用户59671121
范文一：微积分常用公式
当x →0时 x~sin x ~tan x ~arcsinx~arctanx~ln(1+x) ~
2. 常用极限
1. lim
n k
x →∞a x →∞
a x ?1ln a
~
1+x b ?1
b
(其中a >0, b≠0)
x~ex ?1 x 2~1?cos x x~ ?1 α~(1+x) α
2
n
11
n
=0 ,(a>1)
2. lim
c n
x →∞n! x →∞
=0, (c>0)
3. lim nq n , ( q <1) 5.="" lim="">
x →∞
n
4. lim n =1, (a>0) 6. lim
log a n n
x →∞
=0, (a>1)
1n
7. lim 9. lim
x 0 e
8. lim 1+=e
x →∞
n
x 10. lim
sin x x
x →∞
=0
) =
1p+1
11. lim
log a x x ε
x →+∞
=0 ,(a>1, ε>0)
?
n p+1
12. lim (
x →∞
1p +2p +?+np
n p +1
2p p+1
13. lim (
x →∞
1p +2p +?+np
n p +11n+1
1n+2
=212n
1
14. lim (
x →∞
1p +3p +?+(2n?1) p
n p +1
=15. lim
x →∞
++?+
=ln 2
β
17. lim (1+x) =e
x →0
1
x
16. lim
sin x x a x ?1x
x →0
=1 =
αm
18. lim 20. lim 22. lim 24. lim 26. lim 28. x →0
=ln a =1 =1
19. lim 21. lim 23. lim 25. lim
(1+a)μ?1
a arcsinx x
x →0
=μ
ln(1+x)
x arctanx
x
m
x →0x →0
=1
=mn(n?m)
21
(1+mx) n ?(1+nx) m
x 2
m
x →0x →0
n
? x x →0
?, (mn≠0)
n
n
? 1α
x m x →0
+，（mn ≠0）
n
β
x m ?1x n ?1
m x →1
==
m n n
, (m,n 为自然数) , (m,n ∈Z)
27. lim
x →1
m 1?x m
?
n 1?x n
=
m ?n 2
x →m
29. 若Xn （n=1,2…）收敛, 则算数平均值的序列ζn= X1+X2+?Xn , (n=1,2?) 也收敛，且
n
1
lim
x1+x2+?+xn
n
x →∞
=lim xn
x →∞
30. 若序列Xn(n=1,2…) 收敛，且Xn>0,则lim = lim Xn
x →∞
x →∞
n
31. 若Xn>0(n=1,2…) 且lim
Xn +1
x →∞Xn
lim =lim
x →∞
n
Xn +1
x →∞Xn
32. 若整序变量Yn →+∞, 并且——至少是从某一项开始——在n 增大时Yn 亦增大，Yn+1>Yn，则
n →∞Yn
lim
Xn
=lim
Xn ?Xn ?1
n →∞Yn ?Yn ?1
4. 常用符号
5. 微分学基本公式
1. 3. 5. 7. 9.
y =c dy=0
1cos x
1. 1+2+?+n =
n(n+1)2
2. 12+22+?+n 2=
n n+1 (2n+1)
6
3. 13+23+?+n 3=(1+2+?n) 2 4. a 3±b 3= a +b (a2?ab +b 2)
5. x n ?1= x ?1 (xn ?1+x n ?2+?+x +1)
6. x n ?a n = x ?a (xn ?1+ax n ?2+a 2x n ?3+?+a 2x +a n ?1) 7. x n +a n = x +a [ x 2k ?1?ax 2k ?2 +?+(a2k ?2x ?a 2k ?1)] 8. x ?1=( + +?+1) 9. 伯努利不等式(1+x) n ≥1+nx
n
n
1+x1 1+x2 ??? 1+xn ≥1+x1+x2+?+xn
10. |x?y|≥| x ?|y||
11. |xy|≥xy
12. X +X1+?+Xn ≥ X ? X1 +?+ Xn 13. n! <>
1n+1
n+1n
) 2
1
1
14. ????
24
132n ?12n
n
n
a ?1n
16. 1+a
17. n ?1
k
A k
18. 组合数公式C n =
k!
=
n!
k! n ?k !
k k?1
C m+n+1?C mk =Cm +n+n
n!
k
排列数公式A n =n ? n ?1 ??? n ?k +1 =
n ?k !
