道3276027
范文一：高中数学 立体几何
高三数学第二轮复习教案
第6讲 立体几何问题的题型与方法
（4课时）
一、考试内容：
平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。
平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的
距离。
直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线
在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。
平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质
多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。
二、考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画
出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌
握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的
距离）。
（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理
解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、
直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。
（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面
角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（5）会用反证法证明简单的问题。
（6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
（9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
（10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
三、复习目标
1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置
关系) 的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理) 、判定方法及有关性
质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并
探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空
间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．
2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角) 概念
的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通
过计算求出它们的大小) ；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面
的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面) 和垂直线(面) 的技能；通过有关空间角
的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．
3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用
到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问
题之间的内在联系，提高解题能力．
4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻
辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几
何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补
形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
四、双基透视
高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左
右, 考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查
立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革
的进一步实施, 立体几何考题正朝着“多一点思考, 少一点计算”的发展. 从历年的考题变化
看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证, 角与距离的探求是常考常新的热门话
题.
1．有关平行与垂直(线线、线面及面面) 的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大
量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等) 中不可缺少的
内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较
为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解
决问题的规律——充分利用线线平行(垂直) 、线面平行(垂直) 、面面平行(垂直) 相互转化的思
想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．
2． 判定两个平面平行的方法：
（1）根据定义——证明两平面没有公共点；
（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；
（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3．两个平面平行的主要性质：
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直
接作为性质定理引用。
4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射
影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角
等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定
量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角
θ∈(0，π?π?]，直线与平面所成的角θ∈?0, ?，二面角的大小，可用它们的平面角来2?2?
度量，其平面角θ∈(0，π]．
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个
平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直
来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计
算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用
射影转化为相交直线所成的角；而求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：
(1) 根据定义；
(2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ(图1) ；
(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线
AB (垂足为B ), 或棱l 的垂线AC (垂足为C ) ，连结AC ，则∠ACB ＝θ 或∠ACB ＝π－θ(图2) ；
(4) 设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC
＝π－θ(图3) ；
(5) 利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形
柱正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
直平行六
面体正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求
更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。
⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一
些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注
意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形
的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。
⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，
很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部
分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，
点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．多面体与旋转体的体积问题是《直线、平面、
简单几何体》课程当中相对独立的课题．体积和面积、长度一样，都是度量问题．常用“分
割与补形”，算出了这些几何体的体积．
7．欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E＝2. 计算棱数E 常见方法：
(1)E＝V+F-2；
(2)E＝各面多边形边数和的一半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半。
8．经纬度及球面距离
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线⌒ 面角的度数，设球O 的地轴为NS ，圆O 是0°纬线，半圆NAS 是0°经线，若某地P 是在⌒ 东经120°，北纬40°，我们可以作出过P 的经线NPS 交赤道于B ，过P 的纬线圈圆O 1交⌒ NAS 于A ，那么则应有：∠AO 1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。 ⌒ ⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距
离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。
例如，可以循着如下的程序求A 、P 两点的球面距离。
4πR 3
3
⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；
以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所
有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值. 当小三棱锥的个数无限增加，且所有
这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面
1积的和就变成球面面积, 小三棱锥高变成球半径. 由于第n 个小三棱锥的体积＝S n h n （S n 为3
11423该小三棱锥的底面积, h n 为小三棱锥高），所以V 球＝S 球面·R ＝·4πR ·R ＝πR . 333
⑵在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R ，而在实际问题中常给出球的外
径（直径）.
⑶球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关
系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。
10．主要题型：
⑴以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。
⑵利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。
⑶求球的体积、表面积和球面距离。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化
为平面图形求解。 S 球表=4πR 2 V 球=
五、注意事项
1．须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。
2．与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是
指“二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间三个几
何元素）间“没有公共点”时，它们间的关系均称为“互相平行”。要善于运用平面与平面
平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。
3．注意两个平行平面的画法——直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平
行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即
将“平面α平行于平面β”，记为“α∥β”。
4．空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。
5．在明确“两个平行平面的公垂线”、“两个平行平面的公垂线段”、“两个平行平面的
距离”的概念后，应该注意到，两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等——是
唯一确定的值，且两平行平面间的公垂线段，是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，
此外还须注意到，两平行平面间的距离可能化为“其中一个平面内的直线到另一个平面的距
离”又可转化为“其中一个面内的一个点到另一个平面的距离。
6．三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它
们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角
S 射θ作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos =来求。 S 原
7．有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平
行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的
距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”
来求。
六、范例分析
例1、⑴已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ，如果将角θ的平分线l '
绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的l '处，且与两条直线a,b
θ的大小关系是 （ ） 2
θθθθA. α≤或α≥ B. α>或 α<>
θθC. α> D. α<>
⑵已知异面直线a,b 所成的角为700, 则过空间一定点O, 与两条异面直线a,b 都成600角
的直线有 ( ) 条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶异面直线a,b 所成的角为θ, 空间中有一定点O, 过点O 有3条直线与a,b 所成角都是
60, 则θ的取值可能是 ( ). 0
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②
如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.
