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范文一：数列求和公式推导
数列求和公式推导
——数据规律分析法的简单应用
江苏省灌溉总渠管理处：卢玉成
【预备知识】
1
运用数据规律分析法求自然序列的数列求和，需要明确一个规律和掌握两个公式。
一个规律：总和函数比通项函数高一个幂次。例如通项函数为二次多项式，则总和函数必为三次多项式。 两个公式：
1、 任意阶差分计算公式(差分单元为连续数列值y) 。
kk
Mi, j= ik=0(?1) Ciyj?k 。i差分阶次，j位置编号。这个看似复杂，记住两句话就可以熟练运用它。
系数按照杨辉三角，符号从头正负交替。[也就是(a?b) n 展开式系数)]，见右下表。
差分计算举例(数据系列见下表) ：
序号5—6的一阶差分值： M1, 6=216?125=91
序号2—4的二阶差分值： M2, 4=64?2×27+8=18
序号1—4的三阶差分值： M3, 4=64?3×27+3×8?1=6
序号2—6的四阶差分值： M4, 6=216?4×125+6×64?4×27+8=0
对于差分计算，由于牵涉到不同类别或不同单项，下面用到代号意义：
单项用数字或e表示，如3次方项 ——3无特殊不标记，此处通为通项差分——通
Mi, j 。
2、 多项式系数计算公式。 an=
Mnn！δ。式中：an多项式系数；Mn对应阶次的差分值；δ数据间距差，数列以自然数排序，取1 。要
完成全部系数计算，应用降阶法，即从高到低逐个计算。若记f(k) 为k 次多项式，则有：f(n?1) =f(n) ?anxn，利用f(n?1) 的n?1阶差分计算an?1，余类推。
【应用举例】
例1求数列12，42，72，102…[1+3 n?1 ]2，的求和公式。
解：通项为二次函数，总和为三次函数。只需列出前4个数据计算即可。
以自然序号排列，δ=1。(合成数据差分计算)
总和：1,17,66,166 ，M3,4=166?3×66+3×17?1=18
a3=
183!×13
=3，转化成二次函数，取前3个数据，1?3×13，17?3×23，66?3×33，
即：?2，?7，?15，M 2,3=?15+2×7?2=?3 a2=2!×1=?22个数据，?2?即：?2，?1，M1,2=?1?
?1/2
1
1
?12
?3
3
?3×12
2
，?7?
?3×22
2
，
=?2
3
1
1
a1=1!×1=?2a0=1?a3?a2?a1=1?3+2+2=0， ∴Sn=3n?n?n=
2
2
3
3
2
1
n(6n2?3n?1)
2
1
需要了解“数据规律分析法”原理，请从知网下载《数据规律分析法在流量系数曲线公式拟合中的应用》或《数据规律分析法在曲线优化拟合中的应用》；其它应用示例请从知网下载《利用数据规律分析法巧解数学问题》。
例2求自然数立方和公式。
解：通项为三次函数，总和为四次函数。只需列出前5个数据计算即可。见下表(用分步差分后合成计算)
总和函数的四阶差分为通项函数的三阶差分，注意：序号一定要对应。
M4,5=a4=
64!×1通
M3,5=53?3×43+3×33?23=6
14
= 将a4n4填入对应列
M=43?2×33+23=18 通2,4
M3,4=
4
M3,4
44?3×34+3×24?1==15
a3=
M3,4?4M3,4
3!×133
=
18?156
=
2
3
3
1
将a3n填入对应列，M2,3=
3
M=3?2=19，M2,,3=通1,3
M2,3?4M2,3?3M2,3
2!×124?14
4
34?2×24+1
4
=
252
M2,,3=
33?2×23+1
2
=6，a2=
=
19?25/2?6
2
= 将a2n2填入对应列，
4
1
M1,2=a1=
M=23=8，4M1,2=通0,2
1！11
=
7
15
，3M1,2=4
3
23?12
=22M1,2=
7
22?14
=4，
3
M1,2?4M1,2?3M1,2?2M1,2
=8?