19. z 6?1= z +1 z ?1 z 2+z +1 z 2?z +1 20. z 6+1= z 2+1 (z4?z 2+1) 21. z 4+1= z 2+ +1 (z2? +1)
1. 记号n!! 表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n ，并且每两个数之间差2. 例：7！！=1?3?5?7 8?=2?4?6?8
dx
2. 4. 6. 8.
y =x μ dy=μx μ?1dx y =log a x dy=
log a e x
y =a x dy=a x ln a dx y =sin x dy=cos x dx y =tan x dy=sec 2x dx =
dx
y =cos x dy=?sin x dx y =cot x dy=?csc 2x dx =
1sin x
dx
y =sec x dy=sec x tan x dx
11+x1ch 2
x
10. y =csc x dy =?csc x cot x dx 12. y =arccosx dy=14. y =arccotx dy=?18. y =cthx dy=?
11+x1sh 2x
11. y =arcsinx dy=13. y =arctanx dy=17. y =thx dy=
dx dx
15. y =shx dy=chxdx
dx
16. y =chx dy=shxdx
dx
6. 不定积分表
1. 0dx =c 3. x μdx =5.
11+x1μ+1
x a
2. 1dx =x +c 4. dx =ln |x|+c .
x 1
x μ+1+c
dx =arctanx +c
a x ln a
6.
=arcsinx +c
7. a x dx =+c 8. sin x dx =?cos x +c 10. 14. 16
1sin 2x 1sh x dx a x +x2xdx a ±x9. cos x dx =sin x +c 11.
1cos x
dx =?cot x +c
dx =tan x +c 12. sh x dx =ch x +c
dx =?cth x +c =arctan +c, (a≠0)
a
a
1
x
13. ch x dx =sh x +c 15. 2dx =th x +c
ch x 17. =ln ||+c
a ?x 2a a ?x
x
dx
1
a+x
1
18. 20.
=±ln |a2±x 2|+c
2
1
19. arcsin +c, (a>0)
a 21. =ln |x+ +c
± +c
x 2
22. dx = +arcsin +c, (a>0)
7. 三角学公式 sin 2θ cos 2θ
1. 基本关系
1. sin θ?csc θ=1 3. tan θ?cot θ=1 5. sec 2θ?tan 2θ=1 7. tan θ=
sin θcos θ
22. dx = ±
2
x
a 22
ln x + +c
2. cos θ?sec θ=1 4. sin 2θ+cos 2θ=1 6. csc 2θ?cot 2θ=1 8. cot θ=
cos θsin θ
2. 两角和与差的三角函数公式
1. sin α±β =sin αcos β±cos αsin β 3. tan α±β =
tan α±tanβ1?tan αtan β
2. cos α±β =cos αcos β?sin αsin β 4. cot α±β =
cot αcot β?1cot β±cotα
3. 倍角公式
1. sin 2α=2sin αcos α=
2tan α1+tanα
1?tan 2α1+tanα
2. cos 2α=cos 2α?sin 2α=2cos 2α?1=1?2sin 2α=
3. tan 2α=
2tan α1?tan α
=(
sin α1+cosα
2. 2
4. cot 2α=
cot 2α?12cot α
5. sin 3α=3sin α?4sin 3α 1. 3.
sin 2=
2α
1?cos α
2
6. cos 3α=4cos 3α?3cos α cos 2=
2α
1+cosα
2
4. 半角公式
=(
tan 2=
2
α1?cos α1+cosα1?cos α2
) sin α
4.
cot 2=
2
α1+cosα1?cos α
=(
1+cosα2
sin α
=(
sin α
1?cos α
) 2
5. 和差化积公式
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
sin α+sin β=2sin sin α?sin β=2cos
α+β2α+β2
cos sin
α?β2α?β2
cos α+cos β=2cos
α+β2
cos
α?β2
cos α?cos β=?2sin tan α±tanβ=±cot α±cot β=±tan α±cot β=±
α+β2
sin
α?β2
sin （α±β）sin αsin β
cos （α?β）sin αsin β
cos （α?β）cos αsin β
6. 积化和差公式
1. 2. 3.
sin αsin β=?[cos α+β ?cos(α?β)] cos αcos β=[cos α+β +cos(α?β)] sin αcos β=[sin α+β +sin(α?β)]
221121
7. 双曲函数的基本关系
1. 3. 5. 7.
cosh 2t ?sinh 2t =1 coth 2t =1+sinh x =
2
1sinh 2t
2. 4. 6.
