老贱丶
范文一：解三角形的技巧
解三角形的技巧
摘要:正弦定理、余弦定理是高中数学的难点，也是难点，在高考中占很大比例。
关键词:正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理从深层次上反应了三角形的本质特征，从不同的侧面揭示出三角形的边和角之间的相互关系，而同时正弦定理与余弦定理又是等价的，可以相互推出。运用这两个定理可以解三角形(由已知的边和角求未知的边和角)，判断三角形的形状，计算三角形的面积等等，并且在实际问题中也有广泛的应用。在解三角形中遇到已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角的题目时，要特别注意解的情形。
1.在ΔABC中，已知a=3，b=2，B=45?.求A、C和c.
分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题.可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出c后，再求出角c与角A与角A.
解:解法一:?B=45?<90?，且b 由正弦定理，得sina="asinBb=3?sin45?2=32，?A=60?或A=120?.">
(1)当A=60?时，C=180?-A-B=75?，c=bsinCsinB=2sin75?sin45?=6+22;
(2)当A=120?时，C=180?-A-B=15?，c=bsinCsinB=2sin15?sin45?=6-22，
故A=60?，C=75?，c=6+22，或A=120?，C=15?，c=6-22.
解法二:由余弦定理有b2=a2+c2-2ac?cosB，
即(2)2=(3)2+c2-23c?cos45?，整理，得c2-6c+1=0，解得c=6+22.
又?cosA=b2+c2-a22bc?;当a=3，b=2，c=6+22时，由?可得cosA=12，故A=60?;当a=3，b=2，c=6-22时，由?可得a=3，b=2，c=6-22，故A=120?.
故A=60?，C=75?，c=6+22，或A=120?，C=15?，c=6-22.
小结:对本题，一般会误认为只能动这用正弦定理求解，其实不然.事实上，正弦定理与余弦定理是等价的，完全可以相通.凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也能求解.反之亦然，只不过解题过程的繁简程度有所不同而已.鉴此，我们在学习中，不能把正弦定理与余弦定理完合割裂开来，而要用一种联系的观点来看等待它们.
已知两边和其中一边的对角，三角形的形状一般不是确定的.若用正弦定理解这类问题时，必须根据条件判明这个三角形是否有解，有解时是一解还是两解.具体方法是:若给出的角是锐角(如本例)，若这角的对边小于另一边，则有两解.反之则只有一解;若给出的角是钝角，若这角的对边大于另一边，有一解.反之则无解.这种判断方法可以依据依同一三角形中大边(角)对大角(边).
已知a、b及A作三角形，其解的情况如下:
?A为锐角时
若a=bsinA，则可用一个三角形如图(1)
若a?b，则可作一解，如图(2)。
若bsinA ?若A为直角或钝角时
若a>b，则可作一解，如图(4)
2、在ΔABC中，已知a2=b2+c2+bc，2b=3c，a=319，求ΔABC的面积.
分析:利用已知条件先求出?A，然后列方程组求出b，c，再代入面积公式.
解:cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-b2-c2-bc2bc=-12，
解之，得A=120?，又a=319
?(319)2=b2+c2+bc2b=3c;解得b=9，c=6;故SΔABC=12bcsinA=2732.
小结:不但要会用余弦定理直接解题，而且要会逆用定理解题.
求三角形面积的常用方法:?S?=12×底×高;?S?=12absinC=12bcsinA=12casinB;
?海伦公式:S=p(p-a)(p-b)(p-c)(其中p=(a+b+c)2);?S?=12a+b+c?r(r为三角形内切圆半径);?S?=abc4R(R为三角形外接圆半径)
3、在ΔABC中，acosA+bcosB=ccosC，试判断三角形的形状.
分析:判断三角形的形状，可以根据三角形边长或内角之间关系来判断，本题已知条件为边角关系，由正弦定理或余弦定理，统一成角或边的关系，从而判断三角形的形状.
