-艾玛
范文一：立体几何好题及答案
高 三 数 学·单 元 测 试 卷 (九 )
第九单元 [简单几何体 ],交角与距离
(时量 :120分钟 150分 )
一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15条,其中异面直线有
A . 18对 B . 24对 C . 30对 D . 36对
2. .一个与球心距离为 1的平面截球所得的圆面面积为 π,则球的表面积为
A . π28 B . π8 C . π24 D . π4
3.设三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的体积为 V , P 、 Q 分别是侧棱 AA 1、 CC 1上的点,且 PA =QC 1, 则四棱锥 B -APQC 的体积为
A . V 6
B . V 4
C . V 3
D . V 2
4.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1的正方形,且△ ADE 、△ BCF 均 为正三角形, EF ∥ AB , EF =2,则该多面体的体积为
A . 3
2 B .
3
3
C .
3
4
D . 32
5.设 α、 β、 γ为平面, l n m 、 、 为直线,则 β⊥m 的一个充分条件是
A . l m l ⊥=?⊥, , βαβα B . γβγαγα⊥⊥=?, , m C . αγβγα⊥⊥⊥m , ,
D . αβα⊥⊥⊥m n n , ,
6.如图,正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 1, O 是底面 A 1B 1C 1D 的中心,则 O 到平面 ABC 1D 1的距离为
A . 12 B . 4
C . 2D . 2
7.不共面的四个定点到平面 α的距离都相等,这样的平面 α共有
A . 3个
B . 4个
C . 6个
D . 7个
8. 正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E 、 F 分别为棱 AB 、 C 1D 1的中点, 则直线 A 1B 1与平面 A 1ECF
所成角的正弦为
A .
63 B . 3 C . 6 D . 2
9.在空间直角坐标系 O — x yz 中,有一个平面多边形,它在 x Oy 平面的正射影的面积为 8,
在 yOz 平面和 zO x 平面的正射影的面积都为 6,则这个多边形的面积为 A . 246
B .
C . 2
D . 34
10. 将半径都为 1的 4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的高的最小 值为
A .
3
623+ B . 2+
3
62 C . 4+3
62 D .
3
6
234+
答题卡
二、填空题:本大题共 5小题,每小题 4分,共 20分.把答案填在横线上 . 11.正三棱锥 P -ABC 的四个顶点同在一个半径为 2的球面上,若正三 棱锥的侧棱长为 2,则正三棱锥的底面边长是 _____________ . 12.如图, PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC =90°且 PA =AB =BC =a , 则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于 ________.
13. 已知 球面上 A 、 B 两点间的球面距离是 1,过这两点的球面半径的
夹角为 60°,则这个球的表面积与球的体积之比是
.
14.下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是 ______________(写出所有真命题的编号) .
15.在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,过对角线 BD 1的一个平面交 AA 1于 E ,交 CC 1于 F , 则
① 四边形 BFD 1E 一定是平行四边形 ②
四边形 BFD 1E 有可能是正方形
③ 四边形 BFD 1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形 BFD 1E 有可能垂直于平面 BB 1D
以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号) .
三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 16. (本题满分 l2分 )
在四棱锥 V -ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧面 V AD 是正三角形,平面 V AD ⊥底面 ABCD . (Ⅰ)证明 AB ⊥平面 V AD .
(Ⅱ)求面 V AD 与面 VDB 所成的二面角的大小.
17. (本题满分 12分)
如图 1, 已知 ABCD 是上、 下底边长分别是 2和 6, 高为 3的等腰梯形. 将它沿对称轴
OO 1折成直二面角,如图 2.
(Ⅰ)证明 AC ⊥ BO 1;
(Ⅱ)求二面角 O -AC -O 1的大小.
18. (本题满分 14分)
如图,在底面是矩形的四棱锥 P — ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , PA =AB =1, BC =2. (1)求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ;
(2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值;
(3)在 BC 边上是否存在一点 G ,使得 D 点到平面 PAG 的距离为 1,若存在,求出 BG 的值;若不存在,请说明理由.
B
O 1
C
D
E
19. (本题满分 14分)
如图,已知三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为 2的正三角形,侧棱 A 1A 与 AB 、 AC 均成 45°角,且 A 1E ⊥ B 1B 于 E , A 1F ⊥ CC 1于 F . ⑴求证:平面 A 1EF ⊥平面 B 1BCC 1; ⑵求直线 AA 1到平面 B 1BCC 1的距离; ⑶当 AA 1多长时,点 A 1到平面 ABC 与平面 B 1BCC 1的距离相等.
