a -1b -1a -1b -1

dy dx N max -Mnby +hx y (ayN -bxM ) ，且积分因

子

u =exp(?(mx a +hx a y b +ny b ) d (mx a +hx a y b +ny b ))

。

2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子

根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。

命题1 可分离变量方程M 1(x ) M 2(y ) dx +N 1(x ) N 2(y ) dx =0，(N 1(x ) M 2(y ) ≠0有积分因子

N 1(x ) M 2(y ) 。

y dy y

y -x φ() =φ()

x 。 x 有积分因子命题2 齐次方程dx

命题3 齐次方程M (x , y ) dx +N (x , y ) dy =0，当xM +yN ≠0时有积分因子

u =

xM +yN 。

+P (x ) y =Q (x ) y n -n (n -1) ?P (x ) dx

u =y e (n ≠0，1）命题4 Bernoulli 方程dx ，有积分因子。

第3章积分因子求法的推广

微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。

?P ?Q P -=Qf (x ) -

y 的积分因子求法 3.1 满足条件?y ?x

定理1 假设P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中P (x , y ) ，Q (x , y ) 存在以下关系：

?P ?Q P -=Qf (x ) -?y ?x y

其中f (x ) 是x 的连续函数，则该方程的积分因子是：

μ(x , y ) =e

?f (x ) dx +?y dy

=e ?

f (x ) dx

?y ．

??f (x ) dx +?dy ??μy ?

=f (x ) e ?

=f (x ) μ(x , y ) 证明：?x

?f (x ) dx +?y dy ??μ1?1??

=e =μ(x , y ) ?y y y

?1?

μ(x , y ) P (x , y ) dx +μ(x , y ) Q (x , y ) dy =0

?μP ?μ?P P ?P

=P +μ=μ+μ

?y ?y y ?y 即： ?y

?μQ ?μ?Q ?Q =Q +μ=Qf (x ) μ+μ?x ?x ?x ?x

若要使得μ(x , y ) 是积分因子，必须满足：

?μQ ?μP

=?x ?y

P ?P ?Q μ+μ=Qf (x ) μ+μ

?y ?x 则 y

?P ???Q ?P ?

-Qf (x ) μ=?y ???x -?y ?μ

??? 即 ?

?Q ?P P -=-Qf (x )

即要满足： ?x ?y y ．

若满足以上定理可得到如下定理：

?μ(x , y ) =e 定理2 如果?μ(x , y 2) =(e

f (x ) d x

f (x ) dx

?y 是方程P (x , y ) d +x y 也是该方程的积分因子

Q (, x ) y =d y 0积分因子，则的

?y 2=)

f (x ) d x 2

μPdx +μQdy =0 证明：∵

?(μ2P ) ?μ?P

=2μP +μ2

?y ?y ∴ ?y

=2μ2

P ?P +μ2y ?y

?(μ2Q ) ?μ?Q =2μQ +μ2

?x ?x ?x

=2μ2Qf (x ) μ+μ2

?(μ2P ) ?(μ2Q ) ?μ?P ?μ?Q

-=(2μP +μ2) -(2μQ +μ2) ?y ?x ?y ?y ?x ?x

=2μ(P

?μ?μ?P ?Q

-Q ) +μ2(-) ?y ?x ?y ?x

P ?P ?Q

=2μ(μ-Qf (x ) μ) +μ2(-)

y ?y ?x =2μ2(

P ?P ?Q

-Qf (x )) +μ2(-) y ?y ?x

因为f (x ) ，y 分别是x ，y 的连续函数，则由连续函数的局部性质知2f (x ) ，y 也分别是

x ，y 的连续函数．

?P ?Q 2P -=2Qf (x ) -

y 又因为 ?y ?x

?(μ2P ) ?(μ2Q ) P ?P ?Q

-=2μ2(-Qf (x )) +μ2(-) ?y ?x y ?y ?x

=2μ2(

P P

-Qf (x )) +2μ2(-Qf (x )) y y

μPdx +μQdy =0是全微分方程．所以

2μ所以也是该方程的积分因子．

yx dx +e sin xdy =0的积分因子．例3 求

?P ?Q

-=x 3-e y cos x

解： ?y ?x

f (x ) =-cot x

可以由上面的定理得到方程的积分因子：

μ=e ?

-cot xdx

?y ．

23y

y sin xdx +x ye dy =0的积分因子．例 4 求

?M ?N

-=sin 2x -3x 2ye y

解： ?y ?x

-3x 2ye y -3

f (x ) =3y =

x ye x 从而使该方程能够满足定理1所需条件可以取

则有：

μ=e

?x dx

-3

?y =e

-3

?x dx

?y =

?y =x 3x 3

所以方程的积分因子是：

μ=

x 3．

y 2

μ=6

x 也是该方程的积分因子．同理，由定理2知：

m +1m -123422m

???(m +3) x +mx y +3xy dx +6y +3x y +3x y ????dy =0积分因子 3.2 方程?