分析与解答:
⑴ 如图1所示, 易知直线l '上点Ａ在平面α上的射影是ι上的点B, 过点B 作BC ⊥b, 0000
AC θBC ,tg =. 显然，AC>BC, OC 2OC
θθπθ∴tan α> tan, 又α、∈（0，) ，∴ α＞. 故选C.
2222
⑵如图2所示，过空间一点O 分别作a '∥a, b '∥b, ι 则AC ⊥b. 在Rt △OBC 和Rt △OAC 中，tg α=
0则所求直线即为过点O 且与a ', b '都成60角的直线。 ∵θ=110，∴0θ
2=550∴将两对对顶角的平分线绕 O 点分别在竖直平面内转动，总能得到与 a ', b '都成
60角的直线。故 过点 O 与a,b 都成60角的直线有4条， 00a '
0 θ=110 70. 从而选 D. O 0
⑶过点O 分别作a '∥a, b '∥b, 则过点O 有三条直线与
a,b 所成角都为60，等价于过点O 有三条直线与 图2 0b '
00如图3示，如果θ=30, 或θ=50, a ' a ', b '所成角都为600，
则θ'=150或θ'=130，过 O 点只有两条直线与a ', b ' O 00
000都成60角。如果θ=90，则θ'=90，那么过点 O 有四 θ' b '
条直线与a ', b '所成角都为60。如果θ=60，则θ'=120， 图 3
000
此时过点 O 有三条直线与a ', b '所成角都为600。其中一条
正是θ'角的平分线.
⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面.
说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
例2、如图1，设ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，F 是A 1B 1的中点，
且
(1)求证：AF ⊥A 1C ； (2)求二面角C-AF-B 的大小．
分析：先来看第1问，我们“倒过来”分析．如果已经证得AF ⊥A 1C ，则注意到因为AB=2AA1=2a，ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，从而若设E 是AB 的中点，就有A 1E ⊥AF ，即AF ⊥平面A 1CE ．那么，如果我们能够先证明AF ⊥平面A 1CE ，则就可以证得AF ⊥A 1C ，而这由CE ⊥平面AA 1B 1B 立得．
再来看第2问．为计算二面角C-AF-B 的大小，我们需要找到二面角C-AF-B 的平面角．由前面的分析知，CE ⊥平面AA 1B 1B ，而AF ⊥A 1E ，所以，若设G 是AF 与A 1E 的中点，则∠CGE 即为二面角C-AF-B 的平面角，再计算△CGE 各边的长度即可求出所求二面角的大小．
解：(1)如图2，设E 是AB 的中点，连接CE ，EA 1．由ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，知AA 1⊥平面ABC ，而CE 平面ABC ，所以CE ⊥AA 1，
∵AB=2AA1=2a，∴AA 1=a，AA 1⊥AE ，知AA 1FE 是正方形，从而AF ⊥A 1E ．而A 1E 是A 1C 在平面AA 1FE 上的射影，故AF ⊥A 1C ；
(2)设G 是AB 1与A1E 的中点，连接CG ．因为CE ⊥平面AA 1B 1B ，AF ⊥A 1E ，由三垂线定理，CG ⊥AF ，所以∠CGE 就是二面角C-AF-B 的平面角．∵AA 1FE 是正方形，AA 1=a，
∴EG =1， EA 1=，
∴CG ==22
CG ∴tan ∠
CGE====∠CGE ＝60，从而二面角C-AF-B 的大小为60。 EG 说明：假设欲证之结论成立，“倒着”分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误．
12BE EF ＝，BF ＝＝．在移出图3中， cos 30033
BD 2∵ cosB ＝＝, 3BC
在△BDF 中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ? BF ? cosB
22222 ＝(2) 2＋() －2? 2? ? ＝． 333（注：其实，由于AB ⊥DE ，AB ⊥EF ，∴ AB ⊥平面DEF ，∴ AB ⊥DF ．
又∵ AC ⊥平面β， ∴ AC ⊥DF ． ∴ DF ⊥平面ABC ， ∴ DF ⊥BC ，即DF 是Rt △BDC 斜边BC 上的高，于是由BC ? DF ＝CD ? BD 可直接求得DF 的长．）
在△DEF 中，由余弦定理：
1221+() -3DE 2+EF 2-DF 23cos ∠DEF ＝＝＝. 2DE ?EF 32?1?3
3∴ ∠DEF ＝arccos . 此即平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的大小． 3
解法２、过D 点作DE ⊥AB 于E ，过C 作CH ⊥AB 于H ，则HE 是二异面直线CH 和DE 的公垂线段，CD 即二异面直线上两点C 、D 间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE ? CH ? cosθ (*)
（注：这里的θ是平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的大小，当0. 故选
2222
a ' ι b ' （２）Ｄ（３）Ｃ
图１
例2、已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
（1）求证：MN ⊥AB ；
（2）设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN 是异
面直线AB 与PC 的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.
