范文一：极化强度与电荷关系的讨论

极化强度与电荷关系的讨论

第20卷第6期

2004年12月

德州学院

JournalofDezhouUniversity Vol-20,N0.6

Dec.2004

文章编号:1004—9444(2004)06—0032—02 极化强度与电荷关系的讨论

王本军,姜述遵,崔宝欣

(1.烟台师范学院物理与电子工程学院;2.烟台师范学院现代教育技术教学部.山东

烟台264025)

摘要:给出了极化强度与极化电荷及自由电荷的一般关系.指出了极化强度仅由极

化电荷分布决定的

充分条件.

关键词:极化强度;极化电荷;自由电荷

中图分类号:()44l文献标识码:A

极化强度与电荷是电磁学中的两个重要概 念.明确它们之间的相互关系,对学生学好电磁学 是十分重要的.而一般电磁学教材并没有对极化 强度与电荷的关系进行一般性讨论,有的教材Ll』 只是根据特例对极化强度与电荷的关系进行了简 单地分析,说明,并指出极化强度只与极化电荷相 联系.部分学生在学习电磁学时也往往存在模糊 认识,认为极化强度仅与极化电荷有关,而与自由 电荷无关.然而这种看法是不恰当的.因在一般情 况下,极化强度不但与极化电荷有关,且与自由电

荷有关.只有在满足某种条件的情况下,极化强度 才仅由极化电荷的分布决定.本文对此进行了详 细讨论,给出了极化强度与极化电荷及自由电荷 的一般关系,并指出了极化强度仅由极化电荷分 布决定的充分条件.

在静电场中,极化强度矢量P的散度为 .

P一--pe(1)

其中为极化电荷体密度.但不能由此错误的认 为极化强度P仅与极化电荷有关.要确定矢量场 P,必须同时给出P的旋度和散度.而单靠P的散 度公式不能把矢量场P的分布完全确定下来.根 据矢量分析中的恒等式

×(×)一(.)一2(2)

有

.P—(?P)一×(×P)(3)

(3)式为极化强度矢量的泊松方程,它的特解为 P()一

巫,(4)

l一l……

而

?

P(r-)=一pP(,)(5)

×j;()=×[(,)--~o()]=

×5(e)(6)

x[×F()]一X[×6(e)]一

,[?5(e)]一z()一

r()一.(,)(7)

式(7)中P,一?D(,),为自由电荷体密度.将

式(5),(7)代人式(4)得

声()一

f]二,(8)4nJl一

l…

式(8)表明:P()不仅与极化电荷PP(,)有关, 而且与自由电荷pz(F)有关.

那么,在什么条件下,P才仅由极化电荷的分 收稿日期:2004一O5一l2 作者简介:王本军(1956一).男.山东蓬莱人.烟台师范学院物理与电子工程学院副

教授.从事电磁学教学的研究.

第6期王本军等:极化强度与电荷关系的讨论33

礤决足呢?为此作如卜计算

由于j;()一,.z()一(E一,.)(,),所 以(6)式还可表为

×()一×(,一,.)()一

,E×()(9)

将式(5),(9)代入式(4)得

声(,)一

f幽,(1o)47rJI一

,I,…

若空间处处满足,×(,)----0(11)

则式(10)变为

一

如

?

.一+

PP(南3)

.

?

.一

PP((14)

,_

(幽)

式(15)中右边第一项体积分可以变为面积分为 一6

为零.

则

F()一一,(,)南如(17)

考虑到_一一,则式(17)变

lr—rllr——rl

为

)一--~fpe(F如一

co

_f--eo

其中c=一一一,

为极化电荷所产生的电场强度.由此可见,在空间 处处满足,Ex一0的条件下,极化强度一一 ,.,即极化强度J;仅由极化电荷的分布决定. 怎样才能使空间处处满足,×一0呢? 显然只要各向同性均匀电介质充满了电场不为零 的空间(,一常数,,一O),或者电介质的分界面 为等位面,亦即,的空间变化只沿着电场方向发 生(,E与平行,,E×一o),就可以保证空间 处处满足,×一o.