1?tanh 2t =
1cosh t
sinh 2x =2sinh x cosh x =2cosh 2x ?tanh x cosh x =
e x +e?x
2
e x ?e ?x
双曲余弦的反函数
x 1+tanx
x =ln(y± y
8. 万能公式
1. 3. 5.
sin x =tan x =sec x =
2tan
2. 4. 6.
cos x =cot x =csc x =
1?tan 2x 1+tanx 1?tan 2x 2tan
2
x 1?tan x
2tan
1+tan2x 1?tan x
1+tan2x 2tan
2
范文二：积分常用公式
积分常用公式
一．基本不定积分公式： 1．dx =x +C
?
2．x dx =
?
α
11
x α+1 (α≠-1) 3．?dx =x +C α+1x
a x
+C (a >0, a ≠1) 5．?e x dx =e x +C 4．?a dx =ln a
x
6．sin xdx =-cos x +C 7．cos xdx =sin x +C
??
8．sec xdx =
?
2
112
dx =tan x +C csc xdx = 9．?cos 2x ??sin 2x dx =-cot x +C
10．sec x ?tan xdx =sec x +C 11．csc x ?cot xdx =-csc x +C 12．
??
?
11-x
2
dx =arcsin x +C （或?
11-x
2
dx =-arccos x +C 1）
13．
11
dx =arctan x +C （或?1+x 2?1+x 2dx =-arc cot x +C 1）
14．sinh xdx =cosh x +C 15．cosh xdx =sinh x +C
二．常用不定积分公式和积分方法：
1．tan xdx =-ln cos x +C 2．cot xdx =ln sin x +C
??
??
3．
dx 1x dx 1x -a
=+C 4．=?a 2+x 2a ?x 2-a 22a x +a +C a
5．sec xdx =ln sec x +tan x +C 6．csc xdx =ln csc x -cot x +C 7．
??
?
??
x
=+C 8．?
a a 2-x 2
x a 2x 22
a -x dx =a -x ++C
22a
2
2
dx dx x 2±a 2
=x +x 2±a 2+C
9．
10．
x
x ±a dx =
2
2
2
a 2
x ±a ±x +x 2±a 2+C
2
2
2
11．第一类换元积分法（凑微分法）：
1
?g (x ) dx =??g (x ) dx
f [?(x )]?'(x ) dx =?f [?(x )]d [?(x ) ]
F [?(x )]+C
但并未明显做变换
相当于令t =?(x )
12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：
令x =?(t )
-1
'g [?(t )]?(t ) dt =f (t ) dt =F (t ) +C =F [?(x )]+C ??
注：要求代换?(t ) 单调且有连续的导数，且“换元须还原”
13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)
?udv =uv -?v d u
14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：
1-u 2x 2u 2
dx =du cos x =令u =tan ，则sin x =，，
21+u 21+u 21+u 2
15．有理真分式
p n (x )
(n
Q m (x )
(1). 分母Q m (x ) 中如果有因式(x -a ) k （k 为正整数），则分解式中有下列k 个最简分式之和：
(2) 分母Q m (x ) 中如果有因式(x 2+px +q ) k （k 为正整数），其中p 2-4q <0，则分解式中有下列k>
最简分式之和：
A k A 1A 2
（A 1, A 2, , A k 都是常数） ++ +k
x -a (x -a ) 2(x -a )
M k x +N k M 1x +N 1M 2x +N 2
++ +2222k
x +px +q (x +px +q ) (x +px +q )
（M 1, M 2, , M k ，N 1, N 2, , N k 都是常数）
三．积分时常用的三角恒等变换公式：
1．sin x +cos x =1 2．1+tan x =sec x 3．1+cot x =csc x 4．sin x =
2
2
2
2
2
2
2
1-cos 2x
2
5． cos x =
2
1+cos 2x 1
α-β) +sin(α+β)] 6．sin αcos β=[sin(
221
[cos(α-β) +cos(α+β)] 2
2
7．cos αcos β=
8．sin αsin β=
1
[cos(α-β) -cos(α+β)] 2
四．定积分的性质 1．
?
b
a
[f (x ) ±g (x )]dx =?f (x ) dx ±?g (x ) dx
a
a
b
b b
2．
?
a
kf (x ) dx =k ?f (x ) dx
a
b
3．定积分对积分区间具有可加性：
?
b
a
f (x ) dx =?f (x ) dx +?f (x ) dx （a 、b 、c 大小任意）
a
c
c b
4．保号性：若在[a , b ]上，f (x ) ≥g (x ) ，则 推论1：若在[a , b ]上，f (x ) ≥0，则
?
b
a
f (x ) dx ≥?g (x ) dx
a
b
?
b
a
f (x ) dx ≥0
推论2：若在[a , b ]上f (x ) 可积，则f (x ) 在区间[a , b ]上也可积，且5．估值定理：若在[a , b ]上，m ≤f (x ) ≤M ，则m (b -a ) ≤
?
b
a
f (x ) dx ≤
?
b
a
f (x ) dx
?
b
a
f (x ) dx ≤M (b -a )
6．积分中值定理：若f (x ) 在[a , b ]上连续，则至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得注：可以证明当上述ξ=a 或ξ=b 时，必另有ξ∈(a , b ) ，使得
?