定理3 齐次方程为：

m +1m -123422m

???(m +3) x +mx y +3xy dx +6y +3x y +3x y ?????dy =0

122

则该方程有积分因子：μ=(x +y ) ．证明：令z =(x +y )

1-?z -?z 222222=y (x +y ) =x (x +y )

则知 ?x ?y

∵ μ(x , y ) Pdx +μ(x , y ) Qdy =0

∴

若有：

也即是有： P =(m +3) x m +1+mx m -1y 2+3xy 3 Q =6y 4+3x 2y 2+3x m y

?μP d μ??y

=P z ?P

dz ?y +μ

?y 1

=Py (x 2

+y 2)

-2

d μdz +μ?P

?μQ d ?x =Q μ?z dz ?x +μ?Q

=Qx (x 2

+y 2)

-2

d μ?Q

dz +μ?x

?μP ?μ

?y =Q

?x 1

(Py -xQ )(x 2

+y 2)

-2

d μdz =μ(?Q ?P

?x -?y ) ?Q ?P 1d μ

?x -?y 1?

μdz

=(Py -xQ ) ?(x 2+y 2

)

?Q d ln μ

?x -?P ?y dz

(Py -Qx ) ?(x 2+y 2

) -

1(x 2

+y 2) 2

222(x +y ) dz ∴ μ(x , y ) =e

=e (x 2122+y ) 12+y 2) 2d (x 1

ln(x 2+y 2) 2

=(x +y ) ．

例 5 求解齐次方程

3234222??6cos x +3y cos x +3y cos x ??d (cosx ) +??6y +3cos xy +3x y ??dy =0的积分因2122

子．

解：由定理3得方程的积分因子是： μ=(x +y )

m m -1m ??3x +m (x +y ) x dx +3x dy =0?3.3 方程?积分因子 2122

定理4 齐次方程：

m m -1m ??3x +m (x +y ) x dx +3x dy =0??

则该方程有积分因子：

μ=(x +y ) 2．

2z =(x +y ) 证明：令

?μ?μ=2x +2y =2x +2y 则知 ?x ?y

因为 μ(x , y ) Pdx +μ(x , y ) Qdy =0

?μP d μ?z ?P =P +μdz ?y ?y 所以有 ?y

=P (2x +2y ) d μ?P +μdz ?y

?μQ d μ?z ?Q =Q +μ?x dz ?x ?x d μ?Q =Q (2x +2y ) +μdz ?x

?μP ?μQ =?x 若有 ?y

则有：

(P -Q )(2x +2y ) d μ?Q ?P =μ(-) dz ?x ?y ?Q ?P -1d μ?x ?y =?μdz (P -Q ) ?(2x +2y ) ?Q ?P -d ln μ?x ?y =(P -Q ) ?(2x +2y ) ?dz

2(x +y ) =

所以 μ(x , y ) =e

例 6 求解齐次方程 ?(x +y ) dz 1=e ?(x +y ) d (x +y ) 122=e ln(x +y ) =(x +y ) ． 2

?3sin 4x +4(sinx +e y )sin 3x ?d (sinx ) +3sin 4xde y =0??

的积分因子．

解：方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为：

y 2μ=(sinx +e ) ．

m m -1m ???(4+m ) x +mx y +4y dx +x +4x +5y ?dy =0????3.4 方程积分因子

定理5 若齐次方程的形式为：

m m -1m ??(4+m ) x +mx y +4y ??dx +??x +4x +5y ??dy =0

则方程的积分因子是：

3μ=(x +y ) ．

证明：令z =(x +y )

?z ?z =3(x +y ) 2=3(x +y ) 2

则知 ?x ?y 3

因为 μ(x , y ) Pdx +μ(x , y ) Qdy =0

P =(4+m ) x m +mx m -1y +4y

Q =x +4x m +5y

?μP d μ?z ?P =P +μdz ?y ?y 所以有 ?y

=3P (x +y ) 2d μ?P +μdz ?y

?μQ d μ?z ?Q =Q +μ?x dz ?x ?x d μ?Q =3Q (x +y ) 2+μdz ?x

?μP ?μQ =?x 若有 ?y

即有：

3(P -Q )(x +y ) 2d μ?Q ?P =μ(-) dz ?x ?y ?Q ?P -1d μ?x ?y =2?μdz (P -Q ) ?3(x +y ) ?Q ?P -d ln μ?x ?y =dz (P -Q ) ?3(x +y ) 2 ?

3(x +y ) =

所以 μ(x , y ) =e ?(x +y ) 3dz

11 3

=e ?(x +y ) d (x +y ) ln(x +y ) 3

=(x +y ) 3

所以方程的积分因子是：

μ=(x +y ) 3．

323(7sinx +3sin xy +4y ) dx +(sinx +4sin x +5y ) dy =0的积分因子．例7 求齐次方程

解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是：

3μ=(x +y ) ．

本章对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。

参考文献:

[1] 滕文凯. 积分因子的分组求法[J]. 承德民族师专学报, 2004, (02) .

[2] 李振东, 张永珍. 求积分因子的新方法[J]. 唐山学院学报, 2003, (02) .

[3] 王金诚. 浅析积分因子的求法[J]. 中国科技信息, 2007, (20) .

[4] 龚雅玲. 求解微分方程的积分因子法[J]. 南昌教育学院学报, 2007, (01) .

[5] 温启军, 张丽静. 关于积分因子的讨论[J]. 长春大学学报, 2006, (10) .