解：（1）∵PA ⊥矩形ABCD ，BC ⊥AB ，∴PB ⊥BC ，PA ⊥AC ，即△PBC 和△PAC 都是
1以PC 为斜边的直角三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB. ∴AN =PC =BN ，20000
（2）∵AD ⊥CD ，PD ⊥CD. ∴∠PDA 为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ. 设AB=a ，PA=b，AD=d，则PM =b 2+12a 4，CM =d 2+1a 2 4
设PM=CM则由N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC 由（1）可知MN ⊥AB ，
∴MN 为PC 与AB 的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。
例3、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 0，
AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=，D 为AB 的中点2
（1）求证：AB 1⊥平面CED ；
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；
（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC ∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1，
∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE
∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1,
∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段
312，AC=1 , ∴CD=. ∴DE =(CE ) 2-(CD ) 2=； 222
（3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC ,
∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.
3在Rt △CEA 中，CE=，BC=AC=1,∴∠B 1AC=600 2
122BB =(AB ) -(AB ) =2, ∴AB 1=， ∴=2112cos 60
BB 1∴ tg ∠B 1CB ==2 , ∴∠B 1CB =arctg 2. BC
说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例4、在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a，S D=2a ，在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC，截面CDE 与SB 交于点F 。
（1）求证：四边形EFCD 为直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C 的平面角的正切值； CD （3）设SB 的中点为M ，当的值是多少时，能使△
AB
为直角三角形？请给出证明. 解：（1）∵ CD ∥AB ，AB ?平面SAB ∴CD ∥平面面EFCD ∩面SAB =EF ， ∴CD ∥EF ∵∠D =900, ∴CD ⊥AD ,
又SD ⊥面ABCD
∴SD ⊥CD ∴CD ⊥平面SAD ，∴CD ⊥ED 又EF
∴EFCD 为直角梯形
（2） CD ⊥平面SAD , EF ∥CD , EF ⊥平面SAD
∴AE ⊥EF , DE ⊥EF , ∴∠AED 即为二面角D —EF —C 的平面角
ED ⊥CD , ∴Rt ?CDE 中EC 2=ED 2+CD 2
而AC 2=AD 2+CD 2且AC =EC
∴ED =AD =α, ∴?ADE 为等腰三角形，∴∠AED =∠EAD ∴tan ∠AED ∵CE=
(3)当CD =2时，?DMC 为直角三角形 . AB
AB =a , ∴CD =2a , BD =AB 2+AD 2=2a , ∠BDC =450 ∴BC =2a , BC ⊥BD ,
∴SD ⊥平面ABCD , ∴SD ⊥BC , ∴BC ⊥平面SBD .
在?SBD 中，SD =DB , M 为SB 中点，∴MD ⊥SB .
∴MD ⊥平面SBC , MC ?平面SBC , ∴MD ⊥MC ∴?DMC 为直角三角形。
例5．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，CB 与CB 1交于点F.
（I ）求证：A 1C ⊥平BDC 1；
（II ）求二面角B —EF —C 的大小（结果用反三角函数值表示）.
解法一：（Ⅰ）∵A 1A ⊥底面ABCD ，则AC 是A 1C 在底面ABCD 的射影. ∵AC ⊥BD. ∴A 1C ⊥BD.