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
?
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上连续，且g (x ) 不变号，则至少存在
一点ξ∈[a , b ]，使得
五．微积分基本定理：
1． 变上限积分函数的导数：若f (x ) 在[a , b ]上连续，则函数Φ(x ) = Φ'(x ) =f (x )
?
b
a
f (x ) g (x ) dx =f (ξ) ?g (x ) dx
a
b
?
x
a
f (t ) dt 在[a , b ]上可导，且
'b (x )
??推论1：若f (x ) 在[a , b ]上连续，b (x ) 在[a , b ]上可导，则 ?f (t ) dt ?=f [b (x )]?b '(x ) a ??
推论2：若f (x ) 在[a , b ]上连续，a (x ) 、b (x ) 在[a , b ]上可导，则
'b (x )
?? ?a (x ) f (t ) dt ?=f [b (x )]?b '(x ) -f [a (x )]?a '(x ) ??
提示：当被积表达式中有变量x 时，求变上限积分函数对x 的导数时，一定要先设法把x 从被积表达式中消掉（此时把x 看作常数，或从积分号中提出去或换元消除） 2． 牛顿——莱布尼兹公式：
设f (x ) 在[a , b ]上连续，F (x ) 为f (x ) 在[a , b ]上的任意一个原函数，则
3
?
b
a
f (x ) dx =F (b ) -F (a )
即可，以此类推。
六．定积分的计算方法和常用定积分公式：
1． 定积分换元法：设f (x ) 在[a , b ]上连续，做代换x =?(t ) ，若?'(t ) 连续，当t 在[α, β](或[β, α])
上变化时，x =?(t ) 的值在[a , b ]上变化，且?(α) =a ，?(β) =b ，则
?
b
a
f (x ) dx =?f [?(t )]?'(t ) dt “换元必换限”
α
β
2． 分部积分法：
?
b
a
udv =uv a -?vdu
a
b
b
3． 对称性：若f (x ) 在[-a , a ]上连续，则
当f (x ) 为偶函数时，当f (x ) 为奇函数时，
??
a
-a a
f (x ) dx =2?f (x ) dx
a
-a
f (x ) dx =0
4． 设f (x ) 是周期为T 的周期函数，则f (x ) 在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即
?
a +T
a
f (x ) dx =
?
T
f (x ) dx
n 为正偶数
31π?n -1n -3
? ???n n -2ππ422?n n 22
5． I n =?sin xdx =?cos xdx =?
00
?n -1n -342
? ??1?n n -253?
6．
n 为大于1的正奇数
?
π
xf (sinx ) dx =
π
2?0
π
f (sinx ) dx
七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性） 1． 平面图形的面积：
（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分） (1) 直角坐标系下的面积公式：
若平面图形由曲线y =f (x ) ，y =g (x ) （f (x ) ≥g (x ) ），直线x =a 及x =b （a
A =?[f (x ) -g (x )]dx
a
b
若平面图形由曲线x =?(y ) ，y =ψ(y ) （?(y ) ≥ψ(y ) ），直线y =c 及y =d （a
A =?[?(y ) -ψ(y )]dy
c
d
(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）
若平面图形由曲线?
?x =?(t )
，直线x =a 、x =b （a
?y =ψ(t )
4
A =?ydx =?ψ(t ) ?'(t ) dt ，其中t 1=?-1(a ) ，t 2=?-1(b )
a
t 1
b
t 2
(3) 极坐标系下的面积公式：
若平面图形由曲线ρ=ρ(θ) ，射线θ=α及θ=β（α<β）围成的曲边扇形，则a>
2． 立体的体积
(1) 已知平行截面的面积，求立体的体积：
已知立体垂直于x 轴的截面面积为A (x ) ，a ≤x ≤b ，则 V =(2) 旋转体的体积
(a) 由曲线y =f (x ) ，直线x =a 、x =b （a
体积 V x =π
1β2
ρ(θ) d θ ?α2
?
b
a
A (x ) dx
?