综上所述,极化强度在一般情况下是与自 由电荷有关的.只有在空间处处满足,×一0 的条件下,才仅由极化电荷的分布决定. 参考文献:

[1]哈理德?瑞斯尼克.物理~l-M].北京:科学出版社.

1978.123—125.

Ontherelationshipbetweenpolarizationandcharge

WANGBen-jun,JIANGShu—zun.CUIBao—xin

(1.DepartmentofPhysicsandElectronicEngineer,YantaiNormalUniversity;2.TeachingDivi—

sionofModemEducationalTechnology,YantaiNormalUniversity,YantaiShandong264025.China)

Abstract:Itisgivenaformulaaboutthegeneralrelationshipbetweenpolarizationandsuchchargeas

inducedchargeandfreecharge,andthesufficientconditionthatpolarizationisdecidedonlybythe

distributionofinducedcharge.

Keywords:polarization;inducedcharge~freecharge

范文二：极化强度与电荷关系的讨论

第 20 卷 第 6 期 德州学院学报 Vol . 20 ,No . 6

Journal of Dezhou University 2004 年 12 月Dec . 2004

() 文章编号 :1004 9444 200406 0032 02

极化强度与电荷关系的讨论

1 2 1 王本军,姜述遵,崔宝欣

(11 烟台师范学院物理与电子工程学院 ;21 烟台师范学院现代教育技术教学部 ,山东烟台 )264025

摘 要 : 给出了极化强度与极化电荷及自由电荷的一般关系 ,指出了极化强度仅由极化电荷分布决定的

充分条件 .

关键词 : 极化强度 ; 极化电荷 ; 自由电荷

中图分类号 : O441 文献标识码 : A

有 极化强度与电荷是电磁学中的两个重要概

? ? ? 2 念 . 明确它们之间的相互关系 ,对学生学好电磁学 ( ( ) ))(A P = A AP? - A × A × P 3 是十分重要的 . 而一般电磁学教材并没有对极化 () 3式为极化强度矢量的泊松方程 , 它的特解为 1? 强度与电荷的关系进行一般性讨论 ,有的教材? ( ) P r = 只是根据特例对极化强度与电荷的关系进行了简 ? ? ? ? 单地分析 、说明 ,并指出极化强度只与极化电荷相 1 A ( )A [ A ( ×[ A ] - ×P r ?P r ) ] dv ? ? π? 联系. 部分学生在学习电磁学时也往往存在模糊 4| r - r | 认识 ,认为极化强度仅与极化电荷有关 ,而与自由 ()4 电荷无关. 然而这种看法是不恰当的 . 因在一般情 而 况下 ,极化强度不但与极化电荷有关 ,且与自由电 ? ? ? ( )ρ ( ( )A P? r = - r ) 5 荷有关. 只有在满足某种条件的情况下 ,极化强度 P

? ? ? 才仅由极化电荷的分布决定 . 本文对此进行了详 ? ? ? ( ) = A ( ) ε( ) A ×P r ×[ D r E r ] = - 0细讨论 ,给出了极化强度与极化电荷及自由电荷 ? ? ( )的一般关系 ,并指出了极化强度仅由极化电荷分 A ×D r ()6 ? ?布决定的充分条件. ? ? ( A ×[ A × P r )] = A ×[ A ( ) ×D r ] ?= 在静电场中 , 极化强度矢量 P的散度为 ? ? ? ? ? 2 )( A A [ A D? r ] - ( ) Dr = ? ? ? 2 ( ρ( ) ( )A D r ) A r -7 f ρAP? = - ()1 ? P? ( ) ρ( ) 式 7中 = A D? r , 为自由电荷体密度. 将 f ρ为极化电荷体密度. 但不能由此错误的认其中 P () () () 式 5、7代入式 4得 ?? ?为极化强度 P仅与极化电荷有关. 要确定矢量场 ( ) P r= ? ? ? ? ? ? ? P , 必须同时给出 P的旋度和散度. 而单靠 P 的散 2 )ρ ( ) ( ) ρ( +r ] - A D r A [ r 1 f P ?dv ? ? π? 4| r - r | 度公式不能把矢量场 P 的分布完全确定下来. 根