20. (本题满分 14分 )
如图直角梯形 OABC 中, ∠ COA
=∠ OAB =
2
π
, OC =2, OA =AB =1, SO ⊥平面 OABC ,
SO=1,以 OC 、 OA 、 OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系 O-xyz .
⑴求 SC O B α
与 的 夹 角 的大小(用反三角函数表示) ;
⑵设 :, ), , , 1(求 平面 满足 SBC n q p n ⊥= ① ; n
的 坐 标
② OA 与平面 SBC 的夹角 β(用反三角函数表示) ;
③ O 到平面 SBC 的距离 .
⑶设 :. ) , , 1(填写 且 满足 OB k SC k s r k ⊥⊥=
① 的坐标为 k
②异面直线 SC 、 OB 的距离为 .(注:⑶只要求写出答案)
B
C
A 1 F
21. (本题满分 14分 )
直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1,底面△ ABC 中, CA =CB =a ,∠ BCA =90°, AA 1=2a , M 、 N 分别是 A 1B 1、 AA 1的中点. (I )求 BN 的长;
(II )求 cos 〈 11, CB BA 〉 ;
(III )求证:A 1B ⊥ C 1M .
[简单几何体 ],交角与距离参考答案
一、选择题
三、解答题
16.证明:(Ⅰ)作 AD 的中点 O ,则 VO ⊥底面 ABCD .………………………… 1分 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1,………………………… 2分
则 A (
12
, 0, 0) , B (
12
, 1, 0) , C (-
12
, 1, 0) , D (-
12
, 0, 0) , V (0, 02
) ,
∴ 1(0,1,0), (1,0, 0), (, 0,
22AB AD AV =
==-
……………………………… 3分
由 (0,1,0) (1,0, 0) 0AB AD AB AD ?=?=?⊥
…………………………………… 4分 1(0,1,0) (, 0, 022
AB AV AB AV ?=?-=?⊥ …………………………………… 5分
又 AB ∩ A V =A
∴ AB ⊥平面 V AD ………………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 (0,1,0) AB
=
是面 V AD 的法向量………………………………
7分 设 (1,,
) n y z =
是面 VDB 的法向量,则
110(1,, ) (,1, 0(1,
2230(1,, ) (1, 1, 0) 03x n VB y z n z n BD y z =-????=?--=???
???=-???=-?=????
?--=??
…… 9分 ∴ (0,1,0) (1,1,
cos , 7
3
AB n ?-<>=
=-
,…………………………………… 11分
又由题意知,面 V AD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为 arccos 7
………… 12分
17.解法一(I )证明 由题设知 OA ⊥ OO 1, OB ⊥ OO 1. 所以∠ AOB 是所折成的直二面角的平面角,
即 OA ⊥ OB. 故可以 O 为原点, OA 、 OB 、 OO 1
所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,
如图 3,则相关各点的坐标是 A (3, 0, 0) , B (0, 3, 0) , C (0, 1, 3) O 1(0, 0, 3) .
从而 . 0333), 3, 3, 0(), 3, 1, 3(11=?
+-=?-=-=BO AC BO AC
所以 AC ⊥ BO 1.
(II )解:因为 , 03331=?+
-=?OC BO 所以 BO 1⊥ OC ,
由(I ) AC ⊥ BO 1,所以 BO 1⊥平面 OAC , 1BO 是平面 OAC 的一个法向量 . 设 ) , , (z y x n =是 0平面 O 1AC 的一个法向量,
由 , 3.
0, 0330
01=
???==++-??????=?=?z y z y x C O n AC n 取
得 ) 3, 0, 1(=n .
设二面角 O — AC — O 1的大小为 θ,由 n 、 1BO 的方向可知 =<θn ,="" 1bo="">,
所以 cos <=cos θn="" ,="" 1bo="" .="" 431="">
即二面角 O — AC — O 1的大小是 . 4
3arccos
解法二(I )证明 由题设知 OA ⊥ OO 1, OB ⊥ OO 1,所以∠ AOB 角, 即 OA ⊥ OB. 从而 AO ⊥平面 OBCO 1, OC 是 AC 在面 OBCO 1内的射影 . 因为 tan
1
1=
=
∠OO OB B OO
3
3t a n 1
11=
=∠OO C O OC O ,
所以∠ OO 1B=60°,∠ O 1OC=30°,从而 OC ⊥ BO 1
由三垂线定理得 AC ⊥ BO 1.