解:(法1)由正弦定理，asinA=bsinB=csinC=2R.
?a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知条件得
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
根据二倍角公式得:sin2A+sin2B=sin2C，
sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]=2sinCcosC
?2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
?sin(A+B)=sinC?0，cos(A+B)=-cosC
?cos(A-B)+cos(A+B)=0
?2cosAcosB=0cosA=0或cosB=0，即A=90?或B=90?
?ΔABC是直角三角形
(法2)由余弦定理知
cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab
代入已知条件得
a?b2+c2-a22bc+b?a2+c2-b22ac+c?c2-a2-b22ab=0
通分得
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0
展开整理得(a2-b2)2=c4
?a2-b2=?c2，即a2=b2+c2或b2=a2+c2
根据勾股定理知ΔABC是直角三角形.
小结:不但要会运用定理的原形，还要会运用定理的简单变形，定理的变形可以直接实现三角形中边的条件和角的条件的相互转化。
范文二：解三角形的常用技巧
解三角形的常用技巧
?
??
?
解题技巧与方法
?謦
解三角形的常用技巧
◎戴平(江苏无锡市湖滨中学214031) 近年来,解三角形的题目出现了一些"新面孔",题型较 新颖,计算量增大,难度也有所增加.除了用正,余弦定理进 行边角之间的转换,综合运用三角,向量等知识外,还有一 些解题技巧.本文以近几年的高考题为例说明. 一
,边,角相互转化
例1(2010年辽宁高考)在AABC中,a,b,C分别为内 角A,B,c的对边,且2asinA:(26+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小.(2)若sinB+sinC=1,试判断AABC的 形状.
解(1)由已知,根据正弦定理,得2a=(26+C)b+ (2c+b)c,即a=6+c+bc,由余弦定理,得a=b+c一 2bccosA,故cosA=一?,A=120..
(2)由(1)得sinA=sinB+sinC+sinB?sinC.又
sinB+sinC=1,可得sinB?sinC=?,解得sinB:sinC=?. 因为0.<B<90.,0.<C<90.,故B=C,所以AABC为等腰 钝角三角形.
注1.判断三角形形状的方法是利用正,余弦定理,将
已知条件化为纯边或纯角的式子.
2.第(1)问中将已知式化为纯边的式子,第(2)问中将 已知式化为纯角的式子,可为"一式两用".当已知条件较少 时可尝试用此法.
例2(2010年江苏高考)在锐角三角形ABC中,角A, ,
C的对边分别为n,6,c,若?+詈=6c.sC,则鼍箬+善 的值是.
解由
a
+旱o
=6c.sc,
a
十
詈=6?ao,化简0
得a2=?c2,原式=(+)=
l!!!!旦?!!!垒2:!::!::
cOSCsinAsin8cosCsinAsinBabcosC
==:4了?
注1.所求式子通过"切化弦,通分"化为只有"弦"的 式子,这是常用技巧.
2.已知式,所求式用正,余弦定理化为纯边的式子,通 过整体代入求值.
二,构造方程(组)
(一y利用等量关系构造方程
例3(2010年江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔 AE的高度(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高 度h=4m,仰角ABE=Ol,ADE=卢.
H2
曼算出的值.()该小组分析若干测得.=:堡I鱼{的数据后,认为适当调整标杆到电视
塔.
解(1)由AD=,口=H
,
肋:,仙邶,J-
AD'侍H+=
H
,
解得日=htanot== 上题又解:(1)RtaDBC中,ta=面BC,
故BD=丽BC:
=了10.
Rt?删中,lana=丽EA, 故BA=EAd==
.
Rt?DBc—Rt?E,故BC= DB
,
即百4=,解得
(2)RtaDBC"--"RtADAE,丽BC=丽DB,
故=音,
.曰=,:=丁H-h,tan= 鲁.
故tan(一卢)tana .
-
曲
tanflh?