( ) 8 据矢量分析中的恒等式

布决定呢 ? 为此作如下计算 ? ? ? ? ?? 1 ? ? ? 1 ( ) ρ( )ε(εε) ( ) = - r A( ( ) ) P r dv 由于 P r = x E r = - E r , ? ? P 0 0 π? 4| r - r | () 所以 6式还可表为( )17 ? ? ? ? (εε) ( ) ( ) A × P r = A ×- E r = 01 1 ( ) 考虑到 A , 则式 17变 = - A ? ? ? ? ? ? || r - | r - r | r ε( A ×E r )( ) 9 为 ( ) ( ) ( ) 将式 5、9代入式 4得? ? ? 1 1 ? ? ( )ρ( ) P r = r A dv = P ? ? ( ) P r = π? 4| r - r | ? ? ? ? ? )ρ( r dv ?P ( ) ( )ε ρ A × [ A ×E r ] + A r 1 P ε)( ) ( εA = - r 18 E 0 ? ? 0dv ? ? ? πε4| r - r| π? 40 | r - r | ? ? ()ρ( ) 10 r dv P ? φ ( )= - A = - A , 其中 E r ? ? ? ? ? πε4| r - r| 0 ε) ( ( )若空间处处满足 A ×E r = 0 11 为极化电荷所产生的电场强度. 由此可见 , 在空间 ( ) 则式 10变为? ? ? ε处处满足 A ×E = 0 的条件下 , 极化强度 P = - ? ρ( ) A r ? 1 P )( ( )12 = dv ? ? P r ? ? π? 4|r - r | ε E , 即极化强度 P仅由极化电荷的分布决定 . 0 ? ? ρ( ρ( )) ? r A r P P =?A + ε 怎样 才 能 使 空 间 处 处 满 足 A × E = 0 呢 ? ? ? ? ? | r - r | | r - r | 显然只要各向同性均匀电介质充满了电场不为零 ? 1 ρ( ) ()r A 13 ? ? P (εε) 的空间 = 常数 , A = 0, 或者电介质的分界面 为| r - r | ? ? ρ( ) ερ( r)等位面 , 亦即 的空间变化只沿着电场方向发 A r P P ? = A - ? ? ? ? ? ? | r - r | | r - r | ( εε) 生 A 与 E 平行 , A ×E = 0, 就可以保证空间 ? 1 ?( )ρ( ) 14 r A ? ? P ε处处满足 A ×E = 0. | r - r | ?() () 将式 14代入式 12得 综上所述 , 极化强度 P 在一般情况下是与自 ? ? ?ρ( r) ? 1 P ( ) P r - = Advε由电荷有关的 . 只有在空间处处满足 A ×E = 0 ? ? π? 4|| r - r ? 1 ? 1 的条件下 , P才仅由极化电荷的分布决定. ) A ( )ρ( dv15 r? ? P π? 4|| r - r

( ) 式 15中右边第一项体积分可以变为面积分为 参考文献 : ? ? ρ( ) ρ( ) r r P P ? 1 哈理德瑞斯尼?克 . 物理学 M . 北京 : 科学出版社 , ( )16 Adv = d s ? ? ? ? ? ? | r - r | r - r | |V S 1978. 1232125.

On the relationship bet ween polarization and charge

1 2 1WAN G Ben2jun, J IAN G Shu2zun, CUI Bao2xin

(1 . Department of Physics and Electronic Engineer , Yantai Normal University ; 2 . Teaching Division of Modem

)Educational Technology , Yantai Normal University , Yantai Shandong 264025 ,China

Abstract :It is given a formula about the general relationship between polarization and such charge as induced charge and free charge , and the sufficient condition that polarization is decided only by the distribution of induced charge . Key words : polarization ; induced charge ; free charge