(II )解 由(I ) AC ⊥ BO 1, OC ⊥ BO 1,知 BO 1⊥平面 AOC. 设 OC ∩ O 1B=E, 过点 E 作 EF ⊥ AC 于 F , 连结 O 1F (如图 4) , 则 EF 是 O 1F 在平面 AOC 内的射影,由三垂线定理得 O 1F ⊥ AC. 所以∠ O 1FE 是二面角 O — AC — O 1的平面角 . 由题设知 OA=3, OO 1=3, O 1C=1,
所以 , 322
1212
12
1=+=
=+=C
O A O AC OO OA
A O ,
从而 32111=?=
AC
C
O A O F O , 又 O 1E=OO1·sin30°=
2
3,
图 3
B
O 1 图 4
所以 . 4
sin 111=
=
∠F
O E O FE O 即二面角 O — AC — O 1的大小是 . 4
3arcsin
18.解:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立空 间直角坐标系,则 A (0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C(12, 0, ) , D(0, 2, 0) , E(0, 1, 1
2, P(0, 0,
1) .
∴ CD =(-1, 0, 0) , AD =(0, 2, 0) , AP =(0, 0, 1) , AE =(0, 112
, PC =(1, 2, -1) ,
(1) 00C D AD C D AD C D PAD C D AP C D AP C D PD C AP AD A ?=?⊥?⊥?
?=?⊥??
????
?
=??
平 面 平 面 平面 PDC ⊥ 平面 PAD .…… 5分
(2)∵ cos , ||||
AE PC
AE PC AE PC ??=
=2121
4
·610, ∴ 所 求 角 的 余 弦 值 30
10
9分 (3)假设 BC 边上存在一点 G 满足题设条件,令 BG =x ,则 G(1, x , 0) ,作 DQ ⊥ AG ,
则 DQ ⊥平面 PAG ,即 DQ =1.∵ 2S △ ADG =S 矩形 ABCD ,∴ ||||||||AG DQ AB AD =
=2
∴ ||A G
=2,又 AG =+1, ∴ x ,
故 存 在 点 G , 当 B G 时 , 使 点 D 到 平 面 P A G 的 距 离 为 1.………………………… 14分 19.解:⑴ CC 1∥ BB 1,又 BB 1⊥ A 1E ,∴ CC 1⊥ A 1E ,而 CC 1⊥ A 1F ,∴ CC 1⊥平面 A 1EF ,∴ 平面 A 1EF ⊥平面 B 1BCC 1……………………………………………………………… 4分 ⑵作 A 1H ⊥ EF 于 H , 则 A 1H ⊥面 B 1BCC 1, ∴ A 1H 为 A 1到面 B 1BCC 1的距离, 在△ A 1EF 中, A 1E =A 1F =, EF =2, ∴△ A 1EF 为等腰 Rt △且 EF 为斜边, ∴ A 1H 为斜边上中线, 可 得 A 1H =1
2=1………………………………………………………………………… 9分
⑶作 A 1G ⊥面 ABC 于 G ,连 AG ,则 A 1G 就是 A 1到面 ABC 的距离,且 AG 是∠ BAC 的角 平分线, A 1G =1………………………………………………………………………… 12分 ∵ cos ∠ A 1AG =
cos45°cos30°3sin ∠ A 1AG =3A 1A =1
3
3
=1……………… 14分
20.解:(Ⅰ)如图所示: C (2, 0, 0) , S (0, 0, 1) , O (0, 0, 0) , B (1, 1, 0) 5
arccos
, 5
252, cos ) 0, 1, 1(), 1, 0, 2(==
?
>=
<∴=-=∴αob sc="" ob="" sc="" ………………………………………………………="">
(Ⅱ)① SBC n CB SB ⊥-=-= ) 0, 1, 1(), 1, 1, 1(
, , 10
10, :1, 2, (1,1,2)
n SB n C B n SB p q n C B p p q n ∴⊥⊥∴?=+-=?=-+===∴=
解 得 …………………………………………………………………………… 7分
② SOE BC E BC OE O 面 则 于 作 过 ⊥⊥, , SAB SOE ⊥∴
, , , , 2, SE O O H SE H O H SBC O A C B F O F FH O FH O E SE ⊥⊥=∠=
∴=
又 两 面 交 于 过 作 于 则 延 长 与 交 于 则 连 则 为 所 求 又
3sin 3
26
arcsin 106
SO O E O H SE
ββ?∴=
=
=
∴=
=∴= 分
③ 的坐标为
k ()1, 1, 2-; 3
6=
OH
…………………………………… 14分.
