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范文一：勾股定理例题
勾股定理
内容概述
1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方(
公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺( 2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五(既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五(
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实(
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦(
句股各自乘，并，而开方除之，即弦(
中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽
的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图(
1S,如下,在弦图中有 SSS,,SS，，，,CDGADGCDE四边形EFGH矩形矩形ABCDMNPQ2
3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教主动学习网，一网打尽小升初、中考、高考信息～成人及中小学培训的权威机构～www.366learn.com 网友提供～Page 1 of 4
师时曾给出一种勾股定理的证明方法:
1梯形面积=(上底，下底)×高 2
1 =(a+b)×(a+b) 2
12=(a+b); 2
1112三个直角三角形的面积和=ab+ab+c; 222
梯形面积=三个直角三角形面积和(
111122222 (a+b)=ab+ab+c,所以a+b=c. 2222
4. 公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下:
如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点;过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点(
111易证?AFC??BAE,有AF.FK=,EA.CA=,所以 SS,S,S,SFACBAE矩形AFKJ矩形AFKJ正方形ACDE222
; S正方形ACDE
111易证?CBG??HBA，有BG.KG=,BH.IH=,所以 S,SSS,SCBGHBA正方形CBHI矩形KGBJ矩形KGBJ222
. ,S正方形CBHI
而( SS,，,SS，S正方形矩形AFGBAFKJ矩形正方形KGBJACBE正方形CBHI
222即有AB=AC+CB.
22222225. 勾股数组:a=u-v,b=2uv,c=u+v如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a+b=c(
如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5;u=7,v=6时a=13,b=84,c=85(
当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.
典型问题
2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A,由A向北走24厘米到A,由A1122向西走36厘米到A,由A向南走48厘米到A,由A向东走60厘米到A,…,问:智能机器猫到达A点与O点的334456距离是多少厘米?
【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A点时,相对 6
O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米(
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2222有=36+48,即OA=60( OA6
所以,A点到O点的距离为60厘米( 6
4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN，四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等(
小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另
外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81(所以原图中3个正方
形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米(
6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形ABCD,试问怎样剪,1lll
5才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的,请说9明理由.(写出证明及计算过程)
【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面
151 积为(x+1)=,所以x=. 299
1 那么,最小正方形的边长为.由于是四角对称的剪 3
12去,所以有AD=DC=CB=BA=,AA=BB=CC=DD= lll1llll33
证明及计算过程略(
8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1,10这10个整数;现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
【分析与解】 注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示，由弦图联想到)(
A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A，
那么显然不能组成边长为10的正方形;
如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和;
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评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足,
2,有见下图情形,满足, 对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、
10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问:内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由(
【分析与解】如图?,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板，
0如图?所示.图中有?CDB+?ADG=180.
0,,,AD 如果?,将?CDE逆时针旋转90,得?CDG.有、、C在同一条直线上,且?CDG与?ADG等底同高,所以有. SSS,,,CDGADGCDE
也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等(
注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图?所示(
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范文二：勾股定理经典例题
勾股定理全章类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，
C D ⊥AB 于D 。
（1） 求AB 的长； （2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,
则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2
。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形， AE AE ⊥BE ，且=3，BE =4，阴影部
分的面积是______.
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面25
积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 B
169
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，
铺设水管的费用为每千米3B CD 上选择
水厂的位置M 用是多少？
L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
C ，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足
a 2+b2+c2
+50=6a+8b+10c，判断ΔABC 的形状。
【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2
,2mn, m 2+n2
(m,n为正整数, 且m ＞n), 判断△ABC 是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2＋b 2＋c 2
＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.
【练习3】. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足 (a2－b 2)(a2+b2－c 2
) ＝0，则它的形状为（ ）三角形 A. 直角 B. 等腰 C.等腰直角D. 等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
(a +b ) 2=c 2
+2ab , 则这个三角形是( ) 三角形
（A ）等边（B ）钝角（C ） 直角（D ）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ； (2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a. 。
【练习】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理 =90?，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；
【例题】如图，已知：在?ABC 中，∠B =60?，AC =70，
AB =30. 求BC 的长.