154
?2?4=0，
111
a0=1?a4?a3?a2?a1=1????0=0
∴ Sn=n+n+n=
4
2
4
1
4
1
3
1
2
n2+2n+1
4
n=
2
[n n+1 ]2
4
。
例3求1×12，5×22，9×32，…， 1+4 n?1 n2的求和公式。
解：通项为三次函数，显然总和为四次函数。列表如下，先计算四次方项系数，填入表格再计算三次方项系
数，以此类推计算其它系数。
a4=
M4,54!
M3,5
=
通
24
=
2424
=1，a3=
66?603!
=1，a2=
12
12
61?50?12
2!
=?，a1=
2
120?15?7+3/2
1!
=?
2
1
a0=S1?a4?a3?a2?a1=1?1?1++=0。 ∴ 数列的求和公式为：Sn
注：通项函数比总和函数少一阶差分，两者结果是一致的，本题系数计算中用通项函数的差分值替代总和函数的差分值；表中的差分计算
是用右侧列与其对应位置向上连续的数据。如4M2,3=81?2×16+1=50 。
=
2n4+2n3?n2?n
2
=
n(n+1)(2n2?1)
2
。
范文二：数列求和公式推导
(一)
12+22+32+42+…+n2
= n(n+1)(2n+1)/6
(二)
由(x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+1得：
14=1
24=(1+1)4=14+4×13+6×12+4×1+1
34=(2+1)4=24+4×23+6×22+4×2+1
……
(n+1)4=n 4+4×n 3+6×n 2+4×n+1
以上等式两边分别相加得：
(n+1)4=1+4×(13+23+33+…+n3)+6×(12+22+32+…+n2)+4×(1+2+3+…+n)+n ① 令13+23+33+…+n3=t
因为12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+…+n=n(n+1)/2
代入①中可得：t=(n+1) 2×n 2/4
即13+23+33+…+n3=(n+1) 2×n 2/4
(三)
1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+……+(n2+n)
=(1+2+3+……+n)+(12+22+32+……+n2)
=n(n+1)/2+(12+22+32+……+n2)
(四)
1?2?3+2?3?4+…+n(n+1)(n+2)
∵n(n+1)(n+2)=n3+3n2+2n，
∴1?2?3+2?3?4+3?4?5+…n(n+1)(n+2)=(1+23+…+n3)+3(1+22+…+n2)+2(1+2+…+n)
范文三：数列金字塔四中[教学]
文登市普通高中 “金字塔备考模式”――学习目标建构单
学校___文登四中______________ 学科___数学_____________ 时间_____2 __________
专题名称______数列_______________________________________
第一部分:2007-2012年山东高考真题
17. (2007山东理17)设数列满足 (I)求数列的通项; (II)设求数列的前项和.
I)
验证时也满足上式,
(II) ,
,
(山东卷19)。(本小题满分12分)
将数列,a,中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:n
a1
aa2 3
aa a4 56
a a aa789 10
??