21.以 C 为原点建立空间直角坐标系
(I ) B(0, a , 0) , N(a , 0, a ) ,
∴ a a a a BN 3)
0() 0() 0(||2
2
2
=-+-+-=
. 4分
(II ) A 1(a , 0, 2a ) , C(0, 0, 0) , B 1(0, a , 2a ) , ∴ 1BA =(a ,-a , 2a ) , 1CB =(0, a , 2a ) ,
∴ 1BA ·1CB =a ×0+(-a ) ×a +2a ×2a =3a 2
, 5分
|1BA |=a a a a 6) 2() (2
2
2
=
+-+, |1C B |=a a a 5) 2(02
2
2
=++, 7分
∴ cos 〈 11, CB BA 10
3056311=
?
=
. 9分 (III ) C 1(0, 0, 2a ) , M(2
a , 2
a , 2a ) ,∴ M C 1=(
2
a ,
2
a , 0) , B A 1=(-a , a , 2a ) ,
∴ B A 1·M C 1=(-a ) ×
2
a +a ×
2
a +2a ×0=0,∴ B A 1⊥ M C 1,∴ A 1B ⊥ C 1M . 14分
范文二：立体几何证明及答案
O 为1．（本小题满分12分）如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, 底面中心, AO ⊥平面ABCD , AB AA 1=2． 1D A 1C 1
（1）证明：AA 1⊥BD ； （2）证明: 平面A 1BD //平面CD 1B 1; 2．（本小题满分12分）正方体ABCD -A 1B 1C 1D
1的棱长为l ，点F 、H 分别为A 1D 、A 1C 的中点． （1）证明：A 1B ∥平面AFC ； （2）证明：B 1H ⊥平面AFC ． 4．（本题满分14分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）PA //平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ． C 5．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
N A C
（1）求证：MN //平面PAD ；
（2）求证：平面PCD ⊥平面PBC .
6．如图，在四面体ABCD 中，CB =CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．
求证：（1）直线EF //面ACD ；
（2）平面EFC ⊥面BCD ．
7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AC ，且BC 1⊥AC 1．
（1）求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；
（2）若D , E 分别为是A 1C 1和BB 1的中点，求证：DE ‖平面ABC 1．
8．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：
（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE ．
参考答案
1
【解析】
试题分析：（1）由题意BD ⊥AC ，因为A 1O ⊥平面ABCD 可知A 1O ⊥BD ，可证BD ⊥面A 1AC 即可证明结论；（2）由于A 1B 1∥AB ，AB ∥CD ，可得A 1B 1∥CD ，又A 1B 1=CD，可得四边形A 1B 1CD 是平行四边形
所以A 1D ∥B 1C ， 同理可证A 1B ∥CD 1，利用面面平行判定定理即可证明结结论； （3） 由于A 1O ⊥面ABCD 故A 1O 是三棱柱A 1B 1D 1-ABD 的高．又在RT △A 1
OA 中，AA 1=2，AO = 1 ，可得A 1
根据柱体体积公式即可求出三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积．
试题解析：（1）证明：∵底面ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC
又∵A 1O ⊥平面ABCD BD?面ABCD ∴A 1O ⊥BD
又∵A 1O∩AC=O A1O ?面A 1AC ，AC ?面A 1AC
∴BD ⊥面A 1AC AA1?面A 1AC
∴AA 1⊥BD 4分
（2）∵A 1B 1∥AB AB∥CD ∴A 1B 1∥CD 又A 1B 1=CD ∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形 ∴A 1D ∥B 1C 同理A 1B ∥CD 1
∵A 1B ?平面A 1BD, A1D ?平面A 1BD, CD1?平面CD 1B 1, B1C ?平面CD 1B
且A 1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C
∴平面A 1BD // 平面CD 1B 1 8分
（3） ∵A 1O ⊥面ABCD ∴A 1O 是三棱柱A 1B 1D 1-ABD 的高．
在正方形AB CD中,AO = 1 ．在RT △A 1
OA 中，AA 1=2，AO = 1 ∴A
1
∴V 三棱柱
=S 1·AO =2=ABD 12
所以, 三棱柱ABD-A 1B 1D 1 12分．
考点：1．线面垂直的判定；2．面面平行的判定；3．柱体的体积公式．
2．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用中点，结合三角形的中位线性质，只需取AC 中点E ，证A 1B ∥EF 即可；
（2）注意到B 1H 即B 1D ，只需证B 1D 与AF 、AC 均垂直即可.