范文三：极化强度与极化电荷的关系

三、极化强度与极化电荷的关系

极化电荷是由于电介质极化所产生的，因此极化强

度与极化电荷之间必定存在某种关系。可以证明，

对于均匀极化的情形，极化电荷只出现在电介质的

表面上。在极化了的电介质内切出一个长度为l、底

面积为,s的斜柱体，使极化强度p的方向与斜柱体图9-31

的轴线相平行，而与底面的外法线n的方向成,角，如图9-31所示。出现在两个端面上的极化电荷面密度分别用，,,和,,,表示。可以把整个斜柱体看为一个“大电偶极子”，它的电矩的大小为，,,,s，l，显然这个电矩是由斜柱体内所有分子电矩提供的。所以，斜柱体内分子电矩

的矢量和的大小可以表示为

,

斜柱体的体积为

,

根据式(9-57)，极化强度的大小为

.

由此得到

,, = p cos, = p , n

或者

,(9-58)

式中p是极化强度矢量p沿介质表面外法线方向的分n

量。式(9-58)表示，极化电荷面密度等于极化强度沿该

面法线方向的分量。对于图9-31中的斜柱体，在右底

面上,, ,/2，cos,>0，,,为正值;在左底面上,, ,/2，

< 0，="" ,为负值;而在侧面上=",/2，cos" =="">

图9-32 为零值。

为了得出极化强度与极化电荷更一般的关系，我们任作一闭合曲面s，与极化强度为p且沿轴线方向极化的电介质斜柱体相截，截面为s,，如图9-32所示。在闭合曲面s上取面元ds，以ds乘以式(9-58)等号两边，并对整个曲面s积分，得

.

上式等号右端是闭合曲面s上极化电荷的总量，而这些极化电荷都处于s与介质相截

表示之。另外，无论电介质是否极化，其整体总是电中性的，的截面s ,上，我们以

既然在s面上出现了量值为 的极化电荷，那么s面内必定存在着量值为,的极化电荷。所以，下式必定成立

(9-59)

上式表示，极化强度沿任意闭合曲面的面积分(即p对该闭合曲面的通量)，等于该闭合曲面所包围的极化电荷的负值。显然，当闭合曲面s所包围的整个空间充满均匀电介质时，由于均匀电介质内部不存在极化电荷，所有极化电荷都处于其表面上，所以该闭合曲面的极化强度通量必定等于零。

如果仿照电场线，而引入p线以表示在介质中极化强度的分布状况，由式(9-59)可以得出，p线起自极化负电荷，终止于极化正电荷。

范文四：电场强度_电场强度公式及推导式_电场强度与电势的关系

电场强度_电场强度公式及推导式_电场

强度与电势的关系 电场强度的概念

电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量。实验表明，在电场中某一点，试探点电荷(正电荷)在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量。电场强度的定义:放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量比值，其大小用E表示，显然，E=F/q;

试探点电荷应该满足两个条件:

(1)它的线度必须小到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质;

(2)它的电量要足够小，使得由于它的置入不引起原有电场的重新分布或对有源电场的影响可忽略不计。

电场强度的单位V/m伏特/米或N/C牛顿/库仑(这两个单位实际上相等)。常用的单位还有V/cm伏特/厘米。

电场强度方向的规定

按照定义，电场中某一点的电场强度的方向可用试探正的点电荷，在某点所受电场力的方向规定为电场强度的方向。

电场强度公式及推导式

电场强度定义式E=F/q;

点电荷的电场强度E=kQ/R²;

匀强电场的电场强度与电压的关系U=Ed;

电场强度与电场力

电场强度的大小，由试探电荷所受的力与试探点电荷带电量的比值确定。E=F/q，适用于一切电场;其中F为电场对试探电荷的作用力，q为试探电荷的电荷量。电场强度的单位N/C。

定量的实验证明，在电场的同一点，电场力的大小与试探电荷的电荷量的比值是恒定的，跟试探电荷的电荷量无关。它只与产生电场的电荷及试探电荷在电场中的具体位置有关，即比值反映电场自身的特性(此处用了比值定义法)。

