范文一:勾股定理逆定理
17.2 勾股定理的逆定理
要点感知1 若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则△ABC是__________三角形,__________=90°,这个定理叫做___________________. 要点感知2 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.
要点感知3 一个命题成立,那么它的逆命题__________成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为__________.
预习练习3-1 “两直线平行,内错角相等”的逆定理是______________________________.
知识点1 互逆命题
3.(2014·广州)已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:______________________________,该逆命题是__________命题(填“真”或“假”).
知识点2 勾股定理的逆定理
1.三角形的边长之比为:①1.5∶2∶2.5;②4∶7.5∶8.5;③1
2;④3.5∶
4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.四个三角形边长分别是:①
c=6;②a∶b∶c=1
③
b=3,
④3k,4k,5k(k≠0),其中直角三角形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为(
)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
4.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,三边分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形,并指出哪一个角是直角.
(2)a=5,b=7,c=9;
5.AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
6.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积
.
方法归纳 利用勾股定理解决折叠问题
1 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5 cm,BC=10 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )
A.25152515 cm B. cm C. cm D.
cm 2244
2.(2014·青岛)如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,若AB=6,BC=9,则BF的长为( )
A.4
B.3 C.4.5
D.5
3.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图,长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则FC等于( )
A.1 B.2 C.3
D.4
5.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为
A′,且B′C=3,则AM的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.25
D.2.5
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为
__________.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是__________.
二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题
1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
__________cm.
2.如图,一圆柱体的底面周长为24 cm,高AB为5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )
A.6 cm B.12 cm C.13 cm
D.16 cm
3.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm,底面是边长为4 cm的正方形,从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短?最短长度是多少?
范文二:勾股定理逆定理
一、教学目标
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理.
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
二、重点、难点
1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明.
2.难点:勾股定理的逆定理的证明.
3.难点的突破方法:
先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受.
为学生搭好台阶,扫清障碍.
⑴如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角.
⑵利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决.
⑶先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.
三、课堂引入
创设情境:⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角形的判定进行对比,从勾股定理的逆命题进行猜想.
四、例习题分析
例1、说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
⑴同旁内角互补,两条直线平行.
⑵如果两个实数相等,那么两个实数平方相等.
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
分析:⑴每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用.
⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假.
解略.
本题意图在于使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间的关系.
例2、证明:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直 角三角形.
分析:⑴注意命题证明的格式,首先要根据题意画出图形,然后写已知求证.
⑵如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角.
⑶利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决.
⑷先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证.
