范文一：竖直悬挂的弹簧振子的平衡位置

第21卷第3期2013年6月

呼伦贝尔学院学报JournalofHulunbeierCollege

No.3Vol.21

PublishedinJune.2013

竖直悬挂的弹簧振子的平衡位置

从珍珠

（1.海拉尔区教育局电教馆

刘亚民内蒙古

海拉尔区

021008

021008）

2.呼伦贝尔学院物理与电子信息学院

摘

内蒙古海拉尔区

要：通过对一具体问题的深入讨论，更加清晰地分析了竖直悬挂的弹簧振子平衡位置的

确定方法，平衡位置是受力平衡位置，而不是速度为零的位置，并用能量的办法进行了定量计算。

关键词：弹簧振子;平衡位置;能量中图分类号：0313

文献标识码：A

文章编号：1009-4601（2013）03-0115-02

一、问题引入

在普通物理教学过程中，一些学生常被竖直悬挂的弹簧振子的平衡位置确定问题所困扰。本文将从一个具体实例的讨论和计算，明晰弹簧振子平衡位置的确定问题。一根轻弹簧，劲度系数为k，上端固定而竖直悬挂着，轻轻地在弹簧下端挂上质量为m的物体，这显然不是物体的平衡位置，重力驱使物体下降（重力势能减少）。弹簧随之拉长（弹性势能增加），试问物体的平衡位置在哪里？

二、分析与计算

这个问题似乎可以用能量方程解决如下，取坐标的正向竖直向下（如图所示），将所求平衡位置的坐标记作x，则重力势能的减少为mgx，而弹性势能增加为写出

12

mx，按照能量方程似乎可以2

12

kx2=mgx

（1）

由此求得物体平衡位置坐标

x=

2mgk

（2）

这果真是平衡位置吗？对此我们不难作一检验，在此位置上物体受到向上的弹力kx和向下的重力mg作用，合力为

f=mg-kx=mg-k(

2mg

)=-mgk

所以物体在此位置受到向上的合力作用，这位置并非是平衡位置！

那么式（2）确定的位置到底是什么位置呢？回过头来考察一下式（1），我们发现式（1）的建立是暗中认定动能改变为零的，而初始动能已知为零，所以式（2）给出的应是瞬时速度为零的位