[6] 杨淑娥. 一阶微分方程的积分因子解法[J]. 彭城职业大学学报, 2000, (01)

[7] 阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J]. 邯郸师专学报, 2004, (03)

[8] 刘文武. 两类微分方程的积分因子[J]. 黔南民族师范学院学报, 2003, (06)

[9] 刘绛玉. 关于一阶方程的积分因子法[J]. 茂名学院学报, 2000, (01)

[10] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations [M].

New York: Dover, 1989

[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations [M].

Dover Publications, 1963, (01)

致谢

本课题在选题及研究过程中得到数学与计算科学学院徐俊峰老师的悉心指导，使我得以最终完成毕业论文设计，在此先向尊敬的老师表示衷心的感谢。谢谢老师对毕业设计的完成与说明书的撰写工作给予的关怀和指导。

感谢数学与计算科学学院各位老师在大学四年里对本人的栽培，感谢在大学四年里帮助过本人的各位老师，感谢他们一直来对本人的支持与鼓励。

特别谢谢我的一群同学和朋友们，一起生活和工作学习的美好时间里，你们给予我的真挚的鼓励和无私的帮助是毕生难忘的。

感谢父母和亲人多年来在生活上无微不至的照顾和精力上的支撑，我能长这么大，能够有机会读书，真的不知道对你们的付出说些什么，谁言寸草心，报得三春辉。千言万语化作一句感恩的话：辛苦了！

范文四：毕业论文正文(常微分方程积分因子法的求解)

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摘要

所以我们必须能够求出它的解。

同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。

对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

关键词:微分方程;积分因子;恰当微分方程;一阶微分;

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Abstract

Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear

So we must be able to find its solution.

Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.

For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor

Keywords:

Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential

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第1章绪论………………………………………………………………1 1.1 常微分方程………………………………………………………………………1 1.2 恰当微分方程……………………………………………………………………1 第2章积分因子的存在性………………………………………………2 2.1 各种形式积分因子存在的充要条件……………………………………………2 2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子…………………………………………5 第3章积分因子求法的推广……………………………………………7

,,PQP,,,Qfx(),,yxy3.1 满足条件的积分因子求法………………………………7

mmm，,1123422，，，，(3)36330mxmxyxydxyxyxydy，，，，，，,，，，，3.2 方程积分因子…………………………………………………………………………………………9

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，3.3 方程积分因子……………………………11

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，3.4 方程积分因子…………12 参考文献……………………………………………………………………15 致谢…………………………………………………………………………16

III

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第1章绪论

1.1 常微分方程

常微分方程的发展史大致可分为五个阶段:第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段。第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段。这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式。这个阶段可化为积分的方程的基本类型巳被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解。第三阶段是十九世纪上半期。

这个阶段数学分析的新概念(如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等)和新方法，大大影响了微分方程理论的发展。这是建立常徽分方程基础的阶段。第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段。第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段。

1.2 恰当微分方程

恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。

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第2章积分因子的存在性

2.1 各种形式积分因子存在的充要条件

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0定义对于一阶微分方程如果存在连续可微的函数u,u(x,y),0u(x,y)M(x,y)dx，u(x,y)N(x,y),0，使得为一恰当微分方程，即存在函数U，

uMdx，Ndy,dUu(x,y)使得，则称为方程的积分因子。

u(x,y)M(x,y)dx，N(x,y)dy,0引理函数为方程的积分因子的充要条件是d(uM)d(uN),dydx。

积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0x结论1 方程有只与有关的积分因子的充要条件是1dMdN*(,)u,exp((x)dx)Ndydx,，且积分因子为。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0y结论2 方程有只与有关的积分因子的充要条件是1dMdN,*(,)u,exp((x)dy)Mdydx,，且积分因子为。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)结论3 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(x，y)u,exp((x，y)d(x，y))N,Mdydx,，且积分因子为。

dududu,,x，y,uM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)dudxdy证明令，则，假设为方程的

d(uM)d(uN),dydx积分因子，则由引理有充要条件，所以

dMdNdududududuu*(,),N,M,N,M,(N,M)*dydxdxxydududu，所以，

du1dMdN1dMdN,*(,)du*(,),f(x，y)uN,MdydxN,Mdydxu，当且仅当，时可以解出，故

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M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdN*(,),f(x，y)N,Mdydx。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x,y)结论4 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(x,y)u,exp((x,y)d(x,y)N,Mdydx,,且积分因子。证明类似结论3的证

明。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)结论5 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(xy)u,exp((xy)d(xy)Ny,Mxdydx,,且积分因子。

dududvdudududvdu,*,y*，,*,x*u(x,y)xy,vdxdvdxdvdydvdydv证明，则，假设为方程

d(uM)d(uN),M(x,y)dx，N(x,y)dy,0dydx的积分因子，则有充要条件，所以dMdNdududududuu(,),N*,M,Ny,Mx,(Ny,Mx)*dydxdxdydvdvdv，所以，du1dMdN1dMdN,*(,)*dv*(,),f(v)uNy,MxdydxNy,Mxdydxu，当且仅当时,可以解出,故M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdN*(,),f(xy)u,exp((xy)d(xy)Ny,Mxdydx,,且积分因子。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)结论6 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(x，y)ababa,1b,1u,exp((x，y)d(x，y))dydxNax,Mby,，且有积分因子。

dudududududududua,1b,1axby,*,，,*,abx，y,udxdudxdudydudydu证明令，则，假设abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)是方程的积分因子，则由引理有充要条件:

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dMdNdududud(uM)d(uN)a,1b,1uNMNaxMby*(,),,,(,),dydxdydxdxdydu，所以，，从而，dudMdNa,1b,1,1,(Nax,Mby)*(,),f(u)udydxu时，可以解出，得方程

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y) 有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(x，y)ababa,1b,1u,exp((x，y)d(x，y))dydxNax,Mby,，即可得积分因子。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，ny)结论7 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(mx，ny)a,1b,1dydxNmax,Mnby，且积分因子

ababu,exp((mx，ny)d(mx，ny)),。证明类似结论3 的证明。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)结论8 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),g(xy)ababa,1b,1u,exp(g(xy)d(xy))dydxxy(ayN,bxM),，且积分因子。

dududvdudududvdua,1bab,1axybxy,*,，,*,abxy,vdxdvdxdvdydvdydv证明令，则有，假设abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)是方程的积分因子，则由引理有充要条件:d(uM)d(uN),dydx，所以，

dMdNdudududua,1bab,1a,1b,1uNMNaxyMbxyxyNayMbx*(,),,,(,),(,)*dydxdxdydvdv，所以，dudMdNa,1b,1,1,[xy(Nay,Mbx)]*(,)dvudydx，当且仅当

dMdNa,1b,1,1[xy(Nay,Mbx)]*(,),g(v)M(x,y)dx，N(x,y)dy,0dydxu时可以解出。故方程

1dMdNab*(,),g(xy)a,1b,1abdydxxy(ayN,bxM)u(xy)有形如的积分因子的充要条件是，且积

ababu,exp(g(xy)d(xy)),分因子。

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aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)结论9 方程有形如的积分因子的充

1dMdNaabb*(,),φ(mx，hxy，ny)a,1b,1a,1b,1dydxNmax,Mnby，hxy(ayN,bxM)要条件是，

aabbaabbu,exp((mx，hxy，ny)d(mx，hxy，ny)),且积分因子。

aabbmx，hxy，ny,t ，则证明令

dududtdudududtdua,1a,1bb,1ab,1haxynbyhbxy,*,(max，)*，,*,(，)*dxdtdxdtdydtdydt，假设

aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)是方程的积分因子，则由引理有充要条件d(uM)d(uN),dydx，所以，

dMdNdududua,1a,1bb,1ab,1uNMNhaxyMnbyhbxy*(,),,,[(max，),(，)]*dydxdxdydt，dudMdNa,1b,1a,1b,1,1,[N(max,Mnby，hxy(nay,Mbx)]*(,)dtdtdydx，当且仅当

a,1b,1a,1b,1,1[Nmax,Mnby，hxy(Nay,Mbx)],φ(t)u时可以解出,故方程

aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNaabb*(,),φ(mx，hxy，ny)a,1b,1a,1b,1dydxNmax,Mnby，hxy(ayN,bxM)，且积分因

aabbaabbu,exp((mx，hxy，ny)d(mx，hxy，ny)),子。

2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子

根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。

M(x)M(y)dx，N(x)N(y)dx,0(N(x)M(y),0121212命题1 可分离变量方程，有积分因子

N(x)M(y)12。

ydyyy,xφ(),φ()xdxx命题2 齐次方程有积分因子。

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1u,M(x,y)dx，N(x,y)dy,0xM，yN,0xM，yN命题3 齐次方程，当时有积分因子。 dyn(n,1)P(x)dx，P(x)y,Q(x)y,n,u,ye(n,0，1)dx命题4 Bernoulli方程，有积分因子。

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第3章积分因子求法的推广

微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的

提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。

,,PQP,,,Qfx(),,yxy3.1 满足条件的积分因子求法

PxydxQxydy(,)(,)0，,Pxy(,)Qxy(,)定理1 假设中，存在以下关系:

,,PQP,,,Qfx(),,yxy fx()x其中是的连续函数，则该方程的积分因子是:

1fxdxdy()，fxdx(),,y,,,ey,(,)xye,(

，，1fxdxdy()，,,,,,,y，，fxe(),,fxxy()(,),x,证明 :

，，1fxdxdy()，,,,,1,,1y，，,,(,)xye,yyy,

(,)(,)(,)(,)0xyPxydxxyQxydy，,,,

,,,,,PPPP,,，,,,，P,yy,,,,yyy 即:

,,,,,QQ,QQfx(),,,，Q,，,x,,,xxx,

(,)xy,若要使得是积分因子，必须满足:

,,,,QP,,,xy

PPQ,,,,,,Qfx()，,，yyx,,则

，，，，PQP,,Qfx(),,,,,,,,,yxy,,，，，，即

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,,QPP,,,Qfx(),,xyy即要满足: (

若满足以上定理可得到如下定理:

fxdx(),,(,)xyey,,PxydxQxydy(,)(,)0，,是方程的积分因子，则定理2 如果

fxdxfxdx()2()222,,,(,)()xyeyey,,,,也是该方程的积分因子

22,,PdxQdy，,0证明 :?

2,,,(),,PP2,，2P,,,,,yyy?

