纯洁已成过去
范文一：拉普拉斯变换及其应用
第１７卷第６期
２００１年１２月雁北师范学院学报ｊｏＵＲＮＡＬＯＦＹＡＮＢＥＩＴＥＡＣＨＥＲＳ’ＣＯＬＬＥＧＥＶ０１．１７Ｎｏ．６Ｄｅｅ．２００１文章编号：１００９—１９３９（２００１）０６—００４８—０２
拉普拉斯变换及其应用
王振芳
（雁北师范学院数学系，山西大同０３７０００）
摘要：谊文论述了运用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程．同样，用拉氏逆变换，可求出微分方程的解．
关键词；拉酱拉斯变换拉氏逆变换微分方程的解
中图分类号：０１７７．６文献标识码：Ａ
ＴＨＥＴＲＡＳＦＯＲＭＡＴＩＯＮＡＮＤＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮＯＦＬＡＰＬＡＣＥ
ＷＡＮＧ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｓｈｏｗｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＬａｐｌａｃｅ
ｓａｍｅｔｉｍｅ，ｕｓｉｎｇｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｑｎｏｆＬａｐｌａｃｅ
●Ｚｈｅｎ—ｆａｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｔｔｈｅ（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＹａｎｂｅｉＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＤａｔｏｎｇＳｈａｎｘｉ?０３７０００）ｔＯｔＯｔＯｆｉｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌａｐｌａｃｅ’Ｓｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ。ｌａｐｌａｃｅ’ｓｉｎｖｅｒｓｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ
拉普拉斯变换是工程技术中常用的一种数学方法，它能把微积分运算转化为代数运算，能把微分方程转化为代数方程，使解题手续大为简化．
拉普拉斯变换的定义
』十∞
设函数，（ｆ）当ｆ≥０时有定义，而且可积Ｊ。ｆ（ｔ）ｅ—ｄｔ，在ｓ的某一领域内收敛，则
ｆ“
Ｆ０）＝Ｊｏｆ（ｆ）ｅ一。ｄｔ．
其中．ｓ是一复参量，ｓ＝卢＋扣．
（１）式为函数，（ｆ）的拉普拉斯（１ａｐｌａｃｅ）的变换式．简称拉氏变换式，记作
Ｆ（５）一￡［厂（ｆ）］．
其中，Ｆ０）为象函数．厂（ｆ）为原函数．（２）拉氏变换存在的定理
若函数，（ｆ）满足下列条件：
１０在ｆ≥０的任一有限区问上分段连续；
２０在ｔ充分大后。满足不等式ｌ，（ｚ）ｌ≤Ｍ∥．
其中Ｍ，Ｃ都是常数，则厂（ｆ）的拉氏变换
ｒ＋∞
Ｆ０）＝Ｊｏｆ０）Ｐ一”ｄｔ
在半平面Ｒｚ（ｓ）＞ｃ上，一定存在．此时右端的积分绝对而且一致收敛．而在这半平面内．Ｆ（ｓ）为解析函数．（３）
３拉氏变换的性质
（１）线性性质
收稿日期：２００１—０８—２５
作者简介：王振芳（１９６７一），女，河北唐县人，学士，讲师．
万方数据
第６期王振芳：拉普拉斯变换及其应用?４９?
