叫你2B对不起橡皮
范文一：一维波动方程的推导
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m 的小质点，相邻质点间用长度h 的弹簧连接。弹簧的劲度系数（又称“倔强系数”）为k ：
其中u (x ) 表示位于x 的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h 处的质点m 上的力为：
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h 处质点的运动方程为：
式中已注明u (x ) 是时间t 的显函数。
若N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k /N ，我们可以将上面的方程写为：
取极限 N , h 就得到这个系统的波动方程：
在这个例子中，波速。
范文二：一维波动方程Cauchy问题解的另一种推导方法
一维波动方程Cauchy问题解的另一种推导
方法
第6卷第3期
2004年7月
,,oI.6NO.3
July2004
一
谁渡劲方程Cauchy题钾的
另一种撒导方法
安黔江
(铜仁师范高等专科学校数学系,贵州铜仁554300)
摘要:本文介绍了一维波动方程Cauchy问题解的表达式的另一种推导方法,并简单考虑了其
解的存在条件.首先用Fourier变换,Laplace变换及其它们的相关性质,获得了与参考文献【1]一致
的解的表达式,然后通过比较这两种不同的推导方法,可知本文所述的推导方法具有过程简单,浅
显易懂等优点.
关键词:一维波动方程;Cauchy问题:Fourier变换:Laplace变换
中图分类号:0I75文献标识码:A文章编号:I67I.9972(2004)03.0055.(03)
1.引言
在参考文献【l】中,对,维波动方程Cauchy问题已
经详细地推导出解的表达式.即从物理角度,利用迭加
原理将问题拆分为两个问题的迭加,再利用引入自变量
变换和齐次化原理获得问题解的表达式,在这一推导过
程中运用物理原理,从数学角度一时难以接受.而在求
解热传导方程Cauchy问题:
=a21d+f(x.,).(O)="0 时,是用Fourier变换求出解的表达式,同时整个求解 过程是从数学的角度出发,避免运用难以理解的物理原 理,使得问题的求解过程思想明确,浅显易懂.通过分 析,可以用类似的方法求解一维波动方程Cauchy问题 解的表达式.
2.预备知识
设F表示Fourier变换.(J)为(一一,+co)内的绝 对可积函数,且(J)在任何区间上逐段光滑,则有: F()】:()e-,a,,dx,
收稿日期:2003-04.16责任编辑:全宏发
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记Fir(~)]--F().
厂l【F(五)】=古(饥以
由参考文献【I】,可知Fourier变换具有如下性质: (I)线性性质:Fourier变换是线性变换,即对任意 复数口,和函数,,下式成立:
F[af~+】=口厂】+厂】
(2)微分性质:如果(J),厂(J)都是可以进行
Fourier变换的,而且当一一时,(J)一0,
则成立关系式:
F'()J=i2F[f()】
另设,表示Laplace变换,(,)为(0,+一)内的可 积函数,若fit)可以进行拉普拉斯变换,则: ,】:F()e-p'dl,
其中P为复参数.这里厂(,)称为原函数,F)称为. f(,)
的Laplace像函数.
由参考文献12】,【3】,可知Laplace变换具有如下
性质:
56
一一,一,一一一一一
(.,):()cosa,+—sina, 口/L
+-,'(,)M-f) 再由引理:
【()c咖II(x+a1)+9(x-
at)l
【()sII,()s1.e,At以
=(c咖.e~2rJo以上,l川?盯 =(咖1..e~2x :
2
【(+a,)+(x+at)ldr
:
胁
从而:
【'()s-r)IJr_'Jl'r+~1(/-
,
r
1
)
'r),7
口/L口一"I一『'
因此问题(3.I)的解为:
x+al(x-at)]+击(,7
+
去-a(t-r)州【3'5)
评注1:上面已推导出问题(3.1)的解的表达式.
在上面的推导中,是假定(.f)是满足进行Fourier变换
及有关运算的条件的,所以推导只得到问题的形式解.
为证明(3.5)确实是Cauchy问题(3.1)的解,还应进
行验证.讨论过程参见参考文献:l.
评注2:不难验证,当
9()?C:.
()?C'.
f(x.,)?C
时,(3.5)式所表示的乙,)确是Cauch?问题(3.I)
的解.
参考文献
:I]复旦大学数学系.数学物理方程:V:.北京:人民教育出版杜.