⑸先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法.充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受. 内容:在一个三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形
已知△ABC的三边AB=c,BC=a,CA=b,且满足a^2+b^2=c^2,证明∠C=90°。
证法的思路是做一个直角三角形,然后证明它和已知三角形全等,从而已知三角形也是直角三角形。 构造一个直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,a'=a,b'=b。 那么,根据勾股定理,c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2,从而c'=c。 在△ABC和△A'B'C'中, a=a' b=b' c=c' ∴△ABC≌△A'B'C'。 因而,∠C=∠C'=90°。(证毕)
叙述:在一个三角形中如果满足其中二边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形
证明:反证法证明最简单
假设这个三角形不是直角三角形
∵ 此三角形不是直角三角形
∴此三角形不满足勾股定理
∴次三角形中不存在其中二边的平方和等于第三边的平方
与题设矛盾
则假设不成立
所以命题成立
范文三:勾股定理逆定理
理解并能灵活应用勾股定理的逆定理,深刻理解互逆命题与互逆定理
重点:互逆命题的理解
难点:能熟练应用勾股定理逆定理,
知识点 1:互逆命题与互逆定理
(1) 互逆命题:一般的如果两个命题的题设和结论正好相反, 那么这两个命题叫做互逆
命题。如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个就叫做它的逆命题。
(2) 互逆定理:一般的,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,
称为原定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理。
注意 :(1)互逆命题是两个命题形式上的关系,将一个命题的题设和结论互换即可得到它 的逆命题。但是当原命题成立时,它的逆命题不一定成立。
(2)每一个定理都是一个命题,它有逆命题,当且仅当这个逆命题经过证明是正确 的时候,即也是一个定理的时候,才能称为原定理的逆定理。当这个逆命题不成立的时候, 原定理没有逆定理。 知识点 2:勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长度分别是 , , a b c ,并且满足 2
2
2
a b c +=, 那么这个三角形是直 角三角形。
注意:(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三条边长,且满 足两条较小的边的平方和等于最长边的平方, 才可判断此三角形是直角三角形, 最长边所对 的角为直角。
(2)在应用勾股定理的逆定理时,注意计算准确,要写计算过程。 知识点 3:勾股数
(1)满足 2
2
2
a b c +=的三个正整数 , , a b c 就是一组勾股数
(2)对于任意两个整数 , (0) m n m n >>, 2
2
2
2
, ,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾 股数,可见勾股数有无数组。
(3) 常见的勾股数有① 3,4,5 ② 6, 8, 10 ③ 8,15,17 ④ 7,24,25 ⑤ 5,12,13 ⑥ 9,12,15
例题 1:写出下列命题的逆命题,并判断真假。 (1) 同位角相等,两直线平行。 (2) 如果 x=2,则 2
x =4
解:(1)逆命题是:两直线平行,同位角相等。它是真命题。 (2)逆命题是:如果 2x =4,则 x=2。它是假命题, x 可以取到±2
例题 2:判断由线段 , , a b c 组成的三角形是不是直角三角形。
(1) 7, 24, 25a b c ===
(2) 20, 21, 29a b c ===
解(1)∵ 222
25247=+
∴ 2
2
2
c a b =+ ∴是直角三角形。
(2)∵ 2
2
2
292021=+
∴ 2
2
2
c a b =+
∴是直角三角形。
注意:计算时只需判断两较小边与较大边的平方之和是否相等即可。
【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。 例题 3:在下列线段中能组成直角三角形三边的是( )
A 7,10,13 B 222
6,8,10
111, , 345
【变式练习】 1、以下列各组数作为三角形的三边,其够组成直角三角形的是( ) A . 6, 7, 8 B. 5, 6, 7 C . 4, 5, 6 D. 5, 12, 13
例题 4:已知 a 、 b 、 c 是△ ABC 的三边,且满足 a 2+b2+c2+50 =6a+8b+10c,试判断△ ABC 的形状.
【变式练习】 2
、已知在△ ABC 中, AB :BC :CA=1:3ABC
是否是直角三角形。
例题 5:判断:三边长分别为 2222,21,221(0) n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角 形
【变式练习】 3、若△ ABC 三边满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ ABC 的形状。
例题 6:在正方形 ABCD 中, F 是 DC 边中点, E 是 BC 上的一点, 且 EC=
1
4
BC 。 求证∠ EFA=90°。
【变式练习】 4、如图,在四边形 ABCD 中,∠ A=90°, AD=3, AB=4, CD=13, CB=12,求四边 形 ABCD 的面积是多少。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题 7:如图在△ ABC 中, AB=5, AC=13, BC 上的中线 AD=6,求 BC 边的长。
【变式练习】 5、如图,等边△ ABC 内有一点 P ,若点 P 到顶点 A B C 的距离分别是 3、 4、 5, 求∠ APB 的度数。
【知识点三】勾股定理逆定理与折叠问题。
例题 8:如图,把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使得 B 落在边 AD 上的 B ′ ,点 A 落在 A ′ 上。 (1) 求证:B ′ E=BF
(2) 设 AE=a, AB=b, BF=c,试猜想 abc 三者之间的关系并给予证明。
【变式练习】 6、如图,矩形纸片 ABCD 中, AB=8cm,把矩形纸片沿 AC 折叠,点 B 落在点 E 处, AE 交 DC 于 F , AF=25
4
cm ,求 AD 的长是多少。
【知识点四】勾股定理逆定理在实际生活中的应用。
例题 9:某港口位于东西方向的海岸线上, A 、 B 两军舰同时离开港口,各自沿 -固定方向航 行, A 舰每小时航行 16海里, B 舰每小时航行 12海里,它们离开港口一个半小时后,相 距 30海里,已知 A 舰沿东北方向航行,问 B 舰沿哪个方向航行?
【变式练习】 7、甲乙两艘船同时离开海港,各自沿一固定方向航行。已知甲船每小时行 12海里, 乙船每小时行 16海里, 它们离开港口一个半小时后相距 30海里, 若已知甲船沿东北 方向航行,试问乙船的航行方向可能是怎样?