PP,222,,,，yy,

2,,,(),,QQ2,，2Q,,,,,xxx

,Q222(),,,Qfx,，x,

22PQ,,,,,,,,()(),,PQ22(2)(2)PQ，,，,,,,,,yyxx,,,,,,yx

,,,,,,PQ22()()PQ,,，,,,yxyx,,,,

PPQ,,22(())(),,,,Qfx,,，,yyx,,

PPQ,,222(())(),,Qfx,,，,yyx,,

fx()2()fxyyyx因为，分别是，的连续函数，则由连续函数的局部性质知，也分别是

yx，的连续函数(

,,PQP2,,,2()Qfx,,yxy又因为

22PPQ,,,,()(),,PQ222(())(),,Qfx,，,,,yyx,,,,yx

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PP22,,，,2(())2(()),,QfxQfxyy

22,,PdxQdy，,0所以是全微分方程(

2,所以也是该方程的积分因子(

3yyxdxexdy，,sin0例3 求的积分因子(

,,PQ3y,,,xexcos,,yx解 :

fxx()cot,,

可以由上面的定理得到方程的积分因子:

,cotxdx,,,,ey(

23yyxdxxyedysin0，,例 4 求的积分因子(

,,MN22ysin3,,,xxye,,yx解 :

2y,,33xyefx(),,3yxyex可以取从而使该方程能够满足定理1所需条件则有:

,31dxdx,31y,,xx,,,,,,,,eyeyy33xx

所以方程的积分因子是:

y,,3x(

2y,,6x同理，由定理2知: 也是该方程的积分因子(

mmm，,1123422，，，，(3)36330mxmxyxydxyxyxydy，，，，，，,，，，，3.2 方程积分因子

定理3 齐次方程为:

mmm，,1123422，，，，(3)36330mxmxyxydxyxyxydy，，，，，，,，，，，

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1222,,，()xy则该方程有积分因子:(

1222zxy,，()证明: 令

11,,z,,z222222yxy(),，xxy(),，y,x,则知 (,)(,)0xyPdxxyQdy，,,, ?

mm，,1123Pmxmxyxy,，，，(3)3

422mQyxyxy,，，633

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy ?

1,dP,,222Pyxy(),，，,dzy, ,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

1,dQ,,222Qxxy(),，，,dzx,

若有:

,,,,PQ,,,yx

也即是有:

1,dQP,,,222()()()PyxQxy,，,,,dzxy,,

,,QP,1d,,,xy,1,dz,222()()PyxQxy,,，,

,,QP,dln,,,xy,1,dz222()()PyQxxy,,，,

1,1222()xy，

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1dz1,222()xy，,(,)xye,?

11222dxy()，1,222()xy，e,

1222ln()xy，,e

1222,，()xy(

例 5 求解齐次方程

3234222，，，，6cos3cos3cos(cos)63cos30xyxyxdxyxyxydy，，，，，,，，，，的积分因

子(

解:由定理3得方程的积分因子是:

1222,,，()xy

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，3.3 方程积分因子

定理4 齐次方程:

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，则该方程有积分因子:

2,,，()xy(

2zxy,，()证明: 令

,,,,22xy,，,，22xyy,x,则知

(,)(,)0xyPdxxyQdy，,,,因为

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy所以有

dP,,Pxy(22),，，,dzy,

,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

,,dQ,，，Qxy(22),dzx,

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,,,,PQ,,,yx若有

则有:

dQP,,,()(22)()PQxy,，,,,dzxy,,

QP,,,1d,xy,,,dzPQxy()(22),,，,,

QP,,,dln,xy,,,dzPQxy()(22),,，,

1,2()xy，

112，dzdxy()2,,222ln()xy，，，()()xyxy(,)xy,,，()xy,eee,,所以 ( 例 6 求解齐次方程

434yy，，3sin4(sin)sin(sin)3sin0xxexdxxde，，，,，，的积分因子(

解: 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为:

y2,,，(sin)xe (

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，3.4 方程积分因子定理5 若齐次方程的形式为:

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，则方程的积分因子是:

3,,，()xy (

3zxy,，()证明: 令

,z,z22,，3()xy,，3()xy,y,x则知

(,)(,)0xyPdxxyQdy，,,,因为

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mm,1Pmxmxyy,，，，(4)4

mQxxy,，，45

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy所以有

dP,,23()Pxy,，，,dzy, ,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

,,dQ2,，，3()Qxy,dzx, ,,,,PQ,,,yx若有

即有:

dQP,,,23()()()PQxy,，,,,dzxy,,

QP,,,1d,xy,,,2dzPQxy()3(),,，,,

QP,,,dln,xy,,,2dzPQxy()3(),,，,

1,3()xy，

1dz3,xy，(),(,)xye,所以

13，dxy(),3，()xye,

3ln()xy，,e

3,，()xy

所以方程的积分因子是:

3,,，()xy(

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323(7sin3sin4)(sin4sin5)0xxyydxxxydy，，，，，,例7 求齐次方程的积分因子( 解:方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是:

3,,，()xy (

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参考文献:

[1] 滕文凯. 积分因子的分组求法[J]. 承德民族师专学报, 2004, (02) . [2] 李振东,张永珍. 求积分因子的新方法[J]. 唐山学院学报, 2003, (02) . [3] 王金诚. 浅析积分因子的求法[J]. 中国科技信息, 2007, (20) . [4] 龚雅玲. 求解微分方程的积分因子法[J]. 南昌教育学院学报, 2007, (01) . [5] 温启军,张丽静. 关于积分因子的讨论[J]. 长春大学学报, 2006, (10) . [6] 杨淑娥. 一阶微分方程的积分因子解法[J]. 彭城职业大学学报, 2000, (01) [7] 阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J]. 邯郸师专学报, 2004, (03) [8] 刘文武. 两类微分方程的积分因子[J]. 黔南民族师范学院学报, 2003, (06) [9] 刘绛玉. 关于一阶方程的积分因子法[J]. 茂名学院学报, 2000, (01) [10] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations [M].