记表中的第一列数aaaa构成的数列为,b,,b=a=1. S为数列,b,的前n项，，，，?1247n11nn
2bn和，且满足,1=(n?2). 2bSS,nnN
1(?)证明数列,,成等差数列，并求数列,b,的通项公式; nSn
(?)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公
4比为同一个正数.当a,,时，求上表中第k(k?3)行所有项和的和.8191
8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)
，等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的nN, ，点，均在函数(,)nSaSnnn
x且均为常数)的图像上. bbr,1,,ybrb,，,(0
(1)求r的值;
，(11)当b=2时，记 banN,，,2(log1)()nn2
b，1bb，，11，n12nN,证明:对任意的 ，不等式成立???????1,，nbbb12n
2010年山东卷理
(18)(本小题满分12分)
已知等差数列{a}a,7,a，a,26.{a}S.满足:的前项和为n357nnn
S (?)求a及; n4
1*b,{b} (?)令，求数列的前n项和 (n,N)nn2a,1n
2011年
(20)(本小题满分12分)
aaaa,,aaa,,等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中,,n123123
的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(?)求数列的通项公式; a,,n
n(?)若数列满足:，求数列的前n项和S.bbbaa,，,(1)ln,,,,nnnnnn
2012年
20)(本小题满分12分)
在等差数列{a}中，a+a+a=84，a=73. n3455
(?)求数列{a}的通项公式; nn2n(?)对任意m?N,，将数列{a}中落入区间(9，9)内的项的个数记为bm，求数列{b}nn的前m项和S。 n
第三部分:《山东卷考试说明》相关内容 考试说明
(1)数列的概念和简单表示法
? 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(
? 了解数列是自变量为正整数的一类函数(
(2)等差数列、等比数列
? 理解等差数列、等比数列的概念(
? 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式(
? 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(
? 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系
第二部分:试题分析
(一) 静态分析
解答题 能力要数学思想位置 时间 求 与方法
分知识点 呈现形式
值
以数列和的形式计算能12 17 a利用 2007 n与sn的关系求通项力、审题求(1)求通项
已知通项公式错位相减求和 能力 (2)错位相减求
和
等差数列的判断，等差数列的通以三角形数表为从表中12 19 2008 索取信项、等比数列的前n项和公式 载体(1)证明等
差数列及求通项息的能
力 (2)等比数列求
和
常规题求基本量 逻辑推12 等比数列的定义,通项公式,以及 20 2009 数学归纳法证明理能力 已知求、数学归纳法证明Sann不等式
不等式
常规求基本量、裂方程的思12 等差数列通项公式、、前n项和 18 2010 公式、裂项求和 项相消求和 想
等比数列通项公式，数列求和 以表格的形式为从表中分类讨论、12 20 2011 载体求通项、奇、索取信归纳推理、
偶讨论求和 息的能
力
等差数列通项公式、等比数列的以等差数列为载创新能转化思想 12 20 2012 体，常规求基本量力、分析前n项和公式
问题能(2)以指数不等
式解为载体构造力
新数列，等比数列
求和
结论:1.高频考点:等差、等比数列求通项，数列求和，其次:等差等比求和 2、数列每年都考，并且一定是一个大题，小题几乎没有，只在08年的第7题与概率结合，10年的第9题与充要条件结合，都是用了一点概念
3、数列年年都以解答题的形式出现，第一问多是求等差或等比数列的通项，第二问多是数列求和，07年错位相减、10裂项相消、11奇、偶讨论，08、12是等比数列求和 4、.解答题规律:以等差数列、等比数列为载体求通项、求和，近4年09等比，10等差，11等比，12等差。
5、考察能力:计算能力与审题能力;
6、08、10在题干上出现创新，13年要加以注意题干的创新
(二) 动态分析
见上面表格结论
(三)学生在做数列问题时，存在的问题有哪些,主要错误有哪些,
1、知道s求a时遗漏n=1的检验 ，nn
2、求通项公式时首项找错
3、计算出现问题
4、等比数列求和公式忽视q的讨论
5、错位相减方法会但不容易做对。
6、用数学归纳法证明不等式n=k+1的整理。 (四)教师在本部分内容备考中着重解决的问题 1、等差数列通项、求和、证明及简单的性质 2、等比数列的通项公式，求和公式，证明和简单的性质 3、求数列的通项公式
4、数列求和
5、定时解题能力
第四部分:本专题学习目标
1、 通过导学案52自主学习部分使学生抓住数列的基本概念中得关键字词，，通
过习题例题使学生能够利用观察法求通项、知s求a两种方法nn
2、通过导学案53的自主学习部分使学生抓住等差数列的基本概念及性质关键字
词、通过课堂讲练使学生熟悉性质及基本运算、等差数列的判断方法
3、通过导学案54的自主学习部分使学生明确等比数列的基本概念及性质、通过课
堂讲练使学生熟悉性质及基本运算、等比数列的判断方法 4、 通过导学案55使学生明确求数列通项的各种方法 5、 通过导学案56使学生明确数列求和的各种方法 6、 通过导学案57使学生明确数列的综合应用
7、 通过导学案58使学生明确利用数学归纳法证明恒等式、整除、不等式
范文四：等比数列求和公式的推导
构造函数在确定参数的范围及求值问题中的应用
刘玉 邵东县第一中学 邮编42800
夏桂芳（新疆石河子市第二中学，高级教师，邮编832000）
摘要：构造函数，是重要的数学方法. 运用构造法解题，是培养学生创造意识和创新思维的手段之一. 其实创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征. 而构造法正是从这方面训练学生的思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生的创新思维能力.