置。

收稿日期：2013-01-20

作者简介：从珍珠（1963-）男，汉族，呼伦贝尔市海拉尔区电教馆，中教一级。研究方向：现代教育技术。

-115-

范文二：竖直悬挂的弹簧振子的平衡位置

第 21 卷第 3 期 呼伦贝尔学院学报 No.3 Vol.21 2013 年 6 月 Journal of Hulunbeier College Published in June.2013 竖直悬挂的弹簧振子的平衡位置 从珍珠 刘亚民 (1.海拉尔区教育局电教馆 内蒙古 海拉尔区 021008 2.呼伦贝尔学院物理与电子信息学院 内蒙古 海拉尔区 021008) 摘 要:通过对一具体问题的深入讨论，更加清晰地分析了竖直悬挂的弹簧振子平衡位置的 确定方法，平衡位置是受力平衡位置，而不是速度为零的位置，并用能量的办法进行了定量计算。 关键词:弹簧振子 平衡位置 能量 中图分类号:0313 文献标识码:A 文章编号:1009-4601(2013)03-0115-02 一、问题引入 在普通物理教学过程中，一些学生常被竖直 二、分析与计算 悬挂的弹簧振子的平衡位置确定问题所困扰。本 这个问题似乎可以用能量方程解决如下，取 文将从一个具体实例的讨论和计算，明晰弹簧振 坐标的正向竖直向下(如图所示)，将所求平衡位 子平衡位置的确定问题。一根轻弹簧，劲度系数 置的坐标记作 x ，则重力势能的减少为 mgx ，而 为 k，上端固定而竖直悬挂着，轻轻地在弹簧下端 1 2 弹性势能增加为 mx ，按照能量方程似乎可以 挂上质量为 m 的物体，这显然不是物体的平衡位 2 置，重力驱使物体下降(重力势能减少)。弹簧随 写出 之拉长(弹性势能增加)，试问物体的平衡位置在 1 2 kx mgx (1) 哪里, 2 由此求得物体平衡位置坐标 2mg x (2) k 这果真是平衡位置吗,对此我们不难作一检 验，在此位置上物体受到向上的弹力 kx 和向下的 重力 mg 作用，合力为 2mg f mg - kx mg - k -mg 0 k 所以物体在此位置受到向上的合力作用，这 位置并非是平衡位置～ 那么式(2)确定的位置到底是什么位置呢, 回过头来考察一下式(1) ，我们发现式(1)的建 立是暗中认定动能改变为零的，而初始动能已知 为零，所以式(2)给出的应是瞬时速度为零的位 置。收稿日期:2013-01-20作者简介:从珍珠(1963-)男，汉族，呼伦贝尔市海拉尔区电教馆，中教一级。研究方向:现代教育技术。 - 115 - 那么平衡位置应该在哪里呢,按照劲度系数 条件。在上面所述的情况里，物体轻轻挂在弹簧k 的定义，在平衡位置上应有 mg - kx 0 ，平衡 的下端而释放，开时，向下的重力大于向上的弹位置坐标应为 性力，所以物体受到向下的合力作用，因而物体 mg 时不断地加速，到达平衡位置前，物体的速度总 x (3) k 是不断地增大，直至平衡位置，速度达到极大值。 这就是说平衡位置应该在式(2)所确定的位 虽然这时候所受合力为零，但由于惯性，物体不置与原点的中点。 会停留在平衡位置上，而是冲过平衡位置。其后 物体到达平衡位置时，弹性势能增加 的情况则反过来，物体所受的重力小于弹性力，1 2 1 1 因而物体不断地减速直至停止，这个停止位置正 kx k mg / k 2 m 2 g 2 /

k ，而重力势2 2 2 是式(2)所确定的位置。 2 2能减少 mgx mg mg / k m g

/ k ，前者小于 从能量角度分析，开始弹性势能为零，重力后者，显然必有部分重力势能转化为动能，能量 势能最大，动能为零。释放后，由于重力做正功，方程应表示为 弹性力做负功，重力势能减小，弹性势能增加，1 2 1 2 m2g 2 m 2g 2 2 m g2

(4) 同时一部分势能转化为动能。在平衡位置，动能 mv mgx - kx - 2 2 k 2k 2k

达极大值。之后弹性势能继续增大，重力势能继 mg 2 续减少，动能又转化为势能，直至停止，此时弹即v ? 0，可见在平衡位置上，物体速度 k 性势能达极大值，重力势能达极小值。由于系统并不为零。 是无损耗的，机械能必然守恒，如果外界不加干 或许我们会有这样的疑惑:物体在平衡位置 涉，物体会在 x 0 与 x 2mg / k 间振动。因此上应该不动，本例的物体在式(2)所确定的位置 x 2mg / k 实际

上是简谐振动的振幅的两倍，式上速度为零，而在式(3)所确定的平衡位置上却 (2)也可以来确定振子的振幅。是运动的，这是什么原因呢,是的，物体到达式 三、结论(2)所确定的位置时的速度确实为零，但这只是 总结起来，我们说平衡位置是受力平衡位置，瞬时为零，由于此时向上的弹性力大于重力，物 并不是“速度为零”的位置，在平衡位置上物体体将掉头向上运动。至于说到式(3)所确定的平 的速度是否为零，还取决于物体到达平衡位置的衡位置，如果我们用手轻轻托住物体，让它慢慢 状态:若是静止，就保持停留于平衡位置上;若下降到这个位置，并待它完全停止后释放，物体 是运动的，就不会静止于平衡位置上。就能保持不动。但象本例那样挂上后就释放，则 参考文献:到达平衡位置时就具有一定的速度，这样说来， 1漆安慎.力学M.北京:高等教育出版社，1997:物体在平衡位置并不一定是不动的，它也可以是 265. 2赵凯华.新概念物理教程力学M.北京:高等教育出运动的。事实上，决定平衡位置的是物体所受的 版社，1995: 249.合力为零，加速度为零。运动与否还取决于初始- 116 -

范文三：竖直悬挂非轻质弹簧振动系统的振动规律

竖直悬挂非轻质弹簧振动系统的振动规律

崔红娜

河北建筑工程学院数理系

摘 要 用能量法研究了弹簧质量不可忽略的情况下 ,振动系统的运动规律 ,给出了其运动微

分方程和振动周期 .