试题解析：（1）连BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连EF ，
又F 为A 1D 的中点，所以EF ∥A 1B ， 3分
又EF ?平面AFC ，A 1B ?平面AFC ，
由线面平行的判断定理可得A 1B ∥平面AFC 5分
（2）连B 1C ，在正方体中A 1B 1CD 为长方形，
∵H 为A 1C 的中点 ，∴H 也是B 1D 的中点，
∴只要证B 1D ⊥平面ACF 即可 6分
由正方体性质得AC ⊥BD ，AC ⊥B 1B ，
∴AC ⊥平面B 1BD ，∴AC ⊥B 1D 9分
又F 为A 1D 的中点，∴AF ⊥A 1D ，又AF ⊥A 1B 1，∴AF ⊥平面A 1B 1D ，
∴AF ⊥B 1D ，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， 11分
∴B 1D ⊥平面ACF. 即B 1H ⊥平面ACF. 12分
考点：空间几何体，线面关系
3． 见解析.
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行，要找线线平行，在平面AB 1D 内找一直线与AC 1平行即可. 连A 1B 交AB 1
于O, 连OD ,则OD||AC 1即证. （2）依题意可得AD ⊥平面BCC 1B 1, 故AD ⊥BC 1. 在矩形BCC 1B 1中，由条件可证?BDB 1?BB 1C 1, 从而得BC 1⊥DB 1, 故可得BC 1⊥平面AB 1D . 试题解析：（1）连接A 1B ?AB 1=O , 连接OD
AC ?面AB 1D 1//OD , OD ?面AB 1D , AC 1
AC 1//面AB 1D 6分（漏线不在面内扣2分）
（2）设D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，
正三棱柱中，BB 1⊥面ABC ，AD ?面ABC ，∴AD ⊥BB 1,
BC BB 1=B ，BC , BB 1?平面BCC 1B 1
∴AD ⊥平面BCC 1B 1, BC 1?平面BCC 1B 1, ∴AD ⊥BC 1 9分
设B 1D BC 1=F
直角DBB 1和直角BB 1C 1中，
BB 1BD ===∴DBB 1BB 1B 1C 1BB 1C
∴∠BDF =∠C 1BB 1, 又∠CBB 1+∠FBD =90, ∴∠BDF +∠FBD =90
∴BC 1⊥B 1D 13分
又BC 1⊥AD , AD B 1D =D , AD , B 1D ?平面AB 1D
∴BC 1⊥平面AB 1D 16分
考点：线面平行，线面垂直的判定与性质
4．见解析
【解析】
试题分析：（1）连接OE ，OE||PA，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA||平面BDE ；（2）由PO ⊥底面ABCD ，可得PO ⊥BD ；底面为正方形，可得BD ⊥AC ，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC ⊥平面BDE ． 试题解析：（1）连结OE Q O 是正方形的中心\O 是AC 的中点
又Q E 是PC 的中点 \OE 是V PCA 的中位线 \ OE||PA
又Q OE ì 平面BDE, PA ? 平面BDE \PA||平面BDE;
（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD ì平面ABCD \PO ⊥BD
又Q BD ⊥AC AC ? PO O \BD ⊥平面PAC
又Q BD ì 平面BDE \平面PAC ⊥平面BDE ．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
5．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质，注意把证明的条件写齐全；(2)要证平面与平面垂直，需要证明直线与平面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也
垂直于这个平面. 解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.
试题解析：解：（1) 取PD 的中点F ，连接AF , FN
点N 是PC 的中点
∴FN //DC ，且FN =1DC 2
又 四边形ABCD 是正方形，且点M 是AB 的中点
1DC 2
∴FN //AM ，且FN =AM
∴四边形FNMA 是平行四边形，∴MN //FA
又 MN ?平面PAD ，FA ?平面PAD
∴MN //平面PAD
PD ⊥平面ABCD ，且BC ?平面ABCD
∴PD ⊥BC
四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD
又 PD CD =D
∴BC ⊥平面PCD
又 BC ?平面PBC
∴平面PCD ⊥平面PBC . ∴AM //DC ，且AM =
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面垂直的判定.