同理A 1C ⊥DC 1, 又BD ∩DC 1=D,
∴A 1C ⊥平面BDC 1.
（Ⅱ）取EF 的中点H ，连结BH 、CH ，
BE =BF =2
2, ∴BH ⊥EF .
同理CH ⊥EF .
∴∠BHC 是二面角B -EF -C 的平面角.
又E 、F 分别是AC 、B 1C 的中点，
∴EF //1
=2AB 1.
∴?BEF 与?CEF 是两个全等的正三角形.
故BH =CH =2BF =6
4.
于是在?BCH 中, 由余弦定理, 得
(6
) 2+(6
) 2-1
∠BHC =BH 2+CH 2-BC 2
cos 1
2BH ?CH =
2?6=-3
4?4
∴∠BHC =arccos(-11
3) =π-arccos 3.
故二面角B -EF -C 的大小为π-arccos 1
3.
解法二：（Ⅰ）以点C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)
∴CA 1=(1, 1, 1, ), =(1, -1, 0), DC 1=(-1, 0, 1). ∴CA 1?=1-1=0, CA 1?DC 1=-1+1=0. 即CA 1⊥BD , CA 1⊥DC 1 又BD ?DC 1=D ,
∴A 1C ⊥平面BDC 1.
（Ⅱ）同（I ）可证，BD 1⊥平面AB 1C. 则就是所求二面角
的平面角补角的大小.
A 1=(-1, -1, -1), D 1=(-1, 1, -1), ∴cos =11
=1
?3=1
3.
故二面角B -EF -C 的大小为π-arccos 1
3.
范文三：高中数学立体几何
高中数学-立体几何
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理． 两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
2. 两个平面可将平面分成. （①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定. （①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行） [注]：三条直线可以确定三个平面
4. 三个平面最多可把空间分成. （X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. （×）（可能两条直线平行） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线. （×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. （×）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．的垂线段和斜线段）
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相
等（如下图）.
（二面角的取值范围θ∈[0 , 180 )） （直线与直线所成角θ∈(0 , 90 ]）
2
方向相同
方向不相同 （斜线与平面成角θ∈(0 , 90 )）
1
1
2
（直线与平面所成角θ∈[0 , 90 ]）
（向量与向量所成角θ∈[0 , 180 ])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行. （×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行. （×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β. （×）（α、β可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平
面平行. （“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. （“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. （“线面垂直，面面垂直”）
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点O ' ，则o o '⊥AC , B O '⊥AC ?AC ⊥平面O O 'B ?AC ⊥BO ?∠FGH 为平行四边形?EFGH 为长方形. 若对角线等，则EF =FG ?EFGH 为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S =4πR 2. ②球的体积公式：V =πR 3.
附：①圆柱体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） ③锥形体积：V =Sh （S 为底面积，h 为高） 4. 内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，h =得
622
a ，S 底=a ，S 侧=a 344
=90°易知
EFGH
4
3
13
13
3263212242a ?a =a ?R +?a ?R ?R =a /3=a ?3=a . 434344344
注：球内切于四面体：V B -AC D =?S 侧?R ?3+底?R =S 底?h 六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （×） [当b =0时，不成立] ③若∥，则存在小任一实数λ，使=λ. （×）[与=不成立] ④若a 为非零向量，则0?a =0. （√）[这里用到λ(≠0) 之积仍为向量]
1
313
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a (≠0) ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使a =λb .
（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （。。。）（4）①共面向量定理：如果两个向量, 不共线，则向量与向量, 共面的充要条件是存在实数对x 、y 使=x +y .
②空间任一点、B 、C ，则OP =x OA +y OB +z OC (x +y +z =1) 是P ABC 四点共面．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．．．．．的充要条件. （简证：OP =(1-y -z ) OA +y OB +z OC =AP =y AB +z AC →P 、A 、B 、C 四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的．．．．a , b , c 不共面．．．有序实数组x 、y 、z ，使p =x a +y b +z c .
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、
z 使 OP =x OA +y OB +z OC (这里隐含x+y+z≠1).
D
注：设四面体ABCD 的三条棱，AB =b , AC =c , AD =d , 其
B
1
中Q 是△BCD 的重心，则向量AQ =(a +b +c ) 用AQ =AM +MQ 即证.
