范文一：样本的标准差

样本的标准差

计算公式

标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值， 与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式：

假设有一组数值X1,X2,X3,......XN（皆为实数），其平均值（算术平均值）为μ，公式如图1。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为。 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认

范文二：标准差的计算

标准差的计算

标准差用σ表示，其公式如下： ∑(X-) 2

σ= （简单式） n

σ=∑(X-X ) 2f （加权式） ∑f

例如，有甲、乙两个生产小组各自生产产品的数量资料（如表4-11）。

现计算如下： ∑(X-X) 2 σ甲= ==1. （件）4n 5

2∑（X-6200 σ乙= ==35. （件）2n 5

计算结果表明，甲组的标准差比乙组小，乙组的标志变异程度比甲组大，故甲组平均日产量的代表性强。若为有次分布的资料，则用加权式计算标准差。例如，有某企业工人日产量资料（如表4-12）

该企业工人的平均日产量为：

X=∑xf 41000==41(件) ∑f 1000

该企业工人日产量的标准差为：

∑(X-X ) 2f 74000σ===8. 6(件) ∑f 1000

范文三：计算样本的平均数和标准差。

计算样本的平均数和标准差。

算法分析:计算样本数据的方差和标准差的算法是:

S1 :输入样本数据;

S2 :求样本数据的平均数;

S3 :求没个样本数据与样本平均数的差，;

S4 :求，;

S5 :求样本方

S6 :求样本标准差。

MATLAB程序如下:

; %是一个长度为50的数组

; %求向量中样本元素的平均值存入

; %求每个样本数据与样本平均值的差存入

; %求中每个元素的平方

; %求样本方差

; %求样本标准差

%输出样本方差

%输出样本标准差

(补充)学习算法的意义

“计算机既是数学的创造物，又是数学的创造者”，而算法既是计算机的理论和实践的核心，也是数学最基本的内容之一。在进入信息化社会的今天，算法基础知识、方法、思想日益融入人们社会生活，已经成为现代人就应具备的一种基本素质。因而，学生学习算法也具有重要意义。

?算法学习有助于全面理解运算能力

人们常常误认为运算只是按照各种给定的法则进行加、减、乘、除，从而学习运算就是简单地背诵书本中给出的计算法则，形成基本的计算技巧，即根据熟记的法则，迅速准确地算出给定式子的答案。

事实上，按算法规则进行推理得出式子的正确结果，仅仅是计算的很小的一个组成部份，更重要的是，在运算中构造、设计、选择一个合理的算法，理解相应的算理。前面给出的若干算法案例，正是运用算法解决问题的设计和实施过程。在算法学习中，可以让学生给出同一问题的不同算法，比较这些算法的优劣，做出合理选择，从而提高学习效率，参与真正运算的全过程，这样，算法学习全面理解运算能力的涵义。

?算法学习能够培养学生的逻辑思维能力

算法是解题方法的精确描述。算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。因此，将解决具体问题的方法整理成算法的过程是一个条理化和逻辑化的过程，有助于培养学生的逻辑思维能力。

算法还是连接人和计算机的纽带，如果将解决问题的算法交给计算机完成，则人的思维过程，判断过程都必须精心地设计在算法中，作为指令交给不会思考的计算机完成。

例如，我们需要写一个算法让计算机解关于的一元一次方程:。其中参数由键盘任意输入，让计算机输出结果。这时，要针对的不同输入值进行分类讨论:

(1)输入

(2)若,则输出;

(3)若,还要对进行讨论:

?若,方程的解是全体实数;

?若,方程没有实数解;

可见，哪怕是再简单不过的问题，也需要设计精确的算法，使任何人(包括计算机)按照这个步骤执行都能得到问题的正确解。

由此可见，书写算法的过程是一个思维整理的过程，是一个精确化、条理化、系统化的过程，也是培养学生逻辑思维能力的过程。

?算法学习有助于培养学生程序化的思想

“算法初步”这一模块的学习要注意学生对算法基本思想的理解，练习中要结合实例，有条件的学校，应尽可能上机尝试和操作。

另一方面，算法思想方法应参考在高中数学课程乃至大学阶段的有关内容之中，鼓励学生尽可能运用算法解决问题，使程序化思想成为我们思考问题的习惯，其过程可概括如下:

范文四：标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差

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标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差 标准差(Standard Deviation) 也称均方差(mean square error)

各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，它是离均差平方和平均后的方根。用σ表示。因此标准差是方差的算术平方根。

例如:如果有n个数据X1 ,X2 ,X3 ......Xn ,数据的平均数为X，标准差σ:

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组的标准差为2.37分(此数据时在R统计软件中运行获得)，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述，EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEVP函数就是下面评论所说的另外一种标准差，也就是总体标准差。在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”

在R统计软件中标准差的程序为: sum((x-mean(x))^2)/(length(x)-1)

因为有两个定义,用在不同的场合:

如是总体,标准差公式根号内除以n,

如是样本,标准差公式根号内除以(n-1),

因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1),

外汇术语:

标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。

阐述及应用

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较)，则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，不然找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

标准差的简易计算公式

假设有一组数值 x1, ..., xN (皆为实数)，其平均值为:

此组数值的标准差为:

一个较快求解的方式为:

一随机变量X 的标准差定义为:

须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量 X 为 x1,...,xN 具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。从一大组数值当中取出一样本数值组合

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x1,...,xn ，常定义其样本标准差:

范例

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为 { 5, 6, 8, 9 } :

第一步，计算平均值

n = 4 (因为集合里有 4 个数)，分别设为: 用 4 取代 N 此为平均值。

第二步，计算标准差 用 4 取代 N 用 7 取代

标准差与平均值之间的关系

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一"自然"的测量。较确切的叙述为:假设 x1, ..., xn 为实数，定义其公式

使用微积分，不难算出 σ(r) 在下面情况下具有唯一最小值:

方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/n 标准差=方差的算术平方根

标准差计算公式的来源

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。虽然样本的真实值是不能知道，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。 一组数据怎样去评价与量化它的离散度?有很多种方法:

1.极差

最直接也是最简单的方法，即最大值,最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这一方法最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。

2.离均差的平方和

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差(我们叫它离均差)加起来就能反映出一个准确的离散程度，越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数相加为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法:一种是取绝对值，也就是 常说的离均差绝对值相加。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法,,平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方累加成了评价离散度一个指标。

3.方差(S2)

由于离均差的平方累加值与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。

我们知道，样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度(n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

4.标准差(SD)

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

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范文五：标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差标准差

标准差的有关介绍及标准差计算公式标准差 标准差(Standard Deviation) 也称均方差(mean square error)

各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离均差平方和平均后的方根。用σ表示。因此标准差是方差的算术平方根。

例如：如果有n个数据X1 ,X2 ,X3 ......Xn ,数据的平均数为X，标准差σ：

标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

关于这个函数在EXCEL中的STDEVP函数有详细描述，EXCEL中文版里面就是用的“标准偏差”字样。但我国的中文教材等通常还是使用的是“标准差”。

在EXCEL中STDEVP函数就是下面评论所说的另外一种标准差，也就是总体标准差。在繁体中文的一些地方可能叫做“母体标准差”

在R统计软件中标准差的程序为： sum((x-mean(x))^2)/(length(x)-1)

因为有两个定义,用在不同的场合:

如是总体,标准差公式根号内除以n,

如是样本,标准差公式根号内除以（n-1),

因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以（n-1),

外汇术语：

标准差指统计上用于衡量一组数值中某一数值与其平均值差异程度的指标。标准差被用来评估价格可能的变化或波动程度。标准差越大，价格波动的范围就越广，股票等金融工具表现的波动就越大。 阐述及应用

简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

样本标准差

在真实世界中，除非在某些特殊情况下，不然找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

标准差的简易计算公式

假设有一组数值 x1, ..., xN （皆为实数），其平均值为：

此组数值的标准差为：

一个较快求解的方式为：

一随机变量X 的标准差定义为：

须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量 X 为 x1,...,xN 具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。从一大组数值当中取出一样本数值组合 x1,...,xn ，常定义其样本标准差：

范例

这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为 { 5, 6, 8, 9 } ：

第一步，计算平均值

n = 4 （因为集合里有 4 个数），分别设为： 用 4 取代 N 此为平均值。

第二步，计算标准差 用 4 取代 N 用 7 取代

标准差与平均值之间的关系

一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一

方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/n

标准差=方差的算术平方根

标准差计算公式的来源

标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。虽然样本的真实值是不能知道，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。 一组数据怎样去评价与量化它的离散度?有很多种方法：

1.极差

最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。这一方法最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。

2.离均差的平方和

由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差）加起来就能反映出一个准确的离散程度，越大离散度也就越大。

但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数相加为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对值，也就是 常说的离均差绝对值相加。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方累加成了评价离散度一个指标。

3.方差（S2）

由于离均差的平方累加值与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。

我们知道，样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1），它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

4.标准差（SD）

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

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