例题 10:如图, 在高为 3m ,斜坡长为 5m 的楼梯上面铺地毯, 则地毯长度至少要多少米?如 果楼梯宽两米,每平方米地毯 200元,试问这块地毯要多少钱?
误区一、没有正确理解勾股定理逆定理。
【例】判断以线段 a=0.6, b=1, c=0.8为边组成的三角形是否是直角三角形。 错解:∵ 2
2
2
2
2
2
0.611.360.80.64a b c +=+=≠==
∴三角形不是直角三角形。
错因分析:没有正确理解勾股定理逆定理中判断三边是否能组成直角三角形时要看最长边平 方是否等于较短两边平方之和。
正解:∵ a=0.6, b=1, c=0.8
∴ 2
2
2
2
2
2
0.60.8111a c b +=+==== ∴三角形是直角三角形。
误区二、勾股定理与勾股定理逆定理运用混淆。
【例】如图,在△ ABC 中, AB=13cm, BC=10cm, BC 边上的中线 AD=12cm,试问△ ABC 是等腰 三角形吗?说明理由。
错解:△ ABC 是等腰三角形。证明如下: ∵ AD 是 BC 边上的中线,所以 CD=1
2
BC=5cm 又∵ AD=12cm,
由勾股定理,得 2
2
2
AC AD CD =+=169 ∴ AC=13=AB
∴△ ABC 是等腰三角形。
错因分析:此题错因在与没有确定直角三角形形的前提下使用勾股定理, 在运用勾股定理与 勾股定理逆定理的过程中混淆已知条件。
正解:△ ABC 是等腰三角形,证明如下: ∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ BD=DC=
1
2
BC=5cm 在△ ABD 中, AB=13cm, AD=12cm, BD=5cm ∴ 222222
AD BD 12+5=169=13=AB+= 即:2
2
2
AD BD AB +=
∴△ ABD 是直角三角形。且∠ ADB=90° ∴∠ ADC=90°
在 Rt △ ADC 中, AD=12cm, DC=5cm ∴ 2
2
2
2
2
AC AD CD 12+5=169=+= ∴ AC=13=AB
∴△ ABC 是等腰三角形
勾股定理逆定理:关键要确定最长边
B C
A
第
4
www.czsx.com.cn
第 5题
C
A D
www.czsx.com.cn 第 6题
勾股定理逆定理的应用:关键要能得到直角三角形
习题 A 组
1. 在 △ ABC 中 , 若 其 三 条 边 的 长 度 分 别 为 9、 12、 15, 则 以 两 个 这 样 的 三 角 形 所 拼 成 的 图 形 的 面 积 是
2. 已 知 三 角 形 的 三 边 长 之 比 为 1∶ 1∶ 2, 则 此 三 角 形 一 定 是 ()
A . 锐 角 三 角 形 B . 钝 角 三 角 形
C . 等 边 三 角 形 D. 等 腰 直 角 三 角 形
3.
在 Rt △ ABC 中 , 若 AC
BC AB =4, 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ()
A . ∠ C =90°B . ∠ B =90°
C . △ ABC 是 锐 角 三 角 形 D . △ ABC 是 钝 角 三 角 形
4. 将 直 角 三 角 形 的 各 边 都 缩 小 或 扩 大 同 样 的 倍 数 后 , 得 到 的 三 角 形 ()
A . 仍 是 直 角 三 角 形 B . 不 可 能 是 直 角 三 角 形
C . 是 锐 角 三 角 形 D . 是 钝 角 三 角 形
4. 如 图 , 正 方 形 网 格 中 , 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1, 则 网 格 上 的 三 角 形 ABC 中 , 边 长 为 无 理 数 的 边 数 是 () A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
5. 如 图 , 一 电 线 杆 AB 的 高 为 10米 , 当 太 阳 光 线 与 地 面 的 夹 角 为
60°时 , 其 影 长 AC 约 为 1.732, 结 果
保 留 三 个 有 效 数 字 ) ()
A . 5.00米 B . 8.66米 C . 17.3米 D . 5.77米
6. 如 图 , △ ABC 中 , CD ⊥ AB 于 D , 若 AD=2BD, AC=6, BC=3, 则 BD 的 长 为 ()
A . 3 B . 1
2
C . 1 D . 4
7、 △ ABC 的 三 边 分 别 为 下 列 各 组 值 , 其 中 不 是 直 角 三 角 形 三 边 的 是 ()
A . a=41, b=40, c=9 B . a=1.2, b=1.6, c=2 C . a=