关键词：构造函数，参数，求值
正文：
构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用. 它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己思维范围。运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。具体的说构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借它认识与解决原问题的一种思想方法. 通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的. 本文主要运用构造辅助函数解答关于求参数范围及求值问题的非函数问题.
一、确定参数的范围
例1 若不等式2x -1>m (x -1) 对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解：原不等式可化为m (x -1) -(2x -1) <>
构造函数f (m ) =(x -1) m -(2x -1) ，-2≤m ≤2，其图象是一条线段.
根据题意，只须 222
?f (-2) =-2(x 2-1) -(2x -1) <0?2x 2+2x="" -3="">0，即?2 ?2?f (2) =2(x -1) -(2x -1) <0?2x -2x=""><>
解得 -1+71+
所以，使不等式2x -1>m (x 2-1) 对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立的x 取值范围为
-1+71+.
点评：注意到本题有两个变量x 、m ，且x 本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为m 的一次函数，大大简化了运算. 在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数.
1+2x + (n -1) x +n x a 例2 f (x ) =lg ，其中a 是实数, n 是任意自然数且n ≥2. n
若f (x ) 在x ∈(-∞, 1]时有意义，求a 的取值范围；
解： f (x ) 当x ∈(-∞, 1]时有意义等价于
1+2x + +(n -1) x +n x a >0, x ∈(-∞,1], n ≥2且x ∈(-∞, 1]时恒成立，
即 a >-?() x +() x + +() x ?, x ∈(-∞, 1]. 恒成立. ① n n ?n ??12n -1?
（）, (k =1, 2, 3, n -1) 在(-∞, 1]上都是增函数, 因为-x k
n
所以g (x ) =-?() +() + +?1
?n x 2
n x n -1x ?) ?在(-∞,1]上也是增函数, 从而它在x =1时g (x ) 取得最大n ?
1n (n -1) 12n -11值 g (1)=-（++ +）=-=-(n -1) . n n n n 2
1因此, ①式等价于 a >g (1)=-(n -1) ， 2
也就是a 的取值范围为?a a >-?
??1(n -1) ?. 2?
例3 已知不等式11112++ +>l οg (a -1) + 对一切大于1的自然数n 都成n +1n +22n 123
立，求实数a 的取值范围.
111++ +(n ≥2, n ∈N ) ， n +1n +22n
111+->0， 由f (n +1) -f (n ) =2n +12n +2n +1
115知f (n ) 为增函数，最小值为f (2) =+=. 236解：构造函数f (n ) =
故只须5121+5>l οg (a -1) +成立，解得1
以上三例都是历年的高考试题，都与不等式恒成立有关，直接入手，难以解决，根据题目的特点，构造函数，就可以使问题快速解决. 数列实际上是一列特殊的函数值，因此有许多与自然数有关的问题从函数的角度去处理有较好的效果.
二、求值问题
例4 设f (x ) =ax 7+bx -5，a , b 为常数，f (-7) =7，则f (7) 的值为（ ）
A. -17 B. -7 C. 14 D. 7
解： f (x ) =ax +bx -5 7
∴f (x ) +5=ax 7+bx ，
令?(x ) =f (x ) +5=ax +bx ，则?(x ) 为奇函数，从而有?(-7) =-?(7) ， 7
∴f (-7) +5=-[f (7) +5]
∴f (7) =-17
例5 设α, β分别是方程l οg 2x +x -3=0 和2+x -3=0的根，求α+β的值.