若口，卢是常数。Ｌ［厂ｌ（ｆ）］＝Ｆ。（ｓ），ＬＥＡ（ｆ）］一Ｆ２（ｓ），则
ＬＥａｆｌ（ｆ）＋卢ｆ２０）］＝口Ｌ［，ｌ（ｔ）］ＷｆｌＬＥｆ２（ｆ）］，
Ｌ一［ａＦＩ（ｓ）＋ｐＦ２（ｓ）］一口Ｌ—ＥＦｌ０）］＋ｐＬ—ＥＦ２（ｓ）］．
（２）微分性质
若ＬＥｆ（ｔ）］＝Ｆ０），则Ｉ．Ｅｆ０）］＝ｓＦ（ｓ）－－ｆ（Ｏ）．
（３）积分性质
ｒ
若Ｌ［厂（ｆ）］一Ｆ（ｓ），则ＬＥＪ。ｆ（ｔ）ｄｔ］＝ｓ－１Ｆ（ｓ）．
（４）位移性质’
若Ｌ【二厂（ｆ）］＝Ｆ（ｓ），则ＬＥｅ“厂（ｆ）］一Ｆ（ｓ一口）．
（５）延迟性质
若ＬＥｆ（ｔ）］一Ｆ（ｓ），又ｔ＜Ｏ时，厂（ｏ）一０，
则对于任一实数ｒ，有
Ｌ［，（ｆ—ｒ）］＝ｅ—Ｆ（５）．
或Ｌ—Ｅｅ～Ｆ（ｓ）］＝厂（ｆ—ｒ）．
（６）初值定理与终值定理
①初值定理
若ＬＥｆ（ｔ）］＝Ｆ（ｓ）．且ｌｉｍｓＦ（ｓ）存在，则
ｌｉｍｆ（ｔ）＝ｌｉｍｓＦ（ｓ）。或，（Ｏ）＝ｌｉｍｓＦ（ｓ）
②终值定理
若ＬＥｆ（ｔ）］一Ｆ（ｓ），且ｌｉｍｓＦ（ｓ）存在．则
ｌｉｍｆ（ｔ）一ｌｉｍｓＦ（ｓ）．或厂（∞）一ｌｉｍｓＦ（ｓ）．
４拉氏逆变换
前面讨论了有已知函数，（ｔ）求它的象函数Ｆ（ｓ）．但在实际应用中，往往由已知象函数Ｆ（ｓ），求它的原函数厂（ｆ）：
，（ｆ）＝Ｌ“［Ｆ（ｓ）］．（４）
例１求微分方程组
ｆｚ”（ｆ）－－ｘ（ｔ）＋５ｙ’（ｆ）一ｆ
ｌＹ”（ｆ）一４ｙ０）一２ｘ’（ｆ）＝一２
满足初始条件的解：ｚ（Ｏ）＝０，ｚ’（ｏ）＝０，ｙ（ｏ）一０．一（ｏ）一０．
解：设ＬＥｘ（￡）］一Ｘ（５），ＬＥｙ（ｔ）］＝ｙ（ｓ），
对方程组中的各个方程的两边分别取位氏变换
ｆｓ２Ｘ（ｓ）一Ｘ（ｓ）＋５ｓＹ（５）＝１／ｓ２÷
Ｉｓ２ｙ（ｓ）一４Ｙ（ｓ）一２ｓＸ（ｓ）一一２／ｓ
。。０２—１）ｘ０）＋５ｓＹ（ｓ）一ｌｌｓ２即ｆ
１—２ｓＸ（ｓ）＋（一ｓ２－－４）Ｙ（ｓ）＝一２加
解此代数方程组，得肌）＝雨‰＝一吉＋南～而４。。
取拉氏逆变换，即得微分方程的解．ｙ㈤＝雨耥＝÷一南＋南．
ｚ（ｆ）一－－ｔ＋５ｓｉｎｔ一２ｓｉｎ２ｔ
ｙ（ｆ）＝１—２ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ２ｔ
从上面的例题中．看到用拉氏变换求满足自变量为零的初始条件的特解是方便的．在求解过程中，初始条件也同时用上去，省去了微分方程的一般解法中先求通解，再由初始条件确定任意常数的手续．
参考文献Ｅ１３龚晓美．龚照．高等数学辅导［Ｍ］．上海：同济大学出版社，１９９１．４９８－－５００．
万 方数据
拉普拉斯变换及其应用
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：王振芳， WANG Zhen-fang雁北师范学院,数学系,山西,大同,037000雁北师范学院学报JOURNAL OF YANBEI NORMAL UNIVERSITY2001,17(6)1次
参考文献(1条)
1.龚晓美;龚照 高等数学辅导 1991
本文读者也读过(10条)
1. 包晔.赵玉铃 拉普拉斯变换的应用与教学[期刊论文]-浙江水利水电专科学校学报2004,16(2)
2. 兰卫东 拉普拉斯变换在电路分析中的应用[期刊论文]-广西民族学院学报(自然科学版)2000,6(3)
3. 陆镭 拉普拉斯变换及其应用[期刊论文]-安庆师范学院学报(自然科学版)2002,8(1)
4. 郭天石 控制工程中常用拉普拉斯变换对的准确表达[期刊论文]-四川轻化工学院学报2002,15(1)
5. 李曼生.陈莉.LI Man-sheng.CHEN Li 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用[期刊论文]-广西右江民族师专学报2006,19(3)