12, b=13, c=14 D . a=35, b=4
5
, c=1 8、 五 根 小 木 棒 , 其 长 度 分 别 为 7, 15, 20, 24, 25, 现 将 它 们 摆 成 两 个 直 角 三 角 形 , 如 图 , 其 中 正 确 的 是 ( )
9. 下 列 命 题 的 逆 命 题 是 真 命 题 的 是 ( ) A . 若 a=b, 则 a 2
=b2
B. 全 等 三 角 形 的 周 长 相 等
C . 若 a=0, 则 ab=0 D. 有 两 边 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形
10. 下 列 数 组 为 三 角 形 的 边 长 :(1) 5, 12, 13; (2) 10, 12, 13; (3) 7, 24, 25; (4) 6, 8, 10, 其 中 能 构 成 直 角 三 角 形 的 有 ( )
A . 4组 B . 3组 C . 2组 D . 1组
11. 如 果 △ ABC 的 三 边 长 a , b , c 满 足 a 2
+b2
=c2
, 则 △ ABC 是 ______三 角 形 , _____=90°, ? 这 个 定 理 叫 做 _______.
12、 一 个 命 题 成 立 , 那 么 它 的 逆 命 题 _______成 立
3、 △ ABC 中 , AB=7, AC=24, BC=25, 则 ∠ A=______.
13. 已 知 两 条 线 段 的 长 为 3cm 和 2cm , 当 第 三 条 线 段 的 长 为 cm时 , 这 三 条 线 段 能 组 成 一 个 直 角 三 角 形 .
14. 一 轮 船 以 16海 里 /时 的 速 度 从 A 港 向 东 北 方 向 航 行 , 另 一 艘 船 同 时 以 12海 里 /时 的 速 度 从 A 港 向 西 北 方 向 航 行 , 经 过 1.5小 时 后 , 它 们 相 距 ________海 里 .
15. 小 明 想 知 道 学 校 旗 杆 的 高 , 他 发 现 旗 杆 上 的 绳 子 垂 到 地 面 还 多 1m , 当 他 把 绳 子 的 下 端 拉 开 5m? 后 , 发 现 下 端 刚 好 接 触 地 面 , 你 能 帮 助 他 把 旗 杆 的 高 度 求 出 来 是 __________.
16. 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 为 8, 周 长 为 32, 则 该 等 腰 三 角 形 面 积 为 _______. 17. 直 角 三 角 形 的 三 边 长 为 连 续 偶 数 , 则 这 三 个 数 分 别 为 __________.
13. 如 图 , 一 根 树 在 离 地 面 9米 处 断 裂 , 树 的 顶 部 落 在 离 底 部 12米 处 . 这 棵 树 在 折 断 之 前 有 __________米 . 14、 若 一 个 三 角 形 的 三 边 之 比 为 5:12:13, 且 周 长 为 60cm , 则 它 的 面 积 为 .
15、 已 知 两 条 线 段 的 长 为 5cm 和 12cm, 当 第 三 条 线 段 的 长 为 cm 时 , 这 三 条 线 段 能 组 成 一 个 直 角 三 角 形 .
16、 如 图 1, 在 四 边 形 ABCD 中 , AD ⊥ DC , AD =8, DC =6, CB =24, AB =26. 则 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 ____________.
17、 如 图 3所示的一块地,已知 AD =4m , CD =3m , AD⊥ DC , AB =13m , BC =12m ,则这块地 的面积是 __________2
m .
18、 1. 判断由下列各组线段 a 、 b 、 c 的长, 能组成的三角形是不是直角三角形, 并说明理由 . (1) a =6.5, b =7.5, c =4; (2) a =11, b =60, c =61;
(3) a =38
, b =2, c =310; (4) a =433, b =2, c =414;
19、 如图 3, AD=7, AB =25, BC =10, DC =26, DB =24,求四边形 ABCD 的面积 .
图
图 3
A B C
D
习题 B 组
1. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4, E 为 AB 中点, F 为 AD 上的一点,且 AF=4
1
AD , 试判断 △ EFC 的形状 .