6．（1）见解析 （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用线面平行的判断定理证明线面平行，首先说明线线平行，然后再说明线面平行.
（2）证明面面垂直的方法是利用线面垂直的判定定理首先说明线面垂直，然后再说明平面经过这条直线即可证明面面垂直解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 试题解析：（1）∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点．
∴EF 是?ABD 的中位线，∴EF //AD ，
∵EF //?面ACD ，AD ?面ACD ，∴直线EF //面ACD ；
（2）∵AD ⊥BD ，EF //AD ，∴EF ⊥BD ，
∵CB =CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD
又EF ?CF =F , ∴BD ⊥面EFC ，
∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
7．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由已知易知A 1ACC 1为正方形，可证A 1C ⊥平面ABC 1 ，因此平面ABC 1⊥平面
（2）方法一：取A 1A 中点F ，连EF ，FD ，易知平面EFD ∥平面ABC 1，所以ED ∥A 1ACC 1；
平面ABC 1；方法二：A 1C 交AC 1于G 点连BG ，易证四边形BEDG 为平行四边形，可证DE ∥平面ABC 1．
试题解析：（1）证明：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有A 1A ⊥平ABC ．
AC ?面ABC ∴A 1A ⊥AC ， 又A 1A =AC ，
∴A 1ACC 1为正方形，∴A 1C ⊥AC 1 ．
又BC 1⊥A 1C ，且AC 1BC 1=C 1 ∴A 1C ⊥平面ABC 1 ，
而AC ?面A 1ACC 1 则平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1
1
（2）方法一：取A 1A 中点F ，连EF ，FD ，EF AB ，DF ∥AC 1
即平面EFD ∥平面ABC 1， 则有ED ∥平面ABC 1
方法二：A 1C 交AC 1于G 点连BG ，
BE DG ，则有DE ∥BG ，即DE ∥平面ABC 1．
考点：面面垂直的判定定理与线面平行的判定定理
8．（1）见试题解析；（2）见试题解析。
【解析】
试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，可先证直线AD ⊥平面BCC 1B 1，根据棱柱的性质可知CC 1⊥AD ，又已知AD ⊥DE ，又CC 1D E =E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1。（2）根据两直线垂直于同一平面，则两直线平行，在结合（1），可先证A 1F ⊥平面BCC 1B 1，设F
为B 1C 1的中点，则A 1F ⊥B 1C 1，根据棱柱的性质可知CC 1⊥A 1F ，又CC 1B 1C 1=C 1，则A 1F ⊥平面BCC 1B 1，又AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F //AD ， 根据线面平行的判定定理可知直线A 1F ∥平面ADE ．
ABC ， 2分 试题解析：证明（1）∵ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面
∵AD ?平面ABC ，∴CC 1⊥AD ， 3分
∵AD ⊥DE ，CC 1，DE ?平面BCC 1B 1，CC 1DE =E ，
∴AD ⊥平面BCC 1B 1， 4分
∵AD ?平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； 6分
（2）∵A 1B 1=AC 1C 1的中点，∴A 11，F 为B 1F ⊥B 1C 1， 7分
∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ?平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥A 1F ， 9分
∵CC 1，B 1C 1?平面BCC 1B 1，CC 1
∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1， 10分
由（1）知，AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F //AD ， 11分
∵A 1F ?平面ADE ，AD ?平面ADE ，∴A 1F //平面ADE ．
考点：（1）棱柱的性质，（2）面面垂直、线面垂直的判定定理及性质定理，（3）线面平行的判定定理及性质定理。 B 1C 1=C 1，
范文三：高三立体几何试题及答案
1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱
a AD 上一点，且AP ，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 3
于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.
2．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠ADC ＝90°，
且AA 1＝AD ＝DC ＝2，M ∈平面ABCD ，
当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时，DM ＝________.