—二二二,当且仅当d=,即d=丽=
=55?时,上式取等号,所以当d:55
因为0<卢<<{,则0<一卢3订-,所以当d=55? 时,a—最大.故所求的d=55m.
点,BC=2BD,AD=,/_ADB=135.,若AC=B,则BD= 解设BD=,AB=),,则CD=2x,AC=西,在AABD, {2y2=4x2+2-4,
x,
-
4x-1_o,一+
数学学习与研究2010.21
?臻?
注已知?ABD,AADC中,边,角均有关系,故日J在曲 三角形中分别用余弦定理联立方程组求解. 三,在角的两边取三角函数
例5(2009年安徽高考)在AABC中,C—A=, sinB=?.(1)求sinA的值;(2)设AC=,求AABC的面积.1 解(1)由C—=号,A+B十C=淆B=詈一2A, oA詈,sin口=sin(詈一2A),故c.s2A=sin曰=?,一 zsinA=?,si=孚.
(2)由正弦定理=岳,BC1n=等s1c=3,由已知SlnASn c=号+A,故sinc=c.sA,故sc=-AC?BC.sjnc= ~
2
AC?BC.c0sA:3
注解(1)时,已知sinB要求sinA,故先得A,B两角的 关系式,再在两边取正弦.这样在解(2)时就可用正弦定理 求出边.
四,利用合分比定理
例6(2005年江苏高考)在AABC中,A=詈,BC=
3,则AABC的周长为().
in(曰+詈)+s4inB+詈)+s
c-sinB+子)+,sin(曰+詈)+s
解A:子,BC=3,设周长为,由正弦定理知 一一
日inA—s;nB—inr'
由合比定理知=-AB+-
BC+AC
S1sln/ls1nSln,n^十十L
即=_=—一.
2譬+sinB+sinC
.
.一2?
5-+sinB+sin(—A]
一2{sinB+sin(+子)].
注因为正弦定理是比例式,灵活运用合分比定理,可 使解题过程简化.
五,两式相除
例7(2008年全国高考卷I)AABC的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,C且acosB:3,bsinA=4,求边长o.
解由acosB=3,bsinA=4两式相除,得 3acosB2RsinA?cosBCOSB 4bsinA2RsinB?sinAsinB' ,cosB3
.
JsinB4'
【sinB+COS2B=1.
解题技巧与方法?
..
._l..
?
由acosB=3,故cosB>0,
.
.一s=
?,sinB=了4,故.=5.
注已知式用正弦定理代入后出现2尺,两式相除就可 化为纯角的式子,使问题迎刃而解.
六,作辅助线
通过作辅助线,将已知条件集中到一个三角形中求解. 例8(2005年湖北高考)在AABC中,已知AB:, .sB:,AC边上的中线BD:,求sinA的值.
O
解设E为BC的中点,连接DE,则
DE/lAB,故sin/_DEC:sinB,DE:AB: ,设BE:.
在ABDE中利用余弦定理可得
BD=BE+ED一2BE?ED?COSBED. +
?…学×,
解得=1,=一?(舍去).
C
故BC:2,AC:AB+BC一2AB.BC.c.sB:—28 ,
即AC:.
又sin曰=:i鲁.
注1.因D为AC中点,再取BC中点E,通过平行线, 将已知条件集中到?BDE中,这是解题的关键. 2.当图形中出现的三角形有多个时,则要反复使用正, 余弦定理解题.
七,建立直角坐标系
例9(2008年江苏高考)满足条件AB=2,AC=?2曰c 的?ABC的面积的最大值是.
解以AB所在直线为轴,AB的中点为坐标原点,建 立如图所示的直角坐标系,则A(一1,0),B(1,0). 设点c(,y),则由AC=f~BC,得
了=,
即(一3)+Y=8(??1).
故点c在以(3,0)为圆心,半径为2?2的圆(去掉与轴的 1
交点)上,三角形面积的最大值为Js=?×2×2=2?2.上 注此题如用余弦定理与三角形面积公式求解,则运 算量很大,且不易算对.