电场强度与电势差的关系

匀强电场中，电场强度与电压的关系U=Ed;其中d指的是沿着电场线方向的有效距离。如果d不是沿着电场线方向的，还需要进行投影运算。

电场强度与电场线关系

电场线是用来描述电场分布的一簇簇曲线(或直线)，电场线越密集的地方，电场强度E越大。

电场强度与电势能

电场强度与电势能的大小没有关系，不能认为某点的电场强度大，电势能就一定大。电场强度大，只能说明同样的电荷受到的力更大，与电势能无关。

电势能的大小主要取决于(相对零势能面)电势的大小，以及电荷的大小。

范文五：浅谈电场强度与电势的关系

浅谈电场强度与电势的关系

贠锦鹏

摘要 :运用电势梯度法和矢量代数法两种方法证明了电场强度与电势的关系,归纳出已知电场

强度求电势和已知电势求电场强度的方法.

关键词 :电场强度; 电势;关系

引言

电场强度和电势是物理知识中的重要内容,是理解、掌握电磁学知识的基础。 在国内比较经典的几种电磁学教材中,对电场强度和电势关系的推导由于对等电势 面法线方向规定的不一致, 证明方法也有明显的差异 []21- ,这使得在具体教学中学生 对推导过程的理解产生困难。为此,我们运用电电势梯度法和矢量代数法两种方法 给出了电场强度和电势关系的推导过程,这对实际教学有指导意义。

1.电场强度与电势的关系

1.1 电势梯度法

设在电场中,取两个十分临近的等势面 1和 2(如图 1所示),其电势为 V 和 V+dV(dV >0)。设 1p 为等势面 1上的一点,过 1p 点

作等势面 1的法线 n , 规定其指向电势增加方向, 它

与等势面 2交于 2p 点,场强 E

与 n 的方向相反。再 由 1p 点向等势面 2任作一条直线交于 3p 点。 从 1p 向 3p 引一位移矢量 l d

,根据电势差的定

义,并考虑到两个等势面非常接近,因此:≈E

常矢

量,则有:dl E l d E dV V V θcos ) (=?=+-

即:dl E dV θcos =-,令 θcos E E l =为场强在 l d

方

向上的投影,则有:dl

dV E l -=

(图 1)

电场中某点的场强沿任意 l d

方向的投影等于沿该方向电势函数的空间变化率 (电势函数的方向导数)的负值。

两个特殊方向:

(1)当 πθ=时, l d 沿 n

方向,与 E 方向相反, dl

dV 有最大值,则该点电场强

度的大小为:

dn dV

E E n =

=

(2)当 2/πθ=时, l d 沿 τ 方向,与 E 方向相垂直, dl

dV 有最小值,则该点电

场强度的大小零,即: 0=x E

定义电势梯度 (gradient)矢量:

n dn dV V gradV

=

?=

电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率;方向沿等势面法向,指向 电势增加的方向。

V

gradV n dn dV E -?=-=-=

电场中任一点的场强 E

,等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数的负值, 即 E 的大小等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数, E

的方向与法线方向相 反。

在直角坐标系,有:

dx dV E x -=, dy dV E y -=, dz dV E z -=

于是电场强度与电势关系的矢量表达式可写成 )

(k z V j y V i x V E ??+??+??-=

1.2矢量代数法

对于点电荷 3

04r

r

q E πε= 由于 ???

??-?=r r r 13 所以 ???

? ??-?=????????? ???-=00414πεπεq r q E 即 V E -?=

在直角坐标系中, ????

?????+??+??-=k z V j y V i x V E

写成标量形式:x V E x ??-=, y

V

E y ??-=, z V E z ??-=

柱坐标系中:ρ??-=V E p , ?

ρ???-=V

E 1, z V E ??-=ρ

球坐标系中 :r V E r ??-=, θθ??-=V r E 1, ?