3
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2, a 3), =(b 1, b 2, b 3) ，则
a +b =(a 1±b 1, a 2±b 2, a 3±b 3)
λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R )
a 1a 2a 3
==b 1b 2b 3
a ?b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
a ?a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ? ⊥?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
==a 12+a 22+a 3
2
(
=??=)
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ?b
cos ==
222222|a |?|b |a 1+a 2+a 3?1+b 2+b 3
②空间两点的距离公式：d =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中A ∈α，则点B 到平面α。。
二、常用结论、方法和公式 4. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S底； 9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有
cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V , 面数为F, 棱数为E. 那么V+F－E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S底+S侧
1
14．棱锥的体积:V棱锥=Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。
3
15. 球的体积公式V=πR 3，表面积公式S =4πR 2；
43
范文四：高中数学立体几何
三视图及斜二侧画法
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影. 正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图。 三视图的画法要求：
(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出． (2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽，主左一样高． 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断．
（3）要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球) 的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．
【2010?新课标全国文】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
(宁夏?理?8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．
40003
3
【11年陕西卷文】5．某几何体的三视图如图 所示，则它的体积是
3
cm Ｂ．
8000
3
cm Ｃ．2000cm Ｄ．4000cm
3
3
A ．8-B ．8-
2π3
π
3
C ．8-2π
D ．
2π3
【解析】 分析图中所给的三视图可知，对应空间几何图形，应该是一个棱长为2的正方体中间挖去一个半径为1，高为2的圆锥，则对应体积为：V ＝2×2×2－π×12×2＝8－2π. 斜二测画法-------空间几何体直观图的一种画法.
(1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的x 轴和y 轴, 两轴相交于点O.
(2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上) 画出对应的x' 轴和y' 轴, 两轴相交于点O', 且使 ∠x'O'y' =45度, 它们确定的平面表示水平平面.
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于x' 轴, 长度保持不变; z轴也保持不变.
在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于y' 轴, 且长度为原来一半. (4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
(5) 擦去辅助线: 图画好后, 要擦去x' 轴,y' 轴及为画图添加的辅助线. 用斜二测画法作几何体直观图的一般步骤：
1. 画轴. 画x.y.z 三轴交原点，使xOy=45°
，xOz=90°. 2. 画底面. 在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点. 3. 画侧棱或横截面侧边. 使其平行于z 轴.
4. 成图
. 连接相应端点，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线等.
斜二测画法口诀：
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
例题：1、求边长为2的等边三角形用斜二测画法作出的三角形的面积。
2、求边长为2的正方形用斜二测画法作出的四边形的面
积。
正六面形的斜二测画法示意图
（结论：水平放置的任意多边形形在斜二测画法下的直观图的面积是原图形面积的
【2011 广东 理 7】 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）
A. D. 【2011 山东 文11】 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正（主）视 图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D． 0
4
）
【2012 湖北 理 4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.
8π3
B.3π C.
10π3
D.6π
【11年安徽卷理】（6则该几何体的表面积为
（A ） 48 （B ）32+8 （C ） （D ）80
正（主）视图 俯视图
侧（左）视图
（2012海南卷文科）
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18
球体：定义：空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球，如图右图所示的图形为球体。 球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
半径是R 的球的体积 计算公式是：V =
43
3
πR 表面积 计算公式是：S =4πR
2
球的截面的性质 用一个平面去截球，截面是圆面，球的截面有如下性质： （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（2）球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半 径r 有如下关系：
例1、【2008 山东 6】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D. 12π
例2、【2010 全国新课标 文 7】设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A.3πa 2 B.6πa 2 C.12πa 2 D .24πa 2
例3、【2011湖北 文 7】设球的体积为V A. V C. V
例4、【2007 陕西 理 6】一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
334
，它的内接正方体的体积为V 大约多两倍半 大约多一杯半
，下列说法中最合适的是（ ）
比V 比V
大约多一半 B. V 大约多一倍 D. V
比V 比V
B．
33
C．
34
D．
312
例5、【2011 四川 文 15】如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧
面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．
例6、【2010 湖北 文14】圆柱形容器内盛有高度为3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.