事实上,AABC中,AB边长为定值,故只要求出c的轨 迹即可确定AABC高的最大值,所以在求解最值问题时,除 了考虑常规方法,利用函数,导数,不等式等求最值外,有时 还可考虑建系的方法.
数学学习与研究2010.21
范文三：解三角形
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解三角形
第 1章 解三角形
§1.1正弦定理、余弦定理
重难点:理解正、余弦定理的证明,并能解决一些简单的三角形度量问题.
考纲要求:①掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
经典例题:半径为 R 的圆外接于△ ABC ,且 2R (sin2A -sin 2
C ) =(3a -b )sin B . (1)求角 C ;
(2)求△ ABC 面积的最大值.
当堂练习:
1.在△ ABC 中,已知 a=52 , c=10, A=30°, 则∠ B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15°
2在△ ABC 中,若 6 +2 ,则∠ A 的度数是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
3.在△ ABC 中,已知三边 a 、 b 、 c 满足 (a+b+c)·(a+b-c)=3ab, 则∠ C=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4. 边 长 为 5、 7、 8的 三 角 形 的 最 大 角 与 最 小 角 之 和 为
( )
(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D)
150°
5.在△ ABC 中,∠ A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC ( )
(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定
6.在平行四边形 ABCD 中, 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
7. 在△ ABC 中,若 cos 2a
A =cos 2b B =cos 2c C ,则△ ABC 的形状是 ( )
(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形
8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定
9.在△ ABC 中,若 a=50, b=256 , A=45°则
10.若平行四边形两条邻边的长度分别是 45°,则这个
平行四边形的两条对角线的长度分别为 .
11. 在 等腰 三角 形 ABC 中 , 已知 sinA ∶ sinB=1∶ 2, 底边 BC=10,则 △ ABC 的周 长
是 。
12.在△ ABC 中,若∠ B=30°3 , AC=2, 则△ ABC 的面积是 .
13. 在锐角三角形中, 边 a 、 b 是方程 x 2-23 x+2=0的两根, 角 A 、 B 满足 2sin(A+B)3
=0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ ABC 的面积。
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14.在△ ABC 中,已知边 c=10, 又知 cosA cosB b a =43
,求 a 、 b 及△ ABC 的内切圆的半径。
15.已知在四边形 ABCD 中, BC =a , DC=2a,四个角 A 、 B 、 C 、 D 度数的比为 3∶ 7∶ 4∶ 10, 求 AB 的长。
16. 在△ ABC 中, 已知角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , 边 c=72
, 且 tanA+tanB=3 tanA·tanB -3 ,又△ ABC 的面积为 S △ ABC =
332,求 a+b的值。
必修 5 第 1章 解三角形
§1.2正弦定理、余弦定理及其应用
考纲要求:①能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题.
1. 有一长为 1公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( )
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
2. 已知三角形的三边长分别为 x 2+x +1,x 2-1和 2x +1(x >1) ,则最大角为 ( )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 75°
3.在△ ABC 中, A B B A 22sin tan sin tan ?=?,那么△ ABC 一定是 ( )
A .锐角三角形 B.直角三角形
C .等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在△ ABC 中,一定成立的等式是 ( )
A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB
C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA
5.在△ ABC 中, A 为锐角, lg b +lg(c 1)=lgsinA =-lg 2, 则△ ABC 为 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.在△ ABC 中, ?=∠?=?=70, 50sin 2, 10sin 4C b a ,则△ ABC 的面积为 ( ) A. 81 B. 4
1 C. 21 D. 1 7.若 c C b B a A cos cos sin ==则△ ABC 为 ( )
A .等边三角形 B .等腰三角形
C .有一个内角为 30°的直角三角形 D .有一个内角为 30°的等腰三角形
8.边长为 5、 7、 8的三角形的最大角与最小角之和的 ( )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
9.在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( )
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A . b = 10,A = 45°,B = 70° B. a = 60, c = 48,B = 100° C . a = 7, b = 5,A = 80° D. a = 14, b = 16,A = 45°
10. 在三角形 ABC 中 , 已知 A 60?=,b=1,
则 sin sin sin a b c A B c
++++为 ( )
A.