θ???-=V

r E sin 1

2、已知电场强度求电势 []3

2.1 在单个点电荷产生的电场中任意一点的电势

空间有一点电荷 q ,与它相距 r 的点 P 的场强:r r q E ?41

2

πε=

r

q dr r q dr r d E r r r p V 02

04141πεπε===?=???∞∞∞

2.2 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势

空间有 n 个点电荷 1q 、 2q 、 …… n q ,求任意一点 P 的电势。这时点 P 的电场强 度 E 等于各个点电荷单独在点 P 产生的电场强度 1E 、 2E 、 …… n E 的矢量之和,及

n E E E E +++=...... 21

所以点 P 的电势可以表示为

()l

d E l

d E l d E l d E l

d E E E l d E n

i p

i p

n p

p

p n p

p

V

?=?++?+?=?+++=?=∑?

???

??

=∞∞∞∞

∞∞

1

2121

2.3 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势

一个带电体在空间某点的电场强度的大小:

?=

2041

r dq E πε 式中 r 是电荷元 dq 到所讨论的点 P 的距离。

???=

?=?=2041

r

dq dr E l d E U πε

在处理具体问题时,我们可以根据电荷在带电体上的分布情况,分别引入体电 荷密度 、面电荷密度 和线电荷密度 ,它们分别可写为:

?

?????=

==l P s

p p r

dl

r

ds

r dz

V V V λπεσπερπετ0

00414141

在计算电势时,如果已知电荷的分布,尚不知电场强度的分布,总可以利用上 式直接计算电势。对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出 电场的分布,然后再计算电势。

3. 已知电势求电场强度

3.1 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度 []4 解:设 A 与 +q和 -q 均在 xoy 平面内, A 到 +q和 -q 的 距离分别为 r+和 r-, +q和 -q 单独存在时, A 点的电

势为 ++=r q V 04πε和 -

-=r q

V 04πε

由电势的叠加原理, A 点的电势为

???? ??-=???? ??-+=-++--+

-r r r r q r r q V V V 004114πεπε=+ 对于电偶极子, r l <, 所以="">

, cos r r r l r r ==--++-θ

于是 2

cos 4r l q V o θ

πε=引入电偶极子的偶极矩 1q p =,

电势为 图 2 电偶极子示意图

2

/3220202044cos 41y x x p r x r p r p V +=

==πεπεθπε 因而电场强度为

2

/5222

2024y x x y p x V E x +--

=??-=πε

2

/522034y x xy p y V E y +--

=??-=πε

在电偶极子的延长线上:0=y , 3

01

42x p E x πε=, 0=z E

在电偶极子的中垂线上:0=x , 3

01

4y

p E x πε-=, 0=z E

3.2 求一个带电细圆环轴线上的电场 []5 解 1:用库仑定律直接解。

∧=e r

r

dq dE 2041

πε 其中, ∧e r 是 PQ 方向的单位矢量。 ∧

e

r

= 一 ∧e

x

sin θ cos? 一 ∧

e y sin θ sin? + ∧

e z cos

θ

?λλRd dl dq == λ线电荷密度, r

z

=

θcos 由于电荷分布沿 z 轴对称, 因此场 强只沿 z 轴 ?θλπεπ

d r R

E e

z

cos 4120

2

0??=

22030)

(224Z R Rz

r Z R E z +=?=

ελππελ, 0=x E , 0=y E 图 3 带电圆环示意图 解 2: 先求电势 r

dq dU 041

πε=

其中 dl dq λ=, (22Z R r +=代人 220)

(41Z R dl

dU +=λπε

则

220220) (21) (41Z R R

dl Z R U +=

+=λελ

πε

, 0=??-

=x E E x , 0=??-=y

U E y

参考文献:

[1]谢绍平 对马文蔚主编的 《物理教程》 中电场强度与电势梯度推导过程的异议 [J] 凯里学院学 报 2007 25(26):24-26

[2]朱少敏 一类静电场的电场强度的变化规律 [J] 丽水师院专科学校学报 1994 21(2) :71-72 [3]朱峰 大学物理 [M] 北京 清华大学出版社 2004

[4]梁绍荣 刘昌年 盛正华 普通物理学(电磁学)(第三版) [M] 北京 高等教育出版社 2005 [5]马文蔚 物理学教程 [M] 北京

高等教育出版社 2005

220) (21Z R Rz

z U E Z +=

??-

=λε

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