关键词 能量法 ;微分方程 ;振动周期

中图分类号 O4

引言0

一般理论力学教材 [ 1 ] 、[ 2 ]中讨论弹簧振动系统运动规律时 , 都忽略了弹簧的质量 , 这样系统的振动不会受弹簧质量影响 , 若弹簧一端悬挂的物体质量不是远远大于弹簧的质量 , 这时 , 应当考虑弹簧的 质量 。本文用能量法研究弹簧质量不可忽略条件下的弹簧振动系统的振动规律 , 导出了其运动微分方 程 , 并求出其振动周期 、振幅和弹簧质量的关系 .

系统运动微分方程的建立 1

如图 1 所示 , 颈度系数为 、质量为 m 、原长为 l的弹簧 , 上端固 k0

定 , 下端悬挂着质量为 M 的物块 , 当系统在平衡位置静止时 , 突然

给物块竖直向下的速度 v, 此后物块便在平衡位置附近作机械振 0

动. 由文献 [ 3 ]知 , 弹簧在自身重力作用下的伸长量为

1 m g

2 k

物块在静平衡位置弹簧总的静形变为

M g m g δ= + ( )1 k 2 k

以物块的静平衡位置 O 为坐标原点 , 坐标轴 x 竖直向下. 物块运

动的初始条件是

? 图 1 t = 0 时 , x = 0 , x = v0 ( )2 以静平衡位置为弹簧的弹性势能和弹簧 、物块的重力势能的零势能点 , 系统的势能为

δ l+m g 1 0 m g x x 2 2 ( δ) δ v = k[ x +- ] - M g x +×( l+δ) × × ( )- 0 3 δδ2 2 l ++ xl ++ x 20 0 ( ) ( ) 将 1代入 3可得

δ l+m g m g x 1 0 m g x x 2 V = k x+ +×( l+δ) × ( )- × 0 4 δδ2 2 l ++ x2 l ++ x 20 0 物块的动能为

1 2? ( ) Ek = M x5 2

有文献 [ 4 ]知 , 整个弹簧的动能为

1 2? E′= m x( ) k 6 6

( ) ( ) ( ) 整个系统的机械能守恒 , 由 4、5、6有

收稿日期 :2009 01 05

作者简介 :女 ,1981 年生 ,助教 ,张家口市 ,075024

138 河 北 建 筑 工 程 学 院 学 报 第 27 卷

δ l+ 1 1 1 m g x m g x ??0 m g x 2 2 2 (δ) ( )×+ × - × = 常量 7 l + M x + m x + k x +0 δ 2 6 2 δl 0 ++ xl ++ x2 2 2 0 等式两边对时间求导

? 1 ?? ? m g ? m g 2 2?? xm + M - + x + k x x + x x = 0 3 2 2

化简整理

k ? ??x + x = 0 1 M + m3

k 2 令 ω= 1 M + m3

振动微分方程是

? 2 ??( )ω8 x +x = 0

结论 2

( ) 式 8的通解是

( )(ωθ)9 x = A s i n t +

速度为

? ( )ω(ωθ)10 x =A cos t +

( ) ( ) ( ) 把初始条件 2代入式 9、10求得

振幅为

1 M + m3 ( )A = v0 11 k

初相位

( )θ12 = 0

振动周期为

1 M + m π3 2( )πT = 13 = 2 ω k 物块的振动规律

1 M + mk 3 ( )x = v0 s i n t 14 1 k M + m3

( ) ( ) ( ) 当物体的质量远远大于弹簧的质量时 , M μ m , m 可以忽略不计 , 这时式 11、13、14成为

k M M M s i nπtA = v0 x = v0 T = 2 k k k M 这就是文献 [ 2 ]给出的结论 . 由此可见 , 如果考虑了弹簧的质量 , 物块做的仍旧是简谐振动 , 只不过其振

动周期 、振幅都变大.