11. 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来, 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差, 则第一辆车与第二辆车的距离 1d 与第二辆车与第三
辆车的距离 2d 之间的关系为 ( ) A. 21d d > B. 21d d =
C. 21d d < d.="">
12. 在 200米高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°, 则塔高为 ( ) A. 3
400米 B. 33米 C. 2003米 D. 200米
13. 在△ ABC 中,若 2=c , ?=60C , 3320=
a ,则 =A . 14. 在△ ABC 中, B=1350, C=150, a=5,则此三角形的最大边长为 .
15. 在锐角△ ABC 中,已知 B A 2=,则的 b
a 取值范围是 . 16. 在△ ABC 中,已知 AB =4, AC =7, BC 边的 中线 72
AD =
,那么 BC 17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、 3、 x ,则 x 的取值范围是 . 18. 在△ ABC 中,已知 21tan =A , 3
1tan =B ,则其最长边与最短边的比为 . 19.为了测量上海东方明珠的高度,某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5
,前进 38.5m 后, 到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0 . 试计算东方明珠塔的高度(精确到 1m ) .
20.在 ABC ?中,已知 ) sin() () sin() (2222B A b a B A b a -+=+-,判定 ABC ?的形状.
21. 在△ ABC 中,最大角 A 为最小角 C 的 2倍 ,且三边 a 、 b 、 c 为三个连续整数,求 a 、 b 、 c 的值 .
22. 在△ ABC 中,若 22299190a b c +-=,试求 tan tan (tantan ) tan A B A B C
+的值.
23. 如图,已知 O 的半径为 1,点 C 在直径 AB 的延长线上, BC =
1,点 P 是 O 上半圆上的一个动点,以 PC 为边作正三角形 PCD ,且
点 D
与圆心分别在 PC 两侧 .
(1)若 POB θ∠=,试将四边形 OPDC 的面积
y 表示成 θ的函数;
(2)求四边形 OPDC 面积的最大值 .
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范文四：解三角形
解三角形
1． 内角和定理：
在?ABC中，A+B+C=π；sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC cosCA+B=sin 22
2． 关于三角形面积问题：
111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222
111②S?ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222①S?ABC=
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：abc===2R (解三角形的重要工具) sinAsinBsinC
?a=2RsinA?形式二：?b=2RsinB (边角转化的重要工具)
?c=2RsinC?
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍..
形式一：a=b+c-2bccosA 222
b2=c2+a2-2cacosB (解三角形的重要工具)
c2=a2+b2-2abcosC
b2+c2-a2c2+a2-b2a2+b2-c2
形式二：cosA= ； cosB= ； cosC= 2bc2ca2ab
考点1: 运用正、余弦定理求角或边
题型1.求三角形中的某些元素
例1 在△ABC中，已知a=3，3 ，∠A=30°，求∠C及b
a,b,c分别是其对边长，例2已知：A、B、C是?ABC的内角，向量m=3,cos(π-A)-1)，
??π??= cos-A?,1? 2?，⊥. ????
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2,cosB=
3,求b的长. 3
题型2判断三角形形状
例2 在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．
考点2: 三角形中的三角变换
题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.
例4 设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求： （Ⅰ） a的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值. c
考点3 与三角形的面积相关的题
例5.在三角形ABC
中，a=2,C=
例7:在△ABC中，cosA=-π4,cosB=，求三角形ABC的面积S。 2553，cosB=． 135
（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．
随堂练习
1.在
?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=,sinC=B,
00 则A=（A） A.30 B. 60 C. 120 D. 150 00
2.在
?ABC中， 内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=,B=（ ）
A.