b
a
f 2(x ) dx （薄片法）
(b) 由曲线y =f (x ) ，y =g (x ) （f (x ) ≥g (x ) ≥0）直线x =a 及x =b （a
旋转形成的旋转体的体积V x =π
??
b
a
[f 2(x ) -g 2(x )]dx （薄片法）
由曲线x =?(y ) ，x =ψ(y ) （?(y ) ≥ψ(y ) ）直线y =c 及y =d （c
(c) 由曲线x =?(y ) ，直线y =c 、y =d （c
体积 V y =π
d
c
y [?(y ) -ψ(y )]dy （柱壳法）
?
d
c
?2(y ) dy （薄片法）
(d) 由曲线x =?(y ) ，x =ψ(y ) （?(y ) ≥ψ(y ) ≥0）直线y =c 及y =d （c
旋转形成的旋转体的体积V y =π
??
d
c
[?2(y ) -ψ2(y )]dy （薄片法）
由曲线y =f (x ) ，y =g (x ) （f (x ) ≥g (x ) ）直线x =a 及x =b （a
3． 平面曲线的弧长
(a) 直角坐标系下的弧长公式 s =(b) 参数方程下的弧长公式 s =(c) 极坐标系下的弧长公式 s =
5
b
a
x [f (x ) -g (x )]dx （柱壳法）
?
b
a
+(y ') 2dx 或s =?
d
c
+(x ') 2dy
?α
β
'2(t ) +ψ'2(t ) dt ρ2(θ) +ρ'2(θ) d θ
?α
β
八．定积分的物理应用（微元法分析）
1．变力做功 （用到的中学物理公式W =F ?S （功=常力?距离）） 2．液体的侧压力
（用到的中学物理公式F =P ?A （压力=压强?面积），（压强=密度?重力加速度?深度）） P =ρ?g ?h
3．引力 （用到的中学物理公式F =k
到各坐标轴上再用定积分）
九. 广义积分：
Mm
，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解2r
1．无穷区间上的广义积分：设f (x ) 在下列给定的区间上连续，F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，则 (1) (2) (3)
?
+∞
a b
f (x ) dx =F (+∞) -F (a ) , 其中F (+∞) =lim F (x ) ，
x →+∞
?
-∞
f (x ) dx =F (b ) -F (-∞) ， 其中F (-∞) =lim F (x )
x →-∞
?
+∞
-∞
f (x ) dx =F (+∞) -F (-∞) ，其中F (+∞) =lim F (x ) ，F (-∞) =lim F (x )
x →+∞
x →-∞
若上述极限(都) 存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。
f (x ) =∞或lim f (x ) =∞，则称x =ξ为f (x ) 的瑕点。2．无界函数的广义积分（瑕积分）： 若lim -+
x →ξ
x →ξ
(1) 设f (x ) 在[a , b ) 上连续，b 为瑕点，则(2) 设f (x ) 在(a , b ]上连续，a 为瑕点，则
??
b
a b
f (x ) dx =lim f (x ) dx -?
s →b
a
s
a
f (x ) dx =lim f (x ) dx +?
t →a
t
b
(3) 设f (x ) 在[a , b ]上除点x =c （a
?
b
a
f (x ) dx =lim f (x ) dx +lim f (x ) dx -?+?
s →c
a
t →c
t
s b
若上述极限(都) 存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。
6
范文三：高数 常用积分公式
常 用 积 分 公 式
（一）含有ax +b 的积分(a ≠0)
d x 1
1．?ax +b ＝a ln ax +b +C
(ax μ
1(ax +b ) μ+1
+C 2．?+b ) d x ＝a (μ+1) （μ≠-1）
3．?x ax +b x 1
＝a 2(ax +b -b ln ax +b ) +C
x 21?1(ax +b ) 2-2b (ax +b ) +b 2
ln ax +?4．?ax +b x ＝a 3??2b ??+C
?d x 1ax +b x (ax +b ) -b ln x +C
5．＝ d x -1+a ln ax +b
+6．?x 2(ax +b ) ＝bx b 2
x C 7．?x 1b
(ax +b ) 2x ＝a 2(lnax +b +ax +b ) +C
x 28．?1b
2(ax +b ) 2x ＝a 3(ax +b -2b ln ax +b -ax +b ) +C
d x 9．?1x (ax +b ) 2＝b (ax +b ) -1b 2
ln ax +b
x +C
的积分 10
．?
x
C
2
11
．?
x ＝15a 2
(3ax -2b +C
12
．?