6. 姜立新.JIANG Li-xin Laplace变换的应用研究[期刊论文]-枣庄学院学报2010,27(2)
7. 李广全.LI Guang-quan 拉普拉斯变换中的单位阶跃函数及其作用[期刊论文]-天津职业院校联合学报2007,9(5)
8. 覃茂华 拉普拉斯变换的应用初探[期刊论文]-吉林画报·新视界2011(1)
9. 陈春华.卢旋珠.CHEN Chun-hua.LU Xuan-zhu 时间分数阶偏微分方程的基本解[期刊论文]-莆田学院学报2005,12(5)
10. 张忠诚.ZHANG Zhong-cheng 拉普拉斯变换的应用研究[期刊论文]-周口师范学院学报2006,23(2)
引证文献(1条)
1.李宁.秦树人.何启源.吴莹 基于Fourier和Laplace变换的频响函数的误差比较[期刊论文]-重庆科技学院学报（自然科学版） 2005(4)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_ybsfxyxb200106018.aspx
范文二：浅谈拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
读写算2013年 第7期数学教育研究
浅谈拉普拉斯（Laplace）变换及其应用
覃茂华
（广西现代职业技术学院 广西 河池 547000）
【摘 要】拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位。本文从拉普拉斯变换的定义出发，结合拉普拉斯变换的有关性质谈谈拉普拉斯变换的一些简单应用。【关键词】拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 应用一、Laplace变换的定义
如果在实变数t≥0上有定义的函数f（t）使积分 ∫∞
e?st
f(t)dt =lim∫T
e?st
T→∞
f(t)dt∞，对于已给的一些（这里ss一般取为复数）存在，
则称F（s）= e∫-st
f（t）dt为函数f（t）的拉普拉斯（Laplace）变换。记为F（s）=L[f（t）]。函数f（t）称为原函数，函数F（s）称为象函数。
如果F（s）为f（t）的拉普拉斯变换，则称f（t）为F（s）
的拉普拉斯逆变换。记为：L-1
[F（s）]=f（t）。
二、应用Laplace变换解常系数微分方程（组）和积分方程
例1.求微分方程x″+x=sin2t满足初始条件x（0）=0， x′0）=1的解。
解：对方程两端实行拉普拉斯变换得L[x″]+L[x]=L[sin2t]
则由L[x″]=p2X（p）-px（0）-x′（0），L[sin2t]=2
p2+4
得
p2X(p)?px(0)?x'(0)+X(p)=
2
p+4
即 p2
X(p)?1+X(p)=2
p2+4
，求得 X(p)=p2+6?1(p+1)(p+4)=P+1?p+4
，所以x(t)=L[X(p)]=L[?1?1p+1?=L[p+4p+1? L?1[p+4= 53
sint?13sin 2t。所以原微分方程满足初始条件的解为 x(t)=
53sint?1
3
sin2t。例2. 求微分方程组 ??x"?? 2y'?x=0,
x'?y=0
满足初始条件x（0）
=0， x′（0）=1，y（0）=1的解。
解：设L[x（t）]=X（s）=X，L[y（t）]=Y（s）=Y，对方程组中每个方程两边取拉氏变换，得到
?s2?sx(0)?x'?(0)?2[sY?y(0)]?X=0?
sX?x(0)?Y=0
将初条件x（0）=0，x′（0）=1，y（0）=1代入，整理后得?
??(s2??X(s)=1,
? 1)X?2sY+ 1=0,解此方程组得 ??s+1
sX?Y=0,???
Y(s)=ss+1,
取逆变换，得到原方程组满足初始条件的解为：
??
x(t)=sint,?y(t)=cost.