New York: Dover, 1989

[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations [M].

Dover Publications, 1963, (01)

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致谢

感谢数学与计算科学学院各位老师在大学四年里对本人的栽培，感谢在大学四年里帮助过本人的各位老师，感谢他们一直来对本人的支持与鼓励。

特别谢谢我的一群同学和朋友们，一起生活和工作学习的美好时间里，你们给予我的真挚的鼓励和无私的帮助是毕生难忘的。

感谢父母和亲人多年来在生活上无微不至的照顾和精力上的支撑，我能长这么大，能够有机会读书，真的不知道对你们的付出说些什么，谁言寸草心，报得三春辉。千言万语化作一句感恩的话:辛苦了～

范文五：常微分方程积分因子法的求解毕业论文

核准通过，归档资料。

未经允许，请勿外传～

摘要

所以我们必须能够求出它的解。

同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。

对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

关键词:微分方程;积分因子;恰当微分方程;一阶微分;

Abstract

So we must be able to find its solution.

For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor

Keywords:

Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential

,,PQP,,,Qfx(),,yxy3.1 满足条件的积分因子求法………………………………7

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，3.3 方程积分因子……………………………11

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，3.4 方程积分因子…………12 参考文献……………………………………………………………………15

III

致谢…………………………………………………………………………16

第1章绪论

1.1 常微分方程

1.2 恰当微分方程

恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。

第2章积分因子的存在性

2.1 各种形式积分因子存在的充要条件

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0定义对于一阶微分方程如果存在连续可微的函数u,u(x,y),0u(x,y)M(x,y)dx，u(x,y)N(x,y),0，使得为一恰当微分方程，即存在函数U，

uMdx，Ndy,dUu(x,y)使得，则称为方程的积分因子。

u(x,y)M(x,y)dx，N(x,y)dy,0引理函数为方程的积分因子的充要条件是d(uM)d(uN),dydx。

积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0x结论1 方程有只与有关的积分因子的充要条件是1dMdN*(,)u,exp((x)dx)Ndydx,，且积分因子为。

yM(x,y)dx，N(x,y)dy,0结论2 方程有只与有关的积分因子的充要条件是1dMdN,*(,)u,exp((x)dy)Mdydx,，且积分因子为。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)结论3 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(x，y)u,exp((x，y)d(x，y))N,Mdydx,，且积分因子为。

dududu,,x，y,uu(x，y)M(x,y)dx，N(x,y)dy,0dudxdy证明令，则，假设为方程的

d(uM)d(uN),dydx积分因子，则由引理有充要条件，所以

dMdNdududududuu*(,),N,M,N,M,(N,M)*dydxdxxydududu，所以，

1dMdNdu1dMdN,*(,)du*(,),f(x，y)uN,MdydxN,Mdydxu，当且仅当，时可以解出，故

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdN*(,),f(x，y)N,Mdydx。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x,y)结论4 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(x,y)u,exp((x,y)d(x,y)N,Mdydx,,且积分因子。证明类似结论3的证

明。

M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)结论5 方程有形如的积分因子的充要条件是1dMdN*(,),f(xy)u,exp((xy)d(xy)Ny,Mxdydx,,且积分因子。

dududvdudududvdu,*,y*，,*,x*xy,vu(x,y)dxdvdxdvdydvdydv证明，则，假设为方程

d(uM)d(uN),M(x,y)dx，N(x,y)dy,0dydx的积分因子，则有充要条件，所以dMdNdududududuu(,),N*,M,Ny,Mx,(Ny,Mx)*dydxdxdydvdvdv，所以，du1dMdN1dMdN,*(,)*dv*(,),f(v)Ny,MxdydxuNy,Mxdydxu，当且仅当时,可以解出,故M(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdN*(,),f(xy)u,exp((xy)d(xy)Ny,Mxdydx,,且积分因子。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)结论6 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(x，y)ababa,1b,1u,exp((x，y)d(x，y))dydxNax,Mby,，且有积分因子。

dudududududududua,1b,1axby,*,，,*,abx，y,udxdudxdudydudydu证明令，则，假设abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y)是方程的积分因子，则由引理有充要条件:

dMdNdududud(uM)d(uN)a,1b,1uNMNaxMby,*(,),,,(,)dydxdydxdxdydu，所以，，从而，dudMdNa,1b,1,1,(Nax,Mby)*(,),f(u)udydxu时，可以解出，得方程