参 考 文 献 [ 1 ]赵经文 ,王铎主 . 理论力学 . 下册 . 北京 :高等教育出版社 ,1997 ,3032306 [ 2 ]蔡泰信 . 理论力学解题和应试指南 . 北京 :机械工业出版社 ,2006 ,10 : 369

() [ 3 ]陈代绶 . 垂直悬挂质点弹簧系统的振动 . 大学物理 ,2007 9:22

[ 4 ]强元桀 ,程稼夫 . 力学 . 北京 :科学出版社 ,2005 ()下转第 144 页

? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

144 河 北 建 筑 工 程 学 院 学 报 第 27 卷

现代化管理进程.

综上所述 ,高校教学档案管理工作是学校教学管理工作的重要组成部分 . 加强教学档案管理工作是 强化教学管理的需要 ,是深化教学改革的需要 ,也是提高教学质量的需要. 可以想见 ,以计算机及其网络 作为工具或基本工作环境自动或半自动地代替人来从事档案管理工作是时代发展的需要 . 它对于提高 教学档案的保存和利用有着不可低估的作用 . 随着高校科技教育网的兴起和普及 ,必将带动档案的全面 信息化.

On the Computer Management of Teaching Files in Colleges 1 1 1 2 1Zh o n g Xi a oc h u n , Zh u Yi n gl i n g, D a i Ch a n g m i n g, L i J i a n h u a , D u Ch u n m ei 11 Hebei Instit ute of A rchitect ure civil Engineering

21 Zha ngjiako u Mater nit y a nd Child2ca re Cent re

Abstract A s o ne of t he college file s , t eachi ng file s a re p la yi ng a n equall y i mpo rt a nt role t hro ugho ut

t he t eac hi ng ma na ge me nt a nd p ractice . The ri si ng a nd p revale nce of t he t ech nolo gical educatio n

we b sit e of college s a nd unive r sitie s mu st f ull y drive t he i nfo r matio nizatio n of file s. Key words t eachi ng file s ; co mp ut er ma na ge me nt ; co nditio n

()上接第 126 页

On the Theory and Appl ication of Huf f man Coding

Ka n g Ho n gbo

Hebei Instit ute of A rchitect ure a nd Civil Engineering

Abstract Thi s a rticle de scri bed a lo ssle ss co mp re ssio n e nco di ng ———t he H uff ma n co di ng ,w hic h ha s a

wide ra nge of app licatio n s.

Key words t he H uff ma n co di ng ; dat a co mp re ssio n

()上接第 138 页

On The Vibration La w of the Vibration System

of the Vertical Suspending L ight Spring

C u i Ho n g n a

Hebei Instit ute of A rchitect ure a nd Civil Engineering

Thi s p ap e r i s i nt e nded to st udy t he mo ve me nt of t he vi bratio n sy st e m of t he ver tical su sp e n2 Abstract

sio n sp ri ng s by t he e ne r gy law , i n w hic h t he qualit y of sp ri ng ca n no t be i gno re d. In a dditio n , it

al so o bt ai n s t he diff ere ntial equatio n of t hei r mo ve me nt s a nd t he mo tio n equatio n a s well a s t he vi2

bratio n cycle t hat de scri be s t he law of vi bratio n .

Key words t he L aw of Ener gy ; t he diff ere ntial equatio n of mo ve me nt ; t he vi bratio n cycle

? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

范文四：竖直悬挂非轻质弹簧振动系统的振动规律

第 27 卷 第 1 期 工 程 学 院 学 报 1 27 No1 1 河 北 建 筑Vol2009 年 3 月 JOURNAL OF HEBEI INSTITUTE OF ARCHITECTURE AND CIVIL ENGINEERING March 2009

竖直悬挂非轻质弹簧振动系统的振动规律

崔红娜

河北建筑工程学院数理系

摘 要 用能量法研究了弹簧质量不可忽略的情况下 ,振动系统的运动规律 ,给出了其运动微

分方程和振动周期.