x
x 2
(15a 2x 2-12abx +8b 2＝105a 3
C
x 13
．
2＝3a 2
(ax -2b C
2x 214
．
＝15a 3(3a 2x 2-4abx +8b 2+C
?+C (b >0)
15
．＝C (b <>
-16
．?
bx -a 2b 17
．
x b ＝
x
a 18
．
＝
+2 （三）含有x 2±a 2
的积分
19．?d x 1x
x 2+a 2=a arctan a +C
20．?d x
x 2n -(x 2+a 2) n
=2(n -1) a 2(x 2+a 2) n -1+3d x 2(n -1) a 2?(x 2+a 2) n -1 d x 1x -a 21．?x 2-a 2ln +C =2a x +a
（四）含有
ax 2
+b (a >0) 的积分 ?x +C (b >0)
d x
22．?
ax 2
+b ＝+C (b <>
x 23．?ax +b x 1
＝2a ln ax 22+b +C
x 224．?ax 2
+b x x ＝a -b a ?d x
ax 2+b ?d x 1x 2
25．x (ax 2+b ) ＝
2b ln ax 2+b
+C
d 26．?x x 2(ax 2+b ) ＝-1bx -a b ?d x
ax 2
+b
27．?d x a x 3(ax 2+b ) ＝2b 2ln ax 2+b x 2-12bx 2
+C
28．?d x
x (ax 2+b ) 2+1d x ＝2b (ax 2+b ) 2b ?ax 2+b
（五）含有ax 2
+bx +c (a >0) 的积分
+C d x +C 29．?
ax 2+bx +c ＝30．?x ax 2
+bx +c x 1＝2a
ln ax 2+bx +c -b d x 2a ?ax 2+bx +c (a >0) 的积分
31
．
＝
arsh
x a +
C 1＝ln(x ++C
32
．
+C
x
33
．
C
x 34
．
?
＝
+C
(b 2
<4ac )="" (b="" 2="">4ac )
x a 35
．
2ln(x +C
2x
+ln(x ++C
36
．＝
137
．
?
a +C
38
．
＝-a 2
x +C
x
2
39
．
+a 2ln(x ++C
x
x 40
．?
＝8(2x 2+5a 2348a ln(x ++C 41
．?
x
C
x
x 4
(2x 2+a 2a 42
．
?
x ＝88ln(x ++C
a 43
．
x ＝
+C
?
44
．
x -+ln(x x 2
＝x +C
(a >0) 的积分
x
arch x +
C 145
．
＝x a =ln x +C
?
46
．
+C
x
47
．
C
48
．
x ＝
+C
x 49
．
a 2ln x ++C
?
2x
+ln x ++C
50
．＝
151
．
?a arccos a
x
+C
52
．
＝a 2
x +C
53
．
x 2
a 2ln x ++C
x
x 223454
．?
＝8(2x -5a 8a ln x ++C 55
．?
x
C
x
x 4
56
?
x ＝8(2x 2-a 2a ．
8ln x ++C
a arccos a +C 57
．
?
x x ＝x 58
．
?
x 2
x ＝-x +ln x ++C
(a >0) 的积分
59
．
＝
arcsin
x a +C
60
．
?
+C
x
61
．
＝C
62
．
?
x
+C
x ＝a x 63
．
2arcsin a +C
?
2x
arcsin
x -a +C 64
．
165
．
?
a +C
66
．
＝-a 2
x +C
x 67
．
a 2
2arcsin x a +C
x x 68
．?
＝8(5a 2-2x 234x 8a arcsin a +C
69
．?
x
＝C
70
?
x x
x 4
＝8(2x 2-a 2a 8arcsin x ．
a +C
a 71
．
x ＝
+C
?
x
72
．
x 2x ＝-x -arcsin a +C
(a >0) 的积分
2ax +b ++C 73
．
?
74
．?
x
+
2++C
2ax +b 75
．
x
2ax +b ++C
76
．
?
＝
+C
277
．?
x +C ＝
x
78
．
＝+C
x (x -b (b -a +C
79
．
＝
x (x -b 80
．
(b -a C ＝ 81
．
?
C
(a
x (b -a ) 2C 82
．?