用拉氏变换解微方程的特解过程，避免了微分方程的一
般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算。例3.解积分方程y（t）=sint-2 y：令Y（s）=L[y（t）]，则由拉普拉斯变换的卷积性∫t
0（τ）cos（t-τ）dτ。解质有
Y(s)= L[sint]?2，L[y(t)]Lcost]=12s
s+1?s+1
Y(s)故 Y(s)=1
(s+1)
，于是，由拉氏逆变换得y（t）=L-1[Y（s）]=te-t.用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个
优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当初始条件全部为0时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算；（3）当方程中的非齐项具有跳跃点而不可微时，用经典方法求解是很困难的，而用拉氏变换不会带来任何困难；（4）在实际计算中可以用拉氏变换表来求一些函数的像函数，这就使得解方程变得更加方便。
故
Y(s)=1
s+1)，于是，由拉氏逆变换得y（t）=L-1[Y（s）]=te-t(.用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当初始条件全部为0时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算；（3）当方程中的非齐项具有跳跃点而不可微时，用经典方法求解是很困难的，而用拉氏变换不会带来任何困难；（4）在实际计算中可以用拉氏变换表来求一些函数的像函数，这就使得解方程变得更加方便。
三、利用Laplace变换计算广义积分
在高等数学中，计算无穷限广义积分使用常规方法只能处理一些简单的被积函数的积分，一旦被积函数较复杂时，若仍用常规方法难度很大，下面介绍形如 ∫∞
(t)e?st
0fdt的广义积分，并运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯的性质进行求解。例4.求解积分 ∫+∞
?3t
0ecos 2
tdt。分析：该题目如果使用高等数学的方法求解较为繁杂，要多次使用分部积分法。如果我们使用拉普拉斯变换，则问题变得非常简单，只需求出cos2t的拉普拉斯变换后，令s=3即可。
解： L[cos2t]=∫+∞
?st
s0ecos2tdt=s2+4
,（此结果也可查拉氏变
换表得到）
对照要求的积分，令s=3，即 ∫+∞
?3t
s3
0ecos2tdt=s2+4=13.
s=3
四、利用Laplace变换分析电路例5.如图所示，电路在t=0时开关K闭合，求输出电压信号uc（t）。
解：根据电学知识列出微分方程
?
?Ri(t)+uc(t)=Eu(t),
?
uc
(t)（（it）=0
=0,
为电流函数），由于 i(t)=Cduc
(t)，所以 RC
duc(t)
dtdt
+uc(t)=Eu(t).将上式中各项取拉氏变换得到 RCsU)=Ec(s)+Uc(ss,解此代数方程，求得 UE
E
c(s)=
s(1+RCs)
=
.
RCs(s+RC
)
再求Uc（s）的逆变换，将Uc（s）的表示式分解（转下页）
· 123 ·
（
数学教育研究2013年 第7期读写算
浅谈小学数学教师开展人性关怀的对策分析
雷 洪
（大方县雨冲乡中心小学 贵州 大方 551619）
【摘 要】小学数学教学不仅仅是数学知识的传授还包括其他能力的锻炼及人格的培养。小学数学教师在自身的教学工作中应该呵护学生，实现人性关怀，为学生构建轻松和谐的成长和发展环境，促进他们的健康发展。【关键词】小学 数学教师 人性关怀 对策针对小学来说，其学生的管理任务重，责任大，事务杂，需要花费更大的精力。要想实现人性关怀，首先必须处理好学生关系，正确对待学生，强化有效的管理。新时期，小学数学教师必须具备一定的人格魅力，这是现代教育背景下作为一名小学数学教师必备的基本素质。教师是学生亲密的接触者，在日常的学习生活中学生与教师的接触颇为频繁，因此教师的一言一行都会对学生产生潜移默化的影响。教师是学生学习的指引着，这种指引不仅体现在知识上，也体现在思想道德方面。为此只有知识过硬，品德高尚的教师才能真正赢得学生的信赖，才能真正胜任人类灵魂的工程师的伟大职责。但是要要想做到这些，却不是一件容易的事情。小学数学教师必须具有足够的人格魅力是时代发展的必然要求。新形势下，需要不断更新工作思路，优化自身工作，开创数学教师工作的新局面。
一、学高为师，身正为范
人格魅力是一个人在成长过程中对来自家庭、社会、人生、学识等方面的积极、健康因素的凝聚和综合。人格魅力一旦形成，就能成为取之不尽、用之不竭的教育资源。教师的人格魅力依赖自身的素质和品德，小学生对老师的敬畏和爱戴主要是对老师学识的赞赏和崇拜，这些都是打造教师个人魅力的条件和因素。小学生喜欢得到老师的褒奖和关注，他们渴望得到重视和尊重，在课堂上，数学教师一个不经意的关注眼神，一个不经意的关怀动作都会让学生倍感亲切，让学生觉得课堂氛围轻松融洽这种氛围，正是小学数学教师工作成功的基础。所以数学教师的人格魅力对学生的影响是非常巨大的，要拥有迷人的人格，需要明白：数学教师要拥有一颗爱心，要拥有高尚的品格，要拥有精深的专业知识和文化修养，要行为世范，以身作则，以信立人，让学生尊崇自己。
二、关注学生，尊重人格
在平时的教育教学中，由于由传统教育思想的影响，很多小学数学教师在平时管理学生时，总是以唯我独尊的姿态去面向学生，认为学生就是绝对的服从者。这样的思想已经严重违反了教育的规律，与素质教育严重背离，这也不利于学生成绩的提高和综合素质的发展。按照新改革的要求，学生应该是课堂教学的主体，理应突出学生的地位，教师在教学的过程中要及时了解学情，了解学生的学习心理，如有问题及时梳理和引导。学生学习不是作为听众而是作为有思想有意见的对象，所以数学教师在课堂上一定要学会尊重学生，尊重他们的人格尊严，尊重他们异想天开的想法，尊重他们那些值得鼓励的言行举止。（接上页）为以下形式 ?