关键词 能量法 ;微分方程 ;振动周期

中图分类号 O4

0 引言

一般理论力学教材[ 1 ] 、[ 2 ]中讨论弹簧振动系统运动规律时 , 都忽略了弹簧的质量 , 这样系统的振 动不会受弹簧质量影响 , 若弹簧一端悬挂的物体质量不是远远大于弹簧的质量 , 这时 , 应当考虑弹簧的 质量 。本文用能量法研究弹簧质量不可忽略条件下的弹簧振动系统的振动规律 , 导出了其运动微分方 程 , 并求出其振动周期 、振幅和弹簧质量的关系.

1 系统运动微分方程的建立

如图 1 所示 , 颈度系数为 k 、质量为 m 、原长为 l的弹簧 , 上端固 0

定 ,下端悬挂着质量为 M 的物块 , 当系统在平衡位置静止时 , 突然

给物块竖直向下的速度 v, 此后物块便在平衡位置附近作机械振 0

动. 由文献[ 3 ]知 , 弹簧在自身重力作用下的伸长量为

1 m g

2 k

物块在静平衡位置弹簧总的静形变为

M g m g ()1 δ= + k 2 k

以物块的静平衡位置 O 为坐标原点 , 坐标轴 x 竖直向下. 物块运

动的初始条件是

? 图 1 t = 0 时 , x = 0 , x = v(2)0 以静平衡位置为弹簧的弹性势能和弹簧 、物块的重力势能的零势能点 , 系统的势能为 l +δ0 m g x x 1 2 2 m g( δ) δ×( l+δ) × - ×v = k[ x +- ] - M g x + 0 ()3 l +δ+ x2 l+δ+ x 22 0 0 () () 将 1代入 3可得 l +δ0 m g x x 1 m g x m g×( l+δ) × - ×2 0 ()4 V = k x+ + 2 2 l +δ+ x2 l +δ+ x 20 0

物块的动能为 1 E= M xk 5 ?2 ( ) 2

有文献[ 4 ]知 , 整个弹簧的动能为

1 E′= m x 6)k ?2 (6

() () () 整个系统的机械能守恒 , 由 4、5、6有

收稿日期 :2009 01 05

作者简介 :女 ,1981 年生 ,助教 ,张家口市 ,075024

138 河 北 建 筑 工 程 学 院 学 报 第 27 卷

l+δ 1 ?1?1m g x0 2 2 2 m g m g x x δ) (×l+()+ 0 常量 7 = M x × +δ+ x2 l+ m x + k x + 0 × - 2 +δ+ x 2l0 6 2 2 等式两边对时间求导 m g ?2 ? ?? ?? 1 ?m g 2 + k x + x x - m + M x x = 0 + x 2 3 2 化简整理

k ? ??x + x = 0 1 M + m 3

k 2 ω令=1 M + m 3

振动微分方程是

? ?2 ? ω ()x + x = 0 8

2 结论

() 式 8的通解是

(ωθ)()x = A sin t + 9 速度为 ? ω(ωθ) ()x =A cos t +10

() () () 把初始条件 2代入式 9、10求得

振幅为 1 M + m

3 ()A = v11 0 k

初相位

θ()= 0 12

振动周期为 1 M + m

π 2 3 πT = = 2 )(13 ω k

物块的振动规律

1 M + m 3 k x = v()0 si n t 14

k 1 M + m3

() () () 当物体的质量远远大于弹簧的质量时 , M μ m , m 可以忽略不计 , 这时式 11、13、14成为

Mk M M x = vsi n tA = vπ0 0 T = 2 k k k M

这就是文献[ 2 ]给出的结论. 由此可见 , 如果考虑了弹簧的质量 , 物块做的仍旧是简谐振动 , 只不过其振 动周期 、振幅都变大.