解：构造函数f (t ) =l οg 2t +t -3 ，则f (t ) 在区间(0, +∞) 上是单调增函数，
由α是方程l οg 2x +x -3=0的根，得l οg 2α+α-3=0，即f (α) =0；
ββ由β是方程2+x -3=0的根，得2+β-3=0，所以2=β-3>0 x x
因此 l οg 2(3-β) =β，也就是l οg 2(3-β) +(3-β) -3=0，即f (3-β) =0.
从而有 f (a ) =f (3-β) =0.
由f (t ) 在区间(0, +∞) 上是单调增函数得 a =3-β ，
所以a +β=3.
总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在数学解题时，观察题目的特点, 发现条件中的关系, 结合所学函数以及数学问题所处的背景，灵活构造，构造出符合题目特点的函数, 必会事半功倍，收到意想不到的效果.
范文五：等比数列求和公式推导
等比数列求和公式推倒
数学 2009-03-26 13:21 阅读9481 评论10 字号： 大大 中中 小小 方法一
(1)等比数列：An+1/An=q, n为自然数。
（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）；
推广式： An=Am?q^(n－m)；
（3）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
（4）性质：
?若 m、n、p、q?N，且m＋n=p＋q，则am?an=ap*aq； ?在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. (5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G?0）”. （6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
请认真看完下面这一段！！
一个好的问题情境能够充分调动起学生已有的数学知识或数学背景，从而激发学生在解决问
题的同时产生感悟，让学生从数学情境中发现问题，能生成对所发现数学问题自主进行合作
与探究学习必要的意识.
案例：等比数列求和公式推导
先看看教材是如何处理的.
提出问题：如何求等比数列前n 项和Sn？
解决方案：观察Sn与qSn的区别与联系，化简(1–q)Sn便得.
教材处理过于精简从而显得突然，忽略了知识发生发展过程，这样只能让学生被动接受所谓
“错位相减法”，为什么会想到这样推导？推导过程实际用到了学生已学的哪些数学知识？等
等。如果老师能发现这些问题并进一步思考，就可以换一角度设计如下问题情境.
1．1 – q2 = _____________.
2．1 – q3 = _______________.（已有知识）
3．猜想：1 – qn = ______________________.(观察猜想) ?
答案：1 – qn = (1–q)(1+q+q2+??+qn–1).
4．写出等比数列Sn的表达式：___________________________.?
5．对比?和?，你发现了什么？Sn=_____________________，求Sn时要注意什么？如何记忆Sn公式？
6．对于?式，我们只是猜想，如何证明？
7．现在要你推导一次Sn公式，你会吗？
8．把你的推导与教材的推导进行对比，你能知道推导者为什么会这样推导了吗？还有哪些地
方可以改进的？
9．深化与应用：已知an为等比数列(q?1)，定义Tn=a1+2a2+3a3+??+nan，你能根据回答以上问题得到的启发求出Tn的最简式吗？能否把你推导出的结论进行进一步推广？
本设计从学生已有知识入手，设计意图并非只为推导出公式，更重要的是让学生不知不觉学
会猜想，观察，对比，发现，证明，应用等，层层深入进行自主探究.
事实上，好的问题情境可以激发探索和创造. 情境往往并不直接揭示所学的数学内容，而需
要学生基于自己的实践和思考，从中提炼数学信息，因此，学生的许多富有创造的想法可以
从情境中引发出来，在不断地探索和交流中，数学思想得以渐渐突显.
方法二
解; 当 q不等于1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
其中a1是第一项;
q是公比;
n是项数;
推导过程如下:考虑太多项,不易逐一计算.
鉴于等比数列公式:an=a1*q^(n-1)
用"倍数抵消法"计算;
Sn=a1+a2+a3+a4+...+a(n-1)+an (1)
（1)式两侧同“*q”
即q*Sn= a2+a3+a4+?? +an +an*q(2)
由(1)-(2) 得(1-q)Sn=a1-a1*q^n
所以求和公式：
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q不等于1）;
当q=1时，Sn=a1+a1+??+a1=n*a1