三、了解学生，正确分组
依据学生的学习及各方面的情况，数学教师要选出小组长，小组长再挑选各层次学生，自愿组成合作小组。设置小组名称、小组口号、小组标志（组徽）、小组目标、成员介绍等，张贴在墙。建立健全各种制度，不断完善小组的管理与评价。如作业检查制度、发言加分制度、纪律的奖惩制度。以小组为单位的，实行小组捆绑评价积分制。每天一小结，每周一排序，每月一评比，评比结果贴墙予以公示。这样小组成员一荣俱荣，扣分都扣，让个人的活动影响到小组的集体利益。一定程度上，加强了学生的自我约束和自我管理能力，促进了个人的自觉性、积极性和主动性。
四、强化沟通，家校合力
作为一名小学数学教师，如果你连班上的学生都不了解，那么就可以断定你是一个不太称职的小学数学教师。学生的素质一般都是参差不齐的，古人讲的好，要做到因材施教，具体问题具体分析，如果不了解自己的学生，实行满堂彩，或者只照顾成绩好的学生，那只会引起很多学生和家长的不满，严重阻碍教学及学习效果的提高。那么我们该怎么做才能对学生有更多更准确的了解呢。数学教师要放下高高在上的架子，主动走进学生，深入到学生的日常生活和学习中，做他们的良师益友，引导学生敞开心扉，实现畅通的师生交流。家长式沟通学生的桥梁之一，家长一般都很了解自己孩子的个性，心理等，如果数学老师能够联合家长，及时沟通家长，多交流学生的看法和意见，那必然会加深对学生的了解，形成家校合力，就可以寻找到优数学生管理的方法和良策，进而促进学生的成长和学习成绩的提高。
五、公平公正，一视同仁
要让学生信服，小学数学教师处理事情一定要公正合理，不能感情用事，不可歧视差生，偏袒优生，批评或表扬学生，一定要实事求是。只有这样，学生才能树立正气，坚持正义。在现实生活中，我们要做到绝对的公正那是不可能的，但我们要不断的追求公正。在小学数学教师工作中，面对学生，要是不公平，会引起学生们的不满，引起学生们在下面的议论纷纷，特别重要的是，对那些没有受到公正对待的差生，也许你的不公平会造成他们人生价值观的扭曲，或许就因为你的不公正，会对所谓差生造成终身的负面影响，多给所谓差生们一些关怀吧。
参考文献
[1]王淑芳.浅谈教师对学生的人文关怀[J].中国科技信息
是解决与微分方程有关问题的一种有效简便的方法。参考文献
[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程，第二版，高等教育出版
[2]陆春桃，梁薇.高等数学，第二版，湖南教育出版 [3]苏变萍，陈立东.复变函数与积分变换，高等教育出版
?
?11?
Uc(s)=E???,
s??s+
?RC???
?1
?
?e)（t≥0）所以 uc(t)=L [uc(t)]=E(1
t
RC
总之，拉普拉斯变换是一种积分变换，它在应用数学上
· 124 ·
浅谈拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
覃茂华
广西现代职业技术学院 广西 河池 547000读写算(教育教学研究)Duyuxie2013(7)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxs-jyjxyj201307123.aspx
范文三：拉普拉斯变换的实际应用
拉普拉斯变换的实际应用
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用
1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题
例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1．
例2求解初值问题
用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组)
转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数
Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解．
2 利用拉氏变换求积分方程
用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁．
答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数
拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。
用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（整理为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。
s域电路分析
拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。
s称为复频率、复频域分析方法（又称运算法）、动态元件的初始储能问题、s域欧姆定律V=ZL、拉氏变换的线性特性决定了线性电路理论在s域同样适用、这些线性电路理论包括：KCL、KVL、节点电压法、网孔电流法、戴维南等效、诺顿等效、叠加定理等。答案补充我自己的经历，就只有在信息系统里，用到，主要是求初值问题，积分问题
范文四：拉普拉斯变换及其应用
第17卷 第6期
2001年12月雁 北 师 范 学 院 学 报JO U RN AL O F Y AN BEI T EACHERS ' CO L L EGE V o l. 17No. 6Dec. 2001文章编号:1009-1939(2001) 06-0048-02
拉普拉斯变换及其应用
王振芳
(雁北师范学院数学系, 山西大同 037000)
摘 要:该文论述了运用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程. 同样, 用拉氏逆变换, 可求出微分方程的解.