4 （十一）含有三角函数的积分
83．?sin x d x ＝-cos x +C
84．?cos x d x ＝sin x +C 85．?
tan x d x
＝
-ln cos x +C
86．?cot x d x ＝ln sin x +C
87．?sec x d x ln tan(π+x
) +C ＝42＝ln sec x +tan x +C csc x d x ln tan
x
88．?＝
2+C
＝ln csc x -cot x +C
(a
89．?
sec 2
x d x
＝tan x +C 90．
?csc 2x d x
＝-cot x +C
91．?sec x tan x d x ＝sec x +C
92．?
csc x cot x d x
＝-csc x +C
2
x 93．?sin x d x ＝2-1
4sin 2x +C 2
x 94．?cos x d x ＝2+1
4sin 2x +C
sin n
95．?x d x ＝-1n sin n -1x cos x +n -1n ?sin n -2x d x
?cos n
x d x
1n -196．
＝n cos x sin x +n -1n -2
n ?cos x d x
d x 97．?sin n x ＝-1n -1?cos x n -2d x sin n -1x +n -1?sin n -2
x d x 198．?cos n x ＝n -1?sin x n -2d x
cos n -1x +n -1?cos n -2
x
?cos m
x sin n
99．x d x 1＝m +n cos m -1x sin n +1x +m -1m +n ?cos m -2x sin n
x d x
1＝-
m +n cos m +1x sin n -1x +n -1
n cos m x sin n -2m +?x d x ?sin ax cos bx d x -
1cos(a +b ) 1
100．＝2(a +b ) x -2(a -b ) cos(a -b ) x +C sin ax sin bx d x -
1sin(a +b ) x +1sin(a -b ) x +C 101．?＝2(a +b ) 2(a -b )
1sin(a +b ) x +1sin(a 102．?cos ax cos bx d x ＝2(a +b ) 2(a -b ) -b ) x +C
d x a tan
x
+b 103．?
a +b sin x +C (a 2>b 2)
d x +sin x 104．?
a +b ＝
C
(a 2
d x
x ) 105．?
a +b cos x 2+C (a 2>b 2)
d x +C 106．?
a +b cos x ＝
(a 2
d x 1107．?a 2cos 2x +b 2sin 2x ＝ab arctan(b
a tan x ) +C
108．?d x 1a 2cos 2x -b 2sin 2x ＝2ab ln b tan x +a b tan x -a +C 109．?x sin ax d x 1＝a 2
sin ax -1
a x cos ax +C
x 2
1110．?sin ax d x ＝-
a x 2cos ax +2a 2x sin ax +2
a 3
cos ax +C
111．?x cos ax d x 1＝a 2
cos ax +1
a x sin ax +C
?x 2
1112．cos ax d x ＝a x 2sin ax +2a 2x cos ax -2
a 3
sin ax +C
（十二）含有反三角函数的积分（其中a >0）
x x 113．?
arcsin a x ＝x arcsin a ++C
x 2a 2x 114．?
x arcsin x a d x ＝(2-4)arcsin a +C
?
x 2
115．arcsin x a x x 3＝3arcsin x a +19(x 2+2a 2C
116．?
arccos x a x ＝x arccos x a -C
117．?
x arccos x a x ＝(x 2a 2x 2-4)arccos a -C ?
x 2
x x 3x 12118．arccos a d x ＝3arccos a -9(x +2a 2C
119．?arctan x a d x ＝x arctan x a -a 2ln(a 2+x 2) +C 120．?x arctan x a d x 1＝2(a 2+x 2)arctan x a -a 2x +C
?2
x 3x a 3121．x arctan x a d x 2a ＝3arctan a -6x +6ln(a 2+x 2) +C
（十三）含有指数函数的积分
?a x
122．d x 1＝ln a a x
+C
e ax
1123．?d x ＝a e ax
+C
?ax
1
124．x e d x ＝a 2
(ax -1)e ax +C
x n e ax
125．?d x 1＝a x n e ax -n a ?x n -1e ax
d x
xa x 126．?d x x a x -1＝ln a (lna ) 2a x +C
n x
1n x n n 127．
?x a d x
＝ln a x a --1x
ln a ?x a d x
e ax
1
128．?sin bx d x ＝a 2+b 2
e ax (a sin bx -b cos bx ) +C
?ax 1
129．e cos bx d x ＝a 2+b 2e ax (b sin bx +a cos bx ) +C
ax n 1
130．?e sin bx d x ＝a 2+b 2n 2e ax sin n -1bx (a sin bx -nb cos bx ) n (n
+-1) b 2ax n -2a 2+b 2n 2?e sin bx d x
e ax cos n
131．?bx d x 1
＝a 2+b 2n 2e ax cos n -1bx (a cos bx +nb sin bx ) n (n -1) b 2
ax n
+-2a 2+b 2n 2?e cos bx d x （十四）含有对数函数的积分
132．?ln x d x ＝x ln x -x +C
133．?d x x ln x ＝ln ln x +C
?x n
134．ln x d x 1
＝n +1x n +1(lnx -1
n +1) +C
n
135．?(lnx ) d x ＝x (lnx ) n -n ?(lnx ) n -1d x
136．?x m (lnx ) n d x 1m +1n n m
＝m +1x (lnx ) -m +1?x (lnx ) n -1d x
（十五）含有双曲函数的积分
137．?sh x d x ＝ch x +C
138．?ch x d x ＝sh x +C
139．?th x d x ＝ln ch x +C
2
140．?sh x d x ＝-x
2+1
4sh2x +C
ch 2
141．?x d x x
＝2+1
4sh2x +C
11
（十六）定积分
π
142．?-πcos nx d x π＝?-πsin nx d x ＝0
π
143．?-πcos mx sin nx d x ＝0
π?0, m ≠n