参 考 文 献

[ 1 ]赵经文 ,王铎主. 理论力学. 下册. 北京 :高等教育出版社 ,1997 ,3032306

[ 2 ]蔡泰信. 理论力学解题和应试指南. 北京 :机械工业出版社 ,2006 ,10 : 369

() [ 3 ]陈代绶. 垂直悬挂质点弹簧系统的振动. 大学物理 ,2007 9:22

()[ 4 ]强元桀 ,程稼夫. 力学. 北京 :科学出版社 ,2005 下转第 144 页

144 河 北 建 筑 工 程 学 院 学 报 第 27 卷

现代化管理进程.

综上所述 ,高校教学档案管理工作是学校教学管理工作的重要组成部分. 加强教学档案管理工作是

强化教学管理的需要 ,是深化教学改革的需要 ,也是提高教学质量的需要. 可以想见 ,以计算机及其网络

作为工具或基本工作环境自动或半自动地代替人来从事档案管理工作是时代发展的需要. 它对于提高

教学档案的保存和利用有着不可低估的作用. 随着高校科技教育网的兴起和普及 ,必将带动档案的全面

信息化.

On the Computer Management of Teaching Files in Colleges

1 1 1 2 1Zhong Xi aoch u n , Zh u Yi ngli ng, Dai Cha ngmi ng, L i J i a n h u a , D u Ch u n mei

11 Hebei Institute of Architecture civil Engineering

21 Zhangjiakou Maternity and Child2care Centre

Abstract As one of t he college files , teaching files are playing an equally important role t hroughout

t he teaching management and practice. The rising and prevalence of t he technological education website of colleges and universities must f ully drive t he informationization of files.

Key words teaching files ; comp uter management ; condition

()上接第 126 页

On the Theory and Application of Huff man Coding

Ka ng Hongbo

Hebei Institute of Architecture and Civil Engineering

Abstract This article described a lossless compression encoding ———t he Huff man coding ,which has a

wide range of applications.

Key words t he Huff man coding ; data compression

()上接第 138 页

On The Vibration La w of the Vibration System

of the Vertical Suspending Light Spring

Cui Hongn a

Hebei Institute of Architecture and Civil Engineering

Abstract This paper is intended to st udy t he movement of t he vibration system of t he vertical suspen2

sion springs by t he energy law , in which t he quality of spring can not be ignored. In addition , it

also obtains t he differential equation of t heir movement s and t he motion equation as well as t he vi2

bration cycle t hat describes t he law of vibration. Key words t he Law of Energy ; t he differential equation of movement ; t he vibration cycle

范文五：一竖直放置的轻弹簧下端固定【精品-doc】

一竖直放置的轻弹簧下端固定，上连接一个质量为M=375g的平板，平板上放一个质量为m=2625g的物体p，弹簧的劲度系数为k=200N/m,系统原处于静止状态，现给物体p一竖直向上的拉力F，使p由静止开始向上做匀加速直线运动，已知在前0.2s内F为变力，在0.2s后F为恒力，求F的最小值和最大值

F

p

k

。2S内是变力”，说明物体由开始到离开板的运动时间分析:本题有三个关健点。一是“0

是0。2S。 这一过程可用运动学公式列式。

二是:物体离开板的条件:即物体与板有相同的加速度，且它们之间的作用力刚好等于0。

三是:分析出何时F最大，何时最小。 可以看出，当刚开始拉动物体时，由于弹力最大，所以所用的力F最小，而当物体刚要离开板时，拉力最大。

12解:二物体一起运动的0.2S过程中:S,at 2

物体刚离开板时，板的加速度与物体的加速度相同，

Mg，mg 则对于板，由牛顿第二定律: K(,S),Mg,MaK

2a,6m/s 联立可得:

物体刚开始运动时，所用拉力最大。对于整体:F，(M，m)g,F,(M，m)a max弹力

得: F,18Nmax

物体刚离开板的瞬间，拉力最小，对于物体，有: F,mg,mamin

得: F,42Nmin

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