关键词:拉普拉斯变换 拉氏逆变换 微分方程的解
中图分类号:O177. 6 文献标识码:A
THE TRASFORMATION AND APPLIC ATION OF LAPLACE
W ANG Zhen -fa ng
(Dept. of M ath ematics , Yanbei Teach ers ' College, Datong Shanxi, 037000)
Abstract :This paper show s the application o f Laplace to tr ansfo r m differ ential equa tion to alg ebraic equa tion. A t the same time, using the inv erse t ransfo r matio n o f Laplace to find the so lutio n of differ ential equatio n.
Key words :la place 's transfo rmatio n, laplace ' s inv e rse tra nsfo rmation, th e so lution of differ ential equation
拉普拉斯变换是工程技术中常用的一种数学方法, 它能把微积分运算转化为代数运算, 能把微分方程转化为代数方程, 使解题手续大为简化.
1 拉普拉斯变换的定义
设函数f (t ) 当t ≥0时有定义, 而且可积∫f (t ) e 0+∞-s t d t , 在S 的某一领域内收敛, 则
+∞
0-s t F (s )=∫f (t ) e d t . (1)
其中, s 是一复参量, s =U +j k .
(1) 式为函数f (t ) 的拉普拉斯(laplace ) 的变换式, 简称拉氏变换式, 记作
F (s )=L [f (t ) ].
其中, F (s ) 为象函数, f (t ) 为原函数. (2)
2 拉氏变换存在的定理
若函数f (t ) 满足下列条件:
10 在t ≥0的任一有限区间上分段连续;
20 在t 充分大后, 满足不等式|≤Me ct . f (t ) |
其中M , c 都是常数, 则f (t ) 的拉氏变换
F (s )=0f (t ) e -st d t
在半平面Re (s )>c 上, 一定存在, 此时右端的积分绝对而且一致收敛, 而在这半平面内, F (s ) 为解析函数. ∫+∞(3)
3 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
收稿日期:2001-08-25(1967) , 女, , , .
第6期 王振芳:拉普拉斯变换及其应用
若T , U 是常数, L [f 1(t ) ]=F 1(s ) , L [f 2(t ) ]=F 2(s ) , 则
L [T f 1(t )+U f 2(t ) ]=T L [f 1(t ) ]+U L [f 2(t ) ],
L -[T F 1(s )+U F 2(s ) ]=T L -[F 1(s ) ]+U L -[F 2(s ) ].
(2) 微分性质
若L [f (t ) ]=F (s ) , 则L [f ′(t ) ]=sF (s ) -f (0).
(3) 积分性质
若L [f (t ) ]=F (s ) , 则L [0f (t ) d t ]=s -1F (s ).
(4) 位移性质
若L [f (t ) ]=F (s ) , 则L [e at f (t ) ]=F (s -a ).
(5) 延迟性质
若L [f (t ) ]=F (s ) , 又t <0时, f="" (0)="">
则对于任一实数f , 有
L [f (t -f ) ]=e -s f F (s ).
或 L -[e -s f F (s ) ]=f (t -f ).
(6) 初值定理与终值定理
①初值定理
若L [f (t ) ]=F (s ) , 且lim sF (s ) 存在, 则s →∞·49·∫t
lim f (t )=lim sF (s ) , 或f (0)=lim sF (s ) t →0s →∞s →∞
②终值定理
若L [f (t ) ]=F (s ) , 且lim sF (s ) 存在, 则s →∞
lim f (t )=lim sF (s ) , 或f (∞) =lim sF (s ). t →0s →∞s →0
4 拉氏逆变换
前面讨论了有已知函数f (t ) 求它的象函数F (s ) , 但在实际应用中, 往往由已知象函数F (s ) , 求它的原函数f (t ):
f (t ) =L -1[F (s ) ].(4)
例1 求微分方程组
x ″(t ) -x (t )+5y ′(t )=t y ″(t ) -4y (t ) -2x ′(t ) =-2
:x (0)=0, x ′(0)=0, y (0)=0, y ′(0)=0.