I992
2:严镇军.数学物理方程:?:.安徽:科技大学出版社.1995
:;王高维等编.常微分方程:?j.北京:高等教育出版社.1997
he曲er啊e曲edofDeducing曲0咖ssiOnefCaucl-l『PreblemSoluUonin
Equation
AnQianjiang
(DepartmentofMathematics,TongrenTeacher'SCollege,Guizhou,554300)
Abstract:Inthispaper.anothermethoddeducingtheexpressionofCauch?problemsolution,
~asintroducedin
one-dimensionalwa,mequationandtheexistconditionsofitssolutionasthoughtinbrief.Usi
ngFouriertransform.Laplace
transtbrmandtheirrelatedpropertiesfirst.weachievedidenticalexpressionwiththereferenc
e[I1.ComparingtwOkindsof
differentmethod.themethodinthispaperwassimpleandiqtelligible.
Keywords:One—
dimensionalwaveequation,Cauchyproblem,Fouriertransform,Laplacetransform
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范文三：二维波动方程推导
无源无损耗空间二维亥姆霍兹方程地表达形式
,假设场分布在,方向不均匀变化,在方向均匀变化,即; x,0zy,y
,,0无源无损耗空间,满足:, ,,0v
无外加电流地情况下,Maxwell方程为:
,,,H,，E,,, (1) ,,t
,,,E,，H,,, (2) ,t
,
, (3) ,,H,0
,
,,E,0, (4)
由旋度公式可以得:
,,,,,,EE,E,Eyyxz() ,，,,，,，Eijk,,,,zzxx
,,,,,,HH,H,Hyyxz() ,，,,，,，Hijk,,,,zzxx
由(1)、(2)式得到如下关系式:
,H,E,Eyzx,,, (5) ,x,z,t
,E,Hyx (6) ,,,z,t
,E,Hyz,,, (7) ,x,t
,E,H,Hyxz,,, (8) ,z,x,t
,H,Eyx,,, (9) ,z,t
,H,Eyz,, (10) ,x,t
由散度方程(3)、(4)得:
,E,Exz,, (11) ,x,z
,H,Hxz,, (12) ,x,z
(5)式两边分别对求偏导: t
222,H,E,Eyzx (13) ,,,2,x,t,z,t,t
(9)式对、(10)式对分别求偏导: xz
22,H,Eyx (14) ,,,2,z,t,z
22,H,Eyz, (15) ,2,x,t,x
把(14)、(15)式带入(13)化简可得: 222,H,H,H,E,,E,111yyyzx ,,,，()()()222,t,,x,t,,z,t,,,x,z
同理可得以下亥姆霍兹方程:
222,,,EEE1xxx ,，()222,,,,,tzx
22222,E,E,E,H,H1yyyxz ,,,，()222,t,z,t,x,t,,,z,x222,,,EEE1zzz ,，()222,,,,,txz
222,,,HHH1xxx ,，()222,,,,,tzx
222,,,HHH1zzz ,，()222,,,,,txz
范文四：波动方程推导过程
第一章波动方程
齐海涛
山东大学威海分校数学与统计学院
Email:htqisdu@gmail.com
September28,2011
目录
1方程的导出、定解条件2达朗贝尔公式、波的传播3初边值问题的分离变量法4高维波动方程的柯西问题5波的传播与衰减
6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
247101314
1方程的导出、定解条件
例1.1细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x,t)满足方程()()
??u??uρ(x)=E,其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.
解:由细杆的假设,在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的.
取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴.任取(x,x+?x)上的小段B为代表加以研究.t时刻,B的两端位移分别记作u(x,t)和u(x+?x,t)=u(x,t)+?u,B段的伸长为u(x+?x,t)?u(x,t)=?u,相对伸长则为
u(x+?x,t)?u(x,t)?u?u
==(x,t),
?x?x?x→0.
由Hooke定律,B两端的张力分别为E(x)ux|x,E(x)ux|x+?x.B段的运动方程为
?2u
Sρ(x)?x2(t)=E(x)Sux|x+?x?E(x)Sux|x
其中S为细杆截面面积,为B段重心坐标.约去S,令?x→0,有
()()
?u??u?
ρ(x)=E(x).例1.2在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支撑上,试分别
导出这三种情况下所对应的边界条件.
解:(1)u(0,t)=u(l,t)=0;
(2)端点自由,即端点处无外力作用.在左端点SE(0)(0,t)=0,即(0,t)=0.同理右端点(l,t)=0.
(3)端点固定在弹性支承上,端点受的外力与支撑的变形成比例.如左端有弹性支承,弹性系数设为k,则
()