3．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．
(1)求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
(2)求点B 到平面PCD 的距离；
4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，
1BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝. 2
(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；
(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；
若不存在，说明理由．
5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F
分别为DD 1、DB 的中点．
(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；
(2)求证：EF ⊥B 1C ；
(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．
6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°
(1)求证：PC ⊥BC
(2)求点A 到平面PBC 的距离．
1. 2a ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 3
又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ，
∴PQ PD ＝＝2，即PQ ＝2PM ， PM AP
PM AP 11又△APM ∽△ADP ＝PM ＝BD ， BD AD 33
又BD a ，∴PQ ＝2. 3
2.[答案] 2 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM 为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM
＝2
(2)过
A 作AF ⊥PD ，垂足为F .
在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＋2＝2，
2×444AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ，即点B 到平面PCD 5524.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，
BC ?平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，
又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ?平面ABP ，PO ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ?平面ABP ，∴EA ?平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE .
(2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．
取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1
， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，
1∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝＝1，∴EF ＝2， 2
又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ，
∵CF ?平面PBC ，DE ?平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . ∴当M 与E 重合时即可．
5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ?平面ABC 1D 1，D 1B ?平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.
(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，
∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，
又BD 1?平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，
又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .
(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1，
即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝2
1∵EF ＝BD 1＝，B 1F ＝＋BB 1＝2
1＋(2)＝3，
∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°，
1∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝S △B 1EF ·CF 3
1111＝×·EF ·B 1F ·CF ×××＝1. 32326.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC .
由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，
∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC .
(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ，
∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，
1∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC AB ·BC ＝1， 2
11∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝S △ABC ·PD ＝ 33
∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝，
1∵PC ⊥BC ，BC ＝1，∴S △PBC ＝·BC 22
11∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴△PBC ·h ＝h ＝2，∴点A 到平面PBC 2. 3322()＋2＝6，B 1E ＝B 1D 1＋D 1E ＝22
范文四：高一立体几何试卷及答案
立体几何试题
一(选择题(每题4分，共40分)
1.已知AB//PQ，BC//QR,则?PQP等于( )
000A B C D 以上结论都不对 3030150
2.在空间，下列命题正确的个数为( )
(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4
3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是( )
A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面，直线n在内，则m与n的关系为( ) ,,
A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作( ) ,,
A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果菱形所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) ,MCABCD
A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直
7.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( ) ,,,
C 无数个 D 1个或无数个 A 0个 B 1个
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
9.对于直线,和平面,使成立的一个条件是( ) ,,,,,,mn
A mnnm//,,,,,, B mnnm//,,,,,,
C mnmn,,,,,,,, D mnmn,,//,//,,
10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
二(填空题(每题4分，共16分)
11.已知ABC的两边AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点,,,O与直线MN的位置关系为_________
12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有
_____________条
13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为___________
三、 解答题
15(10分)如图，已知E,F分别是正方形的棱和棱上的点，且CCABCDABCD,AA111111
。求证:四边形是平行四边形 AECF,EBFD11
16(10分)如图，P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， ,ABC证明:直线PC与平面ABD垂直
P
D
C
A
B
17(12分)如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上
的动点，求截面周长的最小值和这时E,F的位置. ,BEF
A
FE
DB
C
,18(12分)如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线的长 AC
D1 C1
A1 B1aDCc
bAB
答案
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D
231三点共线2无数 无数 3. 7 4 a12
: 1证明AECF,1
ABCD,11
，,，EABFCD11
？ ,,,EABFCD11
？,EBFD1
过作 AAGDF//111
又由?且= AEAEBGBG11
可知 EBAG//1
？EBDF//1
?四边形是平行四边形 EBFD1
?2 APAC,
D为的中点 PC
? ADPC,
? BPBC,
D为的中点 PC
? BDPC,
?平面ABD PC,
? ABPC,
311,3 提示:沿AB线剪开 ,则BB为周长最小值.易求得EF的值为,则周长最小值为. aa44
222,,ACACCC,，，，，，，，4解:
222,,，，ABBCCC() ，，，，
222 ,，，abc
范文五：立体几何试题及答案
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 2. 下列四个命题：
B. 1
C. 2
D. 3
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12
B. 24
C. 2
D. 414
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm
B. 12cm
C. 13cm
D. 82cm
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）
1+2π
1+4π
1+2π
1+4π
A.
2π
B.
4π
C.
π
D.