例7、【2006 广东】若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 例8、【2008四川 ８】设M , N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP =MN =OM ，分别过N , M , O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( ) A. 3,5,6 B. 3, 6, 8 C.5, 7, 9 D. 5, 8, 9
例9、【2006 江西】如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）
A. S 1S 2 C. S 1=S2
D. S 1，S 2的大小关系不能确定
C
例11、【2011—2012学年度 唐山市高三年级第一学期期末考试】 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几
何体的外接球的表面积为 （ ）
16π
A ．
8π
B ．3 D
．
3
C
．【2010 江西 理 16】如图，在三棱锥O -ABC 中，三条棱OA ，OB ，
OC 两两垂直，且OA >OB >OC , 分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，
截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 。 。
【2011 辽宁 文 10】 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，
∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为( )
A
．
3
B
3
3
D
3
12、【2006 山东】如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2, ∠DAB =60°, E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为( )
A.
43π27
B.
6π2
C.
6π8
D.
6π24
【2012 江西 理19】（本题满分12分） 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA1
=
BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
1
（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； （2）求平面A1B1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值。
【2009 湖南 文】平面六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1中，既与A B 共面也与C C 1共面的棱的条数为（ ） A ．3 B．4 C．5 D．6
1
【2010 全国卷2 文 11】与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点（ ） A. 有且只有1个 B.有且只有2个 C. 有且只有3个 D.有无数个
【2010 全国卷2 文8】 已知三棱锥S -A B C 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角 形，
SA 垂直于底面
ABC ，SA =3，那么直线A B 与平面SBC
所成角的正弦值为( )
4
4
A.
C.
4
D.
34
4、【2010 江西 理10】 过正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线L ，使L 与棱A B , A D , A A 1所成的角都相等，这样的直线L 可以作( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5、 【2010 江西 文11】 如图，M 是正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1的棱
D D 1的中点，给出下列命题
B
B 1
1
M
1
①过M 点有且只有一条直线与直线A B 、B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线A B 、B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线A B 、B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线A B 、B 1C 1都平行. 其中真命题是：( )
A ．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
6、【2009 全国卷Ⅰ理】已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线A B 与C C 1所成的角的余弦值为( )
A.
4
B.
4
C.
4
D.
34
7、【2009 全国卷Ⅰ理】已知二面角α-l-β为60
o
，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β
的距离为
Q 到α
的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）
B.2 C.
A.
8、【2012 江西 理10】 如右图，已知正四棱锥S -A B C D 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE =x (0
V (x ), 则函数y =V (x ) 的图像大致为 ( )
【2008四川 ９】 设直线l ?平面α，过平面α外一点A 与l , α都成30角的直线有且只有：( ) A. １条 B. ２条 C. ３条 D. ４条
（2009江西卷文）如图，在四面体A B C D 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为 ．．
A . A C ⊥B D B . AC ∥截面PQMN
A
P D
M
C . A C =B D D . 异面直线P M 与B D 所成的角为45
11、【2006 天津】如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1．若二面角
C -AB -C 1的大小为60，则点C 到平面ABC 1的距离为_____________．
Q
C
作业：
1、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
．．．
【吉水中学2012高三周考理科数学试题（四）】
如图，点p 是球O 的直径AB 上的动点，PA =x ，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y =f (x ) 的图像是（ ）
B ．
C ．
D ．
A ．
【2006 全国卷I 】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A ．16π B．20π C．24π D．32π
【2010 辽宁 理 12】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）
A.（
B.（
1, ）
C.(
-
D.（
0, ）
（2009宁夏海南卷理）如图，正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个
2
动点E ，F
，且EF =（A ）A C ⊥B E （B ）EF //平面ABCD
，则下列结论中错误的是
（C ）三棱锥A -BEF 的体积为定值 （D ）异面直线AE , BF 所成的角为定值
（15）若四面体A B C D 的三组对棱分别相等，即A B =C D ，
A C =B D ，A D =B C ，
则________.(写出所有正确结论编号) ①四面体A B C D 每组对棱相互垂直 ②四面体A B C D 每个面的面积相等
③从四面体A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90ο而小于180ο ④连接四面体A B C D 每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD=1，AD=22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B-EF-A 的正切值；
（Ⅲ）若G 为棱DE 的中点，平面ABG 将五面体ABCDEF 截为上下两部分，求这两部分的体积之比。
如图，在长方体ABCD – A1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1,D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH//A1D 1。过EH 的平面与棱BB 1,CC 1相交，交点分别为F ，G 。
（I ）证明：AD//平面EFGH ；
（II ）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE – D 1DCGH 内的概率为p 。当点E ，F 分别在棱A 1B 1, B 1B 上运动且满足EF=a时，求p 的最小值。
范文五：高中数学立体几何
高中数学第九章-立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图; 能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
（5）会用反证法证明简单的问题．
（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
9（B ）．直线、平面、简单几何体
考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求：
（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形. 能够根据图形想像它们的位置关系．
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念. 掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念. 掌握空间向量的坐标运算．
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念. 对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
（11）了解球的概念. 掌握球的性质. 掌握球的表面积、体积公式．
（考生可在9（A ）和9（B ）中任选其一）
§09. 立体几何 知识要点
一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成. （①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定个平面. （①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有个.