解:设L [x (t ) ]=X (s ) , L [y (t ) ]=Y (s ) , 氏变换
s 2X (s ) -X (s )+5sY (s )=1/s 2
2s Y (s ) -4Y (s ) -2sX (s ) =-2/s
(s 2-1) X (s )+5sY (s ) =1/s 2
即-2sX (s )+(-s 2-4) Y (s ) =-2/s , 得
11s 2-4154 X (s )=22=-2+2-2, 2s (s +1) (s +4) s s +1s +4
2 Y (s )=22=-2+2. 2s (s +1) (s +4) s s +1s +4
取拉氏逆变换, 即得微分方程的解.
x (t )=-t +5sin t -2sin 2t
y (t )=1-2co s t +co s2t
从上面的例题中, 看到用拉氏变换求满足自变量为零的初始条件的特解是方便的. 在求解过程中, 初始条件也同时用上去, 省去了微分方程的一般解法中先求通解, 再由初始条件确定任意常数的手续.
参考文献
[1]龚晓美, 龚照. 高等数学辅导[M ].上海:同济大学出版社, 1991. 498—500.
范文五：拉普拉斯变换的应用
2009年9月第28卷第5期
保山师专学报
JournalofBaoshanTeachers′College
Sept.,2009Vol．28No．5
拉普拉斯变换的应用
黄会芸
（南京化工职业技术学院，南京210096）
摘
要：利用拉普拉斯变换的定义及其性质来求解概率密度、微分方程与积分方程，求解实变量的广义积分以及利用
单位阶跃函数将分段函数化简为一个式子。
关键词：拉普拉斯变换；概率密度；微分方程；积分方程；广义积分；单位阶跃函数中图分类号：O17
文献标识码：A
文章编号：1008-6587（2009）05-016-03
ApplicationofLaplace'sequation
Huiyunhuang
(SoutheastUniversity,NanjingcollengofchemicaltechnologyNanjing210096)
Abstract:Inthispaper,thedefinitionofLaplace'sEquationanditspropertieswereappliedtosolvethe
probabilitydensity,differentialequations,integralequationsandimproperintegralofrealvariables.Itwasalsousedtosimplifyunitstepfunction.
Keywords:Laplace'sEquation,probabilitydensity,differentialequation,integralequation,improperintegral,unitstepfunction
0.引言
拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的结论，它在应用数学中占有很重要的地位。拉普拉斯变换的定义如果在变实数t≥0上有定义的函数f(t)使积分
(z)=f1(t)*f2(t)=
乙f(t)f(t-τ)dτ
-∞
1
2
+∞
例题1设X与Y是两个相互独立的随机变量，且均在区间[0,1]上服从均匀分布求Z=X+Y的密度函数。
解：因X与Y独立，由卷积公式知fZ(z)=(z-y)fY(y)dy
当z<>
当0≤z<>
+∞
乙ef(t)dx=lim乙ef(t)
-st
-st
T→∞∞
+∞T
则称F(s)=dt对于已给的一些s存在，函数f(s)的拉普拉斯变换
乙f(t)edt为
-st
乙f
-∞
X
1.利用拉普拉斯变换的卷积性质求解概率
密度
卷积定义：设f1(t),f2(t)在(-∞,+∞)上有定义，若广义积分
则称此积分为f(t)，乙f(t)f(t-τ)dτ收敛，
-∞
1
2
1
+∞
乙dy=z
z
当1≤z<>
当z≥2时，0≤z-y≤1，0≤y≤1不可能同时满
记为f1(t)*f2(t)。f2(t)在(-∞,+∞)上的卷积，
引理：设随机变量X与Y相互独立，其概率密度为fX(x)，fY(y)则随机变量Z=X+Y的概率密度为fZ
收稿日期：2009-05-20
乙
1
z-1
作者简介：黄会芸（1979-），女，江西高安人，南京化工职业技术学院基础部，硕士，研究方向为数学教学。
第5期
黄会芸：拉普拉斯变换的应用
·17·
足，故fZ(z)=0，综合起来，有
1≤z≤2；fZ(z)=2-z，
0，其它
≤
≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