2. 已知 △ ABC 的三边分别为 k 2-1, 2k , k 2+1(k >1) ,求证:△ ABC 是直角三角形 .
3. 已知 a 、 b 、 c 是 Rt △ ABC 的三 边长, △ A 1B 1C 1的三边长分别是 2a 、 2b 、 2c ,那么 △ A 1B 1C 1
是直角三角形吗?为什么?
4. 已知:如图,在 △ ABC 中, CD 是 AB 边上的高,且 CD 2=AD·BD.
求证:△ ABC 是直角三角形 .
5. 已知:如图,四边形 ABCD , AD ∥ BC , AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.
求:四边形 ABCD 的面积 .
6. 如图,将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折痕交 AD 于 E ,交 BC 于 F ,边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 。如果 M 为 CD 边的中点,求证:DE :DM :EM=3:4:5。
7. 如图所示, △ ABC 是等腰直角三角形, AB=AC, D 是斜边 BC 的中点, E 、 F 分别是 AB 、 AC 边上的点,且 DE ⊥ DF ,若 BE=12, CF=5.求线段 EF 的长
1、(2010? 湛江)以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是( ) A . 1, 2, 3 B . 2, 3, 4 C . 3, 4, 5 D . 4, 5, 6
2.(2009? 遂宁)如图,已知△ ABC 中, AB=5cm, BC=12cm, AC=13cm,那么 AC 边上 的中线 BD 的长为 cm
3.(2007? 江苏)如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单 位:mm ),计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 mm .
4.(2011? 青岛)如图,将等腰直角△ ABC 沿 BC
方向平移得到△ A 1B 1C 1.若 △ ABC 与△ A 1B 1C 1重叠部分面积为 2,则 BB 1=
5.(2011? 贵阳)如图,已知等腰 Rt △ ABC 的直角边长为 l ,以 Rt △ ABC 的斜边 AC 为直 角边,画第二个等腰 Rt △ ACD ,再以 Rt △ ACD 的斜边 AD 为直角边,画第三个等腰 Rt △ ADE , … ,依次类推到第五个等腰 Rt △ AFG ,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的 面积为
范文四:勾股定理逆定理
勾股定理逆定理
教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计
教学设计说明
本节课是安排在勾股定理之后,主要内容包括,勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题(定理)及勾股数的概念,其中前者是重点,勾股定理的逆定理的证明是难点.勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识,也是判断一个三角形是不是直角三角形(确定直角)的一种重要方法,除此以外,它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材.作为一种数学模型,它在日常生活中(比如,测量等)也有着极其广阔的应用.
考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系,在教学中,我们首先从勾股定理的反面出发,给出三组数据,让学生通过摆、画三角形的实践,并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动,得出勾股定理的逆命题.如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢?我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程,来凸现“构造直角三角形”这一问题转化的关键.之后,再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系,介绍互逆命题(定理)的概念.对于勾股定理的逆定理应用的教学,充分利用课本提供的两道例题,着眼于“双基”和“应用”这两个层面,来突出本节的教学重点.
本节课立足于创新和学生可持续发展,把教学内容分解为一系列富有探究性的问题,让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程,把知识的发现权交给学生,让他们在获取知识的过程中,体验成功的喜悦,真正体现学生是学习的主人,教师只是学习的参与者、合作者、引导者.在重视基础知识和基本技能的同时,更关注知识的形成过程及应用数学的意识.
范文五:勾股定理及其逆定理
勾股定理
1、在Rt△ABC中,已知其两直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为( ). A.2 B.4 C.2 D.
2、下列各组线段中,能够组成直角三角形的是( ).
A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,5
3、下面四组数中是勾股数的有( ). (1)1.5,2.5,2 (2),,2 (3)12,16,20 (4)0.5,1.2,1.3
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2
3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系:
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
互逆命题的概念:如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
4、直角三角形的判定:
①如果∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形
②如果c2?a2?b2,那么△ABC是直角三角形
5、勾股数组:满足c2?a2?b2的三个正整数,叫做勾股数组。常见的勾股数组: ①3,4,5;6,8,10; 3k,4k,5k. ②5,12,13; 10,24,26; 5k,12k,13k..
③7,24,25;14,48,50; 7k, 24k, 25k. ④8,15,17; 16,30,34; 8k,15k,17k .