4. 三个平面最多可把空间分成. （X 、Y 、Z 三个方向）
二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. （×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线. （×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. （×）（并非是从平面外一点向这个平面所引．．
的垂线段和斜线段）
⑦a , b 是夹在两平行平面间的线段，若a =b ，则a , b 的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. （不在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.
（二面角的取值范围θ∈[0 , 180 )） 1 1 2 （直线与直线所成角θ∈(0 , 90 ]） 2 （斜线与平面成角θ∈(0 , 90 )） （直线与平面所成角θ∈[0 , 90 ]） 方向相同方向不相同
（向量与向量所成角θ∈[0 , 180 ])
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）
相等.
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
l 1, l 2是异面直线，则过l 1, l 2外一点P ，过点P 且与l 1, l 2都平行平面有一个或没有，但与l 1, l 2距离相等的点在同一平面内. （L 1或L 2在这个做出的平面内不能叫L 1与L 2平行的平面）
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （“线线平行，线面平行”）
[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行. （×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行. （×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β. （×）（α、β可能相交）
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平P
面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
O ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），
得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .
● 三垂线定理的逆定理亦成立. A
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面. （“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行. （×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面．．．．．．．．．平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行. （√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行. （√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影．．
相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线. （×）]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行. （“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. （“面面平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. （“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线P 也垂直于另一个平面. 证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于l 1, l 2，
因为PM ?β, OA ⊥β, PM ?α, OB ⊥α则PM ⊥OA , PM ⊥OB . αO β
6. 两异面直线任意两点间的距离公式：l =m 2+n 2+d 2+2mn cos θ（θ为锐角取加，为
θθ12
图2
图1
?π?钝取减，综上，都取加则必有θ∈ 0, ?） 2??
7. ⑴最小角定理：cos θ=cos θ1cos θ2（θ1为最小角，如图）
⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.
五、
1. 棱柱.
⑴①直棱柱侧面积：S =Ch （C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积：S =C 1l （C 1是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
⑵{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}. {直四棱柱}?{平行六面体}={直平行六面体}.
棱锥、棱柱.
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱．．．．．．．．柱的各个侧面都是全等的矩形. ．．．．．
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ．．
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. ．．．．．．．．．．．．．
[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和
.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为α, β, γ，则c o 2s α+c o 2s β+c o 2s γ=1.
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为α, β, γ，则c o 2s α+c o 2s β+c o 2s γ=2.
[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. （×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱. （×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ．
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体. （×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V 棱柱=Sh =3V 棱柱.
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形. （不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：S =1Ch ' （底面周长为C ，斜高为h ' ） 2
S 底
cos α（侧面与底面成的二面角为α） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S 侧=
附： c 以知c ⊥l ，cos α?a =b ，α为二面角a -l -b .
则S 1=11a ?l ①，S 2=l ?b ②，cos α?a =b ③ ?①②③22
得S 侧=S 底
cos α.
注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥. （×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii.
B
简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ? BC⊥AD. 令=, =, = D
E F
得=-=-, =??=-，已知a ?c -b =0, b ?a -c =0
A ))O'
B C ?a c -b c =0则BC ?AD =0.
iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点O ' ，则o o '⊥AC , B O '⊥AC ?AC ⊥平面O O 'B ?AC ⊥BO ?∠FGH =90°易知EFGH 为平行四边形?EFGH 为长方形. 若对角线等，则EF =FG ?EFGH 为正方形.
3. 球：⑴球的截面是一个圆面.
①球的表面积公式：S =4πR 2.
4②球的体积公式：V =πR 3. 3O
⑵纬度、经度：
①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上A , B 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.