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(x，y) 有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(x，y)ababa,1b,1u,exp((x，y)d(x，y))dydxNax,Mby,，即可得积分因子。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，ny)结论7 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),f(mx，ny)a,1b,1dydxNmax,Mnby，且积分因子

ababu,exp((mx，ny)d(mx，ny)),。证明类似结论3 的证明。

abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)结论8 方程有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNab*(,),g(xy)ababa,1b,1u,exp(g(xy)d(xy))dydxxy(ayN,bxM),，且积分因子。

dududvdudududvdua,1bab,1axybxy,*,，,*,abxy,vdxdvdxdvdydvdydv证明令，则有，假设abM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(xy)是方程的积分因子，则由引理有充要条件:d(uM)d(uN),dydx，所以，

dMdNdudududua,1bab,1a,1b,1uNMNaxyMbxyxyNayMbx*(,),,,(,),(,)*dydxdxdydvdv，所以，dudMdNa,1b,1,1,[xy(Nay,Mbx)]*(,)dvudydx，当且仅当

dMdNa,1b,1,1[xy(Nay,Mbx)]*(,),g(v)M(x,y)dx，N(x,y)dy,0dydxu时可以解出。故方程

1dMdNab*(,),g(xy)a,1b,1abdydxxy(ayN,bxM)u(xy)有形如的积分因子的充要条件是，且积

ababu,exp(g(xy)d(xy)),分因子。

aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)结论9 方程有形如的积分因子的充

1dMdNaabb*(,),φ(mx，hxy，ny)a,1b,1a,1b,1dydxNmax,Mnby，hxy(ayN,bxM)要条件是，

aabbaabbu,exp((mx，hxy，ny)d(mx，hxy，ny)),且积分因子。

aabbmx，hxy，ny,t证明令，则

dududtdudududtdua,1a,1bb,1ab,1haxynbyhbxy,*,(max，)*，,*,(，)*dxdtdxdtdydtdydt，假设

aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)是方程的积分因子，则由引理有充要条件d(uM)d(uN),dydx，所以，

dMdNdududua,1a,1bb,1ab,1uNMNhaxyMnbyhbxy*(,),,,[(max，),(，)]*dydxdxdydt，dudMdNa,1b,1a,1b,1,1,[N(max,Mnby，hxy(nay,Mbx)]*(,)dtdtdydx，当且仅当

a,1b,1a,1b,1,1[Nmax,Mnby，hxy(Nay,Mbx)],φ(t)u时可以解出,故方程

aabbM(x,y)dx，N(x,y)dy,0u(mx，hxy，ny)有形如的积分因子的充要条件是

1dMdNaabb*(,),φ(mx，hxy，ny)a,1b,1a,1b,1dydxNmax,Mnby，hxy(ayN,bxM)，且积分因

aabbaabbu,exp((mx，hxy，ny)d(mx，hxy，ny)),子。

2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子

根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。

M(x)M(y)dx，N(x)N(y)dx,0(N(x)M(y),0121212命题1 可分离变量方程，有积分因子

N(x)M(y)12。

ydyyy,xφ(),φ()xdxx命题2 齐次方程有积分因子。

1u,M(x,y)dx，N(x,y)dy,0xM，yN,0xM，yN命题3 齐次方程，当时有积分因子。

dyn(n,1)P(x)dx，P(x)y,Q(x)y,n,uye,(n,0，1)dx命题4 Bernoulli方程，有积分因子。

第3章积分因子求法的推广微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的

提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。

,,PQP,,,Qfx(),,yxy3.1 满足条件的积分因子求法

PxydxQxydy(,)(,)0，,Pxy(,)Qxy(,)定理1 假设中，存在以下关系:

,,PQP,,,Qfx(),,yxy fx()x其中是的连续函数，则该方程的积分因子是:

1fxdxdy，()fxdx(),,,y,,ey,(,)xye,(

，，1fxdxdy()，,,,,,,y，，fxe(),,fxxy()(,),x,证明 :

，，1fxdxdy()，,,,,1,,1y，，,,(,)xy,ey,yy

,,(,)(,)(,)(,)0xyPxydxxyQxydy，,

,,,,,PPPP,,,,，,，P,yy,,,,yyy 即:

Q,,,,,QQ,Qfx(),,,，Q,，,x,,,,xxx

,(,)xy若要使得是积分因子，必须满足:

,,,,QP,,,xy

PPQ,,,,,,Qfx()，,，yyx,,则

，，，，PQP,,Qfx(),,,,,,,,,yxy,,，，，，即

,,QPP,,,Qfx(),,xyy即要满足: (

若满足以上定理可得到如下定理:

fxdx(),,(,)xyey,,PxydxQxydy(,)(,)0，,定理2 如果是方程的积分因子，则fxdxfxdx()2()222,,,(,)()xyeyey,,,,也是该方程的积分因子

22,,PdxQdy，,0证明 :?

2,,,(),,PP2,，2P,,,,,yyy?