144．?-πcos mx cos nx d x ?＝?π, m =n
π?0, m ≠n
145．?-πsin mx sin nx d x ?＝?π, m =n
??0, m ≠n
146．?π
0sin mx sin nx d x ＝?π
0cos mx cos nx d x ?＝?π
?2, m =n
ππ
2n 2
147． I n ＝?0sin x d x ＝?0cos n x d x
n -1
I n ＝n I n -2 I -1
n =n
n ?n -342
n -2? ?5?3 （n 为大于1的正奇数），
I -1n -331π
n =n
n ?n -2? ?4?2?π
2（n 为正偶数），I 0＝2
I 1＝1 12
范文四：常用微积分公式
常用微积分公式
2008-09-23 17:08
?5.3 基本积分公式
重点与难点提示
基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好
坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.
因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到
基本积分公式.
(1) ( 5.6 )
(2) ( 5.7 )
(3) ( 5.8 )
(4) ( 5.9 )
(5) ( 5.10 )
(6) ( 5.11 )
(7) ( 5.12 )
(8) ( 5.13 )
(9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 )
(11) ( 5.16 )
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
公式(1)为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式(2)、(3)为幂函数 的积分，应分为与 .
当 时， ，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当 时，有 .
当 时，
公式(4)、(5)为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故 ( ， )式右边的 是在分
母，不在分子，应记清.
当 时，有 .
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数;指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式(10)是一个关于无理函数的积分
公式(11)是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分 .
分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解:
(为任意常数 )
例2 求不定积分 .
分析:先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分
公式求积分的形式.
解:由于 ，所以
(为任意常数 )
例3 求不定积分 .
分析:将 按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.
解:
(为任意常数 )
例4 求不定积分 .
分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.
解:
(为任意常数 )
例5 求不定积分 .
分析:基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式:
解:
(为任意常数 )
同理我们有:
(为任意常数 )
例6
(为任意常数 )
范文五：定积分常用公式
二、基本积分表(188页1—15，205页16—24)
(1) (k是常数) kdxkxC,，,
,，1x,(2) xdxC,，,(1)u,,,,，1
1(3) dxxC,，ln||,x
dx(4) ,，arlxCtan2,1，x
dx(5) ,，arcsinxC,21,x
(6)cossinxdxxC,， ,
(7)sincosxdxxC,,， ,
1(8) dxxC,，tan2,cosx
1(9) dxxC,,，cot2,sinx
sectansecxxdxxC,，(10) ,
csccotcscxxdxxC,,，(11) ,
xxedxeC,，(12) ,
xax(13)， (0,1)aa,,且adxC,，,lna
shxdxchxC,，(14) ,
chxdxshxC,，(15) ,
11x(16) dxarcC,，tan22,axaa，
1
11xa,(17) dxC,，ln||22,xaaxa,，2
1x(18) dxarcC,，sin,22aax,
122(19) dxxaxC,，，，ln(),22ax，
dx22(20) ,，,，ln||xxaC,22xa,
(21)tanln|cos|xdxxC,,， ,
(22)cotln|sin|xdxxC,， ,
)secln|sectan|xdxxxC,，， (23,
cscln|csccot|xdxxxC,,，(24) ,
注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立，是以为自变量的函数。 xuux
3、复习三角函数公式:
1cos2，x22222， sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx，,，,,cosx,2
1cos2,x2。 sinx,2
fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由，此步为凑微分过程，所以第一,,
类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
2
小结:
1常用凑微分公式
积分类型换元公式11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a
u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx),,x
4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第
1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换
6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,,
u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法
u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,
1u,arctanx10.f(arctanx)dx,f(arctanx)d(arctanx)2,,1，x
111.f(arcsinx)dx,,f(arcsinx)d(arcsinx)u,arcsinx,,21,x
3