⑤柏拉图:n2?1,2n,n2?1; ?n2?1???2n???n2?1?; 222
⑥毕达哥拉斯:2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1; ?2n?1???2n2?2n???2n2?2n?1?; 222
⑦丟番图:m2?n2,2mn,m2?n2; ?m2?n2???2mn???m2?n2?; 222
6、勾股定理的推广:如果把勾股定理理解为:平面上矩形的两
边的平方和等于对角线的平方。那么空间中相应的结论是:长
方体的长、宽、高的平方和等于该长方体的对角线的平方。
如图:在长方体中AB=a, BC=b, AA1=c,对角线AC1=d,易知△A1B1C1
22222是直角三角形,所以AC11?A1B1?BC11?a?b,另一方面
22222△A1AC1也是直角三角形,所以AC12?AC11?AA1?a?b?c.
7、与勾股定理有关的几个常用的结论:
(1)在Rt△ABC中,∠A=30°∠C=90°,则a:b:c=1
2
(2)在Rt△ABC中,∠A=∠B=45°,则a:b:c=1:1
(3)直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的积。设斜边上的高为h,则ab?ch
(4)在蚂蚁怎样走最近中,如果长方体中长、宽、高分别为a,b,c,且a>b>c,则自长方体外侧绕行对角的最短距离为
l?
1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是
20,求此直角三角形的面积。
【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
总结升华:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为
【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。
【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )
A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40
【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值。
总结升华:在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是
【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运
算,通过学习加深对“数形结合”的理解
一、填空题
1.(甘肃省白银市)已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为____________.
2.(江西省)如图,已知点F的坐标为(3,0),点A、B分别是某函数图象与x轴,y轴的交点,点P是此图像上的一动点,设点P的横坐标为x,PF的长为d,且d与x之间满足关系:
3d?5?x(0?x?5),则结论:①AF=2;②BF=5;③OA=5;④OB=3中,正确结论的序号是5
3.(永州)一棵树因雪灾于A处折断,,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为__________米(答案可保留根号).
4.(湖州市)利用图(
1)或图(
2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理,这个定理称为____________,该定理的结论其数学表达式是____________.
5.(荆州市)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为5×6×10(单位:㎝),在上盖中开有一孔便于插吸管,吸管长为13㎝, 小孔到图中边AB距离为1㎝,到上盖中与AB相邻的两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面的管长为h
㎝,则h的最小值大约为_________㎝.(精确到个位,参考数据:
?
1.4?1.7?2.2)
二、选择题
6.园丁住宅小区有一块草坪如图所示,已知AB?3米,BC?4米,CD?12米,DA?13米,且AB?BC,这块草坪的面积是( )
A.24米 B.36米 C.48米 D.72米
7.如图,分别以直角?ABC的三边AB,BC,CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1,右边阴影部分的面积和为S2,则( )
A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1?S2 D
.无法确定
三、解答题
8、一架长5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
一、选择题
1.已知△ABC中,∠A=
A.1:1:11∠B=∠C,则它的三条边之比为( ). 23:2 C.1:: D.1:4:1 B.1:
2.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是( ). A. B.3 C. D.
3.下列各命题的逆命题成立的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
4.若等边△ABC的边长为2cm,那么△ABC的面积为( ).
A.
cm2 B.2cm2 C.3cm2 D.4cm2
5.如图所示,△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=5,BC=4,则BD的长为( ).
A. B. C.1 D.
6.直角三角形有一条直角边长为13,另外两条边长都是自然数,则周长为( ).
A.182 B.183 C.184 D.185
7.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=3,将其沿直线MN折叠,使点C与点A重合,则CN的长为( ).
A. B. C. D.
二、填空题
8.已知直角三角形的两边分别为3、4,则第三边为_____.
9.如图所示,某风景名胜区为了方便游人参观,计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处,若在A处测得∠EAC=30°,两山峰的底部BD相距900米,则缆车线路AC的长为_______米.
(第13题)
三、解答题
10、(1)已知直角三角形的两边长分别为3㎝和4㎝.求该三角形的周长;
(2)△ABC中,AD为高,AB=15,AC=13,AD=12.求△ABC的面积
11.已知,如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F?处,?如果AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.
12.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,?已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?