PP,222,,,，yy,

2,,,(),,QQ2,，2Q,,,,,xxx

Q,222(),,,Qfx,，x,

22PQ,,()(),,PQ,,,,,,22(2)(2)PQ，,，,,,,,,yyxx,,,,,,yx

PQ,,,,,,22()()PQ,,，,,,yxyx,,,,

PPQ,,22(())(),,,,Qfx,,，,yyx,,

PPQ,,222(())(),,Qfx,,，,yyx,,

yfx()2()fxyyx因为，分别是，的连续函数，则由连续函数的局部性质知，也分别是

yx，的连续函数(

,,PQP2,,,2()Qfx,,yxy又因为

22PPQ,,()(),,PQ,,222(())(),,Qfx,，,,,yyx,,,,yx

PP22,,，,2(())2(()),,QfxQfxyy

22,,PdxQdy，,0所以是全微分方程(

2,所以也是该方程的积分因子(

3yyxdxexdy，,sin0例3 求的积分因子(

,,PQ3ycos,,,xex,,yx解 :

fxx()cot,,

可以由上面的定理得到方程的积分因子:

,cotxdx,,ey,,(

23yyxdxxyedysin0，, 4 求的积分因子( 例

,,MN22ysin3,,,xxye,,yx解 :

2y,,33xyefx(),,3yxyex可以取从而使该方程能够满足定理1所需条件则有:

,31dxdx,31y,,xx,,,,,,,,eyeyy33xx

所以方程的积分因子是:

y,,3x(

2y,,6x同理，由定理2知: 也是该方程的积分因子(

mmm，,1123422，，，，(3)36330mxmxyxydxyxyxydy，，，，，，,，，，，3.2 方程积分因子

定理3 齐次方程为:

mmm，,1123422，，，，(3)36330mxmxyxydxyxyxydy，，，，，，,，，，，

1222,,，()xy则该方程有积分因子:(

1222zxy,，()证明: 令

11,,z,z,222222yxy(),，xxy(),，y,x,则知 ,,(,)(,)0xyPdxxyQdy，, ?

mm，,1123Pmxmxyxy,，，，(3)3

422mQyxyxy,，，633

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy ?

1,dP,,222Pyxy(),，，,dzy, ,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

1,dQ,,222Qxxy(),，，,dzx,

若有:

,,,,PQ,,,yx

也即是有:

1,dQP,,,222()()()PyxQxy,，,,,dzxy,,

QP,,,1d,xy,,,1,dz,222()()PyxQxy,,，,

QP,,,dln,xy,,,1,dz222()()PyQxxy,,，,

1,1222()xy，

1dz1,222，xy(),(,)xye,?

11222，dxy(),1222，()xye,

1222ln()xy，,e

1222,，()xy( 例 5 求解齐次方程

3234222，，，，6cos3cos3cos(cos)63cos30xyxyxdxyxyxydy，，，，，,，，，，的积分因

子(

解:由定理3得方程的积分因子是:

1222,,，()xy

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，积分因子 3.3 方程

定理4 齐次方程:

mmm,1，，3()30xmxyxdxxdy，，，,，，则该方程有积分因子:

2,,，()xy(

2zxy,，()证明: 令

,,,,22xy,，22xy,，y,x,则知

,,(,)(,)0xyPdxxyQdy，,因为

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy所以有

dP,,Pxy(22),，，,dzy,

,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

dQ,,Qxy(22),，，,dzx,

,,,,PQ,,,yx若有

则有:

dQP,,,()(22)()PQxy,，,,,dzxy,,

QP,,,1d,xy,,,dzPQxy()(22),,，,,

QP,,,dln,xy,,,dzPQxy()(22),,，,

1,2()xy，

112，dzdxy()2,,222ln()xy，，，()()xyxy,(,)xy,，()xyee,e,,所以 ( 例 6 求解齐次方程

434yy，，3sin4(sin)sin(sin)3sin0xxexdxxde，，，,，，的积分因子(

解: 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为:

y2,,，(sin)xe (

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，3.4 方程积分因子定理5 若齐次方程的形式为:

mmm,1，，，，(4)4450，，，，，，,mxmxyydxxxydy，，，，则方程的积分因子是:

3,,，()xy (

3zxy,，()证明: 令

,z,z22,，3()xy,，3()xy,y,x则知

,,(,)(,)0xyPdxxyQdy，,因为

mm,1Pmxmxyy,，，，(4)4

mQxxy,，，45

,,,,,PdzP,，P,,,,ydzyy所以有

dP,,23()Pxy,，，,dzy, ,,,,,QdzQ,，Q,,,,xdzxx

dQ,,23()Qxy,，，,dzx, ,,,,PQ,,,yx若有

即有:

dQP,,,23()()()PQxy,，,,,dzxy,,

QP,,,1d,xy,,,2dzPQxy()3(),,，,,

QP,,,dln,xy,,,2dzPQxy()3(),,，,

1,3()xy，

1dz3,，xy(),(,)xye,所以

13，dxy(),3，()xye,

3ln()xy，,e

3,，()xy

所以方程的积分因子是:

3,,，()xy(

323(7sin3sin4)(sin4sin5)0xxyydxxxydy，，，，，,例7 求齐次方程的积分因子( 解:方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是:

3,,，()xy (

参考文献:

New York: Dover, 1989

[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations [M].

Dover Publications, 1963, (01)

致谢

感谢数学与计算科学学院各位老师在大学四年里对本人的栽培，感谢在大学四年里帮助过本人的各位老师，感谢他们一直来对本人的支持与鼓励。

特别谢谢我的一群同学和朋友们，一起生活和工作学习的美好时间里，你们给予我的真挚的鼓励和无私的帮助是毕生难忘的。

内部资料，

请勿外传～

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