【练习】四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
类型七：利用勾股定理作长为n 的线段
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，
以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A 、8，15，17 B 、4，5，6
C 、5，8，10 D 、8，39，40
【练习3】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90?，∠DBC
【练习4】、已知?ABC 中，AB =13cm ，BC =10cm ，BC 边上的中线AD =12cm ，求证：AB =AC
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
【练习4】如图从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5
【练习5】、一架梯子AB 的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC 为7米。 （1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
【练习6】、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
类型十：翻折问题 【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使
它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF 的长。
【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。
【练习3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） （A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm
【练习4】已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC 的长 D E 【练习5】已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A ．6cm 2 B ．8cm 2 C．10cm 2 D ．12cm 2
范文三：勾股定理典型例题
勾股定理典型例题
1、在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少,
22、已知 与 互为相反数，试判断以x、y、zz,10z，25x,12，x，y,25
为三边的三角形的形状。
3、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是( )
A( 0 B( 1 C( 2 D( 3 A
C
B
4、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则?ABC的度数为( )
A(90? B(60? C(45? D(30? A
B
C
5、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6?，BC=8?。现将直角
边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长( A
E
CBD
6、已知直角三角形两边的长为3和4，求三角形的周长。
7、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是_____(精确到个位)(
8、如图，?ABC中，AC,6，AB,BC,5，则BC边上的高AD,______( 9、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C
处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30?，已知侧角仪高DC,1.4m，
BC,30米，请帮助小明计算出树高AB((取1.732，结果保留 3
三个有效数字)
10、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，
乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后
分别到达B、A两点，且知AB,30海里，问乙船每小时航行多少
海里,
11、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性
大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、
B两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段AB)，经测量，在A地
的北偏东60?方向、B地的西偏北45?方向C处有一个半径为0.7km
的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园,为什么,(?1.732) 3
范文四：勾股定理典型例题
经典例题透析 一、勾股定理的直接用法
在Rt?ABC中，?C=90?
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a. b= c= a=
【变式】:如图?B=?ACD=90?, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
二、勾股定理的构造应用
如图，已知:在中，，，. 求:BC的长.
【变式1】如图，已知:，，于P. 求证:.
【变式2】已知:如图，?B=?D=90?，?A=60?，AB=4，CD=2。求:四边形ABCD的面积。 三、勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60?方向走了到达B点，然后再沿北偏西30?方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
1
(二)用勾股定理求最短问题
如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高,,为4cm，,,是上底面的直径(一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程(
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少,
. B
0.2 2 03 A (三)梯子问题
一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高,(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米,
A
A′
OB′
A B(四)旋转问题 A
23如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求?ABC的边长.
(五)折叠问题
矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。 C
B
A'FE
AD2 G
(六)面积问题
ACBC,,3,4RtABC,，,:C905.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
C
BA
(七)应用问题
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且?QPN,30?，点A处有一所中学，AP,160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响,请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒,
四、数学思想方法
(一)转化的思想方法 3、如图所示，?ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE?DF，若BE=12，CF=5(求线段EF的长。
(二)方程的思想方法
4、如图所示，已知?ABC中，?C=90?，?A=60?，，求、、的值。
举一反三:【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
3
范文五：勾股定理典型例题
例1 如果一个直角三角形的两?条边长分别是6cm和8cm，那?么这个三角形的周长和面积分别是?多少?
思路与技巧 这里知道?了直角三角形的两条边的长度，应?用勾股定理可求出第三条边的长度?，再求周长(但题中未指明已知的?两条边是两条直角边还是一直角边?一斜边，因此要分两种情况讨论(?
解答 分两种情况:
(1)?当两条直角边是6cm和8cm时?，根据勾股定理得
22，，,6，8,10cm斜边长
所?以周长,6，8，10,24(c?) m
12，，,，6，8,24cm2面积
(2)当斜边为8?cm，一直角边为6cm(斜边大?于直角边)时，
根据勾股定理得?
22，，,8,6,27cm另一直角边
，，,6，8，27,14，27cm 所以周长
12,，27，6,67，，cm2面?积
例2 如图19—1?1是一只圆柱形的封闭易拉罐，它?的底面半径为4cm，高为15c?m，问易拉罐内可放的搅拌棒(直?线型)最长可以是多长?
AB1思?路与技巧 搅拌棒在易拉罐中的?位置可以有多种情形，如图中的、?AB2，但它们都不是最长的，根据?实际经验，当搅拌棒的一个端点在?B点，另一个端点在A点时最长，?此时可以把线段AB放在Rt?A?BC中，其中BC为底面直径(
?解答 如图19—11，当搅拌?棒在AB位置时最长，过B画底面?直径BC，则在Rt?ABC中，?