附：①圆柱体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） 1②圆锥体积：V =πr 2h （r 为半径，h 为高） 3
1③锥形体积：V =Sh （S 为底面积，h 为高） 3R O
4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，h =得622a ，S 底=a ，S 侧=a 3442632122426a ?a =a ?R +?a ?R ?R =a /3=a ?3=a . 434344344
11V =?S ?R ?3+S 底?R =S 底?h 注：球内切于四面体：B -AC D 侧33
②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.
六. 空间向量.
1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线. （×） [当b =0时，不成立] ②向量a , b , c 共面即它们所在直线共面. （×） [可能异面] ③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使a =λb . （×）[与b =0不成立] ④若a 为非零向量，则0?a =0. （√）[这里用到λb (b ≠0) 之积仍为向量]
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a , b (b ≠0) ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使a =λb .
（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.
（4）①共面向量定理：如果两个向量a , b 不共线，则向量P 与向量a , b 共面的充要条件是存
在实数对x 、y 使P =x a +y b .
②空间任一点和不共线三点、B 、C ，则OP =x OA +y OB +z OC (x +y +z =1) 是PABC 四点．．．O ．．．．．．．A ．．．．．共面的充要条件. （简证：OP =(1-y -z ) OA +y OB +z OC =AP =y AB +z AC →P 、A 、B 、C 四点共面）
注：①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量，存在一个唯一．．．．, , 不共面．．．
的有序实数组x 、y 、z ，使=x +y +z .
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、
z 使 =x +y +z (这里隐含x+y+z≠1).
D
注：设四面体ABCD 的三条棱，AB =b , AC =c , AD =d , 其 B
1中Q 是△BCD 的重心，则向量AQ =(a +b +c ) 用AQ =AM +MQ 即证. 3
3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①令a =(a 1,a 2, a 3), b =(b 1, b 2, b 3) ，则
a +b =(a 1±b 1, a 2±b 2, a 3±b 3) λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) a ?b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 ∥b ?a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ?
==a 12+a 22+a 32a 1a 2a 3== a ⊥b ?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0
b 1b 2b 3(
=a ?a =)
a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ?b cos ==222222|a |?|b |a 1+a 2+a 3?1+b 2+b 3
②空间两点的距离公式：d =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2.
（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α那么向量叫做平面α的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射
线，其中A ∈α，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设1, n 2分别是二面角α-l -β中平面α, β的法向量，则n 1, n 2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n 1, n 2方向相同，n 1, n 2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a ≠?平面α，A ?B ∈a , C ?D ∈α，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对λ?μ使AB =λCD +μCE . （常设AB =λCD +μCE 求解λ, μ若λ, μ存在即证毕，若λ, μ不存在，则直线AB 与平面相交）.
II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°. 2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S △ABC +S2△BCD +S2
2
△ABD
=S2△ACD.
3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形. 根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.
B V ，外接球半径（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = cO
D
A
为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有 1①等腰四面体的体积可表示为V =
3
b 2+c 2-a 2c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2
??； 222
②等腰四面体的外接球半径可表示为R =
24
a 2+b 2+c 2；
23
a 2+b 2+c 2；
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为m =④h = 4r.
二、空间正余弦定理.
空间正弦定理：sin ∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos∠ABCcos ∠CBD+sin∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D
立体几何知识要点
一、知识提纲
（一）空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途． ⑵斜二测画法． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． ⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理． ⑵异面直线的判定：判定定理、反证法． ⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直：定义、判定定理． ⑵三垂线定理及逆定理． 5. 平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6. 平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．
（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离
7. 直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角．
⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8. 距离
⑴点到平面的距离．
⑵直线到与它平行平面的距离．
⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9. 棱柱与棱锥 ⑴多面体．
⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．
⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．
⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10. 多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式． ⑵正多面体． 11. 球
⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式． 二、常用结论、方法和公式
1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ? M ，BF ? N, ∠EAB=θ1, ∠ABF=θ2，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1cos θ2;
3. 立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是θ1，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成θ2，设∠ABC=θ3, 则cos θ1cos θ2=cosθ3； 4. 异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6. 二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； （4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ, 其中θ为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7. 空间距离的求法
（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知
B
C A
1
面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；
8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S底；
9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
α, β, γ, 则有cos
2
α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V, 面数为F, 棱数为E. 那么V+F－E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；
12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长， 表示侧棱长) 14．棱锥的体积:V棱锥=
S 棱柱全=S底+S侧
1
Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。 3
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15. 球的体积公式V=πR 3，表面积公式S =4πR ；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；
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