经典的方法求解是很困难的，而用拉普拉斯变换不会带来任何困难；在实际计算中可以用拉普拉斯变换表来求一些函数的像函数，这就使得求解方程变得更加方便。
0≤z≤1；z，
2.利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程
应用拉普拉斯变换求解常系数微分方程，其求解方法大致以下三个步骤：
1）对原微分方程两端取拉普拉斯变换，同时结合其初始条件，将原常系数微分方程通过拉普拉斯变换转化为关于象函数的代数方程。
2）求解象函数满足的代数方程，得到象函数。3）对求得的象函数做拉氏逆变换，得原方程之解。
例题2
求方程x苁+3x″+3x′+x=1的满足初始
3.利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分
对于一些实变量的广义积分数学分析教材中提供的方法很难解出结果，我们可以通过引进参变量t,使其成为t的函数,再利用取拉普拉斯变换的方法,并使参变量t取某些特殊值,确定出积分的值。
例题4计算积分解:设f(t)=交换积分次序,得
F(s)=L[f(t)]=
===
乙
+∞
xsinxdx
x乙
0+∞0
+∞
sindx取拉普拉斯变换并x+∞
条件x(0)=x′(0)=x″(0)的解。
解：对方程两边施行拉普拉斯变换得1由此得()=1），把上（s3+3s2+3s+1X(s)=，Xs式右端分解成部分分式1=1-1-1-1，对上式右端各项分别求出（查表）其原函
s数，则它们的和就是X(s)的原函数x(t)=1-e-te-1
-t
-t
乙乙
00
xsintxdxe-stdtx-st
乙
+∞
x乙sintxedtdx
+∞
乙
+∞
xxdx=π(1+s)
s再取拉普拉斯逆变换f(t)=L-1[F(s)]=πL-1[1]=π
即
这就是所要求的解应用拉普拉t2e-t=1-1(t2+2t+2)e-t，
斯变换求积分方程。
例题3解积分方程y(t)=sint-2
乙
+∞
xsinxdx=f(1)=π
乙y(τ)cos(t-τ)dτ
t
4.利用拉普拉斯变换单位阶跃函数将分段
函数化成一个式子
单位阶跃函数在电子技术中有广泛应用，其作用一般有如下两点：其一，对于任意一个函数f(t)，+∞)，用u(t)去乘，其积f(t)u(t)可使积分区t∈(-∞，
间由(-∞，+∞)变成(0，+∞)这一点满足了拉普拉斯变换所需要的条件。所以借助于单位阶跃函数，能够准确地表述状态，从而正确地解决实际问题。其二，利用单位阶跃函数可以将某些分段函数合写成一个式子，使得问题简化，这就能更方便的利用拉氏变来解决问题。因此在使用拉普拉斯变换时，必须要注意到单位阶跃函数的作用。
例题5
利用单位阶跃函数将分段函数写成
解：解此方程要用到拉普拉斯变换的卷积性质。令Y(s)=L[y(t)]则Y(s)=L[sint]-2L[y(t)]L[cost]=1-2sY(s)
+s+s故Y(s)=1于是y(t)=L-1[Y(s)]=te-t
用拉普拉斯变换法解微分或者积分方程有以下几个优点：求解过程规范，便于在工程技术中使用；当初始条件全部为0时（这在工程中常遇到），用拉普拉斯变换求解就会特别简单，而用经典的方法求解不会因此而简单；当方程中的非齐次项（在工程中称为输入函数）具有跳跃点而不可微时，用
保山师专学报第28卷
一个式子，并求其拉普拉斯变换
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20≤t＜22≤t＜44≤t＜6t≥6
+2L[u(t-4)]-2L[u(t-6)]=2+2e-2p+2e-4p-2e-6p=2
ppppp(1+e-2p+e-4p-e-6p)。
f(t)=
464
参考文献：
解:从该函数可以看到，当t≥2时，f(t)的值在2的基础上又增加了2，即增加了2u(t-2)，当t≥4时，即增加了2uf(t)的值在4的基础上又增加了2，(t-4)，当t≥6时，f(t)的值在6的基础上又增加了-2，即增加了-2u(t-6)，所以，这个分段函数可表示为f(t)=2ut+2u(t-2)+2u(t-4)-2u(t-6)由拉普拉斯变换的线性性质及滞后性质有L[f(t)]=2L[u(t)]+2L[u(t-2)]
[1]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1999.
[2]韩志刚.级数与拉普拉斯变换[M].北京：化学工业出版社，2003.
华东理工大学出版社，[3]薛以锋.复变函数与积分变换[M].上海：2001.
（第2版）[M].北京：高等教育出版社，[4]盛骤.概率论与数理统计2000.
[5]张元林.积分变换(第四版)[M].北京:高等教育出版社，
2003.
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