AC,15cm， BC?,4×2,8cm
根据勾股定理?得
2222，，AB,AC，BC,15，8,17cm
所以可放的最长搅拌棒为?17cm(
例3 已知直?角三角形的一直角边为9，另两边?的长为整数，求三角形的周长(
?思路与技巧 根据勾股定理，知?道直角三角形一直角边可以得出斜?边和另一直角边之间的关系，再由?这两边的长为整数可以推出两边的?长，当然这里不需要分别求出，只?要求出另两边的和就可以了(
222c,a,9解?答 设斜边为c，另一直角边为?a，由勾股定理得(
即(c，?a)(c,a),81(
a为正整数，所以c，a，c?,a也是正整数，且c，a,c,?a. 又因为?c、
因为81,81×l,27?×3
所以c，a,81或c，a?,27(c,a,1或c,a,3?)
所以a，b，c,81，9,?90或27，9,36(
即三角?形的周长为90或36(
29例?4 已知单位长度为“1”，画?一条线段，使它的长为(
2929思路?与技巧 是无理数，用以前的方?法不易准确画出表示长为的线段?，但由勾股定理可知，两直角边分?别为5、2的直角三角形的斜边长?为
225，2,29.
解答 画直角三角形A?BC，使?ACB,90?，AC?,2(单位长度)，BC,5(单?位
AB,29长度)(则(单位长度)(如?图19—12(
例5 ? 小明想知道学校旗杆的高，他发?现旗杆上的绳子垂到地面还多了l?m，当他把绳子的下端拉开5m后?，发现下端刚好接触地面，求旗杆?的高(
思路与技巧 由题意可?知绳子比旗杆多lm，把下端拉开?5m后，下端刚好接触地面，这时?，旗杆AB、绳子AC、旗杆底点?B与绳接触地面的点C所连结的线?
x段BC构成直角三角形(如图19?—13如果设旗杆AB,m，则?绳长AC,x(，1)m.
?解答 设旗杆高为xm，则绳子?长(x，1)m在Rt?ABC中?，AB,x，AC,x，l，BC?,5根据勾股定理得
222AC,AB，BC
222，，x，1,x，5即
x,12m ?
所以旗杆的高度为12m(
?
例6 如图19—14，已?知CB,9，AB,17，AC,?10，AD?BC于D(求AD的?长(
思路与技巧 无论把?AD放在直角?ADC还是在直角??ADB中，都不易直接利用勾股?定理计算AD，必须先求出CD的?长才能解决问题，要求CD的长，?可设CD,x，设法找到关于x的?方程，通过解方程的方法求出未知?的CD长(题中的AD可作为“桥?梁”列出方程(
解答 如图1?9—14，设CD,x，在直角??ADC中，
22222AD,AC,CD,10,x
在直角?ABD?中，
22222，，AD,AB,BD,17,9，x
2222，，10,x,17,9，x所以
解x,6
22AD,10,6,8所?以(
例7 如图19—?15分别以直角三角形的三边为边?长向外作正三角形，试探索三个正?三角形面积间的关系(
思路?与技巧 首先应探索出正三角形?的面积与正三角形的边长之间的关?系，然后可设出
解答 设正?三角形DEF的边长为m，如图1?9—16(过D作DH?EF于H?，则
2m3,,2mDH,m,,m,,EH,22,,2(三线合一)(在直角?D?EH中，(所以
13332Smmm,，，,，,DEF4224(即等边三?角形的面积等于边长的平方( ?
因此可设直角?ABC的三边?AB,c，AC,b，BC,a
333222,c,b,a444?所以、、(
222a，b,c又因为?a，b，c为直角三角形的三边，?故
所以
即
,,,ABCD?例8 如图19—17是一只长?方形的火柴盒ABCD，把它推倒?后到的
位置，试用这一图形的变?化探索勾股定理的正确性(
,,,ABCD?思路与技巧 火柴盒由ABCD?的位置推倒后到的位置，可以看?做是长
,,,,ABCD，CAC,90:方形ABCD绕A点逆时针?旋转90?后到达的，所以，?如图
19—17(
解答 设火?柴盒ABCD的两边长分别为a与?b，对角线长为c，推倒后的火柴
,,,ABCD?盒是(
1122，，，，，，,a，bb，a,a，2ab，b,,BCCD22一方面，直角梯形，?的面积
,,BCCD另一方面，直角梯形又是由两个完全相同的三角形?
,，，,CAC,,,ABC与,CDA()和一个等腰直角三角形组成的?，所以该直角梯形的?
面积又等于
111122ab，ab，c,，，2ab，c2222 ?
222a，b,c两相比较，可得(
?