2π
6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下面四个命题：
①α//β?l ⊥m ；②α⊥β?l //m ；③l //m ?α⊥β；④l ⊥m ?α//β。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①② B. ③④
C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm
B. 6cm
C. 2
2
3
D. 312
8. 设正方体的全面积为24cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
32
A. 6πcm
3
B. 3
πcm
3
8
C. 3
πcm
3
4
D. 3
πcm
3
9. 对于直线m 、n 和平面α、β能得出α⊥β的一个条件是（ ） A. m ⊥n ，m //α，n //β C. m //n ，n ⊥β，m ?α
B. m ⊥n ，α β=m ，n ?α D. m //n ，m ⊥α，n ⊥β
10. 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β γ，l //α，m ?α，m ⊥γ，那么必有（ ） A. α⊥γ和l ⊥m
B. α//γ，和m //β D. α⊥γ且α⊥β
C. m //β，且l ⊥m
11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 1：3
B. 1：2
C. 2：3
D. 1：3
12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm 3，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）
17. （12分）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是棱DA 、DC 、DD 1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG 平行的平面，并证明之。 18. （12分）球内有相距1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是
5πcm 和8πcm
2
2
，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5+2）π，求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 （1）AD 应取多长？ （2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EF BD =G 。 （1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ； （2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （3）求三棱锥B 1-EFD 1的体积V 。
【试题答案】 一.
1. B 7. B 二.
π
2. B 8. D
3. C 9. C
4. C 10. A
5. A 11. D
6. D 12. B
13. 2
a
2
14. 2cm 15. 3ab
16. m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β?α⊥β（或m ⊥α，n ⊥β，α⊥β?m ⊥n ）
三.
17. 证明：过A 、C 、D 1的平面与平面EFG 平行，由E 、F 、G 是棱DA 、DC 、
DD 1的中点可得GE//AD 1，GF//CD 1，GE ?
平面EFG ，GF ?平面EFG
∴AD 1//平面AEG ，CD 1//平面EFG 又AD 1 CD 1=D 1 ∴平面EFG//平面ACD 1
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r 1和r 2，且r 2>
r 1
22
依题意，πr 1=5π，πr 2=8π
∴r 1=5，r 2=8
O A 1和O A 2都是球的半径R O O 1=O O 2=
∴
22
R -r 1=R -r 2=R -5-
222
2
22
R -5R -8R -8=1∴R =3
2
2
2
解得R =9
2
∴S 球=4πR
=36π(cm )
3
2
V 球=
43
πR =36π(cm )
2
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm
3
a =23
∴a =4
设底面边长为a ，则2 ∴正三棱柱的表面积
2
20. 解：如图，梯形ABCD ，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB 边旋转
S =S 侧+2S 底=3?4?2+2?
1
?4?23=24+83(m m )
2
一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设
C D =x ，A B =
32x
22x
AD =AB -CD =
x 2
，BC =
S 全面积=S 圆柱底+S 圆柱侧+S 圆锥侧
=π?AD +2π?AD ?C D +π?AD ?BC =π?=5+45+
2
2
x
2
4
+2π?2
π
2
?x +x ?
x 2
?
22
x
πx
2
2
根据题设
4
π?x =(5+2) π，则x =2
所以旋转体体积
V =π?A D ?C D +
2
π
3
2
A D ?(A B -C D )
2
=π?1?2+=73
2
π
3
?1?(3-2)
π
21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R 、AD=x，则OD =72-x
由题意得
?⌒60?π?AB =2πR =?72
180?
???⌒60?π
?(72-x ) ?C D =2πr =
180?
???O D =72-x =3R
∴R =12，r =6，x =36 ∴AD =36cm
22
（2）又圆台的高h=x -(R -r ) =
36-(12-6)
22
=635
∴V =
13
πh (R +R r +r )
2
22
2
=
13
π?635?(12+12?6+6)
3
=50435π(cm )
22. 证明：（1）如图，连结
AC
∵正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面呈正方形 ∴AC ⊥BD
又AC ⊥D 1D ∴AC ⊥平面BDD 1B 1
∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF//AC
∴EF ⊥平面BDD 1B ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1
解（2）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF 平面BDD 1B 1=B 1G ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ∴D 1H 为点D 1到平面B 1EF 的距离 在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B ?sin ∠D 1B 1H
D 1B 1=
2A 1B 1=
2?22=4
B 1B G B 1
=
4sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1G B =∴D 1H =4?
417
=161717
13
?D 1H ?S ?B 1EF
（2）
V =V B 1-EFD 1=V D 1-B 1EF =
==
133
?
16?
12
?2?16