πππ5ππ2π B. C. 或 D. 或 663363
batanCtanC3.在锐角?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.+=6cosC,则+abtanAtanB
的值是 5.某人要做一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
A.不能做出满足要求的三角形 B.作出一个锐角三角形
C . 作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形
111则此人将（ ） 13115
6.在三角形ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c.若∠C=1200，c=，则（A)
A.a>b B.a
→→A9.在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足cos=，AB?AC=3. 2
（）求1?ABC的面积；（2）若b+c=6求,a的值
π110.在?ABC中，C-A=，sinB=，（）求1sinA的值； 23
（2）设?ABC的面积。
12.?ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB
+(2c+b)sinC. (1)求A的大小；（2）求sinB+sinC的最大值。
高考真题
1.（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则△
ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C= 120°，
a，则
A.a＞b B.a0，所以
22
2
2
2
2
22
2
2
，
0，故cosB=
2
所以B=45°
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化． 10、（2011?江西）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA 的值 （2）若a=1，
，求边c 的值．
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。 专题：计算题。 分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB ，cosC 代入题设等式求得cosA 的值．
（2）利用（1）中cosA 的值，可求得sinA 的值，进而利用两角和公式把cosC 展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC 的值，最后利用正弦定理求得c ． 解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a+c﹣b ；2abcosc=a+b﹣c ； 代入3acosA=ccosB+bcosC； 得cosA=； （2）∵cosA= ∴sinA=
sinC ③
2
2
2
2
2
2
cosB=﹣cos （A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+又已知 cosB+cosC=cosC+
sinC=
代入 ③
2
2
，与cos C+sinC=1联立
解得 sinC=已知 a=1
正弦定理：c===
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用． 11、（2011?江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c （1）若（2）若
，求A 的值； ，求sinC 的值．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数。 专题：计算题。 分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA ，然后求出A 的值即可．
（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a 与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC 的值．
解答：解：（1）因为所以
sinA=
，
，
所以tanA=， 所以A=60° （2）由
及a =b+c﹣2bccosA
222得a =b﹣c
故△ABC 是直角三角形且B=所以sinC=cosA=
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
12、（2011?湖北）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=1，b=2，cosC= （I ） 求△ABC 的周长； （II ）求cos （A ﹣C ）的值．
考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数。 专题：计算题。 分析：（I ）利用余弦定理表示出c 的平方，把a ，b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；
（II ）根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a ，c 及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a 小于c 得到A 小于C ，即A 为锐角，则根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（I ）∵c =a+b﹣2abcosC=1+4﹣4×=4， ∴c=2， ∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5． （II ）∵cosC=，∴sinC=
=
=
．
2
2
2
2
2
2
∴sinA===．
∵a ＜c ，∴A ＜C ，故A 为锐角．则cosA==，
∴cos （A ﹣C ）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
13、（2010?浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C=．
（I ）求sinC 的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b 及c 的长．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理。 专题：计算题。 分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式．
（2）利用正弦定理先求出边长c ，由二倍角公式求cosC ，用余弦定理解方程求边长b ． 解答：解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin C=所以 sinC=
．
2
，及0＜C ＜π
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时， 由正弦定理
2
=，得：c=4 ，及0＜C ＜π 得
由cos2C=2cosC ﹣1=cosC=±
2
2
2
由余弦定理 c =a+b﹣2abcosC ，得 2
b ±b ﹣12=0 解得b=或2
所以b=或b=2，c=4．
点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力．
14、（2010?重庆）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b +3c﹣3a =4（Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）求
的值．
2
2
2
bc ．
考点：余弦定理的应用；弦切互化。 专题：计算题。 分析：（Ⅰ）先把题设条件代入关于A 的余弦定理中，求得cosA 的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinA 的值．
（Ⅱ）利用三角形的内角和，把sin （B+C+
）转化为sin （π﹣A+
），进而利用诱导公式，两角和公式
和化简整理后，把sinA 和cosA 的值代入即可． 解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得又
（Ⅱ）原式=
==
=
=．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